Какво е числото e на формулата на Поасон. Приблизителна формула на Поасон, примери за решения и теория

Благодаря ви, че четете и споделяте с други

При голям брой опити $n$ и малка вероятност $p$ е неудобно да се използва формулата на Бернули, например е трудно да се изчисли $0,97^(999)$.

В този случай, за да изчислите вероятността при $n$ опити ($n$ е голямо) събитие да се случи $k$ пъти, използвайте Поасонова формула:

$$ P_n(k)=\frac(\lambda^k)(k\cdot e^{-\lambda}, \qquad \lambda=n \cdot p. $$!}

Тук $\lambda=n \cdot p$ обозначава средния брой поява на събитието в $n$ опити.

Тази формула дава задоволителна апроксимация за $p \le 0.1$ и $np \le 10$. За големи $np$ се препоръчва използването на формулите на Лаплас (Moivre-Laplace). Извикват се събития, за които е приложима формулата на Поасон рядко, тъй като вероятността за тяхното изпълнение е много малка (обикновено от порядъка на 0,001-0,0001).

Сайтът разполага с безплатен онлайн калкулатор за формулата на Поасон

Примери за решение

Пример.Устройството се състои от 1000 елемента, които работят независимо един от друг. Вероятността за повреда на всеки елемент във времето Tе равно на 0,002. Намерете вероятността, че във времето Tточно три елемента се провалят.

Решение.Предвид условието: .

Желана вероятност

Пример.Заводът изпрати 500 продукта в базата. Вероятността за повреда на продукта при транспортиране е 0,004. Намерете вероятността по-малко от три продукта да бъдат повредени при транспортиране.

Решение.Предвид условието: .

Според теоремата за събиране на вероятностите

Пример.Магазинът получи 1000 бутилки минерална вода. Вероятността бутилка да се счупи при транспортиране е 0,003. Намерете вероятността магазинът да получи повече от две счупени бутилки.

Решение.Предвид условието: .

Получаваме:

Подробна статия за формулата с примери, онлайн калкулатор и изчислителен файл за видеото можете да намерите тук.

Ако вероятността за възникване на събитие в отделен тест е достатъчно близка до нула, тогава дори и за големи стойности на броя на опитите, вероятността, изчислена от локалната теорема на Лаплас, не е достатъчно точна. В такива случаи използвайте формулата, извлечена от Поасон.

ТЕОРЕМА НА ПОАСОН

Ако вероятността да се случи събитие във всеки опит е постоянна, но достатъчно малка, броят на независимите опити е достатъчно голям и комбинациите са по-малко от десет, тогава вероятността събитието да се случи точно веднъж в броя на опитите е приблизително равна на

За формулата на Поасон се използват таблични таблици на функциите.

——————————-

Нека разгледаме примери за задачи, характерни за учениците.

Пример 1. Автобиографията на писател е публикувана в 1000 екземпляра. За всяка книга вероятността да бъде неправилно обвързана е 0,002. Намерете вероятността тиражът да съдържа точно 7 дефектни книги.

Решение. Нека проверим изпълнението на условието на теоремата на Поасон. За входни стойности

че условията са изпълнени.
Според табличните стойности на функцията на Поасон намираме вероятността

Прилагайки локалната теорема на Лаплас към това събитие, получаваме

Точната стойност на вероятността се определя от формулата на Бернули

От анализа на трите метода следва, че формулата на Поасон дава по-точни приближения от формулата на Лаплас. Ето защо се препоръчва да се използва за намиране на вероятността в този вид проблеми.

——————————-

Пример 2. Вероятността за производство на нестандартна част е 0,004. Намерете вероятността сред 1000 части да има 5 нестандартни.

Поасонова формула

Имаме данни, които удовлетворяват изискванията на теоремата на Поасон Съгласно таблицата с функциите на Поасон, за да получим:

Нека намерим вероятността за същото събитие, използвайки локалната теорема на Лаплас.

вероятност p = 0,7 . Намерете най-вероятния брой m 0 хора, които ще дойдат на срещата и съответната вероятност P n (m 0 ) .

Решение. Тъй като P 50 (m 0 )= C 50 m 0 (0.7)m 0 (0.3)50 − m 0 , проблемът е да се намери неотрицателно цяло число m 0 ≤ 50, което максимизира функцията P 50 (m 0 ) . По-горе видяхме, че такова число се дава по формула (6.4). AT

P 50 (35)= C 50 35 (0,7)35 (0,3)15 ≈ 0,123.

6.4. Поасонова формула

Формулите (6.1) и (6.3) дават точните вероятности, свързани със схемата на независимите опити на Бернули. Въпреки това, изчисленията, използващи тези формули, особено за големи стойности на n и m, са много трудни. От голям практически интерес е да се получат сравнително прости приблизителни формули за изчисляване на съответните вероятности. За първи път такава формула е изведена през 1837 г. от френския математик и физик Симон Поасон (1781–1840). По-долу е формулирането на резултата на Поасон.

Помислете за схема на Бернули от независими опити, в която броят на опитите n е „относително голям“, вероятността за „успех“ p е „относително малка“, а продуктът λ= np е „нито малък, нито голям“41. При тези условия формулата

Това е известното приближение на Поасон за биномното разпределение . Доказателството на формула (6.6) ще бъде дадено в допълнението към този раздел.

41 Точното значение на цитираните термини ще бъде обяснено по-долу, по-специално в § 6д.

Извиква се функцията от дясната страна на формула (6.6).

Поасоново разпределение:

С тази нотация p(k, λ) ще бъде приблизителен израз за вероятността b(k;n, λn), когато n е „достатъчно голямо“.

Преди да обсъдим формула (6.6), нека дадем много илюстративни примери за нейното използване.

Стойностите на биномното разпределение и стойностите на разпределението на Поасон при n = 100, p = 0.01, λ= 1 са представени в табл. 6.2. Както виждаме, точността на приблизителната формула е доста висока.

Колкото по-голямо е n, толкова по-висока е точността на формулата на Поасон. Това се илюстрира със следния пример. Нека изчислим вероятността p k, че в общество от 500 души точно k души са родени в един и същ конкретен ден от годината. Ако тези 500 души са избрани на случаен принцип, тогава схемата на Бернули може да се приложи от n = 500 опита с вероятност за "успех" p = 1365. Изчисленията по точна формула (6.1) и приблизителна формула (6.6) при λ= 500365≈ 1,3699 са представени в табл. 6.3. Както виждаме, грешката е само на четвъртия знак след десетичната запетая, което е напълно приемливо за практика.

Таблица 6.3.

Нека се знае, че вероятността за "повреда" в работата на телефонната централа за всяко обаждане е 0,002. Получени 1000 обаждания. Определете вероятността в този случай да възникнат 7 "провала".

Решение. Естествено е да се предположи, че при нормални условия повикванията, пристигащи в телефонната централа, са независими едно от друго. Ще разгледаме "успех" в теста - обаждането - провала на телефонната централа. Вероятността за неуспех (p = 0,002) може да се счита за „достатъчно малка“ стойност, а броят на обажданията (n = 1000) е „достатъчно голям“. Така се намираме в условията на теоремата на Поасон. За параметъра λ получаваме стойността

Нека сега да обсъдим границите на приложимост на формулата на Поасон. В

Когато се използва каквато и да е приблизителна формула, естествено възниква въпросът за границите на нейната приложимост. При това се сблъскваме с два аспекта на проблема. Първо, естествено е да се запитаме при какви реални условия е приложим законът на Поасон? Опитът показва, че простото разпределение на Поасон има относително универсално приложение. Като цяло, от гледна точка на приложенията, математическите теореми са добри и лоши в следния смисъл: добрите теореми продължават да работят, дори ако техните условия са нарушени, а лошите незабавно престават да са верни, ако условията за тяхното извеждане са нарушени . Теоремата на Поасон (6.6) е добра и дори отлична в този смисъл. А именно, законът на Поасон продължава да действа дори при нарушаване на условията на схемата на Бернули (т.е. може да се предположи променлива вероятност за успех и дори не твърде силна зависимост на резултатите от отделните опити)42. Може дори да се твърди, че разпределението на Поасон има относително универсална приложимост. Това трябва да се разбира в смисъл, че ако експерименталните данни показват, че законът на Поасон не се прилага, докато според здравия разум той трябва да работи, тогава е по-естествено да поставим под въпрос статистическата стабилност на нашите данни, отколкото да търсим някакви други закон, разпределения. С други думи, Разпределението на Поасон е много успешна математическа формулировка на един от универсалните (в рамките на приложимостта на теорията на вероятностите) закони на природата.

Второ, възниква въпросът за порядките на тези параметри, които са включени във формулата на Поасон и за които по-горе използвахме неясни термини „относително голям“, „относително малък“, „не малък и голям“. практиката на прилагане на формула (6.6) дава изясняващи отговори. Оказва се, че формулата на Поасон е достатъчно точна за практическа употреба, ако броят на опитите n е от порядъка

42 Естествено, не бива да се злоупотребява с тези характеристики на разпределението на Поасон. Например, законът на Поасон очевидно се нарушава в ситуации, когато резултатите от отделните тестове са силно зависими.

няколко десетки (за предпочитане стотици), а стойността на параметъра λ = np е в диапазона от 0 до 10.

За да илюстрирате приложението на формулата на Поасон, разгледайте друг пример.

Нека се знае, че 10 000 стафиди разчитат на печенето на 1000 сладки кифлички със стафиди. Необходимо е да се намери разпределението на броя на стафидите в произволно избрана кифличка.

Решение. Формираме последователността от независими тестове, както следва. Ще има общо n = 10 000 опита (по броя на стафидите), а именно: опит номер k ще бъде, че ние определяме дали сме получили стафиди номер k в нашата произволно избрана кифличка43. Тогава, тъй като има общо 1000 кифлички, вероятността k-тото стафиди да попадне в нашата кифличка е p = 1/1000 (ако приемем, че тестото е добре омесено при приготвянето на кифличките). Сега прилагаме разпределението на Поасон с параметъра λ= np = 10000 11000= 10. Получаваме:

P 10000 (k )≈ p (k ,10)= 10 k e − 10 .

По-специално, вероятността да получим кифличка изобщо без стафиди (k = 0) е равна на e − 10 ≈ 0,5 10 − 4 . Най-вероятният брой стафиди ще бъде, съгласно формула (6.4), равен на 10. Съответната вероятност

P 10000(10) ≈ 10 10 e − 10 ≈ 0,125 . десет!

Примерът с кифличките и стафидите, въпреки обикновената си формулировка, е много общ. Така че вместо стафиди в кифлички, можете да говорите например за броя на бактериите в капка вода, взета от добре смесена кофа. Друг пример. Нека приемем, че атомите на радиоактивно вещество се разпадат независимо един от друг и през даден интервал от време разпадането на даден атом става с

43 Имайте предвид, че покупката на кок в магазин може да се разглежда като случаен избор.

Помислете за уравнението

Където функцията е дефинирана на .

Това уравнение дефинира разпространението на пътуваща вълна в n-мерна хомогенна среда със скорост ав моменти от време T > 0 .

За да бъде решението недвусмислено, е необходимо да се определят началните условия. Първоначалните условия определят състоянието на пространството (или, както се казва, "първоначално смущение") в даден момент от времето T = 0 :

Тогава обобщената формула на Кирхоф дава решение на този проблем.

Самият Кирхоф разглеждаше само триизмерния случай.

Идеята за намиране на решение

Едно просто извеждане на решението на основния проблем използва преобразуването на Фурие. Обобщената формула на Кирхоф има следната форма:

.

Ако вълновото уравнение има дясна страна е, терминът ще се появи от дясната страна на формулата:

Физически последици

Водещият и задният фронт на вълната от смущение, локализирано в пространството, действат върху наблюдателя за ограничен период от време

Нека в първоначалния момент T= 0 на някакъв компактен Мима локално смущение ( и/или ). Ако сме в някакъв момент , тогава, както се вижда от формулата (област на интегриране), ще усетим смущението след време .

Извън времевия интервал къде , функция u(х 0 , T) е равно на нула.

По този начин първоначалното смущение, локализирано в пространството, предизвиква във всяка точка от пространството действие, локализирано във времето, тоест смущението се разпространява под формата на вълна с преден и заден фронт, което изразява принципа на Хюйгенс). В самолета този принцип е нарушен. Оправданието за това е фактът, че носителят на смущения, който е компактен при , вече няма да бъде компактен при , а ще образува безкраен цилиндър и следователно смущението ще бъде неограничено във времето (цилиндричните вълни нямат заден ръб) .

Формула на Поасон-Парсевал

Решение на уравнението за осцилация на мембраната

с начални условия

дадено по формулата:

.

Формула D „Аламбер

Решение на едномерното вълново уравнение

(функция е(х,T) съответства на движещата сила)

с начални условия

има формата

До района IIхарактеристиките идват само от едно семейство

Когато се използва формулата d "Alembert, трябва да се има предвид, че понякога решението може да не е уникално в цялата разглеждана област. Решението на вълновото уравнение се представя като сума от две функции: u(х,T) = е(х + аT) + ж(х − аT) , тоест се определя от две семейства характеристики: . Примерът, показан на фигурата вдясно, илюстрира вълновото уравнение за полу-безкраен низ, а началните условия в него са дадени само на зелената линия х≥0. Вижда се, че в региона азидват както ξ-характеристики, така и η-характеристики, докато са в региона IIима само ξ-характеристики. Тоест в района IIФормулата на Д'Аламбер не работи.

Прилагане на формули

Като цяло формулата на Кирхоф е доста тромава и следователно решаването на проблеми на математическата физика с нейна помощ обикновено е трудно. Въпреки това, може да се използва линейността на вълновото уравнение с начални условия и потърсете решение под формата на сбор от три функции: u(х,T) = А(х,T) + Б(х,T) + ° С(х,T) , които отговарят на следните условия:

Сама по себе си такава операция не опростява използването на формулата на Кирхоф, но за някои проблеми е възможно да се избере решение или да се сведе многомерен проблем до едномерен чрез промяна на променливите. Например, нека . След това, извършване на замяната ξ = х + 3г − 2z , уравнението за задача "C" ще има формата:

Така стигнахме до едномерно уравнение, което означава, че можем да използваме формулата d "Alembert:

Поради четността на първоначалното условие, решението ще запази формата си в целия регион T > 0 .

литература

Михайлов В.П., Михайлова Т.В., Шабунин М.И.Сборник типични задачи за курса Уравнения по математическа физика. - М.: МФТИ, 2007. - ISBN 5-7417-0206-6

Връзки

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Вижте какво представлява "формулата на Поасон" в други речници:

Формулата на Кирхоф е аналитичен израз за решаване на хиперболично частно диференциално уравнение (т.нар. „вълново уравнение“) в цялото триизмерно пространство. По метода на спускане (тоест чрез намаляване на измерението) от него можете ... ... Уикипедия

Формулата на Кирхоф е аналитичен израз за решаване на хиперболично частно диференциално уравнение (т.нар. „вълново уравнение“) в цялото пространство. Чрез метода на спускане (тоест чрез намаляване на измерението) от него могат да се получат двуизмерни решения ... ... Wikipedia

Формулата, представляваща единство. класически решение u(x, t) на задачата на Коши за вълновото уравнение в триизмерно пространство-време, (където c е скоростта на разпространение на сигнала), ако първоначалните данни f(x), p(x), съответно, са три пъти и два пъти........ Физическа енциклопедия

