Ko'p sonli noma'lumli tenglamalar tizimini yechish. Chiziqli tenglamalar sistemalarini yechish

Ushbu matematik dasturdan foydalanib, ikkita o'zgaruvchili ikkita chiziqli tenglamalar tizimini almashtirish usuli va qo'shish usuli yordamida echishingiz mumkin.

Dastur nafaqat muammoga javob beradi, balki ikki xil usulda hal qilish bosqichlarini tushuntirish bilan batafsil echimni taqdim etadi: almashtirish usuli va qo'shish usuli.

Ushbu dastur umumta'lim maktablarining o'rta maktab o'quvchilari uchun test va imtihonlarga tayyorgarlik ko'rishda, Yagona davlat imtihonidan oldin bilimlarni sinovdan o'tkazishda va ota-onalar uchun matematika va algebra fanlaridan ko'plab muammolarni hal qilishni nazorat qilishda foydali bo'lishi mumkin. Yoki repetitor yollash yoki yangi darsliklar sotib olish juda qimmatga tushgandir? Yoki matematika yoki algebra uy vazifasini imkon qadar tezroq bajarishni xohlaysizmi? Bunday holda siz bizning dasturlarimizdan batafsil echimlar bilan ham foydalanishingiz mumkin.

Shunday qilib, siz o'zingizning aka-ukalaringiz yoki opa-singillaringizni o'qitishingiz va/yoki o'qitishingiz mumkin, shu bilan birga muammolarni hal qilish sohasidagi ta'lim darajasi oshadi.

Tenglamalarni kiritish qoidalari

Har qanday lotin harfi o'zgaruvchi sifatida harakat qilishi mumkin.
Masalan: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) va hokazo.

Tenglamalarni kiritishda qavslardan foydalanishingiz mumkin. Bunday holda, birinchi navbatda tenglamalar soddalashtiriladi. Soddalashtirilgandan keyingi tenglamalar chiziqli bo'lishi kerak, ya'ni. ax+by+c=0 ko’rinishdagi elementlar tartibining aniqligi bilan.
Masalan: 6x+1 = 5(x+y)+2

Tenglamalarda siz nafaqat butun sonlarni, balki kasrlarni o'nlik va oddiy kasrlar shaklida ham qo'llashingiz mumkin.

O'nli kasrlarni kiritish qoidalari.
O'nli kasrlardagi butun va kasr qismlari nuqta yoki vergul bilan ajratilishi mumkin.
Masalan: 2,1n + 3,5m = 55

Oddiy kasrlarni kiritish qoidalari.
Faqat butun son kasrning ayiruvchisi, maxraji va butun qismi vazifasini bajara oladi.
Maxraj manfiy bo'lishi mumkin emas.
Raqamli kasrni kiritishda hisoblagich maxrajdan bo'linish belgisi bilan ajratiladi: /
Butun qism kasrdan ampersand belgisi bilan ajratiladi: &

Misollar.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)

Ushbu muammoni hal qilish uchun zarur bo'lgan ba'zi skriptlar yuklanmaganligi va dastur ishlamasligi mumkinligi aniqlandi.
Sizda AdBlock yoqilgan bo'lishi mumkin.
Bunday holda, uni o'chiring va sahifani yangilang.

Chunki Muammoni hal qilmoqchi bo'lganlar ko'p, so'rovingiz navbatga qo'yildi.
Bir necha soniya ichida yechim quyida paydo bo'ladi.
Iltimos kuting sek...

Agar Siz yechimdagi xatolikni payqagan, keyin bu haqda fikr-mulohaza shaklida yozishingiz mumkin.
Esdan chiqarma qaysi vazifani ko'rsating nimani hal qilasiz maydonlarga kiring.

Bizning o'yinlarimiz, boshqotirmalarimiz, emulyatorlarimiz:

Bir oz nazariya.

Chiziqli tenglamalar sistemalarini yechish. O'zgartirish usuli

Chiziqli tenglamalar tizimini almashtirish usuli yordamida echishda harakatlar ketma-ketligi:
1) tizimning ba'zi tenglamalaridan bir o'zgaruvchini boshqasi bilan ifodalash;
2) olingan ifodani ushbu o‘zgaruvchi o‘rniga sistemaning boshqa tenglamasiga qo‘ying;

$$ \left\( \begin(massiv)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(massiv) \o'ng. $$

Birinchi tenglamadan y ni x bilan ifodalaymiz: y = 7-3x. 7-3x ifodasini y o'rniga ikkinchi tenglamaga qo'yib, biz tizimni olamiz:
$$ \left\( \begin(massiv)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(massiv) \o'ng. $$

Birinchi va ikkinchi tizimlar bir xil echimlarga ega ekanligini ko'rsatish oson. Ikkinchi tizimda ikkinchi tenglama faqat bitta o'zgaruvchini o'z ichiga oladi. Keling, ushbu tenglamani hal qilaylik:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \O'ng yo'l -5x+14-6x=3 \O'ng yo'l -11x=-11 \O'ng yo'l x=1 $$

y=7-3x tengligiga x o‘rniga 1 raqamini qo‘yib, y ning mos qiymatini topamiz:
$$ y=7-3 \cdot 1 \O'ngga y=4 $$

Juft (1;4) - sistemaning yechimi

Yechimlari bir xil boʻlgan ikkita oʻzgaruvchili tenglamalar sistemalari deyiladi ekvivalent. Yechimlari bo'lmagan tizimlar ham ekvivalent hisoblanadi.

Chiziqli tenglamalar sistemalarini qo`shish yo`li bilan yechish

Chiziqli tenglamalar tizimini yechishning yana bir usuli - qo'shish usulini ko'rib chiqamiz. Tizimlarni shu tarzda yechishda, shuningdek almashtirish yo‘li bilan yechishda biz bu sistemadan tenglamalardan biri faqat bitta o‘zgaruvchini o‘z ichiga oluvchi boshqa, ekvivalent sistemaga o‘tamiz.

Qo'shish usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini echishda harakatlar ketma-ketligi:
1) o'zgaruvchilardan birining koeffitsientlari qarama-qarshi sonlarga aylanishi uchun omillarni tanlab, tizim hadining tenglamalarini hadga ko'paytiring;
2) tizim tenglamalarining chap va o‘ng tomonlarini had bo‘yicha qo‘shish;
3) bitta o‘zgaruvchili hosil bo‘lgan tenglamani yechish;
4) ikkinchi o'zgaruvchining mos qiymatini toping.

Misol. Keling, tenglamalar tizimini yechamiz:
$$ \left\( \begin(massiv)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(massiv) \o'ng. $$

Bu sistemaning tenglamalarida y ning koeffitsientlari qarama-qarshi sonlardir. Tenglamalarning chap va o‘ng tomonlarini had bo‘yicha qo‘shib, bitta o‘zgaruvchisi 3x=33 bo‘lgan tenglamani olamiz. Tizim tenglamalaridan birini, masalan, birinchisini 3x=33 tenglama bilan almashtiramiz. Keling, tizimni olamiz
$$ \left\( \begin(massiv)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(massiv) \o'ng. $$

3x=33 tenglamadan x=11 ekanligini topamiz. Bu x qiymatini \(x-3y=38\) tenglamaga almashtirsak, y o'zgaruvchisi bo'lgan tenglamaga erishamiz: \(11-3y=38\). Keling, ushbu tenglamani hal qilaylik:
\(-3y=27 \O'ng strelka y=-9 \)

Shunday qilib, biz tenglamalar tizimining yechimini qo'shish yo'li bilan topdik: \(x=11; y=-9\) yoki \((11;-9)\)

Tizim tenglamalarida y uchun koeffitsientlar qarama-qarshi sonlar ekanligidan foydalanib, biz uning yechimini ekvivalent tizimning yechimiga keltirdik (asl tizimning har bir tenglamasining ikkala tomonini yig'ish orqali), bunda bittasi tenglamalar faqat bitta o'zgaruvchini o'z ichiga oladi.

Tenglama yechimga ega: agar noma'lumlar koeffitsientlaridan kamida bittasi noldan farq qilsa. Bunday holda, har qanday o'lchovli vektor tenglamaning yechimi deb ataladi, agar uning koordinatalarini almashtirganda, tenglama bir xillikka aylanadi.

Yechilgan tenglamalar tizimining umumiy tavsifi

Tenglamalar sistemasiga tavsif bering.

Yechim:

1. Qarama-qarshi tenglama mavjudmi?(Agar koeffitsientlar bo'lsa, bu holda tenglama quyidagi shaklga ega: va deyiladi bahsli.)

• Agar tizimda bir-biriga zid bo'lgan narsa bo'lsa, unda bunday tizim mos kelmaydigan va hech qanday yechimga ega emas.

2. Barcha ruxsat etilgan o'zgaruvchilarni toping. (Noma'lum deb ataladiruxsat etilgan tenglamalar tizimi uchun, agar u +1 koeffitsientli tizim tenglamalaridan biriga kiritilgan bo'lsa, lekin qolgan tenglamalarga kiritilmagan bo'lsa (ya'ni, u nolga teng koeffitsient bilan kiritilgan).

3. Tenglamalar tizimi yechilganmi? (Tenglamalar tizimi yechilgan deyiladi, agar tizimning har bir tenglamasi echilgan noma'lumni o'z ichiga olsa, ular orasida tasodifiylari yo'q)

Tizimning har bir tenglamasidan bittadan olingan yechilgan noma'lumlar shakllanadi hal qilingan noma'lumlarning to'liq to'plami tizimlari. (bizning misolimizda bu)

To'liq to'plamga kiritilgan ruxsat etilgan noma'lumlar ham deyiladi Asosiy() va to'plamga kiritilmagan - ozod ().

Ushbu bosqichda asosiy narsa nima ekanligini tushunishdir noma'lum hal qilindi(asosiy va bepul kiritilgan).

Umumiy maxsus asosiy yechimlar

Umumiy yechim Yechilgan tenglamalar tizimi - bu erkin shartlar va erkin noma'lumlar orqali hal qilingan noma'lumlarning ifodalari to'plami:

Shaxsiy qaror erkin o'zgaruvchilar va noma'lumlarning o'ziga xos qiymatlari uchun umumiy yechimdan olingan yechim deyiladi.

Asosiy yechim erkin o'zgaruvchilarning nol qiymatlari uchun umumiydan olingan maxsus echimdir.

• Asosiy yechim (vektor) deyiladi degeneratsiya, agar uning nolga teng bo'lmagan koordinatalari soni ruxsat etilgan noma'lumlar sonidan kam bo'lsa.
• Asosiy yechim deyiladi degenerativ bo'lmagan, agar uning nolga teng bo'lmagan koordinatalari soni to'liq to'plamga kiritilgan tizimning ruxsat etilgan noma'lumlari soniga teng bo'lsa.

Teorema (1)

Yechilgan tenglamalar tizimi doimo izchil bo'ladi(chunki u kamida bitta yechimga ega); Bundan tashqari, agar tizimda bepul noma'lumlar bo'lmasa,(ya'ni, tenglamalar tizimida barcha ruxsat etilganlar asosga kiritilgan) keyin aniqlanadi(yagona yechimga ega); agar kamida bitta erkin o'zgaruvchi bo'lsa, u holda tizim aniqlanmagan(cheksiz ko'p echimlarga ega).

Yechim:

1. Tizim ruxsat etilganligini tekshiramizmi?

• Tizim hal qilindi (chunki tenglamalarning har biri hal qilingan noma'lumni o'z ichiga oladi)

2. Biz to'plamga ruxsat etilgan noma'lumlarni kiritamiz - har bir tenglamadan bitta.

3. To'plamga qaysi ruxsat etilgan noma'lumlarni kiritganimizga qarab umumiy yechimni yozamiz.

4. Muayyan yechim topish. Buning uchun biz to'plamga kiritmagan erkin o'zgaruvchilarni ixtiyoriy raqamlar bilan tenglashtiramiz.

Javob: shaxsiy yechim(variantlardan biri)

5. Asosiy yechim topish. Buning uchun biz to'plamga kiritmagan erkin o'zgaruvchilarni nolga tenglashtiramiz.

Chiziqli tenglamalarni elementar o'zgartirishlar

Chiziqli tenglamalar tizimlari elementar transformatsiyalar yordamida ekvivalent echilgan tizimlarga keltiriladi.

Teorema (2)

Agar mavjud bo'lsa sistema tenglamasini nolga teng bo'lmagan ba'zi bir songa ko'paytiring, va qolgan tenglamalarni o'zgarishsiz qoldiring, keyin . (ya'ni, agar siz tenglamaning chap va o'ng tomonlarini bir xil raqamga ko'paytirsangiz, siz shunga teng tenglamaga ega bo'lasiz)

Teorema (3)

Agar tizimning istalgan tenglamasiga boshqasini qo'shing, va boshqa barcha tenglamalarni o'zgarishsiz qoldiring, keyin biz shunga o'xshash tizimni olamiz. (ya'ni, agar siz ikkita tenglama qo'shsangiz (ularning chap va o'ng tomonlarini qo'shish orqali) siz ma'lumotlarga ekvivalent tenglama olasiz)

Teoremalarning xulosasi (2 va 3)

Agar ma'lum songa ko'paytiriladigan tenglamaga boshqa tenglama qo'shing, va boshqa barcha tenglamalarni o'zgarishsiz qoldiring, keyin biz shunga o'xshash tizimni olamiz.

Tizim koeffitsientlarini qayta hisoblash uchun formulalar

Agar bizda tenglamalar tizimi bo'lsa va biz uni echilgan tenglamalar tizimiga aylantirmoqchi bo'lsak, bunda bizga Jordan-Gauss usuli yordam beradi.

Iordaniya o'zgarishi hal qiluvchi element bilan tenglamalar tizimi uchun sonli tenglamada yechilgan noma'lumni olish imkonini beradi. (2-misol).

Aytaylik, biz quyi tenglamadagi noma’lumni yechilgan noma’lum holga keltirmoqchimiz. Buning uchun ga bo'lish kerak, shuning uchun yig'indi .

Raqamli tenglamani ga bo'lishda uning koeffitsientlari formulalar yordamida qayta hisoblab chiqiladi:

Raqamli tenglamadan chiqarib tashlash uchun raqam bilan tenglamani ko'paytirish va ushbu tenglamaga qo'shish kerak.

Teorema (4) Tizim tenglamalari sonini kamaytirish haqida.

Agar tenglamalar tizimi arzimas tenglamani o'z ichiga olsa, u tizimdan chiqarib tashlanishi mumkin va asl tenglamaga ekvivalent tizim olinadi.

Teorema (5) Tenglamalar sistemasining mos kelmasligi haqida.

Agar tenglamalar tizimi mos kelmaydigan tenglamani o'z ichiga olsa, u mos kelmaydi.

Jordan-Gauss usuli algoritmi

Jordan-Gauss usuli yordamida tenglamalar tizimini echish algoritmi bir qancha o'xshash bosqichlardan iborat bo'lib, ularning har birida harakatlar quyidagi tartibda amalga oshiriladi:

1. Tizimning mos kelmasligini tekshiradi. Agar tizim nomuvofiq tenglamani o'z ichiga olsa, u mos kelmaydi.
2. Tenglamalar sonini kamaytirish imkoniyati tekshiriladi. Agar tizimda ahamiyatsiz tenglama bo'lsa, u chizib tashlanadi.
3. Agar tenglamalar tizimi echilgan bo'lsa, u holda tizimning umumiy yechimini va kerak bo'lganda alohida echimlarni yozing.
4. Agar tizim hal etilmasa, u holda echilgan noma'lumni o'z ichiga olmagan tenglamada hal qiluvchi element tanlanadi va bu element bilan Jordan transformatsiyasi amalga oshiriladi.
5. Keyin 1-bandga qayting

Toping: ikkita umumiy va ikkita mos keladigan asosiy echimlar

Yechim:

Hisob-kitoblar quyidagi jadvalda keltirilgan:

Jadvalning o'ng tomonida tenglamalar bo'yicha harakatlar mavjud. O'qlar qaysi tenglamaga mos keladigan koeffitsientga ko'paytirilgan hal qiluvchi element bilan tenglama qo'shilganligini ko'rsatadi.

Jadvalning dastlabki uchta qatorida noma'lumlar koeffitsientlari va dastlabki tizimning o'ng tomonlari mavjud. Rezolyutsiya elementi birga teng bo'lgan birinchi Iordaniya konvertatsiyasi natijalari 4, 5, 6-satrlarda. (-1) ga teng bo'lgan rezolyutsiya elementi bilan ikkinchi Iordaniya konvertatsiyasining natijalari 7, 8, 9-satrlarda berilgan. Uchinchi tenglama ahamiyatsiz bo'lgani uchun uni ko'rib chiqish mumkin emas.

§1. Chiziqli tenglamalar sistemalari.

Tizimni ko'rish

tizim deb ataladi m bilan chiziqli tenglamalar n noma'lum.

Bu yerga
- noma'lum, - noma'lumlar uchun koeffitsientlar,
- tenglamalarning erkin shartlari.

Agar tenglamalarning barcha erkin shartlari nolga teng bo'lsa, tizim chaqiriladi bir hil.Qaror bilan tizim raqamlar to'plami deb ataladi
, ularni noma'lumlar o'rniga tizimga qo'shganda, barcha tenglamalar identifikatsiyaga aylanadi. Tizim deyiladi qo'shma, agar u kamida bitta yechimga ega bo'lsa. Noyob yechimga ega bo'lgan mos keladigan tizim deyiladi aniq. Ikki tizim deyiladi ekvivalent, agar ularning yechimlari to'plamlari mos kelsa.

Tizim (1) tenglama yordamida matritsa shaklida ifodalanishi mumkin

(2)

.

§2. Chiziqli tenglamalar sistemalarining mosligi.

(1) tizimning kengaytirilgan matritsasini matritsa deb ataymiz

Kroneker-Kapelli teoremasi. Tizim (1) agar tizim matritsasining darajasi kengaytirilgan matritsa darajasiga teng bo'lsa, izchil bo'ladi:

.

§3. Tizimli yechimn bilan chiziqli tenglamalarn noma'lum.

Bir hil bo'lmagan tizimni ko'rib chiqing n bilan chiziqli tenglamalar n noma'lum:

(3)

Kramer teoremasi.Agar tizimning asosiy determinanti (3)
, keyin tizim formulalar bilan aniqlangan yagona yechimga ega bo'ladi:

bular.
,

Qayerda - aniqlovchidan olingan aniqlovchi almashtirish th ustundan bepul a'zolar ustuniga.

Agar
, va kamida bittasi ≠0 bo'lsa, tizimda hech qanday yechim yo'q.

Agar
, keyin tizim cheksiz ko'p echimlarga ega.

Tizim (3) uning matritsa shakli (2) yordamida echilishi mumkin. Agar matritsa o'rinli bo'lsa A teng n, ya'ni.
, keyin matritsa A teskarisiga ega
. Matritsa tenglamasini ko'paytirish
matritsaga
chap tomonda biz olamiz:

.

Oxirgi tenglik chiziqli tenglamalar tizimini teskari matritsa yordamida yechish usulini ifodalaydi.

Misol. Teskari matritsa yordamida tenglamalar tizimini yeching.

Yechim. Matritsa
degenerativ emas, chunki
, bu teskari matritsa borligini bildiradi. Teskari matritsani hisoblaymiz:
.

,

Mashq qilish. Tizimni Kramer usuli yordamida yeching.

§4. Chiziqli tenglamalarning ixtiyoriy tizimlarini yechish.

(1) ko'rinishdagi bir jinsli bo'lmagan chiziqli tenglamalar tizimi berilsin.

Aytaylik, tizim izchil, ya'ni. Kroneker-Kapelli teoremasining sharti bajariladi:
. Agar matritsaning darajasi bo'lsa
(noma'lumlar soni), keyin tizim noyob yechimga ega. Agar
, keyin tizim cheksiz ko'p echimlarga ega. Keling, tushuntiraman.

Matritsaning darajasi bo'lsin r(A)= r< n. Chunki
, keyin tartibning nolga teng bo'lmagan ba'zi minorlari mavjud r. Keling, buni asosiy kichik deb ataymiz. Koeffitsientlari bazis minorini tashkil etuvchi noma'lumlar asosiy o'zgaruvchilar deb ataladi. Qolgan noma'lumlarni biz erkin o'zgaruvchilar deb ataymiz. Keling, tenglamalarni o'zgartiramiz va o'zgaruvchilarni shunday raqamlaymizki, bu minor tizim matritsasining yuqori chap burchagida joylashgan bo'ladi:

.

Birinchidan r chiziqlar chiziqli mustaqil, qolganlari ular orqali ifodalanadi. Shuning uchun, bu chiziqlar (tenglamalar) o'chirilishi mumkin. Biz olamiz:

Erkin o'zgaruvchilarga ixtiyoriy son qiymatlarni beraylik: . Keling, chap tomonda faqat asosiy o'zgaruvchilarni qoldirib, bo'shlarini o'ng tomonga o'tkazamiz.

Tizimni oldim r bilan chiziqli tenglamalar r noma'lum, determinanti 0 dan farq qiladi. Uning yagona yechimi bor.

Bu sistema chiziqli tenglamalar sistemasining umumiy yechimi deyiladi (1). Aks holda: asosiy o'zgaruvchilarni erkinlar orqali ifodalash deyiladi umumiy qaror tizimlari. Undan cheksiz sonni olishingiz mumkin shaxsiy echimlar, erkin o'zgaruvchilarga ixtiyoriy qiymatlarni berish. Erkin o'zgaruvchilarning nol qiymatlari uchun umumiy echimdan olingan ma'lum bir yechim deyiladi asosiy yechim. Turli xil asosiy echimlar soni oshmaydi
. Salbiy bo'lmagan komponentlarga ega bo'lgan asosiy yechim deyiladi qo'llab-quvvatlovchi tizimli yechim.

Misol.

,r=2.

O'zgaruvchilar
- Asosiy,
- ozod.

Keling, tenglamalarni qo'shamiz; ifoda qilaylik
orqali
:

- umumiy qaror.

- shaxsiy yechim uchun
.

- asosiy yechim, ma'lumotnoma.

§5. Gauss usuli.

Gauss usuli chiziqli tenglamalarning ixtiyoriy tizimlarini o'rganish va yechish uchun universal usuldir. Bu tizimlarning ekvivalentligini buzmaydigan elementar transformatsiyalar yordamida noma'lumlarni ketma-ket yo'q qilish orqali tizimni diagonal (yoki uchburchak) shaklga qisqartirishdan iborat. Agar o'zgaruvchi tizimning faqat bitta koeffitsienti 1 tenglamasida bo'lsa, o'zgaruvchi chiqarib tashlangan deb hisoblanadi.

Elementar transformatsiyalar tizimlar quyidagilardir:

Tenglamani noldan boshqa raqamga ko'paytirish;

Har qanday songa ko'paytiriladigan tenglamani boshqa tenglama bilan qo'shish;

Tenglamalarni qayta tartibga solish;

0 = 0 tenglamasini rad qilish.

Elementar o'zgartirishlar tenglamalarda emas, balki hosil bo'lgan ekvivalent tizimlarning kengaytirilgan matritsalarida amalga oshirilishi mumkin.

Misol.

Yechim. Tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz:

.

Elementar o'zgarishlarni amalga oshirib, biz matritsaning chap tomonini birlik shakliga keltiramiz: biz asosiy diagonalda birlarni, uning tashqarisida esa nollarni yaratamiz.

Izoh. Agar elementar o'zgarishlarni amalga oshirishda 0 ko'rinishdagi tenglama olinadi = k(Qaerda Kimga0), keyin tizim mos kelmaydi.

Noma'lumlarni ketma-ket yo'q qilish usuli bilan chiziqli tenglamalar tizimini yechish ko'rinishida yozilishi mumkin. jadvallar.

Jadvalning chap ustunida istisno qilingan (asosiy) o'zgaruvchilar haqidagi ma'lumotlar mavjud. Qolgan ustunlar noma'lumlar koeffitsientlarini va tenglamalarning erkin shartlarini o'z ichiga oladi.

Tizimning kengaytirilgan matritsasi manba jadvalida qayd etilgan. Keyinchalik, biz Iordaniya o'zgarishlarini amalga oshirishni boshlaymiz:

1. O'zgaruvchini tanlang , bu asosga aylanadi. Tegishli ustun kalit ustun deb ataladi. Bu o‘zgaruvchi boshqa tenglamalardan chiqarib tashlangandan keyin ham qoladigan tenglamani tanlang. Tegishli jadval qatori kalit qator deb ataladi. Koeffitsient , kalit qatori va asosiy ustunning kesishmasida turish kalit deb ataladi.

2. Asosiy satr elementlari asosiy elementga bo'linadi.

3. Kalit ustuni nollar bilan to'ldiriladi.

4. Qolgan elementlar to'rtburchaklar qoidasi yordamida hisoblanadi. Qarama-qarshi uchlarida asosiy element va qayta hisoblangan element joylashgan to'rtburchaklar yarating; asosiy element bilan to'rtburchakning diagonalida joylashgan elementlarning mahsulotidan boshqa diagonalning elementlarining mahsuloti ayiriladi va natijada olingan farq asosiy elementga bo'linadi.

Misol. Tenglamalar tizimining umumiy va asosiy yechimini toping:

Yechim.

Tizimning umumiy yechimi:

Asosiy yechim:
.

Yagona almashtirish transformatsiyasi tizimning bir bazasidan ikkinchisiga o'tishga imkon beradi: asosiy o'zgaruvchilardan biri o'rniga bazisga erkin o'zgaruvchilardan biri kiritiladi. Buning uchun erkin o'zgaruvchilar ustunidan asosiy elementni tanlang va yuqoridagi algoritmga muvofiq transformatsiyalarni bajaring.

§6. Qo'llab-quvvatlash echimlarini topish

Chiziqli tenglamalar sistemasining etalon yechimi manfiy komponentlarni o'z ichiga olmaydigan asosiy yechimdir.

Tizimning etalon yechimlari quyidagi shartlar bajarilganda Gauss usulida topiladi.

1. Dastlabki tizimda barcha bepul shartlar salbiy bo'lmasligi kerak:
.

2. Asosiy element ijobiy koeffitsientlar orasidan tanlanadi.

3. Agar bazisga kiritilgan o'zgaruvchi bir nechta ijobiy koeffitsientlarga ega bo'lsa, u holda asosiy chiziq bo'sh hadning ijobiy koeffitsientga nisbati eng kichik bo'lgan chiziqdir.

Eslatma 1. Agar noma'lumlarni yo'q qilish jarayonida barcha koeffitsientlar ijobiy bo'lmagan va erkin muddat bo'lgan tenglama paydo bo'lsa.
, keyin tizimda salbiy bo'lmagan echimlar yo'q.

Eslatma 2. Agar erkin o'zgaruvchilar uchun koeffitsientlar ustunlarida bitta ijobiy element bo'lmasa, boshqa mos yozuvlar echimiga o'tish mumkin emas.

Misol.

Keling, birinchi navbatda tenglamalar soni o'zgaruvchilar soniga teng bo'lgan holatni ko'rib chiqaylik, ya'ni. m = n. U holda sistemaning matritsasi kvadrat bo'lib, uning determinanti sistemaning determinanti deyiladi.

Teskari matritsa usuli

AX = B tenglamalar tizimini umumiy ko'rinishda ko'rib chiqaylik, buzilmagan kvadrat matritsa A bilan. Bu holda, A -1 teskari matritsa mavjud. Ikkala tomonni chap tomonda A -1 ga ko'paytiramiz. Biz A -1 AX = A -1 B ni olamiz. Demak, EX = A -1 B va

Oxirgi tenglik bunday tenglamalar sistemalarining yechimlarini topish uchun matritsa formulasidir. Ushbu formuladan foydalanish teskari matritsa usuli deb ataladi

Masalan, quyidagi tizimni hal qilish uchun ushbu usuldan foydalanamiz:

;

Tizimni yechish oxirida siz topilgan qiymatlarni tizim tenglamalariga almashtirish orqali tekshirishingiz mumkin. Bunda ular haqiqiy tenglikka aylanishi kerak.

Ko'rib chiqilgan misol uchun biz tekshiramiz:

Kramer formulalari yordamida kvadrat matritsali chiziqli tenglamalar tizimini yechish usuli

n= 2 bo‘lsin:

Agar birinchi tenglamaning ikkala tomonini 22 ga, ikkinchisining ikkala tomonini (-a 12) ga ko‘paytirsak va natijada hosil bo‘lgan tenglamalarni qo‘shsak, u holda tizimdan x 2 o‘zgaruvchini chiqarib tashlagan bo‘lamiz. Xuddi shunday, siz x 1 o'zgaruvchisini yo'q qilishingiz mumkin (birinchi tenglamaning ikkala tomonini (-a 21) va ikkinchisining ikkala tomonini 11 ga ko'paytirish orqali). Natijada biz tizimni olamiz:

Qavs ichidagi ifoda tizimning determinantidir

belgilaylik

Keyin tizim quyidagi shaklni oladi:

Olingan sistemadan kelib chiqadiki, agar sistemaning determinanti 0 bo'lsa, sistema izchil va aniq bo'ladi. Uning yagona yechimini formulalar yordamida hisoblash mumkin:

Agar = 0, a 1 0 va/yoki  2 0 bo‘lsa, tizim tenglamalari 0*x 1 = 2 va/yoki 0*x 1 = 2 ko‘rinishini oladi. Bunday holda, tizim mos kelmaydigan bo'ladi.

= 1 = 2 = 0 bo'lganda, tizim izchil va noaniq bo'ladi (cheksiz ko'p echimlarga ega bo'ladi), chunki u quyidagi shaklni oladi:

Kramer teoremasi(Biz dalilni o'tkazib yuboramiz). Agar  tenglamalar sistemasi matritsasining determinanti nolga teng bo'lmasa, u holda sistema formulalar bilan aniqlangan yagona yechimga ega bo'ladi:

,

Bu yerda  j - A matritsadan j-ustunni erkin hadlar ustuni bilan almashtirish orqali olingan matritsaning aniqlovchisi.

Yuqoridagi formulalar deyiladi Kramer formulalari.

Misol tariqasida, teskari matritsa usuli yordamida ilgari echilgan tizimni echish uchun ushbu usuldan foydalanamiz:

Ko'rib chiqilgan usullarning kamchiliklari:

1) muhim mehnat zichligi (determinantlarni hisoblash va teskari matritsani topish);

2) cheklangan qamrov (kvadrat matritsali tizimlar uchun).

Haqiqiy iqtisodiy vaziyatlar ko'pincha tenglamalar va o'zgaruvchilar soni sezilarli bo'lgan va o'zgaruvchilardan ko'ra ko'proq tenglamalar mavjud bo'lgan tizimlar tomonidan modellashtiriladi.

Gauss usuli (o'zgaruvchilarni ketma-ket yo'q qilish usuli)

Bu usul n ta o'zgaruvchili m chiziqli tenglamalar sistemasini umumiy shaklda yechishda qo'llaniladi. Uning mohiyati kengaytirilgan matritsaga ekvivalent o'zgartirishlar tizimini qo'llashdan iborat bo'lib, uning yordamida tenglamalar tizimi uning echimlarini topish oson bo'lganda (agar mavjud bo'lsa) shaklga aylanadi.

Bu tizim matritsasining yuqori chap qismi bosqichli matritsa bo'ladigan ko'rinishdir. Bunga darajani aniqlash uchun qadam matritsasini olishda qo'llanilgan bir xil usullar yordamida erishiladi. Bunday holda, kengaytirilgan matritsaga elementar o'zgartirishlar qo'llaniladi, bu esa ekvivalent tenglamalar tizimini olish imkonini beradi. Shundan so'ng kengaytirilgan matritsa quyidagi shaklni oladi:

Bunday matritsani olish deyiladi to'g'ri yo'nalishda Gauss usuli.

Tegishli tenglamalar tizimidan o'zgaruvchilarning qiymatlarini topish deyiladi teskari Gauss usuli. Keling, ko'rib chiqaylik.

E'tibor bering, oxirgi (m - r) tenglamalar quyidagi shaklda bo'ladi:

Agar raqamlardan kamida bittasi bo'lsa
nolga teng bo'lmasa, mos keladigan tenglik noto'g'ri bo'ladi va butun tizim mos kelmaydi.

Shuning uchun, har qanday qo'shma tizim uchun
. Bunday holda, o'zgaruvchilarning har qanday qiymatlari uchun oxirgi (m - r) tenglamalar 0 = 0 identifikatsiyalari bo'ladi va tizimni echishda ularni e'tiborsiz qoldirish mumkin (shunchaki mos keladigan qatorlarni olib tashlang).

Shundan so'ng, tizim quyidagicha ko'rinadi:

Avval r=n bo'lgan holatni ko'rib chiqamiz. Keyin tizim quyidagi shaklni oladi:

Tizimning oxirgi tenglamasidan x r ni yagona tarzda topish mumkin.

X r ni bilsak, undan x r -1 ni aniq ifodalashimiz mumkin. Keyin oldingi tenglamadan x r va x r -1 ni bilib, biz x r -2 va hokazolarni ifodalashimiz mumkin. x 1 gacha.

Shunday qilib, bu holda tizim birgalikda va aniqlangan bo'ladi.

Endi r bo'lgan holatni ko'rib chiqing Asosiy(asosiy) va qolganlari - asosiy bo'lmagan(asosiy bo'lmagan, bepul). Tizimning oxirgi tenglamasi quyidagicha bo'ladi:

Ushbu tenglamadan biz x r asosiy o'zgaruvchini asosiy bo'lmaganlar bilan ifodalashimiz mumkin:

Oxirgidan oldingi tenglama quyidagicha ko'rinadi:

Natijadagi ifodani x r o‘rniga qo‘yish orqali x r -1 asosiy o‘zgaruvchini asosiy bo‘lmaganlar bilan ifodalash mumkin bo‘ladi. Va hokazo. variablex 1 ga. Tizimga yechim topish uchun siz asosiy bo'lmagan o'zgaruvchilarni ixtiyoriy qiymatlarga tenglashtirishingiz va keyin olingan formulalar yordamida asosiy o'zgaruvchilarni hisoblashingiz mumkin. Shunday qilib, bu holda tizim izchil va noaniq bo'ladi (cheksiz ko'p echimlarga ega).

Masalan, tenglamalar tizimini yechamiz:

Biz asosiy o'zgaruvchilar to'plamini chaqiramiz asos tizimlari. Ular uchun koeffitsientlar ustunlari to'plamini ham chaqiramiz asos(asosiy ustunlar) yoki asosiy kichik tizim matritsalari. Barcha asosiy bo'lmagan o'zgaruvchilar nolga teng bo'lgan tizimning yechimi chaqiriladi asosiy yechim.

Oldingi misolda asosiy yechim (4/5; -17/5; 0; 0) bo'ladi (x 3 va x 4 o'zgaruvchilari (c 1 va c 2) nolga o'rnatiladi va asosiy o'zgaruvchilar x 1). va x 2 ular orqali hisoblanadi) . Asosiy bo'lmagan yechimga misol keltirish uchun x 3 va x 4 (c 1 va c 2) ni bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lmagan ixtiyoriy sonlarga tenglashtirishimiz va ular orqali qolgan o'zgaruvchilarni hisoblashimiz kerak. Masalan, 1 = 1 va 2 = 0 bilan biz asosiy bo'lmagan yechimni olamiz - (4/5; -12/5; 1; 0). O'zgartirish orqali ikkala yechimning ham to'g'riligini tekshirish oson.

Ko'rinib turibdiki, noaniq sistemada cheksiz ko'p asosiy bo'lmagan echimlar bo'lishi mumkin. Qancha asosiy echimlar bo'lishi mumkin? O'zgartirilgan matritsaning har bir satri bitta bazis o'zgaruvchiga mos kelishi kerak. Muammoda n ta o'zgaruvchi va r ta asosiy chiziq mavjud. Shuning uchun asosiy o'zgaruvchilarning barcha mumkin bo'lgan to'plamlari soni n ning kombinatsiyalari sonidan 2 ga oshmasligi kerak. dan kam bo'lishi mumkin , chunki tizimni o'zgaruvchilarning ushbu alohida to'plami asos bo'ladigan shaklga aylantirish har doim ham mumkin emas.

Bu qanaqa? Bu o'zgaruvchilar uchun koeffitsientlar ustunlaridan hosil bo'lgan matritsa bosqichma-bosqich va bir vaqtning o'zida r qatordan iborat bo'lgan tur. Bular. bu o'zgaruvchilar uchun koeffitsient matritsasi darajasi r ga teng bo'lishi kerak. U kattaroq bo'lishi mumkin emas, chunki ustunlar soni teng. Agar u r dan kichik bo'lib chiqsa, bu ustunlarning o'zgaruvchilarga chiziqli bog'liqligini ko'rsatadi. Bunday ustunlar asos bo'la olmaydi.

Keling, yuqorida muhokama qilingan misolda yana qanday asosiy echimlarni topish mumkinligini ko'rib chiqaylik. Buni amalga oshirish uchun har birida ikkita asosiy bo'lgan to'rtta o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan kombinatsiyalarini ko'rib chiqing. Bunday kombinatsiyalar bo'ladi
, va ulardan biri (x 1 va x 2) allaqachon ko'rib chiqilgan.

Keling, x 1 va x 3 o'zgaruvchilarni olaylik. Ular uchun koeffitsientlar matritsasining darajasini topamiz:

Ikkiga teng bo'lgani uchun ular asosiy bo'lishi mumkin. Asosiy bo'lmagan x 2 va x 4 o'zgaruvchilarni nolga tenglashtiramiz: x 2 = x 4 = 0. Keyin x 1 = 4/5 – (1/5)*x 4 formulasidan x 1 = 4 kelib chiqadi. /5 va x 2 = -17/5 + x 3 - - (7/5)*x 4 = -17/5 + x 3 formulasidan x 3 = x 2 +17/5 = 17/ bo'ladi. 5. Shunday qilib, biz asosiy yechimni olamiz (4/5; 0; 17/5; 0).

Xuddi shunday, siz x 1 va x 4 - (9/7; 0; 0; -17/7) asosiy o'zgaruvchilar uchun asosiy echimlarni olishingiz mumkin; x 2 va x 4 – (0; -9; 0; 4); x 3 va x 4 – (0; 0; 9; 4).

Ushbu misoldagi x 2 va x 3 o'zgaruvchilarni asosiy sifatida qabul qilib bo'lmaydi, chunki mos keladigan matritsaning darajasi bittaga teng, ya'ni. ikkitadan kam:

.

Muayyan o'zgaruvchilardan asos yaratish mumkinmi yoki yo'qligini aniqlashning boshqa yondashuvi ham mumkin. Misolni yechishda tizim matritsasini bosqichma-bosqich shaklga o'tkazish natijasida u quyidagi shaklni oldi:

O'zgaruvchilar juftligini tanlab, ushbu matritsaning mos keladigan kichiklarini hisoblash mumkin edi. X 2 va x 3 dan tashqari barcha juftliklar uchun ular nolga teng emasligini tekshirish oson, ya'ni. ustunlar chiziqli mustaqildir. Va faqat x 2 va x 3 o'zgaruvchilari bo'lgan ustunlar uchun
, bu ularning chiziqli bog'liqligini ko'rsatadi.

Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik. Keling, tenglamalar tizimini yechamiz

Shunday qilib, oxirgi matritsaning uchinchi qatoriga mos keladigan tenglama qarama-qarshidir - bu noto'g'ri tenglikka olib keldi 0 = -1, shuning uchun bu tizim mos kelmaydi.

Jordan-Gauss usuli 3 Gauss usulining ishlanmasidir. Uning mohiyati shundan iboratki, tizimning kengaytirilgan matritsasi o'zgaruvchilar koeffitsientlari satrlar yoki ustunlar 4 almashtirilishigacha (bu erda r - tizim matritsasi darajasi) bir xillik matritsasini tashkil etadigan shaklga aylanadi.

Keling, ushbu usul yordamida tizimni hal qilaylik:

Tizimning kengaytirilgan matritsasini ko'rib chiqing:

Ushbu matritsada biz birlik elementini tanlaymiz. Masalan, uchinchi cheklovdagi x 2 uchun koeffitsient 5 ga teng. Keling, ushbu ustundagi qolgan qatorlar noldan iborat bo'lishini ta'minlaylik, ya'ni. ustunni bitta qilaylik. Transformatsiya jarayonida biz buni chaqiramiz ustunruxsat beruvchi(etakchi, kalit). Uchinchi cheklov (uchinchi chiziq) biz ham qo'ng'iroq qilamiz ruxsat beruvchi. O'zim element, hal qiluvchi satr va ustunning kesishmasida joylashgan (bu erda bitta) ham deyiladi ruxsat beruvchi.

Birinchi qatorda endi (-1) koeffitsient mavjud. Uning o'rnida nolni olish uchun uchinchi qatorni (-1) ga ko'paytiring va natijani birinchi qatordan chiqaring (ya'ni, birinchi qatorni uchinchi qatorga qo'shing).

Ikkinchi qator koeffitsientni o'z ichiga oladi 2. Uning o'rnida nolni olish uchun uchinchi qatorni 2 ga ko'paytiring va natijani birinchi qatordan olib tashlang.

Transformatsiyaning natijasi quyidagicha bo'ladi:

Ushbu matritsadan birinchi ikkita cheklovdan birini kesib tashlash mumkinligi aniq ko'rinadi (tegishli qatorlar proportsionaldir, ya'ni bu tenglamalar bir-biridan kelib chiqadi). Masalan, ikkinchisini kesib o'tamiz:

Shunday qilib, yangi tizim ikkita tenglamaga ega. Bitta ustun (ikkinchi) olinadi va bu erda birlik ikkinchi qatorda paydo bo'ladi. Yangi tizimning ikkinchi tenglamasi x 2 asosiy o'zgaruvchiga mos kelishini eslaylik.

Birinchi qator uchun asosiy o'zgaruvchini tanlaymiz. Bu x 3 dan tashqari har qanday o'zgaruvchi bo'lishi mumkin (chunki x 3 uchun birinchi cheklov nol koeffitsientga ega, ya'ni x 2 va x 3 o'zgaruvchilar to'plami bu erda asosiy bo'lishi mumkin emas). Siz birinchi yoki to'rtinchi o'zgaruvchini olishingiz mumkin.

Keling, x 1 ni tanlaymiz. Keyin hal qiluvchi element 5 bo'ladi va birinchi qatorning birinchi ustunida bittasini olish uchun hal qiluvchi tenglamaning ikkala tomonini beshga bo'lish kerak bo'ladi.

Qolgan qatorlar (ya'ni, ikkinchi qator) birinchi ustunda nolga ega bo'lishini ta'minlaylik. Endi ikkinchi qator nol emas, balki 3 ni o'z ichiga olganligi sababli, biz ikkinchi qatordan o'zgartirilgan birinchi qatorning elementlarini 3 ga ko'paytirishimiz kerak:

Hosil boʻlgan matritsadan toʻgʻridan-toʻgʻri bitta asosiy yechimni mos keladigan tenglamalarda noasosiy oʻzgaruvchilarni nolga, asosiylarini esa erkin hadlarga tenglashtirib olish mumkin: (0,8; -3,4; 0; 0). Bundan tashqari, asosiy o'zgaruvchilarni asosiy bo'lmaganlar orqali ifodalovchi umumiy formulalarni olishingiz mumkin: x 1 = 0,8 – 1,2 x 4; x 2 = -3,4 + x 3 + 1,6x 4. Bu formulalar tizimning butun cheksiz yechimlar to'plamini tavsiflaydi (x 3 va x 4 ni ixtiyoriy sonlarga tenglashtirsangiz, x 1 va x 2 ni hisoblashingiz mumkin).

E'tibor bering, Jordan-Gauss usulining har bir bosqichida o'zgarishlarning mohiyati quyidagicha edi:

1) o'z o'rnida birlikni olish uchun ruxsat chizig'i rezolyutsiya elementiga bo'lingan;

2) boshqa barcha qatorlardan o'zgartirilgan o'lcham ayirildi, bu element o'rniga nolni olish uchun ruxsat ustunidagi berilgan qatordagi elementga ko'paytirildi.

Keling, tizimning o'zgartirilgan kengaytirilgan matritsasini yana ko'rib chiqaylik:

Bu yozuvdan ko'rinib turibdiki, A sistema matritsasining darajasi r ga teng.

Mulohaza yuritishimiz davomida biz tizim faqat va agar shunday bo'lsa, kooperativ bo'lishini aniqladik
. Bu shuni anglatadiki, tizimning kengaytirilgan matritsasi quyidagicha ko'rinadi:

Nolinchi qatorlarni tashlab, tizimning kengaytirilgan matritsasining darajasi ham r ga teng ekanligini bilib olamiz.

Kroneker-Kapelli teoremasi. Chiziqli tenglamalar tizimi, agar tizim matritsasining darajasi ushbu tizimning kengaytirilgan matritsasining darajasiga teng bo'lsa, izchil bo'ladi.

Eslatib o'tamiz, matritsaning darajasi uning chiziqli mustaqil qatorlarining maksimal soniga teng. Bundan kelib chiqadiki, agar kengaytirilgan matritsaning darajasi tenglamalar sonidan kichik bo'lsa, u holda tizim tenglamalari chiziqli bog'liq bo'lib, ulardan bir yoki bir nechtasini tizimdan chiqarib tashlash mumkin (chunki ular chiziqli boshqalarning kombinatsiyasi). Agar kengaytirilgan matritsaning darajasi tenglamalar soniga teng bo'lsa, tenglamalar tizimi chiziqli mustaqil bo'ladi.

Bundan tashqari, bir vaqtning o'zida chiziqli tenglamalar tizimlari uchun, agar matritsaning darajasi o'zgaruvchilar soniga teng bo'lsa, u holda tizim o'ziga xos echimga ega bo'ladi va agar u o'zgaruvchilar sonidan kam bo'lsa, u holda bahslashish mumkin. tizim cheksiz va cheksiz ko'p echimlarga ega.

1Masalan, matritsada beshta qator bo'lsin (asl qatorlar tartibi 12345). Biz ikkinchi qatorni va beshinchi qatorni o'zgartirishimiz kerak. Ikkinchi qator beshinchi o'rinni egallashi va "pastga siljishi" uchun biz qo'shni qatorlarni ketma-ket uch marta o'zgartiramiz: ikkinchi va uchinchi (13245), ikkinchi va to'rtinchi (13425) va ikkinchi va beshinchi (13452) ). Keyin, beshinchi qator asl matritsada ikkinchi o'rinni egallashi uchun beshinchi qatorni faqat ikkita ketma-ket o'zgartirishga "siljitish" kerak: beshinchi va to'rtinchi qatorlar (13542) va beshinchi va uchinchi qatorlar. (15342).

2n dan r gacha bo'lgan kombinatsiyalar soni ular n-elementlar to'plamining barcha turli xil r-elementlar kichik to'plamlari sonini chaqiradilar (elementlarning turli xil tarkibiga ega bo'lganlar turli to'plamlar deb hisoblanadi; tanlash tartibi muhim emas). U quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:
. Keling, "!" belgisining ma'nosini eslaylik. (faktorial):
0!=1.)

3 Bu usul avval muhokama qilingan Gauss usuliga qaraganda keng tarqalganligi va mohiyatan Gauss usulining oldinga va orqaga qadamlarini birlashtirgani uchun uni ba'zan ismning birinchi qismini tashlab, Gauss usuli deb ham atashadi.

4Masalan,
.

5Agar tizim matritsasida birliklar bo'lmaganda, masalan, birinchi tenglamaning ikkala tomonini ikkiga bo'lish mumkin bo'lar edi, keyin birinchi koeffitsient birlikka aylanadi; yoki shunga o'xshash

• Tizimlar m bilan chiziqli tenglamalar n noma'lum.
  Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish- bu raqamlar to'plami ( x 1 , x 2 , …, x n), tizimning har bir tenglamasiga almashtirilganda to'g'ri tenglik olinadi.
  Qayerda a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, n— tizim koeffitsientlari;
  b i , i = 1, …, m- bepul a'zolar;
  x j , j = 1, …, n- noma'lum.
  Yuqoridagi tizim matritsa shaklida yozilishi mumkin: A X = B,
  
  
  
  
  qayerda ( A|B) tizimning asosiy matritsasi hisoblanadi;
  A— kengaytirilgan tizim matritsasi;
  X- noma'lumlar ustuni;
  B— erkin a'zolar ustuni.
  Agar matritsa B null matritsa ∅ emas, u holda bu chiziqli tenglamalar tizimi bir jinsli emas deb ataladi.
  Agar matritsa B= ∅ bo'lsa, bu chiziqli tenglamalar tizimi bir jinsli deb ataladi. Bir hil tizim har doim nol (arzimas) yechimga ega: x 1 = x 2 = …, x n = 0.
  Chiziqli tenglamalarning qo'shma tizimi yechimga ega chiziqli tenglamalar sistemasidir.
  Chiziqli tenglamalarning nomuvofiq tizimi chiziqli tenglamalarning yechilmaydigan tizimidir.
  Chiziqli tenglamalarning ma'lum bir tizimi yagona yechimga ega chiziqli tenglamalar sistemasidir.
  Chiziqli tenglamalarning noaniq sistemasi cheksiz sonli yechimga ega chiziqli tenglamalar sistemasidir.
• n ta noma’lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemalari
  Agar noma'lumlar soni tenglamalar soniga teng bo'lsa, matritsa kvadrat bo'ladi. Matritsaning determinanti chiziqli tenglamalar tizimining asosiy determinanti deb ataladi va D belgisi bilan belgilanadi.
  Kramer usuli tizimlarini hal qilish uchun n bilan chiziqli tenglamalar n noma'lum.
  Kramer qoidasi.
  Agar chiziqli tenglamalar tizimining asosiy determinanti nolga teng bo'lmasa, u holda tizim izchil va aniqlangan bo'lib, yagona yechim Kramer formulalari yordamida hisoblanadi:
  bu yerda D i sistemaning asosiy determinantidan D ni almashtirish orqali olingan determinantlar. i th ustunidan bepul a'zolar ustuniga. .
• n ta noma’lumli m chiziqli tenglamalar sistemalari
  Kroneker-Kapelli teoremasi.
  
  
  Berilgan chiziqli tenglamalar tizimi izchil bo'lishi uchun tizim matritsasi darajasi tizimning kengaytirilgan matritsasining darajasiga teng bo'lishi zarur va etarli, rang (a) = chalindi (Α|B).
  Agar jiringladi(A) ≠ jiringladi(A|B), keyin tizimda hech qanday yechim yo'qligi aniq.
  Agar rang (a) = chalindi (Α|B), keyin ikkita holat mumkin:
  1) daraja (a) = n(noma'lumlar soni) - yechim noyob va uni Kramer formulalari yordamida olish mumkin;
  2) daraja (a)< n - cheksiz ko'p echimlar mavjud.
• Gauss usuli chiziqli tenglamalar tizimini yechish uchun
  
  
  Kengaytirilgan matritsa yarataylik ( A|B) noma'lumlar va o'ng tomonlarning koeffitsientlaridan berilgan tizimning.
  Gauss usuli yoki noma'lumlarni yo'q qilish usuli kengaytirilgan matritsani qisqartirishdan iborat ( A|B) satrlar ustida diagonal shaklga (yuqori uchburchak shaklga) elementar o'zgartirishlardan foydalanish. Tenglamalar tizimiga qaytsak, barcha noma'lumlar aniqlanadi.
  Satrlar ustidagi elementar transformatsiyalar quyidagilardan iborat:
  1) ikkita qatorni almashtiring;
  2) satrni 0 dan boshqa raqamga ko'paytirish;
  3) satrga ixtiyoriy songa ko'paytiriladigan boshqa qatorni qo'shish;
  4) nol chiziqni tashlash.
  Diagonal shaklga qisqartirilgan kengaytirilgan matritsa berilganga ekvivalent chiziqli tizimga mos keladi, uning yechimi qiyinchilik tug'dirmaydi. .
• Bir jinsli chiziqli tenglamalar tizimi.
  Bir hil tizim quyidagi shaklga ega:
  
  matritsa tenglamasiga mos keladi A X = 0.
  1) Bir hil tizim har doim izchil bo'ladi, chunki r(A) = r(A|B), har doim nol yechim mavjud (0, 0, …, 0).
  2) Bir hil sistema nolga teng bo'lmagan yechimga ega bo'lishi uchun bu zarur va etarli. r = r(A)< n , bu D = 0 ga teng.
  3) Agar r< n , keyin aniq D = 0, keyin erkin noma'lumlar paydo bo'ladi c 1, c 2, …, c n-r, tizimda ahamiyatsiz bo'lmagan echimlar mavjud va ularning cheksiz ko'plari mavjud.
  4) Umumiy yechim X da r< n matritsa shaklida quyidagicha yozish mumkin:
  X = c 1 X 1 + c 2 X 2 + … + c n-r X n-r,
  echimlar qayerda X 1 , X 2 , …, X n-r yechimlarning asosiy tizimini tashkil qiladi.
  5) Eritmalarning asosiy tizimini bir jinsli sistemaning umumiy yechimidan olish mumkin:
  
  ,
  agar biz ketma-ket parametr qiymatlarini (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1) ga tenglashtirsak.
  Yechimlarning fundamental tizimi nuqtai nazaridan umumiy yechimning kengayishi fundamental sistemaga tegishli yechimlarning chiziqli birikmasi shaklidagi umumiy yechimning yozuvidir.
  Teorema. Chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasi nolga teng boʻlmagan yechimga ega boʻlishi uchun D ≠ 0 boʻlishi zarur va yetarli.
  Demak, agar determinant D ≠ 0 bo'lsa, u holda tizim yagona yechimga ega.
  Agar D ≠ 0 bo'lsa, u holda chiziqli bir jinsli tenglamalar tizimi cheksiz ko'p echimlarga ega.
  Teorema. Bir jinsli tizim nolga teng bo'lmagan yechimga ega bo'lishi uchun bu zarur va etarli r(A)< n .
  Isbot:
  1) r ortiq bo'lishi mumkin emas n(matritsaning darajasi ustunlar yoki satrlar sonidan oshmaydi);
  2) r< n , chunki Agar r = n, keyin tizimning asosiy determinanti D ≠ 0 va Kramer formulalariga ko'ra, noyob trivial yechim mavjud. x 1 = x 2 = … = x n = 0, bu shartga zid keladi. Ma'nosi, r(A)< n .
  Natija. Bir hil tizim bo'lishi uchun n bilan chiziqli tenglamalar n noma'lumlar nolga teng bo'lmagan yechimga ega bo'lsa, D = 0 bo'lishi zarur va etarli.