Oscillasjon og bølger. Harmonisk oscillerende bevegelse
Harmoniske vibrasjoner
Funksjonsgrafer f(x) = synd( x) Og g(x) = cos( x) på det kartesiske flyet.
Harmonisk oscillasjon- oscillasjoner der en fysisk (eller annen) størrelse endres over tid i henhold til en sinusformet eller cosinus-lov. Den kinematiske ligningen for harmoniske oscillasjoner har formen
,Hvor X- forskyvning (avvik) av svingepunktet fra likevektsposisjonen på tidspunktet t; EN- amplitude av oscillasjoner, dette er verdien som bestemmer det maksimale avviket til svingepunktet fra likevektsposisjonen; ω - syklisk frekvens, en verdi som angir antall komplette svingninger som skjer innen 2π sekunder - full fase av svingninger, - startfase av svingninger.
Generalisert harmonisk oscillasjon i differensialform
(Enhver ikke-triviell løsning på denne differensialligningen er en harmonisk oscillasjon med en syklisk frekvens)
Typer vibrasjoner
Tidsutvikling av forskyvning, hastighet og akselerasjon i harmonisk bevegelse
- Gratis vibrasjoner utføres under påvirkning av interne krefter i systemet etter at systemet har blitt fjernet fra sin likevektsposisjon. For at frie oscillasjoner skal være harmoniske, er det nødvendig at det oscillerende systemet er lineært (beskrevet av lineære bevegelsesligninger), og det er ingen energispredning i det (sistnevnte vil forårsake dempning).
- Tvungede vibrasjoner utføres under påvirkning av en ekstern periodisk kraft. For at de skal være harmoniske, er det nok at det oscillerende systemet er lineært (beskrevet av lineære bevegelsesligninger), og selve den ytre kraften endres over tid som en harmonisk svingning (det vil si at tidsavhengigheten til denne kraften er sinusformet) .
applikasjon
Harmoniske vibrasjoner skiller seg ut fra alle andre typer vibrasjoner av følgende grunner:
se også
Notater
Litteratur
- Fysikk. Elementær lærebok i fysikk / Ed. G. S. Lansberg. - 3. utg. - M., 1962. - T. 3.
- Khaikin S.E. Fysisk grunnlag for mekanikk. - M., 1963.
- A. M. Afonin. Fysisk grunnlag for mekanikk. - Ed. MSTU im. Bauman, 2006.
- Gorelik G.S. Svingninger og bølger. Innføring i akustikk, radiofysikk og optikk. - M.: Fizmatlit, 1959. - 572 s.
Wikimedia Foundation. 2010.
Se hva "harmoniske svingninger" er i andre ordbøker:
Moderne leksikon
Harmoniske vibrasjoner- HARMONISKE VIBRASJONER, periodiske endringer i en fysisk mengde som skjer i henhold til sinusloven. Grafisk er harmoniske oscillasjoner representert av en sinuskurve. Harmoniske svingninger er den enkleste typen periodiske bevegelser, preget av... Illustrert encyklopedisk ordbok
Oscillasjoner der en fysisk størrelse endres over tid i henhold til loven om sinus eller cosinus. Grafisk er GK-er representert av en buet sinusbølge eller cosinusbølge (se figur); de kan skrives på formen: x = Asin (ωt + φ) eller x... Stor sovjetisk leksikon
HARMONISKE VIBRASJONER, periodiske bevegelser som bevegelse av en PENDEL, atomvibrasjoner eller svingninger i en elektrisk krets. Et legeme utfører udempede harmoniske svingninger når det svinger langs en linje og beveger seg den samme... ... Vitenskapelig og teknisk encyklopedisk ordbok
Svingninger, med hvilke fysiske (eller en hvilken som helst annen) mengde endres over tid i henhold til en sinusformet lov: x=Asin(wt+j), hvor x er verdien av den fluktuerende mengden på et gitt tidspunkt. tidspunkt t (for mekanisk G.K., f.eks. forskyvning eller hastighet, for ... ... Fysisk leksikon
harmoniske vibrasjoner- Mekaniske svingninger, der generalisert koordinat og (eller) generalisert hastighet endres proporsjonalt med sinus med et argument lineært avhengig av tid. [Samling av anbefalte vilkår. Utgave 106. Mekaniske vibrasjoner. Vitenskapsakademiet … Teknisk oversetterveiledning
Svingninger, med hvilke fysiske (eller en hvilken som helst annen) mengde endres over tid i henhold til en sinusformet lov, der x er verdien av den oscillerende størrelsen på tidspunktet t (for mekaniske hydrauliske systemer, for eksempel forskyvning og hastighet, for elektrisk spenning og strømstyrke) ... Fysisk leksikon
HARMONISKE VIBRASJONER- (se), hvor fysisk. en mengde endres over tid i henhold til loven om sinus eller cosinus (for eksempel endringer (se) og hastighet under oscillasjon (se) eller endringer (se) og strømstyrke under elektriske kretser) ... Big Polytechnic Encyclopedia
De er karakterisert ved en endring i oscillerende verdien x (for eksempel pendelens avvik fra likevektsposisjonen, spenningen i vekselstrømkretsen osv.) i tid t i henhold til loven: x = Asin (?t) + ?), hvor A er amplituden til harmoniske oscillasjoner, ? hjørne ... ... Stor encyklopedisk ordbok
Harmoniske vibrasjoner- 19. Harmoniske svingninger Oscillasjoner der verdiene til den oscillerende mengden endres over tid i henhold til loven Kilde ... Ordbok-referansebok med vilkår for normativ og teknisk dokumentasjon
Periodisk fluktuasjoner, der endringer i tid fysiske. størrelser oppstår i henhold til sinus- eller cosinusloven (se figur): s = Аsin(wt+ф0), hvor s er avviket til den oscillerende størrelsen fra gjennomsnittet. (likevekt) verdi, A=konst amplitude, w=konst sirkulær... Big Encyclopedic Polytechnic Dictionary
Oscillerende bevegelse- periodisk eller nesten periodisk bevegelse av et legeme, hvis koordinater, hastighet og akselerasjon ved like tidsintervaller antar omtrent samme verdier.
Mekaniske vibrasjoner oppstår når en kropp fjernes fra en likevektsposisjon, en kraft oppstår som har en tendens til å returnere kroppen tilbake.
Forskyvning x er kroppens avvik fra likevektsposisjonen.
Amplitude A er modulen for den maksimale forskyvningen av kroppen.
Oscillasjonsperiode T - tiden for en svingning:
Oscillasjonsfrekvens
Antall svingninger utført av et legeme per tidsenhet: Under svingninger endres hastigheten og akselerasjonen periodisk. I likevektsposisjonen er hastigheten maksimal og akselerasjonen null. Ved punktene med maksimal forskyvning når akselerasjonen et maksimum og hastigheten blir null.
HARMONISK VIBRASJONSSCHEMA
Harmonisk vibrasjoner som oppstår i henhold til loven om sinus eller cosinus kalles:
hvor x(t) er forskyvningen av systemet på tidspunktet t, A er amplituden, ω er den sykliske frekvensen til svingninger.
Hvis du plotter avviket til kroppen fra likevektsposisjonen langs den vertikale aksen, og tiden langs den horisontale aksen, vil du få en graf av oscillasjonen x = x(t) - avhengigheten av kroppens forskyvning på tid. For frie harmoniske svingninger er det en sinus- eller cosinusbølge. Figuren viser grafer over avhengigheten av forskyvning x, projeksjoner av hastighet V x og akselerasjon a x på tid.
Som man kan se av grafene, ved maksimal forskyvning x, er hastigheten V til det oscillerende legemet null, akselerasjonen a, og derfor kraften som virker på legemet, er maksimal og rettet motsatt forskyvningen. I likevektsposisjonen blir forskyvningen og akselerasjonen null, og hastigheten er maksimal. Akselerasjonsprojeksjonen har alltid motsatt fortegn til forskyvningen.
ENERGI AV VIBRASJONSBEVEGELSE
Den totale mekaniske energien til et oscillerende legeme er lik summen av dets kinetiske og potensielle energier, og i fravær av friksjon forblir den konstant:
I det øyeblikket når forskyvningen når et maksimum x = A, går hastigheten, og med den kinetiske energien, til null.
