Gleichung einer geraden Linie mithilfe der Zwei-Punkte-Formel. Allgemeine Geradengleichung

Dieser Artikel setzt das Thema der Gleichung einer Geraden auf einer Ebene fort: Wir betrachten diese Art von Gleichung als die allgemeine Gleichung einer Geraden. Definieren wir den Satz und geben seinen Beweis; Lassen Sie uns herausfinden, was eine unvollständige allgemeine Gleichung einer Geraden ist und wie man Übergänge von einer allgemeinen Gleichung zu anderen Arten von Geradengleichungen macht. Wir werden die gesamte Theorie mit Illustrationen und Lösungen für praktische Probleme untermauern.

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Auf der Ebene sei ein rechtwinkliges Koordinatensystem O x y angegeben.

Satz 1

Jede Gleichung ersten Grades mit der Form A x + B y + C = 0, wobei A, B, C einige reelle Zahlen sind (A und B sind nicht gleichzeitig gleich Null), definiert eine Gerade in ein rechtwinkliges Koordinatensystem auf einer Ebene. Jede Gerade in einem rechteckigen Koordinatensystem auf einer Ebene wird wiederum durch eine Gleichung bestimmt, die für einen bestimmten Satz von Werten A, B, C die Form A x + B y + C = 0 hat.

Nachweisen

Dieser Satz besteht aus zwei Punkten; wir werden jeden von ihnen beweisen.

1. Beweisen wir, dass die Gleichung A x + B y + C = 0 eine Gerade in der Ebene definiert.

Es gebe einen Punkt M 0 (x 0 , y 0), dessen Koordinaten der Gleichung A x + B y + C = 0 entsprechen. Also: A x 0 + B y 0 + C = 0. Subtrahieren Sie von der linken und rechten Seite der Gleichungen A x + B y + C = 0 die linke und rechte Seite der Gleichung A x 0 + B y 0 + C = 0, erhalten wir eine neue Gleichung, die wie A (x) aussieht - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Es entspricht A x + B y + C = 0.

Die resultierende Gleichung A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Rechtwinkligkeit der Vektoren n → = (A, B) und M 0 M → = (x - x 0, y - y 0 ) . Somit definiert die Punktmenge M (x, y) eine Gerade in einem rechtwinkligen Koordinatensystem senkrecht zur Richtung des Vektors n → = (A, B). Wir können davon ausgehen, dass dies nicht der Fall ist, aber dann wären die Vektoren n → = (A, B) und M 0 M → = (x – x 0, y – y 0) nicht senkrecht und die Gleichheit A (x – x 0 ) + B (y - y 0) = 0 wäre nicht wahr.

Folglich definiert die Gleichung A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 eine bestimmte Linie in einem rechtwinkligen Koordinatensystem auf der Ebene, und daher definiert die äquivalente Gleichung A x + B y + C = 0 die gleiche Linie. Damit haben wir den ersten Teil des Satzes bewiesen.

1. Lassen Sie uns beweisen, dass jede gerade Linie in einem rechtwinkligen Koordinatensystem auf einer Ebene durch eine Gleichung ersten Grades A x + B y + C = 0 angegeben werden kann.

Definieren wir eine Gerade a in einem rechtwinkligen Koordinatensystem auf einer Ebene; der Punkt M 0 (x 0 , y 0), durch den diese Gerade verläuft, sowie der Normalenvektor dieser Geraden n → = (A, B) .

Es gebe auch einen Punkt M (x, y) – einen Gleitkomma auf einer Geraden. In diesem Fall stehen die Vektoren n → = (A, B) und M 0 M → = (x – x 0, y – y 0) senkrecht zueinander und ihr Skalarprodukt ist Null:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Schreiben wir die Gleichung A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 um, definieren C: C = - A x 0 - B y 0 und als Endergebnis erhalten wir die Gleichung A x + B y + C = 0.

Wir haben also den zweiten Teil des Satzes und den gesamten Satz als Ganzes bewiesen.

Definition 1

Eine Gleichung der Form A x + B y + C = 0 - Das allgemeine Gleichung einer Geraden auf einer Ebene in einem rechtwinkligen KoordinatensystemOxy.

Basierend auf dem bewährten Satz können wir schließen, dass eine gerade Linie und ihre allgemeine Gleichung, die auf einer Ebene in einem festen rechtwinkligen Koordinatensystem definiert ist, untrennbar miteinander verbunden sind. Mit anderen Worten, die ursprüngliche Linie entspricht ihrer allgemeinen Gleichung; die allgemeine Gleichung einer Geraden entspricht einer gegebenen Geraden.

Aus dem Beweis des Satzes folgt auch, dass die Koeffizienten A und B für die Variablen x und y die Koordinaten des Normalenvektors der Geraden sind, der durch die allgemeine Geradengleichung A x + B y + C = gegeben ist 0.

Betrachten wir ein konkretes Beispiel einer allgemeinen Geradengleichung.

Gegeben sei die Gleichung 2 x + 3 y - 2 = 0, die einer Geraden in einem gegebenen rechtwinkligen Koordinatensystem entspricht. Der Normalenvektor dieser Geraden ist der Vektor n → = (2, 3) ​​​​. Zeichnen wir die angegebene gerade Linie in der Zeichnung.

Wir können auch Folgendes sagen: Die Gerade, die wir in der Zeichnung sehen, wird durch die allgemeine Gleichung 2 x + 3 y - 2 = 0 bestimmt, da die Koordinaten aller Punkte auf einer gegebenen Geraden dieser Gleichung entsprechen.

Wir können die Gleichung λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 erhalten, indem wir beide Seiten der allgemeinen Geradengleichung mit einer Zahl λ ungleich Null multiplizieren. Die resultierende Gleichung entspricht der ursprünglichen allgemeinen Gleichung und beschreibt daher dieselbe gerade Linie in der Ebene.

Vollständige allgemeine Gleichung einer Geraden– eine solche allgemeine Gleichung der Geraden A x + B y + C = 0, in der die Zahlen A, B, C von Null verschieden sind. Ansonsten lautet die Gleichung unvollständig.

Lassen Sie uns alle Variationen der unvollständigen allgemeinen Gleichung einer Geraden analysieren.

1. Wenn A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, nimmt die allgemeine Gleichung die Form B y + C = 0 an. Eine solche unvollständige allgemeine Gleichung definiert in einem rechteckigen Koordinatensystem O x y eine gerade Linie, die parallel zur O x-Achse verläuft, da für jeden reellen Wert von x die Variable y den Wert annimmt - CB . Mit anderen Worten, die allgemeine Gleichung der Geraden A x + B y + C = 0, wenn A = 0, B ≠ 0, gibt den Ort der Punkte (x, y) an, deren Koordinaten gleich der gleichen Zahl sind - CB .
2. Wenn A = 0, B ≠ 0, C = 0, nimmt die allgemeine Gleichung die Form y = 0 an. Diese unvollständige Gleichung definiert die x-Achse O x .
3. Wenn A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, erhalten wir eine unvollständige allgemeine Gleichung A x + C = 0, die eine gerade Linie parallel zur Ordinate definiert.
4. Sei A ≠ 0, B = 0, C = 0, dann nimmt die unvollständige allgemeine Gleichung die Form x = 0 an, und dies ist die Gleichung der Koordinatenlinie O y.
5. Schließlich nimmt die unvollständige allgemeine Gleichung für A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 die Form A x + B y = 0 an. Und diese Gleichung beschreibt eine Gerade, die durch den Ursprung verläuft. Tatsächlich entspricht das Zahlenpaar (0, 0) der Gleichheit A x + B y = 0, da A · 0 + B · 0 = 0.

