Хоёр цэгээс шулуун шугамын тэгшитгэлийг тодорхойлох. Хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэл

K(x 0 ; y 0) цэгийг дайрч y = kx + a шулуунтай параллель шулууныг дараах томъёогоор олно.

y - y 0 = k(x - x 0) (1)

Энд k нь шугамын налуу юм.

Альтернатив томъёо:
M 1 (x 1 ; y 1) цэгийг дайрч, Ax+By+C=0 шулуунтай параллель шулууныг тэгшитгэлээр илэрхийлнэ.

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

Жишээ №2. 2x + 5y = 0 шулуунтай параллель шулууны тэгшитгэлийг бичээд координатын тэнхлэгүүдийн хамт талбай нь 5 хэмжээтэй гурвалжин үүсгэ.
Шийдэл . Шугамууд зэрэгцээ байгаа тул хүссэн шугамын тэгшитгэл нь 2x + 5y + C = 0. Тэгш өнцөгт гурвалжны талбай, энд a ба b нь түүний хөл юм. Хүссэн шугамын огтлолцох цэгүүдийг координатын тэнхлэгүүдтэй олъё.
;
.
Тэгэхээр A(-C/2,0), B(0,-C/5). Үүнийг талбайн томъёонд орлъё: . Бид 2х + 5у + 10 = 0 ба 2х + 5у - 10 = 0 гэсэн хоёр шийдлийг авдаг.

Жишээ №3. (-2; 5) цэгийг дайрч 5x-7y-4=0 шулуунтай параллель шулууны тэгшитгэлийг бич.
Шийдэл. Энэ шулуун шугамыг y = 5/7 x – 4/7 (энд a = 5/7) тэгшитгэлээр илэрхийлж болно. Хүссэн шугамын тэгшитгэл нь y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)), i.e. 7(y-5)=5(x+2) эсвэл 5x-7y+45=0 .

Жишээ № 4. 3-р жишээг (A=5, B=-7) (2) томъёогоор шийдсэний дараа бид 5(x+2)-7(y-5)=0-г олно.

Жишээ №5. 7х+10=0 шулуунтай параллель (-2;5) цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг бич.
Шийдэл. Энд A=7, B=0. Томъёо (2) нь 7(x+2)=0, өөрөөр хэлбэл. x+2=0. Энэ тэгшитгэлийг y-ийн хувьд шийдвэрлэх боломжгүй тул (1) томъёог ашиглах боломжгүй (энэ шулуун шугам нь ордны тэнхлэгтэй параллель байна).

Евклидийн геометрийн шулуун шугамын шинж чанарууд.

Ямар ч цэгээр хязгааргүй тооны шулуун шугам зурж болно.

Дурын хоёр давхцаагүй цэгээр нэг шулуун шугам зурж болно.

Хавтгайн хоёр зөрж буй шугам нь нэг цэг дээр огтлолцдог эсвэл огтлолцдог

зэрэгцээ (өмнөхөөс хойш).

Гурван хэмжээст орон зайд хоёр шугамын харьцангуй байрлалын гурван сонголт байдаг.

• шугамууд огтлолцдог;

• шугамууд зэрэгцээ байна;

• шулуун шугамууд огтлолцдог.

Чигээрээ шугам— нэгдүгээр эрэмбийн алгебрийн муруй: декартын координатын систем дэх шулуун шугам

хавтгайд нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэлээр (шугаман тэгшитгэл) өгөгдөнө.

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл.

Тодорхойлолт. Хавтгай дээрх дурын шулуун шугамыг нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлээр тодорхойлж болно

Ax + Wu + C = 0,

ба тогтмол А, Бнэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш байна. Энэ эхний эрэмбийн тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг ерөнхий

шулуун шугамын тэгшитгэл.Тогтмолуудын утгуудаас хамаарна А, БТэгээд ХАМТДараах онцгой тохиолдлууд боломжтой.

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- шулуун шугам эхийг дайран өнгөрдөг

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам Өө

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам OU

. B = C = 0, A ≠0- шулуун шугам нь тэнхлэгтэй давхцаж байна OU

. A = C = 0, B ≠0- шулуун шугам нь тэнхлэгтэй давхцаж байна Өө

Шулуун шугамын тэгшитгэлийг аливаа өгөгдсөн байдлаас хамааран янз бүрийн хэлбэрээр үзүүлж болно

анхны нөхцөл.

Нэг цэгээс шулуун шугамын тэгшитгэл ба хэвийн вектор.

Тодорхойлолт. Декартын тэгш өнцөгт координатын системд (A, B) бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй вектор.

тэгшитгэлээр өгөгдсөн шулуунтай перпендикуляр

Ax + Wu + C = 0.

Жишээ. Цэгээр дамжин өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг ол A(1, 2)векторт перпендикуляр (3, -1).

Шийдэл. A = 3 ба B = -1 байвал шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя: 3x - y + C = 0. С коэффициентийг олохын тулд

Үүссэн илэрхийлэлд өгөгдсөн А цэгийн координатыг орлуулъя: 3 - 2 + С = 0

C = -1. Нийт: шаардлагатай тэгшитгэл: 3x - y - 1 = 0.

Хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл.

Орон зайд хоёр цэг өгье M 1 (x 1 , y 1 , z 1)Тэгээд M2 (x 2, y 2, z 2),Дараа нь шугамын тэгшитгэл,

Эдгээр цэгүүдээр дамжин өнгөрөх:

Хэрэв хуваагчийн аль нэг нь тэг байвал харгалзах тоог тэгтэй тэнцүүлэх ёстой. Асаалттай

хавтгай, дээр бичсэн шулуун шугамын тэгшитгэлийг хялбаршуулсан:

Хэрэв x 1 ≠ x 2Тэгээд x = x 1, Хэрэв x 1 = x 2 .

Бутархай = кдуудсан налуу Чигээрээ.

Жишээ. A(1, 2) ба B(3, 4) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл. Дээр бичсэн томъёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг авна.

Цэг ба налууг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэл.

Хэрэв шугамын ерөнхий тэгшитгэл Ax + Wu + C = 0хүргэж байна:

болон томилох , дараа нь үүссэн тэгшитгэлийг дуудна

к налуутай шулуун шугамын тэгшитгэл.

Нэг цэгээс шулуун шугам ба чиглэлийн векторын тэгшитгэл.

Хэвийн вектороор дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг авч үзэх цэгтэй зүйрлэснээр та даалгаврыг оруулж болно

цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугам ба шулуун шугамын чиглүүлэх вектор.

Тодорхойлолт. Тэг биш вектор бүр (α 1 , α 2), бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь нөхцөлийг хангадаг

Aα 1 + Bα 2 = 0дуудсан шулуун шугамын чиглүүлэх вектор.

Ax + Wu + C = 0.

Жишээ. А(1, 2) цэгийг дайран өнгөрөх чиглэлийн вектор (1, -1) бүхий шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл. Бид хүссэн шугамын тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр хайх болно. Ax + By + C = 0.Тодорхойлолтын дагуу,

Коэффициент нь дараахь нөхцлийг хангасан байх ёстой.

1 * A + (-1) * B = 0, өөрөөр хэлбэл. A = B.

Дараа нь шулуун шугамын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна. Ax + Ay + C = 0,эсвэл x + y + C / A = 0.

цагт x = 1, y = 2бид авдаг C/A = -3, өөрөөр хэлбэл шаардлагатай тэгшитгэл:

x + y - 3 = 0

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл.

Хэрэв шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд Ах + Ву + С = 0 С≠0 байвал -С-д хуваавал бид дараахь зүйлийг авна.

эсвэл хаана

Коэффициентийн геометрийн утга нь a коэффициент нь огтлолцох цэгийн координат юм

тэнхлэгтэй шулуун Өө,А б- шугамын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координат OU.

Жишээ. Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг өгөв x - y + 1 = 0.Энэ шугамын тэгшитгэлийг сегментээр ол.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Шугамын хэвийн тэгшитгэл.

Хэрэв тэгшитгэлийн хоёр тал Ax + Wu + C = 0тоогоор хуваах гэж нэрлэдэг

хэвийн болгох хүчин зүйл, тэгвэл бид авна

xcosφ + ysinφ - p = 0 -шугамын хэвийн тэгшитгэл.

Хэвийн хүчин зүйлийн ± тэмдгийг сонгох ёстой μ*C< 0.

Р- эхлэлээс шулуун шугам хүртэл унасан перпендикулярын урт;

А φ - тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй энэ перпендикуляраас үүссэн өнцөг Өө.

Жишээ. Шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг өгөв 12x - 5y - 65 = 0. Төрөл бүрийн тэгшитгэл бичихэд шаардлагатай

энэ шулуун шугам.

сегмент дэх энэ шугамын тэгшитгэл:

Энэ шугамын налуутай тэгшитгэл: (5-д хуваах)

Шугамын тэгшитгэл:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Шулуун шугам бүрийг сегмент дэх тэгшитгэлээр төлөөлж болохгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй, жишээлбэл, шулуун шугамууд,

тэнхлэгүүдтэй параллель буюу эхийг дайран өнгөрөх.

Хавтгай дээрх шулуун шугамуудын хоорондох өнцөг.

Тодорхойлолт. Хэрэв хоёр мөр өгөгдсөн бол y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, дараа нь эдгээр шугамын хоорондох хурц өнцөг

гэж тодорхойлох болно

Хэрэв хоёр шугам зэрэгцээ байна k 1 = k 2. Хоёр шугам перпендикуляр байна

Хэрэв k 1 = -1/ k 2 .

Теорем.

Шууд Ax + Wu + C = 0Тэгээд A 1 x + B 1 y + C 1 = 0коэффициентүүд пропорциональ байх үед параллель

A 1 = λA, B 1 = λB. Хэрэв бас С 1 = λС, дараа нь шугамууд давхцана. Хоёр шугамын огтлолцох цэгийн координатууд

Эдгээр шугамын тэгшитгэлийн системийн шийдэл гэж олддог.

Өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл.

Тодорхойлолт. Нэг цэгээр дамжин өнгөрөх шугам М 1 (x 1, y 1)ба шугамд перпендикуляр y = kx + b

тэгшитгэлээр илэрхийлнэ:

Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай.

Теорем. Хэрэв оноо өгсөн бол M(x 0, y 0),дараа нь шулуун шугам хүртэлх зай Ax + Wu + C = 0гэж тодорхойлсон:

Баталгаа. Гол нь байя М 1 (x 1, y 1)- цэгээс унасан перпендикулярын суурь Мөгөгдсөн төлөө

шууд. Дараа нь цэгүүдийн хоорондох зай МТэгээд М 1:

(1)

Координатууд x 1Тэгээд 1 цагттэгшитгэлийн системийн шийдийг олж болно:

Системийн хоёр дахь тэгшитгэл нь өгөгдсөн M 0 цэгийг перпендикуляраар дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл юм.

шулуун шугам өгөгдсөн. Хэрэв бид системийн эхний тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт шилжүүлбэл:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

Дараа нь шийдэж, бид дараахь зүйлийг авна.

Эдгээр илэрхийллийг (1) тэгшитгэлд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олно.

Теорем нь батлагдсан.

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл:

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийн онцгой тохиолдлууд:

мөн хэрэв C= 0, тэгшитгэл (2) нь хэлбэртэй байна

Сүх + By = 0,

ба эхийн координатууд нь байх тул энэ тэгшитгэлээр тодорхойлсон шулуун шугам нь эхийг дайран өнгөрдөг x = 0, y= 0 нь энэ тэгшитгэлийг хангана.

b) Хэрэв шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд (2) Б= 0 бол тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна

Сүх + ХАМТ= 0, эсвэл .

Тэгшитгэлд хувьсагч байхгүй y, мөн энэ тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон шулуун шугам нь тэнхлэгтэй параллель байна Өө.

c) Хэрэв шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд (2) А= 0 бол энэ тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна

By + ХАМТ= 0, эсвэл ;

тэгшитгэл нь хувьсагч агуулаагүй x, мөн түүний тодорхойлсон шулуун нь тэнхлэгтэй параллель байна Үхэр.

Үүнийг санаж байх хэрэгтэй: хэрэв шулуун шугам нь зарим координатын тэнхлэгтэй параллель байвал түүний тэгшитгэлд энэ тэнхлэгтэй ижил нэртэй координат агуулсан нэр томъёо байхгүй болно.

г) Хэзээ C= 0 ба А= 0 тэгшитгэл (2) хэлбэрийг авна By= 0, эсвэл y = 0.

Энэ бол тэнхлэгийн тэгшитгэл юм Үхэр.

г) Хэзээ C= 0 ба Б= 0 тэгшитгэл (2) хэлбэрээр бичигдэнэ Сүх= 0 эсвэл x = 0.

Энэ бол тэнхлэгийн тэгшитгэл юм Өө.

Хавтгай дээрх шугамуудын харьцангуй байрлал. Хавтгай дээрх шулуун шугамуудын хоорондох өнцөг. Зэрэгцээ шугамын нөхцөл. Шугамын перпендикуляр байдлын нөхцөл.

l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

S 2 S 1 S 1 ба S 2 векторуудыг шугамын чиглүүлэгч гэж нэрлэдэг.

l 1 ба l 2 шулуун шугамуудын хоорондох өнцгийг чиглэлийн векторуудын хоорондох өнцгөөр тодорхойлно.
Теорем 1: l 1 ба l 2 хоорондох өнцгийн cos = cos(l 1 ; l 2) =

Теорем 2: 2 мөр тэнцүү байхын тулд шаардлагатай бөгөөд хангалттай:

Теорем 3: 2 шулуун шугам перпендикуляр байхын тулд шаардлагатай бөгөөд хангалттай:

L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

Хавтгайн ерөнхий тэгшитгэл ба түүний онцгой тохиолдлууд. Сегмент дэх хавтгайн тэгшитгэл.

Ерөнхий хавтгай тэгшитгэл:

Ax + By + Cz + D = 0

Онцгой тохиолдлууд:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 – хавтгай эхийг дайран өнгөрнө

2. С=0 Ax+By+D = 0 – хавтгай || О.З

3. B=0 Ax+Cz+d = 0 – хавтгай || Өө

4. A=0 By+Cz+D = 0 – хавтгай || ҮХЭР

5. A=0 ба D=0 By+Cz = 0 – онгоц OX-ээр дамжин өнгөрнө

6. B=0 ба D=0 Ax+Cz = 0 – онгоц OY-ээр дамжин өнгөрнө

7. C=0 ба D=0 Ax+By = 0 – онгоц OZ-аар дамжин өнгөрнө

Орон зай дахь хавтгай ба шулуун шугамуудын харьцангуй байрлал:

1. Орон зайн шулуун шугамуудын хоорондох өнцөг нь тэдгээрийн чиглэлийн векторуудын хоорондох өнцөг юм.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(S 1 ; S 2) = =

2. Хавтгайнуудын хоорондох өнцгийг тэдгээрийн хэвийн векторуудын хоорондох өнцгөөр тодорхойлно.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(N 1 ; N 2) = =

3. Шугамын чиглэлийн вектор ба хавтгайн хэвийн векторын хоорондох өнцгийн нүгэлээр дамжуулан шулуун ба хавтгай хоорондын өнцгийн косинусыг олж болно.

4. 2 шулуун || сансарт тэдний || вектор хөтөч

5. 2 онгоц || хэзээ || хэвийн векторууд

6. Шулуун ба хавтгайн перпендикуляр байдлын тухай ойлголтыг ижил төстэй байдлаар оруулсан болно.

Асуулт №14

Хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэлийн янз бүрийн хэлбэр (сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл, өнцгийн коэффициент гэх мэт)

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл:
Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд дараахь зүйлийг хийцгээе.

1. C = 0 Ах + Ву = 0 – шулуун шугам эхийг дайран өнгөрнө.

2. a = 0 Vu + C = 0 y =

3. b = 0 Ax + C = 0 x =

4. b=C=0 Ax = 0 x = 0

5. a=C=0 Ву = 0 у = 0

Налуутай шулуун шугамын тэгшитгэл:

Оп-амп тэнхлэгтэй тэнцүү биш аливаа шулуун шугамыг (B биш = 0) дараагийн мөрөнд бичиж болно. хэлбэр:

k = tanα α – шулуун ба эерэг чиглэлтэй OX шугамын хоорондох өнцөг

b – op-amp-ийн тэнхлэгтэй шулуун шугамын огтлолцох цэг

Баримт бичиг:

Ax+By+C = 0

Wu= -Ah-S |:B

Хоёр цэг дээр суурилсан шулуун шугамын тэгшитгэл:

Асуулт №16

Нэг цэг дэх функцийн хязгаарлагдмал хязгаар ба x→∞

Төгсгөлийн хязгаар x0:

Хэрэв ямар нэгэн E > 0-ийн хувьд b > 0 байвал x ≠x 0-ийн хувьд |x – x 0 | тэгш бус байдлыг хангахуйц b > 0 байвал x→x 0-ийн хувьд А тоог y = f(x) функцийн хязгаар гэнэ.< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

Хязгаарыг дараах байдлаар илэрхийлнэ: = A

+∞ цэг дээрх төгсгөлийн хязгаар:

А тоог x-ийн y = f(x) функцийн хязгаар гэнэ → + ∞ , хэрэв ямар нэг E > 0-ийн хувьд C > 0 байгаа бол x > C-ийн хувьд |f(x) - A|< Е

Хязгаарыг дараах байдлаар илэрхийлнэ: = A

-∞ цэг дээрх төгсгөлийн хязгаар:

А тоог y = f(x) функцийн хязгаар гэнэ x→-∞,хэрэв ямар нэг E< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

Евклидийн геометрийн шулуун шугамын шинж чанарууд.

Ямар ч цэгээр хязгааргүй тооны шулуун шугам зурж болно.

Дурын хоёр давхцаагүй цэгээр нэг шулуун шугам зурж болно.

Хавтгайн хоёр зөрж буй шугам нь нэг цэг дээр огтлолцдог эсвэл огтлолцдог

зэрэгцээ (өмнөхөөс хойш).

Гурван хэмжээст орон зайд хоёр шугамын харьцангуй байрлалын гурван сонголт байдаг.

• шугамууд огтлолцдог;

• шугамууд зэрэгцээ байна;

• шулуун шугамууд огтлолцдог.

Чигээрээ шугам— нэгдүгээр эрэмбийн алгебрийн муруй: декартын координатын систем дэх шулуун шугам

хавтгайд нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэлээр (шугаман тэгшитгэл) өгөгдөнө.

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл.

Тодорхойлолт. Хавтгай дээрх дурын шулуун шугамыг нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлээр тодорхойлж болно

Ax + Wu + C = 0,

ба тогтмол А, Бнэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш байна. Энэ эхний эрэмбийн тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг ерөнхий

шулуун шугамын тэгшитгэл.Тогтмолуудын утгуудаас хамаарна А, БТэгээд ХАМТДараах онцгой тохиолдлууд боломжтой.

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- шулуун шугам эхийг дайран өнгөрдөг

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам Өө

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам OU

. B = C = 0, A ≠0- шулуун шугам нь тэнхлэгтэй давхцаж байна OU

. A = C = 0, B ≠0- шулуун шугам нь тэнхлэгтэй давхцаж байна Өө

Шулуун шугамын тэгшитгэлийг аливаа өгөгдсөн байдлаас хамааран янз бүрийн хэлбэрээр үзүүлж болно

анхны нөхцөл.

Нэг цэгээс шулуун шугамын тэгшитгэл ба хэвийн вектор.

Тодорхойлолт. Декартын тэгш өнцөгт координатын системд (A, B) бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй вектор.

тэгшитгэлээр өгөгдсөн шулуунтай перпендикуляр

Ax + Wu + C = 0.

Жишээ. Цэгээр дамжин өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг ол A(1, 2)векторт перпендикуляр (3, -1).

Шийдэл. A = 3 ба B = -1 байвал шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя: 3x - y + C = 0. С коэффициентийг олохын тулд

Үүссэн илэрхийлэлд өгөгдсөн А цэгийн координатыг орлуулъя: 3 - 2 + С = 0

C = -1. Нийт: шаардлагатай тэгшитгэл: 3x - y - 1 = 0.

Хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл.

Орон зайд хоёр цэг өгье M 1 (x 1 , y 1 , z 1)Тэгээд M2 (x 2, y 2, z 2),Дараа нь шугамын тэгшитгэл,

Эдгээр цэгүүдээр дамжин өнгөрөх:

Хэрэв хуваагчийн аль нэг нь тэг байвал харгалзах тоог тэгтэй тэнцүүлэх ёстой. Асаалттай

хавтгай, дээр бичсэн шулуун шугамын тэгшитгэлийг хялбаршуулсан:

Хэрэв x 1 ≠ x 2Тэгээд x = x 1, Хэрэв x 1 = x 2 .

Бутархай = кдуудсан налуу Чигээрээ.

Жишээ. A(1, 2) ба B(3, 4) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл. Дээр бичсэн томъёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг авна.

Цэг ба налууг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэл.

Хэрэв шугамын ерөнхий тэгшитгэл Ax + Wu + C = 0хүргэж байна:

болон томилох , дараа нь үүссэн тэгшитгэлийг дуудна

к налуутай шулуун шугамын тэгшитгэл.

Нэг цэгээс шулуун шугам ба чиглэлийн векторын тэгшитгэл.

Хэвийн вектороор дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг авч үзэх цэгтэй зүйрлэснээр та даалгаврыг оруулж болно

цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугам ба шулуун шугамын чиглүүлэх вектор.

Тодорхойлолт. Тэг биш вектор бүр (α 1 , α 2), бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь нөхцөлийг хангадаг

Aα 1 + Bα 2 = 0дуудсан шулуун шугамын чиглүүлэх вектор.

Ax + Wu + C = 0.

Жишээ. А(1, 2) цэгийг дайран өнгөрөх чиглэлийн вектор (1, -1) бүхий шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл. Бид хүссэн шугамын тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр хайх болно. Ax + By + C = 0.Тодорхойлолтын дагуу,

Коэффициент нь дараахь нөхцлийг хангасан байх ёстой.

1 * A + (-1) * B = 0, өөрөөр хэлбэл. A = B.

Дараа нь шулуун шугамын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна. Ax + Ay + C = 0,эсвэл x + y + C / A = 0.

цагт x = 1, y = 2бид авдаг C/A = -3, өөрөөр хэлбэл шаардлагатай тэгшитгэл:

x + y - 3 = 0

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл.

Хэрэв шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд Ах + Ву + С = 0 С≠0 байвал -С-д хуваавал бид дараахь зүйлийг авна.

эсвэл хаана

Коэффициентийн геометрийн утга нь a коэффициент нь огтлолцох цэгийн координат юм

тэнхлэгтэй шулуун Өө,А б- шугамын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координат OU.

Жишээ. Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг өгөв x - y + 1 = 0.Энэ шугамын тэгшитгэлийг сегментээр ол.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Шугамын хэвийн тэгшитгэл.

Хэрэв тэгшитгэлийн хоёр тал Ax + Wu + C = 0тоогоор хуваах гэж нэрлэдэг

хэвийн болгох хүчин зүйл, тэгвэл бид авна

xcosφ + ysinφ - p = 0 -шугамын хэвийн тэгшитгэл.

Хэвийн хүчин зүйлийн ± тэмдгийг сонгох ёстой μ*C< 0.

Р- эхлэлээс шулуун шугам хүртэл унасан перпендикулярын урт;

А φ - тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй энэ перпендикуляраас үүссэн өнцөг Өө.

Жишээ. Шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг өгөв 12x - 5y - 65 = 0. Төрөл бүрийн тэгшитгэл бичихэд шаардлагатай

энэ шулуун шугам.

сегмент дэх энэ шугамын тэгшитгэл:

Энэ шугамын налуутай тэгшитгэл: (5-д хуваах)

Шугамын тэгшитгэл:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Шулуун шугам бүрийг сегмент дэх тэгшитгэлээр төлөөлж болохгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй, жишээлбэл, шулуун шугамууд,

тэнхлэгүүдтэй параллель буюу эхийг дайран өнгөрөх.

Хавтгай дээрх шулуун шугамуудын хоорондох өнцөг.

Тодорхойлолт. Хэрэв хоёр мөр өгөгдсөн бол y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, дараа нь эдгээр шугамын хоорондох хурц өнцөг

гэж тодорхойлох болно

Хэрэв хоёр шугам зэрэгцээ байна k 1 = k 2. Хоёр шугам перпендикуляр байна

Хэрэв k 1 = -1/ k 2 .

Теорем.

Шууд Ax + Wu + C = 0Тэгээд A 1 x + B 1 y + C 1 = 0коэффициентүүд пропорциональ байх үед параллель

A 1 = λA, B 1 = λB. Хэрэв бас С 1 = λС, дараа нь шугамууд давхцана. Хоёр шугамын огтлолцох цэгийн координатууд

Эдгээр шугамын тэгшитгэлийн системийн шийдэл гэж олддог.

Өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл.

Тодорхойлолт. Нэг цэгээр дамжин өнгөрөх шугам М 1 (x 1, y 1)ба шугамд перпендикуляр y = kx + b

тэгшитгэлээр илэрхийлнэ:

Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай.

Теорем. Хэрэв оноо өгсөн бол M(x 0, y 0),дараа нь шулуун шугам хүртэлх зай Ax + Wu + C = 0гэж тодорхойлсон:

Баталгаа. Гол нь байя М 1 (x 1, y 1)- цэгээс унасан перпендикулярын суурь Мөгөгдсөн төлөө

шууд. Дараа нь цэгүүдийн хоорондох зай МТэгээд М 1:

(1)

Координатууд x 1Тэгээд 1 цагттэгшитгэлийн системийн шийдийг олж болно:

Системийн хоёр дахь тэгшитгэл нь өгөгдсөн M 0 цэгийг перпендикуляраар дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл юм.

шулуун шугам өгөгдсөн. Хэрэв бид системийн эхний тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт шилжүүлбэл:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

Дараа нь шийдэж, бид дараахь зүйлийг авна.

Эдгээр илэрхийллийг (1) тэгшитгэлд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олно.

Теорем нь батлагдсан.

Энэ өгүүлэл нь хавтгай дээр байрлах тэгш өнцөгт координатын системийн өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийн гарал үүслийг илчилнэ. Тэгш өнцөгт координатын системийн өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг гаргая. Бид хамрагдсан материалтай холбоотой хэд хэдэн жишээг тодорхой харуулж, шийдвэрлэх болно.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг олж авахын өмнө зарим баримтыг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Хавтгай дээрх хоёр зөрөөтэй цэгээр дамжуулан зөвхөн нэг шулуун шугам татах боломжтой гэсэн аксиом байдаг. Өөрөөр хэлбэл, хавтгай дээрх хоёр өгөгдсөн цэгийг эдгээр цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамаар тодорхойлно.

Хэрэв хавтгай нь тэгш өнцөгт координатын Oxy системээр тодорхойлогддог бол түүн дээр дүрслэгдсэн аливаа шулуун шугам нь хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэлтэй тохирно. Шулуун шугамын чиглүүлэгч вектортой мөн холболт бий.

Үүнтэй төстэй асуудлыг шийдэх жишээг авч үзье. Декартын координатын системд байрлах M 1 (x 1, y 1) ба M 2 (x 2, y 2) хоёр салангид цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг бий болгох шаардлагатай.

x - x 1 a x = y - y 1 a y хэлбэртэй хавтгай дээрх шулууны каноник тэгшитгэлд тэгш өнцөгт координатын систем O x y нь координат M 1 (x) цэгт түүнтэй огтлолцох шугамаар тодорхойлогддог. 1, y 1) чиглүүлэгч вектортой a → = (a x , a y) .

M 1 (x 1, y 1) ба M 2 (x 2, y 2) координаттай хоёр цэгийг дайран өнгөрөх a шулуун шугамын каноник тэгшитгэлийг бий болгох шаардлагатай.

Шулуун a нь M 1 ба M 2 цэгүүдийг огтолж байгаа тул координаттай (x 2 - x 1, y 2 - y 1) M 1 M 2 → чиглэлийн вектортой байна. M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) чиглэлийн векторын координат ба тэдгээр дээр байрлах M 1 цэгүүдийн координат бүхий каноник тэгшитгэлийг хувиргахын тулд бид шаардлагатай өгөгдлийг олж авсан. (x 1, y 1) ба M 2 (x 2 , y 2) . Бид x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 эсвэл x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 хэлбэрийн тэгшитгэлийг олж авна.

Доорх зургийг анхаарч үзээрэй.

Тооцооллын дараа бид M 1 (x 1, y 1) ба M 2 (x 2, y 2) координаттай хоёр цэгийг дайран өнгөрөх хавтгай дээрх шугамын параметрийн тэгшитгэлийг бичнэ. Бид x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ эсвэл x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ хэлбэрийн тэгшитгэлийг олж авна. y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .

Хэд хэдэн жишээг шийдвэрлэх талаар нарийвчлан авч үзье.

Жишээ 1

М 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6 координаттай өгөгдсөн 2 цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл

x 1, y 1 ба x 2, y 2 координаттай хоёр цэгт огтлолцох шулууны каноник тэгшитгэл нь x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 хэлбэртэй байна. Бодлогын нөхцлийн дагуу бид x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6 байна. Тоон утгыг x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 тэгшитгэлд орлуулах шаардлагатай. Эндээс бид каноник тэгшитгэл нь x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 хэлбэртэй болохыг олж мэднэ.

Хариулт: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Хэрэв та өөр төрлийн тэгшитгэлтэй асуудлыг шийдэх шаардлагатай бол эхлээд каноник руу очиж болно, учир нь үүнээс өөр тэгшитгэл рүү шилжих нь илүү хялбар байдаг.

Жишээ 2

O xy координатын системийн M 1 (1, 1) ба M 2 (4, 2) координаттай цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг зохио.

Шийдэл

Эхлээд та өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх өгөгдсөн шугамын каноник тэгшитгэлийг бичих хэрэгтэй. Бид x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 хэлбэрийн тэгшитгэлийг авна.

Каноник тэгшитгэлийг хүссэн хэлбэрт аваачъя, тэгвэл бид дараахь зүйлийг авна.

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 у - 1 ⇔ x - 3 у + 2 = 0

Хариулт: x - 3 y + 2 = 0.

Ийм даалгаврын жишээг алгебрийн хичээлийн үеэр сургуулийн сурах бичигт авч үзсэн. Сургуулийн асуудлууд нь y = k x + b хэлбэртэй өнцгийн коэффициент бүхий шулуун шугамын тэгшитгэлийг мэддэг байснаараа ялгаатай байв. Хэрэв та y = k x + b тэгшитгэл нь M 1 (x 1, y 1) ба M 2 () цэгүүдийг дайран өнгөрөх O x y системийн шугамыг тодорхойлох k налуугийн утгыг болон b тоог олох шаардлагатай бол. x 2, y 2) , энд x 1 ≠ x 2. x 1 = x 2 үед , дараа нь өнцгийн коэффициент нь хязгааргүй байдлын утгыг авах ба шулуун шугам M 1 M 2 нь x - x 1 = 0 хэлбэрийн ерөнхий бүрэн бус тэгшитгэлээр тодорхойлогддог. .

Учир нь оноо М 1Тэгээд М 2шулуун шугам дээр байгаа бол тэдгээрийн координатууд нь y 1 = k x 1 + b ба y 2 = k x 2 + b тэгшитгэлийг хангана. k ба b-ийн хувьд y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b тэгшитгэлийн системийг шийдэх шаардлагатай.

Үүнийг хийхийн тулд бид k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 эсвэл k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = -г олно. y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

k ба b-ийн эдгээр утгуудын хувьд өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл нь у = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x болно. 1 эсвэл y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Ийм олон тооны томьёог нэг дор цээжлэх боломжгүй юм. Үүнийг хийхийн тулд асуудлыг шийдвэрлэхэд давталтын тоог нэмэгдүүлэх шаардлагатай.

Жишээ 3

M 2 (2, 1) ба у = k x + b координаттай цэгүүдийг дайран өнгөрөх өнцгийн коэффициент бүхий шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл

Асуудлыг шийдэхийн тулд бид y = k x + b хэлбэрийн өнцгийн коэффициент бүхий томъёог ашигладаг. k ба b коэффициентүүд нь энэ тэгшитгэл нь M 1 (- 7, - 5) ба M 2 (2, 1) координаттай хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамтай тохирч байх ёстой.

Оноо М 1Тэгээд М 2шулуун шугам дээр байрладаг бол тэдгээрийн координатууд нь y = k x + b тэгшитгэлийг жинхэнэ тэгшитгэл болгох ёстой. Эндээс бид үүнийг олж авна - 5 = k · (- 7) + b ба 1 = k · 2 + b. - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b системд тэгшитгэлийг нэгтгэж шийдье.

Орлуулах үед бид үүнийг олж авдаг

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Одоо k = 2 3 ба b = - 1 3 утгуудыг y = k x + b тэгшитгэлд орлуулж байна. Өгөгдсөн цэгүүдийг дайран өнгөрөх шаардлагатай тэгшитгэл нь y = 2 3 x - 1 3 хэлбэрийн тэгшитгэл байх болно гэдгийг бид олж мэдэв.

Энэхүү шийдлийн арга нь маш их цаг хугацаа алдахыг урьдчилан тодорхойлдог. Даалгаврыг шууд утгаараа хоёр үе шаттайгаар шийддэг арга байдаг.

X - (- 7) 2 - (- 7) = у - (- 5) хэлбэртэй M 2 (2, 1) ба M 1 (- 7, - 5) -ийг дайран өнгөрөх шулууны каноник тэгшитгэлийг бичье. ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Одоо налуугийн тэгшитгэл рүү шилжье. Бид үүнийг олж авна: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.

Хариулт: y = 2 3 x - 1 3 .

Гурван хэмжээст орон зайд M 1 (x 1, y 1, z 1) ба M 2 (x 2, y 2, z 2) координатуудтай давхцахгүй өгөгдсөн хоёр цэг бүхий тэгш өнцөгт координатын систем O x y z байвал M шулуун шугамыг тэдгээрийн дундуур 1 M 2-ээр дамжуулж, энэ шугамын тэгшитгэлийг олж авах шаардлагатай.

Бидэнд x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z хэлбэрийн каноник тэгшитгэлүүд ба x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z хэлбэрийн параметрт тэгшитгэлүүд байна. 1 + a z · λ нь a → = (a x, a y, a z) чиглэлийн вектор бүхий координаттай (x 1, y 1, z 1) цэгүүдээр дамжин өнгөрөх O x y z координатын систем дэх шугамыг тодорхойлох боломжтой.

Шулуун М 1 М 2 нь M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) хэлбэрийн чиглэлийн вектортой бөгөөд шулуун шугам нь M 1 (x 1, y 1,) цэгээр дамждаг. z 1) ба M 2 (x 2 , y 2 , z 2), иймээс каноник тэгшитгэл нь x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 хэлбэртэй байж болно. z 2 - z 1 эсвэл x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, эргээд параметрийн x = x 1 + (x 2 - x 1) ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ эсвэл x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2) - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .

Орон зайд өгөгдсөн 2 цэг болон шулуун шугамын тэгшитгэлийг харуулсан зургийг авч үзье.

Жишээ 4

М 1 (2, - 3, 0) ба M 2 (1, - 3, - 5) координаттай өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран гурван хэмжээст орон зайн тэгш өнцөгт координатын O x y z системд тодорхойлсон шулууны тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл

Энэ нь каноник тэгшитгэлийг олох шаардлагатай. Нэгэнт гурван хэмжээст орон зайн тухай ярьж байгаа тул өгөгдсөн цэгүүдийг дайран өнгөрөх үед хүссэн каноник тэгшитгэл нь x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z хэлбэртэй болно гэсэн үг юм. - z 1 z 2 - z 1.

Нөхцөлөөр бид x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5 байна. Үүнээс үзэхэд шаардлагатай тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичнэ.

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Хариулт: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу