Ταλάντωση και κύματα. Αρμονική ταλαντωτική κίνηση
Αρμονικές δονήσεις
Γραφήματα συναρτήσεων φά(Χ) = αμαρτία( Χ) Και σολ(Χ) = cos( Χ) στο καρτεσιανό επίπεδο.
Αρμονική ταλάντωση- ταλαντώσεις στις οποίες μια φυσική (ή οποιαδήποτε άλλη) ποσότητα αλλάζει με την πάροδο του χρόνου σύμφωνα με έναν ημιτονοειδές ή συνημιτονικό νόμο. Η κινηματική εξίσωση των αρμονικών ταλαντώσεων έχει τη μορφή
,Οπου Χ- μετατόπιση (απόκλιση) του σημείου ταλάντωσης από τη θέση ισορροπίας τη στιγμή t. ΕΝΑ- πλάτος ταλαντώσεων, αυτή είναι η τιμή που καθορίζει τη μέγιστη απόκλιση του σημείου ταλάντωσης από τη θέση ισορροπίας. ω - κυκλική συχνότητα, τιμή που υποδεικνύει τον αριθμό των πλήρων ταλαντώσεων που συμβαίνουν εντός 2π δευτερολέπτων - πλήρης φάση ταλαντώσεων, - αρχική φάση ταλαντώσεων.
Γενικευμένη αρμονική ταλάντωση σε διαφορική μορφή
(Οποιαδήποτε μη τετριμμένη λύση αυτής της διαφορικής εξίσωσης είναι μια αρμονική ταλάντωση με κυκλική συχνότητα)
Είδη δονήσεων
Χρονική εξέλιξη της μετατόπισης, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης σε αρμονική κίνηση
- Δωρεάν δονήσειςεκτελούνται υπό την επίδραση εσωτερικών δυνάμεων του συστήματος αφού το σύστημα έχει απομακρυνθεί από τη θέση ισορροπίας του. Για να είναι αρμονικές οι ελεύθερες ταλαντώσεις, είναι απαραίτητο το ταλαντωτικό σύστημα να είναι γραμμικό (περιγράφεται με γραμμικές εξισώσεις κίνησης) και να μην υπάρχει διασπορά ενέργειας σε αυτό (η τελευταία θα προκαλούσε εξασθένηση).
- Αναγκαστικοί κραδασμοίεκτελούνται υπό την επίδραση μιας εξωτερικής περιοδικής δύναμης. Για να είναι αρμονικά, αρκεί το ταλαντωτικό σύστημα να είναι γραμμικό (περιγράφεται με γραμμικές εξισώσεις κίνησης) και η ίδια η εξωτερική δύναμη να αλλάζει με την πάροδο του χρόνου ως αρμονική ταλάντωση (δηλαδή ότι η χρονική εξάρτηση αυτής της δύναμης είναι ημιτονοειδής). .
Εφαρμογή
Οι αρμονικοί κραδασμοί ξεχωρίζουν από όλους τους άλλους τύπους δονήσεων για τους ακόλουθους λόγους:
δείτε επίσης
Σημειώσεις
Βιβλιογραφία
- Η φυσικη. Δημοτικό εγχειρίδιο φυσικής / Εκδ. G. S. Lansberg. - 3η έκδ. - Μ., 1962. - Τ. 3.
- Khaikin S. E.Φυσικά θεμέλια της μηχανικής. - Μ., 1963.
- A. M. Afonin.Φυσικά θεμέλια της μηχανικής. - Εκδ. MSTU im. Bauman, 2006.
- Gorelik G. S.Ταλαντώσεις και κύματα. Εισαγωγή στην ακουστική, ραδιοφυσική και οπτική. - Μ.: Fizmatlit, 1959. - 572 σελ.
Ίδρυμα Wikimedia. 2010.
Δείτε τι είναι οι "Αρμονικές ταλαντώσεις" σε άλλα λεξικά:
Σύγχρονη εγκυκλοπαίδεια
Αρμονικές δονήσεις- ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ΔΟΝΗΣΕΙΣ, περιοδικές αλλαγές σε μια φυσική ποσότητα που συμβαίνουν σύμφωνα με τον ημιτονοειδή νόμο. Γραφικά, οι αρμονικές ταλαντώσεις αντιπροσωπεύονται από μια ημιτονοειδή καμπύλη. Οι αρμονικές ταλαντώσεις είναι ο απλούστερος τύπος περιοδικών κινήσεων, που χαρακτηρίζονται από... Εικονογραφημένο Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό
Ταλαντώσεις στις οποίες ένα φυσικό μέγεθος αλλάζει με την πάροδο του χρόνου σύμφωνα με το νόμο του ημιτονοειδούς ή συνημιτόνου. Γραφικά, τα GK αντιπροσωπεύονται από ένα καμπύλο ημιτονοειδές κύμα ή συνημιτονικό κύμα (βλ. σχήμα). μπορούν να γραφτούν με τη μορφή: x = Asin (ωt + φ) ή x... Μεγάλη Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια
ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ΔΟΝΗΣΕΙΣ, περιοδική κίνηση όπως η κίνηση ενός εκκρεμούς, ατομικές δονήσεις ή ταλαντώσεις σε ένα ηλεκτρικό κύκλωμα. Ένα σώμα εκτελεί μη απόσβεση αρμονικές ταλαντώσεις όταν ταλαντώνεται κατά μήκος μιας γραμμής, κινώντας το ίδιο... ... Επιστημονικό και τεχνικό εγκυκλοπαιδικό λεξικό
Ταλαντώσεις, με τις οποίες φυσ (ή οποιαδήποτε άλλη) ποσότητα αλλάζει με την πάροδο του χρόνου σύμφωνα με έναν ημιτονοειδές νόμο: x=Asin(wt+j), όπου x είναι η τιμή της κυμαινόμενης ποσότητας σε μια δεδομένη στιγμή. στιγμή του χρόνου t (για μηχανικό G.K., για παράδειγμα, μετατόπιση ή ταχύτητα, για ... ... Φυσική εγκυκλοπαίδεια
αρμονικές δονήσεις- Μηχανικές ταλαντώσεις, στις οποίες η γενικευμένη συντεταγμένη και (ή) η γενικευμένη ταχύτητα αλλάζουν ανάλογα με το ημίτονο με όρισμα γραμμικά εξαρτώμενο από το χρόνο. [Συλλογή προτεινόμενων όρων. Τεύχος 106. Μηχανικοί κραδασμοί. Ακαδημία Επιστημών… Οδηγός Τεχνικού Μεταφραστή
Ταλαντώσεις, με τις οποίες φυσ (ή οποιαδήποτε άλλη) ποσότητα αλλάζει με την πάροδο του χρόνου σύμφωνα με έναν ημιτονοειδές νόμο, όπου x είναι η τιμή της ταλαντούμενης ποσότητας τη στιγμή t (για μηχανικά υδραυλικά συστήματα, για παράδειγμα, μετατόπιση και ταχύτητα, για ηλεκτρική τάση και ισχύ ρεύματος) ... Φυσική εγκυκλοπαίδεια
ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ΔΟΝΗΣΕΙΣ- (βλ.), σε ποια φυσική. μια ποσότητα αλλάζει με την πάροδο του χρόνου σύμφωνα με το νόμο του ημιτονοειδούς ή συνημιτόνου (για παράδειγμα, αλλαγές (βλ.) και ταχύτητα κατά την ταλάντωση (βλ.) ή αλλαγές (βλ.) και ισχύς ρεύματος κατά τη διάρκεια ηλεκτρικών κυκλωμάτων) ... Μεγάλη Πολυτεχνική Εγκυκλοπαίδεια
Χαρακτηρίζονται από αλλαγή της ταλαντούμενης τιμής x (για παράδειγμα, η απόκλιση του εκκρεμούς από τη θέση ισορροπίας, η τάση στο κύκλωμα εναλλασσόμενου ρεύματος κ.λπ.) σε χρόνο t σύμφωνα με το νόμο: x = Asin (?t + ?), όπου Α είναι το πλάτος των αρμονικών ταλαντώσεων, ? γωνία... ... Μεγάλο Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό
Αρμονικές δονήσεις- 19. Αρμονικές ταλαντώσεις Ταλαντώσεις στις οποίες οι τιμές της ταλαντούμενης ποσότητας αλλάζουν με την πάροδο του χρόνου σύμφωνα με το νόμο Πηγή ... Λεξικό-βιβλίο αναφοράς όρων κανονιστικής και τεχνικής τεκμηρίωσης
Περιοδικός διακυμάνσεις, στις οποίες αλλαγές στο χρόνο φυσικές. Οι ποσότητες εμφανίζονται σύμφωνα με το νόμο του ημιτονοειδούς ή συνημιτόνου (βλ. σχήμα): s = Аsin(wt+ф0), όπου s είναι η απόκλιση της ταλαντούμενης ποσότητας από τον μέσο όρο της. (ισορροπία) τιμή, A=const πλάτος, w= const κυκλική... Μεγάλο Εγκυκλοπαιδικό Πολυτεχνικό Λεξικό
Ταλαντωτική κίνηση- περιοδική ή σχεδόν περιοδική κίνηση ενός σώματος, η συντεταγμένη, η ταχύτητα και η επιτάχυνση του οποίου σε ίσα χρονικά διαστήματα λαμβάνουν περίπου τις ίδιες τιμές.
Οι μηχανικοί κραδασμοί συμβαίνουν όταν, όταν ένα σώμα απομακρύνεται από μια θέση ισορροπίας, εμφανίζεται μια δύναμη που τείνει να επιστρέψει το σώμα πίσω.
Η μετατόπιση x είναι η απόκλιση του σώματος από τη θέση ισορροπίας.
Το πλάτος Α είναι το δομοστοιχείο της μέγιστης μετατόπισης του σώματος.
Περίοδος ταλάντωσης T - χρόνος μιας ταλάντωσης:
Συχνότητα ταλάντωσης
Ο αριθμός των ταλαντώσεων που εκτελούνται από ένα σώμα ανά μονάδα χρόνου: Κατά τη διάρκεια των ταλαντώσεων, η ταχύτητα και η επιτάχυνση αλλάζουν περιοδικά. Στη θέση ισορροπίας, η ταχύτητα είναι μέγιστη και η επιτάχυνση μηδενική. Στα σημεία της μέγιστης μετατόπισης, η επιτάχυνση φτάνει στο μέγιστο και η ταχύτητα μηδενίζεται.
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΔΟΝΗΣΗΣ
ΑρμονικόςΟι δονήσεις που συμβαίνουν σύμφωνα με το νόμο του ημιτόνου ή του συνημιτονοειδούς ονομάζονται:
όπου x(t) είναι η μετατόπιση του συστήματος τη στιγμή t, A είναι το πλάτος, ω η κυκλική συχνότητα των ταλαντώσεων.
Εάν σχεδιάσετε την απόκλιση του σώματος από τη θέση ισορροπίας κατά μήκος του κατακόρυφου άξονα και του χρόνου κατά μήκος του οριζόντιου άξονα, θα λάβετε ένα γράφημα της ταλάντωσης x = x(t) - η εξάρτηση της μετατόπισης του σώματος από το χρόνο. Για ελεύθερες αρμονικές ταλαντώσεις, είναι ημιτονοειδές κύμα ή συνημιτονικό κύμα. Το σχήμα δείχνει γραφήματα της εξάρτησης της μετατόπισης x, των προβολών της ταχύτητας V x και της επιτάχυνσης a x στον χρόνο.
Όπως φαίνεται από τα γραφήματα, στη μέγιστη μετατόπιση x, η ταχύτητα V του ταλαντούμενου σώματος είναι μηδέν, η επιτάχυνση a, και επομένως η δύναμη που ασκεί το σώμα, είναι μέγιστη και κατευθύνεται αντίθετα από τη μετατόπιση. Στη θέση ισορροπίας, η μετατόπιση και η επιτάχυνση γίνονται μηδέν και η ταχύτητα είναι μέγιστη. Η προβολή επιτάχυνσης έχει πάντα το αντίθετο πρόσημο από τη μετατόπιση.
ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΔΟΝΗΣΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ
Η συνολική μηχανική ενέργεια ενός ταλαντούμενου σώματος είναι ίση με το άθροισμα της κινητικής και της δυνητικής του ενέργειας και, απουσία τριβής, παραμένει σταθερή:
Τη στιγμή που η μετατόπιση φτάσει στο μέγιστο x = A, η ταχύτητα και μαζί της η κινητική ενέργεια μηδενίζονται.
Στην περίπτωση αυτή, η συνολική ενέργεια είναι ίση με τη δυναμική ενέργεια:
Η συνολική μηχανική ενέργεια ενός ταλαντούμενου σώματος είναι ανάλογη του τετραγώνου του πλάτους των ταλαντώσεων του.
Όταν το σύστημα περνά από τη θέση ισορροπίας, η μετατόπιση και η δυναμική ενέργεια είναι μηδέν: x = 0, E p = 0. Επομένως, η συνολική ενέργεια είναι ίση με την κινητική ενέργεια:
Η συνολική μηχανική ενέργεια ενός ταλαντούμενου σώματος είναι ανάλογη του τετραγώνου της ταχύτητάς του στη θέση ισορροπίας. Ως εκ τούτου:
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ Εκκρεμές
1. Μαθηματικό εκκρεμέςείναι ένα υλικό σημείο που αιωρείται σε ένα αβαρές μη εκτάσιμο νήμα.
Στη θέση ισορροπίας, η δύναμη της βαρύτητας αντισταθμίζεται από την τάση του νήματος. Εάν το εκκρεμές εκτραπεί και απελευθερωθεί, τότε οι δυνάμεις θα πάψουν να αντισταθμίζουν η μία την άλλη και θα προκύψει μια προκύπτουσα δύναμη κατευθυνόμενη προς τη θέση ισορροπίας. Δεύτερος νόμος του Νεύτωνα:
Για μικρές ταλαντώσεις, όταν η μετατόπιση x είναι πολύ μικρότερη από l, το υλικό σημείο θα κινηθεί σχεδόν κατά μήκος του οριζόντιου άξονα x. Τότε από το τρίγωνο MAB παίρνουμε:
Επειδή sin a = x/l, τότε η προβολή της δύναμης που προκύπτει R στον άξονα x είναι ίση με
Το πρόσημο μείον δείχνει ότι η δύναμη R κατευθύνεται πάντα αντίθετα από τη μετατόπιση x.
2. Άρα, κατά τις ταλαντώσεις ενός μαθηματικού εκκρεμούς, καθώς και κατά τις ταλαντώσεις ενός εκκρεμούς ελατηρίου, η δύναμη επαναφοράς είναι ανάλογη της μετατόπισης και κατευθύνεται προς την αντίθετη κατεύθυνση.
Ας συγκρίνουμε τις εκφράσεις για τη δύναμη επαναφοράς των μαθηματικών και ελατηριωτών εκκρεμών:
Μπορεί να φανεί ότι το mg/l είναι ανάλογο του k. Αντικατάσταση του k με mg/l στον τύπο για την περίοδο ενός εκκρεμούς ελατηρίου
παίρνουμε τον τύπο για την περίοδο ενός μαθηματικού εκκρεμούς:
Η περίοδος των μικρών ταλαντώσεων ενός μαθηματικού εκκρεμούς δεν εξαρτάται από το πλάτος.
Ένα μαθηματικό εκκρεμές χρησιμοποιείται για τη μέτρηση του χρόνου και τον προσδιορισμό της επιτάχυνσης της βαρύτητας σε μια δεδομένη θέση στην επιφάνεια της γης.
Οι ελεύθερες ταλαντώσεις ενός μαθηματικού εκκρεμούς σε μικρές γωνίες απόκλισης είναι αρμονικές. Εμφανίζονται λόγω της προκύπτουσας δύναμης βαρύτητας και της δύναμης τάσης του νήματος, καθώς και της αδράνειας του φορτίου. Το αποτέλεσμα αυτών των δυνάμεων είναι η δύναμη επαναφοράς.
Παράδειγμα.Προσδιορίστε την επιτάχυνση λόγω της βαρύτητας σε έναν πλανήτη όπου ένα εκκρεμές μήκους 6,25 m έχει περίοδο ελεύθερης ταλάντωσης 3,14 s.
Η περίοδος ταλάντωσης ενός μαθηματικού εκκρεμούς εξαρτάται από το μήκος του νήματος και την επιτάχυνση της βαρύτητας:
Τετραγωνίζοντας και τις δύο πλευρές της ισότητας, παίρνουμε:
Απάντηση:η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι 25 m/s 2 .
Προβλήματα και τεστ με θέμα «Θέμα 4. «Μηχανική. Ταλαντώσεις και κύματα».
- Εγκάρσια και διαμήκη κύματα. Μήκος κύματος
Μαθήματα: 3 Εργασίες: 9 Τεστ: 1
- Ηχητικά κύματα. Ταχύτητα ήχου - Μηχανικές δονήσεις και κύματα. Ήχος 9ης τάξης
1.Προσδιορισμός ταλαντευτικής κίνησης
Ταλαντωτική κίνηση- Αυτή είναι μια κίνηση που επαναλαμβάνεται ακριβώς ή περίπου σε τακτά χρονικά διαστήματα. Ιδιαίτερα τονίζεται η μελέτη της ταλαντωτικής κίνησης στη φυσική. Αυτό οφείλεται στην κοινότητα των προτύπων ταλαντωτικής κίνησης διαφόρων φύσεων και στις μεθόδους μελέτης της. Οι μηχανικοί, ακουστικοί, ηλεκτρομαγνητικοί κραδασμοί και τα κύματα εξετάζονται από μία μόνο οπτική γωνία. Η ταλαντωτική κίνηση είναι χαρακτηριστική όλων των φυσικών φαινομένων. Ρυθμικά επαναλαμβανόμενες διαδικασίες, όπως ο χτύπος της καρδιάς, συμβαίνουν συνεχώς μέσα σε οποιονδήποτε ζωντανό οργανισμό.
Μηχανικές δονήσειςΟι ταλαντώσεις είναι οποιαδήποτε φυσική διαδικασία που χαρακτηρίζεται από επαναληψιμότητα με την πάροδο του χρόνου.
Η τραχύτητα της θάλασσας, η αιώρηση ενός εκκρεμούς ρολογιού, οι δονήσεις του κύτους ενός πλοίου, ο χτύπος της ανθρώπινης καρδιάς, ο ήχος, τα ραδιοκύματα, το φως, τα εναλλασσόμενα ρεύματα - όλα αυτά είναι δονήσεις.
Κατά τη διαδικασία των ταλαντώσεων, οι τιμές των φυσικών μεγεθών που καθορίζουν την κατάσταση του συστήματος επαναλαμβάνονται σε ίσα ή άνισα χρονικά διαστήματα. Οι ταλαντώσεις λέγονται περιοδικός, εάν οι τιμές αλλαγής φυσικών μεγεθών επαναλαμβάνονται σε τακτά χρονικά διαστήματα.
Η συντομότερη χρονική περίοδος T, μετά την οποία επαναλαμβάνεται η τιμή ενός μεταβαλλόμενου φυσικού μεγέθους (σε μέγεθος και κατεύθυνση, αν αυτή η ποσότητα είναι διανυσματική, σε μέγεθος και πρόσημο, αν είναι βαθμωτή), ονομάζεται περίοδοςδισταγμός.
Ο αριθμός των πλήρων ταλαντώσεων n που γίνονται ανά μονάδα χρόνου ονομάζεται συχνότηταδιακυμάνσεις αυτής της τιμής και συμβολίζεται με ν. Η περίοδος και η συχνότητα των ταλαντώσεων σχετίζονται με τη σχέση:
Οποιαδήποτε ταλάντωση προκαλείται από τη μία ή την άλλη επιρροή στο σύστημα ταλάντωσης. Ανάλογα με τη φύση της επιρροής που προκαλεί τις ταλαντώσεις, διακρίνονται οι ακόλουθοι τύποι περιοδικών ταλαντώσεων: ελεύθερες, εξαναγκασμένες, αυτοταλαντώσεις, παραμετρικές.
Δωρεάν δονήσεις- πρόκειται για ταλαντώσεις που συμβαίνουν σε ένα σύστημα που αφήνεται μόνο του αφού απομακρυνθεί από μια κατάσταση σταθερής ισορροπίας (για παράδειγμα, ταλαντώσεις ενός φορτίου σε ένα ελατήριο).
Αναγκαστικοί κραδασμοί- πρόκειται για ταλαντώσεις που προκαλούνται από εξωτερική περιοδική επίδραση (για παράδειγμα, ηλεκτρομαγνητικές ταλαντώσεις σε μια κεραία τηλεόρασης).
Μηχανικόςδιακυμάνσεις
Αυτοταλαντώσεις- ελεύθερες ταλαντώσεις που υποστηρίζονται από μια εξωτερική πηγή ενέργειας, η οποία ενεργοποιείται τις σωστές χρονικές στιγμές από το ίδιο το σύστημα ταλάντωσης (για παράδειγμα, οι ταλαντώσεις ενός εκκρεμούς ρολογιού).
Παραμετρικές ταλαντώσεις- πρόκειται για ταλαντώσεις κατά τις οποίες συμβαίνει μια περιοδική αλλαγή σε κάποια παράμετρο του συστήματος (για παράδειγμα, ταλάντευση μιας ταλάντευσης: με οκλαδόν σε ακραίες θέσεις και ίσιωμα στη μεσαία θέση, ένα άτομο σε μια κούνια αλλάζει τη στιγμή αδράνειας της ταλάντευσης ).
Οι ταλαντώσεις που έχουν διαφορετική φύση αποκαλύπτουν πολλά κοινά: υπακούουν στους ίδιους νόμους, περιγράφονται από τις ίδιες εξισώσεις και μελετώνται με τις ίδιες μεθόδους. Αυτό καθιστά δυνατή τη δημιουργία μιας ενοποιημένης θεωρίας ταλαντώσεων.
Η απλούστερη από τις περιοδικές ταλαντώσεις
είναι αρμονικές δονήσεις.
Οι αρμονικές ταλαντώσεις είναι ταλαντώσεις κατά τις οποίες οι τιμές των φυσικών μεγεθών αλλάζουν με την πάροδο του χρόνου σύμφωνα με το νόμο του ημιτονοειδούς ή συνημιτόνου. Οι περισσότερες διεργασίες ταλάντωσης περιγράφονται από αυτόν τον νόμο ή μπορούν να εκφραστούν ως άθροισμα αρμονικών ταλαντώσεων.
Ένας άλλος «δυναμικός» ορισμός των αρμονικών ταλαντώσεων είναι δυνατός ως μια διαδικασία που εκτελείται υπό τη δράση ελαστικών ή «οιονεί ελαστικών»
2. Περιοδικόςονομάζονται ταλαντώσεις στις οποίες η διαδικασία επαναλαμβάνεται ακριβώς σε τακτά χρονικά διαστήματα.
Περίοδοςπεριοδικές ταλαντώσεις είναι ο ελάχιστος χρόνος μετά τον οποίο το σύστημα επιστρέφει στο αρχικό του
Το x είναι ένα ταλαντούμενο μέγεθος (για παράδειγμα, η ισχύς του ρεύματος σε ένα κύκλωμα, η κατάσταση και η επανάληψη της διαδικασίας αρχίζει. Μια διαδικασία που συμβαίνει κατά τη διάρκεια μιας περιόδου ταλάντωσης ονομάζεται "μία πλήρης ταλάντωση".
περιοδικές ταλαντώσεις είναι ο αριθμός των πλήρων ταλαντώσεων ανά μονάδα χρόνου (1 δευτερόλεπτο) - αυτός μπορεί να μην είναι ακέραιος.
T - περίοδος ταλάντωσης είναι ο χρόνος μιας πλήρους ταλάντωσης.
Για να υπολογίσετε τη συχνότητα v, πρέπει να διαιρέσετε 1 δευτερόλεπτο με το χρόνο T μιας ταλάντωσης (σε δευτερόλεπτα) και να πάρετε τον αριθμό των ταλαντώσεων σε 1 δευτερόλεπτο ή τη συντεταγμένη του σημείου) t - χρόνος
Αρμονική ταλάντωση
Πρόκειται για μια περιοδική ταλάντωση στην οποία η συντεταγμένη, η ταχύτητα, η επιτάχυνση που χαρακτηρίζουν την κίνηση αλλάζουν σύμφωνα με το νόμο του ημιτονοειδούς ή συνημιτόνου.
Αρμονικό γράφημα
Το γράφημα καθορίζει την εξάρτηση της μετατόπισης του σώματος με την πάροδο του χρόνου. Ας τοποθετήσουμε ένα μολύβι στο εκκρεμές του ελατηρίου και μια χαρτοταινία πίσω από το εκκρεμές, που κινείται ομοιόμορφα. Ή ας αναγκάσουμε ένα μαθηματικό εκκρεμές να αφήσει ένα ίχνος. Ένα πρόγραμμα κίνησης θα εμφανιστεί σε χαρτί.
Η γραφική παράσταση μιας αρμονικής ταλάντωσης είναι ένα ημιτονοειδές κύμα (ή συνημιτονικό κύμα). Από το γράφημα ταλάντωσης, μπορείτε να προσδιορίσετε όλα τα χαρακτηριστικά της ταλαντωτικής κίνησης.
Εξίσωση αρμονικής δόνησης
Η εξίσωση της αρμονικής ταλάντωσης καθορίζει την εξάρτηση των συντεταγμένων του σώματος από το χρόνο
Το γράφημα συνημιτόνου στην αρχική στιγμή έχει μέγιστη τιμή και το γράφημα ημιτόνου έχει μηδενική τιμή την αρχική στιγμή. Αν αρχίσουμε να εξετάζουμε την ταλάντωση από τη θέση ισορροπίας, τότε η ταλάντωση θα επαναλάβει ένα ημιτονοειδές. Αν αρχίσουμε να θεωρούμε την ταλάντωση από τη θέση της μέγιστης απόκλισης, τότε η ταλάντωση θα περιγραφεί με συνημίτονο. Ή μια τέτοια ταλάντωση μπορεί να περιγραφεί από τον ημιτονοειδές τύπο με μια αρχική φάση.
Αλλαγή ταχύτητας και επιτάχυνσης κατά την αρμονική ταλάντωση
Όχι μόνο η συντεταγμένη του σώματος αλλάζει με την πάροδο του χρόνου σύμφωνα με το νόμο του ημιτόνου ή του συνημιτονοειδούς. Αλλά μεγέθη όπως η δύναμη, η ταχύτητα και η επιτάχυνση αλλάζουν επίσης παρόμοια. Η δύναμη και η επιτάχυνση είναι μέγιστες όταν το ταλαντούμενο σώμα βρίσκεται στις ακραίες θέσεις όπου η μετατόπιση είναι μέγιστη και μηδενίζονται όταν το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας. Η ταχύτητα, αντίθετα, σε ακραίες θέσεις είναι μηδέν, και όταν το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας, φτάνει στη μέγιστη τιμή του.
Αν η ταλάντωση περιγράφεται από το νόμο του συνημιτόνου
Αν η ταλάντωση περιγράφεται σύμφωνα με τον ημιτονοειδή νόμο
Μέγιστες τιμές ταχύτητας και επιτάχυνσης
Έχοντας αναλύσει τις εξισώσεις της εξάρτησης v(t) και a(t), μπορούμε να μαντέψουμε ότι η ταχύτητα και η επιτάχυνση λαμβάνουν μέγιστες τιμές στην περίπτωση που ο τριγωνομετρικός παράγοντας είναι ίσος με 1 ή -1. Καθορίζεται από τον τύπο
Πώς να αποκτήσετε εξαρτήσεις v(t) και a(t)
(λατ. εύρος- μέγεθος) είναι η μεγαλύτερη απόκλιση ενός ταλαντούμενου σώματος από τη θέση ισορροπίας του.
Για ένα εκκρεμές, αυτή είναι η μέγιστη απόσταση που η μπάλα απομακρύνεται από τη θέση ισορροπίας της (σχήμα παρακάτω). Για ταλαντώσεις με μικρά πλάτη, μια τέτοια απόσταση μπορεί να ληφθεί ως το μήκος του τόξου 01 ή 02 και τα μήκη αυτών των τμημάτων.
Το πλάτος των ταλαντώσεων μετριέται σε μονάδες μήκους - μέτρα, εκατοστά, κ.λπ. Στο γράφημα ταλάντωσης, το πλάτος ορίζεται ως η μέγιστη (modulo) τεταγμένη της ημιτονοειδούς καμπύλης (βλ. παρακάτω σχήμα).
Περίοδος ταλάντωσης.
Περίοδος ταλάντωσης- αυτή είναι η συντομότερη χρονική περίοδος κατά την οποία ένα σύστημα που ταλαντώνεται επιστρέφει ξανά στην ίδια κατάσταση στην οποία βρισκόταν την αρχική χρονική στιγμή, επιλεγμένη αυθαίρετα.
Με άλλα λόγια, η περίοδος ταλάντωσης ( Τ) είναι ο χρόνος κατά τον οποίο συμβαίνει μία πλήρης ταλάντωση. Για παράδειγμα, στο παρακάτω σχήμα, αυτός είναι ο χρόνος που χρειάζεται για να μετακινηθεί το εκκρεμές από το δεξιότερο σημείο στο σημείο ισορροπίας ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕστο αριστερό άκρο και πίσω μέσα από το σημείο ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕπάλι προς τα δεξιά.
Κατά τη διάρκεια μιας ολόκληρης περιόδου ταλάντωσης, το σώμα διανύει έτσι μια διαδρομή ίση με τέσσερα πλάτη. Η περίοδος ταλάντωσης μετριέται σε μονάδες χρόνου - δευτερόλεπτα, λεπτά κ.λπ. Η περίοδος ταλάντωσης μπορεί να προσδιοριστεί από ένα γνωστό γράφημα ταλαντώσεων (βλ. παρακάτω σχήμα).
Η έννοια της «περιόδου ταλάντωσης», αυστηρά μιλώντας, ισχύει μόνο όταν οι τιμές της ταλαντούμενης ποσότητας επαναλαμβάνονται ακριβώς μετά από ένα ορισμένο χρονικό διάστημα, δηλαδή για αρμονικές ταλαντώσεις. Ωστόσο, αυτή η έννοια ισχύει επίσης για περιπτώσεις κατά προσέγγιση επαναλαμβανόμενων ποσοτήτων, για παράδειγμα, για απόσβεση ταλαντώσεων.
Συχνότητα ταλάντωσης.
Συχνότητα ταλάντωσης- αυτός είναι ο αριθμός των ταλαντώσεων που εκτελούνται ανά μονάδα χρόνου, για παράδειγμα, σε 1 s.
Η μονάδα συχνότητας SI ονομάζεται χέρτζ(Hz) προς τιμήν του Γερμανού φυσικού G. Hertz (1857-1894). Εάν η συχνότητα ταλάντωσης ( v) είναι ίσο με 1 Hz, αυτό σημαίνει ότι κάθε δευτερόλεπτο υπάρχει μία ταλάντωση. Η συχνότητα και η περίοδος των ταλαντώσεων σχετίζονται με τις σχέσεις:
Στη θεωρία των ταλαντώσεων χρησιμοποιούν και την έννοια κυκλικός, ή κυκλική συχνότητα ω . Σχετίζεται με την κανονική συχνότητα vκαι περίοδος ταλάντωσης Ταναλογίες:
.
Κυκλική συχνότηταείναι ο αριθμός των ταλαντώσεων που εκτελούνται ανά 2πδευτερόλεπτα
Οι αλλαγές σε οποιαδήποτε ποσότητα περιγράφονται χρησιμοποιώντας τους νόμους του ημιτόνου ή του συνημιτόνου, τότε τέτοιες ταλαντώσεις ονομάζονται αρμονικές. Ας εξετάσουμε ένα κύκλωμα που αποτελείται από έναν πυκνωτή (ο οποίος φορτίστηκε πριν συμπεριληφθεί στο κύκλωμα) και έναν επαγωγέα (Εικ. 1).
Εικόνα 1.
Η εξίσωση αρμονικών κραδασμών μπορεί να γραφτεί ως εξής:
$q=q_0cos((\omega )_0t+(\alpha )_0)$ (1)
όπου $t$ είναι ο χρόνος. $q$ χρέωση, $q_0$-- μέγιστη απόκλιση της χρέωσης από τη μέση (μηδενική) τιμή της κατά τις αλλαγές. $(\omega )_0t+(\alpha )_0$- φάση ταλάντωσης; $(\alpha )_0$- αρχική φάση; $(\omega )_0$ - κυκλική συχνότητα. Κατά τη διάρκεια της περιόδου, η φάση αλλάζει κατά $2\pi $.
Εξίσωση της μορφής:
εξίσωση αρμονικών ταλαντώσεων σε διαφορική μορφή για κύκλωμα ταλάντωσης που δεν θα περιέχει ενεργή αντίσταση.
Οποιοσδήποτε τύπος περιοδικών ταλαντώσεων μπορεί να αναπαρασταθεί με ακρίβεια ως άθροισμα αρμονικών ταλαντώσεων, οι λεγόμενες αρμονικές σειρές.
Για την περίοδο ταλάντωσης ενός κυκλώματος που αποτελείται από ένα πηνίο και έναν πυκνωτή, λαμβάνουμε τον τύπο του Thomson:
Αν διαφοροποιήσουμε την έκφραση (1) σε σχέση με το χρόνο, μπορούμε να λάβουμε τον τύπο για τη συνάρτηση $I(t)$:
Η τάση κατά μήκος του πυκνωτή μπορεί να βρεθεί ως:
Από τους τύπους (5) και (6) προκύπτει ότι η ένταση του ρεύματος είναι μεγαλύτερη από την τάση στον πυκνωτή κατά $\frac(\pi )(2).$
Οι αρμονικές ταλαντώσεις μπορούν να αναπαρασταθούν τόσο με τη μορφή εξισώσεων, συναρτήσεων όσο και με διανυσματικά διαγράμματα.
Η εξίσωση (1) αντιπροσωπεύει ελεύθερες ταλαντώσεις χωρίς απόσβεση.
Εξίσωση απόσβεσης ταλάντωσης
Η αλλαγή στη φόρτιση ($q$) στις πλάκες πυκνωτών στο κύκλωμα, λαμβάνοντας υπόψη την αντίσταση (Εικ. 2), θα περιγραφεί με μια διαφορική εξίσωση της μορφής:
Σχήμα 2.
Εάν η αντίσταση που είναι μέρος του κυκλώματος $R\
όπου $\omega =\sqrt(\frac(1)(LC)-\frac(R^2)(4L^2))$ είναι η συχνότητα κυκλικής ταλάντωσης. $\beta =\frac(R)(2L)-$συντελεστής απόσβεσης. Το πλάτος των αποσβεσμένων ταλαντώσεων εκφράζεται ως:
Εάν σε $t=0$ η φόρτιση του πυκνωτή είναι ίση με $q=q_0$ και δεν υπάρχει ρεύμα στο κύκλωμα, τότε για $A_0$ μπορούμε να γράψουμε:
Η φάση των ταλαντώσεων στην αρχική χρονική στιγμή ($(\alpha )_0$) είναι ίση με:
Όταν $R >2\sqrt(\frac(L)(C))$ η αλλαγή στο φορτίο δεν είναι ταλάντωση, η εκφόρτιση του πυκνωτή ονομάζεται απεριοδική.
Παράδειγμα 1
Ασκηση:Η μέγιστη τιμή χρέωσης είναι $q_0=10\ C$. Μεταβάλλεται αρμονικά με περίοδο $T= 5 s$. Προσδιορίστε το μέγιστο δυνατό ρεύμα.
Λύση:
Ως βάση για την επίλυση του προβλήματος χρησιμοποιούμε:
Για να βρεθεί η τρέχουσα ισχύς, η έκφραση (1.1) πρέπει να διαφοροποιηθεί ως προς το χρόνο:
όπου η μέγιστη (τιμή πλάτους) της ισχύος ρεύματος είναι η έκφραση:
Από τις συνθήκες του προβλήματος γνωρίζουμε την τιμή πλάτους της χρέωσης ($q_0=10\ C$). Θα πρέπει να βρείτε τη φυσική συχνότητα των ταλαντώσεων. Ας το εκφράσουμε ως εξής:
\[(\omega )_0=\frac(2\pi )(T)\αριστερά(1.4\δεξιά).\]
Σε αυτήν την περίπτωση, η επιθυμητή τιμή θα βρεθεί χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις (1.3) και (1.2) ως εξής:
Δεδομένου ότι όλες οι ποσότητες στις προβληματικές συνθήκες παρουσιάζονται στο σύστημα SI, θα πραγματοποιήσουμε τους υπολογισμούς:
Απάντηση:$I_0=12,56\ A.$
Παράδειγμα 2
Ασκηση:Ποια είναι η περίοδος ταλάντωσης σε ένα κύκλωμα που περιέχει επαγωγέα $L=1$H και έναν πυκνωτή, εάν η ισχύς του ρεύματος στο κύκλωμα αλλάζει σύμφωνα με το νόμο: $I\left(t\right)=-0.1sin20\ pi t\ \left(A \right);$ Ποια είναι η χωρητικότητα του πυκνωτή;
Λύση:
Από την εξίσωση των διακυμάνσεων του ρεύματος, που δίνεται στις συνθήκες του προβλήματος:
βλέπουμε ότι $(\omega )_0=20\pi $, επομένως, μπορούμε να υπολογίσουμε την περίοδο ταλάντωσης χρησιμοποιώντας τον τύπο:
\ \
Σύμφωνα με τον τύπο του Thomson για ένα κύκλωμα που περιέχει έναν επαγωγέα και έναν πυκνωτή, έχουμε:
Ας υπολογίσουμε την χωρητικότητα:
Απάντηση:$T=0,1$ c, $C=2,5\cdot (10)^(-4)F.$
Φόρτωση...
