Ligning av en rett linje ved hjelp av topunktsformel. Generell ligning av en linje

Denne artikkelen fortsetter emnet for ligningen til en linje på et plan: vi vil vurdere denne typen ligninger som den generelle ligningen til en linje. La oss definere teoremet og gi dets bevis; La oss finne ut hva en ufullstendig generell ligning av en linje er, og hvordan man gjør overganger fra en generell ligning til andre typer ligninger av en linje. Vi vil forsterke hele teorien med illustrasjoner og løsninger på praktiske problemer.

Yandex.RTB R-A-339285-1

La et rektangulært koordinatsystem O x y angis på planet.

Teorem 1

Enhver ligning av første grad, med formen A x + B y + C = 0, hvor A, B, C er noen reelle tall (A og B er ikke lik null samtidig), definerer en rett linje i et rektangulært koordinatsystem på et plan. På sin side bestemmes enhver rett linje i et rektangulært koordinatsystem på et plan av en ligning som har formen A x + B y + C = 0 for et visst sett med verdier A, B, C.

Bevis

Denne teoremet består av to punkter vi skal bevise hvert av dem.

1. La oss bevise at ligningen A x + B y + C = 0 definerer en rett linje på planet.

La det være et punkt M 0 (x 0 , y 0) hvis koordinater tilsvarer ligningen A x + B y + C = 0. Altså: A x 0 + B y 0 + C = 0. Trekk fra venstre og høyre side av ligningen A x + B y + C = 0 venstre og høyre side av ligningen A x 0 + B y 0 + C = 0, får vi en ny ligning som ser ut som A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Det tilsvarer A x + B y + C = 0.

Den resulterende ligningen A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 er en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for perpendikulariteten til vektorene n → = (A, B) og M 0 M → = (x - x 0, å - å 0). Dermed definerer settet med punkter M (x, y) en rett linje i et rektangulært koordinatsystem vinkelrett på retningen til vektoren n → = (A, B). Vi kan anta at dette ikke er tilfelle, men da ville ikke vektorene n → = (A, B) og M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) vært vinkelrett, og likheten A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 ville ikke være sant.

Følgelig definerer ligningen A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 en bestemt linje i et rektangulært koordinatsystem på planet, og derfor definerer den ekvivalente ligningen A x + B y + C = 0 samme linje. Slik beviste vi den første delen av teoremet.

1. La oss gi et bevis på at enhver rett linje i et rektangulært koordinatsystem på et plan kan spesifiseres med en ligning av første grad A x + B y + C = 0.

La oss definere en rett linje a i et rektangulært koordinatsystem på et plan; punktet M 0 (x 0 , y 0) som denne linjen går gjennom, samt normalvektoren til denne linjen n → = (A, B) .

La det også være et punkt M (x, y) - et flytende punkt på en linje. I dette tilfellet er vektorene n → = (A, B) og M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) vinkelrett på hverandre, og deres skalarprodukt er null:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

La oss omskrive ligningen A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, definere C: C = - A x 0 - B y 0 og som et endelig resultat får vi ligningen A x + B y + C = 0.

Så vi har bevist den andre delen av teoremet, og vi har bevist hele teoremet som en helhet.

Definisjon 1

En formlikning A x + B y + C = 0 - Dette generell ligning av en linje på et plan i et rektangulært koordinatsystemOksy.

Basert på det påviste teoremet kan vi konkludere med at en rett linje og dens generelle ligning definert på et plan i et fast rektangulært koordinatsystem er uløselig forbundet. Med andre ord tilsvarer den opprinnelige linjen dens generelle ligning; den generelle ligningen til en linje tilsvarer en gitt linje.

Av beviset for teoremet følger det også at koeffisientene A og B for variablene x og y er koordinatene til normalvektoren til linjen, som er gitt av den generelle ligningen til linjen A x + B y + C = 0.

La oss vurdere et spesifikt eksempel på en generell ligning av en rett linje.

La ligningen 2 x + 3 y - 2 = 0 gis, som tilsvarer en rett linje i et gitt rektangulært koordinatsystem. Normalvektoren til denne linjen er vektoren n → = (2, 3). La oss tegne den gitte rette linjen i tegningen.

Vi kan også slå fast følgende: den rette linjen som vi ser på tegningen er bestemt av den generelle ligningen 2 x + 3 y - 2 = 0, siden koordinatene til alle punktene på en gitt rett linje tilsvarer denne ligningen.

Vi kan få ligningen λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 ved å multiplisere begge sider av den generelle ligningen til linjen med et tall λ som ikke er lik null. Den resulterende ligningen er ekvivalent med den opprinnelige generelle ligningen, derfor vil den beskrive den samme rette linjen på planet.

Fullfør generell ligning av en linje– en slik generell ligning av den rette linjen A x + B y + C = 0, der tallene A, B, C er forskjellige fra null. Ellers er ligningen ufullstendig.

La oss analysere alle variasjoner av den ufullstendige generelle ligningen til en linje.

1. Når A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, har den generelle ligningen formen B y + C = 0. En slik ufullstendig generell ligning definerer i et rektangulært koordinatsystem O x y en rett linje som er parallell med O x-aksen, siden for enhver reell verdi av x vil variabelen y ta verdien - C B . Med andre ord, den generelle ligningen for linjen A x + B y + C = 0, når A = 0, B ≠ 0, spesifiserer lokuset til punktene (x, y), hvis koordinater er lik det samme tallet - C B .
2. Hvis A = 0, B ≠ 0, C = 0, har den generelle ligningen formen y = 0. Denne ufullstendige ligningen definerer x-aksen O x .
3. Når A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, får vi en ufullstendig generell ligning A x + C = 0, som definerer en rett linje parallelt med ordinaten.
4. La A ≠ 0, B = 0, C = 0, så vil den ufullstendige generelle ligningen ha formen x = 0, og dette er ligningen til koordinatlinjen O y.
5. Til slutt, for A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0, har den ufullstendige generelle ligningen formen A x + B y = 0. Og denne ligningen beskriver en rett linje som går gjennom origo. Faktisk tilsvarer tallparet (0, 0) likheten A x + B y = 0, siden A · 0 + B · 0 = 0.

La oss grafisk illustrere alle de ovennevnte typene av ufullstendig generell ligning av en rett linje.

Eksempel 1

Det er kjent at den gitte rette linjen er parallell med ordinataksen og går gjennom punktet 2 7, - 11. Det er nødvendig å skrive ned den generelle ligningen til den gitte linjen.

Løsning

En rett linje parallelt med ordinataksen er gitt ved en ligning på formen A x + C = 0, hvor A ≠ 0. Betingelsen spesifiserer også koordinatene til punktet som linjen går gjennom, og koordinatene til dette punktet oppfyller betingelsene for den ufullstendige generelle ligningen A x + C = 0, dvs. likheten er sann:

A 2 7 + C = 0

Fra den er det mulig å bestemme C hvis vi gir A en verdi som ikke er null, for eksempel A = 7. I dette tilfellet får vi: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Vi kjenner begge koeffisientene A og C, bytter dem inn i ligningen A x + C = 0 og får den nødvendige rettlinjeligningen: 7 x - 2 = 0

Svar: 7 x - 2 = 0

Eksempel 2

Tegningen viser en rett linje du trenger for å skrive ned ligningen.

Løsning

Den gitte tegningen lar oss enkelt ta de første dataene for å løse problemet. Vi ser på tegningen at den gitte rette linjen er parallell med O x-aksen og går gjennom punktet (0, 3).

Den rette linjen, som er parallell med abscissen, bestemmes av den ufullstendige generelle ligningen B y + C = 0. La oss finne verdiene til B og C. Koordinatene til punktet (0, 3), siden den gitte linjen går gjennom det, vil tilfredsstille ligningen til linjen B y + C = 0, da er likheten gyldig: B · 3 + C = 0. La oss sette B til en annen verdi enn null. La oss si B = 1, i så fall fra likheten B · 3 + C = 0 kan vi finne C: C = - 3. Ved å bruke de kjente verdiene til B og C får vi den nødvendige ligningen for den rette linjen: y - 3 = 0.

Svar: y - 3 = 0 .

Generell ligning av en linje som går gjennom et gitt punkt i et plan

La den gitte linjen passere gjennom punktet M 0 (x 0 , y 0), så tilsvarer dens koordinater den generelle ligningen til linjen, dvs. likheten er sann: A x 0 + B y 0 + C = 0. La oss trekke venstre og høyre side av denne ligningen fra venstre og høyre side av den generelle komplette ligningen til linjen. Vi får: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, denne ligningen er ekvivalent med den opprinnelige generelle, går gjennom punktet M 0 (x 0, y 0) og har en normal vektor n → = (A, B).

Resultatet vi oppnådde gjør det mulig å skrive ned den generelle ligningen til en linje med kjente koordinater til normalvektoren til linjen og koordinatene til et bestemt punkt på denne linjen.

Eksempel 3

Gitt et punkt M 0 (- 3, 4) som en linje går gjennom, og normalvektoren til denne linjen n → = (1, - 2). Det er nødvendig å skrive ned ligningen til den gitte linjen.

Løsning

De innledende betingelsene tillater oss å få de nødvendige dataene for å kompilere ligningen: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. Deretter:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Problemet kunne vært løst annerledes. Den generelle ligningen for en rett linje er A x + B y + C = 0. Den gitte normalvektoren lar oss oppnå verdiene til koeffisientene A og B, da:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

La oss nå finne verdien av C ved å bruke punktet M 0 (- 3, 4) spesifisert av tilstanden til problemet, som den rette linjen går gjennom. Koordinatene til dette punktet tilsvarer ligningen x - 2 · y + C = 0, dvs. - 3 - 2 4 + C = 0. Derfor C = 11. Den nødvendige rettlinjeligningen har formen: x - 2 · y + 11 = 0.

Svar: x - 2 y + 11 = 0 .

Eksempel 4

Gitt en linje 2 3 x - y - 1 2 = 0 og et punkt M 0 som ligger på denne linjen. Bare abscissen til dette punktet er kjent, og den er lik - 3. Det er nødvendig å bestemme ordinaten til et gitt punkt.

Løsning

La oss angi koordinatene til punktet M 0 som x 0 og y 0 . Kildedataene indikerer at x 0 = - 3. Siden punktet tilhører en gitt linje, tilsvarer dets koordinater den generelle ligningen til denne linjen. Da vil likheten være sann:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Definer y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Svar: - 5 2

Overgang fra den generelle ligningen til en linje til andre typer ligninger av en linje og omvendt

Som vi vet, er det flere typer ligninger for den samme rette linjen på et plan. Valget av ligningstype avhenger av forholdene til problemet; det er mulig å velge den som er mer praktisk for å løse det. Ferdigheten til å konvertere en ligning av en type til en ligning av en annen type er veldig nyttig her.

La oss først vurdere overgangen fra den generelle ligningen på formen A x + B y + C = 0 til den kanoniske ligningen x - x 1 a x = y - y 1 a y.

Hvis A ≠ 0, flytter vi begrepet B y til høyre side av den generelle ligningen. På venstre side tar vi A ut av parentes. Som et resultat får vi: A x + C A = - B y.

Denne likheten kan skrives som en proporsjon: x + C A - B = y A.

Hvis B ≠ 0, lar vi bare begrepet A x stå på venstre side av den generelle ligningen, overføre de andre til høyre side, vi får: A x = - B y - C. Vi tar – B ut av parentes, så: A x = - B y + C B .

La oss omskrive likheten i form av en proporsjon: x - B = y + C B A.

Selvfølgelig er det ikke nødvendig å huske de resulterende formlene. Det er nok å kjenne algoritmen til handlinger når man går fra en generell ligning til en kanonisk.

Eksempel 5

Den generelle ligningen for linjen 3 y - 4 = 0 er gitt. Det er nødvendig å transformere det til en kanonisk ligning.

Løsning

La oss skrive den opprinnelige ligningen som 3 y - 4 = 0. Deretter fortsetter vi i henhold til algoritmen: begrepet 0 x forblir på venstre side; og på høyre side legger vi - 3 ut av parentes; vi får: 0 x = - 3 y - 4 3 .

La oss skrive den resulterende likheten som en proporsjon: x - 3 = y - 4 3 0 . Dermed har vi fått en likning av kanonisk form.

Svar: x - 3 = y - 4 3 0.

For å transformere den generelle likningen til en linje til parametriske, gjøres først en overgang til den kanoniske formen, og deretter en overgang fra den kanoniske likningen til en linje til parametriske likninger.

Eksempel 6

Den rette linjen er gitt av ligningen 2 x - 5 y - 1 = 0. Skriv ned de parametriske ligningene for denne linjen.

Løsning

La oss gjøre overgangen fra den generelle ligningen til den kanoniske:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Nå tar vi begge sider av den resulterende kanoniske ligningen lik λ, så:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Svar:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Den generelle ligningen kan konverteres til en ligning av en rett linje med helning y = k · x + b, men bare når B ≠ 0. For overgangen lar vi begrepet B y stå på venstre side, resten overføres til høyre. Vi får: B y = - A x - C . La oss dele begge sider av den resulterende likheten med B, forskjellig fra null: y = - A B x - C B.

Eksempel 7

Linjens generelle ligning er gitt: 2 x + 7 y = 0. Du må konvertere den ligningen til en helningsligning.

Løsning

La oss utføre de nødvendige handlingene i henhold til algoritmen:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Svar: y = - 2 7 x .

Fra den generelle ligningen til en linje er det nok å bare få en ligning i segmenter av formen x a + y b = 1. For å gjøre en slik overgang flytter vi tallet C til høyre side av likheten, deler begge sider av den resulterende likheten med – C og overfører til slutt koeffisientene for variablene x og y til nevnerne:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Eksempel 8

Det er nødvendig å transformere den generelle ligningen til linjen x - 7 y + 1 2 = 0 til ligningen til linjen i segmenter.

Løsning

La oss flytte 1 2 til høyre side: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

La oss dele begge sider av likheten med -1/2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Svar: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Generelt er den omvendte overgangen også enkel: fra andre typer ligninger til den generelle.

Ligningen til en linje i segmenter og en ligning med en vinkelkoeffisient kan enkelt konverteres til en generell ved ganske enkelt å samle alle leddene på venstre side av likheten:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Den kanoniske ligningen konverteres til en generell i henhold til følgende skjema:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

For å gå fra parametriske, flytt først til den kanoniske, og deretter til den generelle:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Eksempel 9

De parametriske ligningene til linjen x = - 1 + 2 · λ y = 4 er gitt. Det er nødvendig å skrive ned den generelle ligningen til denne linjen.

Løsning

La oss gjøre overgangen fra parametriske ligninger til kanoniske:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

La oss gå fra det kanoniske til det generelle:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Svar: y - 4 = 0

Eksempel 10

Ligningen for en rett linje i segmentene x 3 + y 1 2 = 1 er gitt. Det er nødvendig å gå over til den generelle formen for ligningen.

Løsning:

Vi skriver ganske enkelt om ligningen i den nødvendige formen:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Svar: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Tegne en generell ligning for en linje

Vi sa ovenfor at den generelle ligningen kan skrives med kjente koordinater til normalvektoren og koordinatene til punktet som linjen går gjennom. En slik rett linje er definert av ligningen A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0. Der analyserte vi også det tilsvarende eksempelet.

La oss nå se på mer komplekse eksempler, der vi først må bestemme koordinatene til normalvektoren.

Eksempel 11

Gitt en linje parallell med linjen 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Punktet M 0 (4, 1) som den gitte linjen går gjennom er også kjent. Det er nødvendig å skrive ned ligningen til den gitte linjen.

Løsning

Startbetingelsene forteller oss at linjene er parallelle, så, som normalvektoren til linjen, hvis ligning må skrives, tar vi retningsvektoren til linjen n → = (2, - 3): 2 x - 3 år + 3 3 = 0. Nå vet vi alle nødvendige data for å lage den generelle ligningen for linjen:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Svar: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Eksempel 12

Den gitte linjen går gjennom origo vinkelrett på linjen x - 2 3 = y + 4 5. Det er nødvendig å lage en generell ligning for en gitt linje.

Løsning

Normalvektoren til en gitt linje vil være retningsvektoren til linjen x - 2 3 = y + 4 5.

Deretter n → = (3, 5) . Den rette linjen går gjennom origo, dvs. gjennom punkt O (0, 0). La oss lage en generell ligning for en gitt rett linje:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Svar: 3 x + 5 y = 0 .

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Ligning av en rett linje på et plan.
Retningsvektoren er rett. Normal vektor

En rett linje på et plan er en av de enkleste geometriske figurene, kjent for deg fra barneskolen, og i dag vil vi lære å håndtere det ved hjelp av metodene for analytisk geometri. For å mestre materialet må du kunne bygge en rett linje; vite hvilken ligning som definerer en rett linje, spesielt en rett linje som går gjennom opprinnelsen til koordinater og rette linjer parallelt med koordinataksene. Denne informasjonen finner du i manualen Grafer og egenskaper til elementære funksjoner, Jeg opprettet den for Mathan, men delen om den lineære funksjonen viste seg å være veldig vellykket og detaljert. Derfor, kjære tekanner, varm opp der først. I tillegg må du ha grunnleggende kunnskap om vektorer, ellers vil forståelsen av materialet være ufullstendig.

I denne leksjonen skal vi se på måter du kan lage en likning av en rett linje på et plan. Jeg anbefaler å ikke forsømme praktiske eksempler (selv om det virker veldig enkelt), siden jeg vil gi dem elementære og viktige fakta, tekniske teknikker som vil være nødvendige i fremtiden, inkludert i andre deler av høyere matematikk.

• Hvordan skrive en likning av en rett linje med en vinkelkoeffisient?
• Hvordan ?
• Hvordan finne en retningsvektor ved å bruke den generelle ligningen for en rett linje?
• Hvordan skrive en likning av en rett linje gitt et punkt og en normalvektor?

og vi begynner:

Ligning av en rett linje med helning

Den velkjente "skole"-formen av en rettlinjeligning kalles ligning av en rett linje med helning. For eksempel, hvis en rett linje er gitt av ligningen, er stigningstallet: . La oss vurdere den geometriske betydningen av denne koeffisienten og hvordan verdien påvirker plasseringen av linjen:

I et geometrikurs er det bevist at helningen til den rette linjen er lik tangens av vinkelen mellom positiv akseretningog denne linjen: , og vinkelen "skruer ut" mot klokken.

For ikke å rote tegningen, tegnet jeg vinkler kun for to rette linjer. La oss vurdere den "røde" linjen og dens skråning. I henhold til ovenstående: (“alfa”-vinkelen er indikert med en grønn bue). For den «blå» rette linjen med vinkelkoeffisienten er likheten sann («beta»-vinkelen er indikert med en brun bue). Og hvis tangenten til vinkelen er kjent, er den om nødvendig lett å finne og selve hjørnet ved å bruke den inverse funksjonen - arctangens. Som de sier, en trigonometrisk tabell eller en mikrokalkulator i hendene. Dermed, vinkelkoeffisienten karakteriserer graden av helning av den rette linjen til abscisseaksen.

Følgende tilfeller er mulige:

1) Hvis helningen er negativ: så går linjen, grovt sett, fra topp til bunn. Eksempler er de "blå" og "bringebær" rette linjene på tegningen.

2) Hvis helningen er positiv: så går linjen fra bunn til topp. Eksempler - "svarte" og "røde" rette linjer i tegningen.

3) Hvis helningen er null: , så tar ligningen formen , og den tilsvarende rette linjen er parallell med aksen. Et eksempel er den "gule" rette linjen.

4) For en familie av linjer parallelle med en akse (det er ikke noe eksempel på tegningen, bortsett fra selve aksen), vinkelkoeffisienten eksisterer ikke (tangens på 90 grader er ikke definert).

Jo større helningskoeffisienten er i absolutt verdi, desto brattere går grafen med rett linje..

Tenk for eksempel på to rette linjer. Her har derfor den rette linjen en brattere helning. La meg minne deg på at modulen lar deg ignorere skiltet, vi er kun interessert i absolutte verdier vinkelkoeffisienter.

På sin side er en rett linje brattere enn rette linjer .

Omvendt: jo mindre helningskoeffisienten er i absolutt verdi, jo flatere er den rette linjen.

For rette linjer ulikheten er sann, dermed er den rette linjen flatere. Barnas sklie, for ikke å gi deg selv blåmerker og støt.

Hvorfor er dette nødvendig?

Forleng plagene. Kjennskap til faktaene ovenfor lar deg umiddelbart se feilene dine, spesielt feil når du konstruerer grafer - hvis tegningen viser seg å være "åpenbart noe galt." Det er tilrådelig at du med en gang det var tydelig at for eksempel den rette linjen er veldig bratt og går fra bunn til topp, og den rette linjen er veldig flat, presset tett inntil aksen og går fra topp til bunn.

I geometriske problemer vises ofte flere rette linjer, så det er praktisk å utpeke dem på en eller annen måte.

Betegnelser: rette linjer er angitt med små latinske bokstaver: . Et populært alternativ er å utpeke dem ved å bruke samme bokstav med naturlige abonnementer. For eksempel kan de fem linjene vi nettopp har sett på, betegnes med .

Siden enhver rett linje er unikt bestemt av to punkter, kan den betegnes med disse punktene: etc. Betegnelsen innebærer klart at punktene tilhører linjen.

Det er på tide å varme opp litt:

Hvordan skrive en likning av en rett linje med en vinkelkoeffisient?

Hvis et punkt som tilhører en viss linje og vinkelkoeffisienten til denne linjen er kjent, uttrykkes ligningen til denne linjen med formelen:

Eksempel 1

Skriv en likning av en rett linje med en vinkelkoeffisient hvis det er kjent at punktet tilhører denne rette linjen.

Løsning: La oss komponere ligningen for den rette linjen ved hjelp av formelen . I dette tilfellet:

Svar:

Undersøkelse gjøres enkelt. Først ser vi på den resulterende ligningen og sørger for at helningen vår er på plass. For det andre må koordinatene til punktet tilfredsstille denne ligningen. La oss koble dem inn i ligningen:

Den korrekte likheten oppnås, som betyr at punktet tilfredsstiller den resulterende ligningen.

Konklusjon: Ligningen ble funnet riktig.

Et mer vanskelig eksempel å løse på egen hånd:

Eksempel 2

Skriv en ligning for en rett linje hvis det er kjent at dens helningsvinkel til den positive retningen av aksen er , og punktet tilhører denne rette linjen.

Hvis du har problemer, les det teoretiske materialet på nytt. Mer presist, mer praktisk, jeg hopper over mange bevis.

Den siste klokken har ringt, konfirmasjonsseremonien er avsluttet, og utenfor portene til vår hjemlige skole venter selve analytisk geometri på oss. Vitsene er over... Eller kanskje de bare har begynt =)

Vi vinker nostalgisk med pennen til det kjente og blir kjent med den generelle ligningen for en rett linje. For i analytisk geometri er dette akkurat det som brukes:

Den generelle ligningen for en rett linje har formen: , hvor er noen tall. Samtidig er koeffisientene samtidig er ikke lik null, siden ligningen mister sin betydning.

La oss kle oss i en dress og binde ligningen med helningskoeffisienten. Først, la oss flytte alle begrepene til venstre side:

Begrepet med "X" må settes på første plass:

I prinsippet har ligningen allerede formen , men i henhold til reglene for matematisk etikette må koeffisienten til første ledd (i dette tilfellet) være positiv. Skiftende tegn:

Husk denne tekniske funksjonen! Vi gjør den første koeffisienten (oftest) positiv!

I analytisk geometri vil ligningen til en rett linje nesten alltid være gitt i generell form. Vel, om nødvendig kan det enkelt reduseres til "skole" -formen med en vinkelkoeffisient (med unntak av rette linjer parallelt med ordinataksen).

La oss spørre oss selv hva nok vet å konstruere en rett linje? To poeng. Men mer om denne barndomshendelsen, holder nå regelen med piler. Hver rett linje har en veldig spesifikk helning, som er lett å "tilpasse seg" til. vektor.

En vektor som er parallell med en linje kalles retningsvektoren til den linjen. Det er åpenbart at enhver rett linje har et uendelig antall retningsvektorer, og alle vil være kollineære (samdireksjonelle eller ikke - det spiller ingen rolle).

Jeg vil betegne retningsvektoren som følger: .

Men én vektor er ikke nok til å konstruere en rett linje, vektoren er fri og ikke bundet til noe punkt på planet. Derfor er det i tillegg nødvendig å kjenne til et punkt som hører til linjen.

Hvordan skrive en likning av en rett linje ved hjelp av et punkt og en retningsvektor?

Hvis et bestemt punkt som tilhører en linje og retningsvektoren til denne linjen er kjent, kan ligningen til denne linjen kompileres ved å bruke formelen:

Noen ganger kalles det kanonisk ligning av linjen .

Hva du skal gjøre når en av koordinatene er lik null, vil vi forstå i praktiske eksempler nedenfor. Vær forresten oppmerksom på - begge på en gang koordinater kan ikke være lik null, siden nullvektoren ikke spesifiserer en bestemt retning.

Eksempel 3

Skriv en likning for en rett linje ved hjelp av et punkt og en retningsvektor

Løsning: La oss komponere ligningen av en rett linje ved hjelp av formelen. I dette tilfellet:

Ved å bruke proporsjonsegenskapene blir vi kvitt brøker:

Og vi bringer ligningen til sin generelle form:

Svar:

Som regel er det ikke nødvendig å lage en tegning i slike eksempler, men for forståelsens skyld:

På tegningen ser vi utgangspunktet, den opprinnelige retningsvektoren (den kan plottes fra et hvilket som helst punkt på planet) og den konstruerte rette linjen. Forresten, i mange tilfeller er det mest praktisk å konstruere en rett linje ved å bruke en ligning med en vinkelkoeffisient. Det er lett å transformere ligningen vår til form og enkelt velge et annet punkt for å konstruere en rett linje.

Som nevnt i begynnelsen av avsnittet har en rett linje uendelig mange retningsvektorer, og alle er kollineære. For eksempel tegnet jeg tre slike vektorer: . Uansett hvilken retningsvektor vi velger, vil resultatet alltid være den samme rette linjeligningen.

La oss lage en likning av en rett linje ved hjelp av et punkt og en retningsvektor:

Å løse andelen:

Del begge sider med –2 og få den kjente ligningen:

Interesserte kan teste vektorer på samme måte eller en hvilken som helst annen kolineær vektor.

La oss nå løse det omvendte problemet:

Hvordan finne en retningsvektor ved å bruke den generelle ligningen for en rett linje?

Veldig enkelt:

Hvis en linje er gitt av en generell ligning i et rektangulært koordinatsystem, så er vektoren retningsvektoren til denne linjen.

Eksempler på å finne retningsvektorer for rette linjer:

Utsagnet lar oss finne bare én retningsvektor av et uendelig antall, men vi trenger ikke mer. Selv om det i noen tilfeller er tilrådelig å redusere koordinatene til retningsvektorene:

Således spesifiserer ligningen en rett linje som er parallell med aksen, og koordinatene til den resulterende retningsvektoren er praktisk delt med –2, og oppnår nøyaktig basisvektoren som retningsvektoren. Logisk.

Tilsvarende spesifiserer ligningen en rett linje parallelt med aksen, og ved å dele koordinatene til vektoren med 5 får vi enhetsvektoren som retningsvektoren.

La oss nå gjøre det sjekke eksempel 3. Eksemplet gikk opp, så jeg minner deg om at vi i det kompilerte ligningen for en rett linje ved å bruke et punkt og en retningsvektor

for det første, ved å bruke ligningen til den rette linjen rekonstruerer vi retningsvektoren: – alt er bra, vi har mottatt den opprinnelige vektoren (i noen tilfeller kan resultatet være en kollineær vektor til den opprinnelige, og dette er vanligvis lett å legge merke til ved proporsjonaliteten til de tilsvarende koordinatene).

for det andre, må koordinatene til punktet tilfredsstille ligningen. Vi setter dem inn i ligningen:

Det ble oppnådd riktig likestilling, noe vi er veldig glade for.

Konklusjon: Oppgaven ble utført på riktig måte.

Eksempel 4

Skriv en likning for en rett linje ved hjelp av et punkt og en retningsvektor

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Løsningen og svaret er på slutten av leksjonen. Det er sterkt tilrådelig å sjekke ved å bruke algoritmen som nettopp ble diskutert. Prøv å alltid (hvis mulig) sjekke et utkast. Det er dumt å gjøre feil der de kan unngås 100 %.

I tilfelle at en av koordinatene til retningsvektoren er null, fortsett veldig enkelt:

Eksempel 5

Løsning: Formelen er ikke egnet siden nevneren på høyre side er null. Det er en utgang! Ved å bruke proporsjonsegenskapene omskriver vi formelen i skjemaet, og resten rullet langs et dypt spor:

Svar:

Undersøkelse:

1) Gjenopprett retningsvektoren til linjen:
– den resulterende vektoren er kollineær med den opprinnelige retningsvektoren.

2) Sett inn koordinatene til punktet i ligningen:

Riktig likestilling oppnås

Konklusjon: oppgave fullført riktig

Spørsmålet oppstår, hvorfor bry seg med formelen hvis det er en universell versjon som vil fungere i alle fall? Det er to grunner. For det første er formelen i form av en brøk mye bedre husket. Og for det andre er ulempen med den universelle formelen at risikoen for å bli forvirret øker betydelig når du erstatter koordinater.

Eksempel 6

Skriv en likning for en rett linje ved hjelp av et punkt og en retningsvektor.

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd.

La oss gå tilbake til de to allestedsnærværende punktene:

Hvordan skrive en likning av en rett linje med to punkter?

Hvis to punkter er kjent, kan ligningen til en rett linje som går gjennom disse punktene kompileres ved hjelp av formelen:

Faktisk er dette en type formel, og her er grunnen: hvis to punkter er kjent, vil vektoren være retningsvektoren til den gitte linjen. På timen Vektorer for dummies vi vurderte det enkleste problemet - hvordan finne koordinatene til en vektor fra to punkter. I følge dette problemet er koordinatene til retningsvektoren:

Merk : poengene kan "byttes" og formelen kan brukes . En slik løsning vil være likeverdig.

Eksempel 7

Skriv en likning av en rett linje med to punkter .

Løsning: Vi bruker formelen:

Kombiner nevnerne:

Og stokk dekk:

Nå er tiden inne for å bli kvitt brøktall. I dette tilfellet må du multiplisere begge sider med 6:

Åpne parentesene og kom i tankene om ligningen:

Svar:

Undersøkelse er åpenbart - koordinatene til de første punktene må tilfredsstille den resulterende ligningen:

1) Bytt ut koordinatene til punktet:

Ekte likestilling.

2) Bytt ut koordinatene til punktet:

Ekte likestilling.

Konklusjon: Linjens ligning er skrevet riktig.

Hvis minst en av punktene ikke tilfredsstiller ligningen, se etter en feil.

Det er verdt å merke seg at grafisk verifisering i dette tilfellet er vanskelig, siden konstruer en rett linje og se om punktene tilhører den , ikke så enkelt.

Jeg vil legge merke til et par flere tekniske aspekter ved løsningen. Kanskje i dette problemet er det mer lønnsomt å bruke speilformelen og på de samme punktene lag en ligning:

Færre brøker. Hvis du vil, kan du utføre løsningen til slutten, resultatet skal være den samme ligningen.

Det andre punktet er å se på det endelige svaret og finne ut om det kan forenkles ytterligere? For eksempel, hvis du får ligningen , så er det tilrådelig å redusere den med to: – ligningen vil definere den samme rette linjen. Dette er imidlertid allerede et samtaleemne om relative plasseringen av linjer.

Etter å ha fått svaret i eksempel 7, for sikkerhets skyld, sjekket jeg om ALLE koeffisientene til ligningen er delbare med 2, 3 eller 7. Selv om det oftest gjøres slike reduksjoner under løsningen.

Eksempel 8

Skriv en ligning for en linje som går gjennom punktene .

Dette er et eksempel på en uavhengig løsning, som lar deg bedre forstå og øve på beregningsteknikker.

I likhet med forrige avsnitt: hvis i formelen en av nevnerne (koordinaten til retningsvektoren) blir null, så skriver vi den om i formen . Igjen, legg merke til hvor vanskelig og forvirret hun ser ut. Jeg ser ikke så mye poeng i å gi praktiske eksempler, siden vi faktisk allerede har løst dette problemet (se nr. 5, 6).

Direkte normalvektor (normalvektor)

Hva er normalt? Med enkle ord er en normal en perpendikulær. Det vil si at normalvektoren til en linje er vinkelrett på en gitt linje. Det er klart at enhver rett linje har et uendelig antall av dem (så vel som retningsvektorer), og alle de normale vektorene til den rette linjen vil være kollineære (samdireksjonelle eller ikke, det spiller ingen rolle).

Å håndtere dem vil være enda enklere enn med guidevektorer:

Hvis en linje er gitt av en generell ligning i et rektangulært koordinatsystem, så er vektoren normalvektoren til denne linjen.

Hvis koordinatene til retningsvektoren må "trekkes ut" forsiktig fra ligningen, kan koordinatene til normalvektoren ganske enkelt "fjernes".

Normalvektoren er alltid ortogonal på retningsvektoren til linjen. La oss verifisere ortogonaliteten til disse vektorene ved å bruke prikkprodukt:

Jeg vil gi eksempler med de samme ligningene som for retningsvektoren:

Er det mulig å konstruere en likning av en rett linje gitt ett punkt og en normalvektor? Jeg kjenner det i magen, det er mulig. Hvis normalvektoren er kjent, er retningen til selve den rette linjen klart definert - dette er en "stiv struktur" med en vinkel på 90 grader.

Hvordan skrive en likning av en rett linje gitt et punkt og en normalvektor?

Hvis et bestemt punkt som tilhører en linje og normalvektoren til denne linjen er kjent, uttrykkes ligningen til denne linjen med formelen:

Her løste alt seg uten brøker og andre overraskelser. Dette er vår normale vektor. Elsker han. Og respekt =)

Eksempel 9

Skriv en likning av en rett linje gitt et punkt og en normalvektor. Finn retningsvektoren til linjen.

Løsning: Vi bruker formelen:

Den generelle ligningen for den rette linjen er oppnådd, la oss sjekke:

1) "Fjern" koordinatene til normalvektoren fra ligningen: – ja, faktisk, den opprinnelige vektoren ble hentet fra tilstanden (eller en kollineær vektor bør oppnås).

2) La oss sjekke om punktet tilfredsstiller ligningen:

Ekte likestilling.

Etter at vi er overbevist om at ligningen er riktig komponert, vil vi fullføre den andre, lettere delen av oppgaven. Vi tar ut retningsvektoren til den rette linjen:

Svar:

På tegningen ser situasjonen slik ut:

For opplæringsformål, en lignende oppgave for å løse selvstendig:

Eksempel 10

Skriv en likning av en rett linje gitt et punkt og en normalvektor. Finn retningsvektoren til linjen.

Den siste delen av leksjonen vil bli viet til mindre vanlige, men også viktige typer ligninger av en linje på et plan

Ligning av en rett linje i segmenter.
Ligning av en linje i parametrisk form

Ligningen av en rett linje i segmenter har formen , hvor er konstanter som ikke er null. Noen typer ligninger kan ikke representeres i denne formen, for eksempel direkte proporsjonalitet (siden frileddet er lik null og det er ingen måte å få en på høyre side).

Dette er, billedlig talt, en "teknisk" type ligning. En vanlig oppgave er å representere den generelle ligningen til en linje som en ligning av en linje i segmenter. Hvordan er det praktisk? Ligningen av en linje i segmenter lar deg raskt finne skjæringspunktene til en linje med koordinatakser, noe som kan være svært viktig i noen problemer med høyere matematikk.

La oss finne skjæringspunktet mellom linjen og aksen. Vi tilbakestiller "y" til null, og ligningen har formen . Det ønskede punktet oppnås automatisk: .

Samme med aksen – punktet der den rette linjen skjærer ordinataksen.

Kanoniske ligninger av en linje i rommet er ligninger som definerer en linje som går gjennom et gitt punkt i linje med retningsvektoren.

La et punkt og en retningsvektor gis. Et vilkårlig punkt ligger på en linje l bare hvis vektorene og er kollineære, dvs. betingelsen er oppfylt for dem:

.

Ovennevnte ligninger er de kanoniske ligningene til den rette linjen.

Tall m , n Og s er projeksjoner av retningsvektoren på koordinataksene. Siden vektoren ikke er null, så er alle tall m , n Og s kan ikke samtidig være lik null. Men en eller to av dem kan vise seg å være null. I analytisk geometri, for eksempel, er følgende oppføring tillatt:

,

som betyr at projeksjonene til vektoren på aksen Oy Og Oz er lik null. Derfor er både vektoren og den rette linjen definert av de kanoniske ligningene vinkelrett på aksene Oy Og Oz, dvs. fly yOz .

Eksempel 1. Skriv ligninger for en linje i rommet vinkelrett på et plan og passerer gjennom skjæringspunktet for dette planet med aksen Oz .

Løsning. La oss finne skjæringspunktet mellom dette planet og aksen Oz. Siden ethvert punkt ligger på aksen Oz, har koordinater , da, forutsatt i den gitte ligningen av planet x = y = 0, vi får 4 z- 8 = 0 eller z= 2. Derfor skjæringspunktet for dette planet med aksen Oz har koordinater (0; 0; 2) . Siden den ønskede linjen er vinkelrett på planet, er den parallell med normalvektoren. Derfor kan retningsvektoren til den rette linjen være normalvektoren gitt fly.

La oss nå skrive ned de nødvendige ligningene for en rett linje som går gjennom et punkt EN= (0; 0; 2) i retning av vektoren:

Ligninger av en linje som går gjennom to gitte punkter

En rett linje kan defineres av to punkter som ligger på den Og I dette tilfellet kan retningsvektoren til den rette linjen være vektoren. Deretter tar de kanoniske ligningene til linjen formen

.

Ligningene ovenfor bestemmer en linje som går gjennom to gitte punkter.

Eksempel 2. Skriv en ligning for en linje i rommet som går gjennom punktene og .

Løsning. La oss skrive ned de nødvendige ligningene til den rette linjen i formen gitt ovenfor i den teoretiske referansen:

.

Siden er den ønskede rette linjen vinkelrett på aksen Oy .

Rett som skjæringslinjen mellom fly

En rett linje i rommet kan defineres som skjæringslinjen mellom to ikke-parallelle plan, dvs. som et sett med punkter som tilfredsstiller et system med to lineære ligninger

Likningene til systemet kalles også de generelle ligningene til en rett linje i rommet.

Eksempel 3. Komponer kanoniske ligninger av en linje i rommet gitt av generelle ligninger

Løsning. For å skrive de kanoniske likningene til en linje eller, hva som er det samme, likningene til en linje som går gjennom to gitte punkter, må du finne koordinatene til to punkter på linjen. De kan for eksempel være skjæringspunktene for en rett linje med to koordinatplan yOz Og xOz .

Skjæringspunktet mellom en linje og et plan yOz har abscisse x= 0 . Derfor, forutsatt i dette likningssystemet x= 0, får vi et system med to variabler:

Hennes avgjørelse y = 2 , z= 6 sammen med x= 0 definerer et punkt EN(0; 2; 6) ønsket linje. Deretter antar i det gitte likningssystemet y= 0, får vi systemet

Hennes avgjørelse x = -2 , z= 0 sammen med y= 0 definerer et punkt B(-2; 0; 0) skjæring av en linje med et plan xOz .

La oss nå skrive ned ligningene til linjen som går gjennom punktene EN(0; 2; 6) og B (-2; 0; 0) :

,

eller etter å ha dividert nevnerne med -2:

,

Linjen som går gjennom punktet K(x 0 ; y 0) og parallelt med linjen y = kx + a er funnet ved formelen:

y - y 0 = k(x - x 0) (1)

Hvor k er helningen til linjen.

Alternativ formel:
En linje som går gjennom punktet M 1 (x 1 ; y 1) og parallelt med linjen Ax+By+C=0 er representert ved ligningen

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0. (2)

Eksempel nr. 2. Skriv likningen til en linje parallelt med linjen 2x + 5y = 0 og lag sammen med koordinataksene en trekant med arealet 5.
Løsning . Siden linjene er parallelle, er ligningen til den ønskede linjen 2x + 5y + C = 0. Arealet av en rettvinklet trekant, der a og b er dens ben. La oss finne skjæringspunktene til den ønskede linjen med koordinataksene:
;
.
Altså A(-C/2,0), B(0,-C/5). La oss erstatte det med formelen for areal: . Vi får to løsninger: 2x + 5y + 10 = 0 og 2x + 5y – 10 = 0.

Eksempel nr. 3. Skriv en ligning for en linje som går gjennom punktet (-2; 5) og parallelt med linjen 5x-7y-4=0.
Løsning. Denne rette linjen kan representeres av ligningen y = 5 / 7 x – 4 / 7 (her a = 5 / 7). Ligningen til ønsket linje er y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)), dvs. 7(y-5)=5(x+2) eller 5x-7y+45=0 .

Eksempel nr. 4. Etter å ha løst eksempel 3 (A=5, B=-7) ved hjelp av formel (2), finner vi 5(x+2)-7(y-5)=0.

Eksempel nr. 5. Skriv en ligning for en linje som går gjennom punktet (-2;5) og parallelt med linjen 7x+10=0.
Løsning. Her er A=7, B=0. Formel (2) gir 7(x+2)=0, dvs. x+2=0. Formel (1) er ikke aktuelt, siden denne ligningen ikke kan løses med hensyn til y (denne rette linjen er parallell med ordinataksen).

Egenskaper til en rett linje i euklidisk geometri.

Et uendelig antall rette linjer kan trekkes gjennom et hvilket som helst punkt.

Gjennom to ikke-sammenfallende punkter kan en enkelt rett linje trekkes.

To divergerende linjer i et plan enten krysser hverandre i et enkelt punkt eller er

parallell (følger av den forrige).

I tredimensjonalt rom er det tre alternativer for den relative plasseringen av to linjer:

• linjer krysser hverandre;

• linjene er parallelle;

• rette linjer krysser hverandre.

Rett linje— algebraisk kurve av første orden: en rett linje i det kartesiske koordinatsystemet

er gitt på planet ved en ligning av første grad (lineær ligning).

Generell ligning for en rett linje.

Definisjon. Enhver rett linje på planet kan spesifiseres med en førsteordens ligning

Axe + Wu + C = 0,

og konstant A, B er ikke lik null på samme tid. Denne førsteordensligningen kalles generell

ligning av en rett linje. Avhengig av verdiene til konstantene A, B Og MED Følgende spesielle tilfeller er mulige:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- en rett linje går gjennom origo

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- rett linje parallelt med aksen Åh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- rett linje parallelt med aksen OU

. B = C = 0, A ≠ 0- den rette linjen faller sammen med aksen OU

. A = C = 0, B ≠ 0- den rette linjen faller sammen med aksen Åh

Ligningen til en rett linje kan presenteres i forskjellige former avhengig av hvilken som helst gitt

Innledende forhold.

Ligning av en rett linje fra et punkt og en normalvektor.

Definisjon. I et kartesisk rektangulært koordinatsystem, en vektor med komponenter (A, B)

vinkelrett på linjen gitt av ligningen

Axe + Wu + C = 0.

Eksempel. Finn ligningen til en linje som går gjennom et punkt A(1, 2) vinkelrett på vektoren (3, -1).

Løsning. Med A = 3 og B = -1, la oss komponere ligningen for den rette linjen: 3x - y + C = 0. For å finne koeffisienten C

La oss erstatte koordinatene til det gitte punktet A i det resulterende uttrykket. Vi får derfor: 3 - 2 + C = 0

C = -1. Totalt: den nødvendige ligningen: 3x - y - 1 = 0.

Ligning av en linje som går gjennom to punkter.

La to poeng gis i rom M 1 (x 1, y 1, z 1) Og M2 (x 2, y 2, z 2), Deretter ligning av en linje,

passerer gjennom disse punktene:

Hvis noen av nevnerne er null, skal den tilsvarende telleren settes lik null. På

planet, er ligningen til den rette linjen skrevet ovenfor forenklet:

Hvis x 1 ≠ x 2 Og x = x 1, Hvis x 1 = x 2 .

Brøkdel = k kalt skråningen rett.

Eksempel. Finn ligningen til linjen som går gjennom punktene A(1, 2) og B(3, 4).

Løsning. Ved å bruke formelen skrevet ovenfor får vi:

Ligning av en rett linje ved hjelp av et punkt og en helning.

Hvis den generelle ligningen av linjen Axe + Wu + C = 0 føre til:

og utpeke , så kalles den resulterende ligningen

ligning av en rett linje med helning k.

Ligning av en rett linje fra et punkt og en retningsvektor.

I analogi med punktet som vurderer ligningen til en rett linje gjennom normalvektoren, kan du gå inn i oppgaven

en rett linje gjennom et punkt og en retningsvektor til en rett linje.

Definisjon. Hver vektor som ikke er null (α 1 , α 2), hvis komponenter tilfredsstiller betingelsen

Aα 1 + Bα 2 = 0 kalt retningsvektor for en rett linje.

Axe + Wu + C = 0.

Eksempel. Finn ligningen til en rett linje med en retningsvektor (1, -1) og passerer gjennom punktet A(1, 2).

Løsning. Vi vil se etter ligningen til ønsket linje i skjemaet: Axe + By + C = 0. I henhold til definisjonen,

koeffisienter må tilfredsstille følgende betingelser:

1 * A + (-1) * B = 0, dvs. A = B.

Da har ligningen for den rette linjen formen: Ax + Ay + C = 0, eller x + y + C / A = 0.

på x = 1, y = 2 vi får C/A = -3, dvs. nødvendig ligning:

x + y - 3 = 0

Ligning av en rett linje i segmenter.

Hvis i den generelle ligningen til den rette linjen Ах + Ву + С = 0 С≠0, så får vi, ved å dele med -С:

eller hvor

Den geometriske betydningen av koeffisientene er at koeffisienten a er koordinaten til skjæringspunktet

rett med akse Åh, EN b- koordinat for skjæringspunktet mellom linjen og aksen OU.

Eksempel. Den generelle ligningen for en rett linje er gitt x - y + 1 = 0. Finn ligningen til denne linjen i segmenter.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Normal ligning av en linje.

Hvis begge sider av ligningen Axe + Wu + C = 0 dividere med tall som kalles

normaliserende faktor, så får vi

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normal ligning av en linje.

Tegnet ± for normaliseringsfaktoren må velges slik at μ*C< 0.

R- lengden på perpendikulæren falt fra origo til den rette linjen,

EN φ - vinkelen som dannes av denne perpendikulæren med den positive retningen til aksen Åh.

Eksempel. Den generelle ligningen for linjen er gitt 12x - 5y - 65 = 0. Nødvendig for å skrive forskjellige typer ligninger

denne rette linjen.

Ligningen til denne linjen i segmenter:

Ligningen av denne linjen med helningen: (del med 5)

Ligning av en linje:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Det skal bemerkes at ikke hver rett linje kan representeres av en ligning i segmenter, for eksempel rette linjer,

parallelt med aksene eller går gjennom origo.

Vinkelen mellom rette linjer på et plan.

Definisjon. Hvis to linjer er gitt y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, deretter den spisse vinkelen mellom disse linjene

vil bli definert som

To linjer er parallelle if k 1 = k 2. To linjer er vinkelrette

Hvis k 1 = -1/ k 2 .

Teorem.

Direkte Axe + Wu + C = 0 Og A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 parallell når koeffisientene er proporsjonale

A 1 = λA, B 1 = λB. Hvis også С 1 = λС, da faller linjene sammen. Koordinater til skjæringspunktet mellom to linjer

finnes som en løsning på likningssystemet til disse linjene.

Ligningen til en linje som går gjennom et gitt punkt vinkelrett på en gitt linje.

Definisjon. Linje som går gjennom et punkt M 1 (x 1, y 1) og vinkelrett på linjen y = kx + b

representert ved ligningen:

Avstand fra et punkt til en linje.

Teorem. Hvis et poeng er gitt M(x 0, y 0), deretter avstanden til den rette linjen Axe + Wu + C = 0 definert som:

Bevis. La poenget M 1 (x 1, y 1)- bunnen av en perpendikulær falt fra et punkt M for en gitt

direkte. Deretter avstanden mellom punktene M Og M 1:

(1)

Koordinater x 1 Og på 1 kan finnes som en løsning på ligningssystemet:

Den andre ligningen i systemet er ligningen av en rett linje som går gjennom et gitt punkt M 0 vinkelrett

gitt rett linje. Hvis vi transformerer den første ligningen i systemet til formen:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Ved 0 + C = 0,

så når vi løser, får vi:

Ved å erstatte disse uttrykkene i ligning (1), finner vi:

Teoremet er bevist.