I dette tilfellet er den totale energien lik den potensielle energien:
Den totale mekaniske energien til et oscillerende legeme er proporsjonal med kvadratet på amplituden til dets svingninger.
Når systemet passerer likevektsposisjonen, er forskyvningen og potensiell energi null: x = 0, E p = 0. Derfor er den totale energien lik den kinetiske energien:
Den totale mekaniske energien til et oscillerende legeme er proporsjonal med kvadratet på hastigheten i likevektsposisjonen. Derfor:
MATEMATISK PENDEL
1. Matematikkpendel er en materialspiss hengt opp på en vektløs ubøyelig tråd.
I likevektsposisjonen kompenseres tyngdekraften av trådens spenning. Hvis pendelen avbøyes og slippes, vil kreftene slutte å kompensere hverandre, og en resulterende kraft vil oppstå rettet mot likevektsposisjonen. Newtons andre lov:
For små oscillasjoner, når forskyvningen x er mye mindre enn l, vil materialpunktet bevege seg nesten langs den horisontale x-aksen. Så fra trekanten MAB får vi:
Fordi sin a = x/l, da er projeksjonen av den resulterende kraften R på x-aksen lik
Minustegnet viser at kraften R alltid er rettet mot forskyvningen x.
2. Så, under svingninger av en matematisk pendel, så vel som under svingninger av en fjærpendel, er gjenopprettingskraften proporsjonal med forskyvningen og er rettet i motsatt retning.
La oss sammenligne uttrykkene for gjenopprettingskraften til matematiske og fjærpendler:
Det kan sees at mg/l er en analog av k. Erstatte k med mg/l i formelen for perioden med en fjærpendel
vi får formelen for perioden til en matematisk pendel:
Perioden med små svingninger av en matematisk pendel er ikke avhengig av amplituden.
En matematisk pendel brukes til å måle tid og bestemme tyngdeakselerasjonen på et gitt sted på jordoverflaten.
Frie oscillasjoner av en matematisk pendel ved små avbøyningsvinkler er harmoniske. De oppstår på grunn av den resulterende tyngdekraften og spenningskraften til tråden, samt tregheten til lasten. Resultatet av disse kreftene er gjenopprettingskraften.
Eksempel. Bestem akselerasjonen på grunn av tyngdekraften på en planet der en pendel på 6,25 m har en periode med fri oscillasjon på 3,14 s.
Svingningsperioden til en matematisk pendel avhenger av lengden på tråden og tyngdeakselerasjonen:
Ved å kvadrere begge sider av likheten får vi:
Svar: tyngdeakselerasjonen er 25 m/s 2 .
Oppgaver og tester om emnet "Tema 4. "Mekanikk. Svingninger og bølger."
- Tverrgående og langsgående bølger. Bølgelengde
Leksjoner: 3 oppgaver: 9 prøver: 1
- Lydbølger. Lydhastighet - Mekaniske vibrasjoner og bølger. Lyd 9. klasse
1. Bestemmelse av oscillerende bevegelse
Oscillerende bevegelse– Dette er en bevegelse som gjentar seg nøyaktig eller omtrentlig med jevne mellomrom. Studiet av oscillerende bevegelse i fysikk er spesielt vektlagt. Dette skyldes fellesheten til mønstrene for oscillerende bevegelser av forskjellige arter og metodene for studien. Mekaniske, akustiske, elektromagnetiske vibrasjoner og bølger betraktes fra et enkelt synspunkt. Oscillerende bevegelse er karakteristisk for alle naturfenomener. Rytmisk repeterende prosesser, som hjerteslag, skjer kontinuerlig inne i enhver levende organisme.
Mekaniske vibrasjonerOscillasjoner er enhver fysisk prosess preget av repeterbarhet over tid.
Havets ruhet, svingen til en klokkependel, vibrasjonene i et skipsskrog, hjerteslag, lyd, radiobølger, lys, vekselstrøm - alt dette er vibrasjoner.
Under prosessen med oscillasjoner gjentas verdiene av fysiske mengder som bestemmer systemets tilstand med like eller ulikt tidsintervaller. Oscillasjoner kalles periodisk, hvis verdiene for skiftende fysiske mengder gjentas med jevne mellomrom.
Den korteste tidsperioden T, hvoretter verdien av en skiftende fysisk størrelse gjentas (i størrelse og retning, hvis denne størrelsen er vektor, i størrelse og fortegn, hvis den er skalar), kalles periode nøling.
Antallet komplette svingninger n gjort per tidsenhet kalles Frekvens svingninger av denne verdien og er betegnet med ν. Perioden og frekvensen av oscillasjoner er relatert av forholdet:
Enhver svingning er forårsaket av en eller annen påvirkning på det oscillerende systemet. Avhengig av arten av påvirkningen som forårsaker oscillasjonene, skilles følgende typer periodiske svingninger: frie, tvungne, selvsvingninger, parametriske.
Gratis vibrasjoner- dette er svingninger som oppstår i et system som er overlatt til seg selv etter at det er fjernet fra en tilstand av stabil likevekt (for eksempel svingninger av en last på en fjær).
Tvungede vibrasjoner- dette er svingninger forårsaket av ekstern periodisk påvirkning (for eksempel elektromagnetiske svingninger i en TV-antenne).
Mekanisksvingninger
Selvsvingninger- frie svingninger støttet av en ekstern energikilde, som slås på i de riktige øyeblikkene av selve oscillerende systemet (for eksempel svingningene til en klokkependel).
Parametriske svingninger- dette er svingninger der det oppstår en periodisk endring i en eller annen parameter i systemet (for eksempel svinge en huske: ved å sitte på huk i ekstreme posisjoner og rette seg opp i midtstilling, endrer en person på en husker treghetsmomentet til husken ).
Oscillasjoner som er forskjellige i natur avslører mye til felles: de adlyder de samme lovene, er beskrevet av de samme ligningene og studeres med de samme metodene. Dette gjør det mulig å lage en enhetlig teori om svingninger.
Den enkleste av periodiske svingninger
er harmoniske vibrasjoner.
Harmoniske oscillasjoner er svingninger der verdiene av fysiske mengder endres over tid i henhold til loven om sinus eller cosinus. De fleste oscillerende prosesser er beskrevet av denne loven eller kan uttrykkes som en sum av harmoniske oscillasjoner.
En annen "dynamisk" definisjon av harmoniske oscillasjoner er mulig som en prosess utført under påvirkning av elastisk eller "kvasi-elastisk"
2. Periodisk kalles oscillasjoner der prosessen gjentas nøyaktig med jevne mellomrom.
Periode periodiske oscillasjoner er minimumstiden som systemet går tilbake til sin opprinnelige
x er en oscillerende størrelse (for eksempel strømstyrken i en krets, tilstanden og repetisjonen av prosessen begynner. En prosess som skjer i løpet av en periode med oscillasjon kalles «én fullstendig oscillasjon».
periodiske oscillasjoner er antall komplette svingninger per tidsenhet (1 sekund) - dette er kanskje ikke et heltall.
T - svingningsperiode Periode er tiden for en fullstendig svingning.
For å beregne frekvensen v, må du dele 1 sekund med tiden T for en svingning (i sekunder) og du får antall svingninger i 1 sekund eller koordinaten til punktet) t - tid
Harmonisk svingning
Dette er en periodisk svingning der koordinaten, hastigheten, akselerasjonen som karakteriserer bevegelsen endres i henhold til sinus- eller cosinusloven.
Harmonisk graf
Grafen fastslår avhengigheten av kroppsforskyvning over tid. La oss installere en blyant på fjærpendelen og en papirtape bak pendelen, som beveger seg jevnt. Eller la oss tvinge en matematisk pendel til å etterlate et spor. En bevegelsesplan vil bli vist på papir.
Grafen for en harmonisk oscillasjon er en sinusbølge (eller cosinusbølge). Fra oscillasjonsgrafen kan du bestemme alle egenskapene til den oscillerende bevegelsen.
Ligning av harmonisk vibrasjon
Ligningen for harmonisk oscillasjon etablerer avhengigheten av kroppens koordinater på tid
Cosinusgrafen i startøyeblikket har en maksimumsverdi, og sinusgrafen har nullverdi i startøyeblikket. Hvis vi begynner å undersøke oscillasjonen fra likevektsposisjonen, vil oscillasjonen gjenta en sinusoid. Hvis vi begynner å vurdere oscillasjonen fra posisjonen til maksimalt avvik, vil oscillasjonen bli beskrevet med en cosinus. Eller en slik oscillasjon kan beskrives med sinusformelen med en startfase.
Endring i hastighet og akselerasjon under harmonisk oscillasjon
Ikke bare kroppens koordinater endres over tid i henhold til loven om sinus eller cosinus. Men størrelser som kraft, hastighet og akselerasjon endres også tilsvarende. Kraften og akselerasjonen er maksimal når det oscillerende legemet er i ytterposisjonene hvor forskyvningen er maksimal, og er null når kroppen passerer gjennom likevektsposisjonen. Hastigheten, tvert imot, i ekstreme posisjoner er null, og når kroppen passerer gjennom likevektsposisjonen, når den sin maksimale verdi.
Hvis oscillasjonen er beskrevet av cosinusloven
Hvis oscillasjonen er beskrevet i henhold til sinusloven
Maksimal hastighet og akselerasjonsverdier
Etter å ha analysert ligningene for avhengighet v(t) og a(t), kan vi gjette at hastighet og akselerasjon tar maksimale verdier i tilfellet når den trigonometriske faktoren er lik 1 eller -1. Bestemmes av formelen
Hvordan få avhengigheter v(t) og a(t)
(lat. amplitude- magnitude) er det største avviket til et oscillerende legeme fra dets likevektsposisjon.
For en pendel er dette den maksimale avstanden som ballen beveger seg bort fra sin likevektsposisjon (figur nedenfor). For oscillasjoner med små amplituder kan en slik avstand tas som lengden på buen 01 eller 02, og lengdene til disse segmentene.
Amplituden til svingninger måles i lengdeenheter - meter, centimeter osv. På oscillasjonsgrafen er amplituden definert som den maksimale (modulo) ordinaten til den sinusformede kurven (se figuren under).
Oscillasjonsperiode.
Oscillasjonsperiode- dette er den korteste tidsperioden som et system som svinger tilbake til samme tilstand som det var i det første øyeblikket, valgt vilkårlig.
Med andre ord, oscillasjonsperioden ( T) er tiden som en fullstendig svingning oppstår. For eksempel, i figuren nedenfor, er dette tiden det tar for pendelbobben å bevege seg fra punktet lengst til høyre gjennom likevektspunktet OM til punktet lengst til venstre og tilbake gjennom punktet OM igjen helt til høyre.
Over en hel oscillasjonsperiode går kroppen dermed en bane lik fire amplituder. Svingningsperioden måles i tidsenheter - sekunder, minutter osv. Svingningsperioden kan bestemmes fra en velkjent graf over svingninger (se figur under).
Konseptet med "oscillasjonsperiode" er strengt tatt kun gyldig når verdiene til den oscillerende mengden gjentas nøyaktig etter en viss tidsperiode, det vil si for harmoniske svingninger. Dette konseptet gjelder imidlertid også for tilfeller av tilnærmet gjentatte mengder, for eksempel for dempet svingninger.
Oscillasjonsfrekvens.
Oscillasjonsfrekvens- dette er antall svingninger utført per tidsenhet, for eksempel på 1 s.
SI-enheten for frekvens er navngitt hertz(Hz) til ære for den tyske fysikeren G. Hertz (1857-1894). Hvis oscillasjonsfrekvensen ( v) er lik 1 Hz, betyr dette at hvert sekund er det én svingning. Hyppigheten og perioden av svingninger er relatert av relasjonene:
I teorien om svingninger bruker de også konseptet syklisk, eller sirkulær frekvens ω . Det er relatert til normal frekvens v og oscillasjonsperiode T forholdstall:
.
Syklisk frekvens er antall svingninger utført pr 2π sekunder
Endringer i enhver mengde er beskrevet ved hjelp av lovene til sinus eller cosinus, så kalles slike svingninger harmoniske. La oss vurdere en krets som består av en kondensator (som ble ladet før den ble inkludert i kretsen) og en induktor (fig. 1).
Bilde 1.
Den harmoniske vibrasjonsligningen kan skrives som følger:
$q=q_0cos((\omega )_0t+(\alpha )_0)$ (1)
der $t$ er tid; $q$ kostnad, $q_0$-- maksimalt avvik for kostnad fra gjennomsnittsverdien (null) under endringer; $(\omega )_0t+(\alpha )_0$- oscillasjonsfase; $(\alpha )_0$- innledende fase; $(\omega )_0$ - syklisk frekvens. I løpet av perioden endres fasen med $2\pi $.
Formens ligning:
ligning av harmoniske oscillasjoner i differensialform for en oscillerende krets som ikke vil inneholde aktiv motstand.
Enhver type periodiske oscillasjoner kan representeres nøyaktig som en sum av harmoniske svingninger, den såkalte harmoniske serien.
For oscillasjonsperioden til en krets som består av en spole og en kondensator, får vi Thomsons formel:
Hvis vi differensierer uttrykk (1) med hensyn til tid, kan vi få formelen for funksjonen $I(t)$:
Spenningen over kondensatoren kan finnes som:
Av formlene (5) og (6) følger det at strømstyrken er foran spenningen på kondensatoren med $\frac(\pi )(2).$
Harmoniske oscillasjoner kan representeres både i form av likninger, funksjoner og vektordiagrammer.
Ligning (1) representerer frie udempede oscillasjoner.
Dempet oscillasjonsligning
Endringen i ladning ($q$) på kondensatorplatene i kretsen, tatt i betraktning motstanden (fig. 2), vil bli beskrevet av en differensialligning av formen:
Figur 2.
Hvis motstanden som er en del av kretsen $R\
der $\omega =\sqrt(\frac(1)(LC)-\frac(R^2)(4L^2))$ er den sykliske oscillasjonsfrekvensen. $\beta =\frac(R)(2L)-$dempingskoeffisient. Amplituden til dempede oscillasjonene uttrykkes som:
Hvis ved $t=0$ ladningen på kondensatoren er lik $q=q_0$ og det ikke er noen strøm i kretsen, kan vi for $A_0$ skrive:
Svingningsfasen i det første øyeblikket ($(\alpha )_0$) er lik:
Når $R >2\sqrt(\frac(L)(C))$ endringen i ladningen ikke er en oscillasjon, kalles utladningen av kondensatoren aperiodisk.
Eksempel 1
Trening: Maksimal kostnadsverdi er $q_0=10\ C$. Det varierer harmonisk med en periode på $T= 5 s$. Bestem maksimal mulig strøm.
Løsning:
Som grunnlag for å løse problemet bruker vi:
For å finne strømstyrken må uttrykk (1.1) differensieres med hensyn til tid:
hvor maksimum (amplitudeverdi) av strømstyrken er uttrykket:
Fra betingelsene for problemet kjenner vi amplitudeverdien til ladningen ($q_0=10\ C$). Du bør finne den naturlige frekvensen til svingninger. La oss uttrykke det som:
\[(\omega )_0=\frac(2\pi )(T)\venstre(1.4\høyre).\]
I dette tilfellet vil den ønskede verdien bli funnet ved å bruke ligningene (1.3) og (1.2) som:
Siden alle mengder i problemforholdene er presentert i SI-systemet, vil vi utføre beregningene:
Svar:$I_0=12.56\ A.$
Eksempel 2
Trening: Hva er svingningsperioden i en krets som inneholder en induktor $L=1$H og en kondensator, hvis strømstyrken i kretsen endres i henhold til loven: $I\left(t\right)=-0.1sin20\ pi t\ \left(A \right)?$ Hva er kapasitansen til kondensatoren?
Løsning:
Fra ligningen for strømsvingninger, som er gitt under betingelsene for problemet:
vi ser at $(\omega )_0=20\pi $, derfor kan vi beregne oscillasjonsperioden ved å bruke formelen:
\ \
I henhold til Thomsons formel for en krets som inneholder en induktor og en kondensator, har vi:
La oss beregne kapasiteten:
Svar:$T=0.1$ c, $C=2.5\cdot (10)^(-4)F.$
Laster inn...
