Nájdite dĺžku hlavnej osi elipsy. Konštrukcia definície vlastnosti elipsy

Krivky druhého rádu na rovine sú priamky definované rovnicami, v ktorých sú premenné súradnice X A r sú obsiahnuté v druhom stupni. Patria sem elipsa, hyperbola a parabola.

Všeobecný tvar rovnice krivky druhého rádu je nasledujúci:

Kde A B C D E F- čísla a aspoň jeden z koeficientov A, B, C nerovná sa nule.

Pri riešení úloh s krivkami druhého rádu sa najčastejšie uvažuje s kanonickými rovnicami elipsy, hyperboly a paraboly. Je ľahké prejsť k nim zo všeobecných rovníc, tomu bude venovaný príklad 1 úloh s elipsami.

Elipsa daná kanonickou rovnicou

Definícia elipsy. Elipsa je množina všetkých bodov v rovine, pre ktoré je súčet vzdialeností k bodom nazývaným ohniská konštantnou hodnotou väčšou ako vzdialenosť medzi ohniskami.

Ohniská sú znázornené ako na obrázku nižšie.

Kanonická rovnica elipsy má tvar:

Kde a A b (a > b) - dĺžky poloosi, t.j. polovica dĺžok segmentov odrezaných elipsou na súradnicových osiach.

Priamka prechádzajúca ohniskami elipsy je jej osou symetrie. Ďalšou osou symetrie elipsy je priamka prechádzajúca stredom úsečky kolmej na túto úsečku. Bodka O priesečník týchto čiar slúži ako stred symetrie elipsy alebo jednoducho stred elipsy.

Os x elipsy sa pretína v bodoch ( a, O) A (- a, O) a zvislá os je v bodoch ( b, O) A (- b, O). Tieto štyri body sa nazývajú vrcholy elipsy. Úsek medzi vrcholmi elipsy na osi x sa nazýva jej hlavná os a na osi y - vedľajšia os. Ich segmenty od vrchu po stred elipsy sa nazývajú poloosi.

Ak a = b, potom rovnica elipsy nadobudne tvar . Toto je rovnica kruhu s polomerom a, a kruh je špeciálny prípad elipsy. Elipsu možno získať z kruhu s polomerom a, ak ho stlačíte do a/b krát pozdĺž osi Oj .

Príklad 1 Skontrolujte, či je čiara daná všeobecnou rovnicou , elipsa.

Riešenie. Transformujeme všeobecnú rovnicu. Používame presun voľného člena na pravú stranu, členenie rovnice po členoch rovnakým číslom a redukciu zlomkov:

Odpoveď. Rovnica získaná ako výsledok transformácií je kanonickou rovnicou elipsy. Preto je táto čiara elipsa.

Príklad 2 Zostavte kanonickú rovnicu elipsy, ak jej poloosi sú 5 a 4.

Riešenie. Pozrieme sa na vzorec pre kanonickú rovnicu elipsy a náhrady: hlavná poloos je a= 5, vedľajšia os je b= 4. Získame kanonickú rovnicu elipsy:

Body a , označené zelenou farbou na hlavnej osi, kde

sa volajú triky.

volal výstrednosť elipsa.

Postoj b/a charakterizuje „sploštenosť“ elipsy. Čím menší je tento pomer, tým viac je elipsa pretiahnutá pozdĺž hlavnej osi. Stupeň predĺženia elipsy sa však častejšie vyjadruje prostredníctvom excentricity, ktorej vzorec je uvedený vyššie. Pre rôzne elipsy sa excentricita mení od 0 do 1, pričom vždy zostáva menšia ako jednota.

Príklad 3 Zostavte kanonickú rovnicu elipsy, ak vzdialenosť medzi ohniskami je 8 a hlavnou osou je 10.

Riešenie. Urobme niekoľko jednoduchých záverov:

Ak sa hlavná os rovná 10, potom jej polovica, t.j. poloos a = 5 ,

Ak je vzdialenosť medzi ohniskami 8, potom číslo c ohniskových súradníc sa rovná 4.

Nahradíme a vypočítame:

Výsledkom je kanonická rovnica elipsy:

Príklad 4. Zostavte kanonickú rovnicu elipsy, ak jej hlavná os je 26 a jej excentricita je .

Riešenie. Ako vyplýva z veľkosti hlavnej osi a rovnice excentricity, hlavná poloos elipsy a= 13. Z rovnice excentricity vyjadríme číslo c, potrebné na výpočet dĺžky vedľajšej poloosi:

.

Vypočítame druhú mocninu dĺžky vedľajšej poloosi:

Zostavíme kanonickú rovnicu elipsy:

Príklad 5. Určte ohniská elipsy dané kanonickou rovnicou.

Riešenie. Nájdite číslo c, ktorý určuje prvé súradnice ohnísk elipsy:

.

Dostaneme ohniská elipsy:

Príklad 6. Ohniská elipsy sú umiestnené na osi Vôl symetricky podľa pôvodu. Zostavte kanonickú rovnicu elipsy, ak:

1) vzdialenosť medzi ohniskami je 30 a hlavná os je 34

2) vedľajšia os 24 a jedno z ohniskov je v bode (-5; 0)

3) excentricita a jedno z ohniskov je v bode (6; 0)

Pokračujme v riešení problémov elipsy spoločne

Ak je ľubovoľný bod elipsy (označený zelenou farbou v pravej hornej časti elipsy na výkrese) a je to vzdialenosť k tomuto bodu od ohniska, potom vzorce pre vzdialenosti sú nasledovné:

Pre každý bod patriaci do elipsy je súčet vzdialeností od ohnísk konštantnou hodnotou rovnajúcou sa 2 a.

Čiary definované rovnicami

sa volajú riaditeľky elipsa (na výkrese sú pozdĺž okrajov červené čiary).

Z dvoch rovníc vyššie vyplýva, že pre ktorýkoľvek bod elipsy

,

kde a sú vzdialenosti tohto bodu od smerových osí a .

Príklad 7. Daná elipsa. Napíšte rovnicu pre jeho smerové čiary.

Riešenie. Pozrieme sa na priamkovú rovnicu a zistíme, že potrebujeme nájsť excentricitu elipsy, t.j. Máme na to všetky údaje. Vypočítame:

.

Získame rovnicu osí elipsy:

Príklad 8. Zostavte kanonickú rovnicu elipsy, ak jej ohniská sú body a smerové čiary sú priamky.

Definícia. Elipsa je geometrické miesto bodov v rovine, pričom súčet vzdialeností každého z nich od dvoch daných bodov tejto roviny, nazývaných ohniská, je konštantná hodnota (za predpokladu, že táto hodnota je väčšia ako vzdialenosť medzi ohniskami) .

Označme ohniská vzdialenosťou medzi nimi - , a konštantnú hodnotu rovnajúcu sa súčtu vzdialeností od každého bodu elipsy k ohniskám (podľa podmienky).

Zostrojme kartézsky súradnicový systém tak, že ohniská sú na osi x a počiatok súradníc sa zhoduje so stredom segmentu (obr. 44). Potom budú mať ohniská nasledujúce súradnice: ľavé ohnisko a pravé ohnisko. Odvoďme rovnicu elipsy v súradnicovom systéme, ktorý sme si vybrali. Na tento účel zvážte ľubovoľný bod elipsy. Podľa definície elipsy sa súčet vzdialeností od tohto bodu k ohniskám rovná:

Pomocou vzorca pre vzdialenosť medzi dvoma bodmi teda získame

Aby sme túto rovnicu zjednodušili, napíšeme ju vo forme

Potom dostaneme druhú mocninu oboch strán rovnice

alebo po zrejmých zjednodušeniach:

Teraz znova odmocníme obe strany rovnice, potom máme:

alebo po rovnakých transformáciách:

Keďže podľa podmienky v definícii elipsy je číslo kladné. Predstavme si notáciu

Potom bude mať rovnica nasledujúci tvar:

Podľa definície elipsy súradnice ktoréhokoľvek z jej bodov spĺňajú rovnicu (26). Ale rovnica (29) je dôsledkom rovnice (26). V dôsledku toho jej vyhovujú aj súradnice ktoréhokoľvek bodu elipsy.

Dá sa ukázať, že súradnice bodov, ktoré neležia na elipse, nespĺňajú rovnicu (29). Rovnica (29) je teda rovnicou elipsy. Nazýva sa to kanonická rovnica elipsy.

Stanovme tvar elipsy pomocou jej kanonickej rovnice.

V prvom rade si všimnime, že táto rovnica obsahuje iba párne mocniny x a y. To znamená, že ak nejaký bod patrí do elipsy, potom obsahuje aj bod symetrický s bodom vzhľadom na os x a bod symetrický s bodom vzhľadom na os súradnice. Elipsa má teda dve na seba kolmé osi súmernosti, ktoré sa v nami zvolenom súradnicovom systéme zhodujú so súradnicovými osami. Osi symetrie elipsy budeme odteraz nazývať osami elipsy a ich priesečník stredom elipsy. Os, na ktorej sa nachádzajú ohniská elipsy (v tomto prípade os x), sa nazýva ohnisková os.

Najprv určme tvar elipsy v prvej štvrtine. Aby sme to dosiahli, vyriešme rovnicu (28) pre y:

Je zrejmé, že tu , keďže y nadobúda imaginárne hodnoty. Pri zvyšovaní z 0 na a klesá y z b na 0. Časť elipsy ležiaca v prvej štvrtine bude oblúk ohraničený bodmi B (0; b) a ležiaci na súradnicových osiach (obr. 45). Teraz pomocou symetrie elipsy dospejeme k záveru, že elipsa má tvar znázornený na obr. 45.

Priesečníky elipsy s osami sa nazývajú vrcholy elipsy. Zo symetrie elipsy vyplýva, že okrem vrcholov má elipsa ešte dva vrcholy (pozri obr. 45).

Segmenty a spojovacie protiľahlé vrcholy elipsy, ako aj ich dĺžky, sa nazývajú hlavná a vedľajšia os elipsy. Čísla a a b sa nazývajú hlavné a vedľajšie poloosi elipsy.

Pomer polovice vzdialenosti medzi ohniskami k hlavnej poloosi elipsy sa nazýva excentricita elipsy a zvyčajne sa označuje písmenom:

Pretože je excentricita elipsy menšia ako jednota: Excentricita charakterizuje tvar elipsy. Zo vzorca (28) totiž vyplýva, že čím menšia je excentricita elipsy, tým menej sa jej vedľajšia os b líši od hlavnej osi a, t.j. čím je elipsa menej pretiahnutá (pozdĺž ohniskovej osi).

V obmedzujúcom prípade je výsledkom kružnica s polomerom a: , alebo . Zároveň sa zdá, že ohniská elipsy sa spájajú v jednom bode - v strede kruhu. Excentricita kruhu je nula:

Spojenie medzi elipsou a kružnicou možno zistiť z iného uhla pohľadu. Ukážme, že elipsu s poloosami a a b môžeme považovať za priemet kružnice s polomerom a.

Uvažujme dve roviny P a Q, ktoré medzi sebou zvierajú taký uhol a, pre ktorý (obr. 46). Zostrojme súradnicový systém v rovine P a v rovine Q systém Oxy so spoločným počiatkom O a spoločnou osou úsečky, ktorá sa zhoduje s priesečníkom rovín. Uvažujme kruh v rovine P

so stredom v počiatku a polomerom rovným a. Nech je ľubovoľne zvolený bod na kružnici, nech je jej priemet do roviny Q a nech je priemet bodu M na os Ox. Ukážme, že bod leží na elipse s poloosami a a b.

Prednášky z algebry a geometrie. 1. semester.

Prednáška 15. Elipsa.

Kapitola 15. Elipsa.

klauzula 1. Základné definície.

Definícia. Elipsa je GMT roviny, súčet vzdialeností dvoch pevných bodov roviny, nazývaných ohniská, je konštantná hodnota.

Definícia. Vzdialenosť od ľubovoľného bodu M roviny k ohnisku elipsy sa nazýva ohniskový polomer bodu M.

Označenia:
- ohniská elipsy,
- polomery ohniska bodu M.

Podľa definície elipsy je bod M bodom elipsy vtedy a len vtedy
- konštantná hodnota. Táto konštanta sa zvyčajne označuje 2a:

. (1)

Všimni si
.

Podľa definície elipsy sú jej ohniská pevné body, takže vzdialenosť medzi nimi je tiež konštantná hodnota pre danú elipsu.

Definícia. Vzdialenosť medzi ohniskami elipsy sa nazýva ohnisková vzdialenosť.

Označenie:
.

Z trojuholníka
z toho vyplýva
, t.j.

.

Označme b číslo rovné
, t.j.

. (2)

Definícia. Postoj

(3)

sa nazýva excentricita elipsy.

Zaveďme na tejto rovine súradnicový systém, ktorý budeme pre elipsu nazývať kanonický.

Definícia. Os, na ktorej ležia ohniská elipsy, sa nazýva ohnisková os.

Zostrojme kanonické PDSC pre elipsu, pozri obr.

Vyberieme ohniskovú os ako os x a nakreslíme ordinátovú os stredom segmentu
kolmo na ohniskovú os.

Potom majú ohniská súradnice
,
.

klauzula 2. Kanonická rovnica elipsy.

Veta. V kanonickom súradnicovom systéme pre elipsu má rovnica elipsy tvar:

. (4)

Dôkaz. Dôkaz vykonávame v dvoch etapách. V prvej fáze dokážeme, že súradnice ľubovoľného bodu ležiaceho na elipse vyhovujú rovnici (4). V druhej fáze dokážeme, že akékoľvek riešenie rovnice (4) dáva súradnice bodu ležiaceho na elipse. Odtiaľto bude vyplývať, že rovnicu (4) spĺňajú len tie body súradnicovej roviny, ktoré ležia na elipse. Z toho az definície rovnice krivky bude vyplývať, že rovnica (4) je rovnicou elipsy.

1) Nech je bod M(x, y) bodom elipsy, t.j. súčet jeho ohniskových polomerov je 2a:

.

Použime vzorec pre vzdialenosť medzi dvoma bodmi v súradnicovej rovine a pomocou tohto vzorca nájdeme ohniskové polomery daného bodu M:

,
, odkiaľ dostaneme:

Presuňme jeden koreň na pravú stranu rovnosti a odmocnime ju:

Znížením dostaneme:

Uvádzame podobné, znížte o 4 a odstráňte radikál:

.

Kvadratúra

Otvorte zátvorky a skráťte o
:

kde sa dostaneme:

Pomocou rovnosti (2) dostaneme:

.

Delenie poslednej rovnosti o
, získame rovnosť (4) atď.

2) Nech teraz dvojica čísel (x, y) spĺňa rovnicu (4) a nech M(x, y) je príslušný bod v rovine súradníc Oxy.

Potom z (4) vyplýva:

.

Túto rovnosť dosadíme do výrazu pre ohniskové polomery bodu M:

.

Tu sme použili rovnosť (2) a (3).

teda
. podobne,
.

Teraz si všimnite, že z rovnosti (4) to vyplýva

alebo
a preto
, potom nerovnosť nasleduje:

.

Odtiaľto následne vyplýva, že

alebo
A

,
. (5)

Z rovnosti (5) vyplýva, že
, t.j. bod M(x, y) je bodom elipsy atď.

Veta bola dokázaná.

Definícia. Rovnica (4) sa nazýva kanonická rovnica elipsy.

Definícia. Kanonické súradnicové osi elipsy sa nazývajú hlavné osi elipsy.

Definícia. Počiatok kanonického súradnicového systému elipsy sa nazýva stred elipsy.

klauzula 3. Vlastnosti elipsy.

Veta. (Vlastnosti elipsy.)

1. V kanonickom súradnicovom systéme pre elipsu všetko

body elipsy sú v obdĺžniku

,
.

2. Body ležia na

3. Elipsa je krivka, ktorá je symetrická vzhľadom na

ich hlavné osi.

4. Stred elipsy je jej stredom symetrie.

Dôkaz. 1, 2) Bezprostredne vyplýva z kanonickej rovnice elipsy.

3, 4) Nech M(x, y) je ľubovoľný bod elipsy. Potom jeho súradnice spĺňajú rovnicu (4). Ale potom súradnice bodov tiež spĺňajú rovnicu (4), a preto sú bodmi elipsy, z ktorých vyplývajú tvrdenia vety.

Veta bola dokázaná.

Definícia. Veličina 2a sa nazýva hlavná os elipsy, veličina a sa nazýva hlavná poloos elipsy.

Definícia. Veličina 2b sa nazýva vedľajšia os elipsy, veličina b sa nazýva vedľajšia os elipsy.

Definícia. Priesečníky elipsy s jej hlavnými osami sa nazývajú vrcholy elipsy.

Komentujte. Elipsu možno zostrojiť nasledovne. V rovine „zatĺkame klinec do ohniskových bodov“ a pripevníme k nim dĺžku závitu
. Potom vezmeme ceruzku a pomocou nej utiahneme niť. Potom ceruzku posúvame pozdĺž roviny, pričom dbáme na to, aby bola niť napnutá.

Z definície excentricity vyplýva, že

Opravme číslo a a nasmerujme číslo c na nulu. Potom o
,
A
. V limite, ktorý dostaneme

alebo
– rovnica kruhu.

Poďme teraz nasmerovať
. Potom
,
a vidíme, že v limite sa elipsa zvrhne na priamku
v zápise na obrázku 3.

klauzula 4. Parametrické rovnice elipsy.

Veta. Nechaj
– ľubovoľné reálne čísla. Potom systém rovníc

,
(6)

sú parametrické rovnice elipsy v kanonickom súradnicovom systéme pre elipsu.

Dôkaz. Stačí dokázať, že sústava rovníc (6) je ekvivalentná rovnici (4), t.j. majú rovnaký súbor riešení.

1) Nech (x, y) je ľubovoľné riešenie sústavy (6). Prvú rovnicu vydeľte a, druhú b, obe rovnice odmocnite a pridajte:

.

Tie. akékoľvek riešenie (x, y) sústavy (6) vyhovuje rovnici (4).

2) Naopak, nech je dvojica (x, y) riešením rovnice (4), t.j.

.

Z tejto rovnosti vyplýva, že bod so súradnicami
leží na kružnici s jednotkovým polomerom so stredom v počiatku, t.j. je bod na trigonometrickej kružnici, ktorému zodpovedá určitý uhol
:

Z definície sínusu a kosínusu to hneď vyplýva

,
, Kde
, z čoho vyplýva, že dvojica (x, y) je riešením sústavy (6) atď.

Veta bola dokázaná.

Komentujte. Elipsu možno získať ako výsledok rovnomerného „stlačenia“ kruhu s polomerom a smerom k osi x.

Nechaj
– rovnica kružnice so stredom v počiatku. „Stlačenie“ kruhu na os x nie je nič iné ako transformácia roviny súradníc, vykonaná podľa nasledujúceho pravidla. Ku každému bodu M(x, y) priraďujeme bod v tej istej rovine
, Kde
,
- pomer kompresie.

Pri tejto transformácii každý bod na kružnici „prechádza“ do iného bodu v rovine, ktorý má rovnakú os, ale menšiu ordinátu. Vyjadrime starú súradnicu bodu cez novú:

a dosaďte kruhy do rovnice:

.

Odtiaľto dostaneme:

. (7)

Z toho vyplýva, že ak pred „kompresnou“ transformáciou ležal bod M(x, y) na kružnici, t.j. jeho súradnice vyhovovali rovnici kruhu, potom sa po „kompresnej“ transformácii tento bod „premenil“ na bod
, ktorého súradnice spĺňajú rovnicu elipsy (7). Ak chceme získať rovnicu elipsy s vedľajšou osou b, musíme vziať kompresný faktor

.

klauzula 5. Tangenta k elipse.

Veta. Nechaj
– ľubovoľný bod elipsy

.

Potom rovnica dotyčnice k tejto elipse v bode
má tvar:

. (8)

Dôkaz. Stačí zvážiť prípad, keď dotykový bod leží v prvej alebo druhej štvrtine súradnicovej roviny:
. Rovnica elipsy v hornej polrovine má tvar:

. (9)

Použime rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie
v bode
:

Kde
– hodnota derivácie danej funkcie v bode
. Elipsu v prvej štvrtine možno považovať za graf funkcie (8). Nájdite jeho derivát a jeho hodnotu v bode dotyku:

,

. Tu sme využili skutočnosť, že dotykový bod
je bodom elipsy a preto jeho súradnice spĺňajú rovnicu elipsy (9), t.j.

.

Nájdenú hodnotu derivácie dosadíme do rovnice dotyčnice (10):

,

kde sa dostaneme:

To znamená:

Rozdeľme túto rovnosť podľa
:

.

Zostáva poznamenať, že
, pretože bodka
patrí do elipsy a jej súradnice spĺňajú jej rovnicu.

Rovnica dotyčnice (8) sa dokazuje podobným spôsobom v bode dotyku ležiacom v tretej alebo štvrtej štvrtine súradnicovej roviny.

A nakoniec môžeme ľahko overiť, že rovnica (8) dáva tangentovú rovnicu v bodoch
,
:

alebo
, A
alebo
.

Veta bola dokázaná.

klauzula 6. Zrkadlová vlastnosť elipsy.

Veta. Dotyčnica k elipse má rovnaké uhly s polomermi ohniska dotykového bodu.

Nechaj
- kontaktný bod,
,
– ohniskové polomery dotykového bodu, P a Q – projekcie ohniskov na dotyčnicu nakreslenú k elipse v bode
.

Veta tvrdí, že

. (11)

Túto rovnosť možno interpretovať ako rovnosť uhlov dopadu a odrazu lúča svetla z elipsy uvoľnenej z jej ohniska. Táto vlastnosť sa nazýva zrkadlová vlastnosť elipsy:

Lúč svetla uvoľnený z ohniska elipsy po odraze od zrkadla elipsy prechádza cez ďalšie ohnisko elipsy.

Dôkaz vety. Aby sme dokázali rovnosť uhlov (11), dokážeme podobnosť trojuholníkov
A
, v ktorej strany
A
bude podobný. Keďže trojuholníky sú pravouhlé, stačí dokázať rovnosť

Elipsa je geometrické miesto bodov v rovine, pričom súčet vzdialeností od každého z nich k dvom daným bodom F_1 a F_2 je konštantná hodnota (2a), väčšia ako vzdialenosť (2c) medzi týmito danými bodmi (obr. 3,36, a). Táto geometrická definícia vyjadruje ohnisková vlastnosť elipsy.

Ohnisková vlastnosť elipsy

Body F_1 a F_2 sa nazývajú ohniská elipsy, vzdialenosť medzi nimi 2c=F_1F_2 je ohnisková vzdialenosť, stred O segmentu F_1F_2 je stred elipsy, číslo 2a je dĺžka hlavnej osi elipsy. elipsa (podľa toho je číslo a hlavnou polosou elipsy). Segmenty F_1M a F_2M spájajúce ľubovoľný bod M elipsy s jej ohniskami sa nazývajú ohniskové polomery bodu M. Úsečka spájajúca dva body elipsy sa nazýva tetiva elipsy.

