Собственные значения преобразования заданного матрицей. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора
Определение 9.3. Вектор х называется собственным вектором матрицы А , если найдется такое число λ, что выполняется равенство: Ах = λх , то есть результатом применения к х линейного преобразования, задаваемого матрицей А , является умножение этого вектора на число λ . Само число λ называетсясобственным числом матрицы А .
Подставив в формулы (9.3) x` j = λx j , получим систему уравнений для определения координат собственного вектора:
. (9.5)
Эта линейная однородная система будет иметь нетривиальное решение только в случае, если ее главный определитель равен 0 (правило Крамера). Записав это условие в виде:
получим уравнение для определения собственных чисел λ , называемое характеристическим уравнением . Кратко его можно представить так:
| A - λE | = 0, (9.6)
поскольку в его левой части стоит определитель матрицы А-λЕ . Многочлен относительно λ | A - λE | называется характеристическим многочленом матрицы А.
Свойства характеристического многочлена:
1) Характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса. Доказательство. (см. (9.4)), но следовательно, . Таким образом, не зависит от выбора базиса. Значит, и |A-λE | не изменяется при переходе к новому базису.
2) Если матрица А линейного преобразования является симметрической (т.е. а ij =a ji ), то все корни характеристического уравнения (9.6) – действительные числа.
Свойства собственных чисел и собственных векторов:
1) Если выбрать базис из собственных векторов х 1 , х 2 , х 3 , соответствующих собственным значениям λ 1 , λ 2 , λ 3 матрицы А , то в этом базисе линейное преобразование А имеет матрицу диагонального вида:
(9.7) Доказательство этого свойства следует из определения собственных векторов.
2) Если собственные значения преобразования А различны, то соответствующие им собственные векторы линейно независимы.
3) Если характеристический многочлен матрицы А имеет три различных корня, то в некотором базисе матрица А имеет диагональный вид.
Найдем собственные числа и собственные векторы матрицы Составим характеристическое уравнение: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.
Найдем координаты собственных векторов, соответствующих каждому найденному значению λ. Из (9.5) следует, что если х (1) ={x 1 ,x 2 ,x 3 } – собственный вектор, соответствующий λ 1 =-2, то
- совместная, но неопределенная система. Ее решение можно записать в виде х (1) ={a ,0,-a }, где а – любое число. В частности, если потребовать, чтобы |x (1) |=1, х (1) =
Подставив в систему (9.5) λ 2 =3, получим систему для определения координат второго собственного вектора - x (2) ={y 1 ,y 2 ,y 3 }:
, откуда х (2) ={b,-b,b } или, при условии |x (2) |=1, x (2) =
Для λ 3 = 6 найдем собственный вектор x (3) ={z 1 , z 2 , z 3 }:
, x (3) ={c ,2c,c } или в нормированном варианте
х (3) = Можно заметить, что х (1) х (2) = ab – ab = 0, x (1) x (3) = ac – ac = 0, x (2) x (3) = bc - 2bc + bc = 0. Таким образом, собственные векторы этой матрицы попарно ортогональны.
Лекция 10.
Квадратичные формы и их связь с симметричными матрицами. Свойства собственных векторов и собственных чисел симметричной матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
Определение 10.1. Квадратичной формой действительных переменных х 1 , х 2 ,…,х n называется многочлен второй степени относительно этих переменных, не содержащий свободного члена и членов первой степени.
Примеры квадратичных форм:
(n = 2),
(n = 3). (10.1)
Напомним данное в прошлой лекции определение симметрической матрицы:
Определение 10.2. Квадратная матрица называется симметрической , если , то есть если равны элементы матрицы, симметричные относительно главной диагонали.
Свойства собственных чисел и собственных векторов симметрической матрицы:
1) Все собственные числа симметрической матрицы действительные.
Доказательство (для n = 2).
Пусть матрица А имеет вид: . Составим характеристическое уравнение:
(10.2) Найдем дискриминант:
Следовательно, уравнение имеет только действительные корни.
2) Собственные векторы симметрической матрицы ортогональны.
Доказательство (для n = 2).
Координаты собственных векторов и должны удовлетворять уравнениям.
Собственный вектор квадратной матрицы - это такой вектор, который при умножении на заданную матрицу дает в результате коллинеарный вектор. Простыми словами, при умножении матрицы на собственный вектор последний остается тем же самым, но умноженным на некоторое число.
