ค้นหารากของเครื่องคิดเลขออนไลน์พร้อมวิธีแก้สมการ การแก้สมการในสองตัวแปร

ในขั้นตอนการเตรียมสอบปลายภาค นักเรียนมัธยมปลายจำเป็นต้องพัฒนาความรู้ในหัวข้อ “สมการเอ็กซ์โปเนนเชียล” ประสบการณ์ในปีที่ผ่านมาบ่งชี้ว่างานดังกล่าวทำให้เด็กนักเรียนลำบาก ดังนั้น นักเรียนมัธยมปลาย โดยไม่คำนึงถึงระดับการเตรียมตัว จำเป็นต้องเชี่ยวชาญทฤษฎีอย่างละเอียด จำสูตร และเข้าใจหลักการของการแก้สมการดังกล่าว เมื่อเรียนรู้ที่จะรับมือกับปัญหาประเภทนี้แล้ว ผู้สำเร็จการศึกษาสามารถนับคะแนนสูงได้เมื่อผ่านการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์

เตรียมตัวให้พร้อมสำหรับการทดสอบการสอบกับ Shkolkovo!

เมื่อทบทวนเนื้อหาที่ครอบคลุม นักเรียนจำนวนมากต้องเผชิญกับปัญหาในการหาสูตรที่จำเป็นในการแก้สมการ หนังสือเรียนของโรงเรียนไม่ได้อยู่ในมือเสมอไปและการเลือกข้อมูลที่จำเป็นในหัวข้อบนอินเทอร์เน็ตใช้เวลานาน

พอร์ทัลการศึกษา Shkolkovo เชิญชวนให้นักเรียนใช้ฐานความรู้ของเรา เรากำลังใช้วิธีการใหม่ทั้งหมดในการเตรียมสอบขั้นสุดท้าย เมื่อศึกษาจากเว็บไซต์ของเรา คุณจะสามารถระบุช่องว่างทางความรู้และใส่ใจกับงานที่ทำให้ยากที่สุดได้

ครูของ Shkolkovo รวบรวมจัดระบบและนำเสนอเนื้อหาทั้งหมดที่จำเป็นสำหรับการผ่านการสอบ Unified State ได้สำเร็จในรูปแบบที่ง่ายและเข้าถึงได้มากที่สุด

คำจำกัดความและสูตรพื้นฐานแสดงไว้ในส่วน "ภูมิหลังทางทฤษฎี"

เพื่อให้เข้าใจเนื้อหาได้ดีขึ้น เราขอแนะนำให้คุณฝึกฝนการทำงานที่ได้รับมอบหมายให้เสร็จสิ้น ตรวจสอบตัวอย่างสมการเอ็กซ์โพเนนเชียลอย่างละเอียดพร้อมเฉลยที่นำเสนอในหน้านี้เพื่อทำความเข้าใจอัลกอริธึมการคำนวณ หลังจากนั้นดำเนินการงานในส่วน "ไดเรกทอรี" คุณสามารถเริ่มต้นด้วยงานที่ง่ายที่สุดหรือมุ่งตรงไปที่การแก้สมการเลขชี้กำลังที่ซับซ้อนโดยไม่ทราบค่าหลายค่าหรือ ฐานข้อมูลแบบฝึกหัดบนเว็บไซต์ของเราได้รับการเสริมและปรับปรุงอย่างต่อเนื่อง

คุณสามารถเพิ่มตัวอย่างที่มีตัวบ่งชี้ที่ทำให้คุณประสบปัญหาลงใน "รายการโปรด" ได้ วิธีนี้ทำให้คุณสามารถค้นหาและหารือเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหากับครูได้อย่างรวดเร็ว

เพื่อให้ผ่านการสอบ Unified State ได้สำเร็จ ให้ศึกษาที่พอร์ทัล Shkolkovo ทุกวัน!

ผม. ขวาน 2 =0 – ไม่สมบูรณ์ สมการกำลังสอง (ข=0, ค=0 - วิธีแก้: x=0 คำตอบ: 0.

แก้สมการ

2x·(x+3)=6x-x 2 .

สารละลาย.ลองเปิดวงเล็บด้วยการคูณกัน 2xสำหรับแต่ละเทอมในวงเล็บ:

2x 2 +6x=6x-x 2 ; เราย้ายเงื่อนไขจากด้านขวาไปทางซ้าย:

2x 2 +6x-6x+x 2 =0; ต่อไปนี้เป็นคำที่คล้ายกัน:

3x 2 = 0 ดังนั้น x=0

คำตอบ: 0.

ครั้งที่สอง ขวาน 2 +bx=0 –ไม่สมบูรณ์ สมการกำลังสอง (ค=0 - วิธีแก้: x (ax+b)=0 → x 1 =0 หรือ ax+b=0 → x 2 =-b/a คำตอบ: 0; -ข/ก.

5x 2 -26x=0.

สารละลาย.ลองเอาตัวประกอบร่วมออกมาดู เอ็กซ์นอกวงเล็บ:

x(5x-26)=0; แต่ละปัจจัยสามารถมีค่าเท่ากับศูนย์:

x=0หรือ 5x-26=0→ 5x=26 หารทั้งสองข้างของความเท่ากันด้วย 5 และเราได้: x=5.2

คำตอบ: 0; 5,2.

