Die einfachsten Probleme mit einer geraden Linie in einer Ebene. Relative Position der Linien

Winkel zwischen geraden Linien im Raum nennen wir jeden der benachbarten Winkel, die durch zwei gerade Linien gebildet werden, die durch einen beliebigen Punkt parallel zu den Daten gezogen werden.

Gegeben seien zwei Zeilen im Raum:

Offensichtlich kann der Winkel φ zwischen Geraden als Winkel zwischen ihren Richtungsvektoren und angenommen werden. Da wir dann die Formel für den Kosinus des Winkels zwischen Vektoren verwenden, erhalten wir

Die Bedingungen der Parallelität und Rechtwinkligkeit zweier Geraden entsprechen den Bedingungen der Parallelität und Rechtwinkligkeit ihrer Richtungsvektoren und:

Zwei gerade parallel genau dann, wenn ihre entsprechenden Koeffizienten proportional sind, d. h. l 1 Parallele l 2 genau dann, wenn parallel .

Zwei gerade aufrecht genau dann, wenn die Summe der Produkte der entsprechenden Koeffizienten gleich Null ist: .

U Ziel zwischen Linie und Ebene

Lass es gerade sein D- nicht senkrecht zur θ-Ebene;
D′− Projektion einer Linie D zur θ-Ebene;
Der kleinste Winkel zwischen Geraden D Und D' Wir werden anrufen Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene.
Bezeichnen wir es als φ=( D,θ)
Wenn D⊥θ, dann ( D,θ)=π/2

Oi→J→k→− rechtwinkliges Koordinatensystem.
Ebenengleichung:

θ: Axt+Von+Tsch+D=0

Wir gehen davon aus, dass die Gerade durch einen Punkt und einen Richtungsvektor definiert ist: D[M 0,P→]
Vektor N→(A,B,C)⊥θ
Dann bleibt noch der Winkel zwischen den Vektoren herauszufinden N→ und P→, bezeichnen wir es als γ=( N→,P→).

Wenn der Winkel γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Wenn der Winkel γ>π/2 ist, dann ist der gewünschte Winkel φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Dann, Winkel zwischen Gerade und Ebene kann mit der Formel berechnet werden:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+Bp 2+Vgl 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√P 21+P 22+P 23

Frage29. Das Konzept der quadratischen Form. Zeichenbestimmtheit quadratischer Formen.

Quadratische Form j (x 1, x 2, …, x n) n reelle Variablen x 1, x 2, …, x n heißt Summe der Form
, (1)

Wo ein ij – einige Zahlen, die Koeffizienten genannt werden. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir davon ausgehen ein ij = ein ji.

Die quadratische Form heißt gültig, Wenn ein ij Î GR. Matrix quadratischer Form heißt eine Matrix, die aus ihren Koeffizienten besteht. Die quadratische Form (1) entspricht der einzigen symmetrischen Matrix
Das ist EIN T = A. Folglich kann die quadratische Form (1) in Matrixform j geschrieben werden ( X) = x T Ah, Wo x T = (X 1 X 2 … x n). (2)

Und umgekehrt entspricht jede symmetrische Matrix (2) bis zur Variablenschreibweise einer eindeutigen quadratischen Form.

Rang der quadratischen Form wird der Rang seiner Matrix genannt. Die quadratische Form heißt nicht degeneriert, wenn seine Matrix nicht singulär ist A. (Denken Sie daran, dass die Matrix A heißt nicht entartet, wenn seine Determinante ungleich Null ist. Ansonsten ist die quadratische Form entartet.

positiv definitiv(oder streng positiv) wenn

J ( X) > 0 , für jeden X = (X 1 , X 2 , …, x n), außer X = (0, 0, …, 0).

Matrix A positiv definite quadratische Form j ( X) wird auch positiv definit genannt. Daher entspricht eine positiv definite quadratische Form einer eindeutigen positiv definiten Matrix und umgekehrt.

Die quadratische Form (1) heißt negativ definiert(oder streng negativ) wenn

J ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), außer X = (0, 0, …, 0).

Ähnlich wie oben wird eine Matrix negativ definiter quadratischer Form auch negativ definit genannt.

Folglich ist die positive (negative) bestimmte quadratische Form j ( X) erreicht den minimalen (maximalen) Wert j ( X*) = 0 bei X* = (0, 0, …, 0).

Beachten Sie, dass die meisten quadratischen Formen nicht vorzeichenbestimmt sind, das heißt, sie sind weder positiv noch negativ. Solche quadratischen Formen verschwinden nicht nur im Ursprung des Koordinatensystems, sondern auch an anderen Punkten.

Wann N> 2 sind spezielle Kriterien erforderlich, um das Vorzeichen einer quadratischen Form zu überprüfen. Schauen wir sie uns an.

Haupt-Minderjährige quadratische Form nennt man Minderjährige:

das heißt, es handelt sich um Minderjährige in der Größenordnung von 1, 2, ..., N Matrizen A, befindet sich in der oberen linken Ecke, die letzte davon stimmt mit der Determinante der Matrix überein A.

Kriterium der positiven Bestimmtheit (Sylvester-Kriterium)

X) = x T Ah positiv definit war, ist es notwendig und ausreichend, dass alle großen Nebenwerte der Matrix vorhanden sind A waren positiv, das heißt: M 1 > 0, M 2 > 0, …, Mn > 0. Negatives Sicherheitskriterium Damit die quadratische Form j ( X) = x T Ah negativ definitiv war, ist es notwendig und ausreichend, dass seine Hauptminorwerte gerader Ordnung positiv und ungerader Ordnung negativ sind, d. h.: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)N

Anweisungen

beachten Sie

Die Periode der trigonometrischen Tangensfunktion beträgt 180 Grad, was bedeutet, dass die Steigungswinkel von Geraden in absoluten Werten diesen Wert nicht überschreiten können.

Hilfreicher Rat

Wenn die Winkelkoeffizienten einander gleich sind, beträgt der Winkel zwischen solchen Linien 0, da diese Linien entweder zusammenfallen oder parallel sind.

Um den Wert des Winkels zwischen sich schneidenden Linien zu bestimmen, müssen beide Linien (oder eine von ihnen) mithilfe der Parallelverschiebungsmethode an eine neue Position verschoben werden, bis sie sich schneiden. Danach sollten Sie den Winkel zwischen den resultierenden Schnittlinien ermitteln.

Du wirst brauchen

• Lineal, rechtwinkliges Dreieck, Bleistift, Winkelmesser.

Anweisungen

Gegeben seien also der Vektor V = (a, b, c) und die Ebene A x + B y + C z = 0, wobei A, B und C die Koordinaten der Normalen N sind. Dann der Kosinus des Winkels α zwischen den Vektoren V und N ist gleich: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).

Um den Winkel in Grad oder Bogenmaß zu berechnen, müssen Sie aus dem resultierenden Ausdruck die Umkehrfunktion zum Kosinus berechnen, d. h. Arkuskosinus:α = Arskos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).

Beispiel: finden Ecke zwischen Vektor(5, -3, 8) und Flugzeug, gegeben durch die allgemeine Gleichung 2 x – 5 y + 3 z = 0. Lösung: Notieren Sie die Koordinaten des Normalenvektors der Ebene N = (2, -5, 3). Setze alle bekannten Werte in die gegebene Formel ein: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Video zum Thema

Eine Gerade, die einen gemeinsamen Punkt mit einem Kreis hat, ist Tangente an den Kreis. Ein weiteres Merkmal der Tangente besteht darin, dass sie immer senkrecht zum zum Berührungspunkt gezogenen Radius steht, d. h. Tangente und Radius bilden eine Gerade Ecke. Wenn von einem Punkt A aus zwei Tangenten an einen Kreis AB und AC gezogen werden, sind sie immer gleich. Bestimmen des Winkels zwischen Tangenten ( Ecke ABC) wird mithilfe des Satzes des Pythagoras erstellt.

Anweisungen

Um den Winkel zu bestimmen, müssen Sie den Radius des Kreises OB und OS und den Abstand des Startpunkts der Tangente vom Mittelpunkt des Kreises kennen – O. Die Winkel ABO und ASO sind also gleich, der Radius OB beträgt: zum Beispiel 10 cm und der Abstand zum Kreismittelpunkt AO beträgt 15 cm. Bestimmen Sie die Länge der Tangente mit der Formel nach dem Satz des Pythagoras: AB = Quadratwurzel aus AO2 – OB2 oder 152 – 102 = 225 –. 100 = 125;

Definition. Wenn zwei Linien gegeben sind y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, dann wird der spitze Winkel zwischen diesen Linien definiert als

Zwei Geraden sind parallel, wenn k 1 = k 2. Zwei Geraden stehen senkrecht, wenn k 1 = -1/ k 2.

Satz. Die Linien Ax + Bу + C = 0 und A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sind parallel, wenn die Koeffizienten A 1 = λA, B 1 = λB proportional sind. Ist auch C 1 = λC, dann fallen die Geraden zusammen. Die Koordinaten des Schnittpunkts zweier Geraden werden als Lösung des Gleichungssystems dieser Geraden ermittelt.

Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt verläuft

Senkrecht zu einer bestimmten Linie

Definition. Eine Gerade, die durch den Punkt M 1 (x 1, y 1) verläuft und senkrecht zur Geraden y = kx + b steht, wird durch die Gleichung dargestellt:

Abstand vom Punkt zur Linie

Satz. Wenn ein Punkt M(x 0, y 0) gegeben ist, dann wird der Abstand zur Geraden Ax + Bу + C = 0 bestimmt als

.

Nachweisen. Der Punkt M 1 (x 1, y 1) sei die Basis der Senkrechten, die vom Punkt M zu einer gegebenen Geraden fällt. Dann ist der Abstand zwischen den Punkten M und M 1:

(1)

Die Koordinaten x 1 und y 1 können durch Lösen des Gleichungssystems ermittelt werden:

Die zweite Gleichung des Systems ist die Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt M 0 senkrecht zu einer gegebenen Geraden verläuft. Wenn wir die erste Gleichung des Systems in die Form umwandeln:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

dann erhalten wir beim Lösen:

Wenn wir diese Ausdrücke in Gleichung (1) einsetzen, finden wir:

Der Satz ist bewiesen.

Beispiel. Bestimmen Sie den Winkel zwischen den Linien: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Beispiel. Zeigen Sie, dass die Geraden 3x – 5y + 7 = 0 und 10x + 6y – 3 = 0 senkrecht zueinander stehen.

Lösung. Wir finden: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, daher stehen die Geraden senkrecht.

Beispiel. Gegeben sind die Eckpunkte des Dreiecks A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Finden Sie die Gleichung der Höhe, die vom Scheitelpunkt C aus gezogen wird.

Lösung. Wir finden die Gleichung der Seite AB: ; 4 x = 6 Jahre – 6;

2 x – 3 Jahre + 3 = 0;

Die erforderliche Höhengleichung hat die Form: Ax + By + C = 0 oder y = kx + b. k = . Dann ist y = . Weil die Höhe geht durch den Punkt C, dann erfüllen seine Koordinaten diese Gleichung: mit b = 17. Gesamt: .

Antwort: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Die Gleichung einer Geraden, die durch einen bestimmten Punkt in einer bestimmten Richtung verläuft. Gleichung einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte verläuft. Der Winkel zwischen zwei Geraden. Der Zustand der Parallelität und Rechtwinkligkeit zweier Geraden. Bestimmen des Schnittpunkts zweier Geraden

1. Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt verläuft A(X 1 , j 1) in einer bestimmten Richtung, bestimmt durch die Neigung k,

j - j 1 = k(X - X 1). (1)

Diese Gleichung definiert ein Bündel von Linien, die durch einen Punkt verlaufen A(X 1 , j 1), das Strahlzentrum genannt wird.

2. Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte geht: A(X 1 , j 1) und B(X 2 , j 2), so geschrieben:

Der Winkelkoeffizient einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte verläuft, wird durch die Formel bestimmt

3. Winkel zwischen Geraden A Und B ist der Winkel, um den die erste Gerade gedreht werden muss A um den Schnittpunkt dieser Linien gegen den Uhrzeigersinn herum, bis er mit der zweiten Linie zusammenfällt B. Wenn zwei Geraden durch Gleichungen mit Steigung gegeben sind

j = k 1 X + B 1 ,

j = k 2 X + B 2 , (4)

dann wird der Winkel zwischen ihnen durch die Formel bestimmt

Es ist zu beachten, dass im Zähler des Bruchs die Steigung der ersten Geraden von der Steigung der zweiten Geraden subtrahiert wird.

Wenn die Gleichungen einer Geraden in allgemeiner Form angegeben sind

A 1 X + B 1 j + C 1 = 0,

A 2 X + B 2 j + C 2 = 0, (6)

Der Winkel zwischen ihnen wird durch die Formel bestimmt

4. Bedingungen für die Parallelität zweier Geraden:

a) Sind die Geraden durch die Gleichungen (4) mit einem Winkelkoeffizienten gegeben, dann ist die notwendige und hinreichende Bedingung für ihre Parallelität die Gleichheit ihrer Winkelkoeffizienten:

k 1 = k 2 . (8)

b) Für den Fall, dass die Geraden durch Gleichungen in allgemeiner Form (6) gegeben sind, ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für ihre Parallelität, dass die Koeffizienten für die entsprechenden aktuellen Koordinaten in ihren Gleichungen proportional sind, d.h.

5. Bedingungen für die Rechtwinkligkeit zweier Geraden:

a) Für den Fall, dass die Geraden durch die Gleichungen (4) mit einem Winkelkoeffizienten gegeben sind, ist eine notwendige und ausreichende Bedingung für ihre Rechtwinkligkeit, dass ihre Winkelkoeffizienten in der Größe umgekehrt und im Vorzeichen entgegengesetzt sind, d.h.

Diese Bedingung kann auch im Formular geschrieben werden

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Wenn die Geradengleichungen in der allgemeinen Form (6) vorliegen, dann besteht die Bedingung für ihre Rechtwinkligkeit (notwendig und ausreichend) darin, die Gleichheit zu erfüllen

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Die Koordinaten des Schnittpunkts zweier Geraden werden durch Lösen des Gleichungssystems (6) ermittelt. Geraden (6) schneiden sich genau dann, wenn

1. Schreiben Sie die Gleichungen von Geraden, die durch den Punkt M verlaufen, von denen eine parallel und die andere senkrecht zur gegebenen Geraden l verläuft.

Mit diesem Online-Rechner können Sie den Winkel zwischen Geraden ermitteln. Eine detaillierte Lösung mit Erläuterungen wird gegeben. Um den Winkel zwischen geraden Linien zu berechnen, stellen Sie die Abmessung ein (2, wenn eine gerade Linie auf einer Ebene betrachtet wird, 3, wenn eine gerade Linie im Raum betrachtet wird), geben Sie die Elemente der Gleichung in die Zellen ein und klicken Sie auf „Lösen“. Taste. Siehe den theoretischen Teil unten.

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Anweisungen zur Dateneingabe. Zahlen werden als ganze Zahlen (Beispiele: 487, 5, -7623 usw.), Dezimalzahlen (z. B. 67, 102,54 usw.) oder Brüche eingegeben. Der Bruch muss in der Form a/b eingegeben werden, wobei a und b (b>0) ganze Zahlen oder Dezimalzahlen sind. Beispiele 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 usw.

1. Winkel zwischen Geraden in einer Ebene

Linien werden durch kanonische Gleichungen definiert

1.1. Bestimmung des Winkels zwischen Geraden

Lassen Sie die Linien im zweidimensionalen Raum L 1 und L

Somit können wir aus Formel (1.4) den Winkel zwischen den Geraden ermitteln L 1 und L 2. Wie aus Abb. 1 ersichtlich ist, bilden sich schneidende Linien benachbarte Winkel φ Und φ 1 . Wenn der gefundene Winkel größer als 90° ist, können Sie den minimalen Winkel zwischen Geraden ermitteln L 1 und L 2: φ 1 =180-φ .

Aus Formel (1.4) können wir die Bedingungen für Parallelität und Rechtwinkligkeit zweier Geraden ableiten.

Beispiel 1. Bestimmen Sie den Winkel zwischen Linien

Vereinfachen und lösen wir:

1.2. Bedingung für parallele Linien

Lassen φ =0. Dann cosφ=1. In diesem Fall nimmt der Ausdruck (1.4) die folgende Form an:

Beispiel 2: Bestimmen Sie, ob die Linien parallel sind

Gleichheit (1.9) ist erfüllt, daher sind die Geraden (1.10) und (1.11) parallel.

Antwort. Die Linien (1.10) und (1.11) sind parallel.

1.3. Bedingung für die Rechtwinkligkeit von Linien

Lassen φ =90°. Dann cosφ=0. In diesem Fall nimmt der Ausdruck (1.4) die folgende Form an:

Beispiel 3. Bestimmen Sie, ob die Linien senkrecht sind

Bedingung (1.13) ist erfüllt, daher stehen die Geraden (1.14) und (1.15) senkrecht zueinander.

Antwort. Die Linien (1.14) und (1.15) stehen senkrecht zueinander.

Linien werden durch allgemeine Gleichungen definiert

1.4. Bestimmen des Winkels zwischen Geraden

Lassen Sie zwei gerade Linien L 1 und L 2 werden durch allgemeine Gleichungen gegeben

Aus der Definition des Skalarprodukts zweier Vektoren ergibt sich:

Beispiel 4. Finden Sie den Winkel zwischen Linien

Werte ersetzen A 1 , B 1 , A 2 , B 2 in (1.23) erhalten wir:

Dieser Winkel ist größer als 90°. Lassen Sie uns den minimalen Winkel zwischen geraden Linien ermitteln. Subtrahieren Sie dazu diesen Winkel von 180:

Andererseits die Bedingung paralleler Linien L 1 und L 2 entspricht der Bedingung der Kollinearität von Vektoren N 1 und N 2 und kann wie folgt dargestellt werden:

Gleichheit (1.24) ist erfüllt, daher sind die Geraden (1.26) und (1.27) parallel.

Antwort. Die Linien (1.26) und (1.27) sind parallel.

1.6. Bedingung für die Rechtwinkligkeit von Linien

Bedingung für die Rechtwinkligkeit von Linien L 1 und L 2 kann durch Einsetzen aus Formel (1.20) extrahiert werden cos(φ )=0. Dann ist das Skalarprodukt ( N 1 ,N 2)=0. Wo

Gleichheit (1.28) ist erfüllt, daher stehen die Geraden (1.29) und (1.30) senkrecht zueinander.

Antwort. Die Geraden (1.29) und (1.30) stehen senkrecht aufeinander.

2. Winkel zwischen Geraden im Raum

2.1. Bestimmen des Winkels zwischen Geraden

Es sollen gerade Linien im Raum sein L 1 und L 2 sind durch kanonische Gleichungen gegeben

wo | Q 1 | und | Q 2 | Richtungsvektormodule Q 1 und Q 2 bzw. φ -Winkel zwischen Vektoren Q 1 und Q 2 .

Aus Ausdruck (2.3) erhalten wir:

.

Vereinfachen und lösen wir:

.

Finden wir den Winkel φ

Gegeben seien Geraden im Raum l Und M. Durch einen Punkt A des Raumes ziehen wir gerade Linien l 1 || l Und M 1 || M(Abb. 138).

Beachten Sie, dass Punkt A beliebig gewählt werden kann; er kann insbesondere auf einer dieser Geraden liegen. Wenn gerade l Und M schneiden, dann kann A als Schnittpunkt dieser Geraden angenommen werden ( l 1 = l Und M 1 = m).

Winkel zwischen nicht parallelen Linien l Und M ist der Wert des kleinsten benachbarten Winkels, der durch sich schneidende Linien gebildet wird l 1 Und M 1 (l 1 || l, M 1 || M). Der Winkel zwischen parallelen Linien wird als gleich Null betrachtet.

Winkel zwischen Geraden l Und M bezeichnet mit \(\widehat((l;m))\). Aus der Definition folgt, dass, wenn es in Grad gemessen wird, 0° ist < \(\widehat((l;m)) \) < 90°, und wenn im Bogenmaß, dann 0 < \(\widehat((l;m)) \) < π / 2 .

Aufgabe. Gegeben sei ein Würfel ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (Abb. 139).

Finden Sie den Winkel zwischen den Geraden AB und DC 1.

Kreuzung der Geraden AB und DC 1. Da die Gerade DC parallel zur Geraden AB ist, ist der Winkel zwischen den Geraden AB und DC 1 per Definition gleich \(\widehat(C_(1)DC)\).

Daher ist \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°.

Direkte l Und M werden genannt aufrecht, wenn \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. Zum Beispiel in einem Würfel

Berechnung des Winkels zwischen Geraden.

Das Problem der Berechnung des Winkels zwischen zwei Geraden im Raum wird auf die gleiche Weise gelöst wie in einer Ebene. Bezeichnen wir mit φ die Größe des Winkels zwischen den Geraden l 1 Und l 2 und durch ψ - die Größe des Winkels zwischen den Richtungsvektoren A Und B diese geraden Linien.

Dann wenn

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (Abb. 206.6), dann φ = 180° - ψ. Offensichtlich gilt in beiden Fällen die Gleichheit cos φ = |cos ψ|. Nach der Formel (der Kosinus des Winkels zwischen den Vektoren a und b ungleich Null ist gleich dem Skalarprodukt dieser Vektoren geteilt durch das Produkt ihrer Längen) haben wir

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

somit,

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

Die Geraden seien durch ihre kanonischen Gleichungen gegeben

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; Und \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

Anschließend wird der Winkel φ zwischen den Geraden mit der Formel bestimmt

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

Wenn eine der Linien (oder beide) durch nichtkanonische Gleichungen gegeben ist, müssen Sie zur Berechnung des Winkels die Koordinaten der Richtungsvektoren dieser Linien ermitteln und dann Formel (1) verwenden.

Aufgabe 1. Berechnen Sie den Winkel zwischen Linien

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;and\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

Richtungsvektoren von Geraden haben Koordinaten:

a = (-√2 ; √2 ; -2), B = (√3 ; √3 ; √6 ).

Mit Formel (1) finden wir

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

Daher beträgt der Winkel zwischen diesen Linien 60°.

Aufgabe 2. Berechnen Sie den Winkel zwischen Linien

$$ \begin(cases)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(cases) und \begin(cases)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\end(cases) $$

Hinter dem Leitvektor A In der ersten Zeile bilden wir das Vektorprodukt von Normalenvektoren N 1 = (3; 0; -12) und N 2 = (1; 1; -3) Ebenen, die diese Linie definieren. Mit der Formel \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) erhalten wir

$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

Ebenso ermitteln wir den Richtungsvektor der zweiten Geraden:

$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$

Aber mit Formel (1) berechnen wir den Kosinus des gewünschten Winkels:

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2 ^2+4^2+4^2))=0 $$

Daher beträgt der Winkel zwischen diesen Linien 90°.

Aufgabe 3. In der dreieckigen Pyramide MABC stehen die Kanten MA, MB und MC senkrecht zueinander (Abb. 207);

ihre Längen betragen jeweils 4, 3, 6. Punkt D ist die Mitte [MA]. Finden Sie den Winkel φ zwischen den Linien CA und DB.

CA und DB seien die Richtungsvektoren der Geraden CA und DB.

Nehmen wir den Punkt M als Koordinatenursprung. Aufgrund der Bedingung der Gleichung haben wir A (4; 0; 0), B(0; 0; 3), C(0; 6; 0), D (2; 0; 0). Daher ist \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3). Verwenden wir Formel (1):

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9 )) $$

Mithilfe der Kosinustabelle ermitteln wir, dass der Winkel zwischen den Geraden CA und DB etwa 72° beträgt.