ประเภทของความสมมาตร ความสมมาตรของแกนในธรรมชาติที่มีชีวิตและไม่มีชีวิต

วันนี้เราจะพูดถึงปรากฏการณ์ที่เราแต่ละคนเผชิญอยู่ตลอดเวลาในชีวิต: ความสมมาตร สมมาตรคืออะไร?

เราทุกคนเข้าใจความหมายของคำนี้คร่าวๆ พจนานุกรมกล่าวว่า: ความสมมาตรคือความได้สัดส่วนและความสอดคล้องที่สมบูรณ์ของการจัดเรียงส่วนต่างๆ ของบางสิ่งสัมพันธ์กับเส้นตรงหรือจุด ความสมมาตรมีสองประเภท: ตามแนวแกนและแนวรัศมี มาดูแกนกันก่อน นี่คือสมมุติว่าสมมาตรแบบ "กระจกเงา" เมื่อครึ่งหนึ่งของวัตถุเหมือนกันกับชิ้นที่สองโดยสิ้นเชิง แต่กลับทำซ้ำเป็นการสะท้อน ดูที่ครึ่งหนึ่งของแผ่น พวกมันเป็นกระจกสมมาตร ครึ่งหนึ่งของร่างกายมนุษย์ก็สมมาตรเช่นกัน (มุมมองด้านหน้า) - แขนและขาเหมือนกัน, ดวงตาที่เหมือนกัน แต่อย่าเข้าใจผิด ที่จริงแล้ว ในโลกออร์แกนิก (ที่มีชีวิต) ไม่พบความสมมาตรสัมบูรณ์! ครึ่งหนึ่งของแผ่นงานคัดลอกกันห่างไกลจากความสมบูรณ์เช่นเดียวกับร่างกายมนุษย์ (ลองดูตัวคุณเองให้ละเอียดยิ่งขึ้น) เช่นเดียวกับสิ่งมีชีวิตอื่น! อย่างไรก็ตามเป็นเรื่องที่ควรค่าแก่การเพิ่มว่าร่างกายที่สมมาตรใด ๆ นั้นมีความสมมาตรเมื่อเทียบกับผู้ชมในตำแหน่งเดียวเท่านั้น คุ้มที่จะพลิกกระดาษหรือยกมือข้างเดียวแล้วจะเกิดอะไรขึ้น? – คุณเห็นเอง

ผู้คนบรรลุความสมมาตรอย่างแท้จริงในการทำงาน (สิ่งของ) ของพวกเขา - เสื้อผ้า รถยนต์... ในธรรมชาติมันเป็นลักษณะของการก่อตัวอนินทรีย์เช่นคริสตัล

แต่มาฝึกซ้อมกันต่อไป คุณไม่ควรเริ่มต้นด้วยวัตถุที่ซับซ้อน เช่น คนและสัตว์ เรามาลองวาดภาพกระจกครึ่งหนึ่งของแผ่นงานเป็นแบบฝึกหัดแรกในสาขาใหม่กันดีกว่า

การวาดวัตถุสมมาตร - บทที่ 1

เราแน่ใจว่ามันจะออกมาคล้ายกันที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ เพื่อทำเช่นนี้ เราจะสร้างเนื้อคู่ของเราขึ้นมาอย่างแท้จริง อย่าคิดว่ามันง่ายนัก โดยเฉพาะครั้งแรกที่วาดเส้นที่สอดคล้องกับกระจกด้วยการลากเพียงครั้งเดียว!

เรามาทำเครื่องหมายจุดอ้างอิงหลายจุดสำหรับเส้นสมมาตรในอนาคต ดำเนินการดังนี้: ด้วยดินสอโดยไม่ต้องกดเราวาดตั้งฉากหลาย ๆ อันกับแกนสมมาตร - เส้นกลางของใบไม้ สี่หรือห้าก็พอแล้ว และบนเส้นตั้งฉากเหล่านี้ เราวัดไปทางขวาเป็นระยะทางเดียวกับที่ครึ่งซ้ายถึงเส้นขอบใบ ฉันแนะนำให้คุณใช้ไม้บรรทัดอย่าพึ่งสายตามากเกินไป ตามกฎแล้วเรามักจะลดการวาดภาพลง - สิ่งนี้สังเกตได้จากประสบการณ์ เราไม่แนะนำให้วัดระยะทางด้วยนิ้วของคุณ: ข้อผิดพลาดใหญ่เกินไป

เชื่อมต่อจุดผลลัพธ์ด้วยเส้นดินสอ:

ทีนี้เรามาดูกันอย่างละเอียดว่าครึ่งหนึ่งจะเหมือนกันจริง ๆ หรือไม่ หากทุกอย่างถูกต้องเราจะวงกลมด้วยปากกาสักหลาดและชี้แจงบรรทัดของเรา:

ใบป็อปลาร์ทำเสร็จแล้ว ตอนนี้คุณสามารถแกว่งใบโอ๊กได้แล้ว

มาวาดรูปสมมาตรกันเถอะ - บทที่ 2

ในกรณีนี้ความยากลำบากอยู่ที่ความจริงที่ว่าหลอดเลือดดำถูกทำเครื่องหมายและพวกมันไม่ได้ตั้งฉากกับแกนสมมาตรและไม่เพียงแต่จะต้องสังเกตขนาดเท่านั้น แต่ยังต้องสังเกตมุมเอียงอย่างเคร่งครัดด้วย มาฝึกสายตาของเรากันดีกว่า:

ดังนั้นเราจึงวาดใบโอ๊กที่สมมาตรหรือมากกว่านั้นเราสร้างมันขึ้นมาตามกฎทั้งหมด:

วิธีการวาดวัตถุสมมาตร - บทที่ 3

และมารวมธีมเข้าด้วยกัน - เราจะวาดใบไลแลคแบบสมมาตรให้เสร็จ

นอกจากนี้ยังมีรูปทรงที่น่าสนใจ - รูปหัวใจและมีหูอยู่ที่ฐาน คุณจะต้องพองตัว:

นี่คือสิ่งที่พวกเขาวาด:

ดูผลงานจากระยะไกลและประเมินว่าเราสามารถถ่ายทอดความคล้ายคลึงที่ต้องการได้อย่างแม่นยำเพียงใด เคล็ดลับ: ดูภาพของคุณในกระจก แล้วมันจะบอกคุณหากมีข้อผิดพลาดใดๆ อีกวิธีหนึ่ง: งอภาพตามแนวแกนให้พอดี (เราได้เรียนรู้วิธีการโค้งงออย่างถูกต้องแล้ว) และตัดใบไม้ตามเส้นเดิม ดูรูปและกระดาษที่ตัด

ในบทนี้ เราจะดูคุณลักษณะอีกประการหนึ่งของตัวเลขบางรูป - สมมาตรตามแนวแกนและศูนย์กลาง เราพบความสมมาตรตามแนวแกนทุกวันเมื่อเรามองในกระจก ความสมมาตรกลางเป็นเรื่องธรรมดามากในธรรมชาติของสิ่งมีชีวิต ในขณะเดียวกัน ตัวเลขที่มีความสมมาตรก็มีคุณสมบัติหลายประการ นอกจากนี้ ในเวลาต่อมาเราได้เรียนรู้ว่าสมมาตรตามแนวแกนและศูนย์กลางเป็นประเภทของการเคลื่อนไหวซึ่งช่วยแก้ไขปัญหาทั้งระดับได้

บทเรียนนี้เน้นเรื่องสมมาตรตามแนวแกนและศูนย์กลาง

คำนิยาม

ทั้งสองจุดเรียกว่า สมมาตรค่อนข้างตรงถ้า:

ในรูป 1 แสดงตัวอย่างของจุดที่สมมาตรด้วยความเคารพต่อเส้นตรง และ และ และ

ข้าว. 1

ให้เราทราบด้วยว่าจุดใดๆ บนเส้นตรงมีความสมมาตรกับตัวมันเองเมื่อเทียบกับเส้นนี้

ตัวเลขยังสามารถสมมาตรสัมพันธ์กับเส้นตรงได้

ให้เรากำหนดคำจำกัดความที่เข้มงวด

คำนิยาม

รูปที่เรียกว่า สมมาตรสัมพันธ์กับเส้นตรงถ้าสำหรับแต่ละจุดของรูป จุดสมมาตรสัมพันธ์กับเส้นตรงนี้เป็นของรูปนั้นด้วย ในกรณีนี้จะมีการเรียกสาย แกนสมมาตร- รูปก็มี สมมาตรตามแนวแกน.

ลองดูตัวอย่างบางส่วนของตัวเลขที่มีความสมมาตรตามแนวแกนและแกนสมมาตร

ตัวอย่างที่ 1

มุมมีความสมมาตรตามแนวแกน แกนสมมาตรของมุมคือเส้นแบ่งครึ่ง อันที่จริง: ลองลดแนวตั้งฉากกับเส้นแบ่งครึ่งจากจุดใดก็ได้ของมุมและขยายออกไปจนกระทั่งมันตัดกับอีกด้านหนึ่งของมุม (ดูรูปที่ 2)

ข้าว. 2

(เนื่องจาก - ด้านทั่วไป (คุณสมบัติของเส้นแบ่งครึ่ง) และสามเหลี่ยมมีมุมฉาก) วิธี, . ดังนั้น จุดต่างๆ จึงสมมาตรด้วยความเคารพต่อเส้นแบ่งครึ่งของมุม

จากนี้ไปสามเหลี่ยมหน้าจั่วก็มีความสมมาตรตามแนวแกนด้วยความเคารพต่อเส้นแบ่งครึ่ง (ความสูง ค่ามัธยฐาน) ที่ลากไปยังฐาน

ตัวอย่างที่ 2

รูปสามเหลี่ยมด้านเท่ามีแกนสมมาตรสามแกน (เส้นแบ่งครึ่ง/ค่ามัธยฐาน/ความสูงของแต่ละมุมทั้งสามมุม (ดูรูปที่ 3)

ข้าว. 3

ตัวอย่างที่ 3

สี่เหลี่ยมผืนผ้ามีแกนสมมาตรสองแกน ซึ่งแต่ละแกนลากผ่านจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามทั้งสองแกน (ดูรูปที่ 4)

ข้าว. 4

ตัวอย่างที่ 4

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนยังมีแกนสมมาตรสองแกน: เส้นตรงซึ่งมีเส้นทแยงมุม (ดูรูปที่ 5)

ข้าว. 5

ตัวอย่างที่ 5

สี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งเป็นทั้งสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนและสี่เหลี่ยมจัตุรัส มีแกนสมมาตร 4 แกน (ดูรูปที่ 6)

ข้าว. 6

ตัวอย่างที่ 6

สำหรับวงกลม แกนสมมาตรคือเส้นตรงใดๆ ที่ลากผ่านจุดศูนย์กลาง (นั่นคือ เส้นที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม) ดังนั้น วงกลมจึงมีแกนสมมาตรจำนวนอนันต์ (ดูรูปที่ 7)

ข้าว. 7

ให้เราพิจารณาแนวคิดนี้ สมมาตรกลาง.