ตัวอย่างที่ 3 64x+4x 2 =0

สารละลาย.ลองเอาตัวประกอบร่วมออกมาดู 4xนอกวงเล็บ:

4x(16+x)=0. เรามีตัวประกอบสามตัว นั่นคือ 4≠0 หรือ x=0หรือ 16+x=0. จากความเท่าเทียมกันครั้งล่าสุด เราได้ x=-16

คำตอบ: -16; 0.

ตัวอย่างที่ 4(x-3) 2 +5x=9.

สารละลาย.ใช้สูตรสำหรับกำลังสองของผลต่างของสองนิพจน์ เราจะเปิดวงเล็บ:

x 2 -6x+9+5x=9; แปลงเป็นรูปแบบ: x ​​2 -6x+9+5x-9=0; ให้เรานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกัน:

x 2 -x=0; เราจะเอามันออกไป เอ็กซ์นอกวงเล็บ เราจะได้: x (x-1)=0 จากที่นี่หรือ x=0หรือ x-1=0→ x=1

คำตอบ: 0; 1.

สาม. ขวาน 2 +c=0 –ไม่สมบูรณ์ สมการกำลังสอง (ข=0 - วิธีแก้: ขวาน 2 =-c → x 2 =-c/a

ถ้า (-ค/ก)<0 แล้วไม่มีรากที่แท้จริง ถ้า (-с/а)>0

ตัวอย่างที่ 5 x 2 -49=0.

สารละลาย.

x 2 =49 จากตรงนี้ x=±7 คำตอบ:-7; 7.

ตัวอย่างที่ 6 9x 2 -4=0.

สารละลาย.

บ่อยครั้งที่คุณต้องค้นหาผลรวมของกำลังสอง (x 1 2 +x 2 2) หรือผลรวมของลูกบาศก์ (x 1 3 +x 2 3) ของรากของสมการกำลังสองซึ่งน้อยกว่า - ผลรวมของค่าส่วนกลับ ​ของกำลังสองของรากหรือผลรวมของรากที่สองทางคณิตศาสตร์ของรากของสมการกำลังสอง:

ทฤษฎีบทของ Vieta สามารถช่วยในเรื่องนี้ได้:

x 2 +px+q=0

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q

มาแสดงออกกันเถอะ ผ่าน พีและ ถาม:

1) ผลรวมของกำลังสองของรากของสมการ x 2 +px+q=0;

2) ผลรวมของกำลังสามของรากของสมการ x 2 +px+q=0.

สารละลาย.

1) การแสดงออก x 1 2 + x 2 2ได้จากการยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ x 1 + x 2 = -p;

(x 1 +x 2) 2 =(-p) 2 ; เปิดวงเล็บ: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2 ; เราแสดงจำนวนที่ต้องการ: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2x 1 x 2 =p 2 -2q. เรามีความเท่าเทียมกันที่เป็นประโยชน์: x 1 2 +x 2 2 =พี 2 -2q.

2) การแสดงออก x 1 3 + x 2 3ให้เราแทนผลรวมของลูกบาศก์โดยใช้สูตร:

(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p·(p 2 -2q-q)=-p·(p 2 -3คิว)

อีกสมการที่มีประโยชน์: x 1 3 +x 2 3 = -p·(p 2 -3q)

ตัวอย่าง.

3) x 2 -3x-4=0.คำนวณค่าของนิพจน์โดยไม่ต้องแก้สมการ x 1 2 + x 2 2.

สารละลาย.

x 1 +x 2 =-พี=3,และการทำงาน x 1 ∙x 2 =q=ในตัวอย่างที่ 1) ความเท่าเทียมกัน:

x 1 2 +x 2 2 =พี 2 -2q.เรามี -พี=x 1 +x 2 = 3 → หน้า 2 =3 2 =9; คิว= x 1 x 2 = -4. แล้ว x 1 2 +x 2 2 =9-2·(-4)=9+8=17.

คำตอบ: x 1 2 +x 2 2 =17.

4) x 2 -2x-4=0.คำนวณ: x 1 3 +x 2 3 .

สารละลาย.

ตามทฤษฎีบทของเวียตา ผลรวมของรากของสมการกำลังสองที่ลดลงนี้คือ x 1 +x 2 =-พี=2,และการทำงาน x 1 ∙x 2 =q=-4. ลองใช้สิ่งที่เราได้รับ ( ในตัวอย่างที่ 2) ความเท่าเทียมกัน: x 1 3 +x 2 3 =-p·(p 2 -3q)= 2·(2 2 -3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.

คำตอบ: x 1 3 +x 2 3 =32.

คำถาม: จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราได้รับสมการกำลังสองแบบไม่ลดขนาดล่ะ? คำตอบ: สามารถ "ลดลง" ได้เสมอโดยการหารเทอมต่อเทอมด้วยสัมประสิทธิ์แรก

5) 2x 2 -5x-7=0โดยไม่ต้องตัดสินใจ ให้คำนวณ: x 1 2 + x 2 2.

สารละลาย.เราได้รับสมการกำลังสองที่สมบูรณ์ หารทั้งสองข้างของความเท่าเทียมกันด้วย 2 (สัมประสิทธิ์แรก) และได้สมการกำลังสองต่อไปนี้: x 2 -2.5x-3.5=0.

ตามทฤษฎีบทของเวียตา ผลรวมของรากเท่ากับ 2,5 - ผลคูณของรากเท่ากับ -3,5 .

เราแก้มันด้วยวิธีเดียวกับตัวอย่าง 3) ใช้ความเท่าเทียมกัน: x 1 2 +x 2 2 =พี 2 -2q.

x 1 2 +x 2 2 =พี 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

คำตอบ: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.

6) x 2 -5x-2=0.หา:

ให้เราแปลงความเท่าเทียมกันนี้และใช้ทฤษฎีบทของ Vieta แทนที่ผลรวมของรากด้วย -พีและผลคูณของรากผ่าน ถามเราก็ได้สูตรที่มีประโยชน์อีกสูตรหนึ่ง เมื่อได้สูตร เราใช้ความเท่าเทียมกัน 1): x 1 2 +x 2 2 =พี 2 -2q.

ในตัวอย่างของเรา x 1 +x 2 =-พี=5; x 1 ∙x 2 =q=-2. เราแทนที่ค่าเหล่านี้เป็นสูตรผลลัพธ์:

7) x 2 -13x+36=0หา:

ลองแปลงผลรวมนี้แล้วได้สูตรที่สามารถใช้เพื่อค้นหาผลรวมของรากที่สองทางคณิตศาสตร์จากรากของสมการกำลังสอง

เรามี x 1 +x 2 =-p=13; x 1 ∙x 2 =q=36. เราแทนที่ค่าเหล่านี้เป็นสูตรผลลัพธ์:

คำแนะนำ : ตรวจสอบความเป็นไปได้ในการหารากของสมการกำลังสองโดยใช้วิธีที่เหมาะสมเสมอเพราะว่า 4 ตรวจสอบแล้ว สูตรที่มีประโยชน์ช่วยให้คุณทำงานให้เสร็จได้อย่างรวดเร็ว โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกรณีที่ผู้เลือกปฏิบัติเป็นหมายเลขที่ “ไม่สะดวก” ในกรณีง่ายๆ ทั้งหมด ให้ค้นหารากและดำเนินการกับมัน ตัวอย่างเช่น ในตัวอย่างสุดท้าย เราเลือกรากโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta ผลรวมของรากควรเท่ากับ 13 และผลผลิตจากราก 36 - ตัวเลขเหล่านี้คืออะไร? แน่นอน, 4 และ 9ตอนนี้คำนวณผลรวมของรากที่สองของตัวเลขเหล่านี้: 2+3=5. แค่นั้นแหละ!

I. ทฤษฎีบทของเวียตตาสำหรับสมการกำลังสองลดลง

ผลรวมของรากของสมการกำลังสองที่ลดลง x 2 +px+q=0เท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ที่สองที่มีเครื่องหมายตรงข้าม และผลิตภัณฑ์ของรากเท่ากับเทอมอิสระ:

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q

ค้นหารากของสมการกำลังสองที่กำหนดโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม

ตัวอย่างที่ 1) x 2 -x-30=0นี่คือสมการกำลังสองรีดิวซ์ ( x 2 +px+q=0), สัมประสิทธิ์ที่สอง พี=-1และสมาชิกอิสระ ค=-30.ขั้นแรก ตรวจสอบให้แน่ใจว่าสมการนี้มีราก และราก (ถ้ามี) จะแสดงเป็นจำนวนเต็ม เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอแล้วที่ตัวจำแนกประเภทจะเป็นกำลังสองสมบูรณ์ของจำนวนเต็ม

การหาผู้แบ่งแยก ดี=ข 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

ทีนี้ ตามทฤษฎีบทของเวียตา ผลรวมของรากจะต้องเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สองที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม นั่นคือ - -พี) และผลิตภัณฑ์จะเท่ากับระยะเวลาอิสระ เช่น - ถาม- แล้ว:

x 1 +x 2 =1; x 1 ∙x 2 =-30เราต้องเลือกตัวเลขสองตัวเพื่อให้ผลคูณเท่ากัน -30 และจำนวนเงินคือ หน่วย- เหล่านี้คือตัวเลข -5 และ 6 . คำตอบ: -5; 6.

ตัวอย่างที่ 2) x 2 +6x+8=0เรามีสมการกำลังสองลดลงด้วยสัมประสิทธิ์ที่สอง พี=6และสมาชิกฟรี ค=8- ตรวจสอบให้แน่ใจว่ามีรูตจำนวนเต็ม เรามาค้นหาความแตกต่างกัน ง 1 ง 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 - ตัวจำแนก D 1 คือกำลังสองสมบูรณ์ของจำนวน 1 ซึ่งหมายความว่ารากของสมการนี้เป็นจำนวนเต็ม ให้เราเลือกรากโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta: ผลรวมของรากเท่ากับ –ร=-6และผลคูณของรากเท่ากับ ค=8- เหล่านี้คือตัวเลข -4 และ -2 .

ในความเป็นจริง: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q คำตอบ: -4; -2.

ตัวอย่างที่ 3) x 2 +2x-4=0- ในสมการกำลังสองลดหย่อนนี้ สัมประสิทธิ์ที่สอง พี=2และสมาชิกอิสระ ค=-4- เรามาค้นหาความแตกต่างกัน ง 1เนื่องจากสัมประสิทธิ์ที่สองเป็นเลขคู่ ง 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. การแบ่งแยกไม่ใช่กำลังสองที่สมบูรณ์แบบของจำนวน เราก็ทำเช่นนั้น บทสรุป: รากของสมการนี้ไม่ใช่จำนวนเต็มและไม่สามารถพบได้โดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตาซึ่งหมายความว่าเราแก้สมการนี้ตามปกติโดยใช้สูตร (ในกรณีนี้คือการใช้สูตร) เราได้รับ:

ตัวอย่างที่ 4)เขียนสมการกำลังสองโดยใช้รากของมันถ้า x 1 =-7, x 2 =4.

สารละลาย.สมการที่ต้องการจะถูกเขียนในรูปแบบ: x 2 +px+q=0และตามทฤษฎีบทของเวียตตา –พี=x 1 +x 2=-7+4=-3 → พี=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 - จากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบ: x 2 +3x-28=0.

ตัวอย่างที่ 5)เขียนสมการกำลังสองโดยใช้รากของมันหาก:

ครั้งที่สอง ทฤษฎีบทของเวียตตาสำหรับสมการกำลังสองที่สมบูรณ์ ขวาน 2 +bx+c=0.

ผลรวมของรากเป็นลบ ข, หารด้วย ก, ผลคูณของรากเท่ากับ กับ, หารด้วย ตอบ:

x 1 + x 2 = -b/a; x 1 ∙x 2 =c/a

ตัวอย่างที่ 6)หาผลรวมของรากของสมการกำลังสอง 2x 2 -7x-11=0.

สารละลาย.

เราแน่ใจว่าสมการนี้จะมีราก ในการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอแล้วที่จะสร้างนิพจน์สำหรับการเลือกปฏิบัติ และโดยไม่ต้องคำนวณ เพียงตรวจสอบให้แน่ใจว่าการเลือกปฏิบัติมีค่ามากกว่าศูนย์ ดี=7 2 -4∙2∙(-11)>0 - ตอนนี้เรามาใช้กัน ทฤษฎีบท เวียตต้าสำหรับสมการกำลังสองที่สมบูรณ์

x 1 +x 2 =-ข:ก=- (-7):2=3,5.

ตัวอย่างที่ 7)- หาผลคูณของรากของสมการกำลังสอง 3x 2 +8x-21=0

สารละลาย.

เรามาค้นหาความแตกต่างกัน ง 1เนื่องจากสัมประสิทธิ์ที่สอง ( 8 ) เป็นจำนวนคู่ ง 1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 - สมการกำลังสองมี 2 ราก ตามทฤษฎีบทของเวียตต้า ผลคูณของราก x 1 ∙x 2 =c:a=-21:3=-7.

ผม. ขวาน 2 +bx+c=0– สมการกำลังสองทั่วไป

เลือกปฏิบัติ ดี=ข 2 - 4เอซี

ถ้า ง>0แล้วเรามีรากจริงสองอัน:

ถ้า ด=0แล้วเรามีรากเดียว (หรือสองรากที่เท่ากัน) x=-b/(2a).

ถ้า D<0, то действительных корней нет.

ตัวอย่าง 1) 2x 2 +5x-3=0

สารละลาย. ก=2; ข=5; ค=-3.

ดี=ข 2 - 4เอซี=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 รากที่แท้จริง

4x 2 +21x+5=0

สารละลาย. ก=4; ข=21; ค=5.

ดี=ข 2 - 4เอซี=21 2 - 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 รากที่แท้จริง

ครั้งที่สอง ขวาน 2 +bx+c=0 – สมการกำลังสองรูปแบบเฉพาะ แม้แต่วินาทีเดียว

ค่าสัมประสิทธิ์ ข

ตัวอย่าง 3) 3x 2 -10x+3=0.

สารละลาย. ก=3; ข=-10 (เลขคู่); ค=3.

ตัวอย่างที่ 4) 5x 2 -14x-3=0.

สารละลาย. ก=5; ข= -14 (เลขคู่); ค=-3.

ตัวอย่างที่ 5) 71x 2 +144x+4=0

สารละลาย. ก=71; ข=144 (เลขคู่); ค=4.

ตัวอย่างที่ 6) 9x 2 -30x+25=0.

สารละลาย. ก=9; ข=-30 (เลขคู่); ค=25.

สาม. ขวาน 2 +bx+c=0 – สมการกำลังสอง ประเภทส่วนตัวที่มีให้: a-b+c=0.

รากแรกจะเท่ากับลบ 1 เสมอ และรากที่สองจะเท่ากับลบเสมอ กับ, หารด้วย ก:

x 1 =-1, x 2 =-ค/ก.

ตัวอย่างที่ 7) 2x 2 +9x+7=0

สารละลาย. ก=2; ข=9; ค=7. ตรวจสอบความเท่าเทียมกัน: a-b+c=0.เราได้รับ: 2-9+7=0 .

แล้ว x 1 =-1, x 2 =-ค/เอ=-7/2=-3.5คำตอบ: -1; -3,5.

IV. ขวาน 2 +bx+c=0 – สมการกำลังสองของรูปแบบเฉพาะเรื่อง : ก+ข+ค=0

รากแรกจะเท่ากับหนึ่งเสมอ และรากที่สองจะเท่ากับ กับ, หารด้วย ก:

x 1 =1, x 2 =ค/ก.

ตัวอย่างที่ 8) 2x 2 -9x+7=0.

สารละลาย. ก=2; ข=-9; ค=7. ตรวจสอบความเท่าเทียมกัน: ก+ข+ค=0.เราได้รับ: 2-9+7=0 .

แล้ว x 1 =1, x 2 =ค/ก=7/2=3.5คำตอบ: 1; 3,5.

หน้า 1 จาก 1 1

เครื่องคิดเลขฟรีที่เรานำเสนอให้คุณสนใจมีคลังแสงความเป็นไปได้มากมายสำหรับการคำนวณทางคณิตศาสตร์ ช่วยให้คุณใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์ในกิจกรรมต่างๆ: เกี่ยวกับการศึกษา, มืออาชีพและ ทางการค้า- แน่นอนว่าการใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์นั้นได้รับความนิยมเป็นพิเศษ นักเรียนและ เด็กนักเรียนช่วยให้ทำการคำนวณต่างๆ ได้ง่ายขึ้นมาก

ในขณะเดียวกัน เครื่องคิดเลขก็อาจกลายเป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์ในบางสาขาของธุรกิจและสำหรับผู้ที่มีอาชีพต่างกัน แน่นอนว่าความจำเป็นในการใช้เครื่องคิดเลขในธุรกิจหรืองานนั้นขึ้นอยู่กับประเภทของกิจกรรมเป็นหลัก หากธุรกิจและอาชีพของคุณเกี่ยวข้องกับการคำนวณและการคำนวณอย่างต่อเนื่องก็คุ้มค่าที่จะลองใช้เครื่องคิดเลขอิเล็กทรอนิกส์และประเมินระดับความมีประโยชน์สำหรับงานเฉพาะ

เครื่องคิดเลขออนไลน์นี้สามารถ

• ดำเนินการฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์มาตรฐานอย่างถูกต้องโดยเขียนเป็นบรรทัดเดียว เช่น - 12*3-(7/2) และสามารถประมวลผลตัวเลขที่มากกว่าที่เราจะนับจำนวนมากได้ในเครื่องคิดเลขออนไลน์ เราไม่รู้ด้วยซ้ำว่าจะเรียกตัวเลขดังกล่าวว่าอะไรอย่างถูกต้อง ( มีอักขระ 34 ตัวและนี่ไม่ใช่ขีดจำกัดเลย).
• ยกเว้น แทนเจนต์, โคไซน์, ไซน์และฟังก์ชันมาตรฐานอื่นๆ - เครื่องคิดเลขรองรับการคำนวณ อาร์กแทนเจนต์, อาร์คโคแทนเจนต์และคนอื่น ๆ.
• มีจำหน่ายที่อาร์เซนอล ลอการิทึม, แฟกทอเรียลและคุณสมบัติที่น่าสนใจอื่น ๆ
• เครื่องคิดเลขออนไลน์นี้ รู้วิธีสร้างกราฟ!!!

ในการพล็อตกราฟ บริการจะใช้ปุ่มพิเศษ (กราฟจะถูกวาดด้วยสีเทา) หรือการแสดงตัวอักษรของฟังก์ชันนี้ (พล็อต) หากต้องการสร้างกราฟในเครื่องคิดเลขออนไลน์ เพียงเขียนฟังก์ชัน: พล็อต(ตาล(x)),x=-360..360.

เราใช้กราฟที่ง่ายที่สุดสำหรับแทนเจนต์ และหลังจากจุดทศนิยม เราก็ระบุช่วงของตัวแปร X ตั้งแต่ -360 ถึง 360

คุณสามารถสร้างฟังก์ชันใดก็ได้ โดยมีจำนวนตัวแปรเท่าใดก็ได้ เช่น: พล็อต(cos(x)/3z, x=-180..360,z=4)หรือซับซ้อนกว่านั้นที่คุณคิดขึ้นมาได้ ให้ความสนใจกับพฤติกรรมของตัวแปร X - ช่วงเวลาจากและถึงถูกระบุโดยใช้จุดสองจุด

ข้อเสียอย่างเดียว (แม้ว่าจะเรียกมันว่าข้อเสียได้ยากก็ตาม) ของเครื่องคิดเลขออนไลน์นี้ก็คือมันไม่สามารถสร้างทรงกลมและตัวเลขสามมิติอื่น ๆ ได้ - มีเพียงระนาบเท่านั้น

วิธีใช้เครื่องคิดเลขคณิตศาสตร์

1. จอแสดงผล (หน้าจอเครื่องคิดเลข) จะแสดงนิพจน์ที่ป้อนและผลลัพธ์ของการคำนวณเป็นสัญลักษณ์ธรรมดาตามที่เราเขียนบนกระดาษ ฟิลด์นี้ใช้สำหรับดูธุรกรรมปัจจุบันเท่านั้น รายการจะปรากฏบนจอแสดงผลเมื่อคุณพิมพ์นิพจน์ทางคณิตศาสตร์ในบรรทัดอินพุต

2. ช่องอินพุตนิพจน์มีไว้สำหรับบันทึกนิพจน์ที่ต้องคำนวณ ควรสังเกตว่าสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ในโปรแกรมคอมพิวเตอร์นั้นไม่เหมือนกับสัญลักษณ์ที่เรามักใช้บนกระดาษเสมอไป ในภาพรวมของแต่ละฟังก์ชันของเครื่องคิดเลข คุณจะพบการกำหนดที่ถูกต้องของการดำเนินการเฉพาะและตัวอย่างการคำนวณในเครื่องคิดเลข ในหน้านี้ด้านล่างนี้คือรายการการดำเนินการที่เป็นไปได้ทั้งหมดในเครื่องคิดเลข พร้อมทั้งระบุการสะกดที่ถูกต้องด้วย

3. แถบเครื่องมือ - คือปุ่มเครื่องคิดเลขที่แทนที่การป้อนสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ด้วยตนเองซึ่งระบุการดำเนินการที่เกี่ยวข้อง ปุ่มเครื่องคิดเลขบางปุ่ม (ฟังก์ชันเพิ่มเติม ตัวแปลงหน่วย การแก้เมทริกซ์และสมการ กราฟ) เสริมแถบงานด้วยฟิลด์ใหม่ที่มีการป้อนข้อมูลสำหรับการคำนวณเฉพาะ ช่อง "ประวัติ" ประกอบด้วยตัวอย่างการเขียนนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ รวมถึงรายการล่าสุด 6 รายการของคุณ

โปรดทราบว่าเมื่อคุณกดปุ่มเพื่อเรียกใช้ฟังก์ชันเพิ่มเติม ตัวแปลงหน่วย การแก้เมทริกซ์และสมการ และการพล็อตกราฟ แผงเครื่องคิดเลขทั้งหมดจะเลื่อนขึ้นจนครอบคลุมส่วนหนึ่งของจอแสดงผล กรอกข้อมูลในช่องที่ต้องกรอกแล้วกดปุ่ม "I" (ไฮไลต์ด้วยสีแดงในภาพ) เพื่อดูหน้าจอขนาดเต็ม

4. แผงปุ่มกดตัวเลขประกอบด้วยตัวเลขและสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ ปุ่ม "C" จะลบรายการทั้งหมดในฟิลด์รายการนิพจน์ หากต้องการลบอักขระทีละตัว คุณต้องใช้ลูกศรทางด้านขวาของบรรทัดอินพุต

พยายามปิดวงเล็บที่ส่วนท้ายของนิพจน์เสมอ สำหรับการทำงานส่วนใหญ่ สิ่งนี้ไม่สำคัญ เพราะเครื่องคิดเลขออนไลน์จะคำนวณทุกอย่างถูกต้อง อย่างไรก็ตามในบางกรณีข้อผิดพลาดอาจเกิดขึ้นได้ ตัวอย่างเช่น เมื่อยกกำลังเศษส่วน วงเล็บปิดจะทำให้ตัวส่วนของเศษส่วนในเลขยกกำลังไปเป็นตัวส่วนของฐาน วงเล็บปิดจะแสดงเป็นสีเทาอ่อนบนจอแสดงผล และควรปิดเมื่อการบันทึกเสร็จสิ้น

การใช้สมการแพร่หลายในชีวิตของเรา ใช้ในการคำนวณ การสร้างโครงสร้าง และแม้กระทั่งการกีฬา มนุษย์ใช้สมการในสมัยโบราณ และตั้งแต่นั้นมาการใช้สมการก็เพิ่มขึ้นเท่านั้น สมการยกกำลังหรือสมการเลขชี้กำลังคือสมการที่ตัวแปรอยู่ในกำลังและฐานเป็นตัวเลข ตัวอย่างเช่น:

การแก้สมการเอ็กซ์โพเนนเชียลมีขั้นตอนง่ายๆ เพียง 2 ขั้นตอน:

1. คุณต้องตรวจสอบว่าฐานของสมการทางขวาและซ้ายเหมือนกันหรือไม่ หากเหตุผลไม่เหมือนกัน เราจะมองหาทางเลือกในการแก้ปัญหาตัวอย่างนี้

2. หลังจากที่ฐานเท่ากัน เราจะเทียบองศาและแก้สมการใหม่ที่ได้

สมมติว่าเราได้รับสมการเลขชี้กำลังในรูปแบบต่อไปนี้:

มันคุ้มค่าที่จะเริ่มแก้สมการนี้ด้วยการวิเคราะห์พื้นฐาน ฐานต่างกัน - 2 และ 4 แต่เพื่อแก้ปัญหา เราต้องการให้พวกมันเท่ากัน ดังนั้นเราจึงแปลง 4 โดยใช้สูตรต่อไปนี้ -\[ (a^n)^m = a^(nm):\]

เราเพิ่มเข้าไปในสมการดั้งเดิม:

ลองเอามันออกจากวงเล็บ \

มาแสดงออกกันเถอะ \

เนื่องจากองศาเท่ากัน เราจึงละทิ้งมัน:

คำตอบ: \

ฉันจะแก้สมการเลขชี้กำลังโดยใช้ตัวแก้ปัญหาออนไลน์ได้ที่ไหน

คุณสามารถแก้สมการได้บนเว็บไซต์ของเรา https://site. โปรแกรมแก้โจทย์ออนไลน์ฟรีจะช่วยให้คุณสามารถแก้สมการออนไลน์ที่ซับซ้อนได้ภายในเวลาไม่กี่วินาที สิ่งที่คุณต้องทำคือเพียงป้อนข้อมูลของคุณลงในตัวแก้ปัญหา คุณยังสามารถชมวิดีโอคำแนะนำและเรียนรู้วิธีแก้สมการบนเว็บไซต์ของเรา และหากคุณยังมีคำถาม คุณสามารถถามพวกเขาได้ในกลุ่ม VKontakte ของเรา http://vk.com/pocketteacher เข้าร่วมกลุ่มของเรา เรายินดีช่วยเหลือคุณเสมอ

มีการศึกษาสมการกำลังสองในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ดังนั้นจึงไม่มีอะไรซับซ้อนที่นี่ ความสามารถในการแก้ไขปัญหาเหล่านี้มีความจำเป็นอย่างยิ่ง

สมการกำลังสองคือสมการที่มีรูปแบบ ax 2 + bx + c = 0 โดยที่สัมประสิทธิ์ a, b และ c เป็นตัวเลขใดๆ และ a ≠ 0

ก่อนที่จะศึกษาวิธีการแก้ปัญหาเฉพาะ โปรดทราบว่าสมการกำลังสองทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นสามประเภท:

1. ไม่มีราก
2. มีรากเพียงอันเดียว
3. พวกเขามีสองรากที่แตกต่างกัน

นี่เป็นข้อแตกต่างที่สำคัญระหว่างสมการกำลังสองและสมการเชิงเส้น โดยที่รากมีอยู่เสมอและไม่ซ้ำกัน จะทราบได้อย่างไรว่าสมการหนึ่งมีกี่ราก? มีสิ่งที่ยอดเยี่ยมสำหรับสิ่งนี้ - เลือกปฏิบัติ.

เลือกปฏิบัติ

ให้สมการกำลังสอง ax 2 + bx + c = 0 จากนั้นตัวแยกแยะก็เป็นเพียงตัวเลข D = b 2 − 4ac

คุณต้องรู้สูตรนี้ด้วยใจ มาจากไหนไม่สำคัญตอนนี้ อีกสิ่งหนึ่งที่สำคัญ: ด้วยเครื่องหมายของการแบ่งแยก คุณสามารถระบุได้ว่าสมการกำลังสองมีรากกี่ราก กล่าวคือ:

1. ถ้า D< 0, корней нет;
2. ถ้า D = 0 แสดงว่ามีรากเดียวเท่านั้น
3. ถ้า D > 0 จะมีราก 2 อัน

โปรดทราบ: ผู้จำแนกระบุจำนวนรากและไม่ใช่สัญญาณเลยเนื่องจากหลายคนเชื่อด้วยเหตุผลบางประการ ดูตัวอย่างแล้วคุณจะเข้าใจทุกอย่างด้วยตัวเอง:

งาน. สมการกำลังสองมีกี่ราก:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0

ลองเขียนสัมประสิทธิ์สำหรับสมการแรกแล้วหาค่าจำแนก:
a = 1, b = −8, c = 12;
ง = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

การแบ่งแยกเป็นบวก สมการจึงมีรากที่ต่างกัน 2 ราก เราวิเคราะห์สมการที่สองในลักษณะเดียวกัน:
ก = 5; ข = 3; ค = 7;
ง = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131

การเลือกปฏิบัติเป็นลบไม่มีราก สมการสุดท้ายที่เหลืออยู่คือ:
ก = 1; ข = −6; ค = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0

การแบ่งแยกเป็นศูนย์ - รูทจะเป็นหนึ่ง

โปรดทราบว่าค่าสัมประสิทธิ์ได้ถูกเขียนไว้สำหรับแต่ละสมการแล้ว ใช่ มันยาว ใช่ มันน่าเบื่อ แต่คุณจะไม่ปะปนโอกาสและทำผิดพลาดโง่ๆ เลือกด้วยตัวคุณเอง: ความเร็วหรือคุณภาพ

อย่างไรก็ตาม หากคุณเข้าใจแล้ว คุณไม่จำเป็นต้องจดค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดหลังจากผ่านไประยะหนึ่ง คุณจะดำเนินการดังกล่าวในหัวของคุณ คนส่วนใหญ่เริ่มทำสิ่งนี้หลังจากแก้สมการไปแล้ว 50-70 ข้อ โดยทั่วไปแล้วไม่มากขนาดนั้น

รากของสมการกำลังสอง

ตอนนี้เรามาดูวิธีแก้ปัญหากันดีกว่า หากจำแนก D > 0 คุณสามารถค้นหารากได้โดยใช้สูตร:

สูตรพื้นฐานสำหรับรากของสมการกำลังสอง

เมื่อ D = 0 คุณสามารถใช้สูตรใดก็ได้เหล่านี้ - คุณจะได้ตัวเลขเดียวกันซึ่งจะเป็นคำตอบ สุดท้ายนี้ถ้า D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 − 2x - x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0

สมการแรก:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; ข = −2; ค = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16

D > 0 ⇒ สมการมีสองราก มาหาพวกเขากันเถอะ:

สมการที่สอง:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; ข = −2; ค = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64

D > 0 ⇒ สมการอีกครั้งมีสองราก มาหาพวกเขากันเถอะ

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3 \\ \end(จัดแนว)\]

ในที่สุดสมการที่สาม:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; ข = 12; ค = 36;
ง = 12 2 − 4 1 36 = 0

D = 0 ⇒ สมการมีหนึ่งรูท ใช้สูตรไหนก็ได้ ตัวอย่างเช่นอันแรก:

อย่างที่คุณเห็นจากตัวอย่างทุกอย่างนั้นง่ายมาก ถ้ารู้สูตรและนับได้ก็ไม่มีปัญหา บ่อยครั้งที่ข้อผิดพลาดเกิดขึ้นเมื่อแทนที่ค่าสัมประสิทธิ์ลบลงในสูตร อีกครั้งเทคนิคที่อธิบายไว้ข้างต้นจะช่วยได้: ดูสูตรตามตัวอักษรจดบันทึกแต่ละขั้นตอน - และในไม่ช้าคุณก็จะกำจัดข้อผิดพลาด

สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

มันเกิดขึ้นที่สมการกำลังสองแตกต่างจากที่ให้ไว้ในคำจำกัดความเล็กน้อย ตัวอย่างเช่น:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0

สังเกตได้ง่ายว่าสมการเหล่านี้ขาดคำศัพท์ข้อใดข้อหนึ่งไป สมการกำลังสองดังกล่าวแก้ได้ง่ายกว่าสมการมาตรฐาน โดยไม่จำเป็นต้องคำนวณการแบ่งแยกด้วยซ้ำ ขอแนะนำแนวคิดใหม่:

สมการ ax 2 + bx + c = 0 เรียกว่าสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ถ้า b = 0 หรือ c = 0 กล่าวคือ ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x หรือองค์ประกอบอิสระเท่ากับศูนย์

แน่นอนว่าเป็นกรณีที่ยากมากเมื่อสัมประสิทธิ์ทั้งสองมีค่าเท่ากับศูนย์: b = c = 0 ในกรณีนี้ สมการจะอยู่ในรูปแบบ ax 2 = 0 เห็นได้ชัดว่าสมการดังกล่าวมีรากเดียว: x = 0.

ลองพิจารณากรณีที่เหลือ ให้ b = 0 จากนั้นเราจะได้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ ax 2 + c = 0 ให้เราแปลงมันสักหน่อย:

เนื่องจากรากที่สองทางคณิตศาสตร์มีอยู่เฉพาะจำนวนที่ไม่เป็นลบ ความเท่าเทียมกันสุดท้ายจึงสมเหตุสมผลสำหรับ (−c /a) ≥ 0 เท่านั้น สรุป:

1. หากสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ในรูปแบบ ax 2 + c = 0 เป็นไปตามสมการ (−c /a) ≥ 0 ก็จะได้รากสองอัน สูตรได้รับข้างต้น
2. ถ้า (−c /a)< 0, корней нет.

อย่างที่คุณเห็น ไม่จำเป็นต้องแยกแยะ เนื่องจากไม่มีการคำนวณที่ซับซ้อนเลยในสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ที่จริงแล้ว ไม่จำเป็นต้องจำความไม่เท่าเทียมกัน (−c /a) ≥ 0 ด้วยซ้ำ การแสดงค่า x 2 และดูว่าอีกด้านของเครื่องหมายเท่ากับมีอะไรอยู่ก็เพียงพอแล้ว ถ้ามีจำนวนบวกก็จะมีรากสองตัว หากเป็นลบก็จะไม่มีรากเลย

ตอนนี้เรามาดูสมการของรูปแบบ ax 2 + bx = 0 ซึ่งองค์ประกอบอิสระมีค่าเท่ากับศูนย์ ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่: จะมีสองรากเสมอ ก็เพียงพอแล้วที่จะแยกตัวประกอบพหุนาม:

ผลคูณจะเป็นศูนย์เมื่อมีปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นศูนย์ นี่คือที่มาของราก โดยสรุป ลองดูที่สมการเหล่านี้บางส่วน:

งาน. แก้สมการกำลังสอง:

1. x 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6 ไม่มีรากเพราะว่า สี่เหลี่ยมจัตุรัสไม่สามารถเท่ากับจำนวนลบได้

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = −1.5