Обчислення об'єму тіла обертання за допомогою певного інтегралу онлайн. Урок «Обчислення обсягів тіл обертання за допомогою певного інтегралу

Використання інтегралів для знаходження обсягів тіл обертання

Практична корисність математики обумовлена тим, що без

конкретних математичних знань утруднено розуміння принципів устрою та використання сучасної техніки. Кожній людині у житті доводиться виконувати досить складні розрахунки, користуватися загальновживаною технікою, знаходити в довідниках застосовувати потрібні формули, складати нескладні алгоритми на вирішення завдань. У суспільстві дедалі більше спеціальностей, потребують високого рівня освіти, пов'язані з безпосереднім застосуванням математики. Отже, для школяра математика стає професійним значимим предметом. Провідна роль належить математиці у формуванні алгоритмічного мислення, виховує вміння діяти за заданим алгоритмом та конструювати нові алгоритми.

Вивчаючи тему застосування інтеграла для обчислення обсягів тіл обертання, я пропоную учням на факультативних заняттях розглянути тему: «Обсяги тіл обертання із застосуванням інтегралів». Нижче наводжу методичні рекомендації щодо розгляду цієї теми:

1.Площа плоскої фігури.

З курсу алгебри ми знаємо, що до поняття певного інтеграла привели завдання практичного характеру.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.

Для знаходження об'єму тіла обертання, утвореного обертанням криволінійної трапеції навколо осі Оx, обмеженою перервною лінією y=f(x), віссю Оx, прямими x=a та x=b обчислимо за формулою

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3.Об'єм циліндра.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" Конус виходить шляхом обертання прямокутного трикутника АВС(С=90) навколо осі Оx на якому лежить катет АС.

Відрізок АВ лежить на прямій y, де https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.

Нехай а = 0, b = H (Н-висота конуса), тоді V.

5. Обсяг усіченого конуса.

Усічений конус можна отримати шляхом обертання прямокутною трапецією АВСD (CDOx) навколо осі Оx.

Відрізок АВ лежить на прямій y=kx+c де c = r.

Оскільки пряма проходить через точку А (0; r).

Таким чином пряма має вигляд width="303"

Нехай а = 0, b = H (Н-висота зрізаного конуса), тоді http://www.pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" = .

6. Об'єм кулі.

Кулю можна отримати шляхом обертання кола із центром (0;0) навколо осі Оx. Півколо, розташована над віссю Оx, задається рівнянням

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.

Крім знаходження площі плоскої фігури за допомогою певного інтегралу (див. 7.2.3)найважливішим додатком теми є обчислення об'єму тіла обертання. Матеріал простий, але читач має бути підготовленим: необхідно вміти вирішувати невизначені інтегралисередньої складності та застосовувати формулу Ньютона-Лейбніца в певному інтегралі, нвже впевнені навички побудови креслень. Взагалі в інтегральному численні багато цікавих додатків, за допомогою певного інтеграла можна обчислити площу фігури, об'єм тіла обертання, довжину дуги, площу поверхні тіла та багато іншого. Подайте деяку плоску фігуру на координатній площині. Уявили? ... Тепер цю фігуру можна ще й обертати, причому обертати двома способами:

– навколо осі абсцис ;

– навколо осі ординат .

Розберемо обидва випадки. Особливо цікавий другий спосіб обертання, він викликає найбільші труднощі, але насправді рішення практично таке саме, як і в більш поширеному обертанні навколо осі абсцис. Почнемо з найбільш популярного різновиду обертання.

Обчислення об'єму тіла, утвореного обертанням плоскої фігури навколо осі OX

Приклад 1

Обчислити об'єм тіла, отриманого обертанням фігури, обмеженою лініями навколо осі .

Рішення:Як і завдання на перебування площі, рішення починається з креслення плоскої фігури. Тобто, на площині XOYНеобхідно побудувати фігуру, обмежену лініями , , у своїй не забуваємо, що рівняння задає вісь . Креслення тут досить простий:

Плоска фігура, що шукається, заштрихована синім кольором, саме вона і обертається навколо осі. В результаті обертання виходить така трохи яйцеподібна літаюча тарілка з двома гострими вершинами на осі OXсиметрична щодо осі OX. Насправді у тіла є математична назва, подивіться у довіднику.

Як визначити обсяг тіла обертання? Якщо тіло утворено внаслідок обертання навколо осіOX, його подумки поділяють на паралельні шари малої товщини. dx, які перпендикулярні до осі OX. Обсяг всього тіла дорівнює, очевидно, сумі обсягів таких елементарних шарів. Кожен шар, як кругла часточка лимона, – низенький циліндр висотою dxі з радіусом основи f(x). Тоді обсяг одного шару є добуток площі основи π f 2 на висоту циліндра ( dx), або π∙ f 2 (x)∙dx. А площа всього тіла обертання є сумою елементарних обсягів, або відповідним певним інтегралом. Об'єм тіла обертання можна обчислити за такою формулою:

Як розставити межі інтегрування «а» та «бе», легко здогадатися із виконаного креслення. Що це за функція? Давайте подивимося на креслення. Плоска фігура обмежена графіком параболи зверху. Це і є та функція, що мається на увазі у формулі. У практичних завданнях плоска фігура іноді може розташовуватися нижче осі OX. Це нічого не змінює – функція у формулі зводиться у квадрат: f 2 (x), таким чином, об'єм тіла обертання завжди невід'ємнийщо дуже логічно. Обчислимо об'єм тіла обертання, використовуючи цю формулу:

Як ми вже зазначали, інтеграл майже завжди виходить простим, головне, бути уважним.

Відповідь:

У відповіді потрібно обов'язково вказати розмірність – кубічні одиниці. Тобто у нашому тілі обертання приблизно 3,35 «кубиків». Чому саме кубічні одиниці? Тому що це найбільш універсальне формулювання. Можуть бути кубічні сантиметри, можуть бути кубічні метри, можуть бути кубічні кілометри і т.д., це вже скільки зелених чоловічків вашу уяву помістить в тарілку, що літає.

Приклад 2

Знайти об'єм тіла, утвореного обертанням навколо осі OXфігури, обмеженої лініями , , .

Це приклад самостійного рішення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Приклад 3

Обчислити об'єм тіла, отриманого при обертанні навколо осі абсцис фігури, обмеженою лініями , , та .

Рішення:Зобразимо на кресленні плоску фігуру, обмежену лініями , , , , не забуваючи при цьому, що рівняння x= 0 задає вісь OY:

Шукана фігура заштрихована синім кольором. При її обертанні навколо осі OXвиходить плоский незграбний бублик (шайба з двома конічними поверхнями).

Обсяг тіла обертання обчислимо як різницю обсягів тіл. Спочатку розглянемо фігуру, обведену червоним кольором. При її обертанні навколо осі OXвиходить зрізаний конус. Позначимо обсяг цього усіченого конуса через V 1 .

Розглянемо фігуру, обведену зеленим кольором. Якщо обертати цю фігуру навколо осі OX, то вийде теж усічений конус, тільки трохи менше. Позначимо його обсяг через V 2 .

Очевидно, що різниця обсягів, V = V 1 - V 2, - це обсяг нашого «бублика».

Використовуємо стандартну формулу для знаходження об'єму тіла обертання:

1) Фігура, обведена червоним кольором обмежена зверху прямою, тому:

2) Фігура, обведена зеленим кольором обмежена зверху прямою, тому:

3) Обсяг шуканого тіла обертання:

Відповідь:

Цікаво, що у разі рішення можна перевірити, використовуючи шкільну формулу для обчислення обсягу зрізаного конуса.

Саме рішення частіше оформляють коротше, приблизно так:

Як і для завдання знаходження площі, потрібні впевнені навички побудови креслень – це чи не найважливіше (оскільки інтеграли власними силами частіше будуть легкими). Освоїти грамотну та швидку техніку побудови графіків можна за допомогою методичних матеріалів та геометричних перетворень графіків. Але, власне, про важливість креслень я вже неодноразово говорив на уроці.

Взагалі в інтегральному обчисленні дуже багато цікавих додатків, за допомогою певного інтеграла можна обчислити площу фігури, об'єм тіла обертання, довжину дуги, площу поверхні обертання та багато іншого. Тому буде весело, будь ласка, налаштуйтеся на оптимістичний лад!

Подайте деяку плоску фігуру на координатній площині. Уявили? …Цікаво, хто що представив… =))) Її площу ми вже знаходили. Але, крім того, цю фігуру можна ще й крутити, причому крутити двома способами:

- навколо осі абсцис;
- Навколо осі ординат.

У цій статті будуть розібрані обидва випадки. Особливо цікавий другий спосіб обертання, він викликає найбільші труднощі, але насправді рішення практично таке саме, як і в більш поширеному обертанні навколо осі абсцис. Як бонус я повернуся до задачі знаходження площі фігури, і розповім вам, як знаходити площу другим способом - по осі. Навіть не так бонус, скільки матеріал успішно вписується в тему.

Почнемо з найбільш популярного різновиду обертання.

плоскої фігури навколо осі

Приклад 1

Обчислити об'єм тіла, отриманого обертанням фігури, обмеженою лініями навколо осі .

Рішення: Як і в задачі на перебування площі, рішення починається з креслення плоскої фігури. Тобто, на площині необхідно побудувати фігуру, обмежену лініями, при цьому не забуваємо, що рівняння задає вісь. Як раціональніше і швидше виконати креслення, можна дізнатися на сторінках Графіки та властивості Елементарних функційі Визначений інтеграл. Як обчислити площу фігури. Це китайське нагадування, і зараз я більше не зупиняюся.

Креслення тут досить простий:

В результаті обертання виходить така трохи яйцевидна літаюча тарілка, яка симетрична щодо осі. Насправді у тіла є математична назва, але за довідником щось ліньки уточнювати, тому їдемо далі.

Як визначити обсяг тіла обертання?

Об'єм тіла обертання можна обчислити за формулою:

У формулі перед інтегралом обов'язково є число . Так повелося – все, що у житті крутиться, пов'язане з цією константою.

Як розставити межі інтегрування «а» та «бе», гадаю, легко здогадатися з виконаного креслення.

Що це за функція? Давайте подивимося на креслення. Плоска фігура обмежена графіком параболи зверху. Це і є та функція, що мається на увазі у формулі.

У практичних завданнях плоска фігура іноді може розташовуватися нижче осі. Це нічого не змінює - підінтегральна функція у формулі зводиться в квадрат: таким чином інтеграл завжди невід'ємнийщо дуже логічно.

Обчислимо об'єм тіла обертання, використовуючи цю формулу:

Як я вже зазначав, інтеграл майже завжди виходить простим, головне, бути уважним.

Відповідь:

У відповіді потрібно обов'язково вказати розмірність – кубічні одиниці. Тобто у нашому тілі обертання приблизно 3,35 «кубиків». Чому саме кубічні одиниці? Тому що найбільш універсальне формулювання. Можуть бути кубічні сантиметри, можуть бути кубічні метри, можуть бути кубічні кілометри і т.д., це вже скільки зелених чоловічків вашу уяву помістить в тарілку, що літає.

Приклад 2

Знайти об'єм тіла, утвореного обертанням навколо осі фігури, обмеженою лініями , ,

Це приклад самостійного рішення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Розглянемо два складніші завдання, які теж часто зустрічаються на практиці.

Приклад 3

Обчислити об'єм тіла, отриманого при обертанні навколо осі абсцис фігури, обмеженої лініями , ,

Рішення: Зобразимо на кресленні плоску фігуру, обмежену лініями , , , , не забуваючи при цьому, що рівняння задає вісь :

Шукана фігура заштрихована синім кольором. При її обертанні навколо осі виходить такий сюрреалістичний бублик із чотирма кутами.

Обсяг тіла обертання обчислимо як різницю обсягів тіл.

Спочатку розглянемо фігуру, обведену червоним кольором. При її обертанні навколо осі виходить усічений конус. Позначимо обсяг цього зрізаного конуса через .

Розглянемо фігуру, обведену зеленим кольором. Якщо обертати цю фігуру навколо осі, то вийде також усічений конус, тільки трохи менше. Позначимо його обсяг через .

І, очевидно, різниця обсягів – точно обсяг нашого «бублика».

Використовуємо стандартну формулу для знаходження об'єму тіла обертання:

1) Фігура, обведена червоним кольором обмежена зверху прямою, тому:

2) Фігура, обведена зеленим кольором обмежена зверху прямою, тому:

3) Обсяг шуканого тіла обертання:

Відповідь:

Саме рішення частіше оформляють коротше, приблизно так:

Тепер трохи відпочинемо, і розповім про геометричні ілюзії.

У людей часто виникають ілюзії, пов'язані з обсягами, які помітив ще Перельман (інший) у книзі Цікава геометрія. Подивіться на плоску фігуру у вирішеному завданні - вона начебто невелика за площею, а об'єм тіла обертання становить трохи більше 50 кубічних одиниць, що здається занадто великим. До речі, середньостатистична людина за все своє життя випиває рідину об'ємом із кімнату площею 18 квадратних метрів, що, навпаки, видається надто маленьким об'ємом.

Взагалі, система освіти в СРСР справді була найкращою. Та сама книга Перельмана, видана ще 1950 року, дуже добре розвиває, як сказав гуморист, міркування і вчить шукати оригінальні нестандартні вирішення проблем. Нещодавно з великим інтересом перечитав деякі розділи, рекомендую, доступні навіть для гуманітаріїв. Ні, не треба посміхатися, що я запропонував безпонтове проведення часу, ерудиція та широкий кругозір у спілкуванні – чудова штука.

Після ліричного відступу якраз доречно вирішити творче завдання:

Приклад 4

Обчислити об'єм тіла, утвореного обертанням щодо осі плоскої фігури, обмеженою лініями , , де .

Це приклад самостійного рішення. Зверніть увагу, що всі відносини відбуваються в смузі, іншими словами, фактично дані готові межі інтегрування. Правильно накресліть графіки тригонометричних функцій, нагадаю матеріал уроку про геометричних перетвореннях графіків: якщо аргумент ділиться на два: , то графіки розтягуються по осі вдвічі. Бажано знайти хоча б 3-4 крапки за тригонометричними таблицями, щоб точніше виконати креслення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку. До речі, завдання можна вирішити раціонально та не дуже раціонально.

Обчислення об'єму тіла, утвореного обертанням
плоскої фігури навколо осі

Другий параграф буде ще цікавішим, ніж перший. Завдання на обчислення об'єму тіла обертання навколо осі ординат теж досить частий гість у контрольних роботах. Принагідно буде розглянута завдання про знаходження площі фігуриДругим способом - інтегруванням по осі, це дозволить вам не тільки покращити свої навички, але і навчить знаходити найбільш вигідний шлях рішення. У цьому є практичний життєвий сенс! Як з усмішкою згадувала мій викладач за методикою викладання математики, багато випускників дякували її словам: «Нам дуже допоміг Ваш предмет, тепер ми ефективні менеджери та оптимально керуємо персоналом». Користуючись нагодою, я теж висловлюю свою велику подяку, тим більше, що використовую отримані знання за прямим призначенням =).

Рекомендую для прочитання всім навіть повним чайникам. Більш того, засвоєний матеріал другого параграфа надасть неоціненну допомогу при обчисленні подвійних інтегралів.

Приклад 5

Дана плоска фігура, обмежена лініями , , .

1) Знайти площу плоскої фігури, обмеженої даними лініями.
2) Знайти об'єм тіла, отриманого обертанням плоскої фігури, обмеженою даними лініями навколо осі .

Увага!Навіть якщо ви хочете ознайомитися тільки з другим пунктом, спочатку обов'язковопрочитайте перший!

Рішення: Завдання складається з двох частин Почнемо із площі.

1) Виконаємо креслення:

Легко помітити, що функція визначає верхню гілку параболи, а функція – нижню гілку параболи. Перед нами тривіальна парабола, яка лежить на боці.

Потрібна фігура, площу якої належить знайти, заштрихована синім кольором.

Як знайти площу фігури? Її можна знайти «звичайним» способом, що розглядався на уроці Визначений інтеграл. Як обчислити площу фігури. Причому площа фігури знаходиться як сума площ:
- На відрізку ;
- На відрізку.

Тому:

Чим у разі поганий простий шлях рішення? По-перше, вийшло два інтеграли. По-друге, під інтегралами коріння, а коріння в інтегралах – не подарунок, до того ж можна заплутатися у підстановці меж інтегрування. Насправді, інтеграли, звичайно, не вбивчі, але на практиці все буває значно сумнішим, просто я підібрав для завдання функції «краще».

Є більш раціональний шлях рішення: він полягає в переході до зворотних функцій та інтеграції по осі.

Як перейти до зворотних функцій? Грубо кажучи, треба висловити "ікс" через "ігрок". Спочатку розберемося з параболою:

Цього достатньо, але переконаємося, що таку саму функцію можна вивести з нижньої гілки:

З прямою все простіше:

Тепер дивимося на вісь: будь ласка, періодично нахиляйте голову вправо на 90 градусів по ходу пояснень (це не прикол!). Потрібна нам постать лежить на відрізку, який позначений червоним пунктиром. При цьому на відрізку пряма розташована вище параболи, а значить, площу фігури слід знайти за вже знайомою вам формулою: . Що змінилося у формулі? Тільки літера, і не більше.

! Примітка: Межі інтегрування по осі слід розставляти строго знизу нагору!

Знаходимо площу:

На відрізку , тому:

Зверніть увагу, як я здійснив інтегрування, це раціональний спосіб, і в наступному пункті завдання буде зрозуміло – чому.

Для читачів, які сумніваються у коректності інтегрування, знайду похідні:

Отримано вихідну підінтегральну функцію, отже інтегрування виконано правильно.

Відповідь:

2) Обчислимо об'єм тіла, утвореного обертанням цієї фігури, навколо осі.

Перемалюю креслення трохи в іншому оформленні:

Отже, фігура, заштрихована синім кольором, обертається довкола осі. В результаті виходить «високий метелик», який крутиться навколо своєї осі.

Для знаходження об'єму тіла обертання інтегруватимемо по осі. Спочатку потрібно перейти до зворотних функцій. Це вже зроблено та детально розписано у попередньому пункті.

Тепер знову нахиляємо голову вправо та вивчаємо нашу фігуру. Очевидно, що об'єм тіла обертання слід знайти як різницю об'ємів.

Обертаємо фігуру, обведену червоним кольором, навколо осі, в результаті виходить зрізаний конус. Позначимо цей обсяг через .

Повертаємо фігуру, обведену зеленим кольором, навколо осі та позначаємо через об'єм отриманого тіла обертання.

Обсяг нашого метелика дорівнює різниці обсягів.

Використовуємо формулу для знаходження об'єму тіла обертання:

У чому на відміну від формули попереднього параграфа? Лише у букві.

А ось і перевага інтегрування, про яку я нещодавно говорив, набагато легше знайти ніж попередньо зводити підінтегральну функцію в 4-у ступінь.

Відповідь:

Однак нехилий метелик.

Зверніть увагу, що якщо цю ж плоску фігуру обертати навколо осі, то вийде зовсім інше тіло обертання, іншого, природно, об'єму.

Приклад 6

Дана плоска фігура, обмежена лініями, та віссю.

1) Перейти до зворотних функцій та знайти площу плоскої фігури, обмеженої даними лініями, інтегруванням по змінній .
2) Обчислити об'єм тіла, отриманого обертанням плоскої фігури, обмеженою даними лініями навколо осі .

Це приклад самостійного рішення. Бажаючі також можуть знайти площу фігури «звичайним» способом, виконавши цим перевірку пункту 1). А от якщо, повторюся, обертатимете плоску фігуру навколо осі, то вийде зовсім інше тіло обертання з іншим обсягом, до речі, правильна відповідь (теж для любителів вирішувати).

Повне рішення двох запропонованих пунктів завдання наприкінці уроку.

Так, і не забувайте нахиляти голову праворуч, щоб розібратися в тілах обертання та в межах інтегрування!

Нехай T - тіло обертання, утворене обертанням навколо осі абсцис криволінійної трапеції, розташованої у верхній напівплощині та обмеженою віссю абсцис, прямими x=a та x=b та графіком безперервної функції y=f(x) .

Доведемо, що це тіло обертання кубується і його обсяг виражається формулою

V=\pi \int\limits_(a)^(b) f^2(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)y^2\,dx\,.

Спочатку доведемо, що це тіло обертання регулярно, якщо як \Pi виберемо площину Oyz , перпендикулярну до осі обертання. Зазначимо, що перетин, що знаходиться на відстані x від площини Oyz є кругом радіуса f(x) і його площа S(x) дорівнює \pi f^2(x) (рис. 46). Тому функція S(x) безперервна через безперервність f(x) . Далі, якщо S(x_1)\leqslant S(x_2), Це означає, що . Але проекціями перерізів на площину Oyz є кола радіусів f(x_1) і f(x_2) з центром O і з f(x_1)\leqslant f(x_2)випливає, що коло радіусу f(x_1) міститься у колі радіусу f(x_2) .

Отже, тіло обертання регулярно. Отже, воно кубується і його обсяг обчислюється за формулою

V=\pi \int\limits_(a)^(b) S(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)f^2(x)\,dx\,.

Якби криволінійна трапеція була обмежена і знизу і зверху кривими y_1=f_1(x), y_2=f_2(x) , то

V= \pi \int\limits_(a)^(b)y_2^2\,dx- \pi \int\limits_(a)^(b)y_1^2\,dx= \pi\int\limits_(a )^(b)\Bigl(f_2^2(x)-f_1^2(x)\Bigr)dx\,.

Формулою (3) можна скористатися і для обчислення об'єму тіла обертання у випадку, коли межа фігури, що обертається, задана параметричними рівняннями. І тут доводиться користуватися заміною змінної під знаком певного інтеграла.

У деяких випадках виявляється зручним розкладати тіла обертання не так на прямі кругові циліндри, але в постаті іншого виду.

Наприклад, знайдемо об'єм тіла, що отримується при обертанні криволінійної трапеції навколо осі ординат. Спочатку знайдемо об'єм, який отримується при обертанні прямокутника з висотою y#, в основі якого лежить відрізок . Цей об'єм дорівнює різниці об'ємів двох прямих кругових циліндрів.

\Delta V_k= \pi y_k x_(k+1)^2- \pi y_k x_k^2= \pi y_k \bigl(x_(k+1)+x_k\bigr) \bigl(x_(k+1)- x_k\bigr).

Але тепер ясно, що об'єм оцінюється зверху і знизу наступним чином:

2\pi \sum_(k=0)^(n-1) m_kx_k\Delta x_k \leqslant V\leqslant 2\pi \sum_(k=0)^(n-1) M_kx_k\Delta x_k\,.

Звідси легко випливає формула об'єму тіла обертання навколо осі ординат:

V=2\pi \int\limits_(a)^(b) xy\,dx\,.

приклад 4.Знайдемо об'єм кулі радіусу R .

Рішення.Не втрачаючи спільності, будемо розглядати коло радіусу R з центром на початку координат. Це коло, обертаючись навколо осі Ox, утворює кулю. Рівняння кола має вигляд x^2+y^2=R^2, тому y^2=R^2-x^2. Враховуючи симетрію кола щодо осі ординат, знайдемо спочатку половину шуканого обсягу

\frac(1)(2)V= \pi\int\limits_(0)^(R)y^2\,dx= \pi\int\limits_(0)^(R) (R^2-x^ 2)\,dx= \left.(\pi\!\left(R^2x- \frac(x^3)(3)\right))\right|_(0)^(R)= \pi\ !\left(R^3- \frac(R^3)(3)\right)= \frac(2)(3)\pi R^3.

Отже, обсяг усієї кулі дорівнює \frac(4)(3)\pi R^3.

Приклад 5.Обчислити обсяг конуса, висота якого і радіус основи r .

Рішення.Виберемо систему координат так, щоб вісь Ox збіглася з висотою h (рис. 47), а вершину конуса візьмемо за початок координат. Тоді рівняння прямої OA запишеться у вигляді y = frac (r) (h) \, x.

Користуючись формулою (3), отримаємо:

V=\pi \int\limits_(0)^(h) y^2\,dx= \pi \int\limits_(0)^(h) \frac(r^2)(h^2)\,x ^2\,dx= \left.(\frac(\pi r^2)(h^2)\cdot \frac(x^3)(3))\right|_(0)^(h)= \ frac(\pi)(3)\,r^2h\,.

Приклад 6.Знайдемо об'єм тіла, одержаного при обертанні навколо осі абсцис астроїди \begin(cases)x=a\cos^3t\,\\y=a\sin^3t\,.\end(cases)(Рис. 48).

Рішення.Побудуємо астроіду. Розглянемо половину верхньої частини астроіди, розташованої симетрично щодо осі ординат. Використовуючи формулу (3) та змінюючи змінну під знаком певного інтеграла, знайдемо для нової змінної t межі інтегрування.

Якщо x=a\cos^3t=0 , то t=\frac(\pi)(2) , якщо x=a\cos^3t=a , то t=0 . Враховуючи, що y^2=a^2\sin^6t і dx=-3a\cos^2t\sin(t)\,dt, отримуємо:

V=\pi \int\limits_(a)^(b) y^2\,dx= \pi \int\limits_(\pi/2)^(0) a^2\sin^6t \bigl(-3a \cos^2t\sin(t)\bigr)\,dt= \ldots= \frac(16\pi)(105)\,a^3.

Обсяг всього тіла, утвореного обертанням астроїди, буде \frac(32\pi)(105)\,a^3.

Приклад 7.Знайдемо об'єм тіла, що отримується при обертанні навколо осі ординат криволінійної трапеції, обмеженою віссю абсцис та першою аркою циклоїди \begin(cases)x=a(t-sin(t)),\y=a(1-cos(t)).\end(cases).

Рішення.Скористаємося формулою (4): V=2\pi \int\limits_(a)^(b)xy\,dx, і замінимо змінну під знаком інтеграла, враховуючи, що перша арка циклоїди утворюється за зміни змінної t від 0 до 2\pi . Таким чином,

\begin(aligned)V&= 2\pi \int\limits_(0)^(2\pi) a(t-sin(t))a(1-cos(t))a(1-cos( t))\,dt= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi) (t-sin(t))(1-cos(t))^2\,dt= \\ &= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi)\bigl(t-sin(t)- 2tcos(t)+ 2sin(t)\cos( t)+ t\cos^2t- \sin(t)\cos^2t\bigr)\,dt=\\ &= \left.(2\pi a^3\!\left(\frac(t^2) )(2)+ \cos(t)- 2t\sin(t)- 2\cos(t)+ \sin^2t+ \frac(t^2)(4)+ \frac(t)(4)\sin2t+ \frac(1)(8)\cos2t+ \frac(1)(3)\cos^3t\right))\right|_(0)^(2\pi)=\\ &= 2\pi a^3 \!\left(2\pi^2+1-2+\pi^2+\frac(1)(8)+ \frac(1)(3)-1+2- \frac(1)(8) - \frac(1)(3)\right) = 6pi^3a^3. \end(aligned)

У вашому браузері вимкнено Javascript.
Щоб розрахувати, необхідно дозволити елементи ActiveX!

Об'єм тіла обертання можна обчислити за такою формулою:

Як розставити межі інтегрування «а» та «бе», гадаю, легко здогадатися з виконаного креслення.

У практичних завданнях плоска фігура іноді може розташовуватися нижче осі. Це нічого не змінює - функція у формулі зводиться в квадрат: таким чином об'єм тіла обертання завжди невід'ємнийщо дуже логічно.

Обчислимо об'єм тіла обертання, використовуючи цю формулу:

Як я вже зазначав, інтеграл майже завжди виходить простим, головне, бути уважним.

Відповідь:

Приклад 2

Знайти об'єм тіла, утвореного обертанням навколо осі фігури, обмеженою лініями , ,

Це приклад самостійного рішення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Розглянемо два складніші завдання, які теж часто зустрічаються на практиці.

Приклад 3

Обчислити об'єм тіла, отриманого при обертанні навколо осі абсцис фігури, обмеженої лініями , ,

Рішення:Зобразимо на кресленні плоску фігуру, обмежену лініями , , , не забуваючи при цьому, що рівняння задає вісь :

Обсяг тіла обертання обчислимо як різницю обсягів тіл.

І, очевидно, різниця обсягів – точно обсяг нашого «бублика».

Використовуємо стандартну формулу для знаходження об'єму тіла обертання:

1) Фігура, обведена червоним кольором обмежена зверху прямою, тому:

2) Фігура, обведена зеленим кольором обмежена зверху прямою, тому:

3) Обсяг шуканого тіла обертання:

Відповідь:

Саме рішення частіше оформляють коротше, приблизно так:

Тепер трохи відпочинемо, і розповім про геометричні ілюзії.

У людей часто виникають ілюзії, пов'язані з обсягами, які помітив ще Перельман (не той) у книзі Цікава геометрія. Подивіться на плоску фігуру у вирішеному завданні - вона начебто невелика за площею, а об'єм тіла обертання становить трохи більше 50 кубічних одиниць, що здається занадто великим. До речі, середньостатистична людина за все своє життя випиває рідину об'ємом із кімнату площею 18 квадратних метрів, що, навпаки, видається надто маленьким об'ємом.

Взагалі, система освіти в СРСР справді була найкращою. Та сама книга Перельмана, написана ним ще 1950 року, дуже добре розвиває, як сказав гуморист, міркування і вчить шукати оригінальні нестандартні вирішення проблем. Нещодавно з великим інтересом перечитав деякі розділи, рекомендую, доступні навіть для гуманітаріїв. Ні, не треба посміхатися, що я запропонував безпонтове проведення часу, ерудиція та широкий кругозір у спілкуванні – чудова штука.

Після ліричного відступу якраз доречно вирішити творче завдання:

Приклад 4

Обчислити об'єм тіла, утвореного обертанням щодо осі плоскої фігури, обмеженою лініями , , де .

Це приклад самостійного рішення. Зверніть увагу, що всі відносини відбуваються в смузі, іншими словами, дано майже готові межі інтегрування. Також постарайтеся правильно накреслити графіки тригонометричних функцій, якщо аргумент ділиться на два: то графіки розтягуються по осі в два рази. Спробуйте знайти хоча б 3-4 точки за тригонометричними таблицямиі точніше виконати креслення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку. До речі, завдання можна вирішити раціонально та не дуже раціонально.

Обчислення об'єму тіла, утвореного обертанням
плоскої фігури навколо осі

Приклад 5

Дана плоска фігура, обмежена лініями , , .

Увага!Навіть якщо ви хочете ознайомитися тільки з другим пунктом, спочатку обов'язковопрочитайте перший!

Рішення:Завдання і двох частин. Почнемо із площі.

1) Виконаємо креслення: