Доверительные интервалы. Доверительная вероятность

Одним из методов решения статистических задач является вычисление доверительного интервала. Он используется, как более предпочтительная альтернатива точечной оценке при небольшом объеме выборки. Нужно отметить, что сам процесс вычисления доверительного интервала довольно сложный. Но инструменты программы Эксель позволяют несколько упростить его. Давайте узнаем, как это выполняется на практике.

Этот метод используется при интервальной оценке различных статистических величин. Главная задача данного расчета – избавится от неопределенностей точечной оценки.

В Экселе существуют два основных варианта произвести вычисления с помощью данного метода: когда дисперсия известна, и когда она неизвестна. В первом случае для вычислений применяется функция ДОВЕРИТ.НОРМ , а во втором — ДОВЕРИТ.СТЮДЕНТ .

Способ 1: функция ДОВЕРИТ.НОРМ

Оператор ДОВЕРИТ.НОРМ , относящийся к статистической группе функций, впервые появился в Excel 2010. В более ранних версиях этой программы используется его аналог ДОВЕРИТ . Задачей этого оператора является расчет доверительного интервала с нормальным распределением для средней генеральной совокупности.

Его синтаксис выглядит следующим образом:

ДОВЕРИТ.НОРМ(альфа;стандартное_откл;размер)

«Альфа» — аргумент, указывающий на уровень значимости, который применяется для расчета доверительного уровня. Доверительный уровень равняется следующему выражению:

(1-«Альфа»)*100

«Стандартное отклонение» — это аргумент, суть которого понятна из наименования. Это стандартное отклонение предлагаемой выборки.

«Размер» — аргумент, определяющий величину выборки.

Все аргументы данного оператора являются обязательными.

Функция ДОВЕРИТ имеет точно такие же аргументы и возможности, что и предыдущая. Её синтаксис таков:

ДОВЕРИТ(альфа;стандартное_откл;размер)

Как видим, различия только в наименовании оператора. Указанная функция в целях совместимости оставлена в Excel 2010 и в более новых версиях в специальной категории «Совместимость» . В версиях же Excel 2007 и ранее она присутствует в основной группе статистических операторов.

Граница доверительного интервала определяется при помощи формулы следующего вида:

X+(-)ДОВЕРИТ.НОРМ

Где X – это среднее выборочное значение, которое расположено посередине выбранного диапазона.

Теперь давайте рассмотрим, как рассчитать доверительный интервал на конкретном примере. Было проведено 12 испытаний, вследствие которых были получены различные результаты, занесенные в таблицу. Это и есть наша совокупность. Стандартное отклонение равно 8. Нам нужно рассчитать доверительный интервал при уровне доверия 97%.

1. Выделяем ячейку, куда будет выводиться результат обработки данных. Щелкаем по кнопке «Вставить функцию» .



2. Появляется Мастер функций . Переходим в категорию «Статистические» и выделяем наименование «ДОВЕРИТ.НОРМ» . После этого клацаем по кнопке «OK» .



3. Открывается окошко аргументов. Его поля закономерно соответствуют наименованиям аргументов.
   Устанавливаем курсор в первое поле – «Альфа» . Тут нам следует указать уровень значимости. Как мы помним, уровень доверия у нас равен 97%. В то же время мы говорили, что он рассчитывается таким путем:

   (1-уровень доверия)/100

   То есть, подставив значение, получаем:

   Путем нехитрых расчетов узнаем, что аргумент «Альфа» равен 0,03 . Вводим данное значение в поле.

   Как известно, по условию стандартное отклонение равно 8 . Поэтому в поле «Стандартное отклонение» просто записываем это число.

   В поле «Размер» нужно ввести количество элементов проведенных испытаний. Как мы помним, их 12 . Но чтобы автоматизировать формулу и не редактировать её каждый раз при проведении нового испытания, давайте зададим данное значение не обычным числом, а при помощи оператора СЧЁТ . Итак, устанавливаем курсор в поле «Размер» , а затем кликаем по треугольнику, который размещен слева от строки формул.

   Появляется список недавно применяемых функций. Если оператор СЧЁТ применялся вами недавно, то он должен быть в этом списке. В таком случае, нужно просто кликнуть по его наименованию. В обратном же случае, если вы его не обнаружите, то переходите по пункту «Другие функции…» .



4. Появляется уже знакомый нам Мастер функций . Опять перемещаемся в группу «Статистические» . Выделяем там наименование «СЧЁТ» . Клацаем по кнопке «OK» .



5. Появляется окно аргументов вышеуказанного оператора. Данная функция предназначена для того, чтобы вычислять количество ячеек в указанном диапазоне, которые содержат числовые значения. Синтаксис её следующий:

   СЧЁТ(значение1;значение2;…)

   Группа аргументов «Значения» представляет собой ссылку на диапазон, в котором нужно рассчитать количество заполненных числовыми данными ячеек. Всего может насчитываться до 255 подобных аргументов, но в нашем случае понадобится лишь один.

   Устанавливаем курсор в поле «Значение1» и, зажав левую кнопку мыши, выделяем на листе диапазон, который содержит нашу совокупность. Затем его адрес будет отображен в поле. Клацаем по кнопке «OK» .



6. После этого приложение произведет вычисление и выведет результат в ту ячейку, где она находится сама. В нашем конкретном случае формула получилась такого вида:

   ДОВЕРИТ.НОРМ(0,03;8;СЧЁТ(B2:B13))

   Общий результат вычислений составил 5,011609 .



7. Но это ещё не все. Как мы помним, граница доверительного интервала вычисляется путем сложения и вычитания от среднего выборочного значения результата вычисления ДОВЕРИТ.НОРМ . Таким способом рассчитывается соответственно правая и левая граница доверительного интервала. Само среднее выборочное значение можно рассчитать при помощи оператора СРЗНАЧ .

   Данный оператор предназначен для расчета среднего арифметического значения выбранного диапазона чисел. Он имеет следующий довольно простой синтаксис:

   СРЗНАЧ(число1;число2;…)

   Аргумент «Число» может быть как отдельным числовым значением, так и ссылкой на ячейки или даже целые диапазоны, которые их содержат.

   Итак, выделяем ячейку, в которую будет выводиться расчет среднего значения, и щелкаем по кнопке «Вставить функцию» .



8. Открывается Мастер функций . Снова переходим в категорию «Статистические» и выбираем из списка наименование «СРЗНАЧ» . Как всегда, клацаем по кнопке «OK» .



9. Запускается окно аргументов. Устанавливаем курсор в поле «Число1» и с зажатой левой кнопкой мыши выделяем весь диапазон значений. После того, как координаты отобразились в поле, клацаем по кнопке «OK» .



10. После этого СРЗНАЧ выводит результат расчета в элемент листа.



11. Производим расчет правой границы доверительного интервала. Для этого выделяем отдельную ячейку, ставим знак «=» и складываем содержимое элементов листа, в которых расположены результаты вычислений функций СРЗНАЧ и ДОВЕРИТ.НОРМ . Для того, чтобы выполнить расчет, жмем на клавишу Enter . В нашем случае получилась следующая формула:

    Результат вычисления: 6,953276



12. Таким же образом производим вычисление левой границы доверительного интервала, только на этот раз от результата вычисления СРЗНАЧ отнимаем результат вычисления оператора ДОВЕРИТ.НОРМ . Получается формула для нашего примера следующего типа:

    Результат вычисления: -3,06994



13. Мы попытались подробно описать все действия по вычислению доверительного интервала, поэтому детально расписали каждую формулу. Но можно все действия соединить в одной формуле. Вычисление правой границы доверительного интервала можно записать так:

    СРЗНАЧ(B2:B13)+ДОВЕРИТ.НОРМ(0,03;8;СЧЁТ(B2:B13))



14. Аналогичное вычисление левой границы будет выглядеть так:

    СРЗНАЧ(B2:B13)-ДОВЕРИТ.НОРМ(0,03;8;СЧЁТ(B2:B13))

Способ 2: функция ДОВЕРИТ.СТЮДЕНТ

Кроме того, в Экселе есть ещё одна функция, которая связана с вычислением доверительного интервала – ДОВЕРИТ.СТЮДЕНТ . Она появилась, только начиная с Excel 2010. Данный оператор выполняет вычисление доверительного интервала генеральной совокупности с использованием распределения Стьюдента. Его очень удобно использовать в том случае, когда дисперсия и, соответственно, стандартное отклонение неизвестны. Синтаксис оператора такой:

ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ(альфа;стандартное_откл;размер)

Как видим, наименования операторов и в этом случае остались неизменными.

Посмотрим, как рассчитать границы доверительного интервала с неизвестным стандартным отклонением на примере всё той же совокупности, что мы рассматривали в предыдущем способе. Уровень доверия, как и в прошлый раз, возьмем 97%.

1. Выделяем ячейку, в которую будет производиться расчет. Клацаем по кнопке «Вставить функцию» .



2. В открывшемся Мастере функций переходим в категорию «Статистические» . Выбираем наименование «ДОВЕРИТ.СТЮДЕНТ» . Клацаем по кнопке «OK» .



3. Производится запуск окна аргументов указанного оператора.

   В поле «Альфа» , учитывая, что уровень доверия составляет 97%, записываем число 0,03 . Второй раз на принципах расчета данного параметра останавливаться не будем.

   После этого устанавливаем курсор в поле «Стандартное отклонение» . На этот раз данный показатель нам неизвестен и его требуется рассчитать. Делается это при помощи специальной функции – СТАНДОТКЛОН.В . Чтобы вызвать окно данного оператора, кликаем по треугольнику слева от строки формул. Если в открывшемся списке не находим нужного наименования, то переходим по пункту «Другие функции…» .



4. Запускается Мастер функций . Перемещаемся в категорию «Статистические» и отмечаем в ней наименование «СТАНДОТКЛОН.В» . Затем клацаем по кнопке «OK» .



5. Открывается окно аргументов. Задачей оператора СТАНДОТКЛОН.В является определение стандартного отклонения при выборке. Его синтаксис выглядит так:

   СТАНДОТКЛОН.В(число1;число2;…)

   Нетрудно догадаться, что аргумент «Число» — это адрес элемента выборки. Если выборка размещена единым массивом, то можно, использовав только один аргумент, дать ссылку на данный диапазон.

   Устанавливаем курсор в поле «Число1» и, как всегда, зажав левую кнопку мыши, выделяем совокупность. После того, как координаты попали в поле, не спешим жать на кнопку «OK» , так как результат получится некорректным. Прежде нам нужно вернуться к окну аргументов оператора ДОВЕРИТ.СТЮДЕНТ , чтобы внести последний аргумент. Для этого кликаем по соответствующему наименованию в строке формул.



6. Снова открывается окно аргументов уже знакомой функции. Устанавливаем курсор в поле «Размер» . Опять жмем на уже знакомый нам треугольник для перехода к выбору операторов. Как вы поняли, нам нужно наименование «СЧЁТ» . Так как мы использовали данную функцию при вычислениях в предыдущем способе, в данном списке она присутствует, так что просто щелкаем по ней. Если же вы её не обнаружите, то действуйте по алгоритму, описанному в первом способе.



7. Попав в окно аргументов СЧЁТ , ставим курсор в поле «Число1» и с зажатой кнопкой мыши выделяем совокупность. Затем клацаем по кнопке «OK» .



8. После этого программа производит расчет и выводит значение доверительного интервала.



9. Для определения границ нам опять нужно будет рассчитать среднее значение выборки. Но, учитывая то, что алгоритм расчета при помощи формулы СРЗНАЧ тот же, что и в предыдущем способе, и даже результат не изменился, не будем на этом подробно останавливаться второй раз.



10. Сложив результаты вычисления СРЗНАЧ и ДОВЕРИТ.СТЮДЕНТ , получаем правую границу доверительного интервала.



11. Отняв от результатов расчета оператора СРЗНАЧ результат расчета ДОВЕРИТ.СТЮДЕНТ , имеем левую границу доверительного интервала.



12. Если расчет записать одной формулой, то вычисление правой границы в нашем случае будет выглядеть так:

    СРЗНАЧ(B2:B13)+ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ(0,03;СТАНДОТКЛОН.В(B2:B13);СЧЁТ(B2:B13))



13. Соответственно, формула расчета левой границы будет выглядеть так:

    СРЗНАЧ(B2:B13)-ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ(0,03;СТАНДОТКЛОН.В(B2:B13);СЧЁТ(B2:B13))

Как видим, инструменты программы Excel позволяют существенно облегчить вычисление доверительного интервала и его границ. Для этих целей используются отдельные операторы для выборок, у которых дисперсия известна и неизвестна.

В предыдущих подразделах мы рассмотрели вопрос об оценке неизвестного параметра а одним числом. Такая оценка называется «точечной». В ряде задач требуется не только найти для параметра а подходящее численное значение, но и оценить его точность и надежность. Требуется знать, к каким ошибкам может привести замена параметра а его точечной оценкой а и с какой степенью уверенности можно ожидать, что эти ошибки не выйдут за известные пределы?

Такого рода задачи особенно актуальны при малом числе наблюдений, когда точечная оценка а в значительной мере случайна и приближенная замена а на а может привести к серьезным ошибкам.

Чтобы дать представление о точности и надежности оценки а ,

в математической статистике пользуются так называемыми доверительными интервалами и доверительными вероятностями.

Пусть для параметра а получена из опыта несмещенная оценка а. Мы хотим оценить возможную при этом ошибку. Назначим некоторую достаточно большую вероятность р (например, р = 0,9, 0,95 или 0,99) такую, что событие с вероятностью р можно считать практически достоверным, и найдем такое значение s, для которого

Тогда диапазон практически возможных значений ошибки, возникающей при замене а на а , будет ± s; большие по абсолютной величине ошибки будут появляться только с малой вероятностью а = 1 - р. Перепишем (14.3.1) в виде:

Равенство (14.3.2) означает, что с вероятностью р неизвестное значение параметра а попадает в интервал

При этом необходимо отметить одно обстоятельство. Ранее мы неоднократно рассматривали вероятность попадания случайной величины в заданный неслучайный интервал. Здесь дело обстоит иначе: величина а не случайна, зато случаен интервал / р. Случайно его положение на оси абсцисс, определяемое его центром а ; случайна вообще и длина интервала 2s, так как величина s вычисляется, как правило, по опытным данным. Поэтому в данном случае лучше будет толковать величину р не как вероятность «попадания» точки а в интервал / р, а как вероятность того, что случайный интервал / р накроет точку а (рис. 14.3.1).

Рис. 14.3.1

Вероятность р принято называть доверительной вероятностью , а интервал / р - доверительным интервалом . Границы интервала If. а х =а- s и а 2 = а + а называются доверительными границами.

Дадим еще одно истолкование понятию доверительного интервала: его можно рассматривать как интервал значений параметра а, совместимых с опытными данными и не противоречащих им. Действительно, если условиться считать событие с вероятностью а = 1-р практически невозможным, то те значения параметра а, для которых а - а > s, нужно признать противоречащими опытным данным, а те, для которых |а - а a t na 2 .

Пусть для параметра а имеется несмещенная оценка а. Если бы нам был известен закон распределения величины а , задача нахождения доверительного интервала была бы весьма проста: достаточно было бы найти такое значение s, для которого

Затруднение состоит в том, что закон распределения оценки а зависит от закона распределения величины X и, следовательно, от его неизвестных параметров (в частности, и от самого параметра а).

Чтобы обойти это затруднение, можно применить следующий грубо приближенный прием: заменить в выражении для s неизвестные параметры их точечными оценками. При сравнительно большом числе опытов п (порядка 20...30) этот прием обычно дает удовлетворительные по точности результаты.

В качестве примера рассмотрим задачу о доверительном интервале для математического ожидания.

Пусть произведено п X, характеристики которой - математическое ожидание т и дисперсия D - неизвестны. Для этих параметров получены оценки:

Требуется построить доверительный интервал / р, соответствующий доверительной вероятности р, для математического ожидания т величины X.

При решении этой задачи воспользуемся тем, что величина т представляет собой сумму п независимых одинаково распределенных случайных величин X h и согласно центральной предельной теореме при достаточно большом п ее закон распределения близок к нормальному. На практике даже при относительно небольшом числе слагаемых (порядка 10...20) закон распределения суммы можно приближенно считать нормальным. Будем исходить из того, что величина т распределена по нормальному закону. Характеристики этого закона - математическое ожидание и дисперсия - равны соответственно т и

(см. главу 13 подраздел 13.3). Предположим, что величина D нам известна и найдем такую величину Ер, для которой

Применяя формулу (6.3.5) главы 6, выразим вероятность в левой части (14.3.5) через нормальную функцию распределения

где - среднее квадратичное отклонение оценки т.

Из уравнения

находим значение Sp:

где arg Ф* (х) - функция, обратная Ф* (х), т.е. такое значение аргумента, при котором нормальная функция распределения равна х.

Дисперсия D, через которую выражена величина а 1П, нам в точности не известна; в качестве ее ориентировочного значения можно воспользоваться оценкой D (14.3.4) и положить приближенно:

Таким образом, приближенно решена задача построения доверительного интервала, который равен:

где gp определяется формулой (14.3.7).

Чтобы избежать при вычислении s p обратного интерполирования в таблицах функции Ф* (л), удобно составить специальную таблицу (табл. 14.3.1), где приводятся значения величины

в зависимости от р. Величина (р определяет для нормального закона число средних квадратических отклонений, которое нужно отложить вправо и влево от центра рассеивания для того, чтобы вероятность попадания в полученный участок была равна р.

Через величину 7 р доверительный интервал выражается в виде:

Таблица 14.3.1

Пример 1. Проведено 20 опытов над величиной X; результаты приведены в табл. 14.3.2.

Таблица 14.3.2

Требуется найти оценку от для математического ожидания от величины X и построить доверительный интервал, соответствующий доверительной вероятности р = 0,8.

Решение. Имеем:

Выбрав за начало отсчета л: = 10, по третьей формуле (14.2.14) находим несмещенную оценку D :

По табл. 14.3,1 находим

Доверительные границы:

Доверительный интервал:

Значения параметра т, лежащие в этом интервале, являются совместимыми с опытными данными, приведенными в табл. 14.3.2.

Аналогичным способом может быть построен доверительный интервал и для дисперсии.

Пусть произведено п независимых опытов над случайной величиной X с неизвестными параметрами от и Л, и для дисперсии D получена несмещенная оценка:

Требуется приближенно построить доверительный интервал для дисперсии.

Из формулы (14.3.11) видно, что величина D представляет собой

сумму п случайных величин вида . Эти величины не являются

независимыми, так как в любую из них входит величина т, зависящая от всех остальных. Однако можно показать, что при увеличении п закон распределения их суммы тоже приближается к нормальному. Практически при п = 20...30 он уже может считаться нормальным.

Предположим, что это так, и найдем характеристики этого закона: математическое ожидание и дисперсию. Так как оценка D - несмещенная, то М[D] = D.

Вычисление дисперсии D D связано со сравнительно сложными выкладками, поэтому приведем ее выражение без вывода:

где ц 4 - четвертый центральный момент величины X.

Чтобы воспользоваться этим выражением, нужно подставить в него значения ц 4 и D (хотя бы приближенные). Вместо D можно воспользоваться его оценкой D . В принципе четвертый центральный момент тоже можно заменить его оценкой, например величиной вида:

но такая замена даст крайне невысокую точность, так как вообще при ограниченном числе опытов моменты высокого порядка определяются с большими ошибками. Однако на практике часто бывает, что вид закона распределения величины X известен заранее: неизвестны лишь его параметры. Тогда можно попытаться выразить ц 4 через D.

Возьмем наиболее часто встречающийся случай, когда величина X распределена по нормальному закону. Тогда ее четвертый центральный момент выражается через дисперсию (см. главу 6 подраздел 6.2);

и формула (14.3.12) дает или

Заменяя в (14.3.14) неизвестное D его оценкой D , получим: откуда

Момент ц 4 можно выразить через D также и в некоторых других случаях, когда распределение величины X не является нормальным, но вид его известен. Например, для закона равномерной плотности (см. главу 5) имеем:

где (а, Р) - интервал, на котором задан закон.

Следовательно,

По формуле (14.3.12) получим: откуда находим приближенно

В случаях, когда вид закона распределения величины 26 неизвестен, при ориентировочной оценке величины а /} рекомендуется все же пользоваться формулой (14.3.16), если нет специальных оснований считать, что этот закон сильно отличается от нормального (обладает заметным положительным или отрицательным эксцессом).

Если ориентировочное значение а /} тем или иным способом получено, то можно построить доверительный интервал для дисперсии аналогично тому, как мы строили его для математического ожидания:

где величина в зависимости от заданной вероятности р находится по табл. 14.3.1.

Пример 2. Найти приближенно 80%-й доверительный интервал для дисперсии случайной величины X в условиях примера 1, если известно, что величина X распределена по закону, близкому к нормальному.

Решение. Величина остается той же, что в табл. 14.3.1:

По формуле (14.3.16)

По формуле (14.3.18) находим доверительный интервал:

Соответствующий интервал значений среднего квадратичного отклонения: (0,21; 0,29).

14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины, распределенной по нормальному закону

В предыдущем подразделе мы рассмотрели грубо приближенные методы построения доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии. Здесь мы дадим представление о точных методах решения той же задачи. Подчеркнем, что для точного нахождения доверительных интервалов совершенно необходимо знать заранее вид закона распределения величины X, тогда как для применения приближенных методов это не обязательно.

Идея точных методов построения доверительных интервалов сводится к следующему. Любой доверительный интервал находится из условия, выражающего вероятность выполнения некоторых неравенств, в которые входит интересующая нас оценка а. Закон распределения оценки а в общем случае зависит от неизвестных параметров величины X. Однако иногда удается перейти в неравенствах от случайной величины а к какой-либо другой функции наблюденных значений Х п Х 2 , ..., X п. закон распределения которой не зависит от неизвестных параметров, а зависит только от числа опытов и и от вида закона распределения величины X. Такого рода случайные величины играют большую роль в математической статистике; они наиболее подробно изучены для случая нормального распределения величины X.

Например, доказано, что при нормальном распределении величины X случайная величина

подчиняется так называемому закону распределения Стъюдента с п - 1 степенями свободы; плотность этого закона имеет вид

где Г (х) - известная гамма-функция:

Доказано также, что случайная величина

имеет «распределение % 2 » с п - 1 степенями свободы (см. главу 7), плотность которого выражается формулой

Не останавливаясь на выводах распределений (14.4.2) и (14.4.4), покажем, как их можно применить при построении доверительных интервалов для параметров ти D .

Пусть произведено п независимых опытов над случайной величиной X, распределенной по нормальному закону с неизвестными параметрами тиО. Для этих параметров получены оценки

Требуется построить доверительные интервалы для обоих параметров, соответствующие доверительной вероятности р.

Построим сначала доверительный интервал для математического ожидания. Естественно этот интервал взять симметричным относительно т ; обозначим s p половину длины интервала. Величину s p нужно выбрать так, чтобы выполнялось условие

Попытаемся перейти в левой части равенства (14.4.5) от случайной величины т к случайной величине Т, распределенной по закону Стьюдента. Для этого умножим обе части неравенства |m-w?|

на положительную величину: или, пользуясь обозначением (14.4.1),

Найдем такое число / р, что Величина / р найдется из условия

Из формулы (14.4.2) видно, что (1) - четная функция, поэтому (14.4.8) дает

Равенство (14.4.9) определяет величину / р в зависимости от р. Если иметь в своем распоряжении таблицу значений интеграла

то величину / р можно найти обратным интерполированием в таблице. Однако удобнее составить заранее таблицу значений / р. Такая таблица дается в приложении (табл. 5). В этой таблице приведены значения в зависимости от доверительной вероятности р и числа степеней свободы п - 1. Определив / р по табл. 5 и полагая

мы найдем половину ширины доверительного интервала / р и сам интервал

Пример 1. Произведено 5 независимых опытов над случайной величиной X, распределенной нормально с неизвестными параметрами т и о. Результаты опытов приведены в табл. 14.4.1.

Таблица 14.4.1

Найти оценку т для математического ожидания и построить для него 90%-й доверительный интервал / р (т.е. интервал, соответствующий доверительной вероятности р = 0,9).

Решение. Имеем:

По таблице 5 приложения для п - 1 = 4 и р = 0,9 находим откуда

Доверительный интервал будет

Пример 2. Для условий примера 1 подраздела 14.3, предполагая величину X распределенной нормально, найти точный доверительный интервал.

Решение. По таблице 5 приложения находим при п - 1 = 19ир =

0,8 / р =1,328; отсюда

Сравнивая с решением примера 1 подраздела 14.3 (е р = 0,072), убеждаемся, что расхождение весьма незначительно. Если сохранить точность до второго знака после запятой, то доверительные интервалы, найденные точным и приближенным методами, совпадают:

Перейдем к построению доверительного интервала для дисперсии. Рассмотрим несмещенную оценку дисперсии

и выразим случайную величину D через величину V (14.4.3), имеющую распределение х 2 (14.4.4):

Зная закон распределения величины V, можно найти интервал / (1 , в который она попадает с заданной вероятностью р.

Закон распределения k n _ x {v) величины I 7 имеет вид, изображенный на рис. 14.4.1.

Рис. 14.4.1

Возникает вопрос: как выбрать интервал / р? Если бы закон распределения величины V был симметричным (как нормальный закон или распределение Стьюдента), естественно было бы взять интервал /р симметричным относительно математического ожидания. В данном случае закон к п _ х (v) несимметричен. Условимся выбирать интервал /р так, чтобы вероятности выхода величины V за пределы интервала вправо и влево (заштрихованные площади на рис. 14.4.1) были одинаковы и равны

Чтобы построить интервал / р с таким свойством, воспользуемся табл. 4 приложения: в ней приведены числа у} такие, что

для величины V, имеющей х 2 -распределение с г степенями свободы. В нашем случае г = п - 1. Зафиксируем г = п - 1 и найдем в соответствующей строке табл. 4 два значения х 2 - одно, отвечающее вероятности другое - вероятности Обозначим эти

значения у 2 и xl ? Интервал имеет у 2 , своим левым, а у ~ правым концом.

Теперь найдем по интервалу / р искомый доверительный интервал /|, для дисперсии с границами D, и D 2 , который накрывает точку D с вероятностью р:

Построим такой интервал / (, = (?> ь А), который накрывает точку D тогда и только тогда, когда величина V попадает в интервал / р. Покажем, что интервал

удовлетворяет этому условию. Действительно, неравенства равносильны неравенствам

а эти неравенства выполняются с вероятностью р. Таким образом, доверительный интервал для дисперсии найден и выражается формулой (14.4.13).

Пример 3. Найти доверительный интервал для дисперсии в условиях примера 2 подраздела 14.3, если известно, что величинаX распределена нормально.

Решение. Имеем . По таблице 4 приложения

находим при г = п - 1 = 19

По формуле (14.4.13) находим доверительный интервал для дисперсии

Соответствующий интервал для среднего квадратичного отклонения: (0,21; 0,32). Этот интервал лишь незначительно превосходит полученный в примере 2 подраздела 14.3 приближенным методом интервал (0,21; 0,29).

• На рисунке 14.3.1 рассматривается доверительный интервал, симметричный относительно а. Вообще, как мы увидим дальше, это необязательно.

Часто оценщику приходится анализировать рынок недвижимости того сегмента, в котором располагается объект оценки. Если рынок развит, проанализировать всю совокупность представленных объектов бывает сложно, поэтому для анализа используется выборка объектов. Не всегда эта выборка получается однородной, иногда требуется очистить ее от экстремумов - слишком высоких или слишком низких предложений рынка. Для этой цели применяется доверительный интервал . Цель данного исследования - провести сравнительный анализ двух способов расчета доверительного интервала и выбрать оптимальный вариант расчета при работе с разными выборками в системе estimatica.pro.

Доверительный интервал - вычисленный на основе выборки интервал значений признака, который с известной вероятностью содержит оцениваемый параметр генеральной совокупности.

Смысл вычисления доверительного интервала заключается в построении по данным выборки такого интервала, чтобы можно было утверждать с заданной вероятностью, что значение оцениваемого параметра находится в этом интервале. Другими словами, доверительный интервал с определенной вероятностью содержит неизвестное значение оцениваемой величины. Чем шире интервал, тем выше неточность.

Существуют разные методы определения доверительного интервала. В этой статье рассмотрим 2 способа:

• через медиану и среднеквадратическое отклонение;
• через критическое значение t-статистики (коэффициент Стьюдента).

Этапы сравнительного анализа разных способов расчета ДИ:

1. формируем выборку данных;

2. обрабатываем ее статистическими методами: рассчитываем среднее значение, медиану, дисперсию и т.д.;

3. рассчитываем доверительный интервал двумя способами;

4. анализируем очищенные выборки и полученные доверительные интервалы.

Этап 1. Выборка данных

Выборка сформирована с помощью системы estimatica.pro. В выборку вошло 91 предложение о продаже 1 комнатных квартир в 3-ем ценовом поясе с типом планировки «Хрущевка».

Таблица 1. Исходная выборка

Рис.1. Исходная выборка

Этап 2. Обработка исходной выборки

Обработка выборки методами статистики требует вычисления следующих значений:

1. Среднее арифметическое значение

2. Медиана - число, характеризующее выборку: ровно половина элементов выборки больше медианы, другая половина меньше медианы

(для выборки, имеющей нечетное число значений)

3. Размах - разница между максимальным и минимальным значениями в выборке

4. Дисперсия - используется для более точного оценивания вариации данных

5. Среднеквадратическое отклонение по выборке (далее - СКО) - наиболее распространённый показатель рассеивания значений корректировок вокруг среднего арифметического значения.

6. Коэффициент вариации - отражает степень разбросанности значений корректировок

7. коэффициент осцилляции - отражает относительное колебание крайних значений цен в выборке вокруг средней

Таблица 2. Статистические показатели исходной выборки

Коэффициент вариации, который характеризует однородность данных, составляет 12,29%, однако коэффициент осцилляции слишком велик. Таким образом, мы можем утверждать, что исходная выборка не является однородной, поэтому перейдем к расчету доверительного интервала.

Этап 3. Расчёт доверительного интервала

Способ 1. Расчёт через медиану и среднеквадратическое отклонение.

Доверительный интервал определяется следующим образом: минимальное значение - из медианы вычитается СКО; максимальное значение - к медиане прибавляется СКО.

Таким образом, доверительный интервал (47179 д.е.; 60689 д.е.)

Рис. 2. Значения, попавшие в доверительный интервал 1.

Способ 2. Построение доверительного интервала через критическое значение t-статистики (коэффициент Стьюдента)

С.В. Грибовский в книге «Математические методы оценки стоимости имущества» описывает способ вычисления доверительного интервала через коэффициент Стьюдента. При расчете этим методом оценщик должен сам задать уровень значимости ∝, определяющий вероятность, с которой будет построен доверительный интервал. Обычно используются уровни значимости 0,1; 0,05 и 0,01. Им соответствуют доверительные вероятности 0,9; 0,95 и 0,99. При таком методе полагают истинные значения математического ожидания и дисперсии практически неизвестными (что почти всегда верно при решении практических задач оценки).

Формула доверительного интервала:

n - объем выборки;

Критическое значение t- статистики (распределения Стьюдента) с уровнем значимости ∝,числом степеней свободы n-1,которое определяется по специальным статистическим таблицам либо с помощью MS Excel ( →"Статистические"→ СТЬЮДРАСПОБР);

∝ - уровень значимости, принимаем ∝=0,01.

Рис. 2. Значения, попавшие в доверительный интервал 2.

Этап 4. Анализ разных способов расчета доверительного интервала

Два способа расчета доверительного интервала - через медиану и коэффициент Стьюдента - привели к разным значениям интервалов. Соответственно, получилось две различные очищенные выборки.

Таблица 3. Статистические показатели по трем выборкам.

На основании выполненных расчетов можно сказать, что полученные разными методами значения доверительных интервалов пересекаются, поэтому можно использовать любой из способов расчета на усмотрение оценщика.

Однако мы считаем, что при работе в системе estimatica.pro целесообразно выбирать метод расчета доверительного интервала в зависимости от степени развитости рынка:

• если рынок неразвит, применять метод расчета через медиану и среднеквадратическое отклонение, так как количество выбывших объектов в этом случае невелико;
• если рынок развит, применять расчет через критическое значение t-статистики (коэффициент Стьюдента), так как есть возможность сформировать большую исходную выборку.

При подготовке статьи были использованы:

1. Грибовский С.В., Сивец С.А., Левыкина И.А. Математические методы оценки стоимости имущества. Москва, 2014 г.

2. Данные системы estimatica.pro

Доверительный интервал пришел к нам из области статистики. Это определенный диапазон, который служит для оценки неизвестного параметра с высокой степенью надежности. Проще всего это будет пояснить на примере.

Предположим, нужно исследовать какую-либо случайную величину, например, скорость отклика сервера на запрос клиента. Каждый раз, когда пользователь набирает адрес конкретного сайта, сервер реагирует на это с разной скоростью. Таким образом, исследуемое время отклика имеет случайный характер. Так вот, доверительный интервал позволяет определить границы этого параметра, и затем можно будет утверждать, что с вероятностью в 95% сервера будет находиться в рассчитанном нами диапазоне.

Или же нужно узнать, какому количеству людей известно о торговой марке фирмы. Когда будет подсчитан доверительный интервал, то можно будет, к примеру, сказать что с 95% долей вероятности доля потребителей, знающих о данной находится в диапазоне от 27% до 34%.

С этим термином тесно связана такая величина, как доверительная вероятность. Она представляет собой вероятность того, что искомый параметр входит в доверительный интервал. От этой величины зависит то, насколько большим окажется наш искомый диапазон. Чем большее значение она принимает, тем уже становится доверительный интервал, и наоборот. Обычно ее устанавливают равной 90%, 95% или 99%. Величина 95% наиболее популярна.

На данный показатель также оказывает влияние дисперсия наблюдений и Его определение основано на том предположении, что исследуемый признак подчиняется Это утверждение известно также как Закон Гаусса. Согласно ему, нормальным называется такое распределение всех вероятностей непрерывной случайной величины, которое можно описать плотностью вероятностей. Если предположение о нормальном распределении оказалось ошибочным, то оценка может оказаться неверной.

Сначала разберемся с тем, как вычислить доверительный интервал для Здесь возможны два случая. Дисперсия (степень разброса случайной величины) может быть известна либо нет. Если она известна, то наш доверительный интервал вычисляется с помощью следующей формулы:

хср - t*σ / (sqrt(n)) <= α <= хср + t*σ / (sqrt(n)), где

α - признак,

t - параметр из таблицы распределения Лапласа,

σ - квадратный корень дисперсии.

Если дисперсия неизвестна, то ее можно рассчитать, если нам известны все значения искомого признака. Для этого используется следующая формула:

σ2 = х2ср - (хср)2, где

х2ср - среднее значение квадратов исследуемого признака,

(хср)2 - квадрат данного признака.

Формула, по которой в этом случае рассчитывается доверительный интервал немного меняется:

хср - t*s / (sqrt(n)) <= α <= хср + t*s / (sqrt(n)), где

хср - выборочное среднее,

α - признак,

t - параметр, который находят с помощью таблицы распределения Стьюдента t = t(ɣ;n-1),

sqrt(n) - квадратный корень общего объема выборки,

s - квадратный корень дисперсии.

Рассмотри такой пример. Предположим, что по результатам 7 замеров была определена исследуемого признака, равная 30 и дисперсия выборки, равная 36. Нужно найти с вероятностью в 99% доверительный интервал, который содержит истинное значение измеряемого параметра.

Вначале определим чему равно t: t = t (0,99; 7-1) = 3.71. Используем приведенную выше формулу, получаем:

хср - t*s / (sqrt(n)) <= α <= хср + t*s / (sqrt(n))

30 - 3.71*36 / (sqrt(7)) <= α <= 30 + 3.71*36 / (sqrt(7))

21.587 <= α <= 38.413

Доверительный интервал для дисперсии рассчитывается как в случае с известным средним, так и тогда, когда нет никаких данных о математическом ожидании, а известно лишь значение точечной несмещенной оценки дисперсии. Мы не будем приводить здесь формулы его расчета, так как они довольно сложные и при желании их всегда можно найти в сети.

Отметим лишь, что доверительный интервал удобно определять с помощью программы Excel или сетевого сервиса, который так и называется.

Доверительные интервалы.

Вычисление доверительного интервала базируется на средней ошибке соответствующего параметра. Доверительный интервал показывает, в каких пределах с вероятностью (1-a) находится истинное значение оцениваемого параметра. Здесь a – уровень значимости, (1-a) называют также доверительной вероятностью.

В первой главе мы показали, что, например, для среднего арифметического, истинное среднее по сово­купности примерно в 95% случаев лежит в пределах 2 средних ошибок среднего. Таким образом, границы 95% доверительного интервала для среднего будет отстоять от выборочного среднего на удвоенную среднюю ошибку среднего, т.е. мы умножаем среднюю ошибку среднего на некий коэффициент, зависящий от доверительной вероятности. Для среднего и разности средних берётся коэффициент Стьюдента (критическое значение критерия Стьюдента), для доли и разности долей критическое значение критерия z. Произведение коэффициента на среднюю ошибку можно назвать предельной ошибкой данного параметра, т.е. максимальную, которую мы можем получить при его оценке.

Доверительный интервал для среднего арифметического : .

Здесь - выборочное среднее;

Средняя ошибка среднего арифметического;

s – выборочное среднее квадратическое отклонение;

n

f = n -1 (коэффициент Стьюдента).

Доверительный интервал для разности средних арифметических :

Здесь - разность выборочных средних;

- средняя ошибка разности средних арифметических;

s 1 ,s 2 – выборочные средние квадратические отклонения;

n 1 ,n 2

Критическое значение критерия Стьюдента при заданных уровне значимости a и числе степеней свободы f=n 1 +n 2 -2 (коэффициент Стьюдента).

Доверительный интервал для доли :

.

Здесь d – выборочная доля;

– средняя ошибка доли;

n – объём выборки (численность группы);

Доверительный интервал для разности долей :

Здесь - разность выборочных долей;

– средняя ошибка разности средних арифметических;

n 1 ,n 2 – объёмы выборок (численности групп);

Критическое значение критерия z при заданном уровне значимости a ( , , ).

Вычисляя доверительные интервалы для разности показателей, мы, во-первых, непосредственно видим возможные значения эффекта, а не только его точечную оценку. Во-вторых, можем сделать вывод о принятии или опровержении нулевой гипотезы и, в-третьих, можем сделать вывод о мощности критерия.

При проверке гипотез с помощью доверительных интервалов надо придерживаться следующего правила:

Если 100(1-a)-процентный доверительный интервал разности средних не содержит нуля, то различия статистически значимы на уровне значимости a; напротив, если этот интервал содержит ноль, то различия статистически не значимы.

Действительно, если этот интервал содержит ноль, то, значит, сравниваемый показатель может оказаться как больше, так и меньше в одной из групп, по сравнению с другой, т.е. наблюдаемые различия случайны.

По месту, где находится ноль внутри доверительного интервала, можно судить о мощности критерия. Если ноль близок к нижней или верхней границе интервала, то возможно при большей численности сравниваемых групп, различия достигли бы статистической значимости. Если ноль близок к середине интервала, то, значит, равновероятно и увеличение и уменьшение показателя в экспериментальной группе, и, вероятно, различий действительно нет.

Примеры:

Сравнить операционную летальность при применении двух разных видов анестезии: с применением первого вида анестезии оперировалось 61 человек, умерло 8, с применением второго – 67 человек, умерло 10.

d 1 = 8/61 = 0,131; d 2 = 10/67 = 0,149; d1-d2 = - 0,018.

Разность летальностей сравниваемых методов будет находиться в интервале (-0,018 - 0,122; -0,018 + 0,122) или (-0,14 ; 0,104) с вероятностью 100(1-a) = 95%. Интервал содержит ноль, т.е. гипотезу об одинаковой летальности при двух разных видах анестезии отвергнуть нельзя.

Таким образом, летальность может и уменьшится до 14% и увеличиться до 10,4% с вероятностью 95%, т.е. ноль находится примерно по середине интервала, поэтому можно утверждать, что, скорее всего, действительно не отличаются по летальности эти два метода.

В рассмотренном ранее примере сравнивалось среднее время нажатия при теппинг-тесте в четырёх группах студентов, отличающихся по экзаменационной оценке. Вычислим доверительные интервалы среднего времени нажатия для студентов, сдавших экзамен на 2 и на 5 и доверительный интервал для разности этих средних.

Коэффициенты Стьюдента находим по таблицам распределения Стьюдента (см. приложение): для первой группы: = t(0,05;48) = 2,011; для второй группы: = t(0,05;61) = 2,000. Таким образом, доверительные интервалы для первой группы: = (162,19-2,011*2,18 ; 162,19+2,011*2,18) = (157,8 ; 166,6) , для второй группы (156,55-2,000*1,88 ; 156,55+2,000*1,88) = (152,8 ; 160,3). Итак, для сдавших экзамен на 2, среднее время нажатия лежит в пределах от 157,8 мс до 166,6 мс с вероятностью 95%, для сдавших экзамен на 5 – от 152,8 мс до 160,3 мс с вероятностью 95%.

Проверять нулевую гипотезу можно и по доверительным интервалам для средних, а не только для разности средних. Например, как в нашем случае, если доверительные интервалы для средних перекрываются, то нулевую гипотезу отвергнуть нельзя. Для того чтобы отвергнуть гипотезу на выбранном уровне значимости, соответствующие доверительные интервалы не должны перекрываться.

Найдём доверительный интервал для разности среднего времени нажатия в группах сдавших экзамен на 2 и на 5. Разность средних: 162,19 – 156,55 = 5,64. Коэффициент Стьюдента: = t(0,05;49+62-2) = t(0,05;109) = 1,982. Групповые средние квадратические отклонения будут равны: ; . Вычисляем среднюю ошибку разности средних: . Доверительный интервал: =(5,64-1,982*2,87 ; 5,64+1,982*2,87) = (-0,044 ; 11,33).

Итак, разница среднего времени нажатия в группах, сдавших экзамен на 2 и на 5, будет находиться в интервале от -0,044 мс до 11,33 мс. В этот интервал входит ноль, т.е. среднее время нажатия у отлично сдавших экзамен, может и увеличиться и уменьшится по сравнению с неудовлетворительно сдавшими, т.е. нулевую гипотезу отвергнуть нельзя. Но ноль находится очень близко к нижней границе, время нажатия гораздо вероятнее всё-таки уменьшается у отлично сдавших. Таким образом, можно сделать вывод, что различия в среднем времени нажатия между сдавшими на 2 и на 5 всё-таки есть, просто мы не смогли их обнаружить при данном изменении среднего времени, разбросе среднего времени и объёмах выборок.

Мощность критерия – это вероятность отвергнуть неверную нулевую гипотезу, т.е. найти различия там, где они действительно есть.

Мощность критерия определяется исходя из уровня значимости, величины различий между группами, разброса значений в группах и объёма выборок.

Для критерия Стьюдента и дисперсионного анализа можно воспользоваться диаграммами чувствительности.

Мощность критерия можно использовать при предварительном определении необходимой численности групп.

Доверительный интервал показывает, в каких пределах с заданной вероятностью находится истинное значение оцениваемого параметра.

С помощью доверительных интервалов можно проверять статистические гипотезы и делать выводы о чувствительности критериев.

ЛИТЕРАТУРА.

Гланц С. – Глава 6,7.

Реброва О.Ю. – с.112-114, с.171-173, с.234-238.

Сидоренко Е. В. – с.32-33.

Вопросы для самопроверки студентов.

1. Что такое мощность критерия?

2. В каких случаях необходимо оценить мощность критериев?

3. Способы расчёта мощности.

6. Как проверить статистическую гипотезу с помощью доверительного интервала?

7. Что можно сказать о мощности критерия при расчёте доверительного интервала?

Задачи.