Určitý systém lineárnych rovníc. Riešenie sústav lineárnych rovníc Gaussovou metódou

Pomocou tohto matematického programu môžete vyriešiť systém dvoch lineárnych rovníc s dvoma premennými pomocou substitučnej metódy a metódy sčítania.

Program dáva nielen odpoveď na problém, ale poskytuje aj podrobné riešenie s vysvetlením krokov riešenia dvoma spôsobmi: substitučnou metódou a metódou sčítania.

Tento program môže byť užitočný pre stredoškolákov na všeobecnovzdelávacích školách pri príprave na testy a skúšky, pri testovaní vedomostí pred Jednotnou štátnou skúškou a rodičom pri ovládaní riešenia mnohých problémov z matematiky a algebry. Alebo možno je pre vás príliš drahé najať si tútora alebo kúpiť nové učebnice? Alebo len chcete mať čo najrýchlejšie domácu úlohu z matematiky či algebry? V tomto prípade môžete využiť aj naše programy s podrobnými riešeniami.

Môžete tak viesť vlastný výcvik a/alebo výcvik svojich mladších bratov či sestier, pričom sa zvyšuje úroveň vzdelania v oblasti riešenia problémov.

Pravidlá pre zadávanie rovníc

Akékoľvek latinské písmeno môže fungovať ako premenná.
Napríklad: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) atď.

Pri zadávaní rovníc môžete použiť zátvorky. V tomto prípade sa rovnice najskôr zjednodušia. Rovnice po zjednodušeniach musia byť lineárne, t.j. tvaru ax+by+c=0 s presnosťou poradia prvkov.
Napríklad: 6x+1 = 5(x+y)+2

V rovniciach môžete použiť nielen celé čísla, ale aj zlomky vo forme desatinných a obyčajných zlomkov.

Pravidlá pre zadávanie desatinných zlomkov.
Celé číslo a zlomkové časti v desatinných zlomkoch možno oddeliť bodkou alebo čiarkou.
Napríklad: 2,1n + 3,5m = 55

Pravidlá pre zadávanie obyčajných zlomkov.
Len celé číslo môže fungovať ako čitateľ, menovateľ a celá časť zlomku.
Menovateľ nemôže byť záporný.
Pri zadávaní číselného zlomku sa čitateľ oddelí od menovateľa deliacim znamienkom: /
Celá časť je oddelená od zlomku znakom ampersand: &

Príklady.
-1&2/3r + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7 (3,5p - 2&1/8q)

Zistilo sa, že niektoré skripty potrebné na vyriešenie tohto problému neboli načítané a program nemusí fungovať.
Možno máte povolený AdBlock.
V takom prípade ho vypnite a obnovte stránku.

Pretože Existuje veľa ľudí ochotných vyriešiť problém, vaša požiadavka bola zaradená do frontu.
O niekoľko sekúnd sa nižšie zobrazí riešenie.
Prosím čakajte sek...

Ak ty si všimol chybu v riešení, potom o tom môžete napísať vo formulári spätnej väzby.
Nezabudni uveďte akú úlohu ty sa rozhodneš čo zadajte do polí.

Naše hry, hádanky, emulátory:

Trochu teórie.

Riešenie sústav lineárnych rovníc. Substitučná metóda

Postupnosť akcií pri riešení systému lineárnych rovníc pomocou substitučnej metódy:
1) vyjadriť jednu premennú z niektorej rovnice systému z hľadiska inej;
2) nahradiť výsledný výraz do inej rovnice systému namiesto tejto premennej;

$$ \vľavo\( \začiatok(pole)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \koniec(pole) \vpravo. $$

Vyjadrime y pomocou x z prvej rovnice: y = 7-3x. Dosadením výrazu 7-3x do druhej rovnice namiesto y dostaneme systém:
$$ \vľavo\( \začiatok(pole)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \koniec(pole) \vpravo. $$

Je ľahké ukázať, že prvý a druhý systém majú rovnaké riešenia. V druhom systéme obsahuje druhá rovnica iba jednu premennú. Poďme vyriešiť túto rovnicu:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Šípka doprava -5x+14-6x=3 \Šípka doprava -11x=-11 \Šípka doprava x=1 $$

Dosadením čísla 1 namiesto x do rovnosti y=7-3x nájdeme zodpovedajúcu hodnotu y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Šípka doprava y=4 $$

Dvojica (1;4) - riešenie sústavy

Nazývame sústavy rovníc v dvoch premenných, ktoré majú rovnaké riešenia ekvivalent. Za ekvivalentné sa považujú aj systémy, ktoré nemajú riešenia.

Riešenie sústav lineárnych rovníc sčítaním

Uvažujme o ďalšom spôsobe riešenia sústav lineárnych rovníc - metóde sčítania. Pri takomto riešení sústav, ako aj pri riešení substitúciou prechádzame z tejto sústavy do inej, ekvivalentnej sústavy, v ktorej jedna z rovníc obsahuje len jednu premennú.

Postupnosť akcií pri riešení systému lineárnych rovníc pomocou metódy sčítania:
1) vynásobte rovnice systémového člena členmi, pričom vyberte faktory tak, aby sa koeficienty jednej z premenných stali opačnými číslami;
2) pridajte ľavú a pravú stranu systémových rovníc po členoch;
3) vyriešiť výslednú rovnicu s jednou premennou;
4) nájdite zodpovedajúcu hodnotu druhej premennej.

Príklad. Poďme vyriešiť sústavu rovníc:
$$ \vľavo\( \začiatok(pole)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \koniec(pole) \vpravo. $$

V rovniciach tohto systému sú koeficienty y opačné čísla. Sčítaním ľavej a pravej strany rovníc člen po člene dostaneme rovnicu s jednou premennou 3x=33. Jednu z rovníc sústavy, napríklad prvú, nahraďme rovnicou 3x=33. Zoberme si systém
$$ \vľavo\( \začiatok(pole)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \koniec(pole) \vpravo. $$

Z rovnice 3x=33 zistíme, že x=11. Dosadením tejto hodnoty x do rovnice \(x-3y=38\) dostaneme rovnicu s premennou y: \(11-3y=38\). Poďme vyriešiť túto rovnicu:
\(-3y=27 \šípka doprava y=-9 \)

Tak sme našli riešenie sústavy rovníc sčítaním: \(x=11; y=-9\) alebo \((11;-9)\)

Využijúc fakt, že v rovniciach sústavy sú koeficienty pre y opačné čísla, zredukovali sme jej riešenie na riešenie ekvivalentnej sústavy (sčítaním oboch strán každej z rovníc pôvodnej sústavy), v ktorej jedna rovníc obsahuje iba jednu premennú.

SYSTÉMY LINEÁRNYCH ROVNIC

I. Vyjadrenie problému.

II. Kompatibilita homogénnych a heterogénnych systémov.

III. systém T rovnice s T neznámy. Cramerovo pravidlo.

IV. Maticová metóda riešenia sústav rovníc.

V. Gaussova metóda.

I. Vyjadrenie problému.

Systém rovníc tvaru

nazývaný systém m lineárne rovnice s n neznámy
. Koeficienty rovníc tohto systému sú zapísané vo forme matice

ktorá sa volá matice systému (1).

Čísla na pravej strane rovníc tvoria stĺpec voľných členov {B}:

.

Ak stĺpec ( B}={0 ), potom sa nazýva sústava rovníc homogénne. V opačnom prípade, keď ( B}≠{0 ) - systém heterogénne.

Sústavu lineárnych rovníc (1) je možné zapísať v maticovom tvare

[A]{X}={B}. (2)

Tu - stĺpec neznámych.

Riešenie sústavy rovníc (1) znamená nájdenie množiny n čísla
také, že pri dosadzovaní do systému (1) namiesto neznámych
každá rovnica systému sa zmení na identitu. čísla
sa nazývajú riešenie sústavy rovníc.

