Πώς να πολλαπλασιάσετε δυνάμεις, να πολλαπλασιάσετε δυνάμεις με διαφορετικούς εκθέτες. Ο βαθμός και οι ιδιότητές του

Είναι προφανές ότι οι αριθμοί με δυνάμεις μπορούν να προστεθούν όπως και άλλες ποσότητες , προσθέτοντάς τα το ένα μετά το άλλο με τα σημάδια τους.

Άρα, το άθροισμα των a 3 και b 2 είναι 3 + b 2.
Το άθροισμα ενός 3 - b n και του h 5 - d 4 είναι 3 - b n + h 5 - d 4.

Πιθανότητα ίσες δυνάμεις πανομοιότυπων μεταβλητώνμπορεί να προστεθεί ή να αφαιρεθεί.

Άρα, το άθροισμα των 2a 2 και 3a 2 είναι ίσο με 5a 2.

Είναι επίσης προφανές ότι αν πάρετε δύο τετράγωνα a, ή τρία τετράγωνα a, ή πέντε τετράγωνα a.

Αλλά πτυχία διάφορες μεταβλητέςΚαι διάφορους βαθμούς πανομοιότυπες μεταβλητές, πρέπει να συντίθεται προσθέτοντάς τα με τα σημάδια τους.

Άρα, το άθροισμα ενός 2 και ενός 3 είναι το άθροισμα ενός 2 + ένα 3.

Είναι προφανές ότι το τετράγωνο του α και ο κύβος του α δεν ισούται με το διπλάσιο του τετραγώνου του α, αλλά με το διπλάσιο του κύβου του α.

Το άθροισμα του a 3 b n και του 3a 5 b 6 είναι a 3 b n + 3a 5 b 6.

Αφαίρεσηοι εξουσίες εκτελούνται με τον ίδιο τρόπο όπως η πρόσθεση, εκτός από το ότι τα σημάδια των υποκατηγοριών πρέπει να αλλάξουν ανάλογα.

Ή:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Πολλαπλασιαζόμενες δυνάμεις

Οι αριθμοί με δυνάμεις μπορούν να πολλαπλασιαστούν, όπως και άλλες ποσότητες, γράφοντάς τους ο ένας μετά τον άλλο, με ή χωρίς πρόσημο πολλαπλασιασμού μεταξύ τους.

Έτσι, το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού του a 3 με το b 2 είναι a 3 b 2 ή aaabb.

Ή:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Το αποτέλεσμα στο τελευταίο παράδειγμα μπορεί να ταξινομηθεί προσθέτοντας πανομοιότυπες μεταβλητές.
Η έκφραση θα έχει τη μορφή: a 5 b 5 y 3.

Συγκρίνοντας πολλούς αριθμούς (μεταβλητές) με δυνάμεις, μπορούμε να δούμε ότι αν πολλαπλασιαστούν δύο από αυτούς, τότε το αποτέλεσμα είναι ένας αριθμός (μεταβλητή) με δύναμη ίση με ποσόβαθμοί όρων.

Άρα, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Εδώ 5 είναι η δύναμη του αποτελέσματος του πολλαπλασιασμού, ίση με 2 + 3, το άθροισμα των δυνάμεων των όρων.

Άρα, a n .a m = a m+n .

Για ένα n, το a λαμβάνεται ως παράγοντας τόσες φορές όση η ισχύς του n.

Και το m λαμβάνεται ως παράγοντας όσες φορές είναι ίσος με τον βαθμό m.

Να γιατί, οι δυνάμεις με τις ίδιες βάσεις μπορούν να πολλαπλασιαστούν προσθέτοντας τους εκθέτες των δυνάμεων.

Άρα, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Και x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Ή:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Πολλαπλασιάστε (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Απάντηση: x 4 - y 4.
Πολλαπλασιάστε (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Αυτός ο κανόνας ισχύει επίσης για αριθμούς των οποίων οι εκθέτες είναι αρνητικός.

1. Άρα, a -2 .a -3 = a -5 . Αυτό μπορεί να γραφτεί ως (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Αν τα a + b πολλαπλασιαστούν με a - b, το αποτέλεσμα θα είναι a 2 - b 2: δηλαδή

Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού του αθροίσματος ή της διαφοράς δύο αριθμών είναι ίσο με το άθροισμα ή τη διαφορά των τετραγώνων τους.

Αν πολλαπλασιάσετε το άθροισμα και τη διαφορά δύο αριθμών που αυξάνονται σε τετράγωνο, το αποτέλεσμα θα είναι ίσο με το άθροισμα ή τη διαφορά αυτών των αριθμών σε τέταρτοςβαθμούς.

Άρα, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Διαίρεση πτυχίων

Οι αριθμοί με δυνάμεις μπορούν να διαιρεθούν όπως άλλοι αριθμοί, αφαιρώντας από το μέρισμα ή τοποθετώντας τους σε μορφή κλασμάτων.

Έτσι, ένα 3 b 2 διαιρούμενο με το b 2 είναι ίσο με ένα 3.

Ή:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Η εγγραφή ενός 5 διαιρεμένου με ένα 3 μοιάζει με $\frac(a^5)(a^3)$. Αλλά αυτό είναι ίσο με 2. Σε μια σειρά αριθμών
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να διαιρεθεί με έναν άλλο και ο εκθέτης θα είναι ίσος με διαφοράδείκτες διαιρετών αριθμών.

Κατά τη διαίρεση των μοιρών με την ίδια βάση, οι εκθέτες τους αφαιρούνται..

Άρα, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Δηλαδή, $\frac(εεε)(εε) = y$.

Και a n+1:a = a n+1-1 = a n . Δηλαδή, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Ή:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Ο κανόνας ισχύει και για τους αριθμούς με αρνητικόςτιμές των βαθμών.
Το αποτέλεσμα της διαίρεσης ενός -5 με ένα -3 είναι ένα -2.
Επίσης, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ή $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Είναι απαραίτητο να κυριαρχήσετε πολύ καλά τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση των δυνάμεων, καθώς τέτοιες πράξεις χρησιμοποιούνται πολύ ευρέως στην άλγεβρα.

Παραδείγματα επίλυσης παραδειγμάτων με κλάσματα που περιέχουν αριθμούς με δυνάμεις

1. Μειώστε τους εκθέτες κατά $\frac(5a^4)(3a^2)$ Απάντηση: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Μειώστε τους εκθέτες κατά $\frac(6x^6)(3x^5)$. Απάντηση: $\frac(2x)(1)$ ή 2x.

3. Μειώστε τους εκθέτες a 2 /a 3 και a -3 /a -4 και φέρετε σε κοινό παρονομαστή.
a 2 .a -4 είναι a -2 ο πρώτος αριθμητής.
a 3 .a -3 είναι 0 = 1, ο δεύτερος αριθμητής.
a 3 .a -4 είναι a -1, ο κοινός αριθμητής.
Μετά την απλοποίηση: a -2 /a -1 και 1/a -1 .

4. Μειώστε τους εκθέτες 2a 4 /5a 3 και 2 /a 4 και φέρετε σε κοινό παρονομαστή.
Απάντηση: 2a 3 /5a 7 και 5a 5 /5a 7 ή 2a 3 /5a 2 και 5/5a 2.

5. Πολλαπλασιάστε (a 3 + b)/b 4 με (a - b)/3.

6. Πολλαπλασιάστε (a 5 + 1)/x 2 με (b 2 - 1)/(x + a).

7. Πολλαπλασιάστε b 4 /a -2 με h -3 /x και a n /y -3 .

8. Διαιρέστε ένα 4 /y 3 με ένα 3 /y 2 . Απάντηση: α/υ.

9. Διαιρέστε (h 3 - 1)/d 4 με (d n + 1)/h.

Κάθε αριθμητική πράξη μερικές φορές γίνεται πολύ δυσκίνητη για να γραφτεί και προσπαθούν να την απλοποιήσουν. Κάποτε αυτό συνέβαινε με την πράξη προσθήκης. Οι άνθρωποι έπρεπε να κάνουν επαναλαμβανόμενες προσθήκες του ίδιου τύπου, για παράδειγμα, για να υπολογίσουν το κόστος εκατό περσικών χαλιών, το κόστος των οποίων είναι 3 χρυσά νομίσματα για το καθένα. 3+3+3+…+3 = 300. Λόγω της δυσκίνητης φύσης του, αποφασίστηκε να συντομευτεί ο συμβολισμός σε 3 * 100 = 300. Στην πραγματικότητα, ο συμβολισμός "τρεις φορές εκατό" σημαίνει ότι πρέπει να πάρετε ένα εκατό τρία και προσθέστε τα μαζί. Ο πολλαπλασιασμός έπιασε και απέκτησε γενική δημοτικότητα. Αλλά ο κόσμος δεν στέκεται ακίνητος, και στον Μεσαίωνα προέκυψε η ανάγκη να πραγματοποιηθεί επαναλαμβανόμενος πολλαπλασιασμός του ίδιου τύπου. Θυμάμαι ένα παλιό ινδικό αίνιγμα για έναν σοφό που ζήτησε κόκκους σιταριού στις ακόλουθες ποσότητες ως ανταμοιβή για τη δουλειά που έκανε: για το πρώτο τετράγωνο της σκακιέρας ζήτησε έναν κόκκο, για το δεύτερο - δύο, για το τρίτο - τέσσερα, για το πέμπτο - οκτώ, και ούτω καθεξής. Έτσι εμφανίστηκε ο πρώτος πολλαπλασιασμός των δυνάμεων, γιατί ο αριθμός των κόκκων ήταν ίσος με δύο με τη δύναμη του αριθμού των κυττάρων. Για παράδειγμα, στο τελευταίο κελί θα υπήρχαν 2*2*2*...*2 = 2^63 κόκκοι, που ισούται με έναν αριθμό μήκους 18 χαρακτήρων, που, στην πραγματικότητα, είναι η έννοια του γρίφου.

Η λειτουργία της εκθέσεως έπιασε αρκετά γρήγορα και γρήγορα προέκυψε και η ανάγκη για πρόσθεση, αφαίρεση, διαίρεση και πολλαπλασιασμό των δυνάμεων. Το τελευταίο αξίζει να εξεταστεί με περισσότερες λεπτομέρειες. Οι τύποι για την προσθήκη δυνάμεων είναι απλοί και εύκολο να θυμάστε. Επιπλέον, είναι πολύ εύκολο να καταλάβουμε από πού προέρχονται εάν η λειτουργία ισχύος αντικατασταθεί από πολλαπλασιασμό. Αλλά πρώτα πρέπει να κατανοήσετε κάποια βασική ορολογία. Η έκφραση a^b (διαβάστε "a στη δύναμη του b") σημαίνει ότι ο αριθμός a πρέπει να πολλαπλασιαστεί από τον εαυτό του b φορές, με το "a" να ονομάζεται βάση της ισχύος και το "b" ο εκθέτης ισχύος. Αν οι βάσεις των μοιρών είναι ίδιες, τότε οι τύποι προκύπτουν πολύ απλά. Συγκεκριμένο παράδειγμα: βρείτε την τιμή της παράστασης 2^3 * 2^4. Για να μάθετε τι πρέπει να συμβεί, θα πρέπει να μάθετε την απάντηση στον υπολογιστή πριν ξεκινήσετε τη λύση. Εισάγοντας αυτήν την έκφραση σε οποιαδήποτε ηλεκτρονική αριθμομηχανή, μηχανή αναζήτησης, πληκτρολογώντας «πολλαπλασιάζοντας δυνάμεις με διαφορετικές βάσεις και το ίδιο» ή ένα μαθηματικό πακέτο, η έξοδος θα είναι 128. Τώρα ας γράψουμε αυτήν την έκφραση: 2^3 = 2*2*2, και 2^4 = 2 *2*2*2. Αποδεικνύεται ότι 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . Αποδεικνύεται ότι το γινόμενο των δυνάμεων με την ίδια βάση είναι ίσο με τη βάση που αυξάνεται σε δύναμη ίση με το άθροισμα των δύο προηγούμενων δυνάμεων.

Μπορεί να νομίζετε ότι πρόκειται για ατύχημα, αλλά όχι: οποιοδήποτε άλλο παράδειγμα μπορεί μόνο να επιβεβαιώσει αυτόν τον κανόνα. Έτσι, γενικά, ο τύπος μοιάζει με αυτό: a^n * a^m = a^(n+m) . Υπάρχει επίσης ένας κανόνας ότι οποιοσδήποτε αριθμός στη μηδενική ισχύ είναι ίσος με ένα. Εδώ θα πρέπει να θυμόμαστε τον κανόνα των αρνητικών δυνάμεων: a^(-n) = 1 / a^n. Δηλαδή, αν 2^3 = 8, τότε 2^(-3) = 1/8. Χρησιμοποιώντας αυτόν τον κανόνα, μπορείτε να αποδείξετε την εγκυρότητα της ισότητας a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^( n) , το a^ (n) μπορεί να μειωθεί και ένα παραμένει. Από εδώ προκύπτει ο κανόνας ότι το πηλίκο των δυνάμεων με τις ίδιες βάσεις είναι ίσο με αυτή τη βάση σε βαθμό ίσο με το πηλίκο του μερίσματος και του διαιρέτη: a^n: a^m = a^(n-m) . Παράδειγμα: απλοποιήστε την έκφραση 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) . Ο πολλαπλασιασμός είναι μια αντισταθμιστική πράξη, επομένως, πρέπει πρώτα να προσθέσετε τους εκθέτες πολλαπλασιασμού: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 =2. Στη συνέχεια, πρέπει να αντιμετωπίσετε τη διαίρεση από μια αρνητική δύναμη. Είναι απαραίτητο να αφαιρέσουμε τον εκθέτη του διαιρέτη από τον εκθέτη του μερίσματος: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. Αποδεικνύεται ότι η πράξη διαίρεσης με αρνητικό βαθμό είναι ταυτόσημη με την πράξη πολλαπλασιασμού με παρόμοιο θετικό εκθέτη. Άρα η τελική απάντηση είναι 8.

Υπάρχουν παραδείγματα όπου λαμβάνει χώρα μη κανονικός πολλαπλασιασμός δυνάμεων. Ο πολλαπλασιασμός των δυνάμεων με διαφορετικές βάσεις είναι συχνά πολύ πιο δύσκολος, και μερικές φορές ακόμη και αδύνατος. Θα πρέπει να δοθούν ορισμένα παραδείγματα διαφορετικών πιθανών τεχνικών. Παράδειγμα: απλοποιήστε την έκφραση 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. Προφανώς, υπάρχει πολλαπλασιασμός δυνάμεων με διαφορετικές βάσεις. Αλλά πρέπει να σημειωθεί ότι όλες οι βάσεις είναι διαφορετικές δυνάμεις των τριών. 9 = 3^2,1 = 3^4,3 = 3^5,9 = 3^6. Χρησιμοποιώντας τον κανόνα (a^n) ^m = a^(n*m) , θα πρέπει να ξαναγράψετε την έκφραση σε μια πιο βολική μορφή: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * ( 3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12 -10+6) = 3^(11) . Απάντηση: 3^11. Σε περιπτώσεις όπου υπάρχουν διαφορετικές βάσεις, ο κανόνας a^n * b^n = (a*b) ^n λειτουργεί για ίσους δείκτες. Για παράδειγμα, 3^3 * 7^3 = 21^3. Διαφορετικά, όταν οι βάσεις και οι εκθέτες είναι διαφορετικοί, δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί πλήρης πολλαπλασιασμός. Μερικές φορές μπορείτε να απλοποιήσετε εν μέρει ή να καταφύγετε στη βοήθεια της τεχνολογίας υπολογιστών.

Μάθημα με θέμα: "Κανόνες πολλαπλασιασμού και διαίρεσης δυνάμεων με ίδιους και διαφορετικούς εκθέτες. Παραδείγματα"

Πρόσθετα υλικά
Αγαπητοί χρήστες, μην ξεχάσετε να αφήσετε τα σχόλια, τις κριτικές, τις επιθυμίες σας. Όλα τα υλικά έχουν ελεγχθεί από ένα πρόγραμμα προστασίας από ιούς.

Διδακτικά βοηθήματα και προσομοιωτές στο ηλεκτρονικό κατάστημα Integral για την 7η τάξη
Εγχειρίδιο για το σχολικό βιβλίο Yu.N. Makarycheva Εγχειρίδιο για το σχολικό βιβλίο του A.G. Μόρντκοβιτς

Σκοπός του μαθήματος: μάθουν να εκτελούν πράξεις με δυνάμεις αριθμών.

Αρχικά, ας θυμηθούμε την έννοια της «δύναμης του αριθμού». Μια έκφραση της μορφής $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ μπορεί να αναπαρασταθεί ως $a^n$.

Το αντίστροφο ισχύει επίσης: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Αυτή η ισότητα ονομάζεται «καταγραφή του βαθμού ως γινόμενο». Θα μας βοηθήσει να καθορίσουμε πώς να πολλαπλασιάσουμε και να διαιρέσουμε τις δυνάμεις.
Θυμάμαι:
ένα– τη βάση του πτυχίου.
n– εκθέτης.
Αν n=1, που σημαίνει τον αριθμό ΕΝΑπήρε μια φορά και αναλόγως: $a^n= 1$.
Αν n= 0, τότε $a^0= 1$.

Μπορούμε να μάθουμε γιατί συμβαίνει αυτό όταν εξοικειωθούμε με τους κανόνες του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης των δυνάμεων.

Κανόνες πολλαπλασιασμού

Παράδειγμα.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Αυτή η ιδιότητα είναι βολική στη χρήση για την απλοποίηση της εργασίας κατά την αύξηση ενός αριθμού σε υψηλότερη ισχύ.
Παράδειγμα.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

β) Αν πολλαπλασιαστούν μοίρες με διαφορετικές βάσεις, αλλά με τον ίδιο εκθέτη.
Για να λάβουμε $a^n * b^n$, γράφουμε τις μοίρες ως γινόμενο: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b ) _(m )$.
Αν ανταλλάξουμε τους παράγοντες και μετρήσουμε τα ζεύγη που προκύπτουν, παίρνουμε: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Άρα $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Παράδειγμα.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Κανόνες διαίρεσης

Χρειαζόμαστε λοιπόν $\frac(a^n)(a^m)$, Οπου n>m.

Ας γράψουμε τους βαθμούς ως κλάσμα:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

Τώρα ας μειώσουμε το κλάσμα.

Αποδεικνύεται: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Που σημαίνει, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Αυτή η ιδιότητα θα σας βοηθήσει να εξηγήσετε την κατάσταση με την αύξηση ενός αριθμού στη μηδενική ισχύ. Ας υποθέσουμε ότι n=m, τότε $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Παραδείγματα.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

β) Άλλες οι βάσεις του βαθμού, οι δείκτες ίδιοι.
Ας υποθέσουμε ότι το $\frac(a^n)(b^n)$ είναι απαραίτητο. Ας γράψουμε τις δυνάμεις των αριθμών ως κλάσματα:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

Παράδειγμα.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

Πρώτο επίπεδο

Ο βαθμός και οι ιδιότητές του. The Comprehensive Guide (2019)

Γιατί χρειάζονται πτυχία; Πού θα τα χρειαστείτε; Γιατί πρέπει να αφιερώσετε χρόνο για να τα μελετήσετε;

Για να μάθετε τα πάντα σχετικά με τα πτυχία, τι χρειάζονται και πώς να χρησιμοποιείτε τις γνώσεις σας στην καθημερινή ζωή, διαβάστε αυτό το άρθρο.

Και, φυσικά, η γνώση πτυχίων θα σας φέρει πιο κοντά στο να περάσετε με επιτυχία τις εξετάσεις Unified State Exam ή Unified State Exam και να εισέλθετε στο πανεπιστήμιο των ονείρων σας.

Πάμε... (Πάμε!)

Σημαντική σημείωση! Εάν βλέπετε gobbledygook αντί για τύπους, διαγράψτε την προσωρινή μνήμη. Για να το κάνετε αυτό, πατήστε CTRL+F5 (στα Windows) ή Cmd+R (σε Mac).

ΠΡΩΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Η εκθετικότητα είναι μια μαθηματική πράξη όπως η πρόσθεση, η αφαίρεση, ο πολλαπλασιασμός ή η διαίρεση.

Τώρα θα εξηγήσω τα πάντα στην ανθρώπινη γλώσσα χρησιμοποιώντας πολύ απλά παραδείγματα. Πρόσεχε. Τα παραδείγματα είναι στοιχειώδη, αλλά εξηγούν σημαντικά πράγματα.

Ας ξεκινήσουμε με την προσθήκη.

Δεν υπάρχει τίποτα να εξηγήσω εδώ. Τα ξέρεις ήδη όλα: είμαστε οκτώ. Όλοι έχουν δύο μπουκάλια κόλα. Πόσο κόλα είναι εκεί; Αυτό είναι σωστό - 16 μπουκάλια.

Τώρα πολλαπλασιασμός.

Το ίδιο παράδειγμα με κόλα μπορεί να γραφτεί διαφορετικά: . Οι μαθηματικοί είναι πονηροί και τεμπέληδες. Αρχικά παρατηρούν κάποια μοτίβα και μετά βρίσκουν έναν τρόπο να τα «μετρήσουν» πιο γρήγορα. Στην περίπτωσή μας, παρατήρησαν ότι καθένα από τα οκτώ άτομα είχε τον ίδιο αριθμό μπουκαλιών κόλα και κατέληξαν σε μια τεχνική που ονομάζεται πολλαπλασιασμός. Συμφωνώ, θεωρείται ευκολότερο και πιο γρήγορο από.

Έτσι, για να μετράτε πιο γρήγορα, πιο εύκολα και χωρίς λάθη, απλά πρέπει να θυμάστε προπαιδεία. Φυσικά, μπορείς να τα κάνεις όλα πιο αργά, πιο δύσκολα και με λάθη! Αλλά…

Εδώ είναι ο πίνακας πολλαπλασιασμού. Επαναλαμβάνω.

Και ένα άλλο, πιο όμορφο:

Ποια άλλα έξυπνα κόλπα μέτρησης έχουν βρει οι τεμπέληδες μαθηματικοί; Σωστά - ανεβάζοντας έναν αριθμό σε δύναμη.

Ανεβάζοντας έναν αριθμό σε δύναμη

Εάν χρειάζεται να πολλαπλασιάσετε έναν αριθμό από τον εαυτό του πέντε φορές, τότε οι μαθηματικοί λένε ότι πρέπει να αυξήσετε αυτόν τον αριθμό στην πέμπτη δύναμη. Για παράδειγμα, . Οι μαθηματικοί θυμούνται ότι δύο προς την πέμπτη δύναμη είναι... Και λύνουν τέτοια προβλήματα στο κεφάλι τους - πιο γρήγορα, πιο εύκολα και χωρίς λάθη.

Το μόνο που χρειάζεται να κάνετε είναι θυμηθείτε τι επισημαίνεται με χρώμα στον πίνακα των δυνάμεων των αριθμών. Πιστέψτε με, αυτό θα κάνει τη ζωή σας πολύ πιο εύκολη.

Παρεμπιπτόντως, γιατί λέγεται δεύτερος βαθμός; τετράγωνοαριθμοί και το τρίτο - κύβος? Τι σημαίνει; Πολύ καλή ερώτηση. Τώρα θα έχετε και τετράγωνα και κύβους.

Παράδειγμα πραγματικής ζωής #1

Ας ξεκινήσουμε με το τετράγωνο ή τη δεύτερη δύναμη του αριθμού.

Φανταστείτε μια τετράγωνη πισίνα με διαστάσεις ένα μέτρο επί ένα μέτρο. Η πισίνα βρίσκεται στη ντάκα σας. Έχει ζέστη και θέλω πολύ να κολυμπήσω. Όμως... η πισίνα δεν έχει πάτο! Πρέπει να καλύψετε το κάτω μέρος της πισίνας με πλακάκια. Πόσα πλακάκια χρειάζεστε; Για να το προσδιορίσετε, πρέπει να γνωρίζετε την κάτω περιοχή της πισίνας.

Μπορείτε απλά να υπολογίσετε δείχνοντας το δάχτυλό σας ότι το κάτω μέρος της πισίνας αποτελείται από κύβους μέτρο προς μέτρο. Αν έχετε πλακάκια ένα μέτρο προς ένα μέτρο, θα χρειαστείτε κομμάτια. Είναι εύκολο... Μα που έχεις δει τέτοια πλακάκια; Το πλακίδιο πιθανότατα θα είναι εκατοστό εκατοστό Και μετά θα βασανιστείτε «μετρώντας με το δάχτυλό σας». Τότε πρέπει να πολλαπλασιάσετε. Έτσι, στη μία πλευρά του πάτου της πισίνας θα τοποθετήσουμε πλακάκια (κομμάτια) και στην άλλη πλακάκια επίσης. Πολλαπλασιάστε με και παίρνετε πλακίδια ().

Παρατηρήσατε ότι για να προσδιορίσουμε το εμβαδόν του πυθμένα της πισίνας πολλαπλασιάσαμε τον ίδιο αριθμό από μόνος του; Τι σημαίνει; Εφόσον πολλαπλασιάζουμε τον ίδιο αριθμό, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την τεχνική της «έκθεσης». (Φυσικά, όταν έχετε μόνο δύο αριθμούς, πρέπει ακόμα να τους πολλαπλασιάσετε ή να τους αυξήσετε σε ισχύ. Αλλά αν έχετε πολλούς από αυτούς, τότε η αύξηση τους σε ισχύ είναι πολύ πιο εύκολη και υπάρχουν επίσης λιγότερα λάθη στους υπολογισμούς Για την Ενιαία Κρατική Εξέταση, αυτό είναι πολύ σημαντικό).
Έτσι, τριάντα στη δεύτερη δύναμη θα είναι (). Ή μπορούμε να πούμε ότι θα είναι τριάντα στο τετράγωνο. Με άλλα λόγια, η δεύτερη δύναμη ενός αριθμού μπορεί πάντα να αναπαρασταθεί ως τετράγωνο. Και αντίστροφα, αν δείτε ένα τετράγωνο, είναι ΠΑΝΤΑ η δεύτερη δύναμη κάποιου αριθμού. Ένα τετράγωνο είναι μια εικόνα της δεύτερης δύναμης ενός αριθμού.

Παράδειγμα πραγματικής ζωής #2

Εδώ είναι μια εργασία για εσάς: μετρήστε πόσα τετράγωνα υπάρχουν στη σκακιέρα χρησιμοποιώντας το τετράγωνο του αριθμού... Στη μία πλευρά των κελιών και στην άλλη επίσης. Για να υπολογίσετε τον αριθμό τους, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το οκτώ επί οκτώ ή... αν παρατηρήσετε ότι μια σκακιέρα είναι ένα τετράγωνο με πλευρά, τότε μπορείτε να τετραγωνίσετε το οκτώ. Θα πάρετε κύτταρα. () Ετσι;

Παράδειγμα πραγματικής ζωής #3

Τώρα ο κύβος ή η τρίτη δύναμη ενός αριθμού. Η ίδια πισίνα. Αλλά τώρα πρέπει να μάθετε πόσο νερό θα πρέπει να χυθεί σε αυτή την πισίνα. Πρέπει να υπολογίσετε τον όγκο. (Οι όγκοι και τα υγρά, παρεμπιπτόντως, μετρώνται σε κυβικά μέτρα. Απροσδόκητο, σωστά;) Σχεδιάστε μια πισίνα: ο πυθμένας είναι ένα μέτρο σε μέγεθος και ένα μέτρο βάθος και προσπαθήστε να υπολογίσετε πόσους κύβους που μετρούν ένα μέτρο με ένα μέτρο θα χωράει στην πισίνα σας.

Απλώς κουνήστε το δάχτυλό σας και μετρήστε! Ένα, δύο, τρία, τέσσερα...είκοσι δύο, είκοσι τρία...Πόσα πήρες; Δεν χάθηκε; Είναι δύσκολο να μετρήσεις με το δάχτυλό σου; Ετσι ώστε! Πάρτε ένα παράδειγμα από μαθηματικούς. Είναι τεμπέληδες, οπότε παρατήρησαν ότι για να υπολογίσετε τον όγκο της πισίνας, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το μήκος, το πλάτος και το ύψος της το ένα με το άλλο. Στην περίπτωσή μας, ο όγκος της πισίνας θα είναι ίσος με κύβους... Πιο εύκολο, σωστά;

Τώρα φανταστείτε πόσο τεμπέληδες και πονηροί είναι οι μαθηματικοί αν το απλοποίησαν και αυτό. Μειώσαμε τα πάντα σε μια ενέργεια. Παρατήρησαν ότι το μήκος, το πλάτος και το ύψος είναι ίσα και ότι ο ίδιος αριθμός πολλαπλασιάζεται από μόνος του... Τι σημαίνει αυτό; Αυτό σημαίνει ότι μπορείτε να επωφεληθείτε από το πτυχίο. Έτσι, αυτό που κάποτε μετρούσατε με το δάχτυλό σας, το κάνουν σε μία ενέργεια: τρεις κύβοι είναι ίσοι. Γράφεται ως εξής: .

Το μόνο που μένει είναι θυμηθείτε τον πίνακα των βαθμών. Εκτός, φυσικά, αν είστε τόσο τεμπέλης και πονηροί όσο οι μαθηματικοί. Αν σας αρέσει να εργάζεστε σκληρά και να κάνετε λάθη, μπορείτε να συνεχίσετε να μετράτε με το δάχτυλό σας.

Λοιπόν, για να σας πείσω επιτέλους ότι τα πτυχία εφευρέθηκαν από παραιτητές και πονηρούς για να λύσουν τα προβλήματα της ζωής τους και όχι για να σας δημιουργήσουν προβλήματα, ορίστε μερικά ακόμη παραδείγματα από τη ζωή.

Παράδειγμα πραγματικής ζωής #4

Έχετε ένα εκατομμύριο ρούβλια. Στην αρχή κάθε έτους, για κάθε εκατομμύριο που βγάζετε, βγάζετε άλλο ένα εκατομμύριο. Δηλαδή, κάθε εκατομμύριο που έχετε διπλασιάζεται στην αρχή κάθε έτους. Πόσα χρήματα θα έχετε σε χρόνια; Αν κάθεστε τώρα και «μετράτε με το δάχτυλό σας», τότε είστε πολύ εργατικός άνθρωπος και... ηλίθιος. Το πιο πιθανό όμως είναι να δώσεις απάντηση σε λίγα δευτερόλεπτα, γιατί είσαι έξυπνος! Τον πρώτο χρόνο λοιπόν – δύο πολλαπλασιασμένοι επί δύο... τον δεύτερο χρόνο – τι έγινε, με δύο ακόμη, τον τρίτο χρόνο... Σταμάτα! Παρατηρήσατε ότι ο αριθμός πολλαπλασιάζεται από μόνος του φορές. Άρα δύο προς την πέμπτη δύναμη είναι ένα εκατομμύριο! Τώρα φανταστείτε ότι έχετε έναν διαγωνισμό και αυτός που μπορεί να μετρήσει πιο γρήγορα θα πάρει αυτά τα εκατομμύρια... Αξίζει να θυμάστε τις δυνάμεις των αριθμών, δεν νομίζετε;

Παράδειγμα πραγματικής ζωής #5

Έχεις ένα εκατομμύριο. Στην αρχή κάθε έτους, για κάθε εκατομμύριο που βγάζετε, κερδίζετε άλλα δύο. Υπέροχο δεν είναι; Κάθε εκατομμύριο τριπλασιάζεται. Πόσα χρήματα θα έχετε σε ένα χρόνο; Ας μετρήσουμε. Το πρώτο έτος - πολλαπλασιάστε με, μετά το αποτέλεσμα με ένα άλλο... Είναι ήδη βαρετό, γιατί έχετε ήδη καταλάβει τα πάντα: το τρία πολλαπλασιάζεται από μόνο του φορές. Άρα στην τέταρτη δύναμη ισούται με ένα εκατομμύριο. Απλώς πρέπει να θυμάστε ότι το τρία προς την τέταρτη δύναμη είναι ή.

Τώρα ξέρετε ότι ανεβάζοντας έναν αριθμό σε δύναμη θα κάνετε τη ζωή σας πολύ πιο εύκολη. Ας ρίξουμε μια περαιτέρω ματιά στο τι μπορείτε να κάνετε με τα πτυχία και τι πρέπει να γνωρίζετε για αυτά.

Όροι και έννοιες... για να μην μπερδευτούμε

Λοιπόν, πρώτα, ας ορίσουμε τις έννοιες. Τι νομίζετε, τι είναι εκθέτης? Είναι πολύ απλό - είναι ο αριθμός που βρίσκεται «στην κορυφή» της δύναμης του αριθμού. Όχι επιστημονικό, αλλά ξεκάθαρο και εύκολο στην απομνημόνευση...

Λοιπόν, την ίδια στιγμή, τι μια τέτοια βάση πτυχίου? Ακόμα πιο απλό - αυτός είναι ο αριθμός που βρίσκεται παρακάτω, στη βάση.

Εδώ είναι ένα σχέδιο για καλό μέτρο.

Λοιπόν, σε γενικές γραμμές, για να γενικεύουμε και να θυμόμαστε καλύτερα... Ένας βαθμός με βάση « » και εκθέτη « » διαβάζεται ως «στο βαθμό» και γράφεται ως εξής:

Δύναμη ενός αριθμού με φυσικό εκθέτη

Μάλλον μαντέψατε ήδη: επειδή ο εκθέτης είναι ένας φυσικός αριθμός. Ναι, αλλά τι είναι φυσικός αριθμός? Στοιχειώδης! Οι φυσικοί αριθμοί είναι εκείνοι οι αριθμοί που χρησιμοποιούνται στην καταμέτρηση κατά την απαρίθμηση αντικειμένων: ένα, δύο, τρία... Όταν μετράμε αντικείμενα, δεν λέμε: «μείον πέντε», «μείον έξι», «μείον επτά». Δεν λέμε επίσης: «ένα τρίτο», ή «μηδέν σημείο πέντε». Αυτοί δεν είναι φυσικοί αριθμοί. Τι νούμερα πιστεύετε ότι είναι αυτά;

Αριθμοί όπως "μείον πέντε", "μείον έξι", "μείον επτά" αναφέρονται ολόκληροι αριθμοί.Γενικά, οι ακέραιοι αριθμοί περιλαμβάνουν όλους τους φυσικούς αριθμούς, τους αριθμούς αντίθετους από τους φυσικούς αριθμούς (δηλαδή που λαμβάνονται με το πρόσημο μείον) και τον αριθμό. Το μηδέν είναι εύκολο να κατανοηθεί - είναι όταν δεν υπάρχει τίποτα. Τι σημαίνουν οι αρνητικοί («μείον») αριθμοί; Αλλά εφευρέθηκαν κυρίως για να υποδείξουν τα χρέη: εάν έχετε υπόλοιπο στο τηλέφωνό σας σε ρούβλια, αυτό σημαίνει ότι οφείλετε στον χειριστή ρούβλια.

Όλα τα κλάσματα είναι ρητοί αριθμοί. Πώς προέκυψαν, πιστεύεις; Πολύ απλό. Πριν από αρκετές χιλιάδες χρόνια, οι πρόγονοί μας ανακάλυψαν ότι δεν είχαν φυσικούς αριθμούς για να μετρήσουν το μήκος, το βάρος, το εμβαδόν κ.λπ. Και κατέληξαν στο ρητοί αριθμοί... Ενδιαφέρον, έτσι δεν είναι;

Υπάρχουν και παράλογοι αριθμοί. Ποιοι είναι αυτοί οι αριθμοί; Εν ολίγοις, είναι ένα άπειρο δεκαδικό κλάσμα. Για παράδειγμα, αν διαιρέσετε την περιφέρεια ενός κύκλου με τη διάμετρό του, παίρνετε έναν παράλογο αριθμό.

Περίληψη:

Ας ορίσουμε την έννοια ενός βαθμού του οποίου ο εκθέτης είναι ένας φυσικός αριθμός (δηλαδή, ακέραιος και θετικός).

1. Κάθε αριθμός στην πρώτη δύναμη είναι ίσος με τον εαυτό του:
2. Το τετράγωνο ενός αριθμού σημαίνει ότι τον πολλαπλασιάζεις με τον εαυτό του:
3. Το να κάνεις κύβους έναν αριθμό σημαίνει να τον πολλαπλασιάζεις με τον εαυτό του τρεις φορές:

Ορισμός.Η αύξηση ενός αριθμού σε μια φυσική δύναμη σημαίνει πολλαπλασιασμός του αριθμού από τον εαυτό του επί φορές:
.

Ιδιότητες πτυχίων

Από πού προήλθαν αυτά τα ακίνητα; Θα σας δείξω τώρα.

Ας δούμε: τι είναι Και ?

A-priory:

Πόσοι πολλαπλασιαστές υπάρχουν συνολικά;

Είναι πολύ απλό: προσθέσαμε πολλαπλασιαστές στους συντελεστές και το αποτέλεσμα είναι πολλαπλασιαστές.

Αλλά εξ ορισμού, αυτή είναι μια δύναμη ενός αριθμού με εκθέτη, δηλαδή: , που ήταν αυτό που έπρεπε να αποδειχθεί.

Παράδειγμα: Απλοποιήστε την έκφραση.

Λύση:

Παράδειγμα:Απλοποιήστε την έκφραση.

Λύση:Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι στον κανόνα μας Αναγκαίωςπρέπει να υπάρχουν οι ίδιοι λόγοι!
Επομένως, συνδυάζουμε τις δυνάμεις με τη βάση, αλλά παραμένει ένας ξεχωριστός παράγοντας:

μόνο για το προϊόν των δυνάμεων!

Σε καμία περίπτωση δεν μπορείτε να το γράψετε αυτό.

2. αυτό είναι η δύναμη ενός αριθμού

Όπως και με την προηγούμενη ιδιότητα, ας στραφούμε στον ορισμό του πτυχίου:

Αποδεικνύεται ότι η έκφραση πολλαπλασιάζεται από μόνη της φορές, δηλαδή, σύμφωνα με τον ορισμό, αυτή είναι η ισχύς του αριθμού:

Στην ουσία, αυτό μπορεί να ονομαστεί "βγάζοντας τον δείκτη από αγκύλες". Αλλά δεν μπορείτε ποτέ να το κάνετε αυτό συνολικά:

Ας θυμηθούμε τους συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού: πόσες φορές θέλαμε να γράψουμε;

Αλλά αυτό δεν είναι αλήθεια, τελικά.

Ισχύς με αρνητική βάση

Μέχρι αυτό το σημείο, έχουμε συζητήσει μόνο ποιος πρέπει να είναι ο εκθέτης.

Ποια πρέπει όμως να είναι η βάση;

Σε εξουσίες του φυσικός δείκτηςη βάση μπορεί να είναι οποιοσδηποτε ΑΡΙΘΜΟΣ. Πράγματι, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε οποιουσδήποτε αριθμούς ο ένας με τον άλλο, είτε είναι θετικοί, αρνητικοί ή ζυγοί.

Ας σκεφτούμε ποια ζώδια ("" ή "") θα έχουν βαθμούς θετικών και αρνητικών αριθμών;

Για παράδειγμα, ο αριθμός είναι θετικός ή αρνητικός; ΕΝΑ; ? Με το πρώτο, όλα είναι ξεκάθαρα: ανεξάρτητα από το πόσους θετικούς αριθμούς πολλαπλασιάζουμε ο ένας με τον άλλο, το αποτέλεσμα θα είναι θετικό.

Αλλά τα αρνητικά είναι λίγο πιο ενδιαφέροντα. Θυμόμαστε τον απλό κανόνα από την 6η τάξη: «Το μείον για το μείον δίνει ένα συν». Δηλαδή ή. Αλλά αν πολλαπλασιάσουμε με, λειτουργεί.

Προσδιορίστε μόνοι σας τι πρόσημο θα έχουν οι παρακάτω εκφράσεις:

Κατάφερες;

Εδώ είναι οι απαντήσεις: Στα τέσσερα πρώτα παραδείγματα, ελπίζω ότι όλα είναι ξεκάθαρα; Απλώς κοιτάμε τη βάση και τον εκθέτη και εφαρμόζουμε τον κατάλληλο κανόνα.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Στο παράδειγμα 5) όλα δεν είναι επίσης τόσο τρομακτικά όσο φαίνονται: τελικά, δεν έχει σημασία ποια είναι η βάση - ο βαθμός είναι άρτιος, πράγμα που σημαίνει ότι το αποτέλεσμα θα είναι πάντα θετικό.

Λοιπόν, εκτός από την περίπτωση που η βάση είναι μηδέν. Η βάση δεν είναι ίση, έτσι; Προφανώς όχι, αφού (γιατί).

Το Παράδειγμα 6) δεν είναι πλέον τόσο απλό!

6 παραδείγματα για εξάσκηση

Ανάλυση της λύσης 6 παραδείγματα

Αν αγνοήσουμε την όγδοη δύναμη, τι βλέπουμε εδώ; Ας θυμηθούμε το πρόγραμμα της 7ης τάξης. Λοιπόν, θυμάσαι; Αυτός είναι ο τύπος του συντομευμένου πολλαπλασιασμού, δηλαδή η διαφορά των τετραγώνων! Παίρνουμε:

Ας δούμε προσεκτικά τον παρονομαστή. Μοιάζει πολύ με έναν από τους αριθμητικούς παράγοντες, αλλά τι φταίει; Η σειρά των όρων είναι λάθος. Αν αντιστραφούν, θα μπορούσε να ισχύει ο κανόνας.

Αλλά πώς να το κάνουμε αυτό; Αποδεικνύεται ότι είναι πολύ εύκολο: ο άρτιος βαθμός του παρονομαστή μας βοηθά εδώ.

Ως δια μαγείας οι όροι άλλαξαν θέσεις. Αυτό το «φαινόμενο» ισχύει για οποιαδήποτε έκφραση σε άρτιο βαθμό: μπορούμε εύκολα να αλλάξουμε τα σημάδια στις παρενθέσεις.

Αλλά είναι σημαντικό να θυμάστε: όλα τα σημάδια αλλάζουν ταυτόχρονα!

Ας επιστρέψουμε στο παράδειγμα:

Και πάλι ο τύπος:

Ολόκληροςονομάζουμε τους φυσικούς αριθμούς, τα αντίθετά τους (δηλαδή που λαμβάνονται με το σύμβολο " ") και τον αριθμό.

θετικός ακέραιος, και δεν διαφέρει από το φυσικό, τότε όλα μοιάζουν ακριβώς όπως στην προηγούμενη ενότητα.

Ας δούμε τώρα νέες περιπτώσεις. Ας ξεκινήσουμε με έναν δείκτη ίσο με.

Οποιοσδήποτε αριθμός στη μηδενική ισχύ είναι ίσος με ένα:

Όπως πάντα, ας αναρωτηθούμε: γιατί συμβαίνει αυτό;

Ας εξετάσουμε κάποιο βαθμό με βάση. Πάρτε, για παράδειγμα, και πολλαπλασιάστε με:

Έτσι, πολλαπλασιάσαμε τον αριθμό επί, και πήραμε το ίδιο πράγμα που ήταν - . Με ποιον αριθμό πρέπει να πολλαπλασιάσετε για να μην αλλάξει τίποτα; Αυτό είναι σωστό, επάνω. Που σημαίνει.

Μπορούμε να κάνουμε το ίδιο με έναν αυθαίρετο αριθμό:

Ας επαναλάβουμε τον κανόνα:

Οποιοσδήποτε αριθμός στη μηδενική ισχύ είναι ίσος με ένα.

Υπάρχουν όμως εξαιρέσεις σε πολλούς κανόνες. Και εδώ είναι επίσης εκεί - αυτός είναι ένας αριθμός (ως βάση).

Από τη μία πλευρά, πρέπει να είναι ίσο με οποιονδήποτε βαθμό - ανεξάρτητα από το πόσο πολλαπλασιάζετε το μηδέν με τον εαυτό του, θα εξακολουθείτε να έχετε μηδέν, αυτό είναι ξεκάθαρο. Αλλά από την άλλη πλευρά, όπως κάθε αριθμός στη μηδενική ισχύ, πρέπει να είναι ίσος. Λοιπόν, πόσα από αυτά είναι αλήθεια; Οι μαθηματικοί αποφάσισαν να μην εμπλακούν και αρνήθηκαν να ανεβάσουν το μηδέν στη μηδενική ισχύ. Δηλαδή, τώρα δεν μπορούμε όχι μόνο να διαιρέσουμε με το μηδέν, αλλά και να το ανεβάσουμε στη μηδενική ισχύ.