Lassen Sie uns alle oben genannten Arten unvollständiger allgemeiner Geradengleichungen grafisch veranschaulichen.

Beispiel 1

Es ist bekannt, dass die gegebene Gerade parallel zur Ordinatenachse verläuft und durch den Punkt 2 7, - 11 verläuft. Es ist notwendig, die allgemeine Gleichung der gegebenen Geraden aufzuschreiben.

Lösung

Eine Gerade parallel zur Ordinatenachse wird durch eine Gleichung der Form A x + C = 0 gegeben, in der A ≠ 0. Die Bedingung gibt auch die Koordinaten des Punktes an, durch den die Gerade verläuft, und die Koordinaten dieses Punktes erfüllen die Bedingungen der unvollständigen allgemeinen Gleichung A x + C = 0, d. h. die Gleichheit ist wahr:

A 2 7 + C = 0

Daraus ist es möglich, C zu bestimmen, wenn wir A einen Wert ungleich Null geben, zum Beispiel A = 7. In diesem Fall erhalten wir: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Wir kennen beide Koeffizienten A und C, setzen sie in die Gleichung A x + C = 0 ein und erhalten die erforderliche Geradengleichung: 7 x - 2 = 0

Antwort: 7 x - 2 = 0

Beispiel 2

Die Zeichnung zeigt eine gerade Linie; Sie müssen ihre Gleichung aufschreiben.

Lösung

Die gegebene Zeichnung ermöglicht es uns, auf einfache Weise die Ausgangsdaten zur Lösung des Problems zu nutzen. Wir sehen in der Zeichnung, dass die gegebene Gerade parallel zur O x -Achse verläuft und durch den Punkt (0, 3) verläuft.

Die zur Abszisse parallele Gerade wird durch die unvollständige allgemeine Gleichung B y + C = 0 bestimmt. Finden wir die Werte von B und C. Die Koordinaten des Punktes (0, 3) erfüllen, da die gegebene Gerade durch ihn verläuft, die Gleichung der Geraden B y + C = 0, dann gilt die Gleichheit: B · 3 + C = 0. Setzen wir B auf einen anderen Wert als Null. Nehmen wir an, B = 1. In diesem Fall können wir aus der Gleichheit B · 3 + C = 0 C: C = - 3 finden. Mit den bekannten Werten von B und C erhalten wir die erforderliche Geradengleichung: y – 3 = 0.

Antwort: y - 3 = 0 .

Allgemeine Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt in einer Ebene verläuft

Lassen Sie die gegebene Linie durch den Punkt M 0 (x 0 , y 0) verlaufen, dann entsprechen ihre Koordinaten der allgemeinen Gleichung der Linie, d.h. die Gleichheit ist wahr: A x 0 + B y 0 + C = 0. Subtrahieren wir die linke und rechte Seite dieser Gleichung von der linken und rechten Seite der allgemeinen vollständigen Geradengleichung. Wir erhalten: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, diese Gleichung entspricht der ursprünglichen allgemeinen, geht durch den Punkt M 0 (x 0, y 0) und hat eine Normale Vektor n → = (A, B) .

Das Ergebnis, das wir erhalten haben, ermöglicht es, die allgemeine Gleichung einer Geraden mit bekannten Koordinaten des Normalenvektors der Geraden und den Koordinaten eines bestimmten Punktes dieser Geraden aufzuschreiben.

Beispiel 3

Gegeben sei ein Punkt M 0 (- 3, 4), durch den eine Gerade verläuft, und der Normalenvektor dieser Geraden n → = (1 , - 2) . Es ist notwendig, die Gleichung der gegebenen Geraden aufzuschreiben.

Lösung

Die Anfangsbedingungen ermöglichen es uns, die notwendigen Daten zum Zusammenstellen der Gleichung zu erhalten: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. Dann:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Das Problem hätte anders gelöst werden können. Die allgemeine Gleichung einer Geraden lautet A x + B y + C = 0. Der gegebene Normalenvektor ermöglicht es uns, die Werte der Koeffizienten A und B zu erhalten, dann:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Nun ermitteln wir den Wert von C mithilfe des durch die Problembedingung angegebenen Punktes M 0 (- 3, 4), durch den die Gerade verläuft. Die Koordinaten dieses Punktes entsprechen der Gleichung x - 2 · y + C = 0, d.h. - 3 - 2 4 + C = 0. Daher ist C = 11. Die erforderliche Geradengleichung hat die Form: x - 2 · y + 11 = 0.

Antwort: x - 2 y + 11 = 0 .

Beispiel 4

Gegeben sei eine Gerade 2 3 x - y - 1 2 = 0 und ein auf dieser Geraden liegender Punkt M 0. Von diesem Punkt ist nur die Abszisse bekannt und sie ist gleich - 3. Es ist notwendig, die Ordinate eines bestimmten Punktes zu bestimmen.

Lösung

Bezeichnen wir die Koordinaten des Punktes M 0 als x 0 und y 0 . Die Quelldaten zeigen, dass x 0 = - 3. Da der Punkt zu einer gegebenen Geraden gehört, entsprechen seine Koordinaten der allgemeinen Gleichung dieser Geraden. Dann gilt die Gleichheit:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Definieren Sie y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Antwort: - 5 2

Übergang von der allgemeinen Geradengleichung zu anderen Geradengleichungen und umgekehrt

Wie wir wissen, gibt es mehrere Arten von Gleichungen für dieselbe Gerade in einer Ebene. Die Wahl des Gleichungstyps hängt von den Bedingungen des Problems ab; Es ist möglich, die Lösung auszuwählen, die für die Lösung am bequemsten ist. Die Fähigkeit, eine Gleichung eines Typs in eine Gleichung eines anderen Typs umzuwandeln, ist hier sehr nützlich.

Betrachten wir zunächst den Übergang von der allgemeinen Gleichung der Form A x + B y + C = 0 zur kanonischen Gleichung x - x 1 a x = y - y 1 a y.

Wenn A ≠ 0, dann verschieben wir den Term B y auf die rechte Seite der allgemeinen Gleichung. Auf der linken Seite nehmen wir A aus Klammern. Als Ergebnis erhalten wir: A x + C A = - B y.

Diese Gleichheit kann als Verhältnis geschrieben werden: x + C A - B = y A.

Wenn B ≠ 0, lassen wir nur den Term A x auf der linken Seite der allgemeinen Gleichung, übertragen die anderen auf die rechte Seite und erhalten: A x = - B y - C. Wir nehmen – B aus Klammern, dann: A x = - B y + C B .

Schreiben wir die Gleichheit in Form eines Verhältnisses um: x - B = y + C B A.

Natürlich ist es nicht nötig, sich die resultierenden Formeln zu merken. Es reicht aus, den Aktionsalgorithmus zu kennen, wenn man von einer allgemeinen zu einer kanonischen Gleichung übergeht.

Beispiel 5

Die allgemeine Gleichung der Geraden 3 y - 4 = 0 ist gegeben. Es ist notwendig, sie in eine kanonische Gleichung umzuwandeln.

Lösung

Schreiben wir die ursprüngliche Gleichung als 3 y - 4 = 0. Als nächstes gehen wir nach dem Algorithmus vor: Der Term 0 x bleibt auf der linken Seite; und auf der rechten Seite setzen wir - 3 aus Klammern; wir erhalten: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Schreiben wir die resultierende Gleichheit als Proportion: x - 3 = y - 4 3 0 . Somit haben wir eine Gleichung kanonischer Form erhalten.

Antwort: x - 3 = y - 4 3 0.

Um die allgemeine Geradengleichung in parametrische Gleichungen umzuwandeln, erfolgt zunächst ein Übergang zur kanonischen Form und dann ein Übergang von der kanonischen Geradengleichung zu parametrischen Gleichungen.

Beispiel 6

Die Gerade ergibt sich aus der Gleichung 2 x - 5 y - 1 = 0. Schreiben Sie die parametrischen Gleichungen für diese Linie auf.

Lösung

Machen wir den Übergang von der allgemeinen Gleichung zur kanonischen:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Nun nehmen wir beide Seiten der resultierenden kanonischen Gleichung gleich λ, dann:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Antwort:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Die allgemeine Gleichung kann in eine Geradengleichung mit der Steigung y = k · x + b umgewandelt werden, allerdings nur, wenn B ≠ 0. Für den Übergang belassen wir den Term B y auf der linken Seite, der Rest wird nach rechts übertragen. Wir erhalten: B y = - A x - C . Teilen wir beide Seiten der resultierenden Gleichheit durch B, verschieden von Null: y = - A B x - C B.

Beispiel 7

Die allgemeine Gleichung der Geraden lautet: 2 x + 7 y = 0. Sie müssen diese Gleichung in eine Steigungsgleichung umwandeln.

Lösung

Führen wir die notwendigen Aktionen gemäß dem Algorithmus durch:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Antwort: y = - 2 7 x .

Aus der allgemeinen Geradengleichung genügt es, einfach eine Gleichung in Segmenten der Form x a + y b = 1 zu erhalten. Um einen solchen Übergang durchzuführen, verschieben wir die Zahl C auf die rechte Seite der Gleichheit, dividieren beide Seiten der resultierenden Gleichheit durch – C und übertragen schließlich die Koeffizienten für die Variablen x und y auf die Nenner:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Beispiel 8

Es ist notwendig, die allgemeine Gleichung der Geraden x - 7 y + 1 2 = 0 in die Gleichung der Geraden in Segmenten umzuwandeln.

Lösung

Verschieben wir 1 2 auf die rechte Seite: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Teilen wir beide Seiten der Gleichheit durch -1/2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Antwort: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Im Allgemeinen ist auch der umgekehrte Übergang einfach: von anderen Gleichungstypen zur allgemeinen.

Die Gleichung einer Geraden in Segmenten und eine Gleichung mit einem Winkelkoeffizienten lässt sich leicht in eine allgemeine Gleichung umwandeln, indem man einfach alle Terme auf der linken Seite der Gleichung sammelt:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Die kanonische Gleichung wird nach folgendem Schema in eine allgemeine umgewandelt:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Um von den parametrischen zu wechseln, wechseln Sie zunächst zur kanonischen und dann zur allgemeinen:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Beispiel 9

Gegeben sind die parametrischen Gleichungen der Geraden x = - 1 + 2 · λ y = 4. Es ist notwendig, die allgemeine Gleichung dieser Geraden aufzuschreiben.

Lösung

Machen wir den Übergang von parametrischen Gleichungen zu kanonischen:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Gehen wir vom Kanonischen zum Allgemeinen über:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Antwort: y - 4 = 0

Beispiel 10

Gegeben ist die Gleichung einer Geraden in den Strecken x 3 + y 1 2 = 1. Es ist notwendig, zur allgemeinen Form der Gleichung überzugehen.

Lösung:

Wir schreiben die Gleichung einfach in die erforderliche Form um:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Antwort: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Aufstellen einer allgemeinen Geradengleichung

Wir haben oben gesagt, dass die allgemeine Gleichung mit bekannten Koordinaten des Normalenvektors und den Koordinaten des Punktes, durch den die Gerade verläuft, geschrieben werden kann. Eine solche Gerade wird durch die Gleichung A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 definiert. Dort haben wir auch das entsprechende Beispiel analysiert.

Schauen wir uns nun komplexere Beispiele an, bei denen wir zunächst die Koordinaten des Normalenvektors bestimmen müssen.

Beispiel 11

Gegeben sei eine Gerade parallel zur Geraden 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Der Punkt M 0 (4, 1), durch den die gegebene Gerade verläuft, ist ebenfalls bekannt. Es ist notwendig, die Gleichung der gegebenen Geraden aufzuschreiben.

Lösung

Die Anfangsbedingungen sagen uns, dass die Geraden parallel sind, dann nehmen wir als Normalenvektor der Geraden, deren Gleichung geschrieben werden muss, den Richtungsvektor der Geraden n → = (2, - 3): 2 x - 3 Jahre + 3 3 = 0. Jetzt kennen wir alle notwendigen Daten, um die allgemeine Geradengleichung zu erstellen:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Antwort: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Beispiel 12

Die gegebene Gerade verläuft durch den Ursprung senkrecht zur Geraden x - 2 3 = y + 4 5. Es ist notwendig, eine allgemeine Gleichung für eine bestimmte Gerade aufzustellen.

Lösung

Der Normalenvektor einer gegebenen Geraden ist der Richtungsvektor der Geraden x - 2 3 = y + 4 5.

Dann ist n → = (3, 5) . Die Gerade geht durch den Ursprung, d.h. durch Punkt O (0, 0). Lassen Sie uns eine allgemeine Gleichung für eine gegebene Linie erstellen:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Antwort: 3 x + 5 y = 0 .

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Gleichung einer Geraden in einer Ebene.
Der Richtungsvektor ist gerade. Normaler Vektor

Eine gerade Linie in einer Ebene ist eine der einfachsten geometrischen Figuren, die Sie aus der Grundschule kennen, und heute lernen wir, wie man mit den Methoden der analytischen Geometrie damit umgeht. Um das Material zu beherrschen, müssen Sie in der Lage sein, eine gerade Linie zu zeichnen; wissen, welche Gleichung eine gerade Linie definiert, insbesondere eine gerade Linie, die durch den Koordinatenursprung verläuft, und gerade Linien parallel zu den Koordinatenachsen. Diese Informationen finden Sie im Handbuch Graphen und Eigenschaften elementarer Funktionen, ich habe es für Mathan erstellt, aber der Abschnitt über die lineare Funktion erwies sich als sehr gelungen und detailliert. Deshalb, liebe Teekannen, wärmt euch dort erst einmal auf. Darüber hinaus müssen Sie über Grundkenntnisse verfügen Vektoren Andernfalls ist das Verständnis des Materials unvollständig.

In dieser Lektion werden wir uns mit Möglichkeiten befassen, wie Sie eine Gleichung einer geraden Linie auf einer Ebene erstellen können. Ich empfehle, praktische Beispiele (auch wenn sie sehr einfach erscheinen) nicht zu vernachlässigen, da ich ihnen elementare und wichtige Fakten und technische Techniken vermitteln werde, die in Zukunft auch in anderen Abschnitten der höheren Mathematik erforderlich sein werden.

• Wie schreibe ich eine Geradengleichung mit einem Winkelkoeffizienten?
• Wie ?
• Wie finde ich einen Richtungsvektor mithilfe der allgemeinen Geradengleichung?
• Wie schreibe ich eine Gleichung einer geraden Linie mit einem gegebenen Punkt und einem Normalenvektor?

und wir beginnen:

Gleichung einer Geraden mit Steigung

Die bekannte „Schulform“ einer Geradengleichung heißt Gleichung einer Geraden mit Steigung. Wenn beispielsweise eine Gerade durch die Gleichung gegeben ist, dann ist ihre Steigung: . Betrachten wir die geometrische Bedeutung dieses Koeffizienten und wie sich sein Wert auf die Position der Linie auswirkt:

In einem Geometriekurs wird das bewiesen die Steigung der Geraden ist gleich Tangens des Winkels zwischen positiver Achsenrichtungund diese Zeile: , und der Winkel „schraubt“ sich gegen den Uhrzeigersinn.

