Nihanje in valovanje. Harmonično nihajno gibanje
Harmonične vibracije
Funkcijski grafi f(x) = sin( x) In g(x) = cos( x) na kartezični ravnini.
Harmonično nihanje- nihanja, pri katerih se fizikalna (ali katera koli druga) količina spreminja v času po sinusnem ali kosinusnem zakonu. Kinematična enačba harmoničnih nihanj ima obliko
,Kje X- premik (odklon) nihajne točke od ravnotežnega položaja v času t; A- amplituda nihanja, to je vrednost, ki določa največji odklon nihajne točke od ravnotežnega položaja; ω - ciklična frekvenca, vrednost, ki označuje število popolnih nihanj, ki se pojavijo v 2π sekundah - polna faza nihanj, - začetna faza nihanj.
Posplošeno harmonično nihanje v diferencialni obliki
(Vsaka netrivialna rešitev te diferencialne enačbe je harmonično nihanje s ciklično frekvenco)
Vrste vibracij
Časovni razvoj premika, hitrosti in pospeška pri harmoničnem gibanju
- Brezplačne vibracije se izvajajo pod vplivom notranjih sil sistema, potem ko je sistem odmaknjen iz ravnotežnega položaja. Da so prosta nihanja harmonična, je nujno, da je nihajni sistem linearen (opisujejo ga linearne enačbe gibanja) in da v njem ne prihaja do disipacije energije (slednje bi povzročilo slabljenje).
- Prisilne vibracije se izvajajo pod vplivom zunanje periodične sile. Da so harmonične, je dovolj, da je nihajni sistem linearen (opisujejo ga linearne enačbe gibanja), sama zunanja sila pa se skozi čas spreminja kot harmonično nihanje (to je, da je časovna odvisnost te sile sinusna). .
Aplikacija
Harmonične vibracije se razlikujejo od vseh drugih vrst vibracij iz naslednjih razlogov:
Poglej tudi
Opombe
Literatura
- Fizika. Osnovni učbenik fizike / ur. G. S. Lansberg. - 3. izd. - M., 1962. - T. 3.
- Khaikin S.E. Fizikalne osnove mehanike. - M., 1963.
- A. M. Afonin. Fizikalne osnove mehanike. - Ed. MSTU im. Bauman, 2006.
- Gorelik G. S. Nihanja in valovi. Uvod v akustiko, radiofiziko in optiko. - M.: Fizmatlit, 1959. - 572 str.
Fundacija Wikimedia. 2010.
Oglejte si, kaj so "harmonična nihanja" v drugih slovarjih:
Sodobna enciklopedija
Harmonične vibracije- HARMONIČNA VIBRACIJA, periodične spremembe fizikalne veličine, ki se dogajajo po sinusnem zakonu. Grafično so harmonična nihanja predstavljena s krivuljo sinusoide. Harmonična nihanja so najpreprostejša vrsta periodičnih gibanj, za katere je značilna... Ilustrirani enciklopedični slovar
Nihanja, pri katerih se fizikalna količina s časom spreminja po zakonu sinusa ali kosinusa. Grafično so GK predstavljeni z ukrivljenim sinusnim ali kosinusnim valom (glej sliko); lahko jih zapišemo v obliki: x = Asin (ωt + φ) ali x... Velika sovjetska enciklopedija
HARMONIČNE VIBRACIJE, periodično gibanje, kot je gibanje NIHAL, atomsko nihanje ali nihanje v električnem krogu. Telo izvaja nedušena harmonična nihanja, ko niha vzdolž premice in se giblje enako ... ... Znanstveni in tehnični enciklopedični slovar
Nihanja, s katerimi fizična (ali katera koli druga) količina se skozi čas spreminja po sinusnem zakonu: x=Asin(wt+j), kjer je x vrednost nihajoče količine v danem času. trenutek t (za mehanski G.K., npr. premik ali hitrost, za ... ... Fizična enciklopedija
harmonične vibracije- Mehanska nihanja, pri katerih se posplošena koordinata in (ali) posplošena hitrost spreminjata sorazmerno s sinusom z argumentom, linearno odvisnim od časa. [Zbirka priporočenih izrazov. Izdaja 106. Mehanske vibracije. Akademija znanosti… Priročnik za tehnične prevajalce
Nihanja, s katerimi fizična (ali katera koli druga) količina se s časom spreminja po sinusnem zakonu, kjer je x vrednost nihajoče količine v času t (za mehanske hidravlične sisteme, na primer premik in hitrost, za električno napetost in jakost toka) ... Fizična enciklopedija
HARMONIČNE VIBRACIJE- (glej), v kateri fizični. količina se s časom spreminja v skladu s sinusnim ali kosinusnim zakonom (na primer spremembe (glej) in hitrost med nihanjem (glej) ali spremembe (glej) in jakost toka med električnimi tokokrogi) ... Velika politehnična enciklopedija
Zanje je značilna sprememba nihajoče vrednosti x (na primer odstopanje nihala od ravnotežnega položaja, napetost v krogu izmeničnega toka itd.) v času t po zakonu: x = Asin (?t + ?), kjer je A amplituda harmoničnih nihanj, ? kotiček...... Veliki enciklopedični slovar
Harmonične vibracije- 19. Harmonična nihanja Nihanja, pri katerih se vrednosti nihajoče količine spreminjajo v času po zakonu Vir ... Slovar-priročnik izrazov normativne in tehnične dokumentacije
Periodično nihanja, pri katerih se spreminjajo časovni fizični. količine se pojavljajo po zakonu sinusa ali kosinusa (glej sliko): s = Аsin(wt+ф0), kjer je s odstopanje nihajoče količine od njenega povprečja. (ravnotežna) vrednost, A=konstantna amplituda, w=konstantna krožna ... Veliki enciklopedični politehnični slovar
Nihajno gibanje- periodično ali skoraj periodično gibanje telesa, katerega koordinata, hitrost in pospešek v enakih časovnih intervalih zavzamejo približno enake vrednosti.
Mehanske vibracije nastanejo, ko se pri premikanju telesa iz ravnotežnega položaja pojavi sila, ki želi telo vrniti nazaj.
Premik x je odklon telesa od ravnotežnega položaja.
Amplituda A je modul največjega odmika telesa.
Obdobje nihanja T - čas enega nihanja:
Frekvenca nihanja
Število nihanj, ki jih telo opravi v časovni enoti: Med nihanjem se hitrost in pospešek periodično spreminjata. V ravnotežnem položaju je hitrost največja, pospešek pa nič. V točkah največjega odmika doseže pospešek največ in hitrost postane nič.
HARMONIČNI URNIK VIBRACIJE
Harmonično Vibracije, ki nastanejo po zakonu sinusa ali kosinusa, se imenujejo:
kjer je x(t) premik sistema v času t, A je amplituda, ω je ciklična frekvenca nihanj.
Če po navpični osi narišemo odstopanje telesa od ravnotežnega položaja, po vodoravni osi pa čas, dobimo graf nihanja x = x(t) - odvisnost premika telesa od časa. Za prosta harmonična nihanja je to sinusni ali kosinusni val. Slika prikazuje grafe odvisnosti premika x, projekcije hitrosti V x in pospeška a x od časa.
Kot je razvidno iz grafov, je pri največjem pomiku x hitrost V nihajočega telesa enaka nič, pospešek a in s tem sila, ki deluje na telo, pa je največja in usmerjena nasproti pomika. V ravnotežnem položaju postaneta premik in pospešek enaka nič, hitrost pa največja. Projekcija pospeška ima vedno nasprotni predznak od premika.
ENERGIJA VIBRACIJA GIBANJA
Celotna mehanska energija nihajočega telesa je enaka vsoti njegove kinetične in potencialne energije in ostane v odsotnosti trenja konstantna:
V trenutku, ko premik doseže maksimum x = A, gre hitrost in z njo kinetična energija na nič.
V tem primeru je celotna energija enaka potencialni energiji:
Celotna mehanska energija nihajočega telesa je sorazmerna s kvadratom amplitude njegovih nihanj.
Ko sistem preide ravnotežni položaj, sta premik in potencialna energija enaki nič: x = 0, E p = 0. Zato je skupna energija enaka kinetični energiji:
Celotna mehanska energija nihajočega telesa je sorazmerna s kvadratom njegove hitrosti v ravnotežnem položaju. Zato:
MATEMATIČNO NIHALNO
1. Matematično nihalo je materialna točka, ki visi na breztežnostni neraztegljivi niti.
V ravnotežnem položaju se sila težnosti kompenzira z napetostjo niti. Če nihalo odklonimo in sprostimo, se sili ne bosta več kompenzirali in nastala bo rezultantna sila, usmerjena proti ravnotežnemu položaju. Newtonov drugi zakon:
Pri majhnih nihanjih, ko je premik x veliko manjši od l, se materialna točka premika skoraj vzdolž vodoravne osi x. Nato iz trikotnika MAB dobimo:
Ker sin a = x/l, potem je projekcija nastale sile R na os x enaka
Predznak minus kaže, da je sila R vedno usmerjena nasproti premika x.
2. Torej, med nihanjem matematičnega nihala, kot tudi med nihanjem vzmetnega nihala, je obnovitvena sila sorazmerna s premikom in je usmerjena v nasprotno smer.
Primerjajmo izraze za obnovitveno silo matematičnega in vzmetnega nihala:
Vidimo lahko, da je mg/l analog k. Zamenjava k z mg/l v formuli za periodo vzmetnega nihala
dobimo formulo za periodo matematičnega nihala:
Perioda majhnih nihanj matematičnega nihala ni odvisna od amplitude.
Matematično nihalo se uporablja za merjenje časa in določanje gravitacijskega pospeška na danem mestu na zemeljskem površju.
Prosta nihanja matematičnega nihala pri majhnih odklonskih kotih so harmonična. Nastanejo zaradi rezultantne sile gravitacije in natezne sile niti ter vztrajnosti bremena. Rezultanta teh sil je obnovitvena sila.
Primer. Določite gravitacijski pospešek planeta, kjer ima nihalo dolžine 6,25 m periodo prostega nihanja 3,14 s.
Obdobje nihanja matematičnega nihala je odvisno od dolžine niti in gravitacijskega pospeška:
Če kvadriramo obe strani enakosti, dobimo:
odgovor: gravitacijski pospešek je 25 m/s 2 .
Naloge in testi na temo "Tema 4. "Mehanika. Nihanja in valovi."
- Prečni in vzdolžni valovi. Valovna dolžina
Lekcije: 3 Naloge: 9 Testi: 1
- Zvočni valovi. Hitrost zvoka - Mehanske vibracije in valovi. Zvok 9. razred
1.Določanje nihajnega gibanja
Nihajno gibanje- To je gibanje, ki se natančno ali približno ponavlja v rednih intervalih. Posebej je poudarjeno preučevanje nihajnega gibanja v fiziki. To je posledica skupnosti vzorcev nihajnega gibanja različnih narav in metod njegovega preučevanja. Mehanske, akustične, elektromagnetne vibracije in valovi so obravnavani z enega samega vidika. Nihanje je značilno za vse naravne pojave. Ritmično ponavljajoči se procesi, kot je bitje srca, se nenehno dogajajo v katerem koli živem organizmu.
Mehanske vibracijeNihanje je vsak fizični proces, za katerega je značilna ponovljivost skozi čas.
Valovanje morja, nihanje nihala ure, tresljaji ladijskega trupa, bitje človeškega srca, zvok, radijski valovi, svetloba, izmenični tokovi - vse to so tresljaji.
V procesu nihanja se vrednosti fizikalnih količin, ki določajo stanje sistema, ponavljajo v enakih ali neenakih časovnih intervalih. Nihanja se imenujejo periodično, če se vrednosti spreminjajočih se fizikalnih veličin ponavljajo v rednih intervalih.
Najkrajše časovno obdobje T, po katerem se vrednost spreminjajoče se fizikalne količine ponavlja (po velikosti in smeri, če je ta količina vektorska, po velikosti in predznaku, če je skalarna), imenujemo obdobje obotavljanje.
Imenuje se število popolnih nihanj n na enoto časa pogostost nihanja te vrednosti in je označena z ν. Perioda in frekvenca nihanj sta povezani z razmerjem:
Vsako nihanje nastane zaradi enega ali drugega vpliva na nihajni sistem. Glede na naravo vpliva, ki povzroča nihanje, se razlikujejo naslednje vrste periodičnih nihanj: proste, prisilne, lastne oscilacije, parametrične.
Brezplačne vibracije- to so nihanja, ki nastanejo v sistemu, ki je prepuščen samemu sebi, potem ko je umaknjen iz stanja stabilnega ravnovesja (npr. nihanje bremena na vzmeti).
Prisilne vibracije- to so nihanja, ki jih povzroča zunanji periodični vpliv (na primer elektromagnetna nihanja v TV anteni).
Mehanskinihanja
Samonihanja- prosta nihanja podprta z zunanjim virom energije, ki jih v pravem trenutku vklopi sam nihajni sistem (npr. nihanje urnega nihala).
Parametrična nihanja- to so nihanja, med katerimi pride do periodične spremembe nekega parametra sistema (na primer nihanje gugalnice: s počepom v skrajnih položajih in vzravnanjem v srednjem položaju oseba na gugalnici spremeni vztrajnostni moment gugalnice). ).
Nihanja, ki so po naravi različna, razkrivajo veliko skupnega: podrejajo se istim zakonom, opisujejo jih iste enačbe in preučujejo z istimi metodami. To omogoča ustvarjanje enotne teorije nihanj.
Najenostavnejše periodično nihanje
so harmonične vibracije.
Harmonična nihanja so nihanja, med katerimi se vrednosti fizikalnih veličin spreminjajo v času po zakonu sinusa ali kosinusa. Večino nihajnih procesov opisuje ta zakon ali pa jih lahko izrazimo kot vsoto harmoničnih nihanj.
Druga "dinamična" definicija harmoničnih nihanj je možna kot proces, ki se izvaja pod delovanjem elastičnega ali "kvazielastičnega"
2. Periodično imenujemo nihanja, pri katerih se proces ponavlja natančno v enakomernih intervalih.
Pika periodično nihanje je minimalni čas, po katerem se sistem vrne v prvotno stanje
x je nihajoča količina (npr. jakost toka v tokokrogu, stanje in ponavljanje procesa se začne. Proces, ki se pojavi v eni periodi nihanja, se imenuje "eno popolno nihanje."
periodične oscilacije so število popolnih nihanj na časovno enoto (1 sekunda) – to morda ni celo število.
T - Perioda nihanja je čas enega popolnega nihanja.
Za izračun frekvence v morate 1 sekundo deliti s časom T enega nihanja (v sekundah) in dobite število nihanj v 1 sekundi ali koordinato točke) t - čas
Harmonično nihanje
To je periodično nihanje, pri katerem se koordinata, hitrost, pospešek, ki so značilni za gibanje, spreminjajo po zakonu sinusa ali kosinusa.
Harmonični graf
Graf ugotavlja odvisnost premika telesa od časa. Na vzmetno nihalo namestimo svinčnik, za nihalo pa papirni trak, ki se enakomerno giblje. Ali pa prisilimo matematično nihalo, da pusti sled. Razpored gibanja bo prikazan na papirju.
Graf harmoničnega nihanja je sinusni val (ali kosinusni val). Iz grafa nihanja lahko določite vse značilnosti nihajnega gibanja.
Enačba harmoničnega nihanja
Enačba harmoničnega nihanja ugotavlja odvisnost koordinat telesa od časa
Kosinusni graf ima v začetnem trenutku največjo vrednost, sinusni graf pa ničelno vrednost v začetnem trenutku. Če nihanje začnemo opazovati iz ravnotežnega položaja, bo nihanje ponavljalo sinusoido. Če začnemo nihanje obravnavati iz položaja največjega odstopanja, bo nihanje opisano s kosinusom. Ali pa lahko takšno nihanje opišemo s sinusno formulo z začetno fazo.
Sprememba hitrosti in pospeška med harmoničnim nihanjem
Ne le koordinata telesa se s časom spreminja po zakonu sinusa ali kosinusa. Podobno pa se spreminjajo tudi količine, kot so sila, hitrost in pospešek. Sila in pospešek sta največja, ko je nihajoče telo v skrajnih legah, kjer je premik največji, in enaka nič, ko gre telo skozi ravnotežni položaj. Hitrost, nasprotno, v skrajnih položajih je enaka nič, in ko telo prehaja skozi ravnotežni položaj, doseže največjo vrednost.
Če je nihanje opisano s kosinusnim zakonom
Če nihanje opišemo po sinusnem zakonu
Vrednosti največje hitrosti in pospeška
Po analizi enačb odvisnosti v(t) in a(t) lahko sklepamo, da hitrost in pospešek zavzameta največje vrednosti v primeru, ko je trigonometrični faktor enak 1 ali -1. Določeno s formulo
Kako pridobiti odvisnosti v(t) in a(t)
(lat. amplituda- magnituda) je največji odklon nihajočega telesa od njegovega ravnotežnega položaja.
Za nihalo je to največja razdalja, na katero se kroglica odmakne od svojega ravnotežnega položaja (slika spodaj). Za nihanja z majhnimi amplitudami lahko takšno razdaljo vzamemo kot dolžino loka 01 ali 02 in dolžine teh segmentov.
Amplitudo nihanj merimo v dolžinskih enotah - metrih, centimetrih itd. Na grafu oscilacij je amplituda definirana kot največja (modulo) ordinata sinusne krivulje (glej spodnjo sliko).
Obdobje nihanja.
Obdobje nihanja- to je najkrajše časovno obdobje, v katerem se nihajoči sistem ponovno vrne v isto stanje, v katerem je bil v poljubno izbranem začetnem trenutku.
Z drugimi besedami, nihajna doba ( T) je čas, v katerem pride do enega popolnega nihanja. Na primer, na spodnji sliki je to čas, ki je potreben, da se trb nihala premakne od skrajne desne točke skozi ravnovesno točko O do skrajne leve točke in nazaj skozi točko O spet skrajno desno.
V celotni periodi nihanja tako telo prepotuje pot, ki je enaka štirim amplitudam. Perioda nihanja se meri v časovnih enotah - sekunde, minute itd. Perioda nihanja se lahko določi iz dobro znanega grafa nihanj (glej spodnjo sliko).
Koncept "nihajne dobe", strogo gledano, velja le, če se vrednosti nihajne količine natančno ponovijo po določenem časovnem obdobju, to je za harmonična nihanja. Vendar pa ta koncept velja tudi za primere približno ponavljajočih se količin, na primer za dušena nihanja.
Frekvenca nihanja.
Frekvenca nihanja- to je število nihanj, opravljenih na enoto časa, na primer v 1 s.
Enota SI za frekvenco je poimenovana hertz(Hz) v čast nemškemu fiziku G. Hertzu (1857-1894). Če frekvenca nihanja ( v) je enako 1 Hz, to pomeni, da je vsako sekundo eno nihanje. Frekvenca in perioda nihanj sta povezani z razmerji:
V teoriji nihanj uporabljajo tudi koncept ciklično, oz krožna frekvenca ω . Povezan je z normalno frekvenco v in nihajno obdobje T razmerja:
.
Ciklična frekvenca je število izvedenih nihanj na 2π sekund
Spremembe katere koli količine so opisane z zakoni sinusa ali kosinusa, potem se takšna nihanja imenujejo harmonična. Oglejmo si vezje, sestavljeno iz kondenzatorja (ki je bil napolnjen, preden je bil vključen v vezje) in induktorja (slika 1).
Slika 1.
Harmonično enačbo nihanja lahko zapišemo na naslednji način:
$q=q_0cos((\omega )_0t+(\alpha )_0)$ (1)
kjer je $t$ čas; $q$ naboj, $q_0$-- največje odstopanje naboja od njegove povprečne (ničelne) vrednosti med spremembami; $(\omega )_0t+(\alpha )_0$- faza nihanja; $(\alpha )_0$- začetna faza; $(\omega )_0$ - ciklična frekvenca. Med obdobjem se faza spremeni za $2\pi $.
Enačba oblike:
enačba harmoničnih nihanj v diferencialni obliki za nihajni krog, ki ne bo vseboval aktivnega upora.
Vsako vrsto periodičnih nihanj lahko natančno predstavimo kot vsoto harmoničnih nihanj, tako imenovane harmonične serije.
Za nihajno periodo vezja, ki ga sestavljata tuljava in kondenzator, dobimo Thomsonovo formulo:
Če diferenciramo izraz (1) glede na čas, lahko dobimo formulo za funkcijo $I(t)$:
Napetost na kondenzatorju lahko najdete kot:
Iz formul (5) in (6) sledi, da je jakost toka pred napetostjo na kondenzatorju za $\frac(\pi )(2).$
Harmonična nihanja lahko predstavimo v obliki enačb, funkcij in vektorskih diagramov.
Enačba (1) predstavlja prosta nedušena nihanja.
Enačba dušenega nihanja
Sprememba naboja ($q$) na ploščah kondenzatorja v vezju, ob upoštevanju upora (slika 2), bo opisana z diferencialno enačbo oblike:
Slika 2.
Če je upor, ki je del vezja $R\
kjer je $\omega =\sqrt(\frac(1)(LC)-\frac(R^2)(4L^2))$ ciklična frekvenca nihanja. $\beta =\frac(R)(2L)-$koeficient dušenja. Amplituda dušenih nihanj je izražena kot:
Če je pri $t=0$ naboj na kondenzatorju enak $q=q_0$ in v vezju ni toka, potem lahko za $A_0$ zapišemo:
Faza nihanja v začetnem trenutku ($(\alpha )_0$) je enaka:
Ko $R >2\sqrt(\frac(L)(C))$ sprememba naboja ni nihanje, se praznjenje kondenzatorja imenuje aperiodično.
Primer 1
Vaja: Največja vrednost polnjenja je $q_0=10\ C$. Harmonično se spreminja s periodo $T= 5 s$. Določite največji možni tok.
rešitev:
Kot osnovo za rešitev problema uporabljamo:
Da bi našli jakost toka, je treba izraz (1.1) diferencirati glede na čas:
kjer je največja (amplitudna vrednost) jakosti toka izraz:
Iz pogojev problema poznamo amplitudno vrednost naboja ($q_0=10\ C$). Moral bi najti lastno frekvenco nihanj. Izrazimo to kot:
\[(\omega )_0=\frac(2\pi )(T)\levo(1,4\desno).\]
V tem primeru bo želena vrednost najdena z uporabo enačb (1.3) in (1.2) kot:
Ker so vse količine v pogojih problema predstavljene v sistemu SI, bomo izvedli izračune:
odgovor:$I_0=12,56\ A.$
Primer 2
Vaja: Kolikšna je nihajna doba v vezju, ki vsebuje induktor $L=1$H in kondenzator, če se jakost toka v vezju spreminja po zakonu: $I\levo(t\desno)=-0,1sin20\ pi t\ \left(A \right)?$ Kolikšna je kapacitivnost kondenzatorja?
rešitev:
Iz enačbe tokovnih nihanj, ki je podana v pogojih problema:
vidimo, da je $(\omega )_0=20\pi $, zato lahko izračunamo nihajno obdobje po formuli:
\ \
Po Thomsonovi formuli za vezje, ki vsebuje induktor in kondenzator, imamo:
Izračunajmo zmogljivost:
odgovor:$T=0,1$ c, $C=2,5\cdot (10)^(-4)F.$
Nalaganje...
