Gaussisk metode for å løse homogene sloughs. Omvendt av Gauss-metoden

La det gis et system med lineære algebraiske ligninger som må løses (finn slike verdier av de ukjente xi som gjør hver likning i systemet til en likhet).

Vi vet at et system med lineære algebraiske ligninger kan:

1) Har ingen løsninger (vær ikke-ledd).
2) Har uendelig mange løsninger.
3) Ha en enkelt løsning.

Som vi husker er ikke Cramers regel og matrisemetoden egnet i tilfeller der systemet har uendelig mange løsninger eller er inkonsekvent. Gauss metode – det kraftigste og mest allsidige verktøyet for å finne løsninger på ethvert system av lineære ligninger, hvilken i hvert tilfelle vil lede oss til svaret! Selve metodealgoritmen fungerer likt i alle tre tilfellene. Hvis Cramer- og matrisemetodene krever kunnskap om determinanter, trenger du kun kunnskap om aritmetiske operasjoner for å anvende Gauss-metoden, noe som gjør den tilgjengelig selv for grunnskoleelever.

Forstørrede matrisetransformasjoner ( dette er matrisen til systemet - en matrise som bare består av koeffisientene til de ukjente, pluss en kolonne med frie termer) systemer med lineære algebraiske ligninger i Gauss-metoden:

1) Med troki matriser Kan omorganisere noen steder.

2) hvis proporsjonale (som et spesialtilfelle – identiske) rader vises (eller finnes) i matrisen, bør du slette Alle disse radene er fra matrisen bortsett fra én.

3) hvis en nullrad vises i matrisen under transformasjoner, bør den også være det slette.

4) en rad av matrisen kan være multiplisere (dividere) til et annet tall enn null.

5) til en rad av matrisen du kan legg til en annen streng multiplisert med et tall, forskjellig fra null.

I Gauss-metoden endrer ikke elementære transformasjoner løsningen av ligningssystemet.

Gauss-metoden består av to stadier:

"Direkte bevegelse" - ved hjelp av elementære transformasjoner, bring den utvidede matrisen til et system med lineære algebraiske ligninger til en "triangulær" trinnform: elementene i den utvidede matrisen som ligger under hoveddiagonalen er lik null (bevegelse ovenfra og ned). For eksempel til denne typen:

For å gjøre dette, utfør følgende trinn:

1) La oss vurdere den første ligningen til et system med lineære algebraiske ligninger og koeffisienten for x 1 er lik K. Den andre, tredje osv. vi transformerer likningene som følger: vi deler hver likning (koeffisienter av de ukjente, inkludert frie ledd) med koeffisienten til den ukjente x 1 i hver likning, og multipliserer med K. Etter dette trekker vi den første fra den andre likningen ( koeffisienter av ukjente og frie termer). For x 1 i den andre ligningen får vi koeffisienten 0. Fra den tredje transformerte ligningen trekker vi den første ligningen til alle ligningene bortsett fra den første, for ukjent x 1, har en koeffisient 0.

2) La oss gå videre til neste ligning. La dette være den andre likningen og koeffisienten for x 2 lik M. Vi fortsetter med alle "nedre" likninger som beskrevet ovenfor. Dermed vil "under" den ukjente x 2 være nuller i alle ligninger.

3) Gå videre til neste ligning og så videre til en siste ukjent og det transformerte frie leddet gjenstår.

Det "omvendte trekk" av Gauss-metoden er å få en løsning på et system med lineære algebraiske ligninger ("bottom-up"-trekket). Fra den siste "nedre" ligningen får vi en første løsning - den ukjente x n. For å gjøre dette løser vi den elementære ligningen A * x n = B. I eksemplet gitt ovenfor, x 3 = 4. Vi erstatter den funnet verdien i den "øvre" neste ligningen og løser den med hensyn til den neste ukjente. For eksempel, x 2 – 4 = 1, dvs. x 2 = 5. Og så videre til vi finner alle de ukjente.

Eksempel.

La oss løse systemet med lineære ligninger ved å bruke Gauss-metoden, som noen forfattere anbefaler:

La oss skrive ned den utvidede matrisen til systemet og, ved hjelp av elementære transformasjoner, bringe den til en trinnvis form:

Vi ser på øvre venstre "trinn". Vi burde ha en der. Problemet er at det ikke er noen enheter i den første kolonnen i det hele tatt, så omorganisering av radene vil ikke løse noe. I slike tilfeller må enheten organiseres ved hjelp av en elementær transformasjon. Dette kan vanligvis gjøres på flere måter. La oss gjøre dette:
1 trinn . Til den første linjen legger vi den andre linjen, multiplisert med –1. Det vil si at vi mentalt multipliserte den andre linjen med –1 og la til den første og andre linjen, mens den andre linjen ikke endret seg.

Nå øverst til venstre er det "minus en", noe som passer oss ganske bra. Alle som ønsker å få +1 kan utføre en ekstra handling: multipliser den første linjen med –1 (endre fortegn).

Steg 2 . Den første linjen, multiplisert med 5, ble lagt til den andre linjen. Den første linjen, multiplisert med 3, ble lagt til den tredje linjen.

Trinn 3 . Den første linjen ble multiplisert med –1, i prinsippet er dette for skjønnhet. Tegnet på den tredje linjen ble også endret og den ble flyttet til andreplass, slik at vi på det andre "trinnet" hadde den nødvendige enheten.

Trinn 4 . Den tredje linjen ble lagt til den andre linjen, multiplisert med 2.

Trinn 5 . Den tredje linjen ble delt med 3.

Et tegn som indikerer en feil i beregninger (sjeldnere, en skrivefeil) er en "dårlig" bunnlinje. Det vil si, hvis vi fikk noe sånt som (0 0 11 |23) nedenfor, og følgelig 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, så kan vi med en høy grad av sannsynlighet si at det ble gjort en feil i grunnskolen transformasjoner.

La oss gjøre det motsatte; i utformingen av eksempler, er selve systemet ofte ikke skrevet om, men ligningene er "hentet direkte fra den gitte matrisen." Det omvendte trekket, minner jeg deg på, fungerer fra bunnen og opp. I dette eksemplet ble resultatet en gave:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, derfor x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Svar:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

La oss løse det samme systemet ved å bruke den foreslåtte algoritmen. Vi får

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Del den andre ligningen med 5, og den tredje med 3. Vi får:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Ved å multiplisere den andre og tredje ligningen med 4 får vi:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Trekk fra den første likningen fra den andre og tredje likningen, vi har:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Del den tredje ligningen med 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Multipliser den tredje ligningen med 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Trekker vi den andre fra den tredje ligningen, får vi en "trinn" utvidet matrise:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Siden feilen akkumulert under beregningene, får vi x 3 = 0,96 eller omtrent 1.

x 2 = 3 og x 1 = –1.

Ved å løse på denne måten vil du aldri bli forvirret i beregningene og til tross for regnefeilene får du resultatet.

Denne metoden for å løse et system med lineære algebraiske ligninger er lett programmerbar og tar ikke hensyn til de spesifikke egenskapene til koeffisienter for ukjente, fordi man i praksis (i økonomiske og tekniske beregninger) må forholde seg til koeffisienter som ikke er heltall.

Jeg ønsker deg suksess! Ser deg i timen! Lærer Dmitry Aystrakhanov.

nettside, ved kopiering av materiale helt eller delvis, kreves en lenke til kilden.

En av de universelle og effektive metodene for å løse lineære algebraiske systemer er Gaussisk metode , som består i sekvensiell eliminering av ukjente.

Husk at de to systemene kalles tilsvarende (tilsvarende) hvis settene med løsningene deres faller sammen. Med andre ord, systemer er likeverdige hvis hver løsning av en av dem er en løsning av den andre og omvendt. Tilsvarende systemer oppnås når elementære transformasjoner systemets ligninger:

multiplisere begge sider av ligningen med et annet tall enn null;

å legge til en ligning de tilsvarende delene av en annen ligning, multiplisert med et annet tall enn null;

omorganisere to ligninger.

La et ligningssystem gis

Prosessen med å løse dette systemet ved hjelp av Gauss-metoden består av to trinn. På det første stadiet (direkte bevegelse) reduseres systemet ved hjelp av elementære transformasjoner til trinnvis , eller trekantet form, og på det andre trinnet (omvendt) er det en sekvensiell, med utgangspunkt i det siste variabelnummeret, bestemmelse av ukjente fra det resulterende trinnsystemet.

La oss anta at koeffisienten til dette systemet
, ellers i systemet kan den første raden byttes med en hvilken som helst annen rad slik at koeffisienten kl var forskjellig fra null.

La oss transformere systemet ved å eliminere det ukjente i alle ligninger unntatt den første. For å gjøre dette, multipliser begge sider av den første ligningen med og legg til ledd for ledd med den andre ligningen i systemet. Multipliser deretter begge sider av den første ligningen med og legg den til den tredje ligningen i systemet. Ved å fortsette denne prosessen får vi det tilsvarende systemet

Her
– nye verdier av koeffisienter og frie termer som oppnås etter det første trinnet.

På samme måte, med tanke på hovedelementet
, ekskluder det ukjente fra alle likninger i systemet, bortsett fra den første og andre. La oss fortsette denne prosessen så lenge som mulig, og som et resultat vil vi få et trinnvis system

Hvor ,
,…,– hovedelementer i systemet
.

Hvis det, i prosessen med å redusere systemet til en trinnvis form, vises ligninger, dvs. likheter i formen
, blir de forkastet siden de tilfredsstilles av et hvilket som helst sett med tall
. Hvis kl
Hvis det vises en formlikning som ikke har noen løsninger, indikerer dette systemets inkompatibilitet.

Under det omvendte slaget uttrykkes den første ukjente fra den siste ligningen til det transformerte trinnsystemet gjennom alle de andre ukjente
som kalles gratis . Deretter variabeluttrykket fra den siste ligningen i systemet er erstattet med den nest siste ligningen og variabelen uttrykkes fra den
. Variabler defineres sekvensielt på lignende måte
. Variabler
, uttrykt gjennom frie variabler, kalles grunnleggende (avhengig). Resultatet er en generell løsning på systemet med lineære ligninger.

Å finne privat løsning systemer, gratis ukjent
i den generelle løsningen tildeles vilkårlige verdier og verdiene til variablene beregnes
.

Det er teknisk sett mer praktisk å underkaste elementære transformasjoner ikke selve systemligningene, men den utvidede matrisen til systemet

Gauss-metoden er en universell metode som lar deg løse ikke bare kvadratiske, men også rektangulære systemer der antall ukjente
ikke lik antall ligninger
.

Fordelen med denne metoden er også at vi i prosessen med å løse samtidig undersøker systemet for kompatibilitet, siden vi har gitt den utvidede matrisen
for å danne trinnvis, er det lett å bestemme rekkene til matrisen og utvidet matrise
og søke Kronecker-Capelli teorem .

Eksempel 2.1 Løs systemet ved hjelp av Gauss-metoden

Løsning. Antall ligninger
og antall ukjente
.

La oss lage en utvidet matrise av systemet ved å tilordne koeffisienter til høyre for matrisen gratis medlemmer kolonne .

La oss presentere matrisen til en trekantet visning; For å gjøre dette vil vi få "0" under elementene som ligger på hoveddiagonalen ved hjelp av elementære transformasjoner.

For å få "0" i den andre posisjonen i den første kolonnen, multipliser den første raden med (-1) og legg den til den andre raden.

Vi skriver denne transformasjonen som tallet (-1) mot den første linjen og betegner den med en pil som går fra den første linjen til den andre linjen.

For å få "0" i den tredje posisjonen i den første kolonnen, multipliser den første raden med (-3) og legg til den tredje raden; La oss vise denne handlingen ved å bruke en pil som går fra den første linjen til den tredje.

I den resulterende matrisen, skrevet nummer to i kjeden av matriser, får vi "0" i den andre kolonnen i tredje posisjon. For å gjøre dette, multipliserte vi den andre linjen med (-4) og la den til den tredje. I den resulterende matrisen, multipliser den andre raden med (-1), og del den tredje med (-8). Alle elementene i denne matrisen som ligger under de diagonale elementene er null.

Fordi , systemet er samarbeidende og definert.

Ligningssystemet som tilsvarer den siste matrisen har en trekantet form:

Fra den siste (tredje) ligningen
. Bytt inn i den andre ligningen og få
.

La oss erstatte
Og
inn i den første ligningen finner vi

.

En av de enkleste måtene å løse et system med lineære ligninger på er en teknikk basert på beregning av determinanter ( Cramers regel). Fordelen er at den lar deg registrere løsningen umiddelbart, det er spesielt praktisk i tilfeller der koeffisientene til systemet ikke er tall, men noen parametere. Ulempen er besværligheten av beregninger i tilfelle av et stort antall ligninger. Cramers regel er dessuten ikke direkte anvendelig for systemer der antall ligninger ikke sammenfaller med antall ukjente. I slike tilfeller brukes det vanligvis Gaussisk metode.

Systemer av lineære ligninger som har samme sett med løsninger kalles tilsvarende. Åpenbart vil ikke settet med løsninger til et lineært system endres hvis noen ligninger byttes, eller hvis en av ligningene multipliseres med et tall som ikke er null, eller hvis en ligning legges til en annen.

Gauss metode (metode for sekvensiell eliminering av ukjente) er at ved hjelp av elementære transformasjoner reduseres systemet til et ekvivalent system av trinntype. Først, ved å bruke den første ligningen, eliminerer vi x 1 av alle påfølgende ligninger i systemet. Så, ved å bruke den andre ligningen, eliminerer vi x 2 fra den tredje og alle påfølgende ligninger. Denne prosessen, kalt direkte gaussisk metode, fortsetter til det bare er en ukjent igjen på venstre side av den siste ligningen x n. Etter dette er det gjort invers av Gauss-metoden– løse den siste ligningen, finner vi x n; etter det, ved å bruke denne verdien, fra den nest siste ligningen vi beregner x n–1 osv. Vi finner den siste x 1 fra den første ligningen.

Det er praktisk å utføre gaussiske transformasjoner ved å utføre transformasjoner ikke med selve ligningene, men med matrisene til koeffisientene deres. Tenk på matrisen:

kalt utvidet matrise av systemet, fordi det, i tillegg til hovedmatrisen til systemet, inkluderer en kolonne med frie termer. Gaussmetoden er basert på å redusere hovedmatrisen til systemet til en trekantet form (eller trapesform i tilfelle av ikke-kvadratiske systemer) ved å bruke elementære radtransformasjoner (!) av den utvidede matrisen til systemet.

Eksempel 5.1. Løs systemet ved å bruke Gauss-metoden:

Løsning. La oss skrive ut den utvidede matrisen til systemet, og ved å bruke den første raden vil vi tilbakestille de gjenværende elementene:

vi får nuller i 2., 3. og 4. rad i den første kolonnen:

Nå trenger vi at alle elementene i den andre kolonnen under den andre raden er lik null. For å gjøre dette, kan du multiplisere den andre linjen med –4/7 og legge den til den tredje linjen. Men for ikke å håndtere brøker, la oss lage en enhet i den andre raden i den andre kolonnen og bare

Nå, for å få en trekantet matrise, må du tilbakestille elementet i den fjerde raden i den tredje kolonnen. For å gjøre dette, kan du multiplisere den tredje raden med 8/54 og legge den til den fjerde. For ikke å håndtere brøker, vil vi imidlertid bytte 3. og 4. rad og 3. og 4. kolonne, og først etter det vil vi tilbakestille det angitte elementet. Merk at når du omorganiserer kolonnene, bytter de tilsvarende variablene plass og dette må huskes; andre elementære transformasjoner med kolonner (addisjon og multiplikasjon med et tall) kan ikke utføres!

Den siste forenklede matrisen tilsvarer et ligningssystem som tilsvarer den opprinnelige:

Herfra, ved å bruke den inverse av Gauss-metoden, finner vi fra den fjerde ligningen x 3 = –1; fra den tredje x 4 = –2, fra den andre x 2 = 2 og fra den første ligningen x 1 = 1. På matriseform skrives svaret som

Vi vurderte saken når systemet er bestemt, dvs. når det bare er én løsning. La oss se hva som skjer hvis systemet er inkonsekvent eller usikkert.

Eksempel 5.2. Utforsk systemet ved å bruke den Gaussiske metoden:

Løsning. Vi skriver ut og transformerer den utvidede matrisen til systemet

Vi skriver et forenklet system av ligninger:

Her, i den siste ligningen, viser det seg at 0=4, dvs. motsigelse. Systemet har følgelig ingen løsning, dvs. hun uforenlig. à

Eksempel 5.3. Utforsk og løs systemet ved hjelp av Gauss-metoden:

Løsning. Vi skriver ut og transformerer den utvidede matrisen til systemet:

Som et resultat av transformasjonene inneholder den siste linjen bare nuller. Dette betyr at antall ligninger har gått ned med én:

Etter forenklinger er det altså to likninger igjen, og fire ukjente, dvs. to ukjente "ekstra". La dem være "overflødige", eller, som de sier, frie variabler, vil x 3 og x 4. Deretter

Troende x 3 = 2en Og x 4 = b, vi får x 2 = 1–en Og x 1 = 2b–en; eller i matriseform

En løsning skrevet på denne måten kalles generell, fordi, gir parametere en Og b forskjellige verdier, alle mulige løsninger av systemet kan beskrives. en

Løse systemer av lineære ligninger ved hjelp av Gauss-metoden. Anta at vi må finne en løsning på systemet fra n lineære ligninger med n ukjente variabler
determinanten til hovedmatrisen som er forskjellig fra null.

Essensen av Gauss-metoden består av sekvensiell eliminering av ukjente variabler: først eliminering x 1 fra alle likninger i systemet, fra den andre, er ytterligere ekskludert x 2 fra alle ligninger, starter med den tredje, og så videre, til bare den ukjente variabelen er igjen i den siste ligningen x n. Denne prosessen med å transformere systemligninger for å sekvensielt eliminere ukjente variabler kalles direkte gaussisk metode. Etter å ha fullført foroverprogresjonen til Gauss-metoden, fra den siste ligningen finner vi x n, ved å bruke denne verdien fra den nest siste ligningen vi beregner xn-1, og så videre, fra den første ligningen vi finner x 1. Prosessen med å beregne ukjente variabler når man går fra den siste ligningen i systemet til den første kalles invers av Gauss-metoden.

La oss kort beskrive algoritmen for å eliminere ukjente variabler.

Vi vil anta det, siden vi alltid kan oppnå dette ved å omorganisere likningene til systemet. Eliminer den ukjente variabelen x 1 fra alle likninger i systemet, fra den andre. For å gjøre dette, til den andre ligningen i systemet legger vi den første, multiplisert med , til den tredje ligningen legger vi til den første, multiplisert med , og så videre, til nth til ligningen legger vi den første, multiplisert med . Ligningssystemet etter slike transformasjoner vil ta formen

hvor og .

Vi ville komme til samme resultat hvis vi uttrykte x 1 gjennom andre ukjente variabler i den første ligningen av systemet og det resulterende uttrykket ble erstattet med alle andre ligninger. Så variabelen x 1 ekskludert fra alle ligninger, fra den andre.

Deretter fortsetter vi på lignende måte, men bare med en del av det resulterende systemet, som er markert i figuren

For å gjøre dette legger vi til den tredje ligningen i systemet den andre, multiplisert med , til den fjerde ligningen legger vi den andre, multiplisert med , og så videre, til nth til ligningen legger vi den andre, multiplisert med . Ligningssystemet etter slike transformasjoner vil ta formen

hvor og . Så variabelen x 2 ekskludert fra alle ligninger fra og med den tredje.

Deretter fortsetter vi med å eliminere det ukjente x 3, i dette tilfellet handler vi på samme måte med den delen av systemet som er merket på figuren

Så vi fortsetter den direkte progresjonen av Gauss-metoden til systemet tar formen

Fra dette øyeblikket begynner vi det motsatte av Gauss-metoden: vi beregner x n fra den siste ligningen som, ved å bruke den oppnådde verdien x n Vi finner xn-1 fra nest siste ligning, og så videre, finner vi x 1 fra den første ligningen.

Eksempel.

Løs system av lineære ligninger Gauss metode.

Definisjon og beskrivelse av Gaussmetoden

Den Gaussiske transformasjonsmetoden (også kjent som metoden for sekvensiell eliminering av ukjente variabler fra en ligning eller matrise) for å løse systemer med lineære ligninger er en klassisk metode for å løse systemer med algebraiske ligninger (SLAE). Denne klassiske metoden brukes også til å løse problemer som å oppnå inverse matriser og bestemme rangeringen av en matrise.

Transformasjon ved bruk av Gauss-metoden består i å gjøre små (elementære) sekvensielle endringer i et system med lineære algebraiske ligninger, noe som fører til eliminering av variabler fra det fra topp til bunn med dannelse av et nytt trekantet ligningssystem som er ekvivalent med det opprinnelige. en.

Definisjon 1

Denne delen av løsningen kalles den fremre gaussiske løsningen, siden hele prosessen utføres fra topp til bunn.

Etter å ha redusert det opprinnelige ligningssystemet til et trekantet, er alle variabler i systemet funnet fra bunn til topp (det vil si at de første variablene som ble funnet er plassert nøyaktig på de siste linjene i systemet eller matrisen). Denne delen av løsningen er også kjent som den inverse av den gaussiske løsningen. Algoritmen hans er som følger: først beregnes variablene nærmest bunnen av likningssystemet eller matrisen, deretter erstattes de resulterende verdiene høyere og dermed blir en annen variabel funnet, og så videre.

Beskrivelse av Gauss-metodens algoritme

Rekkefølgen av handlinger for den generelle løsningen av et ligningssystem ved bruk av Gauss-metoden består i vekselvis å bruke forover- og bakoverslag på matrisen basert på SLAE. La det innledende ligningssystemet ha følgende form:

$\begin(cases) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(cases)$

For å løse SLAE-er ved å bruke Gauss-metoden, er det nødvendig å skrive det opprinnelige likningssystemet i form av en matrise:

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

Matrisen $A$ kalles hovedmatrisen og representerer koeffisientene til variablene skrevet i rekkefølge, og $b$ kalles kolonnen med dens frie ledd. Matrisen $A$, skrevet gjennom en stolpe med en kolonne med frie termer, kalles en utvidet matrise:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(array)$

Nå er det nødvendig å bruke elementære transformasjoner på ligningssystemet (eller på matrisen, siden dette er mer praktisk), å bringe det til følgende form:

$\begin(cases) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(cases)$ (1)

Matrisen oppnådd fra koeffisientene til det transformerte ligningssystemet (1) kalles en trinnmatrise. Dette er hvordan trinnmatriser vanligvis ser ut:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(array)$

Disse matrisene er preget av følgende sett med egenskaper:

Alle dens null linjer kommer etter ikke-null linjer
Hvis en rad i en matrise med nummer $k$ ikke er null, har den forrige raden i samme matrise færre nuller enn denne med nummer $k$.

Etter å ha oppnådd trinnmatrisen, er det nødvendig å erstatte de resulterende variablene i de gjenværende ligningene (starter fra slutten) og få de gjenværende verdiene til variablene.

Grunnregler og tillatte transformasjoner ved bruk av Gauss-metoden

Når du forenkler en matrise eller et ligningssystem ved hjelp av denne metoden, må du bare bruke elementære transformasjoner.

Slike transformasjoner anses å være operasjoner som kan brukes på en matrise eller et system av ligninger uten å endre betydningen:

omorganisering av flere linjer,
legge til eller trekke fra en rad i en matrise en annen rad fra den,
multiplisere eller dele en streng med en konstant som ikke er lik null,
en linje som kun består av nuller, oppnådd i prosessen med å beregne og forenkle systemet, må slettes,
Du må også fjerne unødvendige proporsjonale linjer, og velge for systemet den eneste med koeffisienter som er mer egnet og praktisk for videre beregninger.

Alle elementære transformasjoner er reversible.

Analyse av de tre hovedtilfellene som oppstår når man løser lineære ligninger ved å bruke metoden for enkle gaussiske transformasjoner

Det er tre tilfeller som oppstår når man bruker Gauss-metoden for å løse systemer:

Når et system er inkonsekvent, det vil si at det ikke har noen løsninger
Ligningssystemet har en løsning, og en unik, og antallet rader og kolonner som ikke er null i matrisen er lik hverandre.
Systemet har et visst antall eller sett med mulige løsninger, og antall rader i det er mindre enn antall kolonner.

Utfall av en løsning med et inkonsekvent system

For dette alternativet, når man løser en matriseligning ved hjelp av Gauss-metoden, er det typisk å oppnå en viss linje med umuligheten av å oppfylle likheten. Derfor, hvis minst én ukorrekt likhet oppstår, har ikke de resulterende og originale systemene løsninger, uavhengig av de andre ligningene de inneholder. Et eksempel på en inkonsistent matrise:

$\begin(array)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)$

I siste linje oppsto en umulig likhet: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

Et ligningssystem som bare har én løsning

Disse systemene har, etter å ha blitt redusert til en trinnmatrise og fjernet rader med nuller, samme antall rader og kolonner i hovedmatrisen. Her er det enkleste eksempelet på et slikt system:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(cases)$

La oss skrive det i form av en matrise:

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(array)$

For å bringe den første cellen i den andre raden til null, multipliserer vi den øverste raden med $-2$ og trekker den fra den nederste raden i matrisen, og lar den øverste raden være i sin opprinnelige form, som et resultat har vi følgende :

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(array)$

Dette eksemplet kan skrives som et system:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(cases)$

Den nedre ligningen gir følgende verdi for $x$: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. Sett denne verdien inn i den øvre ligningen: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, vi får $x_1 = 1 \frac(2)(3)$.

Et system med mange mulige løsninger

Dette systemet er preget av et mindre antall signifikante rader enn antall kolonner i det (radene i hovedmatrisen er tatt i betraktning).

Variabler i et slikt system er delt inn i to typer: grunnleggende og gratis. Når du transformerer et slikt system, må hovedvariablene i det stå i venstre område opp til "="-tegnet, og de resterende variablene må flyttes til høyre side av likheten.

Et slikt system har bare en viss generell løsning.

La oss analysere følgende ligningssystem:

$\begin(cases) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end(cases)$

La oss skrive det i form av en matrise:

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(array)$

Vår oppgave er å finne en generell løsning på systemet. For denne matrisen vil basisvariablene være $y_1$ og $y_3$ (for $y_1$ - siden den kommer først, og i tilfellet $y_3$ - den er plassert etter nullene).

Som basisvariabler velger vi akkurat de som er først i rekken og ikke er lik null.

De resterende variablene kalles frie, vi trenger å uttrykke de grunnleggende gjennom dem.

Ved å bruke det såkalte omvendte slaget, analyserer vi systemet fra bunn til topp for å gjøre dette, uttrykker vi først $y_3$ fra bunnlinjen i systemet:

$5y_3 – 4y_4 = 1$

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

Nå erstatter vi den uttrykte $y_3$ i den øvre ligningen av systemet $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1$

Vi uttrykker $y_1$ i form av gratisvariabler $y_2$ og $y_4$:

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1,5x_2 – 0,1y_4 + 0,6$

Løsningen er klar.

Eksempel 1

Løs slough ved hjelp av Gauss-metoden. Eksempler. Et eksempel på å løse et system med lineære ligninger gitt av en 3 x 3 matrise ved bruk av Gauss-metoden

$\begin(cases) 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \end(cases)$

La oss skrive systemet vårt i form av en utvidet matrise:

$\begin(array)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

Nå, for enkelhets skyld og praktisk, må du transformere matrisen slik at $1$ er i det øvre hjørnet av den ytterste kolonnen.

For å gjøre dette, til den første linjen må vi legge til linjen fra midten, multiplisert med $-1$, og skrive selve midtlinjen som den er, viser det seg:

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(array) $

Multipliser den øverste og siste linjen med $-1$, og bytt også de siste og midterste linjene:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(array)$

Og del den siste linjen med $3$:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(array)$

Vi får følgende ligningssystem, tilsvarende det opprinnelige:

$\begin(cases) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(cases)$

Fra den øvre ligningen uttrykker vi $x_1$:

$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$.

Eksempel 2

Et eksempel på løsning av et system definert ved hjelp av en 4 x 4 matrise ved bruk av Gauss-metoden

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 og 37 \\ \end(matrise)$.

I begynnelsen bytter vi de øverste linjene etter den for å få $1$ i øvre venstre hjørne:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 og 37 \\ \end(matrise)$.

Multipliser nå den øverste linjen med $-2$ og legg til den andre og tredje. Til den fjerde legger vi til den første linjen, multiplisert med $-3$:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \end(array)$

Nå til linje nummer 3 legger vi til linje 2 multiplisert med $4$, og til linje 4 legger vi til linje 2 multiplisert med $-1$.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(array)$

Vi multipliserer linje 2 med $-1$, og deler linje 4 med $3$ og erstatter linje 3.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 og 10 \\ \end(matrise)$

Nå legger vi til den siste linjen den nest siste, multiplisert med $-5$.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end(matrise)$

Vi løser det resulterende ligningssystemet:

$\begin(cases) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end(cases)$