직사각형 프리즘의 면. 직선 프리즘의 측면 표면적에 관한 정리

입체 측정 과정의 학교 커리큘럼에서 3차원 도형에 대한 연구는 일반적으로 프리즘의 다면체인 간단한 기하학적 몸체로 시작됩니다. 베이스의 역할은 평행한 평면에 놓인 2개의 동일한 다각형으로 수행됩니다. 특별한 경우는 정사각형 프리즘입니다. 밑면은 2개의 동일한 정사각형으로, 측면이 수직이고 평행사변형(또는 프리즘이 기울어지지 않은 경우 직사각형) 모양입니다.

프리즘은 어떻게 생겼나요?

정사각기둥은 밑면이 정사각형 2개이고 옆면이 직사각형으로 표현된 육각형입니다. 이 기하학적 도형의 또 다른 이름은 직선 평행육면체입니다.

사각형 프리즘을 보여주는 그림이 아래에 나와 있습니다.

사진에서도 보이시죠 기하학적 몸체를 구성하는 가장 중요한 요소. 여기에는 다음이 포함됩니다.

때로는 기하학 문제에서 단면 개념을 접할 수 있습니다. 정의는 다음과 같습니다. 단면은 절단 평면에 속하는 체적 몸체의 모든 점입니다. 단면은 수직일 수 있습니다(그림의 가장자리와 90도 각도로 교차). 직사각형 프리즘의 경우 2개의 모서리와 밑면의 대각선을 통과하는 대각선 단면(구성할 수 있는 최대 단면 수는 2개)도 고려됩니다.

절단 평면이 밑면이나 측면과 평행하지 않은 방식으로 단면을 그리는 경우 결과적으로 잘린 프리즘이 됩니다.

축소된 프리즘 요소를 찾기 위해 다양한 관계식과 공식이 사용됩니다. 그들 중 일부는 면적 측정 과정에서 알려져 있습니다 (예를 들어 프리즘 밑면의 면적을 찾으려면 정사각형 면적에 대한 공식을 기억하는 것으로 충분합니다).

표면적과 부피

공식을 사용하여 프리즘의 부피를 결정하려면 밑면과 높이의 면적을 알아야 합니다.

V = 스바스 h

정사면체 프리즘의 밑면은 한 변이 있는 정사각형이기 때문에 ㅏ,더 자세한 형식으로 수식을 작성할 수 있습니다.

V = a²·h

길이, 너비 및 높이가 동일한 일반 프리즘인 큐브에 대해 이야기하는 경우 볼륨은 다음과 같이 계산됩니다.

프리즘의 측면 표면적을 찾는 방법을 이해하려면 프리즘의 발달을 상상해야 합니다.

도면에서 측면 표면이 4개의 동일한 직사각형으로 구성되어 있음을 알 수 있습니다. 그 면적은 밑면의 둘레와 그림의 높이의 곱으로 계산됩니다.

S사이드 = Posn h

정사각형의 둘레가 다음과 같다는 점을 고려하면 P = 4a,공식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

측면 = 4a h

큐브의 경우:

측면 = 4a²

프리즘의 전체 표면적을 계산하려면 측면 영역에 2개의 기본 영역을 추가해야 합니다.

스풀 = Sside + 2Smain

사각형 정기둥과 관련하여 공식은 다음과 같습니다.

총계 = 4a h + 2a²

큐브 표면적의 경우:

스풀 = 6a²

부피나 표면적을 알면 기하학적 몸체의 개별 요소를 계산할 수 있습니다.

프리즘 요소 찾기

종종 부피가 주어지거나 측면 표면적의 값이 알려지는 문제가 있는데, 여기서 밑면의 길이나 높이를 결정해야 합니다. 이러한 경우 공식은 다음과 같이 파생될 수 있습니다.

• 베이스 측면 길이: a = S면 / 4h = √(V / h);
• 높이 또는 측면 리브 길이: h = S면 / 4a = V / a²;
• 기본 면적: Sbas = V/h;
• 측면 면적: 옆 gr = 측면 / 4.

대각선 부분의 면적을 결정하려면 대각선의 길이와 도형의 높이를 알아야 합니다. 정사각형의 경우 d = a√2.그러므로:

시아그 = 아√2

프리즘의 대각선을 계산하려면 다음 공식을 사용하십시오.

d상 = √(2a² + h²)

주어진 관계를 적용하는 방법을 이해하려면 몇 가지 간단한 작업을 연습하고 해결해 보세요.

솔루션 문제의 예

다음은 수학의 주 최종 시험에서 볼 수 있는 몇 가지 과제입니다.

연습 1.

정사각형 프리즘 모양의 상자에 모래를 붓습니다. 레벨의 높이는 10cm입니다. 같은 모양이지만 바닥 길이가 두 배인 용기로 옮기면 모래 레벨은 어떻게 될까요?

다음과 같이 추론해야합니다. 첫 번째와 두 번째 용기에 들어 있는 모래의 양은 변하지 않았습니다. 즉, 그 안에 들어 있는 모래의 양은 동일합니다. 밑면의 길이를 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. ㅏ. 이 경우 첫 번째 상자의 물질 부피는 다음과 같습니다.

V₁ = ha² = 10a²

두 번째 상자의 경우 밑면의 길이는 다음과 같습니다. 2a, 그러나 모래 높이의 높이는 알 수 없습니다.

V² = h (2a)² = 4ha²

왜냐하면 V₁ = V², 우리는 표현을 동일시할 수 있습니다:

10a² = 4ha²

방정식의 양변을 a²로 줄이면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

결과적으로 새로운 모래 수준은 다음과 같습니다. h = 10 / 4 = 2.5센티미터.

작업 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁는 올바른 프리즘입니다. BD = AB₁ = 6√2로 알려져 있습니다. 신체의 전체 표면적을 구하십시오.

알려진 요소를 더 쉽게 이해하기 위해 그림을 그릴 수 있습니다.

우리는 정 프리즘에 대해 이야기하고 있으므로 밑면에 대각선이 6√2인 정사각형이 있다고 결론을 내릴 수 있습니다. 옆면의 대각선의 크기가 같으므로 옆면도 밑면과 같은 정사각형 모양을 갖습니다. 길이, 너비, 높이의 세 가지 치수가 모두 동일한 것으로 나타났습니다. ABCDA₁B₁C₁D₁는 정육면체라는 결론을 내릴 수 있습니다.

모서리의 길이는 알려진 대각선을 통해 결정됩니다.

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

전체 표면적은 큐브 공식을 사용하여 구합니다.

스풀 = 6a² = 6 6² = 216

작업 3.

방은 개조 중입니다. 바닥은 9m² 면적의 정사각형 모양으로 알려져 있습니다. 방의 높이는 2.5m입니다. 1m²가 50루블인 경우 방 벽지의 최저 비용은 얼마입니까?

바닥과 천장이 정사각형, 즉 정사각형이고 벽이 수평면에 수직이므로 정다각형 프리즘이라고 결론을 내릴 수 있습니다. 측면의 면적을 결정하는 것이 필요합니다.

방의 길이는 a = √9 = 3중.

해당 부분은 벽지로 덮을 예정입니다 측면 = 4 3 2.5 = 30m².

이 방의 벽지 가격이 가장 저렴합니다. 50·30 = 1500루블

따라서 직사각형 프리즘과 관련된 문제를 해결하려면 정사각형과 직사각형의 면적과 둘레를 계산할 수 있을 뿐만 아니라 부피와 표면적을 구하는 공식을 아는 것만으로도 충분합니다.

큐브의 면적을 찾는 방법

정의 1. 프리즘 표면
정리 1. 프리즘 표면의 평행 단면
정의 2. 프리즘 표면의 수직 단면
정의 3. 프리즘
정의 4. 프리즘 높이
정의 5. 직각 프리즘
정리 2. 프리즘의 측면 표면적

평행육면체:
정의 6. 평행육면체
정리 3. 평행 육면체의 대각선 교차점
정의 7. 직육면체
정의 8. 직육면체
정의 9. 평행육면체의 측정
정의 10. 큐브
정의 11. 능면체
정리 4. 직육면체의 대각선
정리 5. 프리즘의 부피
정리 6. 직선 프리즘의 부피
정리 7. 직육면체의 부피

프리즘는 두 면(밑면)이 평행한 평면에 있고 이 면에 있지 않은 모서리가 서로 평행한 다면체입니다.
베이스 이외의 면을 호출합니다. 옆쪽.
측면과 밑면의 측면을 호출합니다. 프리즘 갈비, 가장자리의 끝을 호출합니다. 프리즘의 꼭지점. 측면 갈비뼈베이스에 속하지 않는 모서리가 호출됩니다. 측면 결합이라고합니다. 프리즘의 측면, 모든 면의 결합을 호출합니다. 프리즘의 전체 표면. 프리즘 높이상부 밑면에서 하부 밑면까지 떨어지는 수직선 또는 이 수직선의 길이라고 합니다. 다이렉트 프리즘측면 리브가 베이스 평면에 수직인 프리즘이라고 합니다. 옳은직선 프리즘(그림 3)이라고 하며 그 밑면에는 정다각형이 있습니다.