Ας προχωρήσουμε. Εκτός από τους φυσικούς αριθμούς και τους αριθμούς, οι ακέραιοι περιλαμβάνουν και αρνητικούς αριθμούς. Για να καταλάβουμε τι είναι αρνητική δύναμη, ας κάνουμε όπως την τελευταία φορά: πολλαπλασιάστε έναν κανονικό αριθμό με τον ίδιο αριθμό σε μια αρνητική δύναμη:

Από εδώ είναι εύκολο να εκφράσετε αυτό που ψάχνετε:

Τώρα ας επεκτείνουμε τον κανόνα που προκύπτει σε αυθαίρετο βαθμό:

Λοιπόν, ας διατυπώσουμε έναν κανόνα:

Ένας αριθμός με αρνητική δύναμη είναι ο αντίστροφος του ίδιου αριθμού με θετική δύναμη. Αλλά συγχρόνως Η βάση δεν μπορεί να είναι μηδενική:(γιατί δεν μπορείτε να διαιρέσετε με).

Ας συνοψίσουμε:

I. Η έκφραση δεν ορίζεται στην περίπτωση. Αν τότε.

II. Οποιοσδήποτε αριθμός στη μηδενική ισχύ ισούται με ένα: .

III. Ένας αριθμός που δεν ισούται με το μηδέν σε μια αρνητική δύναμη είναι το αντίστροφο του ίδιου αριθμού σε μια θετική δύναμη: .

Εργασίες για ανεξάρτητη λύση:

Λοιπόν, ως συνήθως, παραδείγματα για ανεξάρτητες λύσεις:

Ανάλυση προβλημάτων για ανεξάρτητη λύση:

Ξέρω, ξέρω, τα νούμερα είναι τρομακτικά, αλλά στις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους πρέπει να είσαι προετοιμασμένος για οτιδήποτε! Λύστε αυτά τα παραδείγματα ή αναλύστε τις λύσεις τους αν δεν μπορούσατε να τα λύσετε και θα μάθετε να τα αντιμετωπίζετε εύκολα στις εξετάσεις!

Ας συνεχίσουμε να επεκτείνουμε το εύρος των αριθμών "κατάλληλων" ως εκθέτης.

Τώρα ας αναλογιστούμε ρητοί αριθμοί.Ποιοι αριθμοί ονομάζονται ρητικοί;

Απάντηση: οτιδήποτε μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα, όπου και είναι ακέραιοι και.

Για να καταλάβεις τι είναι "κλασματικός βαθμός", θεωρήστε το κλάσμα:

Ας υψώσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης σε δύναμη:

Τώρα ας θυμηθούμε τον κανόνα για "πτυχίο σε πτυχίο":

Ποιος αριθμός πρέπει να αυξηθεί σε μια δύναμη για να ληφθεί;

Αυτή η διατύπωση είναι ο ορισμός της ρίζας του ου βαθμού.

Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω: η ρίζα της ης δύναμης ενός αριθμού () είναι ένας αριθμός που, όταν αυξάνεται σε δύναμη, ισούται με.

Δηλαδή, η ρίζα της ης δύναμης είναι η αντίστροφη πράξη της αύξησης σε μια δύναμη: .

Τελικά φαίνεται πως. Προφανώς, αυτή η ειδική περίπτωση μπορεί να επεκταθεί: .

Τώρα προσθέτουμε τον αριθμητή: τι είναι; Η απάντηση είναι εύκολο να ληφθεί χρησιμοποιώντας τον κανόνα power-to-power:

Μπορεί όμως η βάση να είναι οποιοσδήποτε αριθμός; Εξάλλου, η ρίζα δεν μπορεί να εξαχθεί από όλους τους αριθμούς.

Κανένας!

Ας θυμηθούμε τον κανόνα: οποιοσδήποτε αριθμός ανυψωθεί σε άρτια δύναμη είναι θετικός αριθμός. Δηλαδή, είναι αδύνατο να εξαγάγετε άρτιες ρίζες από αρνητικούς αριθμούς!

Αυτό σημαίνει ότι τέτοιοι αριθμοί δεν μπορούν να αυξηθούν σε κλασματική ισχύ με άρτιο παρονομαστή, δηλαδή η έκφραση δεν έχει νόημα.

Τι γίνεται με την έκφραση;

Εδώ όμως προκύπτει ένα πρόβλημα.

Ένας αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως άλλα, αναγώγιμα κλάσματα, για παράδειγμα, ή.

Και αποδεικνύεται ότι υπάρχει, αλλά δεν υπάρχει, αλλά πρόκειται μόνο για δύο διαφορετικές εγγραφές του ίδιου αριθμού.

Ή ένα άλλο παράδειγμα: μία φορά, τότε μπορείτε να το γράψετε. Αν όμως γράψουμε διαφορετικά τον δείκτη, θα ξαναμπούμε σε μπελάδες: (δηλαδή, πήραμε τελείως διαφορετικό αποτέλεσμα!).

Για να αποφύγουμε τέτοια παράδοξα, εξετάζουμε μόνο θετικός εκθέτης βάσης με κλασματικό εκθέτη.

Οπότε αν:

• - φυσικός αριθμός;
• - ακέραιος αριθμός

Παραδείγματα:

Οι ορθολογικοί εκθέτες είναι πολύ χρήσιμοι για τον μετασχηματισμό εκφράσεων με ρίζες, για παράδειγμα:

5 παραδείγματα για εξάσκηση

Ανάλυση 5 παραδειγμάτων για εκπαίδευση

Λοιπόν, τώρα έρχεται το πιο δύσκολο κομμάτι. Τώρα θα το καταλάβουμε βαθμός με παράλογο εκθέτη.

Όλοι οι κανόνες και οι ιδιότητες των βαθμών εδώ είναι ακριβώς οι ίδιοι όπως για έναν βαθμό με λογικό εκθέτη, με εξαίρεση

Άλλωστε, εξ ορισμού, οι παράλογοι αριθμοί είναι αριθμοί που δεν μπορούν να αναπαρασταθούν ως κλάσμα, όπου και είναι ακέραιοι (δηλαδή, οι παράλογοι αριθμοί είναι όλοι πραγματικοί αριθμοί εκτός από τους ρητούς).

Κατά τη μελέτη πτυχίων με φυσικούς, ακέραιους και λογικούς εκθέτες, κάθε φορά δημιουργούσαμε μια συγκεκριμένη «εικόνα», «αναλογία» ή περιγραφή με πιο οικείους όρους.

Για παράδειγμα, ένας βαθμός με φυσικό εκθέτη είναι ένας αριθμός πολλαπλασιασμένος από τον εαυτό του πολλές φορές.

...αριθμός στη μηδενική ισχύ- αυτός είναι, όπως ήταν, ένας αριθμός πολλαπλασιασμένος από τον εαυτό του μία φορά, δηλαδή, δεν έχουν αρχίσει ακόμη να τον πολλαπλασιάζουν, πράγμα που σημαίνει ότι ο ίδιος ο αριθμός δεν έχει καν εμφανιστεί ακόμα - επομένως το αποτέλεσμα είναι μόνο ένας συγκεκριμένος "κενός αριθμός" , δηλαδή έναν αριθμό?

...αρνητικός ακέραιος βαθμός- είναι σαν να είχε συμβεί κάποια «αντίστροφη διαδικασία», δηλαδή ο αριθμός δεν πολλαπλασιάστηκε από μόνος του, αλλά διαιρέθηκε.

Παρεμπιπτόντως, στην επιστήμη χρησιμοποιείται συχνά ένας βαθμός με σύνθετο εκθέτη, δηλαδή ο εκθέτης δεν είναι καν πραγματικός αριθμός.

Αλλά στο σχολείο δεν σκεφτόμαστε τέτοιες δυσκολίες θα έχετε την ευκαιρία να κατανοήσετε αυτές τις νέες έννοιες στο ινστιτούτο.

ΠΟΥ ΕΙΜΑΣΤΕ ΣΙΓΟΥΡΟΙ ΘΑ ΠΑΤΕ! (αν μάθεις να λύνεις τέτοια παραδείγματα :))

Για παράδειγμα:

Αποφασίστε μόνοι σας:

Ανάλυση λύσεων:

1. Ας ξεκινήσουμε με τον συνηθισμένο κανόνα για την ανύψωση μιας δύναμης σε μια δύναμη:

Τώρα κοιτάξτε τον δείκτη. Δεν σου θυμίζει τίποτα; Ας θυμηθούμε τον τύπο για τον συντομευμένο πολλαπλασιασμό της διαφοράς των τετραγώνων:

Σε αυτήν την περίπτωση,

Τελικά φαίνεται πως:

Απάντηση: .

2. Ανάγουμε τα κλάσματα σε εκθέτες στην ίδια μορφή: είτε και τα δύο δεκαδικά είτε και τα δύο συνηθισμένα. Παίρνουμε, για παράδειγμα:

Απάντηση: 16

3. Τίποτα το ιδιαίτερο, χρησιμοποιούμε τις συνήθεις ιδιότητες των βαθμών:

ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Καθορισμός πτυχίου

Ο βαθμός είναι μια έκφραση της μορφής: , όπου:

• — Βάση πτυχίου?
• - εκθέτης.

Βαθμός με φυσικό δείκτη (n = 1, 2, 3,...)

Η αύξηση ενός αριθμού στη φυσική ισχύ n σημαίνει πολλαπλασιασμός του αριθμού από τον εαυτό του επί φορές:

Βαθμός με ακέραιο εκθέτη (0, ±1, ±2,...)

Αν ο εκθέτης είναι θετικός ακέραιοςαριθμός:

Κατασκευή στον μηδενικό βαθμό:

Η έκφραση είναι αόριστη, γιατί, αφενός, σε οποιοδήποτε βαθμό είναι αυτό, και αφετέρου, οποιοσδήποτε αριθμός στον ου βαθμό είναι αυτό.

Αν ο εκθέτης είναι αρνητικός ακέραιος αριθμόςαριθμός:

(γιατί δεν μπορείτε να διαιρέσετε με).

Για άλλη μια φορά σχετικά με τα μηδενικά: η έκφραση δεν ορίζεται στην περίπτωση. Αν τότε.

Παραδείγματα:

Ισχύς με ορθολογικό εκθέτη

• - φυσικός αριθμός;
• - ακέραιος αριθμός

Παραδείγματα:

Ιδιότητες πτυχίων

Για να διευκολύνουμε την επίλυση προβλημάτων, ας προσπαθήσουμε να καταλάβουμε: από πού προήλθαν αυτές οι ιδιότητες; Ας τους αποδείξουμε.

Ας δούμε: τι είναι και;

A-priory:

Έτσι, στη δεξιά πλευρά αυτής της έκφρασης παίρνουμε το ακόλουθο προϊόν:

Αλλά εξ ορισμού είναι δύναμη ενός αριθμού με εκθέτη, δηλαδή:

Q.E.D.

Παράδειγμα : Απλοποιήστε την έκφραση.

Λύση : .

Παράδειγμα : Απλοποιήστε την έκφραση.

Λύση : Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι στον κανόνα μας Αναγκαίωςπρέπει να υπάρχουν οι ίδιοι λόγοι. Επομένως, συνδυάζουμε τις δυνάμεις με τη βάση, αλλά παραμένει ένας ξεχωριστός παράγοντας:

Μια άλλη σημαντική σημείωση: αυτός ο κανόνας - μόνο για προϊόν δυνάμεων!

Σε καμία περίπτωση δεν μπορείτε να το γράψετε αυτό.

Όπως και με την προηγούμενη ιδιότητα, ας στραφούμε στον ορισμό του πτυχίου:

Ας αναδιατάξουμε αυτό το έργο ως εξής:

Αποδεικνύεται ότι η έκφραση πολλαπλασιάζεται από μόνη της φορές, δηλαδή, σύμφωνα με τον ορισμό, αυτή είναι η ισχύς του αριθμού:

Στην ουσία, αυτό μπορεί να ονομαστεί "βγάζοντας τον δείκτη από αγκύλες". Αλλά ποτέ δεν μπορείτε να το κάνετε αυτό συνολικά: !

Ας θυμηθούμε τους συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού: πόσες φορές θέλαμε να γράψουμε; Αλλά αυτό δεν είναι αλήθεια, τελικά.

Ισχύς με αρνητική βάση.

Μέχρι αυτό το σημείο έχουμε συζητήσει μόνο πώς θα έπρεπε να είναι δείκτηςβαθμούς. Ποια πρέπει όμως να είναι η βάση; Σε εξουσίες του φυσικός δείκτης η βάση μπορεί να είναι οποιοσδηποτε ΑΡΙΘΜΟΣ .

Πράγματι, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε οποιουσδήποτε αριθμούς ο ένας με τον άλλο, είτε είναι θετικοί, αρνητικοί ή ζυγοί. Ας σκεφτούμε ποια ζώδια ("" ή "") θα έχουν δυνάμεις θετικών και αρνητικών αριθμών;

Για παράδειγμα, ο αριθμός είναι θετικός ή αρνητικός; ΕΝΑ; ?

Με το πρώτο, όλα είναι ξεκάθαρα: ανεξάρτητα από το πόσους θετικούς αριθμούς πολλαπλασιάζουμε ο ένας με τον άλλο, το αποτέλεσμα θα είναι θετικό.

Αλλά τα αρνητικά είναι λίγο πιο ενδιαφέροντα. Θυμόμαστε τον απλό κανόνα από την 6η τάξη: «Το μείον για το μείον δίνει ένα συν». Δηλαδή ή. Αλλά αν πολλαπλασιάσουμε με (), παίρνουμε - .

Και ούτω καθεξής ad infinitum: με κάθε επόμενο πολλαπλασιασμό το πρόσημο θα αλλάζει. Μπορούν να διατυπωθούν οι ακόλουθοι απλοί κανόνες:

1. ακόμη καιβαθμός, - αριθμός θετικός.
2. Ο αρνητικός αριθμός αυξήθηκε σε Περιττόςβαθμός, - αριθμός αρνητικός.
3. Ένας θετικός αριθμός σε οποιοδήποτε βαθμό είναι ένας θετικός αριθμός.
4. Το μηδέν σε οποιαδήποτε ισχύ ισούται με μηδέν.

Προσδιορίστε μόνοι σας τι πρόσημο θα έχουν οι παρακάτω εκφράσεις:

Κατάφερες; Εδώ είναι οι απαντήσεις:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Στα πρώτα τέσσερα παραδείγματα, ελπίζω ότι όλα είναι ξεκάθαρα; Απλώς κοιτάμε τη βάση και τον εκθέτη και εφαρμόζουμε τον κατάλληλο κανόνα.

Στο παράδειγμα 5) όλα δεν είναι επίσης τόσο τρομακτικά όσο φαίνονται: τελικά, δεν έχει σημασία ποια είναι η βάση - ο βαθμός είναι άρτιος, πράγμα που σημαίνει ότι το αποτέλεσμα θα είναι πάντα θετικό. Λοιπόν, εκτός από την περίπτωση που η βάση είναι μηδέν. Η βάση δεν είναι ίση, έτσι; Προφανώς όχι, αφού (γιατί).

Το Παράδειγμα 6) δεν είναι πλέον τόσο απλό. Εδώ πρέπει να μάθετε ποιο είναι λιγότερο: ή; Αν το θυμόμαστε αυτό, γίνεται σαφές ότι, που σημαίνει ότι η βάση είναι μικρότερη από το μηδέν. Δηλαδή, εφαρμόζουμε τον κανόνα 2: το αποτέλεσμα θα είναι αρνητικό.

Και πάλι χρησιμοποιούμε τον ορισμό του πτυχίου:

Όλα είναι ως συνήθως - γράφουμε τον ορισμό των βαθμών και τους χωρίζουμε μεταξύ τους, τους χωρίζουμε σε ζεύγη και παίρνουμε:

Πριν δούμε τον τελευταίο κανόνα, ας λύσουμε μερικά παραδείγματα.

Υπολογίστε τις εκφράσεις:

Λύσεις :

Αν αγνοήσουμε την όγδοη δύναμη, τι βλέπουμε εδώ; Ας θυμηθούμε το πρόγραμμα της 7ης τάξης. Λοιπόν, θυμάσαι; Αυτός είναι ο τύπος του συντομευμένου πολλαπλασιασμού, δηλαδή η διαφορά των τετραγώνων!

Παίρνουμε:

Ας δούμε προσεκτικά τον παρονομαστή. Μοιάζει πολύ με έναν από τους αριθμητικούς παράγοντες, αλλά τι φταίει; Η σειρά των όρων είναι λάθος. Αν αντιστραφούν, θα μπορούσε να εφαρμοστεί ο κανόνας 3. Αποδεικνύεται ότι είναι πολύ εύκολο: ο άρτιος βαθμός του παρονομαστή μας βοηθά εδώ.

Αν το πολλαπλασιάσετε επί, δεν αλλάζει τίποτα, σωστά; Τώρα όμως αποδεικνύεται ως εξής:

Ως δια μαγείας οι όροι άλλαξαν θέσεις. Αυτό το «φαινόμενο» ισχύει για οποιαδήποτε έκφραση σε άρτιο βαθμό: μπορούμε εύκολα να αλλάξουμε τα σημάδια στις παρενθέσεις. Αλλά είναι σημαντικό να θυμάστε: Όλα τα ζώδια αλλάζουν ταυτόχρονα!Δεν μπορείτε να το αντικαταστήσετε με αλλάζοντας μόνο ένα μειονέκτημα που δεν μας αρέσει!

Ας επιστρέψουμε στο παράδειγμα:

Και πάλι ο τύπος:

Λοιπόν τώρα ο τελευταίος κανόνας:

Πώς θα το αποδείξουμε; Φυσικά, ως συνήθως: ας επεκταθούμε στην έννοια του πτυχίου και ας την απλοποιήσουμε:

Λοιπόν, τώρα ας ανοίξουμε τις αγκύλες. Πόσα γράμματα υπάρχουν συνολικά; φορές με πολλαπλασιαστές - τι σας θυμίζει αυτό; Αυτό δεν είναι τίποτα περισσότερο από έναν ορισμό μιας λειτουργίας πολλαπλασιασμός: Υπήρχαν μόνο πολλαπλασιαστές εκεί. Δηλαδή, αυτό, εξ ορισμού, είναι δύναμη ενός αριθμού με εκθέτη:

Παράδειγμα:

Πτυχίο με παράλογο εκθέτη

Εκτός από τις πληροφορίες για τους βαθμούς για το μέσο επίπεδο, θα αναλύσουμε το βαθμό με έναν παράλογο εκθέτη. Όλοι οι κανόνες και οι ιδιότητες των βαθμών εδώ είναι ακριβώς οι ίδιοι όπως για έναν βαθμό με λογικό εκθέτη, με εξαίρεση - εξ ορισμού, οι παράλογοι αριθμοί είναι αριθμοί που δεν μπορούν να αναπαρασταθούν ως κλάσμα, όπου και είναι ακέραιοι αριθμοί (δηλ. , οι παράλογοι αριθμοί είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί εκτός από τους ρητικούς).

Κατά τη μελέτη πτυχίων με φυσικούς, ακέραιους και λογικούς εκθέτες, κάθε φορά δημιουργούσαμε μια συγκεκριμένη «εικόνα», «αναλογία» ή περιγραφή με πιο οικείους όρους. Για παράδειγμα, ένας βαθμός με φυσικό εκθέτη είναι ένας αριθμός πολλαπλασιασμένος από τον εαυτό του πολλές φορές. ένας αριθμός στη μηδενική ισχύ είναι, σαν να λέγαμε, ένας αριθμός πολλαπλασιασμένος από τον εαυτό του μία φορά, δηλαδή, δεν έχουν αρχίσει ακόμη να τον πολλαπλασιάζουν, πράγμα που σημαίνει ότι ο ίδιος ο αριθμός δεν έχει καν εμφανιστεί ακόμα - επομένως το αποτέλεσμα είναι μόνο ένα βέβαιο «κενός αριθμός», δηλαδή ένας αριθμός· ένας βαθμός με ακέραιο αρνητικό εκθέτη - είναι σαν να είχε συμβεί κάποια "αντίστροφη διαδικασία", δηλαδή ο αριθμός δεν πολλαπλασιάστηκε από μόνος του, αλλά διαιρέθηκε.

Είναι εξαιρετικά δύσκολο να φανταστεί κανείς έναν βαθμό με έναν παράλογο εκθέτη (όπως είναι δύσκολο να φανταστεί κανείς έναν 4-διάστατο χώρο). Είναι μάλλον ένα καθαρά μαθηματικό αντικείμενο που δημιούργησαν οι μαθηματικοί για να επεκτείνουν την έννοια του βαθμού σε ολόκληρο τον χώρο των αριθμών.

Παρεμπιπτόντως, στην επιστήμη χρησιμοποιείται συχνά ένας βαθμός με σύνθετο εκθέτη, δηλαδή ο εκθέτης δεν είναι καν πραγματικός αριθμός. Αλλά στο σχολείο δεν σκεφτόμαστε τέτοιες δυσκολίες θα έχετε την ευκαιρία να κατανοήσετε αυτές τις νέες έννοιες στο ινστιτούτο.

Τι κάνουμε λοιπόν αν δούμε έναν παράλογο εκθέτη; Προσπαθούμε να απαλλαγούμε από αυτό! :)

Για παράδειγμα:

Αποφασίστε μόνοι σας:

Απαντήσεις:

1. Ας θυμηθούμε τον τύπο της διαφοράς των τετραγώνων. Απάντηση: .
2. Ανάγουμε τα κλάσματα στην ίδια μορφή: είτε και τα δύο δεκαδικά είτε και τα δύο συνηθισμένα. Παίρνουμε, για παράδειγμα: .
3. Τίποτα το ιδιαίτερο, χρησιμοποιούμε τις συνήθεις ιδιότητες των βαθμών:

ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΛΟΙ

Βαθμόςονομάζεται έκφραση της μορφής: , όπου:

Βαθμός με ακέραιο εκθέτη

ένας βαθμός του οποίου ο εκθέτης είναι ένας φυσικός αριθμός (δηλαδή, ακέραιος και θετικός).

Ισχύς με ορθολογικό εκθέτη

βαθμό, ο εκθέτης του οποίου είναι αρνητικοί και κλασματικοί αριθμοί.

Πτυχίο με παράλογο εκθέτη

ένας βαθμός του οποίου ο εκθέτης είναι ένα άπειρο δεκαδικό κλάσμα ή ρίζα.

Ιδιότητες πτυχίων

Χαρακτηριστικά πτυχίων.

• Ο αρνητικός αριθμός αυξήθηκε σε ακόμη καιβαθμός, - αριθμός θετικός.
• Ο αρνητικός αριθμός αυξήθηκε σε Περιττόςβαθμός, - αριθμός αρνητικός.
• Ένας θετικός αριθμός σε οποιοδήποτε βαθμό είναι ένας θετικός αριθμός.
• Το μηδέν ισούται με οποιαδήποτε δύναμη.
• Οποιοσδήποτε αριθμός στη μηδενική ισχύ είναι ίσος.

ΤΩΡΑ ΕΧΕΙΣ ΤΗ ΛΕΞΗ...

Πώς σας φαίνεται το άρθρο; Γράψτε παρακάτω στα σχόλια αν σας άρεσε ή όχι.

Πείτε μας για την εμπειρία σας χρησιμοποιώντας ιδιότητες πτυχίου.

Ίσως έχετε ερωτήσεις. Ή προτάσεις.

Γράψτε στα σχόλια.

Και καλή επιτυχία στις εξετάσεις σας!

Τύποι πτυχίωνχρησιμοποιείται στη διαδικασία μείωσης και απλοποίησης σύνθετων εκφράσεων, στην επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων.

Αριθμός ντοείναι n-η δύναμη ενός αριθμού έναΟταν:

Επιχειρήσεις με πτυχία.

1. Πολλαπλασιάζοντας τις μοίρες με την ίδια βάση, προστίθενται οι δείκτες τους:

είμαι·a n = a m + n .

2. Κατά τη διαίρεση των μοιρών με την ίδια βάση, οι εκθέτες τους αφαιρούνται:

3. Ο βαθμός του γινομένου 2 ή περισσότερων παραγόντων είναι ίσος με το γινόμενο των βαθμών αυτών των παραγόντων:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Ο βαθμός ενός κλάσματος είναι ίσος με τον λόγο των μοιρών του μερίσματος και του διαιρέτη:

(a/b) n = a n /b n .

5. Ανεβάζοντας μια δύναμη σε δύναμη, οι εκθέτες πολλαπλασιάζονται:

(a m) n = a m n .

Κάθε τύπος παραπάνω ισχύει στις κατευθύνσεις από αριστερά προς τα δεξιά και αντίστροφα.

Για παράδειγμα. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Επεμβάσεις με ρίζες.

1. Η ρίζα του γινομένου πολλών παραγόντων είναι ίση με το γινόμενο των ριζών αυτών των παραγόντων:

2. Η ρίζα ενός λόγου είναι ίση με τον λόγο του μερίσματος και του διαιρέτη των ριζών:

3. Όταν ανεβάζετε μια ρίζα σε δύναμη, αρκεί να αυξήσετε τον ριζικό αριθμό σε αυτήν την ισχύ:

4. Αν αυξήσετε το βαθμό της ρίζας μέσα nμια φορά και ταυτόχρονα ενσωματώνονται nΗ ισχύς είναι ένας ριζικός αριθμός, τότε η τιμή της ρίζας δεν θα αλλάξει:

5. Αν μειώσετε το βαθμό της ρίζας μέσα nεξάγετε τη ρίζα ταυτόχρονα n-η δύναμη ενός ριζικού αριθμού, τότε η τιμή της ρίζας δεν θα αλλάξει:

Ένας βαθμός με αρνητικό εκθέτη.Η ισχύς ενός ορισμένου αριθμού με έναν μη θετικό (ακέραιο) εκθέτη ορίζεται ως ένας διαιρούμενος με τη δύναμη του ίδιου αριθμού με έναν εκθέτη ίσο με την απόλυτη τιμή του μη θετικού εκθέτη:

Τύπος είμαι:a n =a m - nμπορεί να χρησιμοποιηθεί όχι μόνο για Μ> n, αλλά και με Μ< n.

Για παράδειγμα. ένα4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Στη φόρμουλα είμαι:a n =a m - nέγινε δίκαιο όταν m=n, απαιτείται η παρουσία μηδενικού βαθμού.

Πτυχίο με μηδενικό δείκτη.Η ισχύς οποιουδήποτε αριθμού που δεν ισούται με μηδέν με μηδενικό εκθέτη είναι ίση με ένα.

Για παράδειγμα. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Βαθμός με κλασματικό εκθέτη.Για να αυξήσετε έναν πραγματικό αριθμό ΕΝΑστον βαθμό m/n, πρέπει να εξαγάγετε τη ρίζα nο βαθμός του Μ-η δύναμη αυτού του αριθμού ΕΝΑ.