Um die Zeichnung nicht zu überladen, habe ich Winkel nur für zwei gerade Linien gezeichnet. Betrachten wir die „rote“ Linie und ihre Steigung. Gemäß dem oben Gesagten: (Der „Alpha“-Winkel wird durch einen grünen Bogen angezeigt). Für die „blaue“ Gerade mit dem Winkelkoeffizienten gilt die Gleichheit (der „Beta“-Winkel wird durch einen braunen Bogen angezeigt). Und wenn der Tangens des Winkels bekannt ist, ist er bei Bedarf leicht zu finden und die Ecke selbst unter Verwendung der Umkehrfunktion - Arkustangens. Wie man sagt, eine trigonometrische Tabelle oder ein Mikrorechner in Ihren Händen. Auf diese Weise, Der Winkelkoeffizient charakterisiert den Neigungsgrad der Geraden zur Abszissenachse.

Folgende Fälle sind möglich:

1) Wenn die Steigung negativ ist: Dann verläuft die Linie grob gesagt von oben nach unten. Beispiele sind die geraden Linien „blau“ und „himbeer“ in der Zeichnung.

2) Wenn die Steigung positiv ist: dann verläuft die Linie von unten nach oben. Beispiele – „schwarze“ und „rote“ gerade Linien in der Zeichnung.

3) Wenn die Steigung Null ist: , dann nimmt die Gleichung die Form an und die entsprechende Gerade verläuft parallel zur Achse. Ein Beispiel ist die „gelbe“ Gerade.

4) Für eine Familie von Linien parallel zu einer Achse (es gibt in der Zeichnung kein Beispiel außer der Achse selbst), der Winkelkoeffizient existiert nicht (Tangens von 90 Grad ist nicht definiert).

Je größer der Steigungskoeffizient in absoluten Werten ist, desto steiler verläuft die Geradenkurve..

Betrachten Sie beispielsweise zwei gerade Linien. Hier weist die Gerade also eine steilere Steigung auf. Ich möchte Sie daran erinnern, dass das Modul es Ihnen ermöglicht, das Zeichen zu ignorieren, das uns nur interessiert absolute Werte Winkelkoeffizienten.

Eine Gerade wiederum ist steiler als Geraden .

Umgekehrt gilt: Je kleiner der absolute Steigungskoeffizient ist, desto flacher ist die Gerade.

Für gerade Linien Die Ungleichung ist wahr, daher ist die Gerade flacher. Kinderrutsche, damit Sie sich keine blauen Flecken und Beulen zuziehen.

Warum ist das notwendig?

Verlängern Sie Ihre Qual. Wenn Sie die oben genannten Fakten kennen, können Sie Ihre Fehler, insbesondere Fehler beim Erstellen von Diagrammen, sofort erkennen – wenn sich herausstellt, dass die Zeichnung „offensichtlich etwas nicht stimmt“. Es ist ratsam, dass Sie sofort Es war klar, dass zum Beispiel die Gerade sehr steil ist und von unten nach oben verläuft, und die Gerade sehr flach ist, nahe an der Achse gedrückt ist und von oben nach unten verläuft.

Bei geometrischen Problemen treten oft mehrere gerade Linien auf, daher ist es zweckmäßig, sie irgendwie zu bezeichnen.

Bezeichnungen: Gerade Linien werden mit kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnet: . Eine beliebte Option besteht darin, sie mit demselben Buchstaben und natürlichen Indizes zu bezeichnen. Die fünf Zeilen, die wir gerade betrachtet haben, können beispielsweise mit bezeichnet werden .

Da jede Gerade durch zwei Punkte eindeutig bestimmt ist, kann sie durch diese Punkte bezeichnet werden: usw. Die Bezeichnung impliziert eindeutig, dass die Punkte zur Linie gehören.

Es ist Zeit, sich ein wenig aufzuwärmen:

Wie schreibe ich eine Geradengleichung mit einem Winkelkoeffizienten?

Wenn ein zu einer bestimmten Geraden gehörender Punkt und der Winkelkoeffizient dieser Geraden bekannt sind, dann wird die Gleichung dieser Geraden durch die Formel ausgedrückt:

Beispiel 1

Schreiben Sie eine Gleichung für eine Gerade mit Steigung, wenn bekannt ist, dass der Punkt zu der gegebenen Geraden gehört.

Lösung: Stellen wir die Gleichung der Geraden anhand der Formel zusammen . In diesem Fall:

Antwort:

Untersuchung geht einfach. Zuerst schauen wir uns die resultierende Gleichung an und stellen sicher, dass unsere Steigung stimmt. Zweitens müssen die Koordinaten des Punktes diese Gleichung erfüllen. Setzen wir sie in die Gleichung ein:

Man erhält die korrekte Gleichheit, was bedeutet, dass der Punkt die resultierende Gleichung erfüllt.

Abschluss: Die Gleichung wurde korrekt gefunden.

Ein schwierigeres Beispiel, das Sie selbst lösen können:

Beispiel 2

Schreiben Sie eine Gleichung für eine Gerade, wenn bekannt ist, dass ihr Neigungswinkel zur positiven Richtung der Achse beträgt und der Punkt zu dieser Geraden gehört.

Wenn Sie Schwierigkeiten haben, lesen Sie das theoretische Material noch einmal. Genauer gesagt, praktischer: Ich überspringe viele Beweise.

Die letzte Glocke hat geläutet, die Abschlussfeier ist zu Ende und vor den Toren unserer Heimatschule erwartet uns die analytische Geometrie selbst. Die Witze sind vorbei... Oder vielleicht fangen sie gerade erst an =)

Wir schwenken nostalgisch unseren Stift zum Vertrauten und machen uns mit der allgemeinen Gleichung einer geraden Linie vertraut. Denn in der analytischen Geometrie wird genau das verwendet:

Die allgemeine Gleichung einer Geraden hat die Form: , wo sind einige Zahlen. Gleichzeitig sind die Koeffizienten gleichzeitig ungleich Null sind, da die Gleichung ihre Bedeutung verliert.

Ziehen wir einen Anzug an und verknüpfen die Gleichung mit dem Steigungskoeffizienten. Verschieben wir zunächst alle Begriffe auf die linke Seite:

Der Begriff mit „X“ muss an erster Stelle stehen:

Im Prinzip hat die Gleichung bereits die Form , aber nach den Regeln der mathematischen Etikette muss der Koeffizient des ersten Termes (in diesem Fall) positiv sein. Wechselnde Vorzeichen:

Denken Sie an diese technische Besonderheit! Wir machen den ersten Koeffizienten (meistens) positiv!

In der analytischen Geometrie wird die Geradengleichung fast immer in allgemeiner Form angegeben. Nun, bei Bedarf kann es mit einem Winkelkoeffizienten leicht auf die „Schul“-Form reduziert werden (mit Ausnahme von Geraden parallel zur Ordinatenachse).

Fragen wir uns was genug Wissen Sie, wie man eine gerade Linie konstruiert? Zwei Punkte. Aber mehr zu diesem Kindheitsvorfall später; jetzt bleibt es bei der Pfeilregel. Jede Gerade hat eine ganz bestimmte Steigung, an die man sich leicht „anpassen“ kann. Vektor.

Ein Vektor, der parallel zu einer Linie verläuft, wird als Richtungsvektor dieser Linie bezeichnet. Es ist offensichtlich, dass jede gerade Linie unendlich viele Richtungsvektoren hat und alle davon kollinear sind (kodirektional oder nicht – das spielt keine Rolle).

Den Richtungsvektor bezeichne ich wie folgt: .

Aber ein Vektor reicht nicht aus, um eine gerade Linie zu konstruieren; der Vektor ist frei und an keinen Punkt auf der Ebene gebunden. Daher ist es zusätzlich notwendig, einen Punkt zu kennen, der zur Linie gehört.

Wie schreibe ich eine Gleichung einer geraden Linie unter Verwendung eines Punktes und eines Richtungsvektors?

Wenn ein bestimmter zu einer Geraden gehörender Punkt und der Richtungsvektor dieser Geraden bekannt sind, dann lässt sich die Gleichung dieser Geraden nach folgender Formel aufstellen:

Manchmal heißt es kanonische Geradengleichung .

Was wann tun? eine der Koordinaten gleich Null ist, werden wir anhand praktischer Beispiele weiter unten verstehen. Bitte beachten Sie übrigens: beides auf einmal Koordinaten können nicht gleich Null sein, da der Nullvektor keine bestimmte Richtung angibt.

Beispiel 3

Schreiben Sie eine Gleichung für eine Gerade unter Verwendung eines Punktes und eines Richtungsvektors

Lösung: Stellen wir die Gleichung einer Geraden anhand der Formel zusammen. In diesem Fall:

Mit den Eigenschaften der Proportionen entledigen wir uns der Brüche:

Und wir bringen die Gleichung in ihre allgemeine Form:

Antwort:

In der Regel ist es nicht nötig, bei solchen Beispielen eine Zeichnung anzufertigen, aber zum besseren Verständnis:

In der Zeichnung sehen wir den Startpunkt, den ursprünglichen Richtungsvektor (er kann von jedem Punkt der Ebene aus aufgetragen werden) und die konstruierte Gerade. Übrigens ist es in vielen Fällen am bequemsten, eine Gerade mithilfe einer Gleichung mit einem Winkelkoeffizienten zu konstruieren. Es ist einfach, unsere Gleichung in eine Form umzuwandeln und einfach einen anderen Punkt auszuwählen, um eine gerade Linie zu konstruieren.

Wie am Anfang des Absatzes erwähnt, hat eine gerade Linie unendlich viele Richtungsvektoren, und alle sind kollinear. Ich habe zum Beispiel drei solcher Vektoren gezeichnet: . Welchen Richtungsvektor wir auch wählen, das Ergebnis wird immer dieselbe Geradengleichung sein.

Erstellen wir eine Gleichung einer geraden Linie mit einem Punkt und einem Richtungsvektor:

Auflösen des Verhältnisses:

Teilen Sie beide Seiten durch –2 und erhalten Sie die bekannte Gleichung:

Interessierte können auf die gleiche Weise auch Vektoren testen oder irgendein anderer kollinearer Vektor.

Lösen wir nun das umgekehrte Problem:

Wie finde ich einen Richtungsvektor mithilfe der allgemeinen Geradengleichung?

Sehr einfach:

Wenn eine Gerade durch eine allgemeine Gleichung in einem rechtwinkligen Koordinatensystem gegeben ist, dann ist der Vektor der Richtungsvektor dieser Geraden.

Beispiele für die Suche nach Richtungsvektoren von Geraden:

Die Aussage ermöglicht es uns, nur einen Richtungsvektor aus einer unendlichen Zahl zu finden, mehr brauchen wir aber nicht. Obwohl es in manchen Fällen ratsam ist, die Koordinaten der Richtungsvektoren zu reduzieren:

Somit gibt die Gleichung eine gerade Linie an, die parallel zur Achse verläuft, und die Koordinaten des resultierenden Richtungsvektors werden zweckmäßigerweise durch –2 geteilt, wodurch genau der Basisvektor als Richtungsvektor erhalten wird. Logisch.

In ähnlicher Weise gibt die Gleichung eine gerade Linie parallel zur Achse an, und indem wir die Koordinaten des Vektors durch 5 teilen, erhalten wir den Einheitsvektor als Richtungsvektor.

Jetzt lass es uns tun Überprüfung Beispiel 3. Das Beispiel ist hochgegangen, deshalb erinnere ich Sie daran, dass wir darin die Gleichung einer geraden Linie unter Verwendung eines Punktes und eines Richtungsvektors zusammengestellt haben

Erstens, mit der Gleichung der Geraden stellen wir ihren Richtungsvektor wieder her: – Alles ist in Ordnung, wir haben den Originalvektor erhalten (in manchen Fällen kann das Ergebnis ein kollinearer Vektor zum Original sein, was normalerweise leicht an der Proportionalität der entsprechenden Koordinaten zu erkennen ist).

Zweitens, die Koordinaten des Punktes müssen die Gleichung erfüllen. Wir setzen sie in die Gleichung ein:

Es wurde eine korrekte Gleichstellung erreicht, worüber wir uns sehr freuen.

Abschluss: Die Aufgabe wurde korrekt abgeschlossen.

Beispiel 4

Schreiben Sie eine Gleichung für eine Gerade unter Verwendung eines Punktes und eines Richtungsvektors

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Die Lösung und Antwort finden Sie am Ende der Lektion. Es wird dringend empfohlen, die Überprüfung mit dem gerade besprochenen Algorithmus durchzuführen. Versuchen Sie, immer (wenn möglich) einen Entwurf zu überprüfen. Es ist dumm, Fehler zu machen, die zu 100 % vermieden werden können.

Für den Fall, dass eine der Koordinaten des Richtungsvektors Null ist, gehen Sie ganz einfach vor:

Beispiel 5

Lösung: Die Formel ist nicht geeignet, da der Nenner auf der rechten Seite Null ist. Es gibt einen Ausgang! Unter Verwendung der Proportionseigenschaften schreiben wir die Formel in die Form um und der Rest rollt entlang einer tiefen Spur:

Antwort:

Untersuchung:

1) Stellen Sie den Richtungsvektor der Geraden wieder her:
– Der resultierende Vektor ist kollinear zum ursprünglichen Richtungsvektor.

2) Setze die Koordinaten des Punktes in die Gleichung ein:

Es ergibt sich die richtige Gleichheit

Abschluss: Aufgabe korrekt abgeschlossen

Es stellt sich die Frage: Warum sollte man sich mit der Formel beschäftigen, wenn es eine universelle Version gibt, die auf jeden Fall funktioniert? Es gibt zwei Gründe. Erstens hat die Formel die Form eines Bruchs viel besser in Erinnerung. Und zweitens besteht darin der Nachteil der Universalformel die Gefahr einer Verwechslung steigt deutlich beim Ersetzen von Koordinaten.

Beispiel 6

Schreiben Sie eine Gleichung für eine Gerade unter Verwendung eines Punktes und eines Richtungsvektors.

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können.

Kehren wir zu den allgegenwärtigen zwei Punkten zurück:

Wie schreibe ich eine Gleichung einer geraden Linie mit zwei Punkten?

Wenn zwei Punkte bekannt sind, kann die Gleichung einer geraden Linie, die durch diese Punkte verläuft, mit der Formel erstellt werden:

Tatsächlich handelt es sich dabei um eine Art Formel, und zwar aus folgendem Grund: Wenn zwei Punkte bekannt sind, ist der Vektor der Richtungsvektor der gegebenen Linie. Im Unterricht Vektoren für Dummies Wir haben das einfachste Problem betrachtet – wie man die Koordinaten eines Vektors aus zwei Punkten ermittelt. Nach diesem Problem lauten die Koordinaten des Richtungsvektors:

Notiz : Die Punkte können „vertauscht“ und die Formel verwendet werden . Eine solche Lösung wird gleichwertig sein.

Beispiel 7

Schreiben Sie eine Gleichung einer Geraden mit zwei Punkten .

Lösung: Wir verwenden die Formel:

Zusammenfassen der Nenner:

Und mische den Stapel:

Jetzt ist es an der Zeit, die Bruchzahlen loszuwerden. In diesem Fall müssen Sie beide Seiten mit 6 multiplizieren:

Öffnen Sie die Klammern und erinnern Sie sich an die Gleichung:

Antwort:

Untersuchung ist offensichtlich - die Koordinaten der Anfangspunkte müssen die resultierende Gleichung erfüllen:

1) Ersetzen Sie die Koordinaten des Punktes:

Wahre Gleichheit.

2) Ersetzen Sie die Koordinaten des Punktes:

Wahre Gleichheit.

Abschluss: Die Geradengleichung ist korrekt geschrieben.

Wenn mindestens ein Wenn einer der Punkte die Gleichung nicht erfüllt, suchen Sie nach einem Fehler.

Es ist erwähnenswert, dass die grafische Überprüfung in diesem Fall schwierig ist, da eine gerade Linie konstruiert und geprüft wird, ob die Punkte dazu gehören , nicht so einfach.

Ich werde noch ein paar technische Aspekte der Lösung erwähnen. Vielleicht ist es bei diesem Problem rentabler, die Spiegelformel zu verwenden und, an den gleichen Punkten Stelle eine Gleichung auf:

Weniger Brüche. Wenn Sie möchten, können Sie die Lösung bis zum Ende durchführen, das Ergebnis sollte die gleiche Gleichung sein.

Der zweite Punkt besteht darin, sich die endgültige Antwort anzusehen und herauszufinden, ob sie noch weiter vereinfacht werden kann. Wenn Sie beispielsweise die Gleichung erhalten, ist es ratsam, sie um zwei zu reduzieren: – Die Gleichung definiert dieselbe Gerade. Dies ist jedoch bereits ein Gesprächsthema relative Position der Linien.

Nachdem ich die Antwort erhalten habe In Beispiel 7 habe ich für alle Fälle überprüft, ob ALLE Koeffizienten der Gleichung durch 2, 3 oder 7 teilbar sind. Meistens werden solche Reduzierungen jedoch während der Lösung vorgenommen.

Beispiel 8

Schreiben Sie eine Gleichung für eine Gerade, die durch die Punkte verläuft .

Dies ist ein Beispiel für eine eigenständige Lösung, die es Ihnen ermöglicht, Berechnungstechniken besser zu verstehen und zu üben.

Ähnlich wie im vorherigen Absatz: if in der Formel Einer der Nenner (die Koordinate des Richtungsvektors) wird Null, dann schreiben wir ihn in der Form um. Beachten Sie auch hier, wie unbeholfen und verwirrt sie aussieht. Ich sehe keinen Sinn darin, praktische Beispiele zu nennen, da wir dieses Problem bereits tatsächlich gelöst haben (siehe Nr. 5, 6).

Direkter Normalenvektor (Normalenvektor)

Was ist normal? Vereinfacht gesagt ist eine Normale eine Senkrechte. Das heißt, der Normalenvektor einer Geraden steht senkrecht auf einer gegebenen Geraden. Offensichtlich hat jede gerade Linie unendlich viele davon (sowie Richtungsvektoren), und alle Normalenvektoren der geraden Linie sind kollinear (kodirektional oder nicht, es macht keinen Unterschied).

Der Umgang mit ihnen wird noch einfacher sein als mit Leitvektoren:

Wenn eine Gerade durch eine allgemeine Gleichung in einem rechtwinkligen Koordinatensystem gegeben ist, dann ist der Vektor der Normalenvektor dieser Geraden.

Müssen die Koordinaten des Richtungsvektors sorgfältig aus der Gleichung „herausgezogen“ werden, dann können die Koordinaten des Normalenvektors einfach „entfernt“ werden.

Der Normalenvektor ist immer orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden. Lassen Sie uns die Orthogonalität dieser Vektoren mithilfe von überprüfen Skalarprodukt:

Ich werde Beispiele mit den gleichen Gleichungen wie für den Richtungsvektor geben:

Ist es möglich, eine Gleichung einer Geraden mit einem gegebenen Punkt und einem Normalenvektor aufzustellen? Ich spüre es in meinem Bauch, es ist möglich. Wenn der Normalenvektor bekannt ist, ist die Richtung der Geraden selbst klar definiert – es handelt sich um eine „starre Struktur“ mit einem Winkel von 90 Grad.

Wie schreibe ich eine Gleichung einer geraden Linie mit einem gegebenen Punkt und einem Normalenvektor?

Wenn ein bestimmter Punkt, der zu einer Geraden gehört, und der Normalenvektor dieser Geraden bekannt sind, dann wird die Gleichung dieser Geraden durch die Formel ausgedrückt:

Hier hat alles ohne Brüche und andere Überraschungen geklappt. Das ist unser Normalvektor. Liebe ihn. Und Respekt =)

Beispiel 9

Schreiben Sie eine Gleichung einer geraden Linie mit einem gegebenen Punkt und einem Normalenvektor. Finden Sie den Richtungsvektor der Linie.

Lösung: Wir verwenden die Formel:

Die allgemeine Gleichung der Geraden wurde erhalten, überprüfen wir:

1) „Entfernen“ Sie die Koordinaten des Normalenvektors aus der Gleichung: – Ja, tatsächlich wurde der ursprüngliche Vektor aus der Bedingung erhalten (oder es sollte ein kollinearer Vektor erhalten werden).

2) Überprüfen wir, ob der Punkt die Gleichung erfüllt:

Wahre Gleichheit.

Nachdem wir überzeugt sind, dass die Gleichung richtig zusammengesetzt ist, werden wir den zweiten, einfacheren Teil der Aufgabe erledigen. Wir nehmen den Richtungsvektor der Geraden heraus:

Antwort:

In der Zeichnung sieht die Situation so aus:

Zu Schulungszwecken eine ähnliche Aufgabe zum selbstständigen Lösen:

Beispiel 10

Schreiben Sie eine Gleichung einer geraden Linie mit einem gegebenen Punkt und einem Normalenvektor. Finden Sie den Richtungsvektor der Linie.

Der letzte Abschnitt der Lektion ist weniger verbreiteten, aber auch wichtigen Arten von Gleichungen einer Geraden in einer Ebene gewidmet

Gleichung einer Geraden in Segmenten.
Gleichung einer Geraden in parametrischer Form

Die Gleichung einer Geraden in Segmenten hat die Form , wobei Konstanten ungleich Null sind. Einige Arten von Gleichungen können in dieser Form nicht dargestellt werden, beispielsweise die direkte Proportionalität (da der freie Term gleich Null ist und es keine Möglichkeit gibt, eins auf der rechten Seite zu bekommen).

Im übertragenen Sinne handelt es sich hierbei um eine „technische“ Art von Gleichung. Eine häufige Aufgabe besteht darin, die allgemeine Gleichung einer Geraden als Geradengleichung in Segmenten darzustellen. Wie ist es bequem? Die Gleichung einer Geraden in Segmenten ermöglicht es Ihnen, schnell die Schnittpunkte einer Geraden mit Koordinatenachsen zu finden, was bei einigen Problemen der höheren Mathematik sehr wichtig sein kann.

Suchen wir den Schnittpunkt der Geraden mit der Achse. Wir setzen das „y“ auf Null zurück und die Gleichung nimmt die Form an. Der gewünschte Punkt wird automatisch ermittelt: .

Das Gleiche gilt für die Achse – der Punkt, an dem die Gerade die Ordinatenachse schneidet.

Kanonische Gleichungen einer Linie im Raum sind Gleichungen, die eine Linie definieren, die durch einen bestimmten Punkt kollinear zum Richtungsvektor verläuft.

Gegeben seien ein Punkt und ein Richtungsvektor. Ein beliebiger Punkt liegt auf einer Geraden l nur wenn die Vektoren und kollinear sind, d. h. die Bedingung für sie erfüllt ist:

.

Die obigen Gleichungen sind die kanonischen Gleichungen der Geraden.

Zahlen M , N Und P sind Projektionen des Richtungsvektors auf die Koordinatenachsen. Da der Vektor ungleich Null ist, dann alle Zahlen M , N Und P kann nicht gleichzeitig gleich Null sein. Aber ein oder zwei davon könnten Null sein. In der analytischen Geometrie ist beispielsweise folgende Eingabe erlaubt:

,

was bedeutet, dass die Projektionen des Vektors auf der Achse Oy Und Oz sind gleich Null. Daher stehen sowohl der Vektor als auch die durch die kanonischen Gleichungen definierte Gerade senkrecht zu den Achsen Oy Und Oz, also Flugzeuge yOz .

Beispiel 1. Schreiben Sie Gleichungen für eine Linie im Raum senkrecht zu einer Ebene und durch den Schnittpunkt dieser Ebene mit der Achse verläuft Oz .

Lösung. Finden wir den Schnittpunkt dieser Ebene mit der Achse Oz. Da jeder Punkt auf der Achse liegt Oz, hat also Koordinaten , vorausgesetzt in der gegebenen Gleichung der Ebene x = y = 0, wir bekommen 4 z- 8 = 0 oder z= 2 . Daher der Schnittpunkt dieser Ebene mit der Achse Oz hat Koordinaten (0; 0; 2) . Da die gewünschte Linie senkrecht zur Ebene steht, ist sie parallel zu ihrem Normalenvektor. Daher kann der Richtungsvektor der Geraden der Normalenvektor sein gegebenes Flugzeug.

Schreiben wir nun die erforderlichen Gleichungen einer geraden Linie auf, die durch einen Punkt verläuft A= (0; 0; 2) in Richtung des Vektors:

Gleichungen einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte verläuft

Eine Gerade kann durch zwei darauf liegende Punkte definiert werden Und In diesem Fall kann der Richtungsvektor der Geraden der Vektor sein. Dann nehmen die kanonischen Gleichungen der Geraden die Form an

.

Die obigen Gleichungen bestimmen eine Linie, die durch zwei gegebene Punkte verläuft.

Beispiel 2. Schreiben Sie eine Gleichung für eine Gerade im Raum, die durch die Punkte und verläuft.

Lösung. Schreiben wir die erforderlichen Gleichungen der Geraden in der oben in der theoretischen Referenz angegebenen Form auf:

.

Da steht die gewünschte Gerade senkrecht zur Achse Oy .

Gerade wie die Schnittlinie der Ebenen

Eine Gerade im Raum kann als Schnittlinie zweier nichtparalleler Ebenen definiert werden, also als eine Menge von Punkten, die ein System aus zwei linearen Gleichungen erfüllen

Die Gleichungen des Systems werden auch allgemeine Gleichungen einer Geraden im Raum genannt.

Beispiel 3. Stellen Sie kanonische Gleichungen einer Linie im Raum auf, die durch allgemeine Gleichungen gegeben ist

Lösung. Um die kanonischen Gleichungen einer Geraden oder, was dasselbe ist, die Gleichungen einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte verläuft, zu schreiben, müssen Sie die Koordinaten zweier beliebiger Punkte auf der Geraden ermitteln. Sie können beispielsweise die Schnittpunkte einer Geraden mit zwei beliebigen Koordinatenebenen sein yOz Und xOz .

Schnittpunkt einer Geraden und einer Ebene yOz hat eine Abszisse X= 0 . Daher wird in diesem Gleichungssystem davon ausgegangen X= 0, wir erhalten ein System mit zwei Variablen:

Ihre Entscheidung j = 2 , z= 6 zusammen mit X= 0 definiert einen Punkt A(0; 2; 6) die gewünschte Zeile. Dann wird im gegebenen Gleichungssystem angenommen j= 0, wir erhalten das System

Ihre Entscheidung X = -2 , z= 0 zusammen mit j= 0 definiert einen Punkt B(-2; 0; 0) Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene xOz .

Schreiben wir nun die Gleichungen der Geraden auf, die durch die Punkte verlaufen A(0; 2; 6) und B (-2; 0; 0) :

,

oder nach Division der Nenner durch -2:

,

Die Linie, die durch den Punkt K(x 0 ; y 0) verläuft und parallel zur Linie y = kx + a verläuft, wird durch die Formel ermittelt:

y - y 0 = k(x - x 0) (1)

Wobei k die Steigung der Linie ist.

Alternative Formel:
Eine Linie, die durch den Punkt M 1 (x 1 ; y 1) verläuft und parallel zur Linie Ax+By+C=0 verläuft, wird durch die Gleichung dargestellt

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

Beispiel Nr. 2. Schreiben Sie die Gleichung einer Geraden parallel zur Geraden 2x + 5y = 0, die zusammen mit den Koordinatenachsen ein Dreieck mit der Fläche 5 bildet.
Lösung . Da die Geraden parallel sind, lautet die Gleichung der gewünschten Geraden 2x + 5y + C = 0. Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks, wobei a und b seine Schenkel sind. Suchen wir die Schnittpunkte der gewünschten Linie mit den Koordinatenachsen:
;
.
Also A(-C/2,0), B(0,-C/5). Setzen wir es in die Flächenformel ein: . Wir erhalten zwei Lösungen: 2x + 5y + 10 = 0 und 2x + 5y – 10 = 0.

Beispiel Nr. 3. Schreiben Sie eine Gleichung für eine Gerade, die durch den Punkt (-2; 5) verläuft und parallel zur Geraden 5x-7y-4=0 verläuft.
Lösung. Diese Gerade kann durch die Gleichung y = 5 / 7 x – 4 / 7 (hier a = 5 / 7) dargestellt werden. Die Gleichung der gewünschten Linie lautet y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)), d. h. 7(y-5)=5(x+2) oder 5x-7y+45=0 .

Beispiel Nr. 4. Nachdem wir Beispiel 3 (A=5, B=-7) mit Formel (2) gelöst haben, finden wir 5(x+2)-7(y-5)=0.

Beispiel Nr. 5. Schreiben Sie eine Gleichung für eine Gerade, die durch den Punkt (-2;5) verläuft und parallel zur Geraden 7x+10=0 verläuft.
Lösung. Hier ist A=7, B=0. Formel (2) ergibt 7(x+2)=0, d.h. x+2=0. Formel (1) ist nicht anwendbar, da diese Gleichung nicht in Bezug auf y aufgelöst werden kann (diese Gerade verläuft parallel zur Ordinatenachse).

Eigenschaften einer Geraden in der euklidischen Geometrie.

Durch jeden Punkt können unendlich viele Geraden gezogen werden.

Durch zwei beliebige nicht zusammenfallende Punkte kann eine einzelne gerade Linie gezogen werden.

Zwei divergierende Linien in einer Ebene schneiden sich entweder in einem einzigen Punkt oder sind es

parallel (folgt aus dem vorherigen).

Im dreidimensionalen Raum gibt es drei Möglichkeiten für die relative Lage zweier Linien:

• Linien schneiden sich;

• Linien sind parallel;

• Geraden schneiden sich.

Gerade Linie— algebraische Kurve erster Ordnung: eine Gerade im kartesischen Koordinatensystem

ist in der Ebene durch eine Gleichung ersten Grades (lineare Gleichung) gegeben.

Allgemeine Gleichung einer Geraden.

Definition. Jede gerade Linie in der Ebene kann durch eine Gleichung erster Ordnung angegeben werden

Axt + Wu + C = 0,

und konstant A, B nicht gleichzeitig Null sind. Diese Gleichung erster Ordnung heißt allgemein

Gleichung einer Geraden. Abhängig von den Werten der Konstanten A, B Und MIT Folgende Sonderfälle sind möglich:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- Eine Gerade geht durch den Ursprung

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- Gerade parallel zur Achse Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- Gerade parallel zur Achse OU

. B = C = 0, A ≠0- Die Gerade fällt mit der Achse zusammen OU

. A = C = 0, B ≠0- Die Gerade fällt mit der Achse zusammen Oh

Die Gleichung einer Geraden kann je nach Gegebenheit in verschiedenen Formen dargestellt werden

Anfangsbedingungen.

Gleichung einer Geraden aus einem Punkt und einem Normalenvektor.

Definition. In einem kartesischen rechtwinkligen Koordinatensystem ein Vektor mit den Komponenten (A, B)

senkrecht zu der durch die Gleichung gegebenen Geraden

Axt + Wu + C = 0.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung einer Geraden, die durch einen Punkt verläuft A(1, 2) senkrecht zum Vektor (3, -1).

Lösung. Mit A = 3 und B = -1 stellen wir die Gleichung der Geraden auf: 3x - y + C = 0. Um den Koeffizienten C zu finden

Ersetzen wir die Koordinaten des gegebenen Punktes A in den resultierenden Ausdruck. Wir erhalten also: 3 - 2 + C = 0

C = -1. Gesamt: die erforderliche Gleichung: 3x - y - 1 = 0.

Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte verläuft.

Gegeben seien zwei Punkte im Raum M 1 (x 1 , y 1 , z 1) Und M2 (x 2, y 2, z 2), Dann Gleichung einer Geraden,

durch diese Punkte gehen:

Wenn einer der Nenner Null ist, sollte der entsprechende Zähler gleich Null gesetzt werden. An

Ebene, die Gleichung der oben geschriebenen Geraden wird vereinfacht:

Wenn x 1 ≠ x 2 Und x = x 1, Wenn x 1 = x 2 .

Fraktion = k angerufen Neigung gerade.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung der Geraden, die durch die Punkte A(1, 2) und B(3, 4) verläuft.

Lösung. Wenn wir die oben geschriebene Formel anwenden, erhalten wir:

Gleichung einer Geraden unter Verwendung eines Punktes und einer Steigung.

Wenn die allgemeine Gleichung der Linie Axt + Wu + C = 0 führen zu:

und benennen , dann heißt die resultierende Gleichung

Gleichung einer Geraden mit Steigung k.

Gleichung einer Geraden aus einem Punkt und einem Richtungsvektor.

In Analogie zum Punkt, der die Gleichung einer Geraden durch den Normalenvektor betrachtet, können Sie die Aufgabe eingeben

eine Gerade durch einen Punkt und ein Richtungsvektor einer Geraden.

Definition. Jeder Vektor ungleich Null (α 1 , α 2), deren Komponenten die Bedingung erfüllen

Aα 1 + Bα 2 = 0 angerufen Richtungsvektor einer Geraden.

Axt + Wu + C = 0.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung einer Geraden mit einem Richtungsvektor (1, -1), die durch den Punkt A(1, 2) verläuft.

Lösung. Wir suchen nach der Gleichung der gewünschten Geraden in der Form: Ax + By + C = 0. Laut Definition ist

Koeffizienten müssen die folgenden Bedingungen erfüllen:

1 * A + (-1) * B = 0, d.h. A = B.

Dann hat die Geradengleichung die Form: Ax + Ay + C = 0, oder x + y + C / A = 0.

bei x = 1, y = 2 wir bekommen C/A = -3, d.h. erforderliche Gleichung:

x + y - 3 = 0

Gleichung einer Geraden in Segmenten.

Wenn in der allgemeinen Gleichung der Geraden Ах + Ву + С = 0 С≠0, dann erhalten wir durch Division durch -С:

oder wo

Die geometrische Bedeutung der Koeffizienten besteht darin, dass der Koeffizient a die Koordinate des Schnittpunkts ist

gerade mit Achse Oh, A B- Koordinate des Schnittpunkts der Linie mit der Achse OU.

Beispiel. Die allgemeine Gleichung einer Geraden ist gegeben x - y + 1 = 0. Finden Sie die Gleichung dieser Geraden in Segmenten.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Normalgleichung einer Geraden.

Wenn beide Seiten der Gleichung Axt + Wu + C = 0 durch Zahl dividieren Was heisst

Normalisierungsfaktor, dann bekommen wir

xcosφ + ysinφ - p = 0 -Normalgleichung einer Geraden.

Das Vorzeichen ± des Normierungsfaktors muss so gewählt werden μ*C< 0.

R- die Länge der Senkrechten, die vom Ursprung zur Geraden fällt,

A φ - der Winkel, den diese Senkrechte mit der positiven Richtung der Achse bildet Oh.

Beispiel. Die allgemeine Gleichung der Geraden ist gegeben 12x - 5y - 65 = 0. Erforderlich, um verschiedene Arten von Gleichungen zu schreiben

diese gerade Linie.

Die Gleichung dieser Geraden in Segmenten:

Die Gleichung dieser Geraden mit der Steigung: (durch 5 dividieren)

Gleichung einer Geraden:

cos φ = 12/13; Sünde φ= -5/13; p = 5.

Es ist zu beachten, dass nicht jede Gerade durch eine Gleichung in Segmenten dargestellt werden kann, zum Beispiel Geraden,

parallel zu den Achsen oder durch den Ursprung verlaufend.

Der Winkel zwischen geraden Linien in einer Ebene.

Definition. Wenn zwei Zeilen angegeben sind y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, dann der spitze Winkel zwischen diesen Linien

wird definiert als

Zwei Geraden sind parallel, wenn k 1 = k 2. Zwei Linien stehen senkrecht zueinander

Wenn k 1 = -1/ k 2 .

Satz.

Direkte Axt + Wu + C = 0 Und A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 parallel, wenn die Koeffizienten proportional sind

A 1 = λA, B 1 = λB. Wenn auch С 1 = λС, dann fallen die Linien zusammen. Koordinaten des Schnittpunkts zweier Geraden

werden als Lösung des Gleichungssystems dieser Geraden gefunden.

Die Gleichung einer Geraden, die senkrecht zu einer gegebenen Geraden durch einen gegebenen Punkt verläuft.

Definition. Linie, die durch einen Punkt geht M 1 (x 1, y 1) und senkrecht zur Linie y = kx + b

dargestellt durch die Gleichung:

Abstand von einem Punkt zu einer Linie.

Satz. Wenn ein Punkt gegeben wird M(x 0, y 0), dann der Abstand zur Geraden Axt + Wu + C = 0 definiert als:

Nachweisen. Lassen Sie den Punkt M 1 (x 1, y 1)- die Basis einer Senkrechten, die von einem Punkt aus fällt M für ein gegebenes

Direkte. Dann der Abstand zwischen Punkten M Und M 1:

(1)

Koordinaten x 1 Und um 1 kann als Lösung des Gleichungssystems gefunden werden:

Die zweite Gleichung des Systems ist die Gleichung einer Geraden, die senkrecht durch einen gegebenen Punkt M 0 verläuft

Gerade gegeben. Wenn wir die erste Gleichung des Systems in die Form umwandeln:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

dann erhalten wir beim Lösen:

Wenn wir diese Ausdrücke in Gleichung (1) einsetzen, finden wir:

Der Satz ist bewiesen.