명칭:
내가 - 측면 갈비뼈;
P - 기본 둘레;
S o - 기본 면적;
H - 높이;
P^ - 수직 단면 둘레;
Sb - 측면 표면적;
V - 볼륨;
S p는 프리즘의 전체 표면적입니다.

정의 2 . 프리즘 표면의 수직 단면은 모서리에 수직인 평면에 의한 이 표면의 단면입니다. 이전 정리에 따르면 동일한 프리즘 표면의 모든 수직 단면은 동일한 다각형이 됩니다.

정의 3 . 프리즘은 프리즘 표면과 서로 평행한 두 평면(그러나 프리즘 표면의 가장자리와 평행하지 않음)으로 둘러싸인 다면체입니다.
이 마지막 평면에 누워 있는 얼굴을 프리즘 베이스; 프리즘 표면에 속하는 면 - 옆면; 프리즘 표면의 가장자리 - 프리즘의 측면 갈비뼈. 이전 정리에 따라 프리즘의 밑면은 다음과 같습니다. 동일한 다각형. 프리즘의 모든 측면 - 평행사변형; 모든 측면 갈비뼈는 서로 동일합니다.
분명히, 프리즘의 밑면 ABCDE와 모서리 AA" 중 하나의 크기와 방향이 주어지면 모서리 BB", CC", ...를 모서리 AA"와 동일하고 평행하게 그려 프리즘을 구성하는 것이 가능합니다. .

정의 4 . 프리즘의 높이는 밑면 사이의 거리(HH")입니다.

정의 5 . 프리즘의 밑면이 프리즘 표면의 수직 단면인 경우 프리즘을 직선이라고 합니다. 이 경우 프리즘의 높이는 물론 옆갈비; 측면 가장자리는 직사각형.
프리즘은 밑면이 되는 다각형의 변의 수와 같은 측면의 수에 따라 분류될 수 있습니다. 따라서 프리즘은 삼각형, 사각형, 오각형 등이 될 수 있습니다.

정리 2 . 프리즘의 측면 표면적은 측면 가장자리와 수직 단면의 둘레의 곱과 같습니다.
ABCDEA"B"C"D"E"를 프리즘으로 하고 수직 단면을 abcde로 하여 세그먼트 ab, bc, ..가 측면 모서리에 수직이 되도록 합니다. 면 ABA"B"는 평행사변형입니다. ab와 일치하는 높이에 밑변 AA "를 곱한 것과 같습니다. 면 ВСВ "С"의 면적은 밑면 ВВ"에 높이 bc를 곱한 것과 같습니다. 결과적으로 측면(즉, 측면 면적의 합)은 제품과 같습니다. 측면 가장자리의 즉, ab+bc+cd+de+ea 양에 대한 세그먼트 AA", ВВ", ..의 전체 길이입니다.

정의.

이것은 밑면이 두 개의 동일한 정사각형이고 측면이 동일한 직사각형인 육각형입니다.

사이드 리브- 인접한 두 측면의 공통 측면입니다.

프리즘 높이- 이것은 프리즘의 밑면에 수직인 부분입니다.

프리즘 대각선- 같은 면에 속하지 않는 두 꼭지점을 연결하는 선분

대각선 평면- 프리즘의 대각선과 측면 모서리를 통과하는 평면

대각선 부분- 프리즘과 대각선 평면의 교차점의 경계. 정사각기둥의 대각선 단면은 직사각형이다

수직 단면(직교 단면)- 이것은 프리즘과 측면 가장자리에 수직으로 그려진 평면의 교차점입니다.

정사각형 프리즘의 요소

그림은 해당 문자로 표시된 두 개의 정사각형 프리즘을 보여줍니다.

• 염기 ABCD와 A 1 B 1 C 1 D 1은 서로 동일하고 평행합니다.
• 측면 AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C 및 CC 1 D 1 D, 각각 직사각형임
• 측면 - 프리즘의 모든 측면 면적의 합
• 전체 표면적 - 모든 밑면과 측면의 면적의 합 (측면과 밑면의 면적의 합)
• 사이드 리브 AA 1, BB 1, CC 1 및 DD 1.
• 대각선 B 1 D
• 기본 대각선 BD
• 대각선 단면 BB 1 D 1 D
• 수직 단면 A 2 B 2 C 2 D 2.

정사각형 프리즘의 특성

• 밑변은 두 개의 동일한 정사각형입니다.
• 베이스는 서로 평행하다.
• 옆면은 직사각형이다.
• 측면 가장자리가 서로 동일합니다.
• 측면은 베이스에 수직입니다.
• 측면 갈비뼈는 서로 평행하고 동일합니다.
• 모든 측면 리브에 수직이고 베이스에 평행한 수직 단면
• 수직 단면의 각도 - 직선
• 정사각기둥의 대각선 단면은 직사각형이다
• 베이스에 평행한 수직(직교 단면)

정사각형 프리즘의 공식

문제 해결 지침

올바른 프리즘- 밑면에 정다각형이 있고 측면 가장자리가 밑면에 수직인 프리즘입니다. 즉, 정사각형 프리즘은 밑면에 다음을 포함합니다. 정사각형. (위의 정사각형 프리즘의 특성 참조) 메모. 이것은 기하학 문제(단면 입체 측정 - 프리즘)에 대한 수업의 일부입니다. 해결하기 어려운 문제는 다음과 같습니다. 여기에 없는 기하학 문제를 해결해야 한다면 포럼에 글을 써주세요.. 문제 해결 시 제곱근을 추출하는 동작을 나타내기 위해 기호가 사용됩니다.√ .

일.

정기둥의 대각선은 밑면의 대각선과 프리즘의 높이와 직각삼각형을 이룹니다. 따라서 피타고라스 정리에 따르면 주어진 정사각형 프리즘의 대각선은 다음과 같습니다.
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22cm

답변: 22cm

일

해결책.
정사각기둥의 밑면은 정사각형이므로 피타고라스 정리를 사용하여 밑면(a로 표시됨)의 변을 찾습니다.

에이 2 + 에이 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5

그러면 측면의 높이(h로 표시됨)는 다음과 같습니다.

H 2 + 12.5 = 4 2
h 2 + 12.5 = 16
h 2 = 3.5
h = √3.5

전체 표면적은 측면 표면적과 밑면적의 두 배를 합한 것과 같습니다.

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12.5 * √3.5
에스 = 25 + 4√43.75
에스 = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≒ 51.46cm 2.

답: 25 + 10√7 ≒ 51.46cm 2.

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강의: 프리즘, 베이스, 측면 리브, 높이, 측면; 직선 프리즘; 올바른 프리즘

프리즘

이전 질문을 통해 평면 도형을 배웠다면 3차원 도형을 공부할 준비가 완전히 완료된 것입니다. 우리가 배울 첫 번째 입체는 프리즘입니다.

프리즘많은 수의 면을 가진 3차원 몸체입니다.

이 도형은 밑면에 두 개의 다각형이 평행한 평면에 있고, 측면이 모두 평행사변형 모양을 이루고 있습니다.

그럼 프리즘이 무엇으로 구성되어 있는지 알아 봅시다. 이렇게 하려면 그림 1에 주의하십시오.

앞서 언급했듯이 프리즘에는 서로 평행한 두 개의 베이스가 있습니다. 이는 오각형 ABCEF와 GMNJK입니다. 게다가 이 다각형은 서로 동일합니다.

프리즘의 다른 모든 면을 측면이라고 하며 평행사변형으로 구성됩니다. 예를 들어 BMNC, AGKF, FKJE 등

모든 측면의 전체 표면을 호출합니다. 측면.

인접한 면의 각 쌍에는 공통된 면이 있습니다. 이 공통 측면을 모서리라고 합니다. 예를 들어 MV, SE, AB 등입니다.

프리즘의 상단과 하단이 수직으로 연결되면 이를 프리즘의 높이라고 합니다. 그림에서 높이는 직선 OO 1로 표시되어 있습니다.

프리즘에는 경사형과 직선형의 두 가지 주요 유형이 있습니다.

프리즘의 측면 가장자리가 베이스에 수직이 아닌 경우 이러한 프리즘을 호출합니다. 기울어진.

프리즘의 모든 모서리가 밑면에 수직인 경우 이러한 프리즘을 프리즘이라고 합니다. 똑바로.

프리즘의 밑면에 정다각형(변이 같은 다각형)이 포함되어 있으면 이러한 프리즘을 프리즘이라고 합니다. 옳은.

프리즘의 밑면이 서로 평행하지 않은 경우 이러한 프리즘을 프리즘이라고 합니다. 잘렸습니다.

그림 2에서 볼 수 있습니다.

프리즘의 부피와 면적을 구하는 공식

부피를 구하는 세 가지 기본 공식이 있습니다. 응용 프로그램이 서로 다릅니다.

프리즘의 표면적을 찾는 유사한 공식: