Multiplisere tangenter med forskjellige vinkler. Sinus, cosinus, tangent og cotangens - alt du trenger å vite for OGE og BRUK

Jeg vil ikke prøve å overbevise deg om ikke å skrive jukseark. Skrive! Inkludert jukseark om trigonometri. Senere planlegger jeg å forklare hvorfor jukseark er nødvendig og hvorfor jukseark er nyttige. Og her er informasjon om hvordan du ikke skal lære, men å huske noen trigonometriske formler. Så - trigonometri uten jukseark Vi bruker assosiasjoner for memorering.

1. Addisjonsformler:

Cosinus "kommer alltid i par": cosinus-cosinus, sinus-sinus. Og en ting til: kosinus er "utilstrekkelig". "Alt er ikke riktig" for dem, så de endrer tegnene: "-" til "+", og omvendt.

Bihuler - "blanding": sinus-cosinus, cosinus-sinus.

2. Sum- og differanseformler:

kosinus "kommer alltid i par". Ved å legge til to cosinus - "koloboks", får vi et par cosinus - "koloboks". Og ved å trekke fra, vil vi definitivt ikke få noen koloboks. Vi får et par sines. Også med minus foran.

Bihuler - "blanding" :

3. Formler for å konvertere et produkt til en sum og differanse.

Når får vi et cosinuspar? Når vi legger til kosinus. Derfor

Når får vi et par sinus? Når du trekker fra cosinus. Herfra:

"Mixing" oppnås både når du adderer og subtraherer sinus. Hva er morsommere: legge til eller trekke fra? Det stemmer, fold. Og for formelen tar de tillegg:

I den første og tredje formelen står summen i parentes. Omorganisering av vilkårene endrer ikke summen. Rekkefølgen er bare viktig for den andre formelen. Men for å ikke bli forvirret, for å lette å huske, tar vi forskjellen i alle tre formlene i de første parentesene

og for det andre - beløpet

Jukseark i lommen gir deg trygghet: hvis du glemmer formelen, kan du kopiere den. Og de gir deg selvtillit: Hvis du ikke klarer å bruke jukselisten, kan du enkelt huske formlene.

Begrepene sinus (), cosinus (), tangens (), cotangens () er uløselig knyttet til begrepet vinkel. For å ha en god forståelse av disse, ved første øyekast, komplekse konsepter (som forårsaker en tilstand av redsel hos mange skolebarn), og for å sikre at "djevelen ikke er så forferdelig som han er malt," la oss starte fra helt i begynnelsen og forstå konseptet med en vinkel.

Vinkelkonsept: radian, grad

La oss se på bildet. Vektoren har "snudd" i forhold til punktet med en viss mengde. Så målet for denne rotasjonen i forhold til utgangsposisjonen vil være hjørne.

Hva annet trenger du å vite om begrepet vinkel? Vel, vinkelenheter, selvfølgelig!

Vinkel, både i geometri og trigonometri, kan måles i grader og radianer.

Vinkel (én grad) er den sentrale vinkelen i en sirkel dekket av en sirkelbue lik en del av sirkelen. Dermed består hele sirkelen av "biter" av sirkelbuer, eller vinkelen beskrevet av sirkelen er lik.

Det vil si at figuren over viser en vinkel lik, det vil si at denne vinkelen hviler på en sirkelbue på størrelse med omkretsen.

En vinkel i radianer er den sentrale vinkelen i en sirkel dekket av en sirkelbue hvis lengde er lik radiusen til sirkelen. Vel, fant du ut av det? Hvis ikke, la oss finne det ut fra tegningen.

Så, figuren viser en vinkel lik en radian, det vil si at denne vinkelen hviler på en sirkelbue, hvis lengde er lik radiusen til sirkelen (lengden er lik lengden eller radiusen er lik lengden på buen). Dermed beregnes buelengden med formelen:

Hvor er den sentrale vinkelen i radianer.

Vel, når du vet dette, kan du svare på hvor mange radianer som finnes i vinkelen beskrevet av sirkelen? Ja, for dette må du huske formelen for omkrets. Her er hun:

Vel, la oss nå korrelere disse to formlene og finne at vinkelen beskrevet av sirkelen er lik. Det vil si at ved å korrelere verdien i grader og radianer får vi det. Henholdsvis. Som du kan se, i motsetning til "grader", er ordet "radian" utelatt, siden måleenheten vanligvis er tydelig fra konteksten.

Hvor mange radianer er det? Det er riktig!

Har det? Så fortsett og fiks det:

Har du vanskeligheter? Så se svar:

Rettvinklet trekant: sinus, cosinus, tangens, cotangens av vinkelen

Så vi fant ut konseptet med en vinkel. Men hva er sinus, cosinus, tangens og cotangens av en vinkel? La oss finne ut av det. For å gjøre dette, vil en rettvinklet trekant hjelpe oss.

Hva kalles sidene i en rettvinklet trekant? Det er riktig, hypotenusa og ben: hypotenusen er siden som ligger motsatt den rette vinkelen (i vårt eksempel er dette siden); bena er de to gjenværende sidene og (de ved siden av den rette vinkelen), og hvis vi ser på bena i forhold til vinkelen, så er benet det tilstøtende benet, og benet er det motsatte. Så la oss nå svare på spørsmålet: hva er sinus, cosinus, tangens og cotangens av en vinkel?

Sinus av vinkel- dette er forholdet mellom det motsatte (fjerne) benet og hypotenusen.

I vår trekant.

Cosinus av vinkel- dette er forholdet mellom det tilstøtende (nære) benet og hypotenusen.

I vår trekant.

Tangent av vinkelen- dette er forholdet mellom den motsatte (fjerne) siden til den tilstøtende (nære).

I vår trekant.

Kotangens av vinkel- dette er forholdet mellom det tilstøtende (nære) benet og det motsatte (langt).

I vår trekant.

Disse definisjonene er nødvendige huske! For å gjøre det lettere å huske hvilket ben du skal dele inn i hva, må du tydelig forstå det i tangent Og cotangens bare bena sitter, og hypotenusen vises bare i sinus Og kosinus. Og så kan du komme opp med en kjede av assosiasjoner. For eksempel denne:

Cosinus→berøring→berøring→tilstøtende;

Kotangens→berøring→berøring→tilstøtende.

Først av alt må du huske at sinus, cosinus, tangens og cotangens, da forholdet mellom sidene i en trekant ikke avhenger av lengdene på disse sidene (i samme vinkel). Tror ikke? Pass deretter på ved å se på bildet:

Tenk for eksempel på cosinus til en vinkel. Per definisjon, fra en trekant: , men vi kan beregne cosinus til en vinkel fra en trekant: . Du ser, lengdene på sidene er forskjellige, men verdien av cosinus til en vinkel er den samme. Dermed avhenger verdiene av sinus, cosinus, tangens og cotangens utelukkende av størrelsen på vinkelen.

Hvis du forstår definisjonene, så fortsett og konsolider dem!

For trekanten vist i figuren nedenfor finner vi.

Vel, fikk du det? Så prøv det selv: beregn det samme for vinkelen.

Enhetssirkel (trigonometrisk).

For å forstå begrepene grader og radianer, betraktet vi en sirkel med en radius lik. En slik sirkel kalles enkelt. Det vil være veldig nyttig når du studerer trigonometri. La oss derfor se litt mer detaljert på det.

Som du kan se, er denne sirkelen konstruert i det kartesiske koordinatsystemet. Sirkelens radius er lik én, mens sentrum av sirkelen ligger ved opprinnelsen til koordinatene, er startposisjonen til radiusvektoren fast langs den positive retningen til aksen (i vårt eksempel er dette radiusen).

Hvert punkt på sirkelen tilsvarer to tall: aksekoordinaten og aksekoordinaten. Hva er disse koordinattallene? Og generelt, hva har de med emnet å gjøre? For å gjøre dette må vi huske på den betraktede rettvinklet. I figuren over kan du se to hele rette trekanter. Tenk på en trekant. Den er rektangulær fordi den er vinkelrett på aksen.

Hva er trekanten lik? Det er riktig. I tillegg vet vi at det er radiusen til enhetssirkelen, som betyr . La oss erstatte denne verdien i formelen vår for cosinus. Her er hva som skjer:

Hva er trekanten lik? Selvfølgelig, ! Bytt ut radiusverdien i denne formelen og få:

Så, kan du si hvilke koordinater et punkt som tilhører en sirkel har? Vel, ingen måte? Hva om du innser det og bare er tall? Hvilken koordinat tilsvarer det? Vel, selvfølgelig, koordinatene! Og hvilken koordinat tilsvarer det? Det stemmer, koordinater! Altså punktum.

Hva er og lik da? Det stemmer, la oss bruke de tilsvarende definisjonene av tangent og cotangens og få det, a.

Hva om vinkelen er større? For eksempel, som på dette bildet:

Hva har endret seg i dette eksemplet? La oss finne ut av det. For å gjøre dette, la oss snu igjen til en rettvinklet trekant. Tenk på en rettvinklet trekant: vinkel (som ved siden av en vinkel). Hva er verdiene av sinus, cosinus, tangens og cotangens for en vinkel? Det er riktig, vi holder oss til de tilsvarende definisjonene av trigonometriske funksjoner:

Vel, som du kan se, tilsvarer verdien av sinusen til vinkelen fortsatt koordinaten; verdien av vinkelens cosinus - koordinaten; og verdiene av tangent og cotangens til de tilsvarende forholdene. Dermed gjelder disse relasjonene for enhver rotasjon av radiusvektoren.

Det er allerede nevnt at startposisjonen til radiusvektoren er langs den positive retningen til aksen. Så langt har vi rotert denne vektoren mot klokken, men hva skjer hvis vi roterer den med klokken? Ikke noe ekstraordinært, du vil også få en vinkel med en viss verdi, men bare den vil være negativ. Når vi roterer radiusvektoren mot klokken, får vi altså positive vinkler, og når du roterer med klokken - negativ.

Så vi vet at en hel omdreining av radiusvektoren rundt en sirkel er eller. Er det mulig å rotere radiusvektoren til eller til? Vel, selvfølgelig kan du det! I det første tilfellet vil derfor radiusvektoren gjøre en hel omdreining og stoppe ved posisjon eller.

I det andre tilfellet, det vil si at radiusvektoren vil gjøre tre hele omdreininger og stoppe ved posisjon eller.

Fra eksemplene ovenfor kan vi konkludere med at vinkler som er forskjellige med eller (hvor er et heltall) tilsvarer den samme posisjonen til radiusvektoren.

Figuren under viser en vinkel. Det samme bildet tilsvarer hjørnet osv. Denne listen kan fortsettes på ubestemt tid. Alle disse vinklene kan skrives med den generelle formelen eller (hvor er et heltall)

Nå, når du kjenner definisjonene av de grunnleggende trigonometriske funksjonene og bruker enhetssirkelen, prøv å svare på hva verdiene er:

Her er en enhetssirkel for å hjelpe deg:

Har du vanskeligheter? Så la oss finne ut av det. Så vi vet at:

Herfra bestemmer vi koordinatene til punktene som tilsvarer visse vinkelmål. Vel, la oss starte i rekkefølge: vinkelen ved tilsvarer et punkt med koordinater, derfor:

Eksisterer ikke;

Videre, ved å følge den samme logikken, finner vi ut at hjørnene i samsvarer med henholdsvis punkter med koordinater. Når du vet dette, er det lett å bestemme verdiene til trigonometriske funksjoner på de tilsvarende punktene. Prøv selv først, og sjekk deretter svarene.

Svar:

Eksisterer ikke

Eksisterer ikke

Eksisterer ikke

Eksisterer ikke

Dermed kan vi lage følgende tabell:

Det er ikke nødvendig å huske alle disse verdiene. Det er nok å huske korrespondansen mellom koordinatene til punktene på enhetssirkelen og verdiene til trigonometriske funksjoner:

Men verdiene til de trigonometriske funksjonene til vinkler i og gitt i tabellen nedenfor, må huskes:

Ikke vær redd, nå skal vi vise deg ett eksempel ganske enkelt å huske de tilsvarende verdiene:

For å bruke denne metoden er det viktig å huske verdiene til sinusen for alle tre vinkelmålene (), samt verdien av tangensen til vinkelen. Når du kjenner disse verdiene, er det ganske enkelt å gjenopprette hele tabellen - cosinusverdiene overføres i samsvar med pilene, det vil si:

Når du vet dette, kan du gjenopprette verdiene for. Telleren " " vil matche og nevneren " " vil matche. Kotangensverdier overføres i samsvar med pilene angitt i figuren. Hvis du forstår dette og husker diagrammet med pilene, vil det være nok å huske alle verdiene fra tabellen.

Koordinater til et punkt på en sirkel

Er det mulig å finne et punkt (dets koordinater) på en sirkel, kjenne koordinatene til sirkelens sentrum, radius og rotasjonsvinkel?

Vel, selvfølgelig kan du det! La oss få det ut generell formel for å finne koordinatene til et punkt.

For eksempel, her er en sirkel foran oss:

Vi er gitt at punktet er sentrum av sirkelen. Sirkelens radius er lik. Det er nødvendig å finne koordinatene til et punkt oppnådd ved å rotere punktet i grader.

Som det fremgår av figuren, tilsvarer koordinaten til punktet lengden på segmentet. Lengden på segmentet tilsvarer koordinaten til sentrum av sirkelen, det vil si at den er lik. Lengden på et segment kan uttrykkes ved å bruke definisjonen av cosinus:

Så har vi det for punktkoordinaten.

Ved å bruke samme logikk finner vi y-koordinatverdien for punktet. Dermed,

Så generelt er koordinatene til punktene bestemt av formlene:

Koordinater til sentrum av sirkelen,

Sirkelradius,

Rotasjonsvinkelen til vektorradiusen.

Som du kan se, for enhetssirkelen vi vurderer, er disse formlene betydelig redusert, siden koordinatene til sentrum er lik null og radius er lik en:

Vel, la oss prøve disse formlene ved å øve på å finne punkter på en sirkel?

1. Finn koordinatene til et punkt på enhetssirkelen oppnådd ved å rotere punktet videre.

2. Finn koordinatene til et punkt på enhetssirkelen oppnådd ved å rotere punktet videre.

3. Finn koordinatene til et punkt på enhetssirkelen oppnådd ved å rotere punktet videre.

4. Punktet er sentrum av sirkelen. Sirkelens radius er lik. Det er nødvendig å finne koordinatene til punktet oppnådd ved å rotere den opprinnelige radiusvektoren med.

5. Punktet er sentrum av sirkelen. Sirkelens radius er lik. Det er nødvendig å finne koordinatene til punktet oppnådd ved å rotere den opprinnelige radiusvektoren med.

Har du problemer med å finne koordinatene til et punkt på en sirkel?

Løs disse fem eksemplene (eller bli flink til å løse dem) så lærer du å finne dem!

1.

Det kan du merke. Men vi vet hva som tilsvarer en full revolusjon av utgangspunktet. Dermed vil ønsket punkt være i samme posisjon som når du svinger til. Når vi vet dette, finner vi de nødvendige koordinatene til punktet:

2. Enhetssirkelen er sentrert i et punkt, noe som betyr at vi kan bruke forenklede formler:

Det kan du merke. Vi vet hva som tilsvarer to hele omdreininger av utgangspunktet. Dermed vil ønsket punkt være i samme posisjon som når du svinger til. Når vi vet dette, finner vi de nødvendige koordinatene til punktet:

Sinus og cosinus er tabellverdier. Vi husker betydningen deres og får:

Dermed har ønsket punkt koordinater.

3. Enhetssirkelen er sentrert i et punkt, noe som betyr at vi kan bruke forenklede formler:

Det kan du merke. La oss skildre det aktuelle eksemplet i figuren:

Radius gjør vinkler lik og med aksen. Når vi vet at tabellverdiene til cosinus og sinus er like, og har bestemt at cosinus her tar en negativ verdi og sinus har en positiv verdi, har vi:

Slike eksempler diskuteres mer detaljert når man studerer formlene for å redusere trigonometriske funksjoner i emnet.

Dermed har ønsket punkt koordinater.

4.

Rotasjonsvinkel for vektorens radius (etter tilstand)

For å bestemme de tilsvarende tegnene for sinus og cosinus, konstruerer vi en enhetssirkel og vinkel:

Som du kan se, er verdien, det vil si, positiv, og verdien, det vil si, er negativ. Når vi kjenner tabellverdiene til de tilsvarende trigonometriske funksjonene, får vi at:

La oss erstatte de oppnådde verdiene i formelen vår og finne koordinatene:

Dermed har ønsket punkt koordinater.

5. For å løse dette problemet bruker vi formler i generell form, hvor

Koordinater til sentrum av sirkelen (i vårt eksempel,

Sirkelradius (etter tilstand)

Rotasjonsvinkel for vektorens radius (etter tilstand).

La oss erstatte alle verdiene i formelen og få:

og - tabellverdier. La oss huske og erstatte dem med formelen:

Dermed har ønsket punkt koordinater.

SAMMENDRAG OG GRUNNLEGGENDE FORMLER

Sinusen til en vinkel er forholdet mellom det motsatte (fjerne) benet og hypotenusen.

Cosinus av en vinkel er forholdet mellom det tilstøtende (nære) benet og hypotenusen.

Tangensen til en vinkel er forholdet mellom motsatt (fjern) side og tilstøtende (nær) side.

Kotangensen til en vinkel er forholdet mellom den tilstøtende (nære) siden og den motsatte (fjerne) siden.

Forholdet mellom de grunnleggende trigonometriske funksjonene - sinus, cosinus, tangens og cotangens - er gitt trigonometriske formler. Og siden det er ganske mange sammenhenger mellom trigonometriske funksjoner, forklarer dette overfloden av trigonometriske formler. Noen formler forbinder trigonometriske funksjoner med samme vinkel, andre - funksjoner av flere vinkler, andre - lar deg redusere graden, fjerde - uttrykke alle funksjoner gjennom tangenten til en halv vinkel, etc.

I denne artikkelen vil vi liste opp i rekkefølge alle de grunnleggende trigonometriske formlene, som er tilstrekkelige til å løse de aller fleste trigonometriproblemer. For å gjøre det enklere å huske og bruke, vil vi gruppere dem etter formål og legge dem inn i tabeller.

Sidenavigering.

Grunnleggende trigonometriske identiteter

Grunnleggende trigonometriske identiteter definere forholdet mellom sinus, cosinus, tangens og cotangens for en vinkel. De følger av definisjonen av sinus, cosinus, tangens og cotangens, samt begrepet enhetssirkelen. De lar deg uttrykke en trigonometrisk funksjon i form av en hvilken som helst annen.

For en detaljert beskrivelse av disse trigonometriformlene, deres utledning og eksempler på anvendelse, se artikkelen.

Reduksjonsformler

Reduksjonsformler følger av egenskapene til sinus, cosinus, tangens og cotangens, det vil si at de gjenspeiler egenskapen periodisitet til trigonometriske funksjoner, egenskapen til symmetri, samt egenskapen til forskyvning med en gitt vinkel. Disse trigonometriske formlene lar deg gå fra å jobbe med vilkårlige vinkler til å jobbe med vinkler fra null til 90 grader.

Begrunnelsen for disse formlene, en mnemonisk regel for å huske dem og eksempler på deres anvendelse kan studeres i artikkelen.

Addisjonsformler

Trigonometriske addisjonsformler vis hvordan trigonometriske funksjoner av summen eller forskjellen av to vinkler uttrykkes i form av trigonometriske funksjoner til disse vinklene. Disse formlene tjener som grunnlag for å utlede følgende trigonometriske formler.

Formler for dobbel, trippel osv. vinkel

Formler for dobbel, trippel osv. vinkel (de kalles også flere vinkelformler) viser hvordan trigonometriske funksjoner av dobbel, trippel, etc. vinkler () uttrykkes i form av trigonometriske funksjoner til en enkelt vinkel. Deres utledning er basert på addisjonsformler.

Mer detaljert informasjon er samlet i artikkelformlene for dobbel, trippel osv. vinkel

Halvvinkelformler

Halvvinkelformler vis hvordan trigonometriske funksjoner til en halv vinkel uttrykkes i form av cosinus til en hel vinkel. Disse trigonometriske formlene følger av dobbelvinkelformlene.

Deres konklusjon og eksempler på anvendelse finner du i artikkelen.

Formler for gradreduksjon

Trigonometriske formler for å redusere grader er designet for å lette overgangen fra naturlige krefter til trigonometriske funksjoner til sinus og cosinus i første grad, men flere vinkler. Med andre ord lar de deg redusere kreftene til trigonometriske funksjoner til den første.

Formler for summen og differansen av trigonometriske funksjoner

Hovedgrunnen formler for summen og differansen av trigonometriske funksjoner er å gå til produktet av funksjoner, som er veldig nyttig når man forenkler trigonometriske uttrykk. Disse formlene er også mye brukt for å løse trigonometriske ligninger, da de lar deg faktorisere summen og forskjellen av sinus og cosinus.

Formler for produktet av sinus, cosinus og sinus for cosinus

Overgangen fra produktet av trigonometriske funksjoner til en sum eller forskjell utføres ved å bruke formlene for produktet av sinus, cosinus og sinus for cosinus.

Opphavsrett av smartstudenter

Alle rettigheter forbeholdt.
Beskyttet av lov om opphavsrett. Ingen del av www.nettstedet, inkludert internt materiale og utseende, kan reproduseres i noen form eller brukes uten skriftlig forhåndstillatelse fra opphavsrettsinnehaveren.

Trigonometriske identiteter- dette er likheter som etablerer et forhold mellom sinus, cosinus, tangens og cotangens for en vinkel, som lar deg finne hvilken som helst av disse funksjonene, forutsatt at en hvilken som helst annen er kjent.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Denne identiteten sier at summen av kvadratet av sinusen til én vinkel og kvadratet av cosinus til én vinkel er lik én, noe som i praksis gjør det mulig å beregne sinusen til én vinkel når dens cosinus er kjent og vice versa .

Når du konverterer trigonometriske uttrykk, brukes denne identiteten veldig ofte, som lar deg erstatte summen av kvadratene til cosinus og sinus i en vinkel med en og også utføre erstatningsoperasjonen i motsatt rekkefølge.

Finne tangent og cotangens ved hjelp av sinus og cosinus

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Disse identitetene er dannet fra definisjonene av sinus, cosinus, tangens og cotangens. Tross alt, hvis du ser på det, så er ordinaten y per definisjon en sinus, og abscissen x er en cosinus. Da vil tangenten være lik forholdet \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), og forholdet \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- vil være en cotangens.

La oss legge til at bare for slike vinkler \alfa der de trigonometriske funksjonene som er inkludert i dem gir mening, vil identitetene holde, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

For eksempel: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) er gyldig for vinkler \alfa som er forskjellige fra \frac(\pi)(2)+\pi z, A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- for en annen vinkel \alfa enn \pi z, er z et heltall.

Forholdet mellom tangent og cotangens

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Denne identiteten er kun gyldig for vinkler \alfa som er forskjellige fra \frac(\pi)(2) z. Ellers vil verken cotangens eller tangens bli bestemt.

Basert på punktene ovenfor får vi det tg \alpha = \frac(y)(x), A ctg \alpha=\frac(x)(y). Det følger at tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Dermed er tangenten og cotangensen til samme vinkel som de gir mening ved, gjensidig inverse tall.

Forholdet mellom tangent og cosinus, cotangens og sinus

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- summen av kvadratet av tangenten til vinkelen \alfa og 1 er lik det inverse kvadratet av cosinus til denne vinkelen. Denne identiteten er gyldig for alle \alfa annet enn \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- summen av 1 og kvadratet av cotangensen til vinkelen \alfa er lik det inverse kvadratet av sinusen til den gitte vinkelen. Denne identiteten er gyldig for alle \alfa forskjellig fra \pi z.

Eksempler med løsninger på problemer ved bruk av trigonometriske identiteter

Eksempel 1

Finn \sin \alpha og tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 Og \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Vis løsning

Løsning

Funksjonene \sin \alpha og \cos \alpha er relatert med formelen \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Bytter inn i denne formelen \cos \alpha = -\frac12, vi får:

\sin^(2)\alpha + \venstre (-\frac12 \right)^2 = 1

Denne ligningen har 2 løsninger:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

Etter tilstand \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . I andre kvartal er sinusen positiv, så \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

For å finne tan \alpha bruker vi formelen tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Eksempel 2

Finn \cos \alpha og ctg \alpha hvis og \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Vis løsning

Løsning

Bytter inn i formelen \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 gitt nummer \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), vi får \venstre (\frac(\sqrt3)(2)\høyre)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Denne ligningen har to løsninger \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Etter tilstand \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . I andre kvartal er cosinus negativ, så \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

For å finne ctg \alpha bruker vi formelen ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Vi kjenner de tilsvarende verdiene.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

Vi vil begynne studiet av trigonometri med den rette trekanten. La oss definere hva sinus og cosinus er, samt tangent og cotangens av en spiss vinkel. Dette er det grunnleggende om trigonometri.

La oss minne deg på det rett vinkel er en vinkel lik 90 grader. Med andre ord en halv dreiet vinkel.

Skarpt hjørne- mindre enn 90 grader.

Stump vinkel- større enn 90 grader. I forhold til en slik vinkling er ikke "stump" en fornærmelse, men et matematisk begrep :-)

La oss tegne en rettvinklet trekant. En rett vinkel er vanligvis betegnet med . Vær oppmerksom på at siden motsatt hjørnet er angitt med samme bokstav, bare liten. Dermed er siden motsatt vinkel A betegnet .

Vinkelen er angitt med den tilsvarende greske bokstaven.

Hypotenus av en rettvinklet trekant er siden motsatt den rette vinkelen.

Ben- sider som ligger motsatte spisse vinkler.

Benet som ligger motsatt vinkelen kalles motsatte(i forhold til vinkel). Det andre benet, som ligger på en av sidene av vinkelen, kalles ved siden av.

Sinus Den spisse vinkelen i en rettvinklet trekant er forholdet mellom motsatt side og hypotenusen:

Cosinus spiss vinkel i en rettvinklet trekant - forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen:

Tangent spiss vinkel i en rettvinklet trekant - forholdet mellom den motsatte siden og den tilstøtende:

En annen (tilsvarende) definisjon: tangenten til en spiss vinkel er forholdet mellom vinkelens sinus og cosinus:

Cotangens spiss vinkel i en rettvinklet trekant - forholdet mellom den tilstøtende siden og den motsatte (eller, som er det samme, forholdet mellom cosinus og sinus):

Legg merke til de grunnleggende forholdene for sinus, cosinus, tangens og cotangens nedenfor. De vil være nyttige for oss når vi løser problemer.

La oss bevise noen av dem.

Ok, vi har gitt definisjoner og skrevet ned formler. Men hvorfor trenger vi fortsatt sinus, cosinus, tangens og cotangens?

Vi vet det summen av vinklene til en hvilken som helst trekant er lik.

Vi kjenner forholdet mellom fester høyre trekant. Dette er Pythagoras teorem: .

Det viser seg at når du kjenner to vinkler i en trekant, kan du finne den tredje. Når du kjenner de to sidene av en rettvinklet trekant, kan du finne den tredje. Dette betyr at vinklene har sitt eget forhold, og sidene har sitt eget. Men hva skal du gjøre hvis du i en rettvinklet trekant kjenner én vinkel (unntatt den rette vinkelen) og én side, men du må finne de andre sidene?

Dette er hva folk møtte tidligere når de laget kart over området og stjernehimmelen. Det er tross alt ikke alltid mulig å måle alle sidene av en trekant direkte.

Sinus, cosinus og tangens – de kalles også trigonometriske vinkelfunksjoner- gi relasjoner mellom fester Og hjørner triangel. Når du kjenner vinkelen, kan du finne alle trigonometriske funksjoner ved hjelp av spesielle tabeller. Og når du kjenner sinus, cosinus og tangens til vinklene til en trekant og en av sidene, kan du finne resten.

Vi vil også tegne en tabell over verdiene for sinus, cosinus, tangens og cotangens for "gode" vinkler fra til.

Vær oppmerksom på de to røde strekene i tabellen. Ved passende vinkelverdier eksisterer ikke tangent og cotangens.

La oss se på flere trigonometriproblemer fra FIPI Task Bank.

1. I en trekant er vinkelen , . Finn .

Problemet er løst på fire sekunder.

Fordi det , .

2. I en trekant er vinkelen , , . Finn .

La oss finne det ved å bruke Pythagoras teorem.

Problemet er løst.

Ofte i oppgaver er det trekanter med vinkler og eller med vinkler og. Husk de grunnleggende forholdstallene for dem utenat!

For en trekant med vinkler og benet motsatt vinkelen på er lik halvparten av hypotenusen.

En trekant med vinkler og er likebenet. I den er hypotenusen ganger større enn beinet.

Vi så på problemer med å løse rette trekanter – det vil si å finne ukjente sider eller vinkler. Men det er ikke alt! Det er mange problemer i Unified State Examination i matematikk som involverer sinus, cosinus, tangens eller cotangens av en ytre vinkel i en trekant. Mer om dette i neste artikkel.