솔루션을 사용하여 방정식 온라인 계산기의 근을 찾아보세요. 두 변수의 방정식 풀기

최종 시험 준비 단계에서 고등학생은 "지수 방정식"이라는 주제에 대한 지식을 향상시켜야 합니다. 지난 몇 년간의 경험에 따르면 그러한 작업이 학생들에게 특정 어려움을 초래한다는 것을 나타냅니다. 그러므로 고등학생은 준비 정도에 관계없이 이론을 철저히 숙지하고 공식을 기억하며 방정식을 푸는 원리를 이해해야 합니다. 이러한 유형의 문제에 대처하는 방법을 배운 졸업생은 수학 통합 상태 시험에 합격할 때 높은 점수를 기대할 수 있습니다.

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자료를 더 잘 이해하려면 과제 완료를 연습해 보는 것이 좋습니다. 계산 알고리즘을 이해하려면 이 페이지에 제시된 솔루션이 포함된 지수 방정식의 예를 주의 깊게 검토하세요. 그런 다음 "디렉터리" 섹션에서 작업을 수행합니다. 가장 쉬운 작업부터 시작하거나 여러 미지수 또는 가 포함된 복잡한 지수 방정식을 푸는 작업으로 바로 이동할 수 있습니다. 우리 웹사이트의 운동 데이터베이스는 지속적으로 보완되고 업데이트됩니다.

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I. 도끼 2 =0 – 불완전한 이차 방정식 (b=0, c=0 ). 해결책: x=0. 답: 0.

방정식을 푼다.

2x·(x+3)=6x-x 2 .

해결책.곱셈을 해서 괄호를 열어보자 2배괄호 안의 각 용어에 대해:

2x2 +6x=6x-x2 ; 용어를 오른쪽에서 왼쪽으로 이동합니다.

2x2 +6x-6x+x2 =0; 비슷한 용어는 다음과 같습니다.

3x 2 =0이므로 x=0입니다.

답변: 0.

II. 도끼 2 +bx=0 –불완전한 이차 방정식 (c=0 ). 풀이: x (ax+b)=0 → x 1 =0 또는 ax+b=0 → x 2 =-b/a. 답: 0; -b/a.

5x2 -26x=0.

해결책.공통인수를 빼자 엑스대괄호 외부:

x(5x-26)=0; 각 요소는 0과 같을 수 있습니다.

x=0또는 5x-26=0→ 5x=26, 평등의 양쪽을 다음으로 나눕니다. 5 그리고 우리는 x=5.2를 얻습니다.

답변: 0; 5,2.

예시 3. 64x+4x2 =0.

해결책.공통인수를 빼자 4배대괄호 외부:

4x(16+x)=0. 따라서 4≠0이라는 세 가지 요소가 있습니다. x=0또는 16+x=0. 마지막 평등에서 우리는 x=-16을 얻습니다.

답변: -16; 0.

예시 4.(x-3) 2 +5x=9.

해결책.두 표현식의 차이의 제곱에 대한 공식을 적용하면 괄호가 열립니다.

x 2 -6x+9+5x=9; 다음 형식으로 변환합니다. x 2 -6x+9+5x-9=0; 비슷한 용어를 제시해 보겠습니다.

x 2 -x=0; 우리가 그걸 꺼낼게 엑스괄호 밖에서는 x (x-1)=0을 얻습니다. 여기에서 또는 x=0또는 x-1=0→ x=1.

답변: 0; 1.

III. 도끼 2 +c=0 –불완전한 이차 방정식 (b=0 ); 풀이: ax 2 =-c → x 2 =-c/a.

만약에 (-c/a)<0 , 그러면 실제 뿌리가 없습니다. 만약에 (-с/а)>0

실시예 5. x 2 -49=0.

해결책.

x 2 =49, 여기서부터 x=±7. 답변:-7; 7.

실시예 6. 9x2 -4=0.

해결책.

종종 이차 방정식의 근의 제곱합(x 1 2 +x 2 2) 또는 세제곱의 합(x 1 3 +x 2 3)을 찾아야 하는 경우가 많으며, 덜 자주 - 역수 값의 합 ​근의 제곱 또는 이차 방정식의 근의 산술 제곱근의 합:

Vieta의 정리는 이에 도움이 될 수 있습니다.

x 2 +px+q=0

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.

표현해보자 ~을 통해 피그리고 큐:

1) 방정식 근의 제곱합 x 2 +px+q=0;

2) 방정식의 근의 세제곱의 합 x 2 +px+q=0.

해결책.

1) 표현 x 1 2 + x 2 2방정식의 양변을 제곱하여 얻은 것 x 1 + x 2 = -p;

(x 1 +x 2) 2 =(-p) 2 ; 괄호를 엽니다: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2 ; 필요한 양을 x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2x 1 x 2 =p 2 -2q로 표현합니다. 우리는 유용한 동등성을 얻었습니다. x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

2) 표현 x 1 3 +x 2 3공식을 사용하여 큐브의 합을 표현해 보겠습니다.

(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p·(p 2 -2q-q)=-p·(p 2 -3q).

또 다른 유용한 방정식: x 1 3 +x 2 3 = -p·(p 2 -3q).

예.

3) x 2 -3x-4=0.방정식을 풀지 않고 표현식의 값을 계산하십시오. x 1 2 + x 2 2.

해결책.

x 1 +x 2 =-p=3,그리고 그 일 x 1 ∙x 2 =q=예 1에서) 평등:

x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.우리는 -피=엑스 1 +엑스 2 = 3 → p 2 =3 2 =9; q= x 1 x 2 = -4. 그 다음에 x 1 2 +x 2 2 =9-2·(-4)=9+8=17.

답변: x 1 2 +x 2 2 =17.

4) x 2 -2x-4=0.계산: x 1 3 +x 2 3 .

해결책.

비에타(Vieta)의 정리에 따르면 이 축소된 이차 방정식의 근의 합은 다음과 같습니다. x 1 +x 2 =-p=2,그리고 그 일 x 1 ∙x 2 =q=-4. 받은 것을 적용해보자( 예 2에서) 평등: x 1 3 +x 2 3 =-p·(p 2 -3q)= 2·(2·2 -3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.

답변: x 1 3 +x 2 3 =32.

질문: 환원되지 않은 이차 방정식이 주어지면 어떻게 될까요? 답변: 항을 항별로 첫 번째 계수로 나누어 항상 "감소"할 수 있습니다.

5) 2x2 -5x-7=0.결정하지 않고 다음을 계산합니다. x 1 2 + x 2 2.

해결책.우리에게는 완전한 이차 방정식이 주어졌습니다. 등식의 양쪽을 2(첫 번째 계수)로 나누고 다음 이차 방정식을 얻습니다. x 2 -2.5x-3.5=0.

Vieta의 정리에 따르면 근의 합은 다음과 같습니다. 2,5 ; 뿌리의 곱은 다음과 같다 -3,5 .

예시와 같은 방법으로 풀어보겠습니다. 3) 평등을 사용하여 : x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

답변: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.

6) x 2 -5x-2=0.찾다:

이 등식을 변환하고 Vieta의 정리를 사용하여 근의 합을 다음과 같이 바꾸겠습니다. -피, 그리고 뿌리의 산물을 통해 큐, 우리는 또 다른 유용한 공식을 얻습니다. 공식을 도출할 때 평등 1)을 사용했습니다. x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

우리의 예에서는 x 1 +x 2 =-p=5; x 1 ∙x 2 =q=-2. 이 값을 결과 공식에 대체합니다.

7) x 2 -13x+36=0.찾다:

이 합을 변환하고 이차 방정식의 근에서 산술 제곱근의 합을 구하는 데 사용할 수 있는 공식을 구해 보겠습니다.

우리는 x 1 +x 2 =-p=13; x 1 ∙x 2 =q=36. 이 값을 결과 공식에 대체합니다.

조언 : 적절한 방법을 사용하여 이차 방정식의 근을 찾을 가능성을 항상 확인하십시오. 4 검토됨 유용한 공식특히 판별자가 "불편한" 숫자인 경우 작업을 신속하게 완료할 수 있습니다. 모든 간단한 경우에는 뿌리를 찾아서 작동하십시오. 예를 들어, 마지막 예에서는 Vieta의 정리를 사용하여 근을 선택합니다. 근의 합은 다음과 같아야 합니다. 13 , 그리고 뿌리의 산물 36 . 이 숫자는 무엇입니까? 틀림없이, 4와 9.이제 다음 숫자의 제곱근의 합을 계산합니다. 2+3=5. 그게 다야!

I. 비에타의 정리축소된 이차 방정식의 경우.

축소된 이차 방정식의 근의 합 x 2 +px+q=0반대 부호를 사용하여 취한 두 번째 계수와 같고 근의 곱은 자유 항과 같습니다.

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.

비에타의 정리를 사용하여 주어진 이차 방정식의 근을 구합니다.

예 1) x 2 -x-30=0.이것은 축소된 이차 방정식입니다. ( x 2 +px+q=0), 두 번째 계수 p=-1및 무료 회원 q=-30.먼저, 이 방정식에 근이 있고 근(있는 경우)이 정수로 표현되는지 확인하겠습니다. 이를 위해서는 판별식이 정수의 완전제곱이면 충분합니다.

판별식 찾기 디=b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

이제 Vieta의 정리에 따르면 근의 합은 반대 부호를 사용하여 취한 두 번째 계수와 같아야 합니다. ( -피), 제품은 자유 기간과 동일합니다. ( 큐). 그 다음에:

x 1 +x 2 =1; x 1 ∙x 2 =-30.우리는 곱이 다음과 같도록 두 개의 숫자를 선택해야 합니다. -30 이며, 금액은 다음과 같습니다. 단위. 이것은 숫자입니다 -5 그리고 6 . 답: -5; 6.

예2) x 2 +6x+8=0.두 번째 계수를 사용하여 축소된 이차 방정식이 있습니다. p=6그리고 무료회원 q=8. 정수 근이 있는지 확인합시다. 판별식을 구해보자 디 1 디 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . 판별식 D 1은 숫자의 완전제곱입니다. 1 , 이는 이 방정식의 근이 정수라는 것을 의미합니다. Vieta의 정리를 사용하여 근을 선택해 보겠습니다. 근의 합은 다음과 같습니다. –р=-6, 근의 곱은 다음과 같습니다. q=8. 이것은 숫자입니다 -4 그리고 -2 .

사실: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. 답: -4; -2.

예3) x 2 +2x-4=0. 이 축소된 이차 방정식에서 두 번째 계수는 p=2및 무료 회원 q=-4. 판별식을 구해보자 디 1, 두 번째 계수는 짝수이기 때문입니다. 디 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. 판별식은 숫자의 완전제곱이 아니므로 결론: 이 방정식의 근은 정수가 아니며 비에타의 정리를 사용하여 찾을 수 없습니다.이는 평소와 같이 공식을 사용하여(이 경우 공식을 사용하여) 이 방정식을 푼다는 의미입니다. 우리는 다음을 얻습니다:

예 4).다음과 같은 경우 근을 사용하여 이차 방정식을 작성합니다. x 1 =-7, x 2 =4.

해결책.필요한 방정식은 다음 형식으로 작성됩니다. x 2 +px+q=0, 그리고 Vieta의 정리에 기초하여 -p=x1 +x2=-7+4=-3 → p=3; q=x1 ∙x2=-7∙4=-28 . 그러면 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다. x 2 +3x-28=0.

예 5).다음과 같은 경우 근을 사용하여 이차 방정식을 작성합니다.

II. 비에타의 정리완전한 이차 방정식의 경우 도끼 2 +bx+c=0.

근의 합은 마이너스이다 비, 로 나눈 ㅏ, 근의 곱은 다음과 같습니다. 와 함께, 로 나눈 ㅏ:

x 1 + x 2 = -b/a; x 1 ∙x 2 =c/a.

예 6).이차 방정식의 근의 합 구하기 2x2 -7x-11=0.

해결책.

우리는 이 방정식에 뿌리가 있는지 확인합니다. 이렇게 하려면 판별식을 생성하는 것으로 충분하며 이를 계산하지 않고 판별식이 0보다 큰지 확인하면 됩니다. 디=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . 이제 사용해보자 정리 비에타완전한 이차 방정식의 경우.

x 1 +x 2 =-b:a=- (-7):2=3,5.

예시 7). 이차 방정식의 근의 곱 찾기 3x2 +8x-21=0.

해결책.

판별식을 구해보자 디 1, 두 번째 계수 이후 ( 8 )은 짝수입니다. 디 1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . 이차 방정식은 2 뿌리, 비에타의 정리에 따르면 뿌리의 산물 x 1 ∙x 2 =c:a=-21:3=-7.

I. 도끼 2 +bx+c=0– 일반 이차 방정식

판별식 D=b 2 - 4ac.

만약에 D>0, 그러면 우리는 두 개의 실제 뿌리를 갖게 됩니다:

만약에 D=0, 그러면 단일 근(또는 두 개의 동일한 근)이 있습니다. x=-b/(2a).

만약 D<0, то действительных корней нет.

예 1) 2x2 +5x-3=0.

해결책. ㅏ=2; 비=5; 씨=-3.

D=b 2 - 4ac=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2개의 진짜 뿌리.

4x2 +21x+5=0.

해결책. ㅏ=4; 비=21; 씨=5.

D=b 2 - 4ac=21 2 - 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2개의 진짜 뿌리.

II. 도끼 2 +bx+c=0 – 특정 형태의 이차 방정식 짝수로

계수 비

예 3) 3x2 -10x+3=0.

해결책. ㅏ=3; 비=-10(짝수); 씨=3.

예시 4) 5x2 -14x-3=0.

해결책. ㅏ=5; 비= -14(짝수); 씨=-3.

예시 5) 71x2 +144x+4=0.

해결책. ㅏ=71; 비=144(짝수); 씨=4.

예시 6) 9x2 -30x+25=0.

해결책. ㅏ=9; 비=-30(짝수); 씨=25.

III. 도끼 2 +bx+c=0 – 이차 방정식 개인 유형 제공: a-b+c=0.

첫 번째 근은 항상 마이너스 1과 같고 두 번째 근은 항상 마이너스와 같습니다. 와 함께, 로 나눈 ㅏ:

x 1 =-1, x 2 =-c/a.

예시 7) 2x2 +9x+7=0.

해결책. ㅏ=2; 비=9; 씨=7. 평등을 확인해 봅시다: a-b+c=0.우리는 다음을 얻습니다: 2-9+7=0 .

그 다음에 x 1 =-1, x 2 =-c/a=-7/2=-3.5.답변: -1; -3,5.

IV. 도끼 2 +bx+c=0 – 특정 형태의 이차 방정식 : a+b+c=0.

첫 번째 근은 항상 1과 같고, 두 번째 근은 다음과 같습니다. 와 함께, 로 나눈 ㅏ:

x 1 =1, x 2 =c/a.

실시예 8) 2x2 -9x+7=0.

해결책. ㅏ=2; 비=-9; 씨=7. 평등을 확인해 봅시다: a+b+c=0.우리는 다음을 얻습니다: 2-9+7=0 .

그 다음에 x 1 =1, x 2 =c/a=7/2=3.5.답변: 1; 3,5.

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수학 계산기를 사용하는 방법

1. 디스플레이(계산기 화면)에는 입력된 표현식과 계산 결과가 종이에 쓰는 것처럼 일반 기호로 표시됩니다. 이 필드는 단순히 현재 거래를 보기 위한 것입니다. 입력 줄에 수학 표현식을 입력하면 해당 항목이 디스플레이에 나타납니다.

2. 수식 입력 필드는 계산해야 하는 수식을 기록하기 위한 것입니다. 여기서 주목해야 할 점은 컴퓨터 프로그램에 사용되는 수학 기호는 우리가 일반적으로 종이에 사용하는 기호와 항상 동일하지는 않다는 것입니다. 각 계산기 기능의 개요에서 특정 작업에 대한 올바른 지정과 계산기 계산의 예를 확인할 수 있습니다. 아래 이 페이지에는 계산기에서 가능한 모든 작업 목록과 올바른 철자가 나와 있습니다.

3. 도구 모음 - 해당 작업을 나타내는 수학 기호의 수동 입력을 대체하는 계산기 버튼입니다. 일부 계산기 버튼(추가 기능, 단위 변환기, 행렬 및 방정식 풀기, 그래프)은 특정 계산을 위한 데이터가 입력되는 새 필드로 작업 표시줄을 보완합니다. "기록" 필드에는 수학 표현식 작성의 예와 가장 최근 항목 6개가 포함되어 있습니다.

추가 기능 호출, 단위 변환기, 행렬 및 방정식 풀기, 그래프 그리기 버튼을 누르면 전체 계산기 패널이 위로 이동하여 디스플레이 일부를 덮게 됩니다. 필수 필드를 입력하고 "I" 키(그림에서 빨간색으로 강조 표시됨)를 누르면 전체 크기 디스플레이를 볼 수 있습니다.

4. 숫자 키패드에는 숫자와 산술 기호가 포함되어 있습니다. "C" 버튼은 표현식 입력 필드의 전체 항목을 삭제합니다. 문자를 하나씩 삭제하려면 입력줄 오른쪽에 있는 화살표를 사용해야 합니다.

표현식 끝에는 항상 괄호를 닫도록 하세요. 대부분의 작업에서는 이것이 중요하지 않습니다. 온라인 계산기는 모든 것을 정확하게 계산합니다. 그러나 경우에 따라 오류가 발생할 수 있습니다. 예를 들어, 분수로 거듭제곱할 때 닫히지 않은 괄호를 사용하면 지수의 분수 분모가 밑의 분모로 들어가게 됩니다. 닫는 괄호는 디스플레이에 연한 회색으로 표시되며 녹음이 완료되면 닫혀야 합니다.

방정식의 사용은 우리 삶에 널리 퍼져 있습니다. 그들은 많은 계산, 구조물 건설, 심지어 스포츠에도 사용됩니다. 인간은 고대에 방정식을 사용했으며 그 이후로 그 사용이 증가했습니다. 거듭제곱 또는 지수 방정식은 변수가 거듭제곱이고 밑이 숫자인 방정식입니다. 예를 들어:

지수 방정식을 푸는 것은 매우 간단한 2단계로 이루어집니다.

1. 오른쪽과 왼쪽 방정식의 밑이 같은지 확인해야 합니다. 이유가 동일하지 않은 경우 이 예를 해결하기 위한 옵션을 찾습니다.

2. 밑수가 동일해지면 각도를 동일시하고 결과로 나오는 새 방정식을 풉니다.

다음 형식의 지수 방정식이 주어졌다고 가정합니다.

기초 분석을 통해 이 방정식의 해를 시작하는 것이 좋습니다. 2와 4의 기본은 다르지만 해결하려면 둘이 동일해야 하므로 다음 공식 -\[ (a^n)^m = a^(nm):\]을 사용하여 4를 변환합니다.

원래 방정식에 다음을 추가합니다.

괄호에서 빼내자 \

\를 표현해보자

정도가 동일하므로 폐기합니다.

답변: \

온라인 솔버를 사용하여 지수 방정식을 어디에서 풀 수 있나요?

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8학년 때 이차 방정식을 공부하므로 여기에는 복잡한 것이 없습니다. 이를 해결하는 능력이 반드시 필요합니다.

2차 방정식은 ax 2 + bx + c = 0 형식의 방정식입니다. 여기서 계수 a, b 및 c는 임의의 숫자이고 a ≠ 0입니다.

특정 해법을 연구하기 전에 모든 이차 방정식은 세 가지 클래스로 나눌 수 있다는 점에 유의하세요.

1. 뿌리가 없네;
2. 정확히 하나의 루트를 가집니다.
3. 그들은 두 가지 다른 뿌리를 가지고 있습니다.

이는 근이 항상 존재하고 고유한 이차 방정식과 선형 방정식 간의 중요한 차이점입니다. 방정식에 몇 개의 근이 있는지 확인하는 방법은 무엇입니까? 여기에는 놀라운 일이 있습니다. 판별력이 있는.

판별식

이차 방정식 ax 2 + bx + c = 0이 주어지면 판별식은 단순히 숫자 D = b 2 − 4ac입니다.

이 공식을 외워야 합니다. 그것이 어디서 왔는지는 이제 중요하지 않습니다. 또 다른 중요한 점은 판별식의 부호를 통해 이차 방정식의 근 수를 결정할 수 있다는 것입니다. 즉:

1. 만약 D< 0, корней нет;
2. D = 0이면 정확히 하나의 근이 있습니다.
3. D > 0이면 두 개의 근이 있습니다.

참고 사항: 판별식은 많은 사람들이 믿는 것처럼 루트의 수를 나타내는 것이지 모든 기호를 나타내는 것은 아닙니다. 예제를 살펴보면 모든 것을 스스로 이해할 수 있습니다.

일. 이차 방정식에는 몇 개의 근이 있습니까?

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

첫 번째 방정식의 계수를 작성하고 판별식을 찾아보겠습니다.
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

따라서 판별식은 양수이므로 방정식에는 두 개의 다른 근이 있습니다. 비슷한 방식으로 두 번째 방정식을 분석합니다.
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

판별식이 음수이고 뿌리가 없습니다. 남은 마지막 방정식은 다음과 같습니다.
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

판별식은 0입니다. 근은 1이 됩니다.

각 방정식에 대한 계수가 기록되어 있습니다. 예, 길고, 지루합니다. 하지만 확률을 혼동하거나 어리석은 실수를 저지르지는 않을 것입니다. 속도나 품질 중에서 직접 선택하세요.

그건 그렇고, 익숙해지면 잠시 후에 모든 계수를 적을 필요가 없습니다. 당신은 당신의 머리 속에서 그러한 작업을 수행하게 될 것입니다. 대부분의 사람들은 50-70개의 방정식을 풀고 나서 이 작업을 시작합니다. 일반적으로 그렇게 많지는 않습니다.

이차 방정식의 근

이제 솔루션 자체로 넘어 갑시다. 판별식 D > 0이면 다음 공식을 사용하여 근을 찾을 수 있습니다.

이차 방정식의 근에 대한 기본 공식

D = 0이면 다음 공식 중 하나를 사용할 수 있습니다. 답이 되는 동일한 숫자를 얻게 됩니다. 마지막으로 만약 D라면< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

첫 번째 방정식:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ 방정식에는 두 개의 근이 있습니다. 찾아보자:

두 번째 방정식:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ 방정식에는 다시 두 개의 근이 있습니다. 찾아보자

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(정렬)\]

마지막으로 세 번째 방정식은 다음과 같습니다.
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ 방정식의 근은 1개입니다. 어떤 수식이라도 사용할 수 있습니다. 예를 들어 첫 번째는 다음과 같습니다.

예제에서 볼 수 있듯이 모든 것이 매우 간단합니다. 공식을 알고 셀 수 있다면 문제가 없습니다. 대부분의 경우 음수 계수를 공식에 대체할 때 오류가 발생합니다. 여기서도 위에서 설명한 기술이 도움이 될 것입니다. 공식을 문자 그대로 살펴보고 각 단계를 기록하면 곧 실수를 없앨 수 있습니다.

불완전한 이차 방정식

이차 방정식은 정의에 제공된 것과 약간 다릅니다. 예를 들어:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

이 방정식에는 항 중 하나가 누락되어 있음을 쉽게 알 수 있습니다. 이러한 이차 방정식은 표준 방정식보다 풀기 훨씬 쉽습니다. 판별식을 계산할 필요도 없습니다. 이제 새로운 개념을 소개하겠습니다.

방정식 ax 2 + bx + c = 0은 b = 0 또는 c = 0인 경우 불완전 이차 방정식이라고 합니다. 즉, 변수 x의 계수 또는 자유 요소는 0과 같습니다.

물론, 이 두 계수가 모두 0일 때 매우 어려운 경우가 가능합니다: b = c = 0. 이 경우 방정식은 ax 2 = 0 형식을 취합니다. 분명히 이러한 방정식에는 단일 근이 있습니다. x = 0.

나머지 경우를 고려해 봅시다. b = 0이라고 하면 ax 2 + c = 0 형식의 불완전한 2차 방정식을 얻습니다. 이를 조금 변형해 보겠습니다.

산술 제곱근은 음수가 아닌 숫자로만 존재하므로 마지막 동일성은 (−c /a) ≥ 0인 경우에만 의미가 있습니다. 결론:

1. ax 2 + c = 0 형식의 불완전한 이차 방정식에서 부등식 (−c /a) ≥ 0이 충족되면 두 개의 근이 있게 됩니다. 공식은 위에 나와 있습니다.
2. 만약 (−c /a)< 0, корней нет.

보시다시피 판별식은 필요하지 않습니다. 불완전한 이차 방정식에는 복잡한 계산이 전혀 없습니다. 실제로 부등식 (−c /a) ≥ 0을 기억할 필요조차 없습니다. x 2 값을 표현하고 등호 반대편에 무엇이 있는지 확인하는 것만으로도 충분합니다. 양수가 있으면 두 개의 근이 있습니다. 음수이면 뿌리가 전혀 없습니다.

이제 자유 요소가 0인 ax 2 + bx = 0 형식의 방정식을 살펴보겠습니다. 여기에서는 모든 것이 간단합니다. 항상 두 개의 뿌리가 있습니다. 다항식을 인수분해하는 것으로 충분합니다:

요인 중 하나 이상이 0이면 제품은 0입니다. 이것이 뿌리가 나오는 곳입니다. 결론적으로 다음 방정식 중 몇 가지를 살펴보겠습니다.

일. 2차 방정식을 푼다:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. 뿌리가 없으니까 정사각형은 음수와 같을 수 없습니다.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = -1.5.