Формулата за изчисляване на сумата от поредица от вида Ако преобразуването на Фурие (донякъде по-различно от обикновено, нормализирано) на функцията F (x), тогава (m и n са цели числа). Това е P. f. С.; тя може да е..... Голяма съветска енциклопедия

Формула P. f. С. важи, ако, например, функцията g(x) е абсолютно интегрируема на интервал, има ограничена вариация и P.f. С. също се записва във формата, където ai и b са всякакви две положителни числа, които отговарят на условието ab = 2p, а c (u). е ... ... Математическа енциклопедия

1) Същото като интеграла на Поасон 2) Формулата, която дава интегралното представяне на решението на задачата на Коши за вълновото уравнение в пространството: и имаща вида (1) където е средната стойност на функцията j на сфера, разположена в пространството (x, y, z) с радиус при С… … Математическа енциклопедия

Безкрайно делимо разпределение в теорията на вероятностите е разпределение на случайна променлива, така че да може да бъде представено като произволен брой независими, еднакво разпределени членове. Съдържание 1 Определение 2 ... ... Уикипедия

Гранични теореми в схемата на Бернули.

Да предположим, че искаме да определим вероятността да получим точно 5100 герба при 10 000 хвърляния на монета. Ясно е, че при толкова голям брой опити използването на формулата на Бернули е много трудно от гледна точка на изчисленията. В такива случаи се използват асимптотичните формули на Поасон и Моавр-Лаплас.

Асимптотични формули на Moivre-Laplace.

Теорема 1. Локална теорема на Муавр-Лаплас.Ако вероятността p за настъпване на събитие A във всеки опит е постоянна и различна от нула и единица и броят на независимите опити n е достатъчно голям, тогава вероятността P n (k) събитието A ще се появи в n опита точно k пъти е приблизително равно на

където . Освен това това равенство е по-точно, колкото по-голямо е n.

Има специални таблици, в които са поставени стойностите на функцията (функция на Гаус), съответстваща на положителни стойности на аргумента х. За отрицателни стойности на аргумента се използват същите таблици, тъй като функцията е четна, т.е. . В

Пример 1Намерете вероятността събитието НОсе случва точно 80 пъти в 400 опита, ако вероятността това събитие да се случи във всеки опит е 0,2.

Решение. По условие, н = 400; к = 80; Р = 0,2; q = 0.8. Използваме асимптотичната формула на Лаплас:

Изчислете Х: . Според таблицата намираме = 0,3989. Желана вероятност

.

Формулата на Бернули води до приблизително същия резултат:

.

Пример 2Вероятността да се удари целта от стрелеца с един изстрел Р= 0,75. Намерете вероятността с 10 изстрела стрелецът да уцели целта 8 пъти.

Решение. По условие, н =10; k = 8; Р = 0,75; q= 0,25. Използваме асимптотичната формула на Лаплас:

Изчислете Х: . Според таблицата намираме = 0,3739. Желана вероятност

Формулата на Бернули води до различен резултат, а именно . Такова значително несъответствие в отговорите се обяснява с факта, че в този пример Пе с малка стойност (формулата Moivre-Laplace дава достатъчно добри приближения само за достатъчно големи стойности П).

Теорема 2. Интегрална теорема на Moivre-Laplace.Ако вероятността p за настъпване на събитие A във всеки опит е постоянна и различна от нула и единица, а броят на независимите опити n е достатъчно голям, тогава вероятността P p (kл , к 2 ), че събитие А ще се появи в n опита от k 1 до к 2 пъти (поне k 1 и най-много k 2 ), е приблизително равен на определения интеграл

(2)

къде и . Освен това това равенство е по-точно, колкото по-голямо е n.

При решаване на задачи, които изискват прилагането на интегралната теорема на Moivre-Laplace, се използват специални таблици, тъй като неопределеният интеграл не се изразява чрез елементарни функции. Таблицата дава стойностите на функцията на Лаплас за положителни стойности хи за х = 0; за х< 0 пользуются той же таблицей, функция Ф (х) е странно, т.е. . Таблицата показва стойностите на интеграла само до х = 5, тъй като за х> 5 могат да бъдат приети Ф(х) = 0,5.

За да можем да използваме таблицата с функциите на Лаплас, трансформираме релация (2) по следния начин:

Така че вероятността събитието НОще се появи в Пнезависими изпитания к 1 до к 2 пъти,

където и .

Пример.Вероятността частта да не е преминала QCD проверка е равна на p = 0,2. Намерете вероятността 70 до 100 части да бъдат премахнати от 400 произволно избрани части.

Решение. По условие, Р = 0,2; q = 0,8;н = 400; к 1 = 70;к 2=100. Нека използваме интегралната теорема на Лаплас. Нека изчислим долната и горната граница на интегриране:

По този начин имаме

Р 400 (70, 100)=F( 2,5) - Ф(- 1,25) = Ф(2,5) + Ф(1.25). От таблицата намираме:

Ф (2,5) = 0,4938; Ф(1,25) = 0,3944.

Желана вероятност

Р 400 (70, 100)=0,4938 + 0,3944=0,8882.

Коментирайте.Използвайки функцията на Лаплас, можете да намерите вероятността за отклонение на относителната честота от вероятността Рв Пнезависими тестове по формулата: , където е някакво число.

Асимптотична формула на Поасон.

Нека броят на опитите Пв схемата на Бернули се увеличава неограничено и вероятността за успех Рв един тест намалява за неопределено време, а техният продукт = и т.н. запазва постоянна стойност. Това означава, че средният брой поява на събитие в различни тестови серии, т.е. при различни стойности П, остава непроменен. Тогава R стр(к) се определя по приблизителната формула (формулата на Поасон)

.

Забележка 1.Има специални таблици, с помощта на които можете да намерите R стр(к), знаейки и k.

Забележка 2.Формулата на Поасон се използва, когато вероятността за успех е изключително малка, т.е. Самият успех е рядко събитие (например спечелване на кола с лотариен билет), но броят на опитите е голям, среден брой успехи = и т.нлеко. ( ).

Забележка 3.Формулата на Поасон е валидна и за броя на неуспехите, ако броят на опитите Пв схемата на Бернули се увеличава неограничено и вероятността от провал qпри един тест намалява за неопределено време и запазва постоянна стойност.

Пример.Фабриката изпрати до базата 5000 висококачествени продукта.Вероятността продуктът да бъде повреден по пътя е 0,0002. Намерете вероятността 3 неизползваеми артикула да пристигнат в базата.

Решение.По условие, П= 5000, Р= 0,0002, k = 3. = и т.н = 5000 *0,0002 = 1.

Според формулата на Поасон желаната вероятност е приблизително равна на

.

Формулата на Поасон се използва широко в теорията на опашките. Може да се счита за математически модел на най-простия поток от събития.

Определение 1.Поток от събития е последователност от събития, които се случват в произволен момент.. Примери за потоци са: пристигане на обаждания в централата, в спешното отделение, пристигане на самолет на летището, клиенти в предприятието за потребителско обслужване, последователността на повредите на елементите и много други. Събитията, които образуват потока, могат да бъдат различни в общия случай, но ще разгледаме само потока от хомогенни събития, които се различават само в моментите на възникване. Такъв поток може да бъде изобразен като последователност от точки на числовата права.

Определение 2.Поток от събития се нарича редовен, ако събитията следват едно след друго на строго определени интервали.

Определение 3. Поток от събития се нарича стационарен, който се характеризира с факта, че вероятността за възникване на k събития във времеви интервал с продължителност зависи само от числото k и от продължителността на интервала и не зависи от това къде се намира този участък разположени на реалната ос, т.е. вероятността за възникване на k събития за определен период от време, продължителността t е функция, която зависи само от k и t. Следователно, средният брой събития, които се появяват за единица време (интензитет на потока) е постоянна стойност.

Определение 4.Поток от събития се нарича поток без последващо действие, ако за всякакви неприпокриващи се времеви интервали броят на събитията, попадащи на едно от тях, не зависи от броя на събитията, попадащи върху другите.

Определение 5.Поток от събития се нарича обикновен, ако вероятността две или повече събития да ударят безкрайно малка площ е незначителна в сравнение с вероятността да се случи едно събитие. (Събитията не се появяват в групи, а поотделно)

Определение 6. Най-простият (стационарен Поасон) е потокът на събитията, който има свойствата на стационарност, липса на последействие и обикновеност.

Коментирайте.Установено е, че ако потокът е сбор от много голям брой независими стационарни потоци, влиянието на всеки от които върху цялата сума (общ поток) е незначително, тогава общият поток (ако приемем, че е обикновен) е близък до най-простото. .

Може да се докаже, че ако постоянният дебит е известен, тогава вероятността за възникване кна събитията от най-простия поток за време с продължителност t се определя по формулата на Поасон.

Тази формула отразява всички свойства на най-простия поток.

Пример.Средният брой обаждания, пристигащи в централата за една минута, е две. Намерете вероятностите за 5 минути да има: а) 2 обаждания; б) по-малко от две обаждания; в) поне две обаждания. Предполага се, че потокът на обажданията е най-простият.

Решение.По условие Нека използваме формулата на Поасон.

Б) Събитията не са получили нито едно повикване и са получили едно обаждане са несъвместими, следователно, според формулата за добавяне, желаната вероятност

В) Събитията, получени по-малко от 2 повиквания и получени поне 2 повиквания, са противоположни, следователно

Нека в експеримента се извършват повторни тестове по схемата на Бернули и броят на тестовете е голям, вероятността за настъпване на наблюдаваното събитие в един тест е малка, а параметърът е постоянна стойност. След това за вероятността - вероятността събитието в тестовете да се появи веднъж, връзката е вярна

. (3.1)

Когато изчислявате вероятността в такъв случаен експеримент, можете да използвате приблизителната формула

, (3.2)

което се нарича формула на Поасон,и числото е параметърът на Поасон.

Задача 3.1. Вероятността за брак при производството на определен продукт е 0,008. Намерете вероятността по време на проверката да има не повече от два дефектни артикула сред 500 артикула.

Решение: тъй като вероятността е малка и броят на опитите е голям, можем да приложим формулата на Поасон с параметъра . Желаната вероятност е вероятността от сбора от три събития: има два дефектни продукта, един или нито един. Ето защо

Определение 3.1

Потокът на събитиятае последователност от събития, случващи се в произволно време.

Например, потокът от събития ще бъде повиквания, пристигащи в централата, сигнали по време на радиосесия, съобщения, пристигащи на сървъра и т.н.

Определение 3.2

Потокът от събития се нарича Поасон(най-простият), ако има следните свойства:

1. Стационарност, т.е. дебит- постоянно.

2. свойство на обикновеното,тези. възникването на две или повече събития в малък интервал е почти невъзможно.

3. Свойството да няма последствия,тези. вероятността за възникване на събития в даден период от време не зависи от това колко събития са се появили в който и да е друг сегмент.

Ако означим - вероятността за възникване на събития на Поасонов поток с интензитет във времето, тогава формулата е валидна:

. (3.3)

Задача 3.2. Застрахователна компания обслужва 10 000 клиенти. Вероятността клиент да се свърже с компанията в рамките на един ден е 0,0003. Каква е вероятността 4 клиенти да се свържат с него в рамките на два дни?

Решение:Интензивността на потока от клиенти през един ден е равна на

следователно, .

Решаване на задачи 3.1 и 3.2 в околната среда Mathcad показано на фиг. 3.

Задача 3.3. Вероятността за повреда на четеца на турникет в метрото в рамките на един час е малка. Намерете тази вероятност, ако вероятността да има поне една повреда за 8 часа е 0,98 и ако е известно, че средно 1000 души преминават през турникета на час?

Решение:Съгласно формули (1.3) и (3.3) с , вероятността да има поне една повреда в рамките на 8 часа е равна на:

С помощта на символни команди и след това се определя желаната вероятност.