MS EXCEL-д дундаж утгыг (варианц нь мэдэгдэж байна) тооцох итгэлийн интервал. Давтамж ба пропорцын итгэлцлийн интервалууд
"Катрен-Стиль" нь Константин Кравчикийн эмнэлгийн статистикийн цувралыг үргэлжлүүлэн хэвлүүлсээр байна. Өмнөх хоёр өгүүлэлдээ зохиогч болон гэх мэт ойлголтуудын тайлбарыг авч үзсэн.
Константин Кравчик
Математикч-аналитикч. Анагаах ухаан, хүмүүнлэгийн салбарын статистик судалгааны мэргэжилтэн
Москва хот
Эмнэлзүйн судалгааны талаархи нийтлэлүүдээс та "итгэлийн интервал" (95 % CI эсвэл 95 % CI - итгэлийн интервал) гэсэн нууцлаг хэллэгийг олж болно. Жишээлбэл, нийтлэлд: "Ялгааны ач холбогдлыг үнэлэхийн тулд Оюутны t-тестийг 95 % итгэх интервалыг тооцоолоход ашигласан" гэж бичиж болно.
“95 % итгэлийн интервал” ямар утгатай вэ, яагаад үүнийг тооцоолох хэрэгтэй вэ?
Итгэлийн интервал гэж юу вэ? - Энэ бол жинхэнэ популяци нь худал хэлэх гэсэн үг юм. "Үнэн бус" дундаж үзүүлэлтүүд байдаг уу? Нэг ёсондоо тийм ээ. Нийт хүн амын сонирхлын параметрийг хэмжих боломжгүй гэдгийг бид тайлбарласан тул судлаачид хязгаарлагдмал түүврээр хангадаг. Энэ түүвэрт (жишээлбэл, биеийн жинд үндэслэн) нэг дундаж утга (тодорхой жин) байдаг бөгөөд үүгээрээ бид нийт хүн амын дундаж утгыг шүүдэг. Гэсэн хэдий ч дээжийн дундаж жин (ялангуяа жижиг) нь нийт хүн амын дундаж жинтэй давхцах магадлал багатай юм. Тиймээс хүн амын дундаж утгыг тооцоолох, ашиглах нь илүү зөв юм.
Жишээлбэл, гемоглобины 95% -ийн итгэлцлийн интервал (95% CI) нь 110-122 г/л байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Энэ нь хүн амын дунд гемоглобины жинхэнэ утга 110-122 г/л байх магадлал 95% байна гэсэн үг. Өөрөөр хэлбэл, бид хүн амын дундах гемоглобины дундаж утгыг мэдэхгүй ч 95 % магадлалтайгаар энэ шинж чанарын утгын хүрээг зааж өгч чадна.
Итгэлийн интервалууд нь бүлгүүдийн хоорондын дундаж ялгаа эсвэл тэдгээрийн нэрлэсэн нөлөөллийн хэмжээнүүдэд онцгой хамааралтай.
Бид хоёр төмрийн бэлдмэлийн үр нөлөөг харьцуулсан гэж бодъё: нэг нь зах зээлд удаан хугацаагаар байгаа, нөгөө нь саяхан бүртгэгдсэн. Эмчилгээний курс дууссаны дараа бид судалгаанд хамрагдсан өвчтөнүүдийн бүлгийн гемоглобины концентрацийг үнэлж, статистикийн хөтөлбөрөөр хоёр бүлгийн дундаж утгын зөрүү 95% -ийн магадлалтайгаар 1.72-аас хооронд хэлбэлзэж байгааг тооцоолсон. 14.36 г/л (Хүснэгт 1).
Хүснэгт 1. Бие даасан дээжийг турших
(бүлэгүүдийг гемоглобины түвшингээр харьцуулсан)
Үүнийг дараах байдлаар тайлбарлах нь зүйтэй: шинэ эм ууж буй нийт хүн амын зарим өвчтөнд гемоглобин нь аль хэдийн мэдэгдэж байсан эм уусан хүмүүсийнхээс дунджаар 1.72-14.36 г/л-ээр өндөр байдаг.
Өөрөөр хэлбэл, нийт хүн амын дунд бүлэг хоорондын гемоглобины дундаж утгын зөрүү нь 95% магадлалтайгаар эдгээр хязгаарт багтдаг. Энэ их үү, бага уу гэдгийг судлаач өөрөө л шийднэ. Энэ бүхний гол утга нь бид нэг дундаж утгаараа биш, харин олон тооны утгуудтай ажилладаг тул бүлэг хоорондын параметрийн зөрүүг илүү найдвартай тооцдог.
Статистикийн багцад судлаачийн үзэмжээр та итгэлцлийн интервалын хил хязгаарыг бие даан нарийсгаж эсвэл өргөжүүлж болно. Итгэлийн интервалын магадлалыг бууруулснаар бид хэрэгслийн хүрээг нарийсгадаг. Жишээлбэл, 90 % CI-ийн хувьд дундаж утга (эсвэл дундаж ялгаа) нь 95 % -аас илүү нарийхан байх болно.
Үүний эсрэгээр, магадлалыг 99 % болгон нэмэгдүүлэх нь утгын хүрээг өргөжүүлдэг. Бүлгүүдийг харьцуулахдаа CI-ийн доод хязгаар нь тэг тэмдгийг давж болно. Жишээлбэл, хэрэв бид итгэлийн интервалын хил хязгаарыг 99 % болгон өргөжүүлсэн бол интервалын хил хязгаар нь -1-ээс 16 г/л хооронд хэлбэлздэг. Энэ нь нийт хүн амын дунд бүлгүүд байдаг бөгөөд тэдгээрийн хоорондын ялгаа нь судалж буй шинж чанарын хувьд 0-тэй тэнцүү байна (M = 0).
Итгэлийн интервалыг ашиглан та статистик таамаглалыг шалгаж болно. Хэрэв итгэлийн интервал тэг утгыг давсан бол судалж буй параметрийн хувьд бүлгүүд ялгаатай биш гэж үздэг тэг таамаглал үнэн болно. Бид хил хязгаарыг 99 % хүртэл өргөжүүлсэн жишээг дээр тайлбарлав. Нийт хүн амын хаа нэгтээ бид ямар ч ялгаагүй бүлгүүдийг олсон.
Гемоглобины ялгааны 95% итгэх интервал, (г/л)
Зураг нь хоёр бүлгийн хоорондох гемоглобины дундаж утгын зөрүүний 95% -ийн итгэлийн интервалыг харуулж байна. Шугаман нь тэг тэмдгээр дамждаг тул тэгийн дундаж хооронд ялгаа байгаа нь бүлгүүд ялгаатай биш гэсэн тэг таамаглалыг баталж байна. Бүлэг хоорондын ялгаа нь -2-оос 5 г/л хооронд хэлбэлзэж байгаа нь гемоглобин 2 г/л-ээр буурах эсвэл 5 г/л-ээр нэмэгдэх боломжтой гэсэн үг юм.
Итгэлийн интервал нь маш чухал үзүүлэлт юм. Үүний ачаар та бүлгүүдийн ялгаа нь үнийн зөрүүгээс үү эсвэл том түүврээс үүдсэн үү гэдгийг харж болно, учир нь том түүврийн хувьд ялгааг олох магадлал багатай харьцуулахад их байдаг.
Практик дээр энэ нь иймэрхүү харагдаж магадгүй юм. Бид 1000 хүнээс дээж авч, гемоглобины түвшинг хэмжиж, дундаж утгын зөрүүг итгэх итгэлийн интервал 1.2-1.5 г/л хооронд хэлбэлзэж байгааг олж мэдэв. Энэ тохиолдолд статистикийн ач холбогдлын түвшин p
Гемоглобины концентраци нэмэгдэж байгааг бид харж байна, гэхдээ бараг мэдэгдэхүйц биш, тиймээс статистикийн ач холбогдол нь дээжийн хэмжээнээс яг тодорхой харагдаж байна.
Итгэлийн интервалыг зөвхөн хэрэглүүрийн хувьд төдийгүй пропорц (болон эрсдэлийн харьцаа) -аар тооцоолж болно. Жишээлбэл, боловсруулсан эм ууж байхдаа ангижрах боломжтой өвчтөнүүдийн итгэлцлийн интервалыг бид сонирхож байна. Ийм өвчтөнүүдийн эзлэх хувийн жингийн 95 % CI нь 0.60-0.80 хооронд байна гэж үзье. Тиймээс манай эм нь тохиолдлын 60-80 % нь эмчилгээний үр дүнтэй байдаг гэж бид хэлж чадна.
Оюун ухаан нь зөвхөн мэдлэгээс гадна мэдлэгийг практикт ашиглах чадвараас бүрддэг. (Аристотель)
Итгэлийн интервалууд
ерөнхий тойм
Популяциас түүвэр авснаар бид сонирхож буй параметрийн цэгийн тооцоог гаргаж, тооцооллын нарийвчлалыг харуулахын тулд стандарт алдааг тооцоолно.
Гэсэн хэдий ч ихэнх тохиолдолд стандарт алдаа нь хүлээн зөвшөөрөгдөхгүй. Энэ нарийвчлалын хэмжүүрийг популяцийн параметрийн интервалын тооцоотой хослуулах нь илүү ашигтай байдаг.
Түүврийн статистикийн (параметр) магадлалын онолын тархалтын талаарх мэдлэгийг ашиглан параметрийн итгэлийн интервалыг (CI - Итгэлийн интервал, CI - Итгэлийн интервал) тооцоолох замаар үүнийг хийж болно.
Ерөнхийдөө итгэлцлийн интервал нь хоёр чиглэлд тооцооллыг стандарт алдааны тодорхой үржвэрээр (өгөгдсөн параметрийн); Интервалыг тодорхойлсон хоёр утгыг (итгэлийн хязгаар) ихэвчлэн таслалаар тусгаарлаж, хаалтанд бичнэ.
Дундаж утгын итгэлцлийн интервал
Хэвийн хуваарилалтыг ашиглах
Түүврийн хэмжээ их байвал түүврийн дундаж нь хэвийн тархалттай байдаг тул түүврийн дундажийг авч үзэхдээ хэвийн тархалтын талаарх мэдлэгийг ашиглах боломжтой.
Тодруулбал, түүврийн дундаж тархалтын 95% нь хүн амын дунджаас 1.96 стандарт хазайлт (SD) дотор байна.
Бидэнд зөвхөн нэг түүвэр байгаа тохиолдолд бид үүнийг дундаж утгын стандарт алдаа (SEM) гэж нэрлээд, дундаж утгын 95% итгэх интервалыг дараах байдлаар тооцоолно.
Хэрэв бид энэ туршилтыг хэд хэдэн удаа давтах юм бол интервал нь бодит популяцийн дундаж 95% -ийг агуулна.
Ерөнхийдөө энэ нь итгэлцлийн интервал, тухайлбал, жинхэнэ популяцийн дундаж (ерөнхий дундаж) 95% -ийн итгэлцлийн магадлал бүхий утгын интервал юм.
Хэдийгээр итгэлцлийн интервалыг ингэж тайлбарлах нь тийм ч хатуу биш ч (хүн амын дундаж нь тогтмол утга учир үүнтэй холбогдох магадлал байж болохгүй) ойлголтын хувьд ойлгоход хялбар байдаг.
Хэрэглээ т-хуваарилалт
Хэрэв та популяцийн дисперсийн утгыг мэдэж байгаа бол хэвийн тархалтыг ашиглаж болно. Мөн түүврийн хэмжээ бага байх үед суурь популяцийн өгөгдөл хэвийн тархсан тохиолдолд түүврийн дундаж нь хэвийн тархалтыг дагаж мөрддөг.
Хэрэв популяцийн суурь өгөгдөл хэвийн тархаагүй ба/эсвэл олонлогийн хэлбэлзэл тодорхойгүй бол түүврийн дундаж нь дагаж мөрддөг. Оюутны t хуваарилалт.
Нийт хүн амын дундах 95% итгэлийн интервалыг бид дараах байдлаар тооцоолно.
Хувийн цэг хаана байна (хувь) т- 0.05 гэсэн хоёр талын магадлалыг өгдөг (n-1) эрх чөлөөний зэрэгтэй оюутны t тархалт.
Ерөнхийдөө энэ нь хүн амын стандарт хазайлт ба/эсвэл түүврийн хэмжээ багатай тул нэмэлт тодорхойгүй байдлыг харгалзан үздэг тул хэвийн тархалтыг ашиглахаас илүү өргөн хүрээг хангадаг.
Түүврийн хэмжээ их байвал (100 ба түүнээс дээш дарааллаар) хоёр тархалтын ялгаа ( t-Оюутанба хэвийн) ач холбогдолгүй байна. Гэсэн хэдий ч тэд үргэлж ашигладаг т-түүврийн хэмжээ их байсан ч итгэлцлийн интервалыг тооцоолохдоо хуваарилалт.
Ихэвчлэн 95% CI гэж мэдээлдэг. Дундаж утгын 99% CI гэх мэт бусад итгэлийн интервалуудыг тооцоолж болно.
Стандарт алдаа болон хүснэгтийн утгын үржвэрийн оронд т- 0.05-ын хоёр талын магадлалтай тохирч буй тархалтыг (стандарт алдаа) 0.01-ийн хоёр талын магадлалд тохирох утгаараа үржүүлнэ. Энэ нь 95%-ийн итгэлцлийн интервалаас илүү өргөн итгэлийн интервал юм, учир нь энэ интервал нь хүн амын дундаж утгыг багтаасан гэсэн итгэл нэмэгдсэнийг харуулж байна.
Пропорцын итгэлийн интервал
Пропорцын түүврийн тархалт нь бином тархалттай байдаг. Гэсэн хэдий ч хэрэв дээжийн хэмжээ nболомжийн том бол пропорцын түүвэрлэлтийн тархалт дундажтай ойролцоогоор хэвийн байна.
Бид сонгомол харьцаагаар үнэлдэг p=r/n(Хаана r- бидний сонирхож буй онцлог шинж чанартай түүвэр дэх хүмүүсийн тоо), стандарт алдааг тооцоолно.
Пропорцын 95% итгэлийн интервалыг тооцоолсон болно:
Хэрэв түүврийн хэмжээ бага бол (ихэвчлэн хэзээ n.p.эсвэл n(1-p)бага 5
), тэгвэл итгэлийн интервалыг үнэн зөв тооцоолохын тулд бином тархалтыг ашиглах шаардлагатай.
гэдгийг анхаарна уу ххувиар илэрхийлсэн бол (1-p)-ээр сольсон (100-p).
Итгэлийн интервалын тайлбар
Итгэлийн интервалыг тайлбарлахдаа бид дараах асуултуудыг сонирхож байна.
Итгэлийн интервал хэр өргөн бэ?
Өргөн итгэлийн интервал нь тооцоолол тодорхой бус байгааг илтгэнэ; нарийн гэдэг нь үнэн зөв тооцоолол байгааг илтгэнэ.
Итгэмжлэх интервалын өргөн нь стандарт алдааны хэмжээнээс хамаардаг бөгөөд энэ нь эргээд түүврийн хэмжээнээс хамаардаг бөгөөд тоон хувьсагчийг авч үзэхэд өгөгдлийн хувьсах чанар нь цөөн тооны хувьсагчаас бүрдсэн том өгөгдлийн багц судалгаанаас илүү өргөн итгэлийн интервал үүсгэдэг. .
CI-д онцгой сонирхол татахуйц ямар нэгэн утгыг агуулсан уу?
Та популяцийн параметрийн боломжит утга итгэлийн интервалд багтаж байгаа эсэхийг шалгаж болно. Хэрэв тийм бол үр дүн нь энэ магадлалтай утгатай нийцэж байна. Хэрэв тийм биш бол параметр нь ийм утгатай байх магадлал бага (95% -ийн итгэлийн интервалын хувьд магадлал бараг 5%).
Математикийн хүлээлтэд итгэх итгэлийн интервал - энэ нь мэдэгдэж буй магадлал бүхий нийт хүн амын математикийн хүлээлтийг агуулсан өгөгдлөөс тооцсон интервал юм. Математикийн хүлээлтийн байгалийн тооцоо нь түүний ажиглагдсан утгуудын арифметик дундаж юм. Тиймээс бид хичээлийн туршид "дундаж" ба "дундаж үнэ цэнэ" гэсэн нэр томъёог ашиглах болно. Итгэлийн интервалыг тооцоолох асуудалд хамгийн их шаардлагатай хариулт нь "Дунджийн [тодорхой асуудлын утга] итгэлийн интервал нь [бага утга]-аас [илүү утга] хүртэл байна." Итгэлийн интервалыг ашиглан та зөвхөн дундаж утгыг төдийгүй нийт хүн амын тодорхой шинж чанарын эзлэх хувийг үнэлж болно. Хичээл дээр бид шинэ тодорхойлолт, томъёонд хүрэх дундаж утга, тархалт, стандарт хазайлт, алдааны талаар ярилцана. Түүвэр ба популяцийн шинж чанар .
Дундаж утгын цэг ба интервалын тооцоо
Хэрэв популяцийн дундаж утгыг тоогоор (цэгээр) тооцсон бол ажиглалтын түүврээс тооцоолсон тодорхой дундаж утгыг популяцийн үл мэдэгдэх дундаж утгыг тооцоолно. Энэ тохиолдолд түүврийн дундаж утга - санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь нийт хүн амын дундаж утгатай давхцахгүй. Тиймээс түүврийн дундаж утгыг зааж өгөхдөө түүврийн алдааг нэгэн зэрэг зааж өгөх ёстой. Түүвэрлэлтийн алдааны хэмжүүр нь дундажтай ижил нэгжээр илэрхийлэгдсэн стандарт алдаа юм. Тиймээс дараах тэмдэглэгээг ихэвчлэн ашигладаг: .
Хэрэв дундажийг тооцоолохдоо тодорхой магадлалтай холбоотой байх шаардлагатай бол популяцийн сонирхлын параметрийг нэг тоогоор биш, харин интервалаар үнэлэх ёстой. Итгэлийн интервал гэдэг нь тодорхой магадлал бүхий интервал юм Пхүн амын тооцоолсон үзүүлэлтийн утгыг олно. Энэ нь боломжтой байх итгэлийн интервал П = 1 - α санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг олоод дараах байдлаар тооцоолно.
,
α = 1 - П, үүнийг статистикийн бараг бүх номын хавсралтаас олж болно.
Практикт популяцийн дундаж ба дисперс нь тодорхойгүй тул популяцийн дисперсийг түүврийн дисперсээр, олонлогийн дундажийг түүврийн дундажаар солино. Тиймээс ихэнх тохиолдолд итгэлийн интервалыг дараах байдлаар тооцдог.
.
Итгэлийн интервалын томъёог хэрэв хүн амын дундаж утгыг тооцоолоход ашиглаж болно
- хүн амын стандарт хазайлт мэдэгдэж байна;
- эсвэл хүн амын стандарт хазайлт тодорхойгүй боловч түүврийн хэмжээ 30-аас их байна.
Түүврийн дундаж нь хүн амын дунджийг бодитой бус тооцоолол юм. Хариуд нь түүврийн хэлбэлзэл 
популяцийн хэлбэлзлийн бодитой тооцоолол биш юм. Түүврийн дисперсийн томьёо дахь олонлогийн дисперсийн бодит үнэлгээг авахын тулд түүврийн хэмжээ n-ээр солигдох ёстой n-1.
Жишээ 1.Тодорхой хотын санамсаргүй түүврээр сонгогдсон 100 кафед ажиллагсдын дундаж тоо 4.6 стандарт хазайлттай 10.5 байна гэсэн мэдээллийг цуглуулсан. Кафены ажилчдын тоонд итгэх итгэлийн 95% интервалыг тодорхойл.
ач холбогдлын түвшний стандарт хэвийн тархалтын критик утга хаана байна α = 0,05 .
Тиймээс кафены ажилчдын дундаж тоо 95% -ийн итгэлцлийн интервал нь 9.6-11.4 хооронд хэлбэлзэж байна.
Жишээ 2. 64 ажиглалтаас бүрдсэн санамсаргүй түүврийн хувьд дараах нийт утгыг тооцоолсон.
ажиглалтын утгын нийлбэр,
дундаж утгуудын квадрат хазайлтын нийлбэр 
.
Математикийн хүлээлтэд 95% итгэх интервалыг тооцоол.
Стандарт хазайлтыг тооцоолъё:
,
Дундаж утгыг тооцоолъё:
.
Бид итгэлцлийн интервалын илэрхийлэлд утгуудыг орлуулна.
ач холбогдлын түвшний стандарт хэвийн тархалтын критик утга хаана байна α = 0,05 .
Бид авах:
Тиймээс энэ түүврийн математикийн хүлээлтийн 95%-ийн итгэлийн интервал 7.484-11.266 хооронд хэлбэлзэж байна.
Жишээ 3. 100 ажиглалтаас бүрдсэн санамсаргүй популяцийн түүврийн хувьд тооцоолсон дундаж нь 15.2, стандарт хазайлт нь 3.2 байна. Хүлээгдэж буй утгын хувьд 95%, дараа нь 99% итгэлийн интервалыг тооцоол. Хэрэв түүврийн хүч ба түүний хэлбэлзэл өөрчлөгдөөгүй бөгөөд итгэлцлийн коэффициент нэмэгдэх юм бол итгэлцлийн интервал нарийсч, өргөсөх үү?
Бид эдгээр утгыг итгэлцлийн интервалын илэрхийлэл болгон орлуулна.
ач холбогдлын түвшний стандарт хэвийн тархалтын критик утга хаана байна α = 0,05 .
Бид авах:
.
Иймээс энэ түүврийн дундаж утгын 95% итгэлийн интервал 14.57-15.82 хооронд хэлбэлзэж байна.
Бид эдгээр утгыг дахин итгэлийн интервалын илэрхийлэл болгон орлуулж байна:
ач холбогдлын түвшний стандарт хэвийн тархалтын критик утга хаана байна α = 0,01 .
Бид авах:
.
Иймээс энэ түүврийн дундаж утгын 99% итгэлийн интервал 14.37-16.02 хооронд хэлбэлзэж байна.
Бидний харж байгаагаар итгэлийн коэффициент нэмэгдэхийн хэрээр стандарт хэвийн тархалтын критик утга нэмэгдэж, улмаар интервалын эхлэл ба төгсгөлийн цэгүүд дунджаас хол байрлаж, улмаар математикийн хүлээлтэд итгэх итгэлийн интервал нэмэгддэг. .
Тодорхой таталцлын цэг ба интервалын тооцоо
Зарим түүврийн шинж чанаруудын эзлэх хувь нь хувьцааны цэгийн тооцоо гэж тайлбарлаж болно хнийт хүн амын дунд ижил шинж чанартай байдаг. Хэрэв энэ утгыг магадлалтай холбох шаардлагатай бол хувийн таталцлын итгэлцлийн интервалыг тооцоолох хэрэгтэй. хмагадлал бүхий популяцийн шинж чанар П = 1 - α :
.
Жишээ 4.Зарим хотод хоёр нэр дэвшигч байдаг АТэгээд Бхотын даргад нэр дэвшиж байна. Хотын 200 оршин суугчдаас санамсаргүй байдлаар санал асуулга явуулахад 46 хувь нь нэр дэвшигчийн төлөө саналаа өгнө гэж хариулжээ. А, 26% - нэр дэвшигчийн хувьд Б 28 хувь нь хэнд санал өгөхөө мэдэхгүй байна. Нэр дэвшигчийг дэмжиж буй хотын оршин суугчдын хувийн жингийн 95 хувийн итгэлийн интервалыг тодорхойл А.
Итгэлийн интервалууд.
Итгэлийн интервалын тооцоолол нь харгалзах параметрийн дундаж алдаа дээр суурилдаг. Итгэлийн интервал Тооцоолсон параметрийн жинхэнэ утга нь магадлал (1-a) ямар хязгаарт багтаж байгааг харуулна. Энд a нь ач холбогдлын түвшин, (1-a) -ийг итгэлийн магадлал гэж бас нэрлэдэг.
Эхний бүлэгт бид жишээ нь арифметик дундажийн хувьд нийт тохиолдлын 95%-д нь жинхэнэ популяцийн дундаж нь дундажийн 2 стандарт алдааны дотор байгааг харуулсан. Ийнхүү дундаж утгын 95%-ийн итгэлийн интервалын хилийг түүврийн дунджаас дундаж утгын дундаж алдаанаас хоёр дахин их хэмжээгээр тусгаарлана, өөрөөр хэлбэл. бид итгэлийн түвшнээс хамааран дундажийн дундаж алдааг тодорхой коэффициентоор үржүүлнэ. Дундаж болон дунджийн зөрүүний хувьд Оюутны коэффициент (Оюутны тестийн эгзэгтэй утга), хувьцааны хувь ба зөрүүний хувьд z шалгуурын критик утгыг авна. Коэффициент ба дундаж алдааны үржвэрийг өгөгдсөн параметрийн хамгийн их алдаа гэж нэрлэж болно, i.e. үүнийг үнэлэх үед бидний олж авах хамгийн дээд хэмжээ.
Итгэлийн интервал Арифметик дундаж : .
Энд жишээ дундаж байна;
Арифметик дундажийн дундаж алдаа;
с -дээжийн стандарт хазайлт;
n
f = n-1 (Оюутны коэффициент).
Итгэлийн интервал арифметик дундажийн ялгаа :
Түүврийн дундаж хоорондын ялгаа энд байна;
- арифметик дундажийн зөрүүний дундаж алдаа;
s 1 , s 2 -дээжийн стандарт хазайлт;
n1, n2
Өгөгдсөн ач холбогдлын түвшин a болон эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоогоор Оюутны тестийн эгзэгтэй утга f=n 1 +n 2-2 (Оюутны коэффициент).
Итгэлийн интервал хувьцаа :
.
Энд d нь түүврийн бутархай;
- дундаж бутархай алдаа;
n– түүврийн хэмжээ (бүлгийн хэмжээ);
Итгэлийн интервал хувьцааны зөрүү :
Энд жишээ хувьцааны ялгаа байна;
– арифметик дундажийн зөрүүний дундаж алдаа;
n1, n2– дээжийн хэмжээ (бүлгийн тоо);
Өгөгдсөн ач холбогдлын түвшинд z шалгуурын эгзэгтэй утга a ( , , ).
Шалгуур үзүүлэлтүүдийн зөрүүний итгэлцлийн интервалыг тооцоолсноор бид нэгдүгээрт, зөвхөн түүний цэгийн тооцоог бус нөлөөллийн боломжит утгыг шууд хардаг. Хоёрдугаарт, бид тэг таамаглалыг хүлээн зөвшөөрөх эсвэл үгүйсгэх талаар дүгнэлт хийж болно, гуравдугаарт, туршилтын хүч чадлын талаар дүгнэлт хийж болно.
Итгэлийн интервал ашиглан таамаглалыг шалгахдаа дараах дүрмийг баримтлах ёстой.
Хэрэв дундаж утгын зөрүүний 100(1-а) хувийн итгэлцлийн интервал нь тэгийг агуулаагүй бол ялгаа нь ач холбогдлын а түвшинд статистикийн ач холбогдолтой; эсрэгээр, хэрэв энэ интервал нь тэгийг агуулж байвал ялгаа нь статистикийн хувьд ач холбогдолтой биш юм.
Үнэн хэрэгтээ, хэрэв энэ интервал нь тэгтэй байвал харьцуулж буй үзүүлэлт нь нөгөө бүлэгтэй харьцуулахад аль нэг бүлэгт их эсвэл бага байж болно гэсэн үг юм. ажиглагдсан ялгаа нь тохиолдлоос үүдэлтэй.
Туршилтын хүчийг итгэлийн интервал доторх тэгийн байршлаар шүүж болно. Хэрэв тэг нь интервалын доод эсвэл дээд хязгаарт ойрхон байвал илүү олон тооны бүлгийг харьцуулж үзвэл ялгаа нь статистикийн ач холбогдолтой болно. Хэрэв тэг нь интервалын дунд ойрхон байвал энэ нь туршилтын бүлгийн үзүүлэлтийн өсөлт, бууралт хоёулаа адилхан магадлалтай бөгөөд магадгүй үнэхээр ялгаа байхгүй гэсэн үг юм.
Жишээ нь:
Хоёр өөр төрлийн мэдээ алдуулалтыг хэрэглэх үед мэс заслын нас баралтыг харьцуулахын тулд: 61 хүн нэгдүгээр төрлийн мэдээ алдуулалтаар хагалгаанд орж, 8 хүн нас барж, хоёрдугаар төрлийн 67 хүн, 10 хүн нас баржээ.
d 1 = 8/61 = 0.131; d2 = 10/67 = 0.149; d1-d2 = - 0.018.
Харьцуулсан аргуудын үхлийн ялгаа нь 100(1-a) = 95% магадлалтай (-0.018 - 0.122; -0.018 + 0.122) эсвэл (-0.14; 0.104) хооронд байх болно. Интервал нь тэгийг агуулна, өөрөөр хэлбэл. Хоёр өөр төрлийн мэдээ алдуулалттай адил нас баралтын таамаглалыг үгүйсгэх аргагүй.
Тиймээс нас баралтын түвшин 14% хүртэл буурч, 95% -ийн магадлалтайгаар 10.4% хүртэл өсөх болно, өөрөөр хэлбэл. тэг нь ойролцоогоор интервалын дунд байдаг тул эдгээр хоёр арга нь үхлийн хувьд үнэхээр ялгаатай биш гэж маргаж болно.
Өмнө дурьдсан жишээн дээр шалгалтын оноогоор ялгаатай дөрвөн бүлгийн оюутнуудад товших тестийн үед дарах дундаж хугацааг харьцуулсан. Шалгалтанд 2 ба 5-р дүнгээр тэнцсэн оюутнуудын даралтын дундаж хугацааны итгэлцлийн интервал болон эдгээр дунджийн зөрүүний итгэлийн интервалыг тооцоолъё.
Оюутны коэффициентийг Оюутны хуваарилалтын хүснэгтийг ашиглан олно (хавсралтыг үзнэ үү): эхний бүлгийн хувьд: = t(0.05;48) = 2.011; хоёр дахь бүлгийн хувьд: = t(0.05;61) = 2.000. Тиймээс эхний бүлгийн итгэлцлийн интервал: = (162.19-2.011*2.18; 162.19+2.011*2.18) = (157.8; 166.6), хоёр дахь бүлгийн хувьд (156.55- 2,000*1.88 ; 156.85.*) 160.3). Тиймээс шалгалтанд 2 оноо авсан хүмүүсийн хувьд дарах дундаж хугацаа 95% -ийн магадлалтайгаар 157.8 мс-ээс 166.6 мс, 5-д тэнцсэн хүмүүсийн хувьд - 152.8 мс-ээс 160.3 мс хооронд 95% байна. .
Та мөн тэг таамаглалыг зөвхөн дундаж утгуудын зөрүүгээр бус харин итгэлцлийн интервал ашиглан шалгаж болно. Жишээлбэл, манай тохиолдолд, хэрэв утгуудын итгэлийн интервалууд давхцаж байвал тэг таамаглалыг үгүйсгэх аргагүй юм. Сонгосон ач холбогдлын түвшинд таамаглалыг үгүйсгэхийн тулд харгалзах итгэлийн интервалууд давхцаж болохгүй.
Шалгалтанд 2 ба 5-р үнэлгээтэй тэнцсэн бүлгүүдийн даралтын дундаж хугацааны зөрүүний итгэлцлийн интервалыг олъё. Дундажын зөрүү: 162.19 – 156.55 = 5.64. Оюутны коэффициент: = t(0.05;49+62-2) = t(0.05;109) = 1.982. Бүлгийн стандарт хазайлт нь дараахтай тэнцүү байна: ; . Бид дундажийн зөрүүний дундаж алдааг тооцоолно: . Итгэлийн интервал: =(5.64-1.982*2.87; 5.64+1.982*2.87) = (-0.044; 11.33).
Тэгэхээр шалгалтанд 2 ба 5 оноо авсан бүлгүүдийн даралтын дундаж хугацааны зөрүү нь -0,044 мс-ээс 11,33 мс хооронд байх болно. Энэ интервалд тэг орно, өөрөөр хэлбэл. Шалгалтанд сайн тэнцсэн хүмүүсийн даралтын дундаж хугацаа шалгалтанд хангалтгүй тэнцсэн хүмүүстэй харьцуулахад нэмэгдэж эсвэл буурч болно, жишээлбэл. тэг таамаглалыг үгүйсгэх боломжгүй. Гэхдээ тэг нь доод хязгаарт маш ойрхон байгаа бөгөөд сайн давсан хүмүүсийн хувьд дарах хугацаа багасах магадлал өндөр байдаг. Тиймээс бид 2 ба 5-ыг давсан хүмүүсийн даралтын дундаж хугацааны ялгаа байсаар байгаа бөгөөд дундаж хугацааны өөрчлөлт, дундаж хугацааны тархалт, түүврийн хэмжээ зэргээс шалтгаалан бид тэдгээрийг илрүүлж чадаагүй гэж дүгнэж болно.
Туршилтын хүч нь буруу тэг таамаглалыг үгүйсгэх магадлал, i.e. хаана байгаа ялгааг олох.
Туршилтын хүчийг ач холбогдлын түвшин, бүлгүүдийн хоорондох ялгааны хэмжээ, бүлгийн утгын тархалт, дээжийн хэмжээ зэргээс хамаарч тодорхойлно.
Оюутны t тест болон дисперсийн шинжилгээнд мэдрэмжийн диаграммыг ашиглаж болно.
Шалгуурын хүчийг шаардлагатай тооны бүлгийг урьдчилан тодорхойлоход ашиглаж болно.
Итгэлийн интервал нь өгөгдсөн магадлалаар тооцоолсон параметрийн жинхэнэ утга ямар хязгаарт багтаж байгааг харуулдаг.
Итгэлийн интервалыг ашиглан та статистик таамаглалыг шалгаж, шалгуур үзүүлэлтийн мэдрэмжийн талаар дүгнэлт хийж болно.
Уран зохиол.
Гланз С. – Бүлэг 6,7.
Реброва О.Ю. – х.112-114, х.171-173, х.234-238.
Сидоренко Е.В. – х.32-33.
Оюутнуудын өөрийгөө шалгах асуултууд.
1. Шалгуурын хүч нь юу вэ?
2. Ямар тохиолдолд шалгуур үзүүлэлтийн хүчийг үнэлэх шаардлагатай вэ?
3. Эрчим хүчийг тооцоолох арга.
6. Итгэлийн интервал ашиглан статистикийн таамаглалыг хэрхэн шалгах вэ?
7. Итгэлийн интервалыг тооцоолохдоо шалгуур үзүүлэлтийн хүчийг юу гэж хэлж болох вэ?
Даалгаврууд.
Өмнөх дэд хэсгүүдэд бид үл мэдэгдэх параметрийг тооцоолох асуудлыг авч үзсэн Анэг тоо. Үүнийг "цэг" тооцоо гэж нэрлэдэг. Хэд хэдэн даалгаварт та зөвхөн параметрийг хайх шаардлагагүй Атохиромжтой тоон утга, гэхдээ түүний нарийвчлал, найдвартай байдлыг үнэлэх. Параметрийг солиход ямар алдаа гарч болохыг мэдэх хэрэгтэй Атүүний цэгийн тооцоо АЭдгээр алдаа нь мэдэгдэж буй хязгаараас хэтрэхгүй гэдэгт бид ямар итгэлтэй байж болох вэ?
Энэ төрлийн асуудал нь цэгийг тооцоолоход цөөн тооны ажиглалт хийхэд онцгой хамааралтай байдаг болон доторихэвчлэн санамсаргүй бөгөөд a-г ойролцоогоор солих нь ноцтой алдаа гаргахад хүргэдэг.
Тооцооллын үнэн зөв, найдвартай байдлын талаар ойлголт өгөх А,
Математикийн статистикт итгэлцлийн интервал ба итгэлийн магадлалыг ашигладаг.
Параметрийг авч үзье Атуршлагаас олж авсан шударга бус тооцоо А.Бид энэ тохиолдолд гарч болзошгүй алдааг тооцоолохыг хүсч байна. p магадлал бүхий үйл явдлыг практикт найдвартай гэж үзэж болохуйц хангалттай том p магадлалыг (жишээлбэл, p = 0.9, 0.95 эсвэл 0.99) оноож, s утгыг олъё.
Дараа нь солих явцад гарсан алдааны практик боломжит утгуудын хүрээ Адээр А, ± s байх болно; Үнэмлэхүй утгын том алдаа нь зөвхөн бага магадлалтай a = 1 - p гарч ирнэ. (14.3.1)-ийг дараах байдлаар дахин бичье.
Тэгш байдал (14.3.2) нь p магадлалтайгаар параметрийн үл мэдэгдэх утгыг илэрхийлнэ Аинтервалд багтдаг
Нэг нөхцөл байдлыг тэмдэглэх нь зүйтэй. Өмнө нь бид санамсаргүй хэмжигдэхүүн өгөгдсөн санамсаргүй бус интервалд орох магадлалыг олон удаа авч үзсэн. Энд нөхцөл байдал өөр байна: хэмжээ Асанамсаргүй биш, харин интервал / p нь санамсаргүй юм. Түүний x тэнхлэг дээрх байрлал нь санамсаргүй бөгөөд төвөөр нь тодорхойлогддог А; Ерөнхийдөө s-ийн утгыг туршилтын өгөгдлөөр тооцдог тул 2s интервалын урт нь бас санамсаргүй байдаг. Тиймээс, энэ тохиолдолд p утгыг цэгийг "цохих" магадлал гэж тайлбарлах нь дээр. Аинтервалд / p, мөн санамсаргүй интервал / p цэгийг хамрах магадлалын хувьд А(Зураг 14.3.1).
Цагаан будаа. 14.3.1
p магадлалыг ихэвчлэн гэж нэрлэдэг итгэх магадлал, ба интервал / p - итгэлийн интервал.Интервалын хил хязгаар Хэрэв. a x = a-с ба a 2 = a +ба дуудагддаг итгэлцлийн хил хязгаар.
Итгэлийн интервалын тухай ойлголтын өөр тайлбарыг өгье: үүнийг параметрийн утгын интервал гэж үзэж болно. А,туршилтын өгөгдөлтэй нийцэж байгаа бөгөөд тэдгээртэй зөрчилдөхгүй. Үнэн хэрэгтээ, хэрэв бид a = 1-p магадлалтай үйл явдлыг бараг боломжгүй гэж үзэхийг зөвшөөрвөл a параметрийн утгууд нь a - a> s нь туршилтын өгөгдөлтэй зөрчилдөж байгааг хүлээн зөвшөөрөх ёстой бөгөөд тэдгээр нь |a - А a t na 2.
Параметрийг авч үзье Анэг талыг барьсан тооцоо байдаг А.Хэрэв бид тоо хэмжээний хуваарилалтын хуулийг мэддэг байсан бол А, итгэлийн интервалыг олох даалгавар нь маш энгийн байх болно: s утгыг олоход хангалттай байх болно.
Хэцүү нь тооцооллын хуваарилалтын хууль юм Ахэмжигдэхүүний тархалтын хуулиас хамаарна Xулмаар түүний үл мэдэгдэх параметрүүд дээр (ялангуяа параметр дээр A).
Энэ бэрхшээлийг даван туулахын тулд та дараах ойролцоо аргыг ашиглаж болно: s-ийн илэрхийлэл дэх үл мэдэгдэх параметрүүдийг цэгийн тооцоогоор солино. Харьцангуй олон тооны туршилтуудтай П(20...30 орчим) энэ техник нь ихэвчлэн нарийвчлалын хувьд хангалттай үр дүнг өгдөг.
Жишээлбэл, математикийн хүлээлтэд итгэх итгэлийн интервалын асуудлыг авч үзье.
Үүнийг үйлдвэрлэе П X,шинж чанарууд нь математикийн хүлээлт юм Тболон хэлбэлзэл Д- үл мэдэгдэх. Эдгээр параметрүүдийн хувьд дараахь тооцоог хийсэн.
Математикийн хүлээлтэд итгэх магадлал p-д харгалзах итгэлийн интервал / p байгуулах шаардлагатай. Ттоо хэмжээ X.
Энэ асуудлыг шийдэхдээ бид тоо хэмжээг ашиглах болно Тнийлбэрийг илэрхийлнэ Пбие даасан адил тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн X чмөн төв хязгаарын теоремын дагуу хангалттай том Птүүний тархалтын хууль хэвийн хэмжээнд ойрхон байна. Практикт харьцангуй цөөн тооны нэр томьёотой ч (10...20 орчим) нийлбэрийн тархалтын хуулийг ойролцоогоор хэвийн гэж үзэж болно. Бид үнэ цэнийг тооцох болно Тердийн хуулийн дагуу хуваарилагдсан. Энэ хуулийн шинж чанарууд - математикийн хүлээлт ба дисперс нь тэнцүү байна ТТэгээд
(13-р бүлгийн 13.3-ыг үзнэ үү). үнэ цэнэ гэж үзье ДБид Ep-ийн үнэ цэнийг мэдэж, олох болно
6-р бүлгийн (6.3.5) томъёог ашиглан бид (14.3.5)-ын зүүн талын магадлалыг хэвийн тархалтын функцээр илэрхийлнэ.
тооцооны стандарт хазайлт хаана байна Т.
Eq-аас.
Sp-ийн утгыг ол: 
arg Ф* (х) нь Ф*-ийн урвуу функц юм. (X),тэдгээр. хэвийн тархалтын функц нь тэнцүү байх аргументийн ийм утга X.
Тархалт D,үүгээр тоо хэмжээг илэрхийлнэ А 1P, бид яг таг мэдэхгүй байна; түүний ойролцоо утгын хувьд та тооцооллыг ашиглаж болно Д(14.3.4) болон ойролцоогоор тавина:
Ийнхүү итгэлцлийн интервалыг бий болгох асуудлыг ойролцоогоор шийдсэн бөгөөд энэ нь:
Энд gp-ийг (14.3.7) томъёогоор тодорхойлно.
s p-ийг тооцоолохдоо Ф* (l) функцийн хүснэгтэд урвуу интерполяци хийхээс зайлсхийхийн тулд хэмжигдэхүүний утгыг өгдөг тусгай хүснэгтийг (Хүснэгт 14.3.1) эмхэтгэх нь тохиромжтой.
r-ээс хамаарна. Утга (p нь хэвийн хуулийн хувьд тархалтын төвөөс баруун болон зүүн тийш зурсан стандарт хазайлтын тоог тодорхойлдог бөгөөд ингэснээр үүссэн хэсэгт орох магадлал p-тэй тэнцүү байна.
7 p-ийн утгаар итгэлийн интервалыг дараах байдлаар илэрхийлнэ.
Хүснэгт 14.3.1
Жишээ 1. Хэмжигдэхүүн дээр 20 туршилт хийсэн X;үр дүнг хүснэгтэд үзүүлэв. 14.3.2.
Хүснэгт 14.3.2
Хэмжигдэхүүний математик хүлээлтээс тооцооллыг олох шаардлагатай X p = 0.8 итгэх магадлалд харгалзах итгэлийн интервалыг байгуулна.
Шийдэл.Бидэнд байгаа:
Лавлах цэг болгон l: = 10-ийг сонгосноор гурав дахь томьёог (14.2.14) ашиглан бид шударга бус үнэлгээг олно. Д :
Хүснэгтийн дагуу 14.3.1 бид олдог 
Итгэлийн хязгаарлалт:
Итгэлийн интервал:
Параметрийн утгууд Т,Энэ интервалд байгаа үзүүлэлтүүд нь хүснэгтэд өгсөн туршилтын өгөгдөлтэй нийцэж байна. 14.3.2.
Үүнтэй адилаар хэлбэлзлийн итгэлийн интервалыг байгуулж болно.
Үүнийг үйлдвэрлэе Псанамсаргүй хэмжигдэхүүн дээр бие даасан туршилтууд XА болон дисперсийн аль алинд нь үл мэдэгдэх параметртэй ДШударга бус үнэлгээг авсан:
Энэ нь хэлбэлзлийн итгэлцлийн интервалыг ойролцоогоор бий болгох шаардлагатай.
Томъёогоор (14.3.11) тодорхой байна Дтөлөөлдөг
хэмжээ Пхэлбэрийн санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд. Эдгээр үнэ цэнэ нь тийм биш юм
бие даасан, учир нь тэдгээрийн аль нэг нь тоо хэмжээг агуулдаг Т,бусдаас хамааралтай. Гэсэн хэдий ч нэмэгдэх тусам үүнийг харуулж болно Птэдгээрийн нийлбэрийн тархалтын хууль мөн хэвийн хэмжээнд ойртоно. Бараг цагт П= 20...30 аль хэдийн хэвийн гэж үзэж болно.
Ийм байна гэж үзээд энэ хуулийн шинж чанаруудыг олъё: математикийн хүлээлт ба тархалт. Үнэлгээнээс хойш Д- тэгвэл шударга бус M[D] = D.
Зөрчлийн тооцоо Д Дхарьцангуй төвөгтэй тооцоололтой холбоотой тул бид түүний илэрхийлэлийг гаралгүйгээр танилцуулж байна:
Энд q 4 нь магнитудын дөрөв дэх төв момент юм X.
Энэ илэрхийллийг ашиглахын тулд та \u003d 4 ба утгыг орлуулах хэрэгтэй Д(ядаж ойр байдаг). Оронд нь ДТа түүний үнэлгээг ашиглаж болно Д.Зарчмын хувьд дөрөв дэх төв мөчийг тооцоолол, жишээлбэл, маягтын утгаар сольж болно.
гэхдээ ийм орлуулалт нь маш бага нарийвчлалыг өгөх болно, учир нь ерөнхийдөө хязгаарлагдмал тооны туршилтаар өндөр эрэмбийн мөчүүдийг том алдаагаар тодорхойлдог. Гэсэн хэдий ч практикт энэ нь ихэвчлэн тоо хэмжээний хуваарилалтын хуулийн төрөл тохиолддог XУрьдчилан мэдэгдэж байгаа: зөвхөн түүний параметрүүд тодорхойгүй байна. Дараа нь та μ 4-ээр дамжуулан илэрхийлэхийг оролдож болно Д.
Хамгийн түгээмэл тохиолдлыг авч үзье, хэзээ үнэ цэнэ Xердийн хуулийн дагуу хуваарилагдсан. Дараа нь түүний дөрөв дэх төв мөчийг тархалтын хувьд илэрхийлнэ (6-р бүлгийн 6.2-р хэсгийг үзнэ үү);
ба томъёо (14.3.12) өгнө 
эсвэл
(14.3.14) дэх үл мэдэгдэх зүйлийг орлуулах Дтүүний үнэлгээ Д, бид авдаг: хаанаас 
Момент μ 4-ийг дамжуулан илэрхийлж болно Дмөн бусад зарим тохиолдолд үнэ цэнийг хуваарилах үед Xхэвийн биш боловч гадаад төрх нь мэдэгдэж байна. Жишээлбэл, жигд нягтын хуулийн хувьд (5-р бүлгийг үзнэ үү) бид дараах байдалтай байна. 
Энд (a, P) нь хуулийг тодорхойлсон интервал юм.
Тиймээс,
(14.3.12) томъёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг авна. 
ойролцоогоор хаанаас олох вэ
26-р хэмжигдэхүүнийг хуваарилах хуулийн төрөл тодорхойгүй тохиолдолд а/)-ийн утгыг ойролцоогоор тооцоолохдоо энэ хуулийг батлах онцгой шалтгаан байхгүй бол (14.3.16) томъёог ашиглахыг зөвлөж байна. Энэ нь ердийнхөөс эрс ялгаатай (эерэг эсвэл сөрөг куртозтой) .
Хэрэв a/)-ийн ойролцоо утгыг аль нэг аргаар олж авсан бол бид математикийн хүлээлтэд зориулж бүтээсэнтэй ижил аргаар дисперсийн итгэлцлийн интервалыг байгуулж болно.
өгөгдсөн p магадлалаас хамаарах утгыг хүснэгтийн дагуу олно. 14.3.1.
Жишээ 2. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийн хувьд ойролцоогоор 80%-ийн итгэлийн интервалыг ол. X 1-р жишээний нөхцөлд, хэрэв энэ нь мэдэгдэж байгаа бол үнэ цэнэ Xхэвийн хэмжээнд ойрхон хуулийн дагуу хуваарилагдсан.
Шийдэл.Утга нь хүснэгтэд байгаатай ижил хэвээр байна. 14.3.1:
Томъёоны дагуу (14.3.16)
(14.3.18) томъёог ашиглан бид итгэлийн интервалыг олно:
Стандарт хазайлтын утгын харгалзах хүрээ: (0.21; 0.29).
14.4. Ердийн хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний параметрүүдийн итгэлийн интервалыг бий болгох нарийн аргууд
Өмнөх дэд хэсэгт бид математикийн хүлээлт ба дисперсийн итгэлцлийн интервалыг бий болгох ойролцоогоор аргуудыг судалж үзсэн. Энд бид ижил асуудлыг шийдэх тодорхой аргуудын талаар санаа өгөх болно. Итгэлийн интервалыг үнэн зөв олохын тулд хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийн хэлбэрийг урьдчилан мэдэх зайлшгүй шаардлагатай гэдгийг бид онцолж байна. X,харин ойролцоо аргыг хэрэглэхэд энэ шаардлагагүй.
Итгэлийн интервалыг бий болгох үнэн зөв аргуудын санаа нь дараахь зүйлээс үүдэлтэй. Аливаа итгэлцлийн интервал нь бидний сонирхож буй тооцоог багтаасан тодорхой тэгш бус байдлыг биелүүлэх магадлалыг илэрхийлсэн нөхцлөөс олддог. А.Үнэлгээний хуваарилалтын хууль Аерөнхий тохиолдолд хэмжигдэхүүний үл мэдэгдэх параметрүүдээс хамаарна X.Гэсэн хэдий ч заримдаа санамсаргүй хэмжигдэхүүнээс тэгш бус байдлыг дамжуулах боломжтой байдаг Аажиглагдсан утгуудын бусад функцэд X p X 2, ..., X х.тархалтын хууль нь үл мэдэгдэх параметрээс хамаардаггүй, зөвхөн туршилтын тоо, хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийн төрлөөс хамаарна. X.Эдгээр төрлийн санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь математик статистикт чухал үүрэг гүйцэтгэдэг; хэмжигдэхүүнийг хэвийн хуваарилах тохиолдолд тэдгээрийг хамгийн нарийвчлан судалсан X.
Жишээлбэл, утгын хэвийн тархалттай байх нь батлагдсан Xсанамсаргүй утга
гэж нэрлэгддэг зүйлд захирагддаг Оюутны хуваарилалтын хууль-тай П- 1 градусын эрх чөлөө; Энэ хуулийн нягтрал нь хэлбэртэй байна
Энд G(x) нь мэдэгдэж буй гамма функц юм:
Мөн санамсаргүй хэмжигдэхүүн болох нь батлагдсан
-тай "% 2 тархалт" байна П- 1 градусын эрх чөлөө (7-р бүлгийг үз), нягтралыг томъёогоор илэрхийлнэ
Тархалтын (14.4.2) ба (14.4.4) гарал үүслийн талаар ярихгүйгээр бид параметрийн итгэлцлийн интервалыг байгуулахдаа тэдгээрийг хэрхэн ашиглаж болохыг харуулах болно. ty D.
Үүнийг үйлдвэрлэе Псанамсаргүй хэмжигдэхүүн дээр бие даасан туршилтууд X,үл мэдэгдэх параметрүүдээр хэвийн тархсан T&O.Эдгээр үзүүлэлтүүдийн хувьд тооцооллыг авсан
Итгэлийн магадлал p-тэй харгалзах хоёр параметрийн хувьд итгэлцлийн интервалыг байгуулах шаардлагатай.
Эхлээд математикийн хүлээлтийн итгэлийн интервалыг байгуулъя. Энэ интервалыг тэгш хэмтэй авч үзэх нь зүйн хэрэг юм Т; s p интервалын уртын хагасыг тэмдэглэе. Нөхцөлийг хангахын тулд s p утгыг сонгох ёстой
Санамсаргүй хэмжигдэхүүнээс тэгш байдлын (14.4.5) зүүн талд шилжихийг оролдъё Тсанамсаргүй хэмжигдэхүүн рүү Т,Оюутны хуулийн дагуу хуваарилагдсан. Үүнийг хийхийн тулд |m-w?| тэгш бус байдлын хоёр талыг үржүүлнэ
эерэг утгаар: 
эсвэл тэмдэглэгээг ашиглан (14.4.1),
Нөхцөлөөс / p утгыг олох боломжтой / p тоог олъё
(14.4.2) томъёоноос (1) тэгш функц болох нь тодорхой байна, тиймээс (14.4.8) 
Тэгш байдал (14.4.9) нь p-ээс хамаарч утгыг / p-ийг тодорхойлно. Хэрэв танд интеграл утгуудын хүснэгт байгаа бол
дараа нь /p-ийн утгыг урвуу интерполяцаар хүснэгтээс олж болно. Гэхдээ /p утгын хүснэгтийг урьдчилан гаргах нь илүү тохиромжтой. Ийм хүснэгтийг Хавсралтад өгсөн болно (Хүснэгт 5). Энэ хүснэгтэд итгэлийн түвшин p болон эрх чөлөөний зэрэглэлийн тооноос хамаарч утгуудыг харуулав П- 1. Хүснэгтээс тодорхойлсны дараа / p. 5 ба таамаглаж байна 
бид итгэлцлийн интервал / p ба интервалын өргөний хагасыг олох болно
Жишээ 1. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн дээр бие даасан 5 туршилт хийсэн X,үл мэдэгдэх параметрүүдээр хэвийн тархсан Тболон тухай. Туршилтын үр дүнг хүснэгтэд үзүүлэв. 14.4.1.
Хүснэгт 14.4.1
Үнэлгээ олох ТМатематикийн хүлээлтийн хувьд 90% -ийн итгэлцлийн интервал / p-ийг байгуулна (өөрөөр хэлбэл итгэлийн магадлалд харгалзах интервал p = 0.9).
Шийдэл.Бидэнд байгаа:
Өргөдлийн 5-р хүснэгтийн дагуу P - 1 = 4 ба p = 0.9-ийг бид олно 
хаана 
Итгэлийн интервал нь байх болно
Жишээ 2. 14.3-р дэд хэсгийн 1-р жишээний нөхцлийн хувьд утгыг авч үзнэ. Xхэвийн тархалттай, тодорхой итгэлийн интервалыг ол.
Шийдэл.Хавсралтын 5-р хүснэгтээс харахад бид хэзээ болохыг олж мэднэ P - 1 = 19ir =
0.8 / p =1.328; эндээс 
14.3-р дэд хэсгийн 1-р жишээний шийдэлтэй харьцуулбал (e p = 0.072) зөрүү нь маш бага гэдэгт бид итгэлтэй байна. Хэрэв бид хоёр дахь аравтын бутархайн нарийвчлалыг хадгалах юм бол яг ба ойролцоо аргуудаар олсон итгэлийн интервалууд давхцдаг.
Вариацын итгэлцлийн интервалыг байгуулах ажлыг үргэлжлүүлье. Шударга бус дисперсийн тооцоологчийг авч үзье
санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг илэрхийлнэ Дхэмжээгээр дамжуулан В(14.4.3), тархалт x 2 (14.4.4):
Хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг мэдэх V,өгөгдсөн p магадлалтайгаар унах /(1) интервалыг олж болно.
Хуваарилалтын хууль kn_x(v) I 7 магнитуд нь зурагт үзүүлсэн хэлбэртэй байна. 14.4.1.
Цагаан будаа. 14.4.1
Асуулт гарч ирнэ: интервал / p-ийг хэрхэн сонгох вэ? Хэмжээний тархалтын хууль бол Втэгш хэмтэй байсан (хэвийн хууль эсвэл Оюутны тархалт гэх мэт), математикийн хүлээлттэй харьцуулахад /p интервалыг тэгш хэмтэй авах нь зүйн хэрэг. Энэ тохиолдолд хууль k p_x (v)тэгш бус. Утгын магадлал байхын тулд /p интервалыг сонгохыг зөвшөөрье Вбаруун ба зүүн талын интервалаас цааш (14.4.1-р зураг дээрх сүүдэртэй хэсгүүд) ижил бөгөөд тэнцүү байв.
Энэ шинж чанартай интервал /p байгуулахын тулд бид хүснэгтийг ашиглана. 4 програм: энэ нь тоо агуулсан у)тиймэрхүү
үнэ цэнийн хувьд V,х 2-тэй - r эрх чөлөөний зэрэгтэй тархалт. Манай тохиолдолд r = n- 1. Засацгаая r = n- 1 ба хүснэгтийн харгалзах мөрөнд олно. 4 хоёр утгатай x 2 -нэг нь магадлалд тохирох нөгөө нь - магадлал Эдгээрийг тэмдэглэе
үнэт зүйлс 2 цагтТэгээд xl?Интервал байна y 2,зүүн талдаа, мөн y~баруун төгсгөл.
Одоо / p интервалаас хүссэн итгэлийн интервалыг /|, D хилтэй тархалтын хувьд олъё. D2,цэгийг хамардаг Д p магадлалтай: 
Цэгийг хамарсан / (, = (?> ь А) интервал байгуулъя Дхэрэв зөвхөн үнэ цэнэ В/r интервалд ордог. Интервал гэдгийг харуулъя
энэ нөхцлийг хангаж байна. Үнэхээр тэгш бус байдал 
тэгш бус байдалтай тэнцүү байна
ба эдгээр тэгш бус байдал нь p магадлалд хангагдана. Ийнхүү дисперсийн итгэлцлийн интервал олдсон ба (14.4.13) томъёогоор илэрхийлэгдэнэ.
Жишээ 3. 14.3-р дэд хэсгийн 2-р жишээний нөхцлийн дагуу хэлбэлзлийн итгэлцлийн интервалыг ол. Xхэвийн тархсан.
Шийдэл.Бидэнд байгаа 
. Хавсралтын 4-р хүснэгтийн дагуу
бид олдог r = n - 1 = 19
(14.4.13) томъёог ашиглан бид дисперсийн итгэлцлийн интервалыг олно 
Стандарт хазайлтын харгалзах интервал нь (0.21; 0.32) байна. Энэ интервал нь ойролцоогоор аргыг ашиглан 14.3-р дэд хэсгийн 2-р жишээнд авсан интервалаас (0.21; 0.29) бага зэрэг давсан байна.
- Зураг 14.3.1-д итгэлцлийн интервалыг тэгш хэмтэй авч үзсэн. Ерөнхийдөө бид дараа нь харах болно, энэ нь шаардлагагүй юм.
Ачааж байна...