Systém lineárnych rovníc môže mať jedno riešenie

,

môže mať nespočetné množstvo riešení

alebo nemajú žiadne riešenia

.

Nazývame sústavy rovníc, ktoré nemajú riešenia nezlučiteľné. Ak má sústava rovníc aspoň jedno riešenie, potom sa nazýva kĺb. Sústava rovníc je tzv istý, ak má jedinečné riešenie a neistý, ak má nekonečne veľa riešení.

II. Kompatibilita homogénnych a heterogénnych systémov.

Podmienka kompatibility pre sústavu lineárnych rovníc (1) je formulovaná v Kronecker-Capelliho veta: systém lineárnych rovníc má aspoň jedno riešenie vtedy a len vtedy, ak sa hodnosť systémovej matice rovná hodnote rozšírenej matice:
.

Rozšírená systémová matica je matica získaná zo systémovej matice pridaním stĺpca voľných výrazov k nej vpravo:

.

Ak Rg AA* , potom je sústava rovníc nekonzistentná.

Homogénne sústavy lineárnych rovníc sú v súlade s Kronecker-Capelliho vetou vždy konzistentné. Uvažujme prípad homogénneho systému, v ktorom sa počet rovníc rovná počtu neznámych, tj. t = p. Ak sa determinant matice takéhoto systému nerovná nule, t.j.
, homogénna sústava má unikátne riešenie, ktoré je triviálne (nulové). Homogénne sústavy majú nekonečný počet riešení, ak medzi rovnicami sústavy sú lineárne závislé, t.j.
.

Príklad. Uvažujme homogénny systém troch lineárnych rovníc s tromi neznámymi:

a skúmať otázku počtu jej riešení. Každú z rovníc možno považovať za rovnicu roviny prechádzajúcej počiatkom súradníc ( D=0 ). Systém rovníc má jedinečné riešenie, keď sa všetky tri roviny pretínajú v jednom bode. Navyše ich normálne vektory nie sú koplanárne, a preto je podmienka splnená

.

Riešenie systému v tomto prípade X=0, r=0, z=0 .

Ak sú aspoň dve z troch rovín, napríklad prvá a druhá, rovnobežné, t.j. , potom sa determinant matice systému rovná nule a systém má nekonečný počet riešení. Riešením budú navyše súradnice X, r, z všetky body ležiace na priamke

Ak sa všetky tri roviny zhodujú, systém rovníc sa zredukuje na jednu rovnicu

,

a riešením budú súradnice všetkých bodov ležiacich v tejto rovine.

Pri štúdiu nehomogénnych systémov lineárnych rovníc sa otázka kompatibility rieši pomocou Kronecker-Capelliho vety. Ak sa počet rovníc v takomto systéme rovná počtu neznámych, potom systém má jedinečné riešenie, ak jeho determinant nie je rovný nule. V opačnom prípade je systém buď nekonzistentný, alebo má nekonečné množstvo riešení.

Príklad. Študujeme nehomogénny systém dvoch rovníc s dvoma neznámymi

.

Rovnice sústavy možno považovať za rovnice dvoch priamok v rovine. Systém je nekonzistentný, keď sú čiary rovnobežné, t.j.
,
. V tomto prípade je poradie matice systému 1:

Rg A=1 , pretože
,

a hodnosť rozšírenej matice
sa rovná dvom, pretože pre ňu možno ako základ moll zvoliť druhoradý druh obsahujúci tretí stĺpec.

V posudzovanom prípade Rg AA * .

Ak sa čiary zhodujú, t.j. , potom má sústava rovníc nekonečný počet riešení: súradnice bodov na priamke
. V tomto prípade Rg A= Rg A * =1.

Systém má unikátne riešenie, keď čiary nie sú rovnobežné, t.j.
. Riešením tohto systému sú súradnice priesečníka čiar

III. systémT rovnice sT neznámy. Cramerovo pravidlo.

Uvažujme o najjednoduchšom prípade, keď sa počet rovníc sústavy rovná počtu neznámych, t.j. m= n. Ak je determinant matice systému nenulový, riešenie systému možno nájsť pomocou Cramerovho pravidla:

(3)

Tu
- determinant matice systému,

je determinant matice získanej z [ A] výmena i stĺpec do stĺpca voľných členov:

.

Príklad. Riešte sústavu rovníc Cramerovou metódou.

Riešenie :

1) nájdite determinant systému

2) nájsť pomocné determinanty

3) nájdite riešenie systému pomocou Cramerovho pravidla:

Výsledok riešenia možno skontrolovať dosadením do sústavy rovníc

Získajú sa správne identity.

IV. Maticová metóda riešenia sústav rovníc.

Napíšme sústavu lineárnych rovníc v maticovom tvare (2)

[A]{X}={B}

a vynásobte pravú a ľavú stranu vzťahu (2) vľavo maticou [ A -1 ], inverzná matica systému:

[A -1 ][A]{X}=[A -1 ]{B}. (2)

Podľa definície inverznej matice je súčin [ A -1 ][A]=[E] a podľa vlastností matice identity [ E]{X}={X). Potom zo vzťahu (2") dostaneme

{X}=[A -1 ]{B}. (4)

Vzťah (4) je základom maticovej metódy riešenia sústav lineárnych rovníc: je potrebné nájsť maticu inverznú k matici sústavy a vynásobiť ňou stĺpcový vektor pravých častí sústavy vľavo.

Príklad. Riešime sústavu rovníc uvažovanú v predchádzajúcom príklade pomocou maticovej metódy.

Systémová matica
jeho determinant det A==183 .

Pravý bočný stĺpec
.

Ak chcete nájsť maticu [ A -1 ], nájdite maticu pripojenú k [ A]:

alebo

Vzorec na výpočet inverznej matice obsahuje
, Potom

Teraz môžeme nájsť riešenie systému

Potom sa konečne dostaneme .

V. Gaussova metóda.

Pri veľkom počte neznámych zahŕňa riešenie systému rovníc Cramerovou metódou alebo maticovou metódou výpočet determinantov vysokého rádu alebo invertovanie veľkých matíc. Tieto postupy sú veľmi náročné na prácu aj pre moderné počítače. Preto sa na riešenie systémov veľkého počtu rovníc často používa Gaussova metóda.

Gaussova metóda spočíva v postupnom odstraňovaní neznámych pomocou elementárnych transformácií rozšírenej matice systému. Elementárne maticové transformácie zahŕňajú permutáciu riadkov, sčítanie riadkov, násobenie riadkov inými číslami ako nula. V dôsledku transformácií je možné zredukovať maticu sústavy na hornú trojuholníkovú, na ktorej hlavnej uhlopriečke sú jednotky a pod hlavnou uhlopriečkou sú nuly. Toto je priamy prístup Gaussovej metódy. Opačná metóda spočíva v priamom určovaní neznámych, začínajúc od poslednej.

Ilustrujme si Gaussovu metódu na príklade riešenia sústavy rovníc

Pri prvom kroku dopredného zdvihu je zaistené, že koeficient
transformovaný systém sa stal rovnocenným 1 a koeficienty
A
otočil na nulu. Ak to chcete urobiť, vynásobte prvú rovnicu číslom 1/10 , vynásobte druhú rovnicu číslom 10 a pridajte ju k prvej, vynásobte tretiu rovnicu -10/2 a pridajte ho k prvému. Po týchto premenách dostaneme

V druhom kroku zabezpečíme, aby po transformáciách koeficient
sa stal rovnocenným 1 a koeficient
. Ak to chcete urobiť, vydeľte druhú rovnicu o 42 a vynásobte tretiu rovnicu číslom -42/27 a pridajte ho s druhým. Získame sústavu rovníc

V treťom kroku by sme mali dostať koeficient
. Ak to chcete urobiť, vydeľte tretiu rovnicu o (37 - 84/27) ; dostaneme

Tu sa priamy postup Gaussovej metódy končí, pretože matica systému je redukovaná na hornú trojuholníkovú:

Vykonaním spätného pohybu nájdeme neznáme

Kde X* - jedno z riešení nehomogénneho systému (2) (napríklad (4)), (E-A+A) tvorí jadro (nulový priestor) matice A.

Urobme skeletálny rozklad matrice (E-A+A):

E-A + A=Q·S

Kde Q n×n−r- hodnostná matica (Q) = n-r, S n-r×n-radová matica (S) = n-r.

Potom (13) môže byť napísané v nasledujúcom tvare:

x=x*+Q·k, ∀ k ∈ Rn-r.

Kde k=Sz.

takže, postup pri hľadaní všeobecného riešenia sústavy lineárnych rovníc využívajúce pseudoinverznú maticu možno znázorniť v tejto forme:

1. Výpočet pseudoinverznej matice A + .
2. Vypočítame konkrétne riešenie nehomogénneho systému lineárnych rovníc (2): X*=A + b.
3. Kontrolujeme kompatibilitu systému. Aby sme to dosiahli, vypočítame A.A. + b. Ak A.A. + b≠b, potom je systém nekonzistentný. V opačnom prípade pokračujeme v postupe.
4. Poďme na to E-A+A.
5. Robí rozklad kostry E-A + A=Q·S.
6. Budovanie riešenia

x=x*+Q·k, ∀ k ∈ Rn-r.

Riešenie systému lineárnych rovníc online

Online kalkulačka vám umožňuje nájsť všeobecné riešenie systému lineárnych rovníc s podrobným vysvetlením.

• systémy m lineárne rovnice s n neznámy.
  Riešenie sústavy lineárnych rovníc- toto je taká množina čísel ( x 1, x 2, …, x n), keď sa dosadí do každej z rovníc systému, získa sa správna rovnosť.
  Kde a ij, i = 1, ..., m; j = 1, …, n— systémové koeficienty;
  b i, i = 1, …, m- slobodní členovia;
  x j, j = 1, …, n- neznámy.
  Vyššie uvedený systém možno zapísať v maticovej forme: A X = B,
  
  
  
  
  Kde ( A|B) je hlavná matica systému;
  A— rozšírená matica systému;
  X— stĺpec neznámych;
  B— stĺpec voľných členov.
  Ak matica B nie je nulová matica ∅, potom sa tento systém lineárnych rovníc nazýva nehomogénny.
  Ak matica B= ∅, potom sa tento systém lineárnych rovníc nazýva homogénny. Homogénny systém má vždy nulové (triviálne) riešenie: x 1 = x 2 = …, x n = 0.
  Spojená sústava lineárnych rovníc je sústava lineárnych rovníc, ktorá má riešenie.
  Nekonzistentný systém lineárnych rovníc je neriešiteľný systém lineárnych rovníc.
  Určitý systém lineárnych rovníc je systém lineárnych rovníc, ktorý má jedinečné riešenie.
  Neurčitý systém lineárnych rovníc je sústava lineárnych rovníc s nekonečným počtom riešení.
• Sústavy n lineárnych rovníc s n neznámymi
  Ak sa počet neznámych rovná počtu rovníc, potom je matica štvorcová. Determinant matice sa nazýva hlavný determinant systému lineárnych rovníc a označuje sa symbolom Δ.
  Cramerova metóda na riešenie systémov n lineárne rovnice s n neznámy.
  Cramerovo pravidlo.
  Ak sa hlavný determinant systému lineárnych rovníc nerovná nule, potom je systém konzistentný a definovaný a jediné riešenie sa vypočíta pomocou Cramerových vzorcov:
  kde Δ i sú determinanty získané z hlavného determinantu systému Δ nahradením i stĺpca do stĺpca voľných členov. .
• Sústavy m lineárnych rovníc s n neznámymi
  Kroneckerova-Capelliho veta.
  
  
  Aby bol daný systém lineárnych rovníc konzistentný, je potrebné a postačujúce, aby sa hodnosť matice systému rovnala hodnosti rozšírenej matice systému, zvonil(Α) = zvonil(Α|B).
  Ak zvonil(Α) ≠ zvonil(Α|B), potom systém zjavne nemá žiadne riešenia.
  Ak zvonil(Α) = zvonil(Α|B), potom sú možné dva prípady:
  1) poradie (Α) = n(počet neznámych) - riešenie je jedinečné a možno ho získať pomocou Cramerových vzorcov;
  2) hodnosť (Α)< n - riešení je nekonečne veľa.
• Gaussova metóda na riešenie sústav lineárnych rovníc
  
  
  Vytvorme rozšírenú maticu ( A|B) daného systému z koeficientov neznámych a pravých strán.
  Gaussova metóda alebo metóda eliminácie neznámych pozostáva z redukcie rozšírenej matice ( A|B) pomocou elementárnych transformácií nad jeho radmi do diagonálneho tvaru (do horného trojuholníkového tvaru). Ak sa vrátime k sústave rovníc, všetky neznáme sú určené.
  Medzi elementárne transformácie cez reťazce patria:
  1) prehoďte dva riadky;
  2) násobenie reťazca číslom iným ako 0;
  3) pridanie ďalšieho reťazca do reťazca, vynásobeného ľubovoľným číslom;
  4) vyhodenie nulovej čiary.
  Rozšírená matica zredukovaná na diagonálny tvar zodpovedá lineárnemu systému ekvivalentnému danému, ktorého riešenie nespôsobuje ťažkosti. .
• Systém homogénnych lineárnych rovníc.
  Homogénny systém má tvar:
  
  zodpovedá maticovej rovnici A X = 0.
  1) Homogénny systém je vždy konzistentný, od r r(A) = r(A|B), vždy existuje nulové riešenie (0, 0, …, 0).
  2) Aby homogénna sústava mala nenulové riešenie, je potrebné a postačujúce, že r = r(A)< n , čo je ekvivalentné Δ = 0.
  3) Ak r< n , potom zjavne Δ = 0, potom vznikajú voľné neznáme c 1, c 2, …, c n-r, systém má netriviálne riešenia a je ich nekonečne veľa.
  4) Všeobecné riešenie X pri r< n možno zapísať v maticovej forme takto:
  X = c 1 X 1 + c 2 X 2 + … + c n-r X n-r,
  kde sú riešenia X1, X2, ..., Xn-r tvoria základný systém riešení.
  5) Základný systém riešení možno získať zo všeobecného riešenia homogénneho systému:
  
  ,
  ak postupne nastavíme hodnoty parametrov rovné (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1).
  Rozšírenie všeobecného riešenia z hľadiska základného systému riešení je záznam všeobecného riešenia vo forme lineárnej kombinácie riešení patriacich do fundamentálnej sústavy.
  Veta. Na to, aby sústava lineárnych homogénnych rovníc mala nenulové riešenie, je potrebné a postačujúce, aby Δ ≠ 0.
  Takže, ak je determinant Δ ≠ 0, potom má systém jedinečné riešenie.
  Ak Δ ≠ 0, potom systém lineárnych homogénnych rovníc má nekonečný počet riešení.
  Veta. Na to, aby homogénna sústava mala nenulové riešenie, je potrebné a postačujúce to r(A)< n .
  Dôkaz:
  1) r viac nemôže byť n(poradie matice nepresahuje počet stĺpcov alebo riadkov);
  2) r< n , pretože Ak r = n, potom hlavný determinant systému Δ ≠ 0 a podľa Cramerových vzorcov existuje jedinečné triviálne riešenie x 1 = x 2 = … = x n = 0, čo odporuje podmienke. znamená, r(A)< n .
  Dôsledok. Aby vznikol homogénny systém n lineárne rovnice s n neznáme mali nenulové riešenie, je potrebné a postačujúce, aby Δ = 0.

Rovnica má riešenie: ak je aspoň jeden z koeficientov neznámych odlišný od nuly. V tomto prípade sa akýkoľvek -rozmerný vektor nazýva riešením rovnice, ak sa pri dosadení jeho súradníc rovnica stane identitou.

Všeobecné charakteristiky riešenej sústavy rovníc

Opíšte sústavu rovníc.

Riešenie:

1. Ide o protichodnú rovnicu?(Ak koeficienty, v tomto prípade rovnica má tvar: a nazýva sa kontroverzný.)

• Ak systém obsahuje niečo protichodné, potom je takýto systém nekonzistentný a nemá riešenie.

2. Nájdite všetky povolené premenné. (Neznámy sa volápovolenej pre sústavu rovníc, ak je zahrnutá v jednej z rovníc sústavy s koeficientom +1, ale nie je zahrnutá v zostávajúcich rovniciach (t. j. je zahrnutá s koeficientom rovným nule).

3. Je systém rovníc vyriešený? (Systém rovníc sa nazýva vyriešený, ak každá rovnica systému obsahuje vyriešenú neznámu, medzi ktorými nie sú žiadne zhodné)

Vyriešené neznáme, prevzaté z každej rovnice systému, tvoria úplný súbor vyriešených neznámych systémov. (v našom príklade je to toto)

Povolené neznáme zahrnuté v kompletnej sade sú tiež tzv základné() a nie sú súčasťou súpravy - zadarmo ().

V tejto fáze je hlavnou vecou pochopiť, čo to je vyriešené neznáme(zahrnuté v základe a zadarmo).

Všeobecné Konkrétne Základné riešenia

Všeobecné riešenie vyriešený systém rovníc je množina vyjadrení vyriešených neznámych cez voľné členy a voľné neznáme:

Súkromné ​​rozhodnutie sa nazýva riešenie, ktoré sa získa zo všeobecného riešenia pre konkrétne hodnoty voľných premenných a neznámych.

Základné riešenie je konkrétne riešenie získané zo všeobecného riešenia pre nulové hodnoty voľných premenných.

• Základné riešenie (vektor) je tzv degenerovať, ak počet jeho nenulových súradníc je menší ako počet povolených neznámych.
• Základné riešenie je tzv nedegenerované, ak sa počet jeho nenulových súradníc rovná počtu povolených neznámych systému zahrnutého v kompletnej množine.

Veta (1)

Vyriešený systém rovníc je vždy konzistentný(pretože má aspoň jedno riešenie); Navyše, ak systém nemá voľné neznáme,(to znamená, že v systéme rovníc sú v základe zahrnuté všetky povolené) potom je to definované(má jedinečné riešenie); ak existuje aspoň jedna voľná premenná, potom systém nie je definovaný(má nekonečný počet riešení).

Riešenie:

1. Kontrolujeme, či je systém autorizovaný?

• Systém je vyriešený (keďže každá z rovníc obsahuje vyriešenú neznámu)

2. Do množiny zaraďujeme povolené neznáme – jednu z každej rovnice.

3. Všeobecné riešenie zapíšeme podľa toho, aké povolené neznáme sme do množiny zaradili.

4. Nájdenie súkromného riešenia. Aby sme to dosiahli, porovnávame voľné premenné, ktoré sme do množiny nezahrnuli, s ľubovoľnými číslami.

odpoveď: súkromné ​​riešenie(jedna z možností)

5. Nájdenie základného riešenia. Aby sme to urobili, prirovnáme voľné premenné, ktoré sme do množiny nezahrnuli, na nulu.

Elementárne transformácie lineárnych rovníc

Systémy lineárnych rovníc sú pomocou elementárnych transformácií redukované na ekvivalentné rozlíšené systémy.

Veta (2)

Ak nejaký vynásobte rovnicu sústavy nejakým nenulovým číslom a zvyšok rovníc ponechajte nezmenený, potom . (to znamená, že ak vynásobíte ľavú a pravú stranu rovnice rovnakým číslom, dostanete rovnicu ekvivalentnú tejto rovnici)

Veta (3)

Ak pridať ďalšie do ľubovoľnej rovnice systému a potom ponechajte všetky ostatné rovnice nezmenené dostaneme systém ekvivalentný tomuto. (to znamená, že ak pridáte dve rovnice (sčítaním ich ľavej a pravej strany), dostanete rovnicu ekvivalentnú údajom)

Dôsledok viet (2 a 3)

Ak pridať ďalšiu rovnicu k rovnici vynásobenej určitým číslom a ponechajte všetky ostatné rovnice nezmenené, potom dostaneme systém ekvivalentný tomuto.

Vzorce na prepočet systémových koeficientov

Ak máme sústavu rovníc a chceme ju pretransformovať na vyriešenú sústavu rovníc, pomôže nám v tom Jordan-Gaussova metóda.

Jordanova transformácia s rozlišovacím prvkom umožňuje získať pre sústavu rovníc vyriešenú neznámu v rovnici s číslom . (príklad 2).

Povedzme, že z neznámej v spodnej rovnici chceme urobiť vyriešenú neznámu. Aby sme to dosiahli, musíme vydeliť , takže súčet je .

Pri delení rovnice číslom číslom sa jej koeficienty prepočítajú pomocou vzorcov:

Ak chcete vylúčiť z rovnice s číslom , musíte rovnicu s číslom vynásobiť a pridať k tejto rovnici.

Veta (4) O znížení počtu rovníc systému.

Ak systém rovníc obsahuje triviálnu rovnicu, možno ju zo systému vylúčiť a získa sa systém ekvivalentný pôvodnej.

Veta (5) O nezlučiteľnosti sústavy rovníc.

Ak sústava rovníc obsahuje nekonzistentnú rovnicu, potom je nekonzistentná.

Algoritmus Jordanovej-Gaussovej metódy

Algoritmus na riešenie systémov rovníc pomocou metódy Jordan-Gauss pozostáva z niekoľkých podobných krokov, z ktorých každý sa vykonáva v nasledujúcom poradí:

1. Skontroluje, či systém nie je konzistentný. Ak systém obsahuje nekonzistentnú rovnicu, potom je nekonzistentný.
2. Kontroluje sa možnosť zníženia počtu rovníc. Ak sústava obsahuje triviálnu rovnicu, prečiarkne sa.
3. Ak je systém rovníc vyriešený, zapíšte si všeobecné riešenie systému a ak je to potrebné, konkrétne riešenia.
4. Ak systém nie je vyriešený, potom v rovnici, ktorá neobsahuje vyriešenú neznámu, sa vyberie rozlišovací prvok a s týmto prvkom sa vykoná Jordanova transformácia.
5. Potom sa vráťte k bodu 1

Nájsť: dve všeobecné a dve zodpovedajúce základné riešenia

Riešenie:

Výpočty sú uvedené v tabuľke nižšie:

Napravo od tabuľky sú akcie s rovnicami. Šípky označujú, ku ktorej rovnici je pridaná rovnica s rozlišovacím prvkom, vynásobená vhodným koeficientom.

Prvé tri riadky tabuľky obsahujú koeficienty neznámych a pravé strany pôvodného systému. Výsledky prvej Jordanovej transformácie s rozlišovacím prvkom rovným jednej sú uvedené v riadkoch 4, 5, 6. Výsledky druhej Jordanovej transformácie s rozlišovacím prvkom rovným (-1) sú uvedené v riadkoch 7, 8, 9 Keďže tretia rovnica je triviálna, možno ju vynechať.