Pomer e=\frac(c)(a) sa nazýva excentricita elipsy. Z definície (2a>2c) vyplýva, že 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

Geometrická definícia elipsy, vyjadrujúci jeho ohniskovú vlastnosť, je ekvivalentný jeho analytickej definícii - priamka daná kanonickou rovnicou elipsy:

Vskutku, predstavme si pravouhlý súradnicový systém (obr. 3.36c). Za počiatok súradnicového systému berieme stred O elipsy; berieme priamku prechádzajúcu ohniskami (ohnisková os alebo prvá os elipsy) ako os x (kladný smer na nej je z bodu F_1 do bodu F_2); zoberme si priamku kolmú na ohniskovú os a prechádzajúcu stredom elipsy (druhá os elipsy) ako zvislú os (smer na osi y je zvolený tak, aby pravouhlý súradnicový systém Oxy bol správny) .

Vytvorme rovnicu pre elipsu pomocou jej geometrickej definície, ktorá vyjadruje ohniskovú vlastnosť. Vo vybranom súradnicovom systéme určíme súradnice ohnísk F_1(-c,0),~F_2(c,0). Pre ľubovoľný bod M(x,y) patriaci do elipsy máme:

\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.

Zapísaním tejto rovnosti v súradnicovom tvare dostaneme:

\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.

Presunieme druhý radikál na pravú stranu, odmocníme obe strany rovnice a prinesieme podobné pojmy:

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Šípka doľava ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx.

Po delení 4 odmocníme obe strany rovnice:

A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).

Po určení b=\sqrt(a^2-c^2)>0, dostaneme b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Vydelením oboch strán a^2b^2\ne0 sa dostaneme ku kanonickej rovnici elipsy:

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.

Preto je zvolený súradnicový systém kanonický.

Ak sa ohniská elipsy zhodujú, potom je elipsa kružnica (obr. 3.36,6), keďže a=b. V tomto prípade bude každý pravouhlý súradnicový systém s počiatkom v bode kanonický O\ekviv F_1\ekviv F_2 a rovnica x^2+y^2=a^2 je rovnica kruhu so stredom v bode O a polomerom rovným a.

Uskutočnením uvažovania v opačnom poradí je možné ukázať, že všetky body, ktorých súradnice spĺňajú rovnicu (3.49), a iba oni, patria do ťažiska bodov nazývaného elipsa. Inými slovami, analytická definícia elipsy je ekvivalentná jej geometrickej definícii, ktorá vyjadruje ohniskovú vlastnosť elipsy.

Riadiaca vlastnosť elipsy

Smerové čiary elipsy sú dve priame čiary prebiehajúce rovnobežne s osou kanonického súradnicového systému v rovnakej vzdialenosti \frac(a^2)(c) od nej. Pri c=0, keď je elipsa kruh, neexistujú žiadne smerové čiary (môžeme predpokladať, že smerové čiary sú v nekonečne).

Elipsa s excentricitou 0 ťažisko bodov v rovine, pre každý z nich je pomer vzdialenosti k danému bodu F (ohnisko) k vzdialenosti k danej priamke d (smernica), ktorá neprechádza daným bodom, konštantný a rovný excentricite. e ( režijná vlastnosť elipsy). Tu sú F a d jedným z ohniskov elipsy a jednej z jej priamych osí, ktoré sa nachádzajú na jednej strane súradnicovej osi kanonického súradnicového systému, t.j. F_1,d_1 alebo F_2,d_2 .

V skutočnosti napríklad pre ohnisko F_2 a smerovku d_2 (obr. 3.37,6) je podmienka \frac(r_2)(\rho_2)=e možno napísať v súradnicovom tvare:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)

Zbaviť sa iracionality a nahradiť e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, dospejeme ku kanonickej rovnici elipsy (3.49). Podobné úvahy možno vykonať pre zameranie F_1 a riaditeľa d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.

Rovnica elipsy v polárnom súradnicovom systéme

Rovnica elipsy v polárnom súradnicovom systéme F_1r\varphi (obr. 3.37, c a 3.37 (2)) má tvar

R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)

kde p=\frac(b^2)(a) je ohniskový parameter elipsy.

V skutočnosti zvoľme ľavé ohnisko F_1 elipsy ako pól polárneho súradnicového systému a lúč F_1F_2 ako polárnu os (obr. 3.37, c). Potom pre ľubovoľný bod M(r,\varphi) podľa geometrickej definície (ohniskovej vlastnosti) elipsy máme r+MF_2=2a. Vyjadríme vzdialenosť medzi bodmi M(r,\varphi) a F_2(2c,0) (pozri odsek 2 poznámok 2.8):

\begin(zarovnané)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end (zarovnané)

Preto v súradnicovom tvare má rovnica elipsy F_1M+F_2M=2a tvar

R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.

Izolujeme radikál, odmocníme obe strany rovnice, vydelíme 4 a uvedieme podobné pojmy:

R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.

Vyjadrite polárny polomer r a vykonajte náhradu e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):

R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1) -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),

Q.E.D.

Geometrický význam koeficientov v rovnici elipsy

Nájdime priesečníky elipsy (pozri obr. 3.37a) so súradnicovými osami (vrcholmi elipsy). Ak do rovnice dosadíme y=0, nájdeme priesečníky elipsy s osou x (s ohniskovou osou): x=\pm a. Preto je dĺžka segmentu ohniskovej osi obsiahnutá vo vnútri elipsy rovná 2a. Tento segment, ako je uvedené vyššie, sa nazýva hlavná os elipsy a číslo a je hlavná poloos elipsy. Ak dosadíme x=0, dostaneme y=\pm b. Preto je dĺžka segmentu druhej osi elipsy obsiahnutá vo vnútri elipsy rovná 2b. Tento segment sa nazýva vedľajšia os elipsy a číslo b je vedľajšia os elipsy.

naozaj, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a a rovnosť b=a získame len v prípade c=0, keď je elipsa kružnica. Postoj k=\frac(b)(a)\leqslant1 sa nazýva elipsový kompresný pomer.

Poznámky 3.9

1. Priamky x=\pm a,~y=\pm b ohraničujú hlavný obdĺžnik v rovine súradníc, vo vnútri ktorého je elipsa (pozri obr. 3.37, a).

2. Elipsu možno definovať ako ťažisko bodov získané stlačením kružnice na jej priemer.

Nech je rovnica kruhu v pravouhlom súradnicovom systéme Oxy x^2+y^2=a^2. Pri stlačení na os x s koeficientom 0

\begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases)

Dosadením kružníc x=x" a y=\frac(1)(k)y" do rovnice dostaneme rovnicu pre súradnice obrazu M"(x",y") bodu M(x, y):

(x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1, !}

keďže b=k\cdot a . Toto je kanonická rovnica elipsy.

3. Súradnicové osi (kanonického súradnicového systému) sú osami symetrie elipsy (nazývané hlavné osi elipsy) a jej stred je stredom symetrie.

Ak totiž bod M(x,y) patrí do elipsy . potom do tej istej elipsy patria aj body M"(x,-y) a M""(-x,y), symetrické k bodu M vzhľadom na súradnicové osi.

4. Z rovnice elipsy v polárnom súradnicovom systéme r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(pozri obr. 3.37, c), je objasnený geometrický význam ohniskového parametra - to je polovica dĺžky tetivy elipsy prechádzajúcej jej ohniskom kolmo na ohniskovú os ( r = p pri \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. Excentricita e charakterizuje tvar elipsy, a to rozdiel medzi elipsou a kružnicou. Čím väčšie e, tým je elipsa predĺžená a čím bližšie je e k nule, tým bližšie je elipsa ku kružnici (obr. 3.38a). Ak vezmeme do úvahy, že e=\frac(c)(a) a c^2=a^2-b^2 , dostaneme

E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\right )\^2=1-k^2, !}

kde k je elipsový kompresný pomer, 0

6. Rovnica \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 v a

7. Rovnica \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b definuje elipsu so stredom v bode O"(x_0,y_0), ktorej osi sú rovnobežné so súradnicovými osami (obr. 3.38, c). Táto rovnica sa redukuje na kanonickú pomocou paralelného posunu (3.36).