Определение
Собственный вектор - это ненулевой вектор V, который при умножении на квадратную матрицу Mпревращается в самого себя, увеличенного на некоторое число λ. В алгебраической записи это выглядит как:
M × V = λ × V,
где λ - собственное число матрицы M.
Рассмотрим числовой пример. Для удобства записи числа в матрице будет отделять точкой с запятой. Пусть у нас есть матрица:
- M = 0; 4;
- 6; 10.
Умножим ее на вектор-столбец:
- V = -2;
При умножении матрицы на вектор-столбец мы получаем также вектор-столбец. Строгим математическим языком формула умножения матрицы 2 × 2 на вектор-столбец будет выглядеть так:
- M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
- M21 × V11 + M22 × V21.
М11 означает элемент матрицы M, стоящий в первой строке и первом столбце, а M22 - элемент, расположенные во второй строке и втором столбце. Для нашей матрицы эти элементы равны M11 = 0, М12 = 4, М21 = 6, М22 10. Для вектора-столбца эти значения равны V11 = –2, V21 = 1. Согласно этой формуле мы получим следующий результат произведения квадратной матрицы на вектор:
- M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
- 6 × (-2) + 10 × (1) = -2.
Для удобства запишем вектор столбец в строку. Итак, мы умножили квадратную матрицу на вектор (-2; 1), в результате чего получили вектор (4; -2). Очевидно, что это тот же вектор, умноженный на λ = -2. Лямбда в данном случае обозначает собственное число матрицы.
Собственный вектор матрицы - это коллинеарный вектор, то есть объект, который не изменяет своего положения в пространстве при умножении его на матрицу. Понятие коллинеарности в векторной алгебре сходно с термином параллельности в геометрии. В геометрической интерпретации коллинеарные вектора - это параллельные направленные отрезки разной длины. Еще со времен Евклида мы знаем, что у одной прямой существует бесконечное количество параллельных ей прямых, поэтому логично предположить, что каждая матрица обладает бесконечным количеством собственных векторов.
Из предыдущего примера видно, что собственными векторами могут быть и (-8; 4), и (16; -8), и (32, -16). Все это коллинеарные вектора, соответствующие собственному числу λ = -2. При умножении исходной матрицы на эти вектора мы все так же будет получать в результате вектор, который отличается от исходного в 2 раза. Именно поэтому при решении задач на поиск собственного вектора требуется найти только линейно независимые векторные объекты. Чаще всего для матрицы размером n × n существует n-ное количество собственных векторов. Наш калькулятор заточен под анализ квадратных матриц второго порядка, поэтому практически всегда в результате будут найдены два собственных вектора, за исключением случаев, когда они совпадают.
В примере выше мы заранее знали собственный вектор исходной матрицы и наглядно определили число лямбда. Однако на практике все происходит наоборот: в начале находится собственные числа и только затем собственные вектора.
Алгоритм решения
Давайте вновь рассмотрим исходную матрицу M и попробуем найти оба ее собственных вектора. Итак, матрица выглядит как:
- M = 0; 4;
- 6; 10.
Для начала нам необходимо определить собственное число λ, для чего требуется вычислить детерминант следующей матрицы:
- (0 − λ); 4;
- 6; (10 − λ).
Данная матрица получена путем вычитания неизвестной λ из элементов на главной диагонали. Детерминант определяется по стандартной формуле:
- detA = M11 × M21 − M12 × M22
- detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24
Так как наш вектор должен быть не нулевым, полученное уравнение принимаем как линейно зависимое и приравниваем наш детерминант detA к нулю.
(0 − λ) × (10 − λ) − 24 = 0
Раскроем скобки и получим характеристическое уравнение матрицы:
λ 2 − 10λ − 24 = 0
Это стандартное квадратное уравнение, которое требуется решить через дискриминант.
D = b 2 − 4ac = (-10) × 2 − 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196
Корень из дискриминанта равен sqrt(D) = 14, следовательно, λ1 = -2, λ2 = 12. Теперь для каждого значения лямбда требуется найти собственный вектор. Выразим коэффициенты системы для λ = -2.
- М − λ × E = 2; 4;
- 6; 12.
В данной формуле E - это единичная матрица. На основании полученной матрицы составим систему линейных уравнений:
2x + 4y = 6x + 12y,
где x и y - элементы собственного вектора.
Соберем все иксы слева, а все игреки справа. Очевидно, что - 4x = 8y. Разделим выражение на - 4 и получим x = –2y. Теперь мы можем определить первый собственный вектор матрицы, приняв любые значения неизвестных (вспоминаем про бесконечность линейно зависимых собственных векторов). Примем y = 1, тогда x = –2. Следовательно, первый собственный вектор выглядит как V1 = (–2; 1). Вернитесь в начало статьи. Именно на этот векторный объект мы умножали матрицу для демонстрации понятия собственного вектора.
Теперь отыщем собственный вектор для λ = 12.
- М - λ × E = -12; 4
- 6; -2.
Составим такую же систему линейных уравнений;
- -12x + 4y = 6x − 2y
- -18x = -6y
- 3x = y.
Теперь примем x = 1, следовательно, y = 3. Таким образом, второй собственный вектор выглядит как V2 = (1; 3). При умножении исходной матрицы на данный вектор, в результате всегда будет такой же вектор, умноженный на 12. На этом алгоритм решения заканчивается. Теперь вы знаете, как вручную определить собственный вектор матрицы.
- определитель;
- след, то есть сумму элементов на главной диагонали;
- ранг, то есть максимальное количество линейно независимых строк/столбцов.
Программа действует по выше приведенному алгоритму, максимально сокращая процесс решения. Важно указать, что в программе лямбда обозначена литерой «c». Давайте рассмотрим численный пример.
Пример работы программы
Попробуем определить собственные вектора для следующей матрицы:
- M = 5; 13;
- 4; 14.
Введем эти значения в ячейки калькулятора и получим ответ в следующем виде:
- Ранг матрицы: 2;
- Детерминант матрицы: 18;
- След матрицы: 19;
- Расчет собственного вектора: c 2 − 19,00c + 18,00 (характеристическое уравнение);
- Расчет собственного вектора: 18 (первое значение лямбда);
- Расчет собственного вектора: 1 (второе значение лямбда);
- Система уравнений вектора 1: -13x1 + 13y1 = 4x1 − 4y1;
- Система уравнений вектора 2: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
- Собственный вектор 1: (1; 1);
- Собственный вектор 2: (-3,25; 1).
Таким образом, мы получили два линейно независимых собственных вектора.
Заключение
Линейная алгебра и аналитическая геометрия - стандартные предметы для любого первокурсника технической специальности. Большое количество векторов и матриц приводит в ужас, а в столь громоздких вычислениях легко сделать ошибку. Наша программа позволит студентам проверить свои выкладки или автоматически решит задачу на поиск собственного вектора. В нашем каталоге есть и другие калькуляторы по линейной алгебре, используйте их в своей учебе или работе.
www.сайт позволяет найти . Сайт производит вычисление . За неколько секунд сервер выдаст правильное решение. Характеристическим уравнение для матрицы будет являться алгебраическое выражение, найденное по правилу вычисления определителя матрицы матрицы , при этом по главной диагонали будут стоять разницы значений диагональных элементов и переменной. При вычислении характеристического уравнения для матрицы онлайн , каждый элемент матрицы будет перемножаться с соответствующими другими элементами матрицы . Найти в режиме онлайн можно только для квадратной матрицы . Операция нахождения характеристического уравнения для матрицы онлайн сводится к вычислению алгебраической суммы произведения элементов матрицы как результат от нахождения определителя матрицы , только с целью определения характеристического уравнения для матрицы онлайн . Данная операция занимает особое место в теории матриц , позволяет найти собственные числа и векторы, используя корни . Задача по нахождению характеристического уравнения для матрицы онлайн заключается в перемножении элементов матрицы с последующим суммированием этих произведений по определенному правилу. www.сайт находит характеристическое уравнение для матрицы заданной размерности в режиме онлайн . Вычисление характеристического уравнения для матрицы онлайн при заданной её размерности - это нахождение многочлена с числовыми или символьными коэффициентами, найденного по правилу вычисления определителя матрицы - как сумма произведений соответствующих элементов матрицы , только с целью определения характеристического уравнения для матрицы онлайн . Нахождение полинома относительно переменной для квадратной матрицы , как определение характеристического уравнения для матрицы , распространено в теории матриц . Значение корней многочлена характеристического уравнения для матрицы онлайн используется для определения собственных векторов и собственных чисел для матрицы . При этом, если определитель матрицы будет равен нулю, то характеристическое уравнение матрицы все равно будет существовать, в отличии от обратной матрицы . Для того, чтобы вычислить характеристическое уравнение для матрицы или найти сразу для нескольких матриц характеристические уравнения , необходимо затратить не мало времени и усилий, в то время как наш сервер в считанные секунды найдет характеристическое уравнение для матрицы онлайн . При этом ответ по нахождению характеристического уравнения для матрицы онлайн будет правильным и с достаточной точностью, даже если числа при нахождении характеристического уравнения для матрицы онлайн будут иррациональными. На сайте www.сайт допускаются символьные записи в элементах матриц , то есть характеристическое уравнение для матрицы онлайн может быть представлено в общем символьном виде при вычислении характеристического уравнения матрицы онлайн . Полезно проверить ответ, полученный при решении задачи по нахождению характеристического уравнения для матрицы онлайн , используя сайт www.сайт . При совершении операции вычисления полинома - характеристического уравнения матрицы , необходимо быть внимательным и предельно сосредоточенным при решении данной задачи. В свою очередь наш сайт поможет Вам проверить своё решение на тему характеристическое уравнение матрицы онлайн . Если у Вас нет времени на долгие проверки решенных задач, то www.сайт безусловно будет являться удобным инструментом для проверки при нахождении и вычислении характеристического уравнения для матрицы онлайн .
Собственные значения (числа) и собственные векторы.
Примеры решений
Будь собой
Из обоих уравнений следует, что .
Положим , тогда: .
В результате: – второй собственный вектор.
Повторим важные моменты решения:
– полученная система непременно имеет общее решение (уравнения линейно зависимы);
– «игрек» подбираем таким образом, чтобы он был целым и первая «иксовая» координата – целой, положительной и как можно меньше.
– проверяем, что частное решение удовлетворяет каждому уравнению системы.
Ответ .
Промежуточных «контрольных точек» было вполне достаточно, поэтому проверка равенств , в принципе, дело излишнее.
В различных источниках информации координаты собственных векторов довольно часто записывают не в столбцы, а в строки, например: (и, если честно, я сам привык записывать их строками) . Такой вариант приемлем, но в свете темы линейных преобразований технически удобнее использовать векторы-столбцы .
Возможно, решение показалась вам очень длинным, но это только потому, что я очень подробно прокомментировал первый пример.
Пример 2
Матрицы
Тренируемся самостоятельно! Примерный образец чистового оформления задачи в конце урока.
Иногда требуется выполнить дополнительное задание, а именно:
записать каноническое разложение матрицы
Что это такое?
Если собственные векторы матрицы образуют базис , то она представима в виде:
Где – матрица составленная из координат собственных векторов, – диагональная матрица с соответствующими собственными числами.
Такое разложение матрицы называют каноническим или диагональным .
Рассмотрим матрицу первого примера. Её собственные векторы линейно независимы (неколлинеарны)и образуют базис. Составим матрицу из их координат:
На главной диагонали
матрицы в соответствующем порядке
располагаются собственные числа, а остальные элементы равняются нулю:
– ещё раз подчёркиваю важность порядка: «двойка» соответствует 1-му вектору и посему располагается в 1-м столбце, «тройка» – 2-му вектору.
По обычному алгоритму нахождения обратной матрицы либо методом Гаусса-Жордана находим . Нет, это не опечатка! – перед вами редкое, как солнечное затмение событие, когда обратная совпала с исходной матрицей.
Осталось записать каноническое разложение матрицы :
Систему можно решить с помощью элементарных преобразований и в следующих примерах мы прибегнем к данному методу. Но здесь гораздо быстрее срабатывает «школьный» способ. Из 3-го уравнения выразим: – подставим во второе уравнение:
Поскольку первая координата нулевая, то получаем систему , из каждого уравнения которой следует, что .
И снова обратите внимание на обязательное наличие линейной зависимости . Если получается только тривиальное решение , то либо неверно найдено собственное число, либо с ошибкой составлена / решена система.
Компактные координаты даёт значение
Собственный вектор:
И ещё раз – проверяем, что найденное решение удовлетворяет каждому уравнению системы . В последующих пунктах и в последующих задачах рекомендую принять данное пожелание за обязательное правило.
2) Для собственного значения по такому же принципу получаем следующую систему:
Из 2-го уравнения системы выразим: – подставим в третье уравнение:
Поскольку «зетовая» координата равна нулю, то получаем систему , из каждого уравнения которой следует линейная зависимость .
Пусть
Проверяем, что решение удовлетворяет каждому уравнению системы.
Таким образом, собственный вектор: .
3) И, наконец, собственному значению соответствует система:
Второе уравнение выглядит самым простым, поэтому из него выразим и подставим в 1-е и 3-е уравнение:
Всё хорошо – выявилась линейная зависимость , которую подставляем в выражение :
В результате «икс» и «игрек» оказались выражены через «зет»: . На практике не обязательно добиваться именно таких взаимосвязей, в некоторых случаях удобнее выразить и через либо и через . Или даже «паровозиком» – например, «икс» через «игрек», а «игрек» через «зет»
Положим , тогда:
Проверяем, что найденное решение удовлетворяет каждому уравнению системы и записываем третий собственный вектор
Ответ : собственные векторы:
Геометрически эти векторы задают три различных пространственных направления («туда-обратно») , по которым линейное преобразование переводит ненулевые векторы (собственные векторы) в коллинеарные им векторы.
Если бы по условию требовалось найти каноническое разложение , то здесь это возможно, т.к. различным собственным числам соответствуют разные линейно независимые собственные векторы. Составляем матрицу из их координат, диагональную матрицу из соответствующих собственных значений и находим обратную матрицу .
Если же по условию нужно записать матрицу линейного преобразования в базисе из собственных векторов , то ответ даём в виде . Разница есть, и разница существенная! Ибо оная матрица – есть матрица «дэ».
Задача с более простыми вычислениями для самостоятельного решения:
Пример 5
Найти собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей
При нахождении собственных чисел постарайтесь не доводить дело до многочлена 3-й степени. Кроме того, ваши решения систем могут отличаться от моих решений – здесь нет однозначности; и векторы, которые вы найдёте, могут отличаться от векторов образца с точностью до пропорциональности их соответствующих координат. Например, и . Эстетичнее представить ответ в виде , но ничего страшного, если остановитесь и на втором варианте. Однако всему есть разумные пределы, версия смотрится уже не очень хорошо.
Примерный чистовой образец оформления задания в конце урока.
Как решать задачу в случае кратных собственных чисел?
Общий алгоритм остаётся прежним, но здесь есть свои особенности, и некоторые участки решения целесообразно выдержать в более строгом академичном стиле:
Пример 6
Найти собственные числа и собственные векторы
Решение
Конечно же, оприходуем сказочный первый столбец:
И, после разложения квадратного трёхчлена на множители:
В результате получены собственные числа , два из которых кратны.
Найдем собственные векторы:
1) С одиноким солдатом разделаемся по «упрощённой» схеме:
Из последних двух уравнений четко просматривается равенство , которое, очевидно, следует подставить в 1-е уравнение системы:
Лучшей комбинации не найти:
Собственный вектор:
2-3) Теперь снимаем пару часовых. В данном случае может получиться либо два, либо один
собственный вектор. Невзирая на кратность корней, подставим значение в определитель , который приносит нам следующую однородную систему линейных уравнений
:
Собственные векторы – это в точности векторы
фундаментальной системы решений
Собственно, на протяжении всего урока мы только и занимались тем, что находили векторы фундаментальной системы. Просто до поры до времени данный термин особо не требовался. Кстати, те ловкие студенты, которые в маскхалатах проскочили тему однородных уравнений , будут вынуждены вкурить её сейчас.
Единственное действие состояло в удалении лишних строк. В результате получена матрица «один на три» с формальной «ступенькой» посередине.
– базисная переменная, – свободные переменные. Свободных переменных две, следовательно, векторов фундаментальной системы тоже два
.
Выразим базисную переменную через свободные переменные: . Нулевой множитель перед «иксом» позволяет принимать ему совершенно любые значения (что хорошо видно и из системы уравнений).
В контексте данной задачи общее решение удобнее записать не в строку, а в столбец:
Паре соответствует собственный вектор:
Паре соответствует собственный вектор:
Примечание : искушенные читатели могут подобрать данные векторы и устно – просто анализируя систему , но тут нужны некоторые знания: переменных – три, ранг матрицы системы – единица, значит, фундаментальная система решений состоит из 3 – 1 = 2 векторов. Впрочем, найдённые векторы отлично просматриваются и без этих знаний чисто на интуитивном уровне. При этом даже «красивее» запишется третий вектор: . Однако предостерегаю, в другом примере простого подбора может и не оказаться, именно поэтому оговорка предназначена для опытных людей. Кроме того, а почему бы не взять в качестве третьего вектора, скажем, ? Ведь его координаты тоже удовлетворяют каждому уравнение системы, и векторы линейно независимы. Такой вариант, в принципе, годен, но «кривоват», поскольку «другой» вектор представляет собой линейную комбинацию векторов фундаментальной системы.
Ответ : собственные числа: , собственные векторы:
Аналогичный пример для самостоятельного решения:
Пример 7
Найти собственные числа и собственные векторы
Примерный образец чистового оформления в конце урока.
Следует отметить, что и в 6-м и в 7-м примере получается тройка линейно независимых собственных векторов, и поэтому исходная матрица представима в каноническом разложении . Но такая малина бывает далеко не во всех случаях:
Пример 8
Решение
: составим и решим характеристическое уравнение:
Определитель раскроем по первому столбцу:
Дальнейшие упрощения проводим согласно рассмотренной методике, избегая многочлена 3-й степени:
– собственные значения.
Найдем собственные векторы:
1) С корнем затруднений не возникает:
Не удивляйтесь, помимо комплекта в ходу также переменные – разницы тут никакой.
Из 3-го уравнения выразим – подставим в 1-е и 2-е уравнения:
Из обоих уравнений следует:
Пусть , тогда:
2-3) Для кратных значений получаем систему .
Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду:
Наиболее просто устроены матрицы диагонального вида . Возникает вопрос, нельзя ли найти базис, в котором матрица линейного оператора имела бы диагональный вид. Такой базис существует.
Пусть дано линейное пространство R n и действующий в нем линейный оператор A; в этом случае оператор A переводит R n в себя, то есть A:R n
→ R n .
Определение.
Ненулевой вектор называется собственным вектором оператора A , если оператор A переводит в коллинеарный ему вектор, то есть . Число λ называется собственным значением или собственным числом оператора A, соответствующим собственному вектору .
Отметим некоторые свойства собственных чисел и собственных векторов.
1. Любая линейная комбинация собственных векторов оператора A, отвечающих одному и тому же собственному числу λ, является собственным вектором с тем же собственным числом.
2. Собственные векторы оператора A с попарно различными собственными числами λ 1 , λ 2 , …, λ m
линейно независимы.
3. Если собственные числа λ 1 =λ 2 = λ m = λ, то собственному числу λ соответствует не более m линейно независимых собственных векторов.
Итак, если имеется n линейно независимых собственных векторов , соответствующих различным собственным числам λ 1 , λ 2 , …, λ n , то они линейно независимы, следовательно, их можно принять за базис пространства R n . Найдем вид матрицы линейного оператора A в базисе из его собственных векторов, для чего подействуем оператором A на базисные векторы: тогда .
Таким образом, матрица линейного оператора A в базисе из его собственных векторов имеет диагональный вид, причем по диагонали стоят собственные числа оператора A.
Существует ли другой базис, в котором матрица имеет диагональный вид? Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.
Теорема. Матрица линейного оператора A в базисе (i = 1..n) имеет диагональный вид тогда и только тогда, когда все векторы базиса - собственные векторы оператора A.
Правило отыскания собственных чисел и собственных векторов
Пусть дан вектор , где x 1 , x 2 , …, x n - координаты вектора относительно базиса и - собственный вектор линейного оператора A, соответствующий собственному числу λ , то есть . Это соотношение можно записать в матричной форме. (*)
Уравнение (*) можно рассматривать как уравнение для отыскания , причем , то есть нас интересуют нетривиальные решения, поскольку собственный вектор не может быть нулевым. Известно, что нетривиальные решения однородной системы линейных уравнений существуют тогда и только тогда, когда det(A - λE) = 0. Таким образом, для того, чтобы λ было собственным числом оператора A необходимо и достаточно, чтобы det(A - λE) = 0.
Если уравнение (*) расписать подробно в координатной форме, то получим систему линейных однородных уравнений:
(1)
где - матрица линейного оператора.
Система (1) имеет ненулевое решение, если ее определитель D равен нулю
Получили уравнение для нахождения собственных чисел.
Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его левая часть - характеристическим многочленом матрицы (оператора) A. Если характеристический многочлен не имеет вещественных корней, то матрица A не имеет собственных векторов и ее нельзя привести к диагональному виду.
Пусть λ 1 , λ 2 , …, λ n - вещественные корни характеристического уравнения, причем среди них могут быть и кратные. Подставляя по очереди эти значения в систему (1), находим собственные векторы.
Пример 12.
Линейный оператор A действует в R 3 по закону , где x 1 , x 2 , .., x n - координаты вектора в базисе , , . Найти собственные числа и собственные векторы этого оператора.
Решение.
Строим матрицу этого оператора:
.
Составляем систему для определения координат собственных векторов:
Составляем характеристическое уравнение и решаем его:
.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Подставляя λ = -1 в систему, имеем:
или
Так как , то зависимых переменных два, а свободное одно.
Пусть x 1 - свободное неизвестное, тогда Решаем эту систему любым способом и находим общее решение этой системы: Фундаментальная система решений состоит из одного решения, так как n - r = 3 - 2 = 1.
Множество собственных векторов, отвечающих собственному числу λ = -1, имеет вид: , где x 1 - любое число, отличное от нуля. Выберем из этого множества один вектор, например, положив x 1 = 1: .
Рассуждая аналогично, находим собственный вектор, отвечающий собственному числу λ = 3: .
В пространстве R 3 базис состоит из трех линейно независимых векторов, мы же получили только два линейно независимых собственных вектора, из которых базис в R 3 составить нельзя. Следовательно, матрицу A линейного оператора привести к диагональному виду не можем.
Пример 13.
Дана матрица .
1. Доказать, что вектор является собственным вектором матрицы A. Найти собственное число, соответствующее этому собственному вектору.
2. Найти базис, в котором матрица A имеет диагональный вид.
Решение.
1. Если , то - собственный вектор
.
Вектор (1, 8, -1) - собственный вектор. Собственное число λ = -1.
Диагональный вид матрица имеет в базисе, состоящем из собственных векторов. Один из них известен. Найдем остальные.
Собственные векторы ищем из системы:
Характеристическое уравнение: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Найдем собственный вектор, отвечающий собственному числу λ = -3:
Ранг матрицы этой системы равен двум и равен числу неизвестных, поэтому эта система имеет только нулевое решение x 1 = x 3 = 0. x 2 здесь может быть любым, отличным от нуля, например, x 2 = 1. Таким образом, вектор (0,1,0) является собственным вектором, отвечающим λ = -3. Проверим:
.
Если λ = 1, то получаем систему
Ранг матрицы равен двум. Последнее уравнение вычеркиваем.
Пусть x 3 - свободное неизвестное. Тогда x 1 = -3x 3 , 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3 , x 2 = -9x 3 .
Полагая x 3 = 1, имеем (-3,-9,1) - собственный вектор, отвечающий собственному числу λ = 1. Проверка:
.
Так как собственные числа действительные и различны, то векторы, им отвечающие, линейно независимы, поэтому их можно принять за базис в R 3 . Таким образом, в базисе , , матрица A имеет вид:
.
Не всякую матрицу линейного оператора A:R n
→ R n можно привести к диагональному виду, поскольку для некоторых линейных операторов линейно независимых собственных векторов может быть меньше n. Однако, если матрица симметрическая, то корню характеристического уравнения кратности m соответствует ровно m линейно независимых векторов.
Определение.
Симметрической матрицей называется квадратная матрица, в которой элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны, то есть в которой .
Замечания.
1. Все собственные числа симметрической матрицы вещественны.
2. Собственные векторы симметрической матрицы, соответствующие попарно различным собственным числам, ортогональны.
В качестве одного из многочисленных приложений изученного аппарата, рассмотрим задачу об определении вида кривой второго порядка.