คำนิยาม

จุดที่เรียกว่า สมมาตรสัมพันธ์กับจุดถ้า: - ตรงกลางของส่วน

ลองดูตัวอย่างบางส่วน: ในรูป. 8 แสดงจุด และ รวมถึง และ ซึ่งมีความสมมาตรด้วยความเคารพต่อจุด และจุดและไม่สมมาตรด้วยความเคารพต่อจุดนี้

ข้าว. 8

ตัวเลขบางตัวมีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดใดจุดหนึ่ง ให้เรากำหนดคำจำกัดความที่เข้มงวด

คำนิยาม

รูปที่เรียกว่า สมมาตรเกี่ยวกับจุดถ้าจุดใดๆ ของรูปนั้น จุดสมมาตรของจุดนั้นก็เป็นของรูปนี้ด้วย ประเด็นนี้เรียกว่า ศูนย์กลางของความสมมาตรและรูปก็มี สมมาตรกลาง.

ลองดูตัวอย่างตัวเลขที่มีความสมมาตรตรงกลาง

ตัวอย่างที่ 7

สำหรับวงกลม จุดศูนย์กลางของสมมาตรคือจุดศูนย์กลางของวงกลม (ซึ่งง่ายต่อการพิสูจน์โดยการนึกถึงคุณสมบัติของเส้นผ่านศูนย์กลางและรัศมีของวงกลม) (ดูรูปที่ 9)

ข้าว. 9

ตัวอย่างที่ 8

สำหรับรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน จุดศูนย์กลางของสมมาตรคือจุดตัดของเส้นทแยงมุม (ดูรูปที่ 10)

ข้าว. 10

เรามาแก้ปัญหาต่างๆ เกี่ยวกับสมมาตรตามแนวแกนและศูนย์กลางกัน

ภารกิจที่ 1

ส่วนนี้มีแกนสมมาตรกี่แกน?

ส่วนจะมีแกนสมมาตรสองแกน จุดแรกคือเส้นที่มีส่วน (เนื่องจากจุดใดๆ บนเส้นจะสมมาตรกับตัวมันเองเมื่อเทียบกับเส้นนี้) ประการที่สองคือเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกับส่วนนั่นคือเส้นตรงตั้งฉากกับส่วนและผ่านตรงกลาง

คำตอบ: สมมาตร 2 แกน

ภารกิจที่ 2

เส้นตรงมีแกนสมมาตรกี่แกน?

เส้นตรงมีแกนสมมาตรจำนวนอนันต์ หนึ่งในนั้นคือเส้นตรง (เนื่องจากจุดใดๆ บนเส้นจะสมมาตรกับตัวมันเองเมื่อเทียบกับเส้นนี้) และแกนสมมาตรก็คือเส้นตรงใดๆ ที่ตั้งฉากกับเส้นตรงที่กำหนด

คำตอบ: แกนสมมาตรมีจำนวนอนันต์

ภารกิจที่ 3

ลำแสงมีแกนสมมาตรกี่แกน?

รังสีมีแกนสมมาตรหนึ่งแกน ซึ่งเกิดขึ้นพร้อมกันกับเส้นที่มีรังสี (เนื่องจากจุดใดๆ บนเส้นจะสมมาตรกับตัวมันเองเมื่อเทียบกับเส้นนี้)

คำตอบ: แกนสมมาตรหนึ่งแกน

ภารกิจที่ 4

พิสูจน์ว่าเส้นที่มีเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนั้นเป็นแกนสมมาตร

การพิสูจน์:

พิจารณารูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ตัวอย่างเช่น ให้เราพิสูจน์ว่าเส้นตรงคือแกนสมมาตร เห็นได้ชัดว่าจุดต่างๆ นั้นสมมาตรกับตัวมันเอง เนื่องจากพวกมันอยู่บนเส้นนี้ นอกจากนี้จุดและมีความสมมาตรด้วยความเคารพต่อเส้นนี้เนื่องจาก - ตอนนี้ให้เราเลือกจุดใดก็ได้และพิสูจน์ว่าจุดที่สมมาตรนั้นเป็นของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนด้วย (ดูรูปที่ 11)

ข้าว. สิบเอ็ด

วาดเส้นตั้งฉากกับเส้นผ่านจุดและขยายออกไปจนกว่าจะตัดกับ พิจารณารูปสามเหลี่ยม และ สามเหลี่ยมเหล่านี้เป็นมุมฉาก (โดยการก่อสร้าง) นอกจากนี้ยังมี: - ขาร่วมและ (เนื่องจากเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีเส้นแบ่งครึ่ง) ดังนั้นสามเหลี่ยมเหล่านี้จึงเท่ากัน: - ซึ่งหมายความว่าองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องทั้งหมดจะเท่ากัน ดังนั้น: จากความเท่าเทียมกันของส่วนเหล่านี้ ตามจุดนั้น และมีความสมมาตรด้วยความเคารพต่อเส้นตรง ซึ่งหมายความว่ามันเป็นแกนสมมาตรของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ข้อเท็จจริงนี้สามารถพิสูจน์ได้ในทำนองเดียวกันสำหรับเส้นทแยงมุมที่สอง

พิสูจน์แล้ว

ภารกิจที่ 5

พิสูจน์ว่าจุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือจุดศูนย์กลางของสมมาตร

