Ako je indikovaná disperzia? Absolútne variácie

.

Naopak, ak je nezáporné a.e. fungovať tak, že , potom existuje absolútne spojitá miera pravdepodobnosti na takej, že je to jej hustota.

Nahradenie miery v Lebesgueovom integráli:

,

kde je akákoľvek Borelova funkcia, ktorá je integrovateľná vzhľadom na mieru pravdepodobnosti.

Disperzia, druhy a vlastnosti disperzie Pojem disperzia

Rozptyl v štatistike sa zistí ako štandardná odchýlka jednotlivých hodnôt charakteristiky na druhú od aritmetického priemeru. V závislosti od počiatočných údajov sa určuje pomocou jednoduchých a vážených vzorcov rozptylu:

1. Jednoduchá variácia(pre nezoskupené údaje) sa vypočíta pomocou vzorca:

2. Vážená odchýlka (pre série variácií):

kde n je frekvencia (opakovateľnosť faktora X)

Príklad hľadania rozptylu

Táto stránka popisuje štandardný príklad hľadania odchýlky, môžete sa pozrieť aj na iné problémy na jej nájdenie

Príklad 1. Určenie skupinového, skupinového priemeru, medziskupinového a celkového rozptylu

Príklad 2. Nájdenie rozptylu a variačného koeficientu v tabuľke zoskupení

Príklad 3. Hľadanie rozptylu v diskrétnom rade

Príklad 4. Nasledujúce údaje sú dostupné pre skupinu 20 korešpondenčných študentov. Je potrebné zostrojiť intervalový rad rozdelenia charakteristiky, vypočítať priemernú hodnotu charakteristiky a študovať jej rozptyl

Zostavme intervalové zoskupenie. Určme rozsah intervalu pomocou vzorca:

kde X max je maximálna hodnota charakteristiky zoskupenia; X min – minimálna hodnota zoskupovacej charakteristiky; n – počet intervalov:

Akceptujeme n=5. Krok je: h = (192 - 159)/5 = 6,6

Vytvorme intervalové zoskupenie

Pre ďalšie výpočty vytvoríme pomocnú tabuľku:

X"i – stred intervalu. (napríklad stred intervalu 159 – 165,6 = 162,3)

Priemernú výšku študentov určíme pomocou vzorca váženého aritmetického priemeru:

Poďme určiť rozptyl pomocou vzorca:

Vzorec je možné transformovať takto:

Z tohto vzorca to vyplýva rozptyl sa rovná rozdiel medzi priemerom druhých mocnín možností a druhou mocninou a priemerom.

Rozptyl vo variačných sériách s rovnakými intervalmi pomocou metódy momentov možno vypočítať nasledujúcim spôsobom pomocou druhej vlastnosti disperzie (vydelením všetkých možností hodnotou intervalu). Určenie rozptylu, vypočítané pomocou metódy momentov, pomocou nasledujúceho vzorca je menej prácne:

kde i je hodnota intervalu; A je konvenčná nula, pre ktorú je vhodné použiť stred intervalu s najvyššou frekvenciou; m1 je druhá mocnina momentu prvého rádu; m2 - moment druhého rádu

Alternatívny rozptyl vlastností (ak sa v štatistickej populácii charakteristika zmení tak, že existujú iba dve vzájomne sa vylučujúce možnosti, potom sa takáto variabilita nazýva alternatívna) možno vypočítať pomocou vzorca:

Dosadením q = 1- p do tohto disperzného vzorca dostaneme:

Typy rozptylu

Celkový rozptyl meria variácie charakteristiky v celej populácii ako celku pod vplyvom všetkých faktorov, ktoré spôsobujú túto variáciu. Rovná sa strednej štvorci odchýlok jednotlivých hodnôt charakteristiky x od celkovej strednej hodnoty x a možno ju definovať ako jednoduchý rozptyl alebo vážený rozptyl.

Rozptyl v rámci skupiny charakterizuje náhodnú variáciu, t.j. časť variácie, ktorá je spôsobená vplyvom nezapočítaných faktorov a nezávisí od atribútu faktora, ktorý tvorí základ skupiny. Takáto disperzia sa rovná strednej štvorci odchýlok jednotlivých hodnôt atribútu v rámci skupiny X od aritmetického priemeru skupiny a možno ju vypočítať ako jednoduchú disperziu alebo ako váženú disperziu.

teda merania rozptylu v rámci skupiny variácia vlastnosti v rámci skupiny a je určená vzorcom:

kde xi je priemer skupiny; ni je počet jednotiek v skupine.

Napríklad vnútroskupinové odchýlky, ktoré je potrebné určiť pri úlohe študovať vplyv kvalifikácie pracovníkov na úroveň produktivity práce v dielni, vykazujú odchýlky vo výstupe v každej skupine spôsobené všetkými možnými faktormi (technický stav zariadení, dostupnosť nástroje a materiály, vek pracovníkov, pracovná náročnosť atď.), okrem rozdielov v kvalifikačnej kategórii (v rámci skupiny majú všetci pracovníci rovnakú kvalifikáciu).

Priemer odchýlok v rámci skupiny odzrkadľuje náhodnú variáciu, to znamená tú časť variácie, ktorá sa vyskytla pod vplyvom všetkých ostatných faktorov, s výnimkou faktora zoskupovania. Vypočíta sa pomocou vzorca:

Medziskupinový rozptyl charakterizuje systematickú variáciu výslednej charakteristiky, ktorá je spôsobená vplyvom faktora-atribútu, ktorý tvorí základ skupiny. Rovná sa strednej štvorci odchýlok skupinových priemerov od celkového priemeru. Medziskupinový rozptyl sa vypočíta podľa vzorca:

Podľa výberového prieskumu boli vkladatelia zoskupení podľa veľkosti ich vkladu v mestskej Sberbank:

Definuj:

1) rozsah zmeny;

2) priemerná veľkosť vkladu;

3) priemerná lineárna odchýlka;

4) disperzia;

5) štandardná odchýlka;

6) variačný koeficient príspevkov.

Riešenie:

Tento distribučný rad obsahuje otvorené intervaly. V takýchto sériách sa bežne predpokladá, že hodnota intervalu prvej skupiny sa rovná hodnote intervalu ďalšej skupiny a hodnota intervalu poslednej skupiny sa rovná hodnote intervalu predchádzajúci.

Hodnota intervalu druhej skupiny je rovná 200, teda hodnota prvej skupiny je tiež rovná 200. Hodnota intervalu predposlednej skupiny je rovná 200, čo znamená, že aj posledný interval bude majú hodnotu 200.

1) Definujme rozsah variácie ako rozdiel medzi najväčšou a najmenšou hodnotou atribútu:

Rozsah variácií veľkosti vkladu je 1 000 rubľov.

2) Priemerná výška príspevku sa určí pomocou vzorca váženého aritmetického priemeru.

Najprv určme diskrétnu hodnotu atribútu v každom intervale. Aby sme to dosiahli, pomocou jednoduchého vzorca aritmetického priemeru nájdeme stredy intervalov.

Priemerná hodnota prvého intervalu bude:

druhý - 500 atď.

Výsledky výpočtu zapíšeme do tabuľky:

Priemerný vklad v mestskej Sberbank bude 780 rubľov:

3) Priemerná lineárna odchýlka je aritmetický priemer absolútnych odchýlok jednotlivých hodnôt charakteristiky od celkového priemeru:

Postup výpočtu priemernej lineárnej odchýlky v rade intervalového rozdelenia je nasledujúci:

1. Vážený aritmetický priemer sa vypočíta tak, ako je uvedené v odseku 2).

2. Absolútne odchýlky od priemeru sa určujú:

3. Výsledné odchýlky sa vynásobia frekvenciami:

4. Nájdite súčet vážených odchýlok bez zohľadnenia znamienka:

5. Súčet vážených odchýlok sa vydelí súčtom frekvencií:

Je vhodné použiť tabuľku údajov výpočtu:

Priemerná lineárna odchýlka veľkosti vkladu klientov Sberbank je 203,2 rubľov.

4) Disperzia je aritmetický priemer druhej mocniny odchýlok každej hodnoty atribútu od aritmetického priemeru.

Výpočet rozptylu v intervaloch distribučných radov sa vykonáva pomocou vzorca:

Postup na výpočet rozptylu je v tomto prípade nasledujúci:

1. Určite vážený aritmetický priemer, ako je uvedené v odseku 2).

2. Nájdite odchýlky od priemeru:

3. Druhá mocnina odchýlky každej možnosti od priemeru:

4. Vynásobte druhé mocniny odchýlok váhami (frekvenciami):

5. Zhrňte výsledné produkty:

6. Výsledná suma sa vydelí súčtom váh (frekvencií):

Uveďme výpočty do tabuľky:

Rozsah variácií (alebo rozsah variácií) - toto je rozdiel medzi maximálnymi a minimálnymi hodnotami charakteristiky:

V našom príklade je rozsah variácie zmenového výkonu pracovníkov: v prvej brigáde R = 105-95 = 10 detí, v druhej brigáde R = 125-75 = 50 detí. (5 krát viac). To naznačuje, že výkon 1. brigády je „stabilnejší“, ale druhá brigáda má väčšie rezervy na zvýšenie výkonu, pretože Ak všetci pracovníci dosiahnu maximálny výkon pre túto brigádu, môže vyrobiť 3 * 125 = 375 dielov a v 1. brigáde len 105 * 3 = 315 dielov.
Ak extrémne hodnoty charakteristiky nie sú typické pre populáciu, potom sa použijú kvartilové alebo decilové rozsahy. Kvartilový rozsah RQ= Q3-Q1 pokrýva 50 % objemu populácie, prvý decilový rozsah RD1 = D9-D1 pokrýva 80 % údajov, druhý decilový rozsah RD2= D8-D2 – 60 %.
Nevýhodou indikátora variačného rozsahu je, že jeho hodnota neodráža všetky výkyvy znaku.
Najjednoduchší všeobecný ukazovateľ odrážajúci všetky výkyvy charakteristiky je priemerná lineárna odchýlka, čo je aritmetický priemer absolútnych odchýlok jednotlivých opcií od ich priemernej hodnoty:

,
pre zoskupené údaje
,
kde xi je hodnota atribútu v diskrétnom rade alebo stred intervalu v intervalovom rozdelení.
Vo vyššie uvedených vzorcoch sa rozdiely v čitateli berú modulo, inak podľa vlastnosti aritmetického priemeru bude čitateľ vždy rovný nule. Preto sa priemerná lineárna odchýlka v štatistickej praxi používa zriedka, iba v prípadoch, keď sčítanie ukazovateľov bez zohľadnenia znamienka dáva ekonomický zmysel. S jeho pomocou sa analyzuje napríklad zloženie pracovnej sily, ziskovosť výroby, obrat zahraničného obchodu.
Rozmanitosť vlastnosti je priemerná štvorec odchýlok od ich priemernej hodnoty:
jednoduchý rozptyl
,
rozptyl vážený
.
Vzorec na výpočet rozptylu možno zjednodušiť:

Rozptyl sa teda rovná rozdielu medzi priemerom druhých mocnín opcie a druhou mocninou priemeru opcie populácie:
.
V dôsledku súčtu štvorcových odchýlok však rozptyl poskytuje skreslenú predstavu o odchýlkach, takže priemer sa vypočítava na základe neho smerodajná odchýlka, ktorý ukazuje, o koľko sa v priemere konkrétne varianty znaku odchyľujú od svojej priemernej hodnoty. Vypočítané pomocou druhej odmocniny rozptylu:
pre nezoskupené údaje
,
pre variačné série

Čím je hodnota rozptylu a smerodajnej odchýlky menšia, čím je populácia homogénnejšia, tým spoľahlivejšia (typickejšia) bude priemerná hodnota.
Priemerná lineárna a smerodajná odchýlka sú pomenované čísla, t.j. sú vyjadrené v merných jednotkách charakteristiky, sú obsahovo identické a významovo blízke.
Odporúča sa vypočítať absolútne odchýlky pomocou tabuliek.
Tabuľka 3 - Výpočet variačných charakteristík (na príklade obdobia údajov o zmenovom výkone pracovníkov posádky)

Priemerný zmenový výkon pracovníkov:

Priemerná lineárna odchýlka:

Výrobný rozptyl:

Smerodajná odchýlka výkonu jednotlivých pracovníkov od priemerného výkonu:
.

1 Výpočet rozptylu pomocou metódy momentov

Výpočet rozptylov zahŕňa ťažkopádne výpočty (najmä ak je priemer vyjadrený ako veľké číslo s niekoľkými desatinnými miestami). Výpočty je možné zjednodušiť použitím zjednodušeného vzorca a disperzných vlastností.
Disperzia má nasledujúce vlastnosti:

1. Ak sa všetky hodnoty charakteristiky znížia alebo zvýšia o rovnakú hodnotu A, rozptyl sa nezníži:

,

, potom alebo
Pomocou vlastností disperzie a najprv zmenšením všetkých variantov populácie o hodnotu A a následným delením hodnotou intervalu h dostaneme vzorec na výpočet disperzie vo variačných radoch s rovnakými intervalmi. svojím spôsobom:
,
kde je rozptyl vypočítaný pomocou metódy momentov;
h – hodnota intervalu variačného radu;
– možnosť nových (transformovaných) hodnôt;
A je konštantná hodnota, ktorá sa používa ako stred intervalu s najvyššou frekvenciou; alebo možnosť s najvyššou frekvenciou;
– druhá mocnina momentu prvého rádu;
– moment druhého rádu.
Vypočítajme rozptyl pomocou metódy momentov na základe údajov o zmenovom výkone pracovníkov tímu.
Tabuľka 4 - Výpočet rozptylu pomocou metódy momentov

Postup výpočtu:

1. Vypočítame rozptyl:

2 Výpočet rozptylu alternatívnej charakteristiky

Medzi charakteristikami, ktoré študuje štatistika, sú aj také, ktoré majú len dva vzájomne sa vylučujúce významy. Toto sú alternatívne znaky. Sú uvedené v dvoch kvantitatívnych hodnotách: možnosti 1 a 0. Frekvencia možnosti 1, ktorá je označená p, je podiel jednotiek s touto charakteristikou. Rozdiel 1-р=q je frekvencia možností 0.

Aritmetický priemer alternatívneho znamienka
pretože p+q=1.

Alternatívny rozptyl vlastností
, pretože 1-R=q
Rozptyl alternatívnej charakteristiky sa teda rovná súčinu podielu jednotiek s touto charakteristikou a podielu jednotiek, ktoré túto charakteristiku nemajú.
Ak sa hodnoty 1 a 0 vyskytujú rovnako často, t.j. p=q, rozptyl dosahuje maximum pq=0,25.
Rozptyl alternatívneho atribútu sa používa vo výberových prieskumoch, napríklad kvality produktov.

3 Rozdiel medzi skupinami. Pravidlo sčítania odchýlky

Disperzia, na rozdiel od iných charakteristík variácie, je aditívna veličina. Teda v súhrne, ktorý je rozdelený do skupín podľa faktorových charakteristík X , rozptyl výslednej charakteristiky r možno rozložiť na rozptyl v rámci každej skupiny (v rámci skupín) a rozptyl medzi skupinami (medzi skupinami). Potom, spolu so štúdiom variácií vlastnosti v celej populácii ako celku, je možné študovať variácie v každej skupine, ako aj medzi týmito skupinami.

Celkový rozptyl meria variáciu vlastnosti pri v celom rozsahu pod vplyvom všetkých faktorov, ktoré túto odchýlku (odchýlky) spôsobili. Rovná sa strednej štvorcovej odchýlke jednotlivých hodnôt atribútu pri z veľkého priemeru a možno ho vypočítať ako jednoduchý alebo vážený rozptyl.
Medziskupinový rozptyl charakterizuje variáciu výsledného znaku pri spôsobené vplyvom faktora-znamenia X, ktoré tvorili základ zoskupenia. Charakterizuje variáciu skupinových priemerov a rovná sa strednej štvorci odchýlok skupinových priemerov od celkového priemeru:
,
kde je aritmetický priemer i-tej skupiny;
– počet jednotiek v i-tej skupine (frekvencia i-tej skupiny);
– celkový priemer obyvateľstva.
Rozptyl v rámci skupiny odráža náhodnú variáciu, t. j. tú časť variácie, ktorá je spôsobená vplyvom nezapočítaných faktorov a nezávisí od atribútu faktora, ktorý tvorí základ zoskupenia. Charakterizuje variáciu individuálnych hodnôt vo vzťahu k skupinovým priemerom a rovná sa strednej štvorcovej odchýlke jednotlivých hodnôt atribútu pri v rámci skupiny z aritmetického priemeru tejto skupiny (priemer skupiny) a vypočíta sa ako jednoduchý alebo vážený rozptyl pre každú skupinu:
alebo ,
kde je počet jednotiek v skupine.
Na základe rozdielov v rámci skupiny pre každú skupinu je možné určiť celkový priemer odchýlok v rámci skupiny:
.
Vzťah medzi tromi disperziami je tzv pravidlá pre pridávanie odchýlok, podľa ktorého sa celkový rozptyl rovná súčtu rozptylu medzi skupinami a priemeru rozptylov v rámci skupiny:

Príklad. Pri skúmaní vplyvu tarifnej kategórie (kvalifikácie) pracovníkov na úroveň produktivity ich práce boli získané nasledujúce údaje.
Tabuľka 5 – Rozdelenie pracovníkov podľa priemerného hodinového výkonu.

V tomto príklade sú pracovníci rozdelení do dvoch skupín podľa faktorových charakteristík X– kvalifikácie, ktoré sú charakterizované ich hodnosťou. Výsledný znak – produkcia – sa mení pod jeho vplyvom (medziskupinová variácia), ako aj v dôsledku iných náhodných faktorov (vnútroskupinová variácia). Cieľom je merať tieto variácie pomocou troch rozptylov: celkových, medzi skupinami a v rámci skupín. Empirický koeficient determinácie ukazuje podiel variácií vo výslednej charakteristike pri pod vplyvom znamienka faktora X. Zvyšok celkovej variácie pri spôsobené zmenami iných faktorov.
V tomto príklade je empirický koeficient determinácie:
alebo 66,7 %,
To znamená, že 66,7 % variácií v produktivite pracovníkov je spôsobených rozdielmi v kvalifikácii a 33,3 % je spôsobených vplyvom iných faktorov.
Empirický korelačný vzťah ukazuje úzke prepojenie medzi zoskupovaním a výkonnostnými charakteristikami. Vypočítané ako druhá odmocnina empirického koeficientu determinácie:

Empirický korelačný pomer, ako napríklad , môže nadobúdať hodnoty od 0 do 1.
Ak nie je spojenie, potom = 0. V tomto prípade = 0, to znamená, že priemery skupín sú navzájom rovnaké a neexistuje žiadna medziskupinová variácia. To znamená, že charakteristika zoskupenia - faktor neovplyvňuje tvorbu všeobecnej variácie.
Ak je spojenie funkčné, potom =1. V tomto prípade sa rozptyl priemerov skupiny rovná celkovému rozptylu (), to znamená, že v rámci skupiny neexistuje variácia. To znamená, že charakteristika zoskupenia úplne určuje variáciu výslednej charakteristiky, ktorá sa skúma.
Čím je hodnota korelačného pomeru bližšie k jednote, tým bližšie, bližšie k funkčnej závislosti, je spojenie medzi charakteristikami.
Na kvalitatívne posúdenie tesnej súvislosti medzi charakteristikami sa používajú Chaddockove vzťahy.

V príklade , čo naznačuje úzku súvislosť medzi produktivitou pracovníkov a ich kvalifikáciou.

Rozptyl v štatistike je definovaný ako štandardná odchýlka jednotlivých hodnôt charakteristiky na druhú od aritmetického priemeru. Bežná metóda na výpočet druhej mocniny odchýlok možností od priemeru a ich následné spriemerovanie.

V ekonomickej štatistickej analýze je zvykom hodnotiť variáciu charakteristiky najčastejšie pomocou štandardnej odchýlky, je to druhá odmocnina rozptylu.

(3)

Charakterizuje absolútne kolísanie hodnôt meniacej sa charakteristiky a vyjadruje sa v rovnakých jednotkách merania ako možnosti. V štatistikách je často potrebné porovnávať variácie rôznych charakteristík. Na takéto porovnania sa používa relatívna miera variácie, koeficient variácie.

Disperzné vlastnosti:

1) ak odpočítate akékoľvek číslo od všetkých možností, rozptyl sa nezmení;

2) ak sú všetky hodnoty možnosti delené ľubovoľným číslom b, potom sa rozptyl zníži o b^2 krát, t.j.

3) ak vypočítate priemernú druhú mocninu odchýlok od akéhokoľvek čísla s nerovnakým aritmetickým priemerom, potom bude väčší ako rozptyl. Zároveň o presne definovanú hodnotu na štvorec rozdielu medzi priemernou hodnotou c.

Disperzia môže byť definovaná ako rozdiel medzi strednou druhou mocninou a strednou druhou mocninou.

17. Skupinové a medziskupinové variácie. Pravidlo sčítania odchýlky

Ak je štatistická populácia rozdelená do skupín alebo častí podľa sledovanej charakteristiky, potom je možné pre takúto populáciu vypočítať nasledujúce typy rozptylu: skupinový (súkromný), skupinový priemer (súkromný) a medziskupinový.

Celkový rozptyl– odráža variáciu charakteristiky v dôsledku všetkých podmienok a príčin pôsobiacich v danej štatistickej populácii.

Skupinový rozptyl- rovná sa strednej štvorci odchýlok jednotlivých hodnôt charakteristiky v rámci skupiny od aritmetického priemeru tejto skupiny, nazývanej skupinový priemer. Skupinový priemer sa však nezhoduje s celkovým priemerom za celú populáciu.

Skupinová odchýlka odráža variáciu vlastnosti iba v dôsledku podmienok a príčin pôsobiacich v rámci skupiny.

Priemer skupinových rozptylov- je definovaný ako vážený aritmetický priemer skupinových rozptylov, pričom váhy sú objemy skupín.

Medziskupinový rozptyl- rovná sa strednej štvorci odchýlok skupinových priemerov od celkového priemeru.

Medziskupinová disperzia charakterizuje variáciu efektívnej charakteristiky v dôsledku skupinovej charakteristiky.

Medzi uvažovanými typmi disperzií existuje určitý vzťah: celková disperzia sa rovná súčtu priemernej skupinovej a medziskupinovej disperzie.

Tento vzťah sa nazýva pravidlo sčítania rozptylu.

18. Dynamický rad a jeho zložky. Typy časových radov.

Riadok v štatistike- ide o digitálne dáta, ktoré zobrazujú zmenu javu v čase alebo priestore a umožňujú štatistické porovnanie javov ako v procese ich vývoja v čase, tak aj v rôznych formách a typoch procesov. Vďaka tomu je možné odhaliť vzájomnú závislosť javov.

V štatistike sa proces vývoja pohybu sociálnych javov v čase zvyčajne nazýva dynamika. Na zobrazenie dynamiky sa zostavujú dynamické rady (chronologické, časové), čo sú série časovo premenných hodnôt štatistického ukazovateľa (napríklad počet odsúdených nad 10 rokov), usporiadaných v chronologickom poradí. Ich základnými prvkami sú digitálne hodnoty daného ukazovateľa a obdobia alebo časové body, ku ktorým sa vzťahujú.

Najdôležitejšia charakteristika dynamických sérií- ich veľkosť (objem, veľkosť) určitého javu dosiahnutého v určitom období alebo v určitom okamihu. V súlade s tým je veľkosť členov radu dynamiky jeho úrovňou. Rozlišovať počiatočná, stredná a záverečná úroveň dynamickej série. Prvá úroveň zobrazuje hodnotu prvého, konečného - hodnotu posledného termínu série. Priemerná úroveň predstavuje priemerný chronologický variačný rozsah a vypočítava sa v závislosti od toho, či je dynamický rad intervalový alebo okamžitý.

Ďalšia dôležitá charakteristika dynamickej série- čas, ktorý uplynul od počiatočného do posledného pozorovania, alebo počet takýchto pozorovaní.

Existujú rôzne typy časových radov, ktoré možno klasifikovať podľa nasledujúcich kritérií.

1) V závislosti od spôsobu vyjadrenia úrovní sa rady dynamiky delia na rady absolútnych a derivačných ukazovateľov (relatívne a priemerné hodnoty).

2) V závislosti od toho, ako úrovne radu vyjadrujú stav javu v určitých časových bodoch (na začiatku mesiaca, štvrťroka, roka atď.) alebo jeho hodnotu v určitých časových intervaloch (napríklad za deň, mesiac, rok atď.) atď.), rozlišovať medzi časovými a intervalovými dynamickými radmi, resp. Momentové rady sa v analytickej práci orgánov činných v trestnom konaní používajú pomerne zriedka.

V štatistickej teórii sa dynamika rozlišuje podľa množstva iných klasifikačných kritérií: v závislosti od vzdialenosti medzi úrovňami - s rovnakými úrovňami a nerovnakými úrovňami v čase; v závislosti od prítomnosti hlavnej tendencie skúmaného procesu - stacionárneho a nestacionárneho. Pri analýze časových radov vychádzajú z nasledujúcich úrovní radov sú prezentované vo forme komponentov:

Yt = TP + E (t)

kde TP je deterministický komponent, ktorý určuje všeobecnú tendenciu zmeny v čase alebo trendu.

E (t) je náhodná zložka, ktorá spôsobuje kolísanie hladín.

Typy disperzií:

Celkový rozptyl charakterizuje variáciu charakteristiky celej populácie pod vplyvom všetkých faktorov, ktoré túto variáciu spôsobili. Táto hodnota je určená vzorcom

kde je celkový aritmetický priemer celej skúmanej populácie.

Priemerný rozptyl v rámci skupiny označuje náhodnú variáciu, ktorá môže vzniknúť pod vplyvom akýchkoľvek nezapočítaných faktorov a ktorá nezávisí od atribútu faktora, ktorý tvorí základ zoskupenia. Tento rozptyl sa vypočíta takto: najprv sa vypočítajú rozptyly pre jednotlivé skupiny (), potom sa vypočíta priemerný rozptyl v rámci skupiny:

kde n i je počet jednotiek v skupine

Medziskupinový rozptyl(rozptyl skupinových prostriedkov) charakterizuje systematickú variáciu, t.j. rozdiely v hodnote skúmanej charakteristiky, ktoré vznikajú pod vplyvom faktora-znaku, ktorý tvorí základ zoskupenia.

kde je priemerná hodnota pre samostatnú skupinu.

Všetky tri typy rozptylu spolu súvisia: celkový rozptyl sa rovná súčtu priemerného rozptylu v rámci skupiny a rozptylu medzi skupinami:

Vlastnosti:

25 Relatívne miery variácie

Coef. Osc. O odráža relatívne kolísanie extrémnych hodnôt charakteristiky okolo priemeru. Rel. lin. vypnuté. charakterizuje podiel priemernej hodnoty znamienka absolútnych odchýlok od priemernej hodnoty. Coef. Variácia je najbežnejšou mierou variability používanou na hodnotenie typickosti priemerov.

V štatistike sa populácie s variačným koeficientom vyšším ako 30–35 % považujú za heterogénne.

Pravidelnosť distribučných sérií. Momenty distribúcie. Indikátory tvaru distribúcie

Vo variačných sériách existuje spojenie medzi frekvenciami a hodnotami premenlivej charakteristiky: so zvýšením charakteristiky sa hodnota frekvencie najprv zvyšuje na určitú hranicu a potom klesá. Takéto zmeny sú tzv distribučných vzorcov.

Tvar rozloženia sa študuje pomocou indikátorov šikmosti a špičatosti. Pri výpočte týchto ukazovateľov sa používajú distribučné momenty.

Moment k-tého rádu je priemer k-tých stupňov odchýlky variantných hodnôt charakteristiky od nejakej konštantnej hodnoty. Poradie momentu je určené hodnotou k. Pri analýze sérií variácií sa človek obmedzuje na výpočet momentov prvých štyroch rádov. Pri výpočte momentov možno ako váhy použiť frekvencie alebo frekvencie. V závislosti od výberu konštantnej hodnoty sa rozlišujú počiatočné, podmienené a centrálne momenty.

Indikátory distribučného formulára:

Asymetria(As) ukazovateľ charakterizujúci stupeň distribučnej asymetrie .

Preto s (ľavostrannou) negatívnou asymetriou . S (pravostrannou) pozitívnou asymetriou .

Na výpočet asymetrie možno použiť centrálne momenty. potom:

,

kde μ 3 – centrálny moment tretieho rádu.

- špičatosť (E Komu ) charakterizuje strmosť funkčného grafu v porovnaní s normálnym rozdelením s rovnakou silou variácie:

,

kde μ 4 je centrálny moment 4. rádu.

Zákon normálneho rozdelenia

Pre normálne rozdelenie (Gaussovo rozdelenie) má distribučná funkcia nasledujúci tvar:

Očakávanie – smerodajná odchýlka

Normálne rozdelenie je symetrické a je charakterizované nasledujúcim vzťahom: Xav=Me=Mo

Špicatosť normálneho rozdelenia je 3 a koeficient šikmosti je 0.

Krivka normálneho rozdelenia je mnohouholník (symetrická priamka v tvare zvona)

Typy disperzií. Pravidlo pre pridávanie odchýlok. Podstata empirického koeficientu determinácie.

Ak je pôvodná populácia rozdelená do skupín podľa nejakej významnej charakteristiky, vypočítajú sa tieto typy rozptylov:

Celkový rozptyl pôvodnej populácie:

kde je celková priemerná hodnota pôvodnej populácie f je frekvencia pôvodnej populácie; Celkový rozptyl charakterizuje odchýlku jednotlivých hodnôt charakteristiky od celkovej priemernej hodnoty pôvodnej populácie.

Rozdiely v rámci skupiny:

kde j je priemerná hodnota v každej j-tej skupine; Odchýlky v rámci skupiny charakterizujú odchýlku individuálnej hodnoty vlastnosti v každej skupine od priemernej hodnoty skupiny. Zo všetkých rozptylov v rámci skupiny sa vypočíta priemer pomocou vzorca:, kde je počet jednotiek v každej j-tej skupine.

Rozdiel medzi skupinami:

Medziskupinový rozptyl charakterizuje odchýlku skupinových priemerov od celkového priemeru pôvodnej populácie.

Pravidlo sčítania odchýlky je, že celkový rozptyl pôvodnej populácie by sa mal rovnať súčtu medziskupinových a priemerných rozptylov v rámci skupiny:

Empirický koeficient determinácie ukazuje podiel variácie v študovanej charakteristike v dôsledku variácie v charakteristike zoskupenia a vypočíta sa pomocou vzorca:

Metóda počítania od podmienenej nuly (metóda momentov) na výpočet priemernej hodnoty a rozptylu

Výpočet disperzie metódou momentov je založený na použití vzorca a 3 a 4 vlastnosti disperzie.

(3. Ak sú všetky hodnoty atribútu (možnosti) zvýšené (znížené) o nejaké konštantné číslo A, potom sa rozptyl novej populácie nezmení.

4. Ak sa všetky hodnoty atribútu (možností) zvýšia (vynásobia) K-krát, kde K je konštantné číslo, potom sa rozptyl novej populácie zvýši (zníži) o K 2-krát.)

Momentovou metódou získame vzorec na výpočet rozptylu vo variačných radoch s rovnakými intervalmi:

A - podmienená nula, rovná sa možnosti s maximálnou frekvenciou (stred intervalu s maximálnou frekvenciou)

Výpočet priemernej hodnoty metódou momentov je tiež založený na využití vlastností priemeru.

Koncept selektívneho pozorovania. Etapy skúmania ekonomických javov metódou vzorkovania

Výberové pozorovanie je pozorovanie, pri ktorom sa neskúmajú a neštudujú všetky jednotky pôvodnej populácie, ale len časť jednotiek a výsledok vyšetrenia časti populácie sa vzťahuje na celú pôvodnú populáciu. Volá sa populácia, z ktorej sa vyberajú jednotky na ďalšie skúmanie a štúdium všeobecný a všetky ukazovatele charakterizujúce túto totalitu sú tzv všeobecný.

Možné hranice odchýlok výberového priemeru od všeobecného priemeru sú tzv vzorkovacia chyba.

Množina vybraných jednotiek je tzv selektívne a všetky ukazovatele charakterizujúce túto totalitu sú tzv selektívne.

Vzorový výskum zahŕňa nasledujúce fázy:

Charakteristika predmetu štúdia (masové ekonomické javy). Ak je populácia malá, potom sa neodporúča vykonať komplexnú štúdiu;

Výpočet veľkosti vzorky. Je dôležité určiť optimálny objem, ktorý umožní, aby chyba odberu vzoriek bola v prijateľnom rozsahu pri najnižších nákladoch;

Výber jednotiek pozorovania s prihliadnutím na požiadavky náhodnosti a proporcionality.

Dôkaz o reprezentatívnosti založený na odhade výberovej chyby. Pre náhodnú vzorku sa chyba vypočíta pomocou vzorcov. Pre cieľovú vzorku sa reprezentatívnosť hodnotí pomocou kvalitatívnych metód (porovnanie, experiment);

Analýza vzorky populácie. Ak vygenerovaná vzorka spĺňa požiadavky na reprezentatívnosť, potom sa analyzuje pomocou analytických ukazovateľov (priemerných, relatívnych atď.)