Beregning av den aritmetiske middelverdiformelen. Moscow State University of Printing Arts

La oss nå snakke om hvordan beregne gjennomsnitt.
I klassisk form den generelle teorien om statistikk gir oss én versjon av reglene for valg av gjennomsnittsverdi.
Først må du lage den riktige logiske formelen for å beregne gjennomsnittsverdien (AFV). For hver gjennomsnittsverdi er det alltid bare én logisk formel for å beregne den, så det er vanskelig å gjøre en feil her. Men vi må alltid huske at i telleren (dette er det som er på toppen av brøken) summen av alle fenomener, og i nevneren (dette er det som er nederst i brøken) Total elementer.

Etter at den logiske formelen er kompilert, kan du bruke reglene (for å lette forståelsen vil vi forenkle og forkorte dem):
1. Hvis nevneren til en logisk formel er presentert i kildedataene (bestemt av frekvens), utføres beregningen ved å bruke formelen aritmetisk gjennomsnitt vektet.
2. Hvis telleren til en logisk formel er presentert i kildedataene, utføres beregningen ved å bruke den vektede harmoniske gjennomsnittsformelen.
3. Hvis oppgaven presenterer både telleren og nevneren til en logisk formel (dette skjer sjelden), så utfører vi beregningen ved å bruke denne formelen eller den enkle aritmetiske gjennomsnittsformelen.
Dette er den klassiske ideen om å velge riktig formel for å beregne gjennomsnittet. Deretter presenterer vi sekvensen av handlinger når vi løser problemer for å beregne gjennomsnittsverdien.

Algoritme for å løse problemer ved beregning av gjennomsnittsverdi

A. Bestem metoden for å beregne gjennomsnittsverdien - enkel eller vektet . Hvis dataene presenteres i en tabell, bruker vi en vektet metode, hvis dataene presenteres ved en enkel oppregning, bruker vi en enkel beregningsmetode.

B. Vi definerer eller arrangerer symboler - x – alternativ, f - Frekvens . Alternativet er for hvilket fenomen du vil finne gjennomsnittsverdien. De resterende dataene i tabellen vil være frekvensen.

B. Vi bestemmer skjemaet for beregning av gjennomsnittsverdien - aritmetisk eller harmonisk . Bestemmelsen utføres ved hjelp av frekvenskolonnen. Den aritmetiske formen brukes hvis frekvensene er spesifisert av en eksplisitt mengde (betinget kan du erstatte ordet stykker, antall elementer "stykker"). Den harmoniske formen brukes hvis frekvenser ikke er spesifisert av en eksplisitt mengde, men av en kompleks indikator (produktet av gjennomsnittlig mengde og frekvens).

Det vanskeligste er å gjette hvor og hvilken mengde som gis, spesielt for en student som er uerfaren i slike saker. I en slik situasjon kan du bruke en av følgende metoder. For noen oppgaver (økonomiske) er en uttalelse utviklet over år med praksis egnet (punkt B.1). I andre situasjoner må du bruke punkt B.2.

B.1 Hvis frekvensen er gitt i monetære enheter (i rubler), brukes det harmoniske gjennomsnittet for beregning, denne setningen er alltid sann, hvis den identifiserte frekvensen er gitt i penger, i andre situasjoner gjelder ikke denne regelen.

B.2 Bruk reglene for å velge gjennomsnittsverdien som er angitt ovenfor i denne artikkelen. Hvis frekvensen er gitt av nevneren til den logiske formelen for å beregne gjennomsnittsverdien, beregner vi ved å bruke den aritmetiske gjennomsnittsformen hvis frekvensen er gitt av telleren til den logiske formelen for å beregne gjennomsnittsverdien; harmonisk middelform.

La oss se på eksempler på bruk av denne algoritmen.

A. Siden dataene presenteres i en linje, bruker vi en enkel beregningsmetode.

B.V. Vi har kun data om mengden pensjoner, og de vil være vårt alternativ - x. Dataene presenteres som et enkelt tall (12 personer), for utregning bruker vi det enkle aritmetiske gjennomsnittet.

Gjennomsnittlig pensjon for en pensjonist er 9208,3 rubler.

B. Siden vi trenger å finne gjennomsnittlig størrelse betalinger per barn, så er alternativene i første kolonne, sett betegnelsen x der, den andre kolonnen blir automatisk frekvensen f.

B. Frekvensen (antall barn) er gitt av en eksplisitt mengde (du kan erstatte ordstykker av barn, fra det russiske språkets synspunkt er dette en feil setning, men faktisk er det veldig praktisk å sjekk), som betyr at det vektede aritmetiske gjennomsnittet brukes til beregningen.

Det samme problemet kan løses ikke med en formelmetode, men ved en tabellmetode, det vil si å legge inn alle dataene for mellomberegninger i en tabell.

Som et resultat er alt som må gjøres nå å skille de to totalene i riktig rekkefølge.

Gjennomsnittlig betaling per barn per måned var 1 910 rubler.

A. Siden dataene er presentert i tabellen, bruker vi et vektet skjema for beregning.

B. Frekvens (produksjonskostnad) er gitt av en implisitt mengde (frekvens er gitt i rubler punkt av algoritme B1), som betyr at det vektede harmoniske gjennomsnittet brukes til beregningen. Generelt, i hovedsak, er produksjonskostnadene en kompleks indikator, som oppnås ved å multiplisere kostnaden for en enhet av et produkt med antall slike produkter, dette er essensen av den harmoniske gjennomsnittsverdien.

For at dette problemet skal løses ved å bruke den aritmetiske gjennomsnittsformelen, er det nødvendig at det i stedet for produksjonskostnadene skal være antall produkter med tilsvarende kostnad.

Vær oppmerksom på at summen i nevneren oppnådd etter beregninger er 410 (120+80+210), dette er det totale antallet produserte produkter.

Den gjennomsnittlige kostnaden per produktenhet var 314,4 rubler.

A. Siden dataene er presentert i tabellen, bruker vi et vektet skjema for beregning.

B. Siden vi må finne den gjennomsnittlige kostnaden per produktenhet, er alternativene i den første kolonnen, vi setter betegnelsen x der, den andre kolonnen blir automatisk frekvensen f.

B. Frekvensen (totalt antall fravær) er gitt av en implisitt mengde (dette er produktet av to indikatorer på antall fravær og antall elever med det antallet fravær), som betyr at det vektede harmoniske gjennomsnittet brukes for regnestykket. Vi vil bruke punkt av algoritme B2.

For at denne oppgaven skal løses ved hjelp av den aritmetiske gjennomsnittsformelen, er det nødvendig at det i stedet for totalt antall fravær skal være antall elever.

Vi lager en logisk formel for å beregne gjennomsnittlig antall fravær per elev.

Frekvens i henhold til oppgaveforholdene Totalt antall passerer. I den logiske formelen er denne indikatoren i telleren, noe som betyr at vi bruker den harmoniske gjennomsnittsformelen.

Vær oppmerksom på at summen i nevneren, etter beregning 31 (18+8+5), er det totale antallet studenter.

Gjennomsnittlig antall fravær per elev er 13,8 dager.

Egenskapene til enheter av statistiske aggregater er forskjellige i betydningen, for eksempel er lønnen til arbeidere i samme yrke i et foretak ikke den samme for samme tidsperiode, markedspriser for de samme produktene, avling i distriktet. gårder osv. Derfor, for å bestemme verdien av en egenskap som er karakteristisk for hele populasjonen av enheter som studeres, beregnes gjennomsnittsverdier.
gjennomsnittlig verdi – dette er en generaliserende karakteristikk av et sett med individuelle verdier av en eller annen kvantitativ karakteristikk.

Befolkningen studert av kvantitativ karakteristikk, består av individuelle verdier; de er påvirket av vanlige årsaker, og individuelle forhold. I gjennomsnittsverdien oppheves avvik som er karakteristiske for individuelle verdier. Gjennomsnittet, som er en funksjon av et sett med individuelle verdier, representerer hele aggregatet med én verdi og reflekterer det som er felles for alle enhetene.

Gjennomsnittet beregnet for populasjoner som består av kvalitativt homogene enheter kalles typisk gjennomsnitt. For eksempel kan du beregne gjennomsnittlig månedslønn til en ansatt i en bestemt yrkesgruppe (gruvearbeider, lege, bibliotekar). Selvfølgelig, månedlige nivåer lønn gruvearbeidere, på grunn av forskjeller i deres kvalifikasjoner, tjenestelengde, arbeidstid per måned og mange andre faktorer, skiller seg fra hverandre og fra nivået på gjennomsnittlig lønn. Gjennomsnittsnivået reflekterer imidlertid hovedfaktorene som påvirker lønnsnivået, og opphever forskjellene som oppstår pga. individuelle egenskaper ansatt. Gjennomsnittslønnen reflekterer det typiske lønnsnivået for en gitt type arbeidstaker. Innhenting av et typisk gjennomsnitt bør innledes med en analyse av hvor kvalitativt homogen den gitte populasjonen er. Hvis settet består av dem individuelle deler, bør den deles inn i typiske grupper (gjennomsnittstemperatur på sykehuset).

Gjennomsnittsverdier brukt som kjennetegn for heterogene populasjoner kalles systemgjennomsnitt. For eksempel, gjennomsnittlig verdi bruttonasjonalprodukt (BNP) per innbygger, gjennomsnittlig forbruk ulike grupper varer per person og andre lignende verdier, som representerer de generelle egenskapene til staten som et enhetlig økonomisk system.

Gjennomsnittet må beregnes for populasjoner som består av et tilstrekkelig stort antall enheter. Overholdelse av denne betingelsen er nødvendig for at loven om store tall skal tre i kraft, som et resultat av at tilfeldige avvik av individuelle verdier fra den generelle trenden gjensidig kanselleres.

Typer gjennomsnitt og metoder for å beregne dem

Valget av typen gjennomsnitt bestemmes av det økonomiske innholdet i en viss indikator og kildedata. Enhver gjennomsnittsverdi må imidlertid beregnes slik at når den erstatter hver variant av gjennomsnittskarakteristikken, endres ikke den endelige, generaliserende, eller som det vanligvis kalles. definerende indikator, som er assosiert med gjennomsnittsindikatoren. For eksempel, når de erstatter faktiske hastigheter på individuelle deler av ruten, vil de gjennomsnittshastighet den totale tilbakelagte distansen skal ikke endres kjøretøy samtidig; når de erstatter den faktiske lønnen til enkeltansatte i en mellomstor bedrift lønn Lønnsfondet bør ikke endres. Følgelig, i hvert enkelt tilfelle, avhengig av arten av tilgjengelige data, er det bare én sann gjennomsnittsverdi av indikatoren som er tilstrekkelig til egenskapene og essensen til det sosioøkonomiske fenomenet som studeres.
De mest brukte er aritmetisk gjennomsnitt, harmonisk gjennomsnitt, geometrisk gjennomsnitt, kvadratisk middel og kubisk gjennomsnitt.
De oppførte gjennomsnittene tilhører klassen beroligende gjennomsnittlig og foren generell formel:
,
hvor er gjennomsnittsverdien av egenskapen som studeres;
m - gjennomsnittlig gradindeks;
– Nåværende verdi(variant) av karakteristikken som gjennomsnittsberegnes;
n – antall funksjoner.
Avhengig av verdien av eksponenten m, er det følgende typer kraftgjennomsnitt:
når m = -1 – harmonisk gjennomsnitt;
ved m = 0 - geometrisk gjennomsnitt;
for m = 1 – aritmetisk gjennomsnitt;
for m = 2 – rotmiddelkvadrat;
ved m = 3 – gjennomsnittlig kubikk.
Ved bruk av samme kildedata enn mer indikator grad m i formelen ovenfor, altså mer verdi gjennomsnittsstørrelse:
.
Denne egenskapen til effektgjennomsnitt øker med økende eksponent for den definerende funksjonen kalles regelen om flertall av gjennomsnitt.
Hvert av de markerte gjennomsnittene kan ha to former: enkel Og vektet.
Enkel mellomform brukes når gjennomsnittet beregnes fra primære (ugrupperte) data. Vektet form– ved beregning av gjennomsnitt basert på sekundære (grupperte) data.

Aritmetisk gjennomsnitt

Det aritmetiske gjennomsnittet brukes når volumet av populasjonen er summen av alle individuelle verdier av en varierende karakteristikk. Det skal bemerkes at hvis typen gjennomsnitt ikke er spesifisert, antas det aritmetiske gjennomsnittet. Dens logiske formel ser slik ut:

Enkel aritmetisk gjennomsnitt regnet ut basert på ugrupperte data etter formelen:
eller ,
hvor er de individuelle verdiene til karakteristikken;
j – serienummer observasjonsenhet, som er preget av verdien ;
N – antall observasjonsenheter (volum av populasjonen).
Eksempel. Forelesningen "Sammendrag og gruppering av statistiske data" undersøkte resultatene av å observere arbeidserfaringen til et team på 10 personer. La oss beregne gjennomsnittlig arbeidserfaring til teamets arbeidere. 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.

Ved å bruke den enkle aritmetiske gjennomsnittsformelen kan vi også beregne gjennomsnitt i kronologiske serier, hvis tidsintervallene som de karakteristiske verdiene presenteres for er like.
Eksempel. Volum solgte produkter for første kvartal utgjorde 47 den. enheter, for den andre 54, for den tredje 65 og for den fjerde 58 den. enheter Gjennomsnittlig kvartalsomsetning er (47+54+65+58)/4 = 56 den. enheter
Hvis øyeblikkelige indikatorer er gitt i en kronologisk serie, erstattes de ved beregning av gjennomsnittet med halvsummer av verdiene i begynnelsen og slutten av perioden.
Hvis det er mer enn to øyeblikk og intervallene mellom dem er like, beregnes gjennomsnittet ved å bruke formelen for gjennomsnittet kronologisk

,
hvor n er antall tidspunkter
I tilfellet når dataene er gruppert etter karakteristiske verdier (dvs. en diskret variasjonsserie distribusjon) med aritmetisk gjennomsnitt vektet beregnet ved å bruke enten frekvenser eller observasjonsfrekvenser av spesifikke verdier av en karakteristikk, hvor antallet (k) er signifikant mindre antall observasjoner (N) .
,
,
hvor k er antall grupper i variasjonsserien,
i – gruppenummer for variantserien.
Siden , a , får vi formlene som brukes for praktiske beregninger:
Og
Eksempel. La oss beregne gjennomsnittlig tjenestetid for arbeidslag i en gruppert rad.
a) ved å bruke frekvenser:

b) ved å bruke frekvenser:

I tilfellet når dataene er gruppert etter intervaller , dvs. presenteres i form av intervallfordelingsserier ved beregning av det aritmetiske gjennomsnittet, tas midten av intervallet som verdien av attributtet, basert på antakelsen om en enhetlig fordeling av populasjonsenheter over et gitt intervall. Beregningen utføres ved å bruke formlene:
Og
hvor er midten av intervallet: ,
hvor og er de nedre og øvre grensene for intervallene (forutsatt at den øvre grensen for et gitt intervall faller sammen med den nedre grensen for neste intervall).

Eksempel. La oss beregne det aritmetiske gjennomsnittet av intervallvariasjonsseriene konstruert basert på resultatene fra en studie av årslønnen til 30 arbeidere (se forelesningen «Sammendrag og gruppering av statistiske data»).
Tabell 1 – Intervallvariasjonsseriefordeling.

UAH eller UAH
Aritmetiske midler beregnet på grunnlag av kildedata og intervallvariasjonsserier vil kanskje ikke falle sammen på grunn av ujevn fordeling av attributtverdier innenfor intervallene. I dette tilfellet, for en mer nøyaktig beregning av det vektede aritmetiske gjennomsnittet, bør man ikke bruke midten av intervallene, men de enkle aritmetiske gjennomsnittene beregnet for hver gruppe ( gruppegjennomsnitt). Gjennomsnittet beregnet fra gruppemidler ved hjelp av en vektet beregningsformel kalles generelt gjennomsnitt.
Det aritmetiske gjennomsnittet har en rekke egenskaper.
1. Summen av avvik fra det gjennomsnittlige alternativet er null:
.
2. Hvis alle verdiene til opsjonen øker eller reduseres med beløpet A, øker eller reduseres gjennomsnittsverdien med samme beløp A:

3. Hvis hvert alternativ økes eller reduseres med B ganger, vil gjennomsnittsverdien også øke eller reduseres med samme antall ganger:
eller
4. Summen av produktene til opsjonen etter frekvensene er lik produktet av gjennomsnittsverdien med summen av frekvensene:

5. Hvis alle frekvenser er delt eller multiplisert med et hvilket som helst tall, vil det aritmetiske gjennomsnittet ikke endres:

6) hvis frekvensene i alle intervaller er lik hverandre, er det vektede aritmetiske gjennomsnittet likt det enkle aritmetiske gjennomsnittet:
,
hvor k er antall grupper i variasjonsserien.

Ved å bruke egenskapene til gjennomsnittet kan du forenkle beregningen.
La oss anta at alle alternativene (x) først reduseres med det samme tallet A, og deretter reduseres med en faktor på B. Den største forenklingen oppnås når verdien av midten av intervallet med høyest frekvens velges som A, og verdien av intervallet (for serier med identiske intervaller) velges som B. Mengden A kalles opprinnelsen, så denne metoden for å beregne gjennomsnittet kalles vei b ohm-referanse fra betinget null eller måte av øyeblikk.
Etter en slik transformasjon får vi en ny variasjonsfordelingsserie, hvis varianter er lik . Deres aritmetiske gjennomsnitt, kalt øyeblikk av første orden, uttrykkes med formelen, og i henhold til den andre og tredje egenskapen er det aritmetiske gjennomsnittet lik gjennomsnittet av den opprinnelige versjonen, redusert først med A, og deretter med B ganger, dvs.
For å få ekte gjennomsnitt(gjennomsnitt av den originale serien) må du multiplisere førsteordens øyeblikket med B og legge til A:

Beregningen av det aritmetiske gjennomsnittet ved bruk av momentmetoden er illustrert av dataene i tabell. 2.
Tabell 2 – Fordeling av fabrikkarbeidere etter tjenestetid

Å finne det første bestillingsmomentet . Da vi vet at A = 17,5 og B = 5, beregner vi den gjennomsnittlige tjenestetiden til verkstedarbeiderne:
år

Harmonisk middel
Som vist ovenfor, brukes det aritmetiske gjennomsnittet til å beregne gjennomsnittsverdien av en karakteristikk i tilfeller der variantene x og deres frekvenser f er kjent.
Hvis statistisk informasjon ikke inneholder frekvenser f for individuelle alternativer x av populasjonen, men presenteres som deres produkt, brukes formelen vektet harmonisk gjennomsnitt. For å beregne gjennomsnittet, la oss angi hvor . Ved å erstatte disse uttrykkene i formelen for det aritmetiske vektede gjennomsnittet, får vi formelen for det harmoniske vektede gjennomsnittet:
,
hvor er volumet (vekten) til indikatorattributtverdiene i intervallet nummerert i (i=1,2, …, k).

Dermed brukes det harmoniske gjennomsnittet i tilfeller der det ikke er alternativene i seg selv som er gjenstand for summering, men deres gjensidige: .
I tilfeller hvor vekten av hver alternativer lik en, dvs. individuelle verdier det motsatte tegnet forekommer en gang, gjelder bety harmonisk enkel:
,
hvor er individuelle varianter av den inverse karakteristikken, som forekommer én gang;
N – tallalternativ.
Hvis det er harmoniske gjennomsnitt for to deler av en populasjon, beregnes det totale gjennomsnittet for hele populasjonen ved å bruke formelen:

og kalles vektet harmonisk gjennomsnitt av gruppemidler.

Eksempel. Under handel på valutabørsen ble det gjennomført tre transaksjoner i løpet av den første driftstimen. Data om mengden hryvnia-salg og hryvnia-kursen mot amerikanske dollar er gitt i tabell. 3 (kolonne 2 og 3). Bestem den gjennomsnittlige valutakursen for hryvnia mot amerikanske dollar for den første timen med handel.
Tabell 3 – Data om fremdriften i handelen på valutabørsen

Den gjennomsnittlige dollarkursen bestemmes av forholdet mellom mengden hryvnia som selges under alle transaksjoner og mengden dollar anskaffet som et resultat av de samme transaksjonene. Det endelige beløpet for salget av hryvnia er kjent fra kolonne 2 i tabellen, og antall dollar kjøpt i hver transaksjon bestemmes ved å dele beløpet for salget av hryvnia med valutakursen (kolonne 4). Totalt ble 22 millioner dollar kjøpt i løpet av tre transaksjoner. Dette betyr at den gjennomsnittlige valutakursen på hryvnia for én dollar var
.
Den resulterende verdien er reell, fordi å erstatte den med faktiske hryvnia-valutakurser i transaksjoner vil ikke endre det endelige beløpet for hryvnia-salget, som fungerer som definerende indikator: millioner UAH
Dersom det aritmetiske gjennomsnittet ble brukt for utregningen, dvs. hryvnia, deretter til kursen for kjøp av 22 millioner dollar. det ville være nødvendig å bruke 110,66 millioner UAH, noe som ikke er sant.

Geometrisk gjennomsnitt
Det geometriske gjennomsnittet brukes til å analysere dynamikken til fenomener og lar oss bestemme gjennomsnittlig koeffisient vekst. Når du beregner det geometriske gjennomsnittet, er individuelle verdier av en karakteristikk relative indikatorer på dynamikk, konstruert i form av kjedeverdier, som forholdet mellom hvert nivå og det forrige.
Det enkle geometriske gjennomsnittet beregnes ved hjelp av formelen:
,
hvor er tegnet på produktet,
N – antall gjennomsnittsverdier.
Eksempel. Antall registrerte forbrytelser over 4 år økte med 1,57 ganger, inkludert for 1. – 1,08 ganger, for 2. – 1,1 ganger, for 3. – 1,18 og for 4. – 1,12 ganger. Da er den gjennomsnittlige årlige vekstraten av antall forbrytelser: , d.v.s. antall registrerte forbrytelser økte årlig med gjennomsnittlig 12 %.

1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4

1
3
4
1
1

3,24
0,64
0,04
1
1,96

3,24
1,92
0,16
1
1,96

For å beregne det vektede middelkvadrat, bestemmer vi og legger inn i tabellen og . Da er det gjennomsnittlige avviket av lengden på produktene fra den gitte normen lik:

Det aritmetiske gjennomsnittet ville være uegnet i dette tilfellet, fordi som et resultat vil vi få null avvik.
Bruken av middelkvadrat vil bli diskutert videre med tanke på variasjon.

Det aritmetiske gjennomsnittet er en statistisk indikator som viser gjennomsnittsverdien til en gitt datamatrise. Denne indikatoren beregnes som en brøk, hvis teller er summen av alle verdiene i matrisen, og nevneren er deres nummer. Det aritmetiske gjennomsnittet er en viktig koeffisient som brukes i daglige beregninger.

Betydningen av koeffisienten

Det aritmetiske gjennomsnittet er en elementær indikator for å sammenligne data og beregne en akseptabel verdi. For eksempel selger forskjellige butikker en boks øl fra en bestemt produsent. Men i en butikk koster det 67 rubler, i en annen - 70 rubler, i en tredje - 65 rubler, og i den siste - 62 rubler. Ganske bredt spekter av priser, så kjøperen vil være interessert gjennomsnittlig kostnad banker slik at han ved kjøp av et produkt kan sammenligne kostnadene sine. Gjennomsnittsprisen for en boks øl i byen er:

Gjennomsnittlig pris = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 rubler.

Når du kjenner gjennomsnittsprisen, er det lett å finne ut hvor det er lønnsomt å kjøpe et produkt, og hvor du må betale for mye.

Det aritmetiske gjennomsnittet brukes hele tiden i statistiske beregninger i tilfeller hvor et homogent sett med data analyseres. I eksemplet ovenfor er dette prisen på en boks øl av samme merke. Vi kan imidlertid ikke sammenligne prisen på øl forskjellige produsenter eller priser for øl og limonade, siden i dette tilfellet vil spredningen av verdier være større, Gjennomsnittspris vil være uskarpt og upålitelig, og selve meningen med beregningene vil bli forvrengt til en karikatur av "gjennomsnittstemperatur på sykehuset." For å beregne heterogene datasett brukes et vektet aritmetisk gjennomsnitt, når hver verdi får sin egen vektingskoeffisient.

Beregning av det aritmetiske gjennomsnittet

Formelen for beregninger er ekstremt enkel:

P = (a1 + a2 + … an) / n,

der an er verdien av mengden, n er det totale antallet verdier.

Hva kan den brukes til? denne indikatoren? Den første og åpenbare bruken av det er i statistikk. I nesten hver statistisk forskning Det aritmetiske gjennomsnittet brukes. Det kan være gjennomsnittsalder ekteskap i Russland, gjennomsnittskarakteren i et fag for et skolebarn, eller gjennomsnittlig utgifter til dagligvarer per dag. Som nevnt ovenfor, uten å ta hensyn til vekter, kan beregning av gjennomsnitt produsere merkelige eller absurde verdier.

For eksempel presidenten Den russiske føderasjonen kom med en uttalelse om at ifølge statistikk er gjennomsnittslønnen til en russer 27 000 rubler. For de fleste innbyggere i Russland virket dette lønnsnivået absurd. Det er ikke rart om du tar hensyn til inntekten til oligarker og ledere når du beregner industribedrifter, store bankfolk på den ene siden og lønningene til lærere, renholdere og selgere på den andre. Selv gjennomsnittlig lønn i en spesialitet, for eksempel regnskapsfører, vil ha alvorlige forskjeller i Moskva, Kostroma og Jekaterinburg.

Hvordan beregne gjennomsnitt for heterogene data

I lønnssituasjoner er det viktig å vurdere vekten av hver verdi. Dette betyr at lønnen til oligarker og bankfolk vil få en vekt på for eksempel 0,00001, og lønnen til selgere - 0,12. Dette er tall ut av det blå, men de illustrerer grovt sett utbredelsen av oligarker og selgere i det russiske samfunnet.

For å beregne gjennomsnittet av gjennomsnitt eller gjennomsnittsverdier i et heterogent datasett, er det derfor nødvendig å bruke det aritmetiske vektede gjennomsnittet. Ellers vil du motta en gjennomsnittslønn i Russland på 27 000 rubler. Hvis du vil vite din gjennomsnittlig rangering i matematikk eller gjennomsnittlig antall mål scoret av den valgte hockeyspilleren, vil den aritmetiske gjennomsnittskalkulatoren passe deg.

Vårt program er en enkel og praktisk kalkulator for å beregne det aritmetiske gjennomsnittet. For å utføre beregningene trenger du bare å angi parameterverdiene.

La oss se på et par eksempler

Beregning av gjennomsnittlig poengsum

Mange lærere bruker den aritmetiske gjennomsnittsmetoden for å bestemme årskarakteren for et fag. La oss tenke oss at barnet fikk følgende kvartkarakterer i matematikk: 3, 3, 5, 4. Hvilken årskarakter vil læreren gi ham? La oss bruke en kalkulator og regne ut det aritmetiske gjennomsnittet. For å begynne, velg riktig antall felt og skriv inn vurderingsverdiene i cellene som vises:

(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75

Læreren runder av verdien til elevens favør, og eleven får en solid B for året.

Beregning av godteri spist

La oss illustrere noe av absurditeten til det aritmetiske gjennomsnittet. La oss forestille oss at Masha og Vova hadde 10 godteri. Masha spiste 8 godteri, og Vova bare 2. Hvor mange godteri spiste hvert barn i gjennomsnitt? Ved hjelp av en kalkulator er det enkelt å regne ut at barn i gjennomsnitt spiste 5 godterier, noe som er helt usant og sunn fornuft. Dette eksemplet viser at det aritmetiske gjennomsnittet er viktig for meningsfulle datasett.

Konklusjon

Beregningen av det aritmetiske gjennomsnittet er mye brukt i mange vitenskapelige felt. Denne indikatoren er populær ikke bare i statistiske beregninger, men også i fysikk, mekanikk, økonomi, medisin eller finans. Bruk kalkulatorene våre som assistent for å løse problemer som involverer beregning av det aritmetiske gjennomsnittet.

Når man begynner å snakke om gjennomsnitt, husker folk oftest hvordan de ble uteksaminert fra skolen og begynte på college. utdanningsinstitusjon. Da ble det ifølge attesten beregnet GPA: alle vurderingene (både gode og ikke så gode) ble lagt sammen, det resulterende beløpet ble delt på antallet. Slik beregnes den enkleste typen gjennomsnitt, som kalles det enkle aritmetiske gjennomsnittet. I praksis brukes statistikk forskjellige typer gjennomsnitt: aritmetiske, harmoniske, geometriske, kvadratiske, strukturelle gjennomsnitt. En eller annen type brukes avhengig av arten av data og formålet med studien.

gjennomsnittlig verdi er den vanligste statistiske indikatoren, ved hjelp av hvilken en generell karakteristikk av et sett med lignende fenomener er gitt i henhold til en av de varierende egenskapene. Den viser nivået på en egenskap per befolkningsenhet. Ved hjelp av gjennomsnittsverdier sammenlignes ulike populasjoner i henhold til varierende egenskaper, og utviklingsmønstrene for fenomener og prosesser i det sosiale livet studeres.

I statistikk brukes to klasser av gjennomsnitt: kraft (analytisk) og strukturell. Sistnevnte brukes for å karakterisere strukturen i variasjonsseriene og vil bli diskutert videre i kapittel. 8.

Gruppen av effektgjennomsnitt inkluderer de aritmetiske, harmoniske, geometriske og kvadratiske gjennomsnittene. Individuelle formler for deres beregning kan reduseres til en form som er felles for alle effektgjennomsnitt, nemlig

hvor m er eksponenten for potensmiddelverdien: med m = 1 får vi formelen for å beregne det aritmetiske gjennomsnittet, med m = 0 - det geometriske gjennomsnittet, m = -1 - det harmoniske gjennomsnittet, med m = 2 - det kvadratiske gjennomsnittet ;

x i - alternativer (verdier som attributtet tar);

f i - frekvenser.

Hovedbetingelsen som kraftgjennomsnitt kan brukes under i statistisk analyse er homogeniteten til populasjonen, som ikke bør inneholde innledende data som avviker kraftig i deres kvantitative verdi (i litteraturen kalles de anomale observasjoner).

La oss demonstrere viktigheten av denne tilstanden med følgende eksempel.

Eksempel 6.1. La oss beregne gjennomsnittslønnen til ansatte i en liten bedrift.

For å beregne gjennomsnittslønnen, er det nødvendig å summere lønnen påløpt til alle ansatte i bedriften (dvs. finne lønnsfondet) og dele med antall ansatte:

La oss nå bare legge til én person (direktøren for denne bedriften), men med en lønn på 50 000 rubler. I dette tilfellet vil det beregnede gjennomsnittet være helt annerledes:

Som vi kan se, overstiger det 7000 rubler, etc. det er større enn alle attributtverdiene med unntak av en enkelt observasjon.

For å sikre at slike tilfeller ikke oppstår i praksis, og gjennomsnittet ikke mister sin mening (i eksempel 6.1 spiller det ikke lenger rollen som en generaliserende karakteristikk av befolkningen som det burde være), ved beregning av gjennomsnittet, unormalt, skarpt utmerkede observasjoner bør utelukkes fra analysen og emner gjør befolkningen homogen, eller del befolkningen inn i homogene grupper og beregne gjennomsnittsverdiene for hver gruppe og analyser ikke det totale gjennomsnittet, men gruppegjennomsnittsverdiene.

6.1. Aritmetisk gjennomsnitt og dets egenskaper

Det aritmetiske gjennomsnittet beregnes enten som en enkel eller som en vektet verdi.

Når vi beregner gjennomsnittslønnen i henhold til dataene i tabelleksempel 6.1, summerte vi alle verdiene til attributtet og delt på antallet. Vi vil skrive fremdriften av beregningene våre i form av den enkle aritmetiske middelformelen

hvor x i - alternativer (individuelle verdier av karakteristikken);

n er antall enheter i aggregatet.

Eksempel 6.2. La oss nå gruppere dataene våre fra tabellen i eksempel 6.1 osv. La oss konstruere en diskret variasjonsserie av fordelingen av arbeidere etter lønnsnivå. Grupperingsresultatene er presentert i tabellen.

La oss skrive uttrykket for å beregne gjennomsnittlig lønnsnivå i en mer kompakt form:

I eksempel 6.2 ble den vektede aritmetiske gjennomsnittsformelen brukt

hvor f i er frekvenser som viser hvor mange ganger verdien av attributtet x i y forekommer i populasjonsenheter.

Det er praktisk å beregne det aritmetiske vektede gjennomsnittet i en tabell, som vist nedenfor (tabell 6.3):

Det skal bemerkes at det enkle aritmetiske gjennomsnittet brukes i tilfeller der dataene ikke er gruppert eller gruppert, men alle frekvenser er like.

Ofte presenteres observasjonsresultater i form av en intervallfordelingsserie (se tabell i eksempel 6.4). Deretter, når man beregner gjennomsnittet, blir midtpunktene til intervallene tatt som x i. Hvis de første og siste intervallene er åpne (ikke har en av grensene), er de betinget "stengt", og tar verdien av det tilstøtende intervallet som verdien av dette intervallet, etc. den første er stengt basert på verdien av den andre, og den siste - i henhold til verdien til den nest siste.

Eksempel 6.3. Basert på resultatene fra en utvalgsundersøkelse av en av befolkningsgruppene, vil vi beregne mengden gjennomsnittlig pengeinntekt per innbygger.

I tabellen ovenfor er midten av det første intervallet 500. Faktisk er verdien av det andre intervallet 1000 (2000-1000); Deretter bunnlinjen den første er 0 (1000-1000), og den midterste er 500. Vi gjør det samme med det siste intervallet. Vi tar 25 000 som midten: verdien av det nest siste intervallet er 10 000 (20 000-10 000), deretter er den øvre grensen 30 000 (20 000 + 10 000), og den midterste er følgelig 25 000.

Da blir gjennomsnittlig månedlig inntekt per innbygger

Mest av alt i ekv. I praksis må vi bruke det aritmetiske gjennomsnittet, som kan beregnes som det enkle og vektede aritmetiske gjennomsnittet.

Aritmetisk gjennomsnitt (SA)-n Den vanligste typen gjennomsnitt. Den brukes i tilfeller der volumet av en varierende karakteristikk for hele befolkningen er summen av verdiene av egenskapene til dens individuelle enheter. Sosiale fenomener er preget av additiviteten (totaliteten) av volumene til en varierende egenskap, dette bestemmer anvendelsesområdet for SA og forklarer dens utbredelse som en generell indikator; for eksempel: det generelle lønnsfondet er summen av lønnene til alle ansatte.

For å beregne SA, må du dele summen av alle funksjonsverdier med antallet. SA brukes i 2 former.

La oss først vurdere et enkelt aritmetisk gjennomsnitt.

1-CA enkelt (innledende, definerende form) er lik den enkle summen av de individuelle verdiene for karakteristikken som gjennomsnittliggjøres, delt på det totale antallet av disse verdiene (brukes når det er ugrupperte indeksverdier for karakteristikken):

Beregningene som er gjort kan generaliseres til følgende formel:

(1)

Hvor - gjennomsnittsverdien av den varierende karakteristikken, dvs. det enkle aritmetiske gjennomsnittet;

betyr summering, dvs. tillegg av individuelle egenskaper;

x- individuelle verdier med varierende karakteristikk, som kalles varianter;

n - antall enheter av befolkningen

Eksempel 1, det kreves å finne den gjennomsnittlige produksjonen til en arbeider (mekaniker), hvis det er kjent hvor mange deler hver av 15 arbeidere produserte, dvs. gitt en rekke ind. attributtverdier, stk.: 21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Simple SA beregnes ved hjelp av formel (1), stk.:

Eksempel 2. La oss beregne SA basert på betingede data for 20 butikker som inngår i handelsselskapet (tabell 1). Tabell 1

Fordeling av butikker til handelsselskapet "Vesna" etter salgsareal, kvm. M

For å beregne gjennomsnittlig butikkareal ( ) det er nødvendig å legge sammen arealene til alle butikker og dele det resulterende resultatet med antall butikker:

Dermed er gjennomsnittlig butikkareal for denne gruppen handelsbedrifter 71 kvm.

Derfor, for å bestemme en enkel SA, trenger du summen av alle verdier av denne egenskapen delt på antall enheter som har denne egenskapen.

2

Hvor f 1 , f 2 , … ,f n – vekt (hyppighet av gjentakelse av identiske tegn);

– summen av produktene av størrelsen på funksjonene og deres frekvenser;

– det totale antallet befolkningsenheter.

Hvor X- alternativer;

f- frekvens (vekt).

Vektet SA er kvotienten for å dele summen av produktene av opsjoner og deres tilsvarende frekvenser med summen av alle frekvenser. Frekvenser ( f) som vises i SA-formelen kalles vanligvis vekter, som et resultat av at SA beregnet under hensyntagen til vektene kalles vektet.

Vi vil illustrere teknikken for å beregne vektet SA ved å bruke eksempel 1 diskutert ovenfor. For å gjøre dette, vil vi gruppere de første dataene og plassere dem i tabellen.

Gjennomsnittet av de grupperte dataene bestemmes som følger: først multipliseres alternativene med frekvensene, deretter legges produktene til og den resulterende summen deles på summen av frekvensene.

I henhold til formel (2) er den vektede SA lik, stk.:

P

Fordeling av Vesna-butikker etter salgsareal, kvm. m

Dermed ble resultatet det samme. Dette vil imidlertid allerede være en vektet aritmetisk middelverdi.

I forrige eksempel beregnet vi det aritmetiske gjennomsnittet forutsatt at de absolutte frekvensene (antall lagre) er kjent. Men i en rekke tilfeller er absolutte frekvenser fraværende, men relative frekvenser er kjent, eller, som de vanligvis kalles, frekvenser som viser andelen eller andelen frekvenser i hele settet.

Ved beregning av SA vektet bruk frekvenser lar deg forenkle beregninger når frekvensen uttrykkes i store, flersifrede tall. Beregningen gjøres på samme måte, men siden gjennomsnittsverdien viser seg å økes med 100 ganger, bør resultatet deles på 100.

Da vil formelen for det aritmetiske vektede gjennomsnittet se slik ut:

Hvor d- Frekvens, dvs. andelen av hver frekvens i den totale summen av alle frekvenser.

I vårt eksempel 2 definerer vi først egenvekt butikker fordelt på grupper i det totale antallet Vesna-butikker. Så for den første gruppen tilsvarer egenvekten 10 %
. Vi får følgende data Tabell 3