การพิสูจน์:

พิจารณารูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน. ให้เราพิสูจน์ว่าจุดนั้นคือจุดศูนย์กลางของสมมาตร เห็นได้ชัดว่าจุด และ และมีความสมมาตรแบบคู่ตามจุด เนื่องจากเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานถูกแบ่งครึ่งด้วยจุดตัด ตอนนี้ให้เราเลือกจุดใดก็ได้และพิสูจน์ว่าจุดที่สมมาตรสัมพันธ์กับจุดนั้นเป็นของสี่เหลี่ยมด้านขนานด้วย (ดูรูปที่ 12)

เป็นเวลาหลายศตวรรษมาแล้วที่ความสมมาตรยังคงเป็นหัวข้อที่นักปรัชญา นักดาราศาสตร์ นักคณิตศาสตร์ ศิลปิน สถาปนิก และนักฟิสิกส์หลงใหล ชาวกรีกโบราณหมกมุ่นอยู่กับสิ่งนี้อย่างสิ้นเชิง และแม้กระทั่งทุกวันนี้เรามักจะพบกับความสมมาตรในทุกสิ่งตั้งแต่การจัดเฟอร์นิเจอร์ไปจนถึงการตัดผม

เพียงจำไว้ว่าเมื่อคุณทราบสิ่งนี้แล้ว คุณอาจจะรู้สึกอยากที่จะมองหาความสมมาตรในทุกสิ่งที่คุณเห็น

(ทั้งหมด 10 ภาพ)

ผู้สนับสนุนโพสต์: โปรแกรมสำหรับดาวน์โหลดเพลง VKontakte: เวอร์ชันใหม่ของโปรแกรม "Catch in Contact" ให้ความสามารถในการดาวน์โหลดเพลงและวิดีโอที่โพสต์โดยผู้ใช้จากหน้าเครือข่ายโซเชียลที่มีชื่อเสียงที่สุด vkontakte.ru ได้อย่างง่ายดายและรวดเร็ว

1. บรอกโคลีโรมาเนสโก

บางทีคุณอาจเห็นบรอกโคลี Romanesco ในร้าน และคิดว่ามันเป็นอีกตัวอย่างหนึ่งของผลิตภัณฑ์ดัดแปลงพันธุกรรม แต่อันที่จริง นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งของความสมมาตรแฟร็กทัลของธรรมชาติ ดอกบรอกโคลีแต่ละดอกมีรูปแบบเกลียวลอการิทึม Romanesco มีลักษณะคล้ายกับบรอกโคลีและมีรสชาติและความสม่ำเสมอ - กับดอกกะหล่ำ อุดมไปด้วยแคโรทีนอยด์ เช่นเดียวกับวิตามินซีและเค ซึ่งไม่เพียงแต่ทำให้สวยงามเท่านั้น แต่ยังเป็นอาหารเพื่อสุขภาพอีกด้วย

เป็นเวลาหลายพันปีที่ผู้คนประหลาดใจกับรูปทรงรังผึ้งหกเหลี่ยมที่สมบูรณ์แบบและถามตัวเองว่าผึ้งสามารถสร้างรูปร่างโดยสัญชาตญาณที่มนุษย์สามารถทำซ้ำได้ด้วยเข็มทิศและไม้บรรทัดเท่านั้น ผึ้งมีความหลงใหลในการสร้างรูปหกเหลี่ยมอย่างไรและทำไม? นักคณิตศาสตร์เชื่อว่านี่เป็นรูปทรงในอุดมคติที่ช่วยให้สามารถเก็บน้ำผึ้งได้มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้โดยใช้ขี้ผึ้งในปริมาณน้อยที่สุด ไม่ว่าจะด้วยวิธีใดก็ตาม ทั้งหมดนี้เป็นผลผลิตจากธรรมชาติ และมันก็น่าประทับใจอย่างยิ่ง

3. ดอกทานตะวัน

ดอกทานตะวันมีความสมมาตรในแนวรัศมีและเป็นสมมาตรประเภทที่น่าสนใจที่เรียกว่าลำดับฟีโบนักชี ลำดับฟีโบนัชชี: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 เป็นต้น (แต่ละหมายเลขจะถูกกำหนดโดยผลรวมของตัวเลขสองตัวก่อนหน้า) หากเราใช้เวลานับจำนวนเมล็ดทานตะวัน เราจะพบว่าจำนวนเมล็ดทานตะวันเพิ่มขึ้นตามหลักการของลำดับฟีโบนักชี มีพืชหลายชนิดในธรรมชาติ (รวมถึงบรอกโคลีโรมาเนสโก) ซึ่งมีกลีบ เมล็ด และใบเรียงตามลำดับนี้ ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมจึงเป็นเรื่องยากมากที่จะหาโคลเวอร์ที่มีใบสี่ใบ

แต่เหตุใดดอกทานตะวันและพืชชนิดอื่นจึงเป็นไปตามกฎทางคณิตศาสตร์ เช่นเดียวกับรูปหกเหลี่ยมในรัง ทุกอย่างเป็นเรื่องของประสิทธิภาพ

4. หอยนอติลุส

นอกจากพืชแล้ว สัตว์บางชนิด เช่น นอติลุส ยังมีลำดับฟีโบนักชีอีกด้วย เปลือกของนอติลุสบิดเป็นเกลียวฟีโบนัชชี เปลือกหอยพยายามรักษารูปร่างตามสัดส่วนเดิม ซึ่งช่วยให้สามารถคงรูปร่างไว้ได้ตลอดชีวิต (ต่างจากมนุษย์ที่เปลี่ยนสัดส่วนไปตลอดชีวิต) ไม่ใช่ว่า Nautiluses ทั้งหมดจะมีเปลือก Fibonacci แต่พวกมันทั้งหมดมีเกลียวลอการิทึม

ก่อนที่คุณจะอิจฉาหอยคณิต จำไว้ว่าพวกเขาไม่ได้ทำสิ่งนี้โดยตั้งใจ เพียงแต่ว่าแบบฟอร์มนี้สมเหตุสมผลที่สุดสำหรับพวกมัน

5. สัตว์

สัตว์ส่วนใหญ่มีความสมมาตรทวิภาคี ซึ่งหมายความว่าพวกมันสามารถแบ่งออกเป็นสองซีกที่เหมือนกันได้ แม้แต่มนุษย์ก็มีความสมมาตรทวิภาคี และนักวิทยาศาสตร์บางคนเชื่อว่าความสมมาตรของบุคคลเป็นปัจจัยที่สำคัญที่สุดที่มีอิทธิพลต่อการรับรู้ความงามของเรา กล่าวอีกนัยหนึ่ง หากคุณมีใบหน้าข้างเดียว คุณคงได้แต่หวังว่าจะได้รับการชดเชยด้วยคุณสมบัติที่ดีอื่นๆ

บางคนพยายามหาคู่ให้สมมาตรโดยสมบูรณ์เพื่อดึงดูดคู่ครอง เช่น นกยูง ดาร์วินรู้สึกรำคาญนกตัวนี้มาก และเขียนในจดหมายว่า "การเห็นขนหางนกยูงทุกครั้งที่มองดู ทำให้ฉันรู้สึกแย่!" สำหรับดาร์วิน หางดูยุ่งยากและไม่มีความรู้สึกเชิงวิวัฒนาการ เนื่องจากมันไม่สอดคล้องกับทฤษฎีของเขาที่ว่า "ผู้ที่เหมาะสมที่สุดจะมีชีวิตรอด" เขาโกรธมากจนกระทั่งเกิดทฤษฎีการเลือกเพศขึ้นมา ซึ่งระบุว่าสัตว์ต่างๆ พัฒนาลักษณะบางอย่างเพื่อเพิ่มโอกาสในการผสมพันธุ์ ดังนั้นนกยูงจึงมีการปรับตัวหลายอย่างเพื่อดึงดูดคู่ครอง

แมงมุมมีประมาณ 5,000 ชนิด และพวกมันทั้งหมดสร้างใยทรงกลมที่เกือบจะสมบูรณ์แบบ โดยมีเกลียวรองรับในแนวรัศมีที่ระยะห่างเกือบเท่ากัน และมีใยเกลียวสำหรับจับเหยื่อ นักวิทยาศาสตร์ไม่แน่ใจว่าทำไมแมงมุมถึงชอบเรขาคณิตมาก เนื่องจากการทดสอบพบว่าใยทรงกลมไม่สามารถล่ออาหารได้ดีไปกว่าใยที่มีรูปร่างผิดปกติ นักวิทยาศาสตร์ตั้งทฤษฎีว่าความสมมาตรในแนวรัศมีจะกระจายแรงกระแทกอย่างสม่ำเสมอเมื่อเหยื่อติดอยู่ในตาข่าย ส่งผลให้มีการแตกหักน้อยลง

มอบกระดาน เครื่องตัดหญ้า และความปลอดภัยของความมืดให้กับนักเล่นกลสองสามคน แล้วคุณจะเห็นว่าผู้คนสร้างรูปทรงที่สมมาตรเช่นกัน เนื่องจากความซับซ้อนของการออกแบบและความสมมาตรอันน่าทึ่งของวงกลมปริศนา แม้ว่าผู้สร้างวงกลมจะสารภาพและแสดงทักษะของตนแล้ว หลายคนยังคงเชื่อว่าพวกมันถูกสร้างขึ้นโดยมนุษย์ต่างดาวในอวกาศ

เมื่อวงกลมมีความซับซ้อนมากขึ้น ต้นกำเนิดของพวกมันก็ชัดเจนมากขึ้น ไม่มีเหตุผลที่จะสรุปได้ว่ามนุษย์ต่างดาวจะทำให้ข้อความของพวกเขายากขึ้นเมื่อเราไม่สามารถถอดรหัสข้อความแรกได้

ไม่ว่าพวกมันจะเกิดขึ้นมาได้อย่างไร วงกลมปริศนาก็น่าเพลิดเพลินที่ได้มองดู สาเหตุหลักมาจากเรขาคณิตของพวกมันน่าประทับใจ

แม้แต่การก่อตัวเล็กๆ เช่น เกล็ดหิมะก็ยังอยู่ภายใต้กฎแห่งความสมมาตร เนื่องจากเกล็ดหิมะส่วนใหญ่มีความสมมาตรแบบหกเหลี่ยม สาเหตุส่วนหนึ่งเกิดขึ้นเนื่องจากการที่โมเลกุลของน้ำเรียงตัวกันเมื่อแข็งตัว (ตกผลึก) โมเลกุลของน้ำกลายเป็นของแข็งโดยการสร้างพันธะไฮโดรเจนที่อ่อนแอ โดยจัดเรียงอย่างเป็นระเบียบซึ่งสร้างสมดุลระหว่างแรงดึงดูดและแรงผลัก ทำให้เกิดรูปทรงหกเหลี่ยมของเกล็ดหิมะ แต่ในขณะเดียวกัน เกล็ดหิมะแต่ละอันก็มีความสมมาตร แต่ไม่มีเกล็ดหิมะสักอันเดียวที่เหมือนกัน สิ่งนี้เกิดขึ้นเพราะเมื่อเกล็ดหิมะแต่ละเม็ดตกลงมาจากท้องฟ้า ก็จะพบกับสภาพบรรยากาศที่เป็นเอกลักษณ์ ซึ่งทำให้คริสตัลของมันจัดเรียงตัวในลักษณะใดลักษณะหนึ่ง

9. กาแล็กซีทางช้างเผือก

ดังที่เราได้เห็นแล้วว่าแบบจำลองสมมาตรและคณิตศาสตร์มีอยู่เกือบทุกที่ แต่กฎแห่งธรรมชาติเหล่านี้จำกัดอยู่แค่ในโลกของเราหรือไม่? เห็นได้ชัดว่าไม่ ส่วนใหม่ที่ขอบของดาราจักรทางช้างเผือกเพิ่งถูกค้นพบ และนักดาราศาสตร์เชื่อว่าดาราจักรนี้เป็นภาพสะท้อนในกระจกที่เกือบจะสมบูรณ์แบบในตัวมันเอง

10. สมมาตรของดวงอาทิตย์-ดวงจันทร์

เมื่อพิจารณาว่าดวงอาทิตย์มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 1.4 ล้านกิโลเมตร และดวงจันทร์มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 3,474 กิโลเมตร ดูเหมือนว่าแทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่ดวงจันทร์จะบังแสงแดดและให้สุริยุปราคาประมาณ 5 ครั้งทุกๆ สองปีได้ มันทำงานอย่างไร? บังเอิญว่าดวงอาทิตย์มีความกว้างมากกว่าดวงจันทร์ประมาณ 400 เท่า แต่ดวงอาทิตย์ก็อยู่ห่างออกไป 400 เท่าเช่นกัน ความสมมาตรช่วยให้แน่ใจว่าดวงอาทิตย์และดวงจันทร์มีขนาดเท่ากันเมื่อมองจากโลก ดังนั้นดวงจันทร์จึงสามารถบดบังดวงอาทิตย์ได้ แน่นอนว่าระยะห่างจากโลกถึงดวงอาทิตย์สามารถเพิ่มขึ้นได้ ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมบางครั้งเราจึงเห็นสุริยุปราคาบางส่วนและวงแหวน แต่ทุกๆ 1-2 ปี การจัดเรียงที่แม่นยำจะเกิดขึ้น และเราได้เห็นเหตุการณ์อันน่าตื่นตาตื่นใจที่เรียกว่าสุริยุปราคาเต็มดวง นักดาราศาสตร์ไม่ทราบว่าความสมมาตรนี้พบได้ทั่วไปเพียงใดในหมู่ดาวเคราะห์อื่นๆ แต่พวกเขาคิดว่ามันค่อนข้างหายาก อย่างไรก็ตาม เราไม่ควรทึกทักไปว่าเราเป็นคนพิเศษ เนื่องจากทั้งหมดนี้เป็นเรื่องของโอกาส ตัวอย่างเช่น ทุกปีดวงจันทร์จะเคลื่อนห่างจากโลกประมาณ 4 ซม. ซึ่งหมายความว่าเมื่อหลายพันล้านปีก่อนสุริยุปราคาทุกครั้งจะเป็นสุริยุปราคาเต็มดวง หากสิ่งต่างๆ ยังคงดำเนินต่อไปเช่นนี้ สุริยุปราคาเต็มดวงจะหายไปในที่สุด และจะมาพร้อมกับการหายไปของสุริยุปราคาวงแหวนด้วย ปรากฎว่าเรามาถูกที่และถูกเวลาเพื่อดูปรากฏการณ์นี้

แนวคิดการเคลื่อนไหว

ให้เราตรวจสอบแนวคิดของการเคลื่อนไหวก่อน

คำจำกัดความ 1

การทำแผนที่ของเครื่องบินเรียกว่าการเคลื่อนที่ของเครื่องบินถ้าการทำแผนที่รักษาระยะทางไว้

มีหลายทฤษฎีที่เกี่ยวข้องกับแนวคิดนี้

ทฤษฎีบท 2

สามเหลี่ยมเมื่อเคลื่อนที่จะกลายเป็นสามเหลี่ยมเท่ากัน

ทฤษฎีบท 3

ร่างใด ๆ เมื่อเคลื่อนไหวจะแปลงร่างเป็นร่างที่เท่ากัน

ความสมมาตรตามแนวแกนและศูนย์กลางเป็นตัวอย่างของการเคลื่อนที่ ลองดูรายละเอียดเพิ่มเติม

สมมาตรตามแนวแกน

คำจำกัดความ 2

จุด $A$ และ $A_1$ เรียกว่าสมมาตรโดยสัมพันธ์กับเส้น $a$ หากเส้นนี้ตั้งฉากกับส่วน $(AA)_1$ และผ่านจุดศูนย์กลาง (รูปที่ 1)

ภาพที่ 1.

ลองพิจารณาความสมมาตรของแกนโดยใช้ปัญหาตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1

สร้างสามเหลี่ยมสมมาตรสำหรับสามเหลี่ยมที่กำหนดโดยสัมพันธ์กับด้านใดๆ ของมัน

สารละลาย.

ให้เราได้รับสามเหลี่ยม $ABC$ เราจะสร้างความสมมาตรโดยเทียบกับด้าน $BC$ ด้าน $BC$ ที่มีความสมมาตรตามแนวแกนจะแปลงร่างเป็นด้านนั้นเอง (ตามมาจากคำจำกัดความ) จุด $A$ จะไปที่จุด $A_1$ ดังนี้: $(AA)_1\bot BC$, $(AH=HA)_1$ สามเหลี่ยม $ABC$ จะแปลงเป็นรูปสามเหลี่ยม $A_1BC$ (รูปที่ 2)

รูปที่ 2.

คำจำกัดความ 3

รูปหนึ่งเรียกว่าสมมาตรโดยสัมพันธ์กับเส้นตรง $a$ หากจุดสมมาตรทุกจุดของรูปนี้อยู่ในรูปเดียวกัน (รูปที่ 3)

รูปที่ 3.

รูปที่ $3$ แสดงรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า มีความสมมาตรตามแนวแกนเมื่อเทียบกับเส้นผ่านศูนย์กลางแต่ละเส้น เช่นเดียวกับเส้นตรงสองเส้นที่ลากผ่านจุดศูนย์กลางด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมที่กำหนด

สมมาตรกลาง

คำจำกัดความที่ 4

จุด $X$ และ $X_1$ เรียกว่าสมมาตรโดยเทียบกับจุด $O$ ถ้าจุด $O$ เป็นจุดศูนย์กลางของส่วน $(XX)_1$ (รูปที่ 4)

รูปที่ 4.

ลองพิจารณาสมมาตรกลางโดยใช้ปัญหาตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 2

สร้างสามเหลี่ยมสมมาตรสำหรับสามเหลี่ยมที่กำหนดที่จุดยอดใดๆ ของมัน

สารละลาย.

ให้เราได้รับสามเหลี่ยม $ABC$ เราจะสร้างความสมมาตรโดยสัมพันธ์กับจุดยอด $A$ จุดยอด $A$ ที่มีสมมาตรตรงกลางจะแปลงร่างเป็นจุดยอดนั้นเอง (ต่อจากคำจำกัดความ) จุด $B$ จะไปที่จุด $B_1$ ดังนี้: $(BA=AB)_1$ และจุด $C$ จะไปที่จุด $C_1$ ดังนี้: $(CA=AC)_1$ สามเหลี่ยม $ABC$ จะแปลงเป็นรูปสามเหลี่ยม $(AB)_1C_1$ (รูปที่ 5)

รูปที่ 5.

คำจำกัดความที่ 5

ตัวเลขจะสมมาตรเมื่อเทียบกับจุด $O$ หากจุดสมมาตรทุกจุดของรูปนี้อยู่ในรูปเดียวกัน (รูปที่ 6)

รูปที่ 6.

รูปที่ $6$ แสดงรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน มีความสมมาตรตรงกลางเกี่ยวกับจุดตัดของเส้นทแยงมุม

งานตัวอย่าง.

ตัวอย่างที่ 3

ให้เราได้รับส่วน $AB$ สร้างสมมาตรด้วยความเคารพต่อเส้น $l$ ซึ่งไม่ได้ตัดกันส่วนที่กำหนด และด้วยความเคารพต่อจุดที่ $C$ อยู่บนเส้น $l$

สารละลาย.

ให้เราอธิบายสภาพของปัญหาตามแผนผัง

รูปที่ 7.

ก่อนอื่นให้เราพรรณนาความสมมาตรตามแนวแกนด้วยความเคารพต่อเส้นตรง $l$ เนื่องจากสมมาตรตามแนวแกนเป็นการเคลื่อนไหว ดังนั้นตามทฤษฎีบท $1$ ส่วน $AB$ จะถูกแมปเข้ากับส่วน $A"B"$ ที่เท่ากับมัน ในการสร้างมันขึ้นมา เราจะทำดังต่อไปนี้: ลากเส้นตรง $m\ และ\n$ ผ่านจุด $A\ และ\B$ ซึ่งตั้งฉากกับเส้นตรง $l$ ให้ $m\cap l=X,\ n\cap l=Y$ ต่อไปเราวาดส่วน $A"X=AX$ และ $B"Y=BY$

รูปที่ 8.

ตอนนี้ให้เราพรรณนาถึงความสมมาตรส่วนกลางด้วยความเคารพต่อจุด $C$ เนื่องจากสมมาตรกลางเป็นการเคลื่อนไหว ดังนั้นตามทฤษฎีบท $1$ ส่วน $AB$ จะถูกโยงเข้ากับส่วน $A""B""$ ที่เท่ากับมัน ในการสร้างมันขึ้นมา เราจะทำดังต่อไปนี้: ลากเส้น $AC\ และ\ BC$ ต่อไปเราวาดส่วน $A^("")C=AC$ และ $B^("")C=BC$

รูปที่ 9.

สำหรับเรขาคณิต สมมาตรมีสามประเภทหลักๆ

ประการแรก สมมาตรกลาง (หรือสมมาตรเกี่ยวกับจุด) - นี่คือการเปลี่ยนแปลงของระนาบ (หรืออวกาศ) โดยมีจุดเดียว (จุด O - ศูนย์กลางของสมมาตร) ยังคงอยู่ในขณะที่จุดที่เหลือเปลี่ยนตำแหน่ง: แทนที่จะเป็นจุด A เราได้จุด A1 เช่นนั้น จุด O คือจุดกึ่งกลางของส่วน AA1 ในการสร้างรูป Ф1 ซึ่งสมมาตรกับรูป Ф สัมพันธ์กับจุด O คุณต้องวาดรังสีผ่านแต่ละจุดของรูป Ф ผ่านจุด O (ศูนย์กลางของสมมาตร) และบนรังสีนี้จะมีจุดสมมาตร ไปยังจุดที่เลือกซึ่งสัมพันธ์กับจุด O เซตของจุดที่สร้างขึ้นในลักษณะนี้จะให้รูป F1

สิ่งที่น่าสนใจอย่างยิ่งคือตัวเลขที่มีจุดศูนย์กลางสมมาตร: ด้วยความสมมาตรรอบจุด O จุดใดๆ ในรูป Φ จะถูกแปลงเป็นจุดใดจุดหนึ่งในรูป Φ อีกครั้ง มีตัวเลขดังกล่าวมากมายในเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น: ส่วน (ตรงกลางของส่วนคือศูนย์กลางของสมมาตร), เส้นตรง (จุดใดๆ ของส่วนคือศูนย์กลางของสมมาตร), วงกลม (ศูนย์กลางของวงกลมคือศูนย์กลางของสมมาตร), a สี่เหลี่ยมผืนผ้า (จุดตัดของเส้นทแยงมุมคือจุดศูนย์กลางของสมมาตร) มีวัตถุสมมาตรจากส่วนกลางมากมายในธรรมชาติที่มีชีวิตและไม่มีชีวิต (ข้อความจากนักเรียน) บ่อยครั้งที่ผู้คนสร้างวัตถุที่มีสมมาตรตรงกลางries (ตัวอย่างจากงานหัตถกรรม ตัวอย่างจากวิศวกรรมเครื่องกล ตัวอย่างจากสถาปัตยกรรม และตัวอย่างอื่นๆ อีกมากมาย)

ประการที่สอง สมมาตรตามแนวแกน (หรือสมมาตรเกี่ยวกับเส้นตรง) - นี่คือการเปลี่ยนแปลงของระนาบ (หรืออวกาศ) ซึ่งมีเพียงจุดของเส้นตรง p เท่านั้นที่ยังคงอยู่ (เส้นตรงนี้คือแกนของสมมาตร) ในขณะที่จุดที่เหลือเปลี่ยนตำแหน่ง: แทนที่จะเป็นจุด B เรา ได้จุด B1 โดยที่เส้นตรง p เป็นเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกับส่วน BB1 ในการสร้างรูป Ф1 ซึ่งสมมาตรกับรูป Ф สัมพันธ์กับเส้นตรง р จำเป็นสำหรับแต่ละจุดของรูป Ф เพื่อสร้างจุดที่สมมาตรกับมันสัมพันธ์กับเส้นตรง р เซตของจุดที่สร้างขึ้นทั้งหมดนี้ให้ค่า F1 ที่ต้องการ มีรูปทรงเรขาคณิตมากมายที่มีแกนสมมาตร

สี่เหลี่ยมมี 2 อัน สี่เหลี่ยมมี 4 อัน วงกลมมีเส้นตรงใดๆ ที่ลากผ่านจุดศูนย์กลาง หากคุณดูตัวอักษรอย่างใกล้ชิดคุณจะพบว่ามีแกนแนวนอนหรือแนวตั้งและบางครั้งทั้งสองแกนของสมมาตร วัตถุที่มีแกนสมมาตรมักพบในธรรมชาติที่มีชีวิตและไม่มีชีวิต (รายงานของนักเรียน) ในกิจกรรมของเขา บุคคลสร้างวัตถุมากมาย (เช่น เครื่องประดับ) ที่มีแกนสมมาตรหลายแกน

______________________________________________________________________________________________________

ที่สาม, ระนาบ (กระจก) สมมาตร (หรือสมมาตรเกี่ยวกับระนาบ) - นี่คือการเปลี่ยนแปลงของอวกาศซึ่งมีเพียงจุดของระนาบเดียวเท่านั้นที่รักษาตำแหน่งไว้ (ระนาบสมมาตรα) จุดที่เหลือของอวกาศจะเปลี่ยนตำแหน่ง: แทนที่จะเป็นจุด C จะได้จุด C1 เพื่อให้ระนาบ α ผ่านพ้นไป ตรงกลางของส่วน CC1 ซึ่งตั้งฉากกับมัน

ในการสร้างรูป Ф1 ซึ่งสมมาตรกับรูป Ф สัมพันธ์กับระนาบ α จำเป็นสำหรับแต่ละจุดของรูป Ф ในการสร้างจุดสมมาตรสัมพันธ์กับ α โดยในชุดจะสร้างรูป Ф1

บ่อยครั้งในโลกของสิ่งของและวัตถุรอบตัวเรา เราต้องเผชิญกับวัตถุสามมิติ และวัตถุเหล่านี้บางส่วนมีระนาบสมมาตร บางครั้งก็มีหลายระนาบด้วยซ้ำ และมนุษย์เองก็สร้างวัตถุที่มีระนาบสมมาตรในกิจกรรมของเขา (การก่อสร้าง งานฝีมือ การสร้างแบบจำลอง ... )

เป็นที่น่าสังเกตว่านอกเหนือจากความสมมาตรสามประเภทที่ระบุไว้แล้วยังมี (ในสถาปัตยกรรม)แบบพกพาและหมุนได้ซึ่งในเรขาคณิตนั้นเป็นองค์ประกอบของการเคลื่อนไหวหลายอย่าง