Ansikter av et rektangulært prisme. Teorem om det laterale overflatearealet til et rett prisme

I skolepensum for et stereometrikurs begynner studiet av tredimensjonale figurer vanligvis med en enkel geometrisk kropp - polyederet til et prisme. Rollen til basene utføres av 2 like polygoner som ligger i parallelle plan. Et spesielt tilfelle er et vanlig firkantet prisme. Basene er 2 identiske vanlige firkanter, som sidene er vinkelrette på, og har form av parallellogrammer (eller rektangler, hvis prismet ikke er skråstilt).

Hvordan ser et prisme ut?

Et vanlig firkantet prisme er en sekskant, hvis base er 2 kvadrater, og sideflatene er representert av rektangler. Et annet navn for denne geometriske figuren er et rett parallellepiped.

En tegning som viser et firkantet prisme er vist nedenfor.

Du kan også se på bildet de viktigste elementene som utgjør en geometrisk kropp. Disse inkluderer:

Noen ganger i geometriproblemer kan du komme over konseptet med en seksjon. Definisjonen vil høres slik ut: en seksjon er alle punktene til et volumetrisk legeme som tilhører et skjæreplan. Seksjonen kan være vinkelrett (skjærer kantene på figuren i en vinkel på 90 grader). For et rektangulært prisme vurderes også en diagonal seksjon (maksimalt antall seksjoner som kan konstrueres er 2), som går gjennom 2 kanter og diagonalene til basen.

Hvis snittet er tegnet på en slik måte at skjæreplanet ikke er parallelt med verken basene eller sideflatene, blir resultatet et avkortet prisme.

For å finne de reduserte prismatiske elementene brukes ulike relasjoner og formler. Noen av dem er kjent fra planimetrikurset (for eksempel for å finne arealet til bunnen av et prisme, er det nok å huske formelen for arealet av en firkant).

Overflateareal og volum

For å bestemme volumet til et prisme ved hjelp av formelen, må du kjenne arealet av basen og høyden:

V = Sbas h

Siden bunnen av et vanlig tetraedrisk prisme er en firkant med side en, Du kan skrive formelen i mer detaljert form:

V = a²·h

Hvis vi snakker om en terning - et vanlig prisme med lik lengde, bredde og høyde, beregnes volumet som følger:

For å forstå hvordan du finner det laterale overflatearealet til et prisme, må du forestille deg utviklingen.

Av tegningen kan man se at sideflaten er bygd opp av 4 like rektangler. Området beregnes som produktet av omkretsen av basen og høyden på figuren:

Sside = Posn h

Tatt i betraktning at omkretsen av kvadratet er lik P = 4a, formelen har formen:

Side = 4a t

For kube:

Side = 4a²

For å beregne det totale overflatearealet til prismet, må du legge til 2 basisområder til sideområdet:

Full = Sside + 2Smain

I forhold til et firkantet regulært prisme ser formelen slik ut:

Stotal = 4a h + 2a²

For overflatearealet til en kube:

Full = 6a²

Når du kjenner volumet eller overflaten, kan du beregne de individuelle elementene i en geometrisk kropp.

Finne prismeelementer

Ofte er det problemer der volumet er gitt eller verdien av det laterale overflatearealet er kjent, hvor det er nødvendig å bestemme lengden på siden av basen eller høyden. I slike tilfeller kan formlene utledes:

• base side lengde: a = Sside / 4h = √(V / h);
• høyde eller sideribbelengde: h = side / 4a = V / a²;
• basisareal: Sbas = V/h;
• sideflate: Side gr = side / 4.

For å bestemme hvor stort areal diagonalsnittet har, må du vite lengden på diagonalen og høyden på figuren. For en firkant d = a√2. Derfor:

Sdiag = ah√2

For å beregne diagonalen til et prisme, bruk formelen:

dpremie = √(2a² + h²)

For å forstå hvordan du bruker de gitte relasjonene, kan du øve og løse flere enkle oppgaver.

Eksempler på problemer med løsninger

Her er noen oppgaver funnet på statlige avsluttende eksamener i matematikk.

Øvelse 1.

Sand helles i en boks formet som et vanlig firkantet prisme. Høyden på nivået er 10 cm. Hva blir sandnivået hvis du flytter det inn i en beholder med samme form, men med en base som er dobbelt så lang?

Det bør begrunnes som følger. Mengden sand i den første og andre beholderen endret seg ikke, det vil si at volumet i dem er det samme. Du kan angi lengden på basen med en. I dette tilfellet vil volumet av stoffet for den første boksen være:

V1 = ha² = 10a²

For den andre boksen er lengden på basen 2a, men høyden på sandnivået er ukjent:

V2 = h (2a)² = 4ha²

Fordi det V1 = V2, kan vi sette likhetstegn mellom uttrykkene:

10a² = 4ha²

Etter å ha redusert begge sider av ligningen med a², får vi:

Som et resultat vil det nye sandnivået bli h = 10/4 = 2,5 cm.

Oppgave 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ er et korrekt prisme. Det er kjent at BD = AB₁ = 6√2. Finn det totale overflatearealet av kroppen.

For å gjøre det lettere å forstå hvilke elementer som er kjent, kan du tegne en figur.

Siden vi snakker om et regulært prisme, kan vi konkludere med at ved basen er det et kvadrat med en diagonal på 6√2. Diagonalen til sideflaten har samme størrelse, derfor har sideflaten også formen av en firkant lik basen. Det viser seg at alle tre dimensjonene - lengde, bredde og høyde - er like. Vi kan konkludere med at ABCDA₁B₁C₁D₁ er en kube.

Lengden på en kant bestemmes gjennom en kjent diagonal:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Det totale overflatearealet er funnet ved å bruke formelen for en kube:

Full = 6a² = 6 6² = 216

Oppgave 3.

Rommet er under oppussing. Det er kjent at gulvet har form av en firkant med et areal på 9 m². Høyden på rommet er 2,5 m Hva er den laveste kostnaden for å tapetsere et rom hvis 1 m² koster 50 rubler?

Siden gulvet og taket er firkanter, det vil si vanlige firkanter, og veggene er vinkelrette på horisontale flater, kan vi konkludere med at det er et vanlig prisme. Det er nødvendig å bestemme arealet av sideoverflaten.

Lengden på rommet er a = √9 = 3 m.

Området skal dekkes med tapet Side = 4 3 2,5 = 30 m².

Den laveste kostnaden for tapet for dette rommet vil være 50·30 = 1500 rubler

For å løse problemer som involverer et rektangulært prisme, er det derfor nok å kunne beregne arealet og omkretsen til et kvadrat og et rektangel, samt å kjenne formlene for å finne volumet og overflatearealet.

Hvordan finne arealet av en kube

Definisjon 1. Prismatisk overflate
Teorem 1. På parallelle snitt av en prismatisk overflate
Definisjon 2. Vinkelrett snitt av en prismatisk overflate
Definisjon 3. Prisme
Definisjon 4. Prismehøyde
Definisjon 5. Høyre prisme
Teorem 2. Arealet av sideflaten til prismet

Parallelepiped:
Definisjon 6. Parallelepiped
Teorem 3. På skjæringspunktet mellom diagonalene til et parallellepiped
Definisjon 7. Høyre parallellepipedum
Definisjon 8. Rektangulær parallellepipedum
Definisjon 9. Målinger av et parallellepiped
Definisjon 10. Kube
Definisjon 11. Rhombohedron
Teorem 4. På diagonalene til et rektangulært parallellepiped
Teorem 5. Volum av et prisme
Teorem 6. Volum av et rett prisme
Teorem 7. Volum av et rektangulært parallellepiped

Prisme er et polyeder hvis to flater (baser) ligger i parallelle plan, og kantene som ikke ligger i disse flatene er parallelle med hverandre.
Andre ansikter enn basene kalles lateralt.
Sidene av sideflatene og basene kalles prismeribber, kalles endene av kantene toppunktene til prismet. Sideribber kanter som ikke hører til basene kalles. Foreningen av sideflater kalles sideflaten til prismet, og foreningen av alle ansikter kalles hele overflaten av prismet. Prismehøyde kalt perpendikulæren som faller fra punktet på den øvre basen til planet til den nedre basen eller lengden på denne perpendikulæren. Direkte prisme kalt et prisme hvis sideribber er vinkelrett på planene til basene. Riktig kalt et rett prisme (fig. 3), ved bunnen av dette ligger en regulær polygon.

Betegnelser:
l - sideribbe;
P - base omkrets;
S o - basisareal;
H - høyde;
P^ - vinkelrett seksjon omkrets;
S b - sideoverflateareal;
V - volum;
S p er arealet av den totale overflaten av prismet.

Definisjon 2 . En vinkelrett seksjon av en prismatisk overflate er en seksjon av denne overflaten med et plan vinkelrett på kantene. Basert på forrige teorem vil alle perpendikulære seksjoner av samme prismatiske overflate være like polygoner.

Definisjon 3 . Et prisme er et polyeder avgrenset av en prismatisk overflate og to plan parallelle med hverandre (men ikke parallelle med kantene på den prismatiske overflaten)
Ansiktene som ligger i disse siste planene kalles prismebaser; ansikter som tilhører den prismatiske overflaten - sideflater; kantene på den prismatiske overflaten - sideribber av prismet. I kraft av den forrige setningen er bunnen av prismet like polygoner. Alle sideflater av prismet - parallellogrammer; alle sideribber er like hverandre.
Selvfølgelig, hvis bunnen av prismet ABCDE og en av kantene AA" i størrelse og retning er gitt, så er det mulig å konstruere et prisme ved å tegne kantene BB", CC", ... like og parallelle med kanten AA" .

Definisjon 4 . Høyden på et prisme er avstanden mellom planene til dets baser (HH").

Definisjon 5 . Et prisme kalles rett hvis basene er vinkelrette deler av den prismatiske overflaten. I dette tilfellet er høyden på prismet selvfølgelig dens sideribbe; sidekantene vil være rektangler.
Prismer kan klassifiseres i henhold til antall sideflater lik antall sider av polygonen som fungerer som dens base. Dermed kan prismer være trekantede, firkantede, femkantede, etc.

Teorem 2 . Arealet av prismets sideoverflate er lik produktet av sidekanten og omkretsen av den vinkelrette seksjonen.
La ABCDEA"B"C"D"E" være et gitt prisme og abcde dets vinkelrette snitt, slik at segmentene ab, bc, .. er vinkelrett på sidekantene. Overflaten ABA"B" er et parallellogram; dets areal er lik produktet av basen AA " til en høyde som sammenfaller med ab; arealet av flaten ВСВ "С" er lik produktet av basen ВВ" med høyden bc, osv. Følgelig er sideflaten (dvs. summen av arealene til sideflatene) lik produktet av sidekanten, med andre ord, den totale lengden av segmentene AA", ВВ", .., for mengden ab+bc+cd+de+ea.

Definisjon.

Dette er en sekskant, hvis basis er to like firkanter, og sideflatene er like rektangler

Sideribbe- er fellessiden av to tilstøtende sideflater

Prismehøyde- dette er et segment vinkelrett på basen til prismet

Prisme diagonal- et segment som forbinder to hjørner av basene som ikke tilhører samme side

Diagonalt plan- et plan som går gjennom prismets diagonal og dets sidekanter

Diagonalt snitt- grensene for skjæringspunktet mellom prismet og diagonalplanet. Det diagonale tverrsnittet til et regulært firkantet prisme er et rektangel

Perpendikulært snitt (ortogonalt snitt)- dette er skjæringspunktet mellom et prisme og et plan tegnet vinkelrett på sidekantene

Elementer i et vanlig firkantet prisme

Figuren viser to vanlige firkantede prismer, som er indikert med de tilsvarende bokstavene:

• Basene ABCD og A 1 B 1 C 1 D 1 er like og parallelle med hverandre
• Sideflater AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C og CC 1 D 1 D, som hver er et rektangel
• Lateral overflate - summen av arealene til alle sideflatene til prismet
• Total overflate - summen av arealene til alle baser og sideflater (summen av arealet av sideoverflaten og basene)
• Sideribber AA 1, BB 1, CC 1 og DD 1.
• Diagonal B 1 D
• Base diagonal BD
• Diagonalsnitt BB 1 D 1 D
• Vinkelrett snitt A 2 B 2 C 2 D 2.

Egenskaper til et regulært firkantet prisme

• Basene er to like firkanter
• Basene er parallelle med hverandre
• Sideflatene er rektangler
• Sidekantene er like med hverandre
• Sideflatene er vinkelrette på basene
• Sideribbene er parallelle med hverandre og like
• Vinkelrett snitt vinkelrett på alle sideribber og parallelt med basene
• Vinkler av vinkelrett snitt - rett
• Det diagonale tverrsnittet til et regulært firkantet prisme er et rektangel
• Vinkelrett (ortogonalt snitt) parallelt med basene

Formler for et vanlig firkantet prisme

Instruksjoner for å løse problemer

Riktig prisme- et prisme ved bunnen av det ligger en regulær polygon, og sidekantene er vinkelrette på bunnens plan. Det vil si at et vanlig firkantet prisme inneholder ved bunnen torget. (se egenskapene til et vanlig firkantet prisme ovenfor) Merk. Dette er en del av en leksjon med geometriproblemer (seksjonsstereometri - prisme). Her er problemer som er vanskelige å løse. Hvis du trenger å løse et geometriproblem som ikke er her, skriv om det i forumet. For å betegne handlingen med å trekke ut kvadratroten for å løse problemer, brukes symbolet√ .

Oppgave.

Diagonalen til et vanlig prisme danner en rettvinklet trekant med diagonalen til basen og høyden til prismet. Følgelig, i henhold til Pythagoras teorem, vil diagonalen til et gitt regulært firkantet prisme være lik:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Svar: 22 cm

Oppgave

Løsning.
Siden grunnflaten til et regulært firkantet prisme er et kvadrat, finner vi siden av grunnflaten (betegnet som a) ved å bruke Pythagoras teorem:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Høyden på sideflaten (betegnet som h) vil da være lik:

H2 + 12,5 = 42
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5

Det totale overflatearealet vil være lik summen av sideoverflaten og to ganger grunnflaten

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Svar: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Videokurset "Få en A" inkluderer alle emnene som er nødvendige for å bestå Unified State Exam i matematikk med 60-65 poeng. Fullstendig alle oppgavene 1-13 i Profile Unified State-eksamen i matematikk. Også egnet for å bestå Basic Unified State Examination i matematikk. Hvis du vil bestå Unified State-eksamenen med 90-100 poeng, må du løse del 1 på 30 minutter og uten feil!

Forberedelseskurs til Unified State Exam for klasse 10-11, samt for lærere. Alt du trenger for å løse del 1 av Unified State Exam i matematikk (de første 12 oppgavene) og oppgave 13 (trigonometri). Og dette er mer enn 70 poeng på Unified State Exam, og verken en 100-poengs student eller en humaniorastudent kan klare seg uten dem.

All nødvendig teori. Raske løsninger, fallgruver og hemmeligheter til Unified State Exam. Alle gjeldende oppgaver i del 1 fra FIPI Task Bank er analysert. Kurset oppfyller fullt ut kravene til Unified State Exam 2018.

Kurset inneholder 5 store emner, 2,5 timer hver. Hvert emne er gitt fra bunnen av, enkelt og tydelig.

Hundrevis av Unified State Exam-oppgaver. Ordproblemer og sannsynlighetsteori. Enkle og lett å huske algoritmer for å løse problemer. Geometri. Teori, referansemateriale, analyse av alle typer Unified State Examination oppgaver. Stereometri. Vanskelige løsninger, nyttige jukseark, utvikling av romlig fantasi. Trigonometri fra bunnen til oppgave 13. Forståelse i stedet for å stappe. Tydelige forklaringer av komplekse begreper. Algebra. Røtter, potenser og logaritmer, funksjon og derivert. Et grunnlag for å løse komplekse problemer i del 2 av Unified State Exam.

Foredrag: Prisme, dets baser, sideribber, høyde, sideoverflate; rett prisme; riktig prisme

Prisme

Hvis du lærte flate figurer hos oss fra tidligere spørsmål, så er du helt klar til å studere tredimensjonale figurer. Det første stoffet vi vil lære vil være et prisme.

Prisme er en tredimensjonal kropp som har et stort antall ansikter.

Denne figuren har to polygoner ved basene, som er plassert i parallelle plan, og alle sideflatene har form som et parallellogram.

Så la oss finne ut hva et prisme består av. For å gjøre dette, vær oppmerksom på Fig. 1

Som nevnt tidligere har et prisme to baser som er parallelle med hverandre - disse er femkantene ABCEF og GMNJK. Dessuten er disse polygonene like med hverandre.

Alle andre flater av prismet kalles sideflater - de består av parallellogrammer. For eksempel BMNC, AGKF, FKJE, etc.

Den totale overflaten av alle sideflater kalles sideflate.

Hvert par av tilstøtende ansikter har en felles side. Denne vanlige siden kalles en kant. For eksempel MV, SE, AB, etc.

Hvis den øvre og nedre basen av prismet er forbundet med en perpendikulær, vil det bli kalt prismets høyde. På figuren er høyden markert som rett linje OO 1.

Det er to hovedtyper prisme: skrå og rett.

Hvis sidekantene av prismet ikke er vinkelrette på basene, kalles et slikt prisme tilbøyelig.

Hvis alle kantene på et prisme er vinkelrett på basene, kalles et slikt prisme rett.

Hvis basene til et prisme inneholder vanlige polygoner (de med like sider), kalles et slikt prisme riktig.

Hvis basene til et prisme ikke er parallelle med hverandre, vil et slikt prisme bli kalt avkortet.

Du kan se det på fig. 2

Formler for å finne volumet og arealet til et prisme

Det er tre grunnleggende formler for å finne volum. De skiller seg fra hverandre i bruk:

Lignende formler for å finne overflatearealet til et prisme: