Oscillazioni e onde. Moto oscillatorio armonico

Vibrazioni armoniche

Grafici di funzioni F(X) = peccato( X) E G(X) = cos( X) sul piano cartesiano.

Oscillazione armonica- oscillazioni in cui una grandezza fisica (o qualsiasi altra) cambia nel tempo secondo una legge sinusoidale o coseno. L'equazione cinematica delle oscillazioni armoniche ha la forma

Dove X- spostamento (deviazione) del punto oscillante dalla posizione di equilibrio al tempo t; UN- ampiezza delle oscillazioni, è il valore che determina la massima deviazione del punto oscillante dalla posizione di equilibrio; ω - frequenza ciclica, valore che indica il numero di oscillazioni complete che si verificano entro 2π secondi - fase completa delle oscillazioni, - fase iniziale delle oscillazioni.

Oscillazione armonica generalizzata in forma differenziale

(Qualsiasi soluzione non banale a questa equazione differenziale è un'oscillazione armonica con frequenza ciclica)

Tipi di vibrazioni

Evoluzione temporale di spostamento, velocità e accelerazione nel moto armonico

• Vibrazioni libere vengono effettuate sotto l'influenza delle forze interne del sistema dopo che il sistema è stato rimosso dalla sua posizione di equilibrio. Affinché le oscillazioni libere siano armoniche, è necessario che il sistema oscillatorio sia lineare (descritto da equazioni lineari del moto), e non vi sia in esso alcuna dissipazione di energia (quest'ultima causerebbe attenuazione).
• Vibrazioni forzate vengono eseguiti sotto l'influenza di una forza periodica esterna. Perché siano armonici, è sufficiente che il sistema oscillatorio sia lineare (descritto da equazioni lineari del moto) e che la forza esterna stessa cambi nel tempo come un'oscillazione armonica (cioè che la dipendenza dal tempo di questa forza sia sinusoidale) .

Applicazione

Le vibrazioni armoniche si distinguono da tutti gli altri tipi di vibrazioni per i seguenti motivi:

Guarda anche

Appunti

Letteratura

• Fisica. Libro di testo elementare di fisica / Ed. GS Lansberg. - 3a ed. - M., 1962. - T. 3.
• Khaikin S.E. Fondamenti fisici della meccanica. - M., 1963.
• A. M. Afonin. Fondamenti fisici della meccanica. -Ed. MSTU im. Baumann, 2006.
• Gorelik G.S. Oscillazioni e onde. Introduzione all'acustica, alla radiofisica e all'ottica. - M.: Fizmatlit, 1959. - 572 p.

Fondazione Wikimedia. 2010.

Scopri cosa sono le "oscillazioni armoniche" in altri dizionari:

Enciclopedia moderna

Vibrazioni armoniche- VIBRAZIONI ARMONICHE, variazioni periodiche di una grandezza fisica che avvengono secondo la legