Илэрхийллийн утгыг хэрхэн олох вэ? Тоон илэрхийлэл.

Зорилго:илэрхийлэл зохиох, тэдгээрийн утгыг тооцоолох чадварыг сайжруулах; нарийн төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэх чадварыг үргэлжлүүлэн хөгжүүлэх; анхаарал, сэтгэх чадварыг хөгжүүлэх.

Хичээлийн үеэр

I. Зохион байгуулалтын мөч.

II. Амаар тоолох.

1. Математикийн диктант.

a) Тоо 8-аар буурч, бид 20 болсон. Энэ тоог нэрлэ.

б) Тоо 6-аар нэмэгдэж, бид 15 болсон. Энэ тоог нэрлэ.

в) Тоо 5 дахин нэмэгдвэл 30 болно. Энэ ямар тоо вэ?

г) Энэ тоог 4 дахин бууруулбал 8 болно. Энэ ямар тоо вэ?

2. Шүдэнзний геометр.

a) Зурагт хэдэн квадрат байна вэ? Өөр хэдэн олон өнцөгт вэ? Эдгээр олон өнцөгтүүд юу вэ?

б) 3 квадрат үлдэхийн тулд нэг саваа авч хая. Хэд хэдэн шийдлийг олж, тэдгээрийг харьцуул.

в) 4 квадрат үлдэхийн тулд нэг саваа авч хая. Хэд хэдэн шийдлийг олж, тэдгээрийг харьцуул.

d) 4 квадрат үлдэхийн тулд хоёр саваа авч хая.

3. Цаг дээр харуулсан цагийг харьцуул. Үүнтэй ижил дүрмийг ашиглан сүүлчийн цаг дээр гараа зур.

III. Хичээлийн сэдвийн мессеж.

IV. Хичээлийн сэдэв дээр ажиллах.

Даалгавар №5(х. 74).

Оюутнууд даалгаврыг уншина.

– Илэрхийлэл хэдэн хэсгээс бүрдэх вэ?

– Хамгийн сүүлд ямар арга хэмжээ авах вэ?

– Илэрхийлэлийг бичиж, утгыг нь тооцоол.

Даалгавар №6(х. 74).

- Текстийг унших. Тэр даалгавар мөн үү?

- Юу мэддэг вэ? Та юу мэдэх хэрэгтэй вэ?

– Асуудлын нөхцөлийг товч бичнэ үү.

Энэ нь 25 литр байсан. ба 14 л.

Ашигласан - 7 литр.

Зүүн -? л.

1) Хэдэн хуудас байсан бэ?

25 + 14 = 39 (л.).

2) Хэдэн хуудас үлдсэн бэ?

39 – 7 = 32 (л.).

Хариулт: 32 хуудас.

V. Хамгаалагдсан материалыг давтах.

1. Сурах бичгийн дагуу ажиллана.

Даалгавар №13(х. 75).

- Зургийг хар.

- Эдгээр тоонуудыг юу гэж нэрлэдэг вэ?

– Зургийн сүүдэртэй хэсгийн талбай хэд вэ?

– Шар зурагт хэдэн эс байгаа вэ? (28 нүд.)

– Цэнхэр зурагт хэдэн эс байгаа вэ? (24 нүд.)

– 1см2-т хэдэн эс үүсэх вэ? (4 нүд.)

– Энэ тохиолдолд талбайг хэрхэн тооцох вэ?

28: 4 = 7 (см 2).

24: 4 = 6 (см 2).

Даалгавар №14(х. 75).

Оюутнууд "машин" диаграммыг бүтээж, даалгаврын асуултуудад хариулна.

Даалгавар №15(х. 75).

Оюутнууд бие даан ажилладаг. Үе тэнгийн сорил хосоороо хийх.

2. Карт ашиглан ажиллах.

Даалгавар №1.

Илэрхийллийг бичиж, утгыг нь тооцоол.

a) 90-ийн тооноос 42 ба 8-ын нийлбэрийг хас.

б) 58 ба 50 тоонуудын зөрүүг 7-оор нэмэгдүүл.

в) 39-ийн тооноос 17 ба 8-ын тоонуудын зөрүүг хас.

d) 13 ба 7 тоонуудын нийлбэрийг 9-өөр багасга.

e) 38 тооноос 17 ба 9 тоонуудын зөрүүг хас.

е) 7 ба 6 тоонуудын нийлбэрийг 10-аар багасга.

g) 8 тоон дээр 75 ба 70 тоонуудын зөрүүг нэмнэ.

h) 13 ба 4 тоонуудын зөрүүг 20-оор нэмэгдүүлнэ.

Даалгавар №2.

Вааранд тавган дээрх шиг олон алим байв. Вааранд дахиад 5 алим хийсэн бөгөөд дотор нь 14 алим байв. Таваг болон вааранд хамтдаа хэдэн алим байгаа вэ? Асуудлыг шийдвэрлэх илэрхийлэл олж, утгыг нь тооцоол.

VI. Хичээлийн хураангуй.

- Хичээл дээр та ямар шинэ зүйл сурсан бэ?

– Бүх арифметик үйлдлийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг нэрлэ.

Гэрийн даалгавар:№ 139 (ажлын дэвтэр).

Хичээл 108

Булан. зөв өнцөг

Зорилго:оюутнуудад "өнцөг" гэсэн ойлголттой танилцах; зөв өнцгийн загварыг хэрхэн гүйцэтгэхийг заах; зургийн зөв ба шууд бус өнцгийг тодорхойлж сурах; тооцоолох чадварыг сайжруулах; анхаарал, нүдийг хөгжүүлэх.

Хэрэв тоон илэрхийлэл нь тоонууд болон +, −, · ба: тэмдгээс бүрдсэн бол зүүнээс баруун тийш дарааллаар та эхлээд үржүүлэх, хуваах, дараа нь нэмэх, хасах үйлдлийг хийх ёстой бөгөөд энэ нь танд олох боломжийг олгоно. илэрхийллийн хүссэн утга.

Тодорхой болгох үүднээс хэдэн жишээ хэлье.

Жишээ.

14−2·15:6−3 илэрхийллийн утгыг тооцоол.

Шийдэл.

Илэрхийллийн утгыг олохын тулд та эдгээр үйлдлийг гүйцэтгэх хүлээн зөвшөөрөгдсөн дарааллын дагуу түүнд заасан бүх үйлдлийг гүйцэтгэх хэрэгтэй. Нэгдүгээрт, зүүнээс баруун тийш дарааллаар бид үржүүлэх, хуваах ажлыг гүйцэтгэдэг 14−2·15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. Одоо бид үлдсэн үйлдлүүдийг зүүнээс баруун тийш дарааллаар гүйцэтгэнэ: 14−5−3=9−3=6. Ингээд бид анхны илэрхийллийн утгыг олсон бөгөөд энэ нь 6-тай тэнцүү байна.

Хариулт:

14−2·15:6−3=6.

Жишээ.

Илэрхийллийн утгыг ол.

Шийдэл.

Энэ жишээн дээр бид эхлээд 2·(−7)-ын үржвэр болон үржвэрийн хуваалтыг илэрхийлэлд хийх хэрэгтэй. Хэрхэн гэдгийг санаж, бид 2·(−7)=−14-ийг олно. Мөн эхлээд илэрхийлэл дэх үйлдлүүдийг гүйцэтгэх , дараа нь , мөн гүйцэтгэнэ: .

Бид олж авсан утгыг анхны илэрхийлэл болгон орлуулна: .

Харин язгуур тэмдгийн дор тоон илэрхийлэл байвал яах вэ? Ийм язгуурын утгыг олж авахын тулд эхлээд үйлдэл хийх хүлээн зөвшөөрөгдсөн дарааллыг дагаж радикал илэрхийллийн утгыг олох хэрэгтэй. Жишээлбэл, .

Тоон илэрхийлэлд үндсийг зарим тоо гэж ойлгох ёстой бөгөөд үндсийг нь нэн даруй утгаараа сольж, дараа нь хүлээн зөвшөөрөгдсөн дарааллаар үйлдлүүдийг хийж, үндэсгүй илэрхийллийн утгыг олохыг зөвлөж байна.

Жишээ.

Үндэстэй илэрхийллийн утгыг ол.

Шийдэл.

Эхлээд язгуурын утгыг олъё . Үүнийг хийхийн тулд эхлээд бид радикал илэрхийллийн утгыг тооцоолно −2·3−1+60:4=−6−1+15=8. Хоёрдугаарт, бид язгуурын утгыг олдог.

Одоо анхны илэрхийллээс хоёр дахь язгуурын утгыг тооцоод үзье: .

Эцэст нь язгуурыг утгаараа орлуулах замаар анхны илэрхийллийн утгыг олж болно: .

Хариулт:

Үндэстэй илэрхийллийн утгыг олохын тулд эхлээд үүнийг өөрчлөх шаардлагатай болдог. Жишээний шийдлийг харуулъя.

Жишээ.

Илэрхийлэл нь ямар утгатай вэ .

Шийдэл.

Бид гурвын язгуурыг яг тодорхой утгаар нь орлуулах боломжгүй байгаа нь дээр дурдсан аргаар энэ илэрхийллийн утгыг тооцоолох боломжийг бидэнд олгодоггүй. Гэхдээ бид энгийн хувиргалтуудыг хийснээр энэ илэрхийллийн утгыг тооцоолж болно. Хэрэглэх боломжтой квадрат зөрүүний томъёо: . Үүнийг харгалзан үзвэл бид авдаг . Тиймээс анхны илэрхийллийн утга нь 1 байна.

Хариулт:

.

Эрдмийн зэрэгтэй

Хэрэв суурь ба илтгэгч нь тоо бол тэдгээрийн утгыг зэрэг тодорхойлох замаар тооцоолно, жишээлбэл, 3 2 =3·3=9 эсвэл 8 −1 =1/8. Суурь ба/эсвэл экспонент нь зарим илэрхийлэл байдаг оруулгууд бас байдаг. Эдгээр тохиолдолд та суурь дахь илэрхийллийн утгыг, экспонент дахь илэрхийллийн утгыг олж, дараа нь градусын утгыг өөрөө тооцоолох хэрэгтэй.

Жишээ.

Маягтын эрх бүхий илэрхийллийн утгыг ол 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3.5−2·1/4.

Шийдэл.

Анхны илэрхийлэлд 2 3·4−10 ба (1−1/2) 3.5−2·1/4 гэсэн хоёр зэрэглэл байна. Бусад үйлдэл хийхээс өмнө тэдгээрийн утгыг тооцоолох шаардлагатай.

2 3·4−10 гэсэн хүчээр эхэлье. Түүний индикатор нь тоон илэрхийлэл агуулсан тул утгыг нь тооцоод үзье: 3·4−10=12−10=2. Одоо та градусын утгыг өөрөө олж болно: 2 3·4−10 =2 2 =4.

Суурь ба илтгэгч (1−1/2) 3.5−2 1/4 нь илтгэлцүүрийн утгыг олохын тулд тэдгээрийн утгыг тооцоолно. Бидэнд байгаа (1−1/2) 3.5−2 1/4 =(1/2) 3 =1/8.

Одоо бид анхны илэрхийлэл рүү буцаж очоод, түүний градусыг утгуудаар нь сольж, бидэнд хэрэгтэй илэрхийллийн утгыг олно. 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3.5−2·1/4 = 4+16·1/8=4+2=6.

Хариулт:

2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3.5−2·1/4 =6.

Урьдчилсан судалгаа хийхийг зөвлөж байгаа тохиолдол илүү түгээмэл байдаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй эрх мэдэл бүхий илэрхийлэлийг хялбарчлахсуурь дээр.

Жишээ.

Илэрхийллийн утгыг ол .

Шийдэл.

Энэ илэрхийлэл дэх илтгэгчээс харахад илтгэгчийн яг утгыг олж авах боломжгүй болно. Анхны илэрхийлэлийг хялбарчлахыг хичээцгээе, магадгүй энэ нь түүний утгыг олоход тусална. Бидэнд байгаа

Хариулт:

.

Илэрхийллийн хүч нь ихэвчлэн логарифмтай зэрэгцэн оршдог боловч бид логарифм бүхий илэрхийллийн утгыг аль нэгээр нь олох талаар ярих болно.

Бутархайтай илэрхийллийн утгыг олох

Тоон илэрхийлэл нь тэмдэглэгээнд бутархай байж болно. Иймэрхүү илэрхийллийн утгыг олох шаардлагатай үед бусад алхмуудыг үргэлжлүүлэхийн өмнө бутархайгаас бусад бутархайг утгаараа солих хэрэгтэй.

Бутархайн хуваагч ба хуваагч (энгийн бутархайгаас ялгаатай) нь зарим тоо болон илэрхийллийг агуулж болно. Ийм бутархайн утгыг тооцоолохын тулд та хуваагч дахь илэрхийллийн утгыг тооцоолж, хуваагч дахь илэрхийллийн утгыг тооцоолж, дараа нь бутархайн утгыг өөрөө тооцоолох хэрэгтэй. Энэ дарааллыг a, b нь зарим илэрхийлэл болох a/b хэсэг нь үндсэндээ (a):(b) хэлбэрийн хуваалтыг илэрхийлдэг тул тайлбарладаг.

Шийдлийн жишээг авч үзье.

Жишээ.

Бутархайтай илэрхийллийн утгыг ол .

Шийдэл.

Анхны тоон илэрхийлэлд гурван бутархай байна Мөн . Анхны илэрхийллийн утгыг олохын тулд бид эхлээд эдгээр бутархайг утгуудаар нь солих хэрэгтэй. Энийг хийцгээе.

Бутархайн хуваагч ба хуваагч нь тоонуудыг агуулна. Ийм бутархайн утгыг олохын тулд бутархайн хэсгийг хуваах тэмдгээр сольж, дараах үйлдлийг гүйцэтгэнэ. .

Бутархайн дугаарт 7−2·3 илэрхийлэл байгаа бөгөөд түүний утгыг олоход хялбар: 7−2·3=7−6=1. Ийнхүү, . Та гурав дахь бутархайн утгыг хайж олох боломжтой.

Тоолуур ба хуваагч дахь гурав дахь бутархай нь тоон илэрхийллийг агуулдаг тул та эхлээд тэдгээрийн утгыг тооцоолох хэрэгтэй бөгөөд энэ нь бутархайн утгыг өөрөө олох боломжийг танд олгоно. Бидэнд байгаа .

Олдсон утгыг анхны илэрхийлэл болгон орлуулж, үлдсэн үйлдлийг гүйцэтгэхэд л үлддэг: .

Хариулт:

.

Ихэнхдээ бутархай илэрхийллийн утгыг олохдоо та гүйцэтгэх хэрэгтэй бутархай илэрхийллийг хялбарчлах, бутархайтай үйлдэл хийх, бутархайг багасгахад үндэслэсэн.

Жишээ.

Илэрхийллийн утгыг ол .

Шийдэл.

Тавын үндсийг бүрэн задлах боломжгүй тул анхны илэрхийллийн утгыг олохын тулд эхлээд үүнийг хялбарчилж үзье. Үүний төлөө хуваагч дахь үндэслэлгүй байдлаас салцгааяэхний бутархай: . Үүний дараа анхны илэрхийлэл хэлбэрийг авна . Бутархайг хассаны дараа үндэс алга болох бөгөөд энэ нь бидэнд анх өгөгдсөн илэрхийллийн утгыг олох боломжийг олгоно: .

Хариулт:

.

Логарифмуудтай

Хэрэв тоон илэрхийлэл нь -г агуулж байгаа бөгөөд тэдгээрийг арилгах боломжтой бол бусад үйлдлийг хийхээс өмнө үүнийг хийдэг. Жишээ нь log 2 4+2·3 илэрхийллийн утгыг олохдоо log 2 4 логарифмыг 2 гэсэн утгаар нь сольж, үүний дараа үлдсэн үйлдлүүдийг ердийн дарааллаар гүйцэтгэнэ, өөрөөр хэлбэл log 2 4+2. ·3=2+2·3=2 +6=8.

Логарифмын тэмдгийн дор болон/эсвэл түүний суурь дээр тоон илэрхийлэл байгаа тохиолдолд тэдгээрийн утгыг эхлээд олж, дараа нь логарифмын утгыг тооцоолно. Жишээлбэл, хэлбэрийн логарифм бүхий илэрхийлэлийг авч үзье . Логарифмын суурь ба түүний тэмдгийн доор бид тэдгээрийн утгыг олно: . Одоо бид логарифмыг олсны дараа тооцооллыг хийж дуусгана: .

Хэрэв логарифмыг зөв тооцоолоогүй бол үүнийг ашиглан урьдчилан хялбаршуулна. Үүний зэрэгцээ та нийтлэл дэх материалыг сайн эзэмшсэн байх хэрэгтэй. логарифм илэрхийллийг хөрвүүлэх.

Жишээ.

Логарифм бүхий илэрхийллийн утгыг ол .

Шийдэл.

Бүртгэл 2 (лог 2 256) -ийг тооцоолж эхэлцгээе. 256=2 8 тул лог 2 256=8 байна. бүртгэл 2 (лог 2 256)=лог 2 8=лог 2 2 3 =3.

log 6 2 ба log 6 3 логарифмуудыг бүлэглэж болно. log 6 2+log 6 3 логарифмын нийлбэр нь лог 6 (2 3) үржвэрийн логарифмтай тэнцүү байна. бүртгэл 6 2+лог 6 3=лог 6 (2 3)=лог 6 6=1.

Одоо бутархайг харцгаая. Эхлэхийн тулд бид хуваагч дахь логарифмын суурийг энгийн бутархай хэлбэрээр 1/5 болгон дахин бичих бөгөөд үүний дараа бид логарифмын шинж чанарыг ашиглах бөгөөд энэ нь бутархайн утгыг олж авах боломжийг олгоно.
.

Үлдсэн зүйл бол олж авсан үр дүнг анхны илэрхийлэл болгон орлуулж, түүний утгыг олж дуусгах явдал юм.

Хариулт:

Тригонометрийн илэрхийллийн утгыг хэрхэн олох вэ?

Тоон илэрхийлэл нь эсвэл гэх мэтийг агуулж байвал бусад үйлдлийг хийхээс өмнө тэдгээрийн утгыг тооцоолно. Хэрэв тригонометрийн функцүүдийн тэмдгийн дор тоон илэрхийлэл байгаа бол эхлээд тэдгээрийн утгыг тооцоолж, дараа нь тригонометрийн функцүүдийн утгыг олно.

Жишээ.

Илэрхийллийн утгыг ол .

Шийдэл.

Нийтлэл рүүгээ эргэж харвал бид үүнийг олж авна ба cosπ=−1 . Бид эдгээр утгыг анхны илэрхийлэл болгон орлуулж, энэ нь хэлбэрийг авдаг . Үүний утгыг олохын тулд эхлээд экспонентацийг хийж, дараа нь тооцооллыг дуусгах хэрэгтэй: .

Хариулт:

.

Синус, косинус гэх мэт илэрхийллийн утгыг тооцоолох нь зүйтэй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. ихэвчлэн урьдчилж шаарддаг тригонометрийн илэрхийллийг хөрвүүлэх.

Жишээ.

Тригонометрийн илэрхийллийн утга хэд вэ .

Шийдэл.

-г ашиглан анхны илэрхийллийг хувиргацгаая, энэ тохиолдолд бидэнд давхар өнцгийн косинусын томъёо ба нийлбэр косинусын томъёо хэрэгтэй болно.

Бидний хийсэн өөрчлөлтүүд нь илэрхийллийн утгыг олоход тусалсан.

Хариулт:

.

Ерөнхий хэрэг

Ерөнхийдөө тоон илэрхийлэл нь үндэс, зэрэглэл, бутархай, зарим функц, хаалт зэргийг агуулж болно. Ийм илэрхийллийн утгыг олох нь дараах үйлдлүүдийг гүйцэтгэхээс бүрдэнэ.

• эхний үндэс, хүч, бутархай гэх мэт. тэдгээрийн үнэ цэнээр солигдсон,
• хаалтанд хийх дараагийн үйлдлүүд,
• мөн зүүнээс баруун тийш дарааллаар нь үлдсэн үйлдлүүдийг гүйцэтгэдэг - үржүүлэх, хуваах, дараа нь нэмэх, хасах.

Жагсаалтад орсон үйлдлүүдийг эцсийн үр дүнд хүрэх хүртэл гүйцэтгэнэ.

Жишээ.

Илэрхийллийн утгыг ол .

Шийдэл.

Энэ илэрхийллийн хэлбэр нь нэлээд төвөгтэй юм. Энэ илэрхийлэлд бид бутархай, үндэс, хүч, синус, логарифмуудыг хардаг. Түүний үнэ цэнийг хэрхэн олох вэ?

Бичлэгийг зүүнээс баруун тийш шилжүүлэхэд бид маягтын хэсэгхэн хэсгийг олж харлаа . Нарийн төвөгтэй бутархайтай ажиллахдаа тоологчийн утгыг тусад нь, хуваагчийг тусад нь тооцож, эцэст нь бутархайн утгыг олох хэрэгтэй гэдгийг бид мэднэ.

Тоолуур дээр бид хэлбэрийн үндэс байна . Үүний утгыг тодорхойлохын тулд эхлээд радикал илэрхийллийн утгыг тооцоолох хэрэгтэй . Энд синус бий. Бид илэрхийллийн утгыг тооцоолсны дараа л түүний утгыг олж чадна . Үүнийг бид хийж чадна: . Тэгээд хаанаас, хаанаас .

Хуваагч нь энгийн: .

Тиймээс, .

Энэ үр дүнг анхны илэрхийлэлд орлуулсны дараа энэ нь хэлбэрийг авна. Үр дүнгийн илэрхийлэл нь зэргийг агуулна. Үүний утгыг олохын тулд бид эхлээд индикаторын утгыг олох хэрэгтэй .

Тэгэхээр, .

Хариулт:

.

Хэрэв үндэс, хүч гэх мэт утгыг нарийн тооцоолох боломжгүй бол та зарим өөрчлөлтийг ашиглан тэдгээрийг арилгахыг оролдож, дараа нь заасан схемийн дагуу утгыг тооцоолохдоо буцаж очиж болно.

Илэрхийллийн утгыг тооцоолох оновчтой аргууд

Тоон илэрхийллийн утгыг тооцоолох нь тууштай байдал, нарийвчлал шаарддаг. Тиймээ, өмнөх догол мөрөнд дурдсан үйлдлүүдийн дарааллыг дагаж мөрдөх шаардлагатай боловч үүнийг сохроор, механикаар хийх шаардлагагүй. Үүгээр бид юу хэлэх гээд байна вэ гэхээр ихэнхдээ илэрхийллийн утгыг олох үйл явцыг оновчтой болгох боломжтой байдаг. Жишээлбэл, тоонуудтай үйлдлийн тодорхой шинж чанарууд нь илэрхийллийн утгыг олоход ихээхэн хурдасч, хялбаршуулдаг.

Жишээлбэл, үржүүлгийн энэ шинж чанарыг бид мэднэ: хэрэв бүтээгдэхүүн дэх хүчин зүйлсийн аль нэг нь тэгтэй тэнцүү бол бүтээгдэхүүний утга нь тэгтэй тэнцүү байна. Энэ өмчийг ашигласнаар бид илэрхийллийн утгыг шууд хэлж чадна 0·(2·3+893−3234:54·65−79·56·2.2)·(45·36−2·4+456:3·43) тэгтэй тэнцүү. Хэрэв бид үйлдлүүдийн стандарт дарааллыг дагаж мөрдвөл эхлээд хаалтанд байгаа төвөгтэй илэрхийллүүдийн утгыг тооцоолох хэрэгтэй бөгөөд энэ нь маш их цаг хугацаа шаардагдах бөгөөд үр дүн нь тэг хэвээр байх болно.

Мөн тэнцүү тоог хасах шинж чанарыг ашиглахад тохиромжтой: хэрэв та тооноос тэнцүү тоог хасвал үр дүн нь тэг болно. Энэ шинж чанарыг илүү өргөн хүрээнд авч үзэж болно: хоёр ижил тоон илэрхийллийн ялгаа нь тэг байна. Жишээлбэл, хаалтанд байгаа илэрхийллүүдийн утгыг тооцоолохгүйгээр та илэрхийллийн утгыг олох боломжтой. (54 6−12 47362:3)−(54 6−12 47362:3), энэ нь тэгтэй тэнцүү, учир нь анхны илэрхийлэл нь ижил илэрхийллийн зөрүү юм.

Identity хувиргалтууд нь илэрхийллийн утгыг оновчтой тооцоолоход тусална. Жишээлбэл, нэр томъёо, хүчин зүйлийг бүлэглэх нь ашигтай байж болох юм. 53·5+53·7−53·11+5 илэрхийллийн утгыг 53-р хүчин зүйлийг хаалтнаас авсны дараа олоход маш хялбар болно. 53·(5+7−11)+5=53·1+5=53+5=58. Шууд тооцоо хийхэд илүү урт хугацаа шаардагдана.

Энэ цэгийг дүгнэхийн тулд бутархайтай илэрхийллийн утгыг тооцоолох оновчтой аргад анхаарлаа хандуулъя - бутархайн тоо ба хуваагч дахь ижил хүчин зүйлүүд хүчингүй болно. Жишээлбэл, бутархайн хуваагч болон хуваагч дахь ижил илэрхийллийг багасгах 1/2-тэй тэнцүү утгыг нэн даруй олох боломжийг танд олгоно.

Хувьсагчтай илэрхийлэл ба үг хэллэгийн утгыг олох

Үсэг болон хувьсагчийн тодорхой өгөгдсөн утгуудын хувьд шууд утга илэрхийлэл ба хувьсагчтай илэрхийллийн утгыг олно. Өөрөөр хэлбэл, бид өгөгдсөн үсгийн утгуудын хувьд шууд утга илэрхийллийн утгыг олох, эсвэл сонгосон хувьсагчийн утгуудын хувьд хувьсагчтай илэрхийллийн утгыг олох тухай ярьж байна.

ДүрэмҮсгийн өгөгдсөн утгууд эсвэл хувьсагчийн сонгосон утгуудын хувьд үг хэллэг эсвэл хувьсагчтай илэрхийллийн утгыг олох нь дараах байдалтай байна: та үсэг эсвэл хувьсагчийн өгөгдсөн утгыг анхны илэрхийлэлд орлуулж, тооцоолох хэрэгтэй. үүссэн тоон илэрхийллийн утга нь хүссэн утга юм;

Жишээ.

0.5·x−y илэрхийллийн утгыг x=2.4, y=5 үед тооцоол.

Шийдэл.

Илэрхийллийн шаардлагатай утгыг олохын тулд та эхлээд хувьсагчийн өгөгдсөн утгыг анхны илэрхийлэлд орлуулж, дараа нь дараах алхмуудыг хийх хэрэгтэй: 0.5·2.4−5=1.2−5=−3.8.

Хариулт:

−3,8 .

Эцсийн тэмдэглэлийн хувьд заримдаа үсгүүд болон хувьсагчийн утгуудаас үл хамааран үгийн болон хувьсах илэрхийллүүд дээр хөрвүүлэлтийг хийх нь тэдний утгыг гаргах болно. Жишээлбэл, x+3−x илэрхийллийг хялбарчлах боломжтой бөгөөд үүний дараа 3 хэлбэрийг авна. Эндээс бид x+3−x илэрхийллийн утга нь x хувьсагчийн зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээнээс (APV) 3-тай тэнцүү байна гэж дүгнэж болно. Өөр нэг жишээ: илэрхийллийн утга нь x-ийн бүх эерэг утгуудын хувьд 1-тэй тэнцүү тул анхны илэрхийлэл дэх x хувьсагчийн зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээ нь эерэг тоонуудын багц бөгөөд энэ мужид тэгш байдал байна. барьдаг.

Ном зүй.

• Математик: сурах бичиг 5-р ангийн хувьд. Ерөнхий боловсрол байгууллагууд / N. Ya. Vilenkin, V. I. Jokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21-р хэвлэл, устгасан. - М.: Mnemosyne, 2007. - 280 х.: өвчтэй. ISBN 5-346-00699-0.
• Математик. 6-р анги: боловсролын. ерөнхий боловсролын хувьд байгууллагууд / [Н. Я Виленкин болон бусад]. - 22-р хэвлэл, Илч. - М.: Mnemosyne, 2008. - 288 х.: өвчтэй. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Алгебр:сурах бичиг 7-р ангийн хувьд. Ерөнхий боловсрол байгууллагууд / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; засварласан С.А.Теляковский. - 17 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2008. - 240 х. : өвчтэй. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Алгебр:сурах бичиг 8-р ангийн хувьд. Ерөнхий боловсрол байгууллагууд / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; засварласан С.А.Теляковский. - 16 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2008. - 271 х. : өвчтэй. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Алгебр: 9-р анги: боловсролын. ерөнхий боловсролын хувьд байгууллагууд / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; засварласан С.А.Теляковский. - 16 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2009. - 271 х. : өвчтэй. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Алгебрба шинжилгээний эхлэл: Proc. 10-11 ангийн хувьд. Ерөнхий боловсрол байгууллагууд / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, P. Dudnitsyn болон бусад; Эд. A. N. Kolmogorov - 14-р хэвлэл - М.: Боловсрол, 2004. - 384 х.: ISBN 5-09-013651-3.

... » Хай утга учир илэрхийллүүд. Бие даасан Ажил « Тоон илэрхийллүүд» Сонголт 2. C – 6. Маягтаар бичнэ тоон илэрхийллүүдхоёрын нийлбэр илэрхийллүүд 43 – 18 ба 34 + 29 ба олох утга учирэнэ илэрхийллүүд. Зохиох илэрхийлэл ...

Тоо, тэмдэг, хаалтаас бүрдэх, мөн утга агуулсан оруулга, тоон илэрхийлэл гэж нэрлэдэг.

Жишээлбэл, дараах оруулгууд:

• (100-32)/17,
• 2*4+7,
• 4*0.7 -3/5,
• 1/3 +5/7

тоон илэрхийлэл байх болно.Нэг тоо нь бас тоон илэрхийлэл байх болно гэдгийг ойлгох хэрэгтэй. Бидний жишээн дээр энэ нь 13 тоо юм.

Жишээлбэл, дараах оруулгууд

• 100 - *9,
• /32)343

тоон илэрхийлэл биш байх болно,Учир нь тэдгээр нь утгагүй бөгөөд зүгээр л тоо, тэмдгийн багц юм.

Тоон илэрхийллийн утга

Тоон илэрхийлэл дэх тэмдгүүд нь арифметик үйлдлийн тэмдгүүдийг агуулдаг тул тоон илэрхийллийн утгыг тооцоолж болно. Үүнийг хийхийн тулд та эдгээр алхмуудыг хийх ёстой.

Жишээлбэл,

(100-32)/17 = 4, өөрөөр хэлбэл (100-32)/17 илэрхийллийн хувьд энэ тоон илэрхийллийн утга нь 4 тоо байх болно.

2*4+7=15, 15-ын тоо нь 2*4+7 тоон илэрхийллийн утга болно.

Ихэнхдээ товч байхын тулд оруулгууд нь тоон илэрхийллийн бүрэн утгыг бичдэггүй, харин "тоон" гэсэн үгийг орхиж "илэрхийллийн утгыг" бичдэг.

Тоон тэгш байдал

Хэрэв хоёр тоон илэрхийллийг тэнцүү тэмдгээр бичсэн бол эдгээр илэрхийлэл нь тоон тэгшитгэлийг үүсгэдэг. Жишээлбэл, 2*4+7=15 илэрхийлэл нь тоон тэгшитгэл юм.

Дээр дурдсанчлан тоон илэрхийлэлд хаалт хэрэглэж болно. Та аль хэдийн мэдэж байгаачлан хаалт нь үйлдлийн дараалалд нөлөөлдөг.

Ерөнхийдөө бүх үйлдлийг хэд хэдэн үе шатанд хуваадаг.

• Эхний шатны үйлдлүүд: нэмэх, хасах.
• Хоёр дахь шатны үйлдлүүд: үржүүлэх, хуваах.
• Гурав дахь шатны үйлдлүүд нь квадрат болон шоо хэлбэртэй байна.

Тоон илэрхийллийн утгыг тооцоолох дүрэм

Тоон илэрхийллийн утгыг тооцоолохдоо дараах дүрмийг баримтлах хэрэгтэй.

• 1. Хэрэв илэрхийлэлд хаалт байхгүй бол та хамгийн дээд түвшнээс эхлэн үйлдлүүдийг хийх хэрэгтэй: гурав дахь шат, хоёр дахь шат, эхний шат. Хэрэв ижил үе шатанд хэд хэдэн үйлдэл байгаа бол тэдгээрийг бичсэн дарааллаар нь, өөрөөр хэлбэл зүүнээс баруун тийш гүйцэтгэдэг.
• 2. Хэрэв илэрхийлэлд хаалт байгаа бол эхлээд хаалтанд байгаа үйлдлүүд хийгдэх ба үүний дараа л бусад бүх үйлдлүүд ердийн дарааллаар хийгдэнэ. Хаалтанд хийсэн үйлдлүүдийг хийхдээ тэдгээрийн хэд хэдэн нь байвал 1-р зүйлд заасан дарааллыг ашиглана уу.
• 3. Хэрэв илэрхийлэл нь бутархай бол эхлээд тоологч ба хуваагч дахь утгуудыг тооцоолж, дараа нь хүртэгчийг хуваагчаар хуваана.
• 4. Хэрэв илэрхийлэлд үүрлэсэн хаалт байгаа бол дотоод хаалтнаас үйлдлийг гүйцэтгэнэ.

(34∙10+(489–296)∙8):4–410. Үйл ажиллагааны чиглэлийг тодорхойлох. Эхний үйлдлийг дотоод хаалтанд 489–296=193 хийнэ. Дараа нь 193∙8=1544, 34∙10=340-ийг үржүүлнэ. Дараагийн үйлдэл: 340+1544=1884. Дараа нь 1884:4=461-ийг хувааж, 461–410=60-ыг хасна. Та энэ илэрхийллийн утгыг олж мэдсэн.

Жишээ. 2sin 30º∙cos 30º∙tg 30º∙ctg 30º илэрхийллийн утгыг ол. Энэ илэрхийллийг хялбарчлах. Үүнийг хийхийн тулд tg α∙ctg α=1 томъёог ашиглана. Авах: 2sin 30º∙cos 30º∙1=2sin 30º∙cos 30º. Гэм 30º=1/2, cos 30º=√3/2 гэдгийг мэддэг. Иймд 2sin 30º∙cos 30º=2∙1/2∙√3/2=√3/2 байна. Та энэ илэрхийллийн утгыг олж мэдсэн.

-аас алгебр илэрхийллийн утга. Хувьсагчдаас өгөгдсөн алгебр илэрхийллийн утгыг олохын тулд илэрхийллийг хялбаршуулна. Хувьсагчдын хувьд тодорхой утгыг орлуулна уу. Шаардлагатай алхмуудыг гүйцээнэ үү. Үүний үр дүнд та тоо хүлээн авах бөгөөд энэ нь өгөгдсөн хувьсагчдын хувьд алгебр илэрхийллийн утга болно.

Жишээ. a=21, y=10 гэсэн 7(a+y)–3(2a+3y) илэрхийллийн утгыг ол. Энэ илэрхийлэлийг хялбарчлаад: a–2y. Хувьсагчдын харгалзах утгуудыг орлуулж тооцоолно уу: a–2y=21–2∙10=1. Энэ нь a=21, y=10 гэсэн 7(a+y)–3(2a+3y) илэрхийллийн утга юм.

тэмдэглэл

Хувьсагчийн зарим утгыг ойлгохгүй алгебрийн илэрхийлэл байдаг. Жишээлбэл, a=7 бол x/(7–a) илэрхийлэл утгагүй, учир нь энэ тохиолдолд бутархайн хуваагч тэг болно.

Эх сурвалжууд:

• илэрхийллийн хамгийн бага утгыг ол
• c 14-ийн илэрхийллүүдийн утгыг ол

Бодлого, янз бүрийн тэгшитгэлийг зөв, хурдан шийдвэрлэхийн тулд математикийн илэрхийлэлийг хялбаршуулж сурах нь ердөө л шаардлагатай юм. Илэрхийллийг хялбарчлах нь алхмуудын тоог багасгах явдал бөгөөд энэ нь тооцооллыг хялбарчилж, цаг хугацаа хэмнэдэг.

Зааварчилгаа

c-ийн хүчийг тооцоолж сурах. c-г үржүүлэхэд суурь нь ижил тоо гарч, илтгэгчийг b^m+b^n=b^(m+n) нэмнэ. Ижил сууриудтай хүчийг хуваахдаа суурь нь ижил хэвээр байгаа тооны хүчийг олж, зэрэглэлийн илтгэгчийг хасаж, ногдол ашгийн илтгэгчээс b^m хуваагчийн илтгэгчийг хасна. : b^n=b^(m-n). Нэг зэрэглэлийг өсгөхөд суурь нь ижил хэвээр байгаа тооны хүчийг олж, илтгэгчийг үржүүлнэ (b^m)^n=b^(mn) Нэг зэрэгт хүргэх үед хүчин зүйл бүрийг (abc)^m=a^m *b^m*c^m

Хүчин зүйлийн олон гишүүнт, i.e. тэдгээрийг хэд хэдэн хүчин зүйл болон мономиалуудын бүтээгдэхүүн гэж төсөөлөөд үз дээ. Нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гарга. Товчилсон үржүүлэх үндсэн томъёог сур: квадратын зөрүү, квадратын зөрүү, нийлбэр, шоо дөрвөлжингийн зөрүү, нийлбэрийн шоо ба зөрүү. Жишээлбэл, m^8+2*m^4*n^4+n^8=(m^4)^2+2*m^4*n^4+(n^4)^2. Эдгээр томьёо нь хялбаршуулах гол томьёо юм. ax^2+bx+c хэлбэрийн гурвалжинд төгс квадратыг тусгаарлах аргыг ашигла.

Бутархайг аль болох олон удаа товчил. Жишээлбэл, (2*a^2*b)/(a^2*b*c)=2/(a*c). Гэхдээ та зөвхөн үржүүлэгчийг багасгаж чадна гэдгийг санаарай. Алгебрийн бутархайн хуваагч ба хуваагчийг тэгээс өөр тоогоор үржүүлбэл бутархайн утга өөрчлөгдөхгүй. Та илэрхийллийг хоёр аргаар хөрвүүлж болно: гинжлэгдсэн болон үйлдлээр. Хоёрдахь арга нь илүү тохиромжтой, учир нь завсрын үйл ажиллагааны үр дүнг шалгах нь илүү хялбар байдаг.

Ихэнхдээ илэрхийлэлд үндэс гаргаж авах шаардлагатай байдаг. Тэр ч байтугай үндсийг зөвхөн сөрөг бус илэрхийлэл эсвэл тооноос гаргаж авдаг. Ямар ч илэрхийллээс сондгой үндсийг гаргаж авч болно.

Эх сурвалжууд:

• эрх мэдэл бүхий илэрхийллийг хялбарчлах

Тригонометрийн функцууд нь эхлээд тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгүүдийн утгуудын талуудын уртаас хамаарлыг хийсвэр математикийн тооцооллын хэрэгсэл болгон бий болгосон. Одоо тэдгээр нь хүний ​​​​үйл ажиллагааны шинжлэх ухаан, техникийн аль алинд нь маш өргөн хэрэглэгддэг. Өгөгдсөн аргументуудын тригонометрийн функцүүдийн практик тооцооллын хувьд та өөр өөр хэрэгслийг ашиглаж болно - хамгийн хүртээмжтэй хэд хэдэн хэрэгслийг доор тайлбарлав.

Зааварчилгаа

Жишээлбэл, үйлдлийн систем дээр анхдагчаар суулгасан тооцоолуур програмыг ашигла. Энэ нь "Бүх програмууд" хэсэгт байрлах "Стандарт" дэд хэсгээс "Хэрэгслүүд" хавтсаас "Тооцоолуур" гэсэн зүйлийг сонгосноор нээгдэнэ. Үйлдлийн үндсэн цэсний "Эхлүүлэх" товчийг дарснаар энэ хэсгийг нээж болно. Хэрэв та Windows 7-ийн хувилбарыг ашиглаж байгаа бол үндсэн цэсний "Програм ба файл хайх" талбарт "Тооцоолуур" гэж бичээд хайлтын үр дүнд харгалзах холбоос дээр дарна уу.

Шаардлагатай алхмуудын тоог тоолж, тэдгээрийг ямар дарааллаар гүйцэтгэх талаар бодож үзээрэй. Хэрэв энэ асуулт танд хэцүү байвал эхлээд хаалтанд оруулсан үйлдлүүд, дараа нь хуваах, үржүүлэх үйлдлүүд хийгдэнэ гэдгийг анхаарна уу; хасах үйлдлийг хамгийн сүүлд хийнэ. Гүйцэтгэсэн үйлдлийн алгоритмыг санахад хялбар болгохын тулд үйлдэл бүрийн дээрх илэрхийлэлд операторын тэмдэг (+,-,*,:), нимгэн харандаагаар үйлдлүүдийн гүйцэтгэлд тохирох тоог бичнэ үү.

Тогтсон дарааллыг дагаж эхний алхамыг үргэлжлүүлнэ үү. Үйлдлүүд нь амаар хийхэд хялбар байвал толгойдоо тоол. Тооцоолол хийх шаардлагатай бол (багананд) үйлдлийн серийн дугаарыг зааж, илэрхийллийн доор бичнэ үү.

Гүйцэтгэсэн үйлдлүүдийн дарааллыг нарийн хянах, юунаас юуг хасах, юунд хуваах гэх мэтийг үнэл. Энэ үе шатанд гаргасан алдаанаас болж илэрхийлэл дэх хариулт нь ихэвчлэн буруу байдаг.

Илэрхийллийн өвөрмөц шинж чанар нь математик үйлдлүүд байгаа явдал юм. Энэ нь тодорхой шинж тэмдгээр (үржүүлэх, хуваах, хасах эсвэл нэмэх) илэрхийлэгддэг. Шаардлагатай бол математикийн үйлдлүүдийг гүйцэтгэх дарааллыг хаалтаар засна. Математик үйлдлүүд хийнэ гэдэг нь олох гэсэн үг.

Юу нь илэрхийлэл биш юм

Математик тэмдэглэгээ бүрийг илэрхийлэл гэж ангилж болохгүй.

Тэгш байдал нь илэрхийлэл биш юм. Математик үйлдлүүд тэгш байдалд байгаа эсэх нь хамаагүй. Жишээлбэл, a=5 нь илэрхийлэл биш, тэгш байдал, гэхдээ 8+6*2=20 нь үржүүлгийг агуулсан боловч илэрхийлэл гэж үзэж болохгүй. Энэ жишээ нь мөн адил тэгш байдлын ангилалд хамаарна.

Илэрхийлэл ба тэгш байдлын тухай ойлголтууд нь бие биенээ үгүйсгэдэггүй; Тэнцүү тэмдэг нь хоёр илэрхийллийг холбодог:
5+7=24:2

Энэ тэгшитгэлийг хялбарчилж болно:
5+7=12

Илэрхийлэл нь түүний илэрхийлж буй математик үйлдлүүдийг гүйцэтгэх боломжтой гэж үргэлж үздэг. 9+:-7 нь илэрхийлэл биш, гэхдээ энд математик үйлдлүүдийн шинж тэмдэг байдаг, учир нь эдгээр үйлдлийг гүйцэтгэх боломжгүй юм.

Мөн албан ёсны илэрхийлэл боловч ямар ч утгагүй математикийн зүйлүүд байдаг. Ийм илэрхийллийн жишээ:
46:(5-2-3)

46 тоо нь хаалтанд байгаа үйлдлийн үр дүнд хуваагдах ёстой бөгөөд энэ нь тэгтэй тэнцүү байна. Та тэгээр хувааж болохгүй; үйлдлийг хориглосон гэж үзнэ.

Тоон ба алгебрийн илэрхийлэл

Хоёр төрлийн математик илэрхийлэл байдаг.

Хэрэв илэрхийлэл нь зөвхөн тоо, математик үйлдлүүдийн тэмдэгтүүдийг агуулж байвал ийм илэрхийллийг тоо гэж нэрлэдэг. Хэрэв илэрхийлэлд тоонуудын хамт үсгээр тэмдэглэгдсэн хувьсагч байдаг, эсвэл огт тоо байхгүй бол илэрхийлэл нь зөвхөн хувьсагч, математик үйлдлүүдийн тэмдэгтүүдээс бүрддэг бол үүнийг алгебрийн хэллэг гэнэ.

Тоон утга ба алгебрийн утгын үндсэн ялгаа нь тоон илэрхийлэл нь зөвхөн нэг утгатай байдагт оршино. Жишээлбэл, 56–2*3 тоон илэрхийллийн утга үргэлж 50-тай тэнцүү байх болно. Алгебр илэрхийлэл нь олон утгатай байж болно, учир нь дурын тоог орлуулж болно. Тэгэхээр b–7 илэрхийлэлд b-ийн оронд 9-ийг орлуулбал илэрхийллийн утга 2, 200 бол 193 болно.

Эх сурвалжууд:

• Тоон ба алгебрийн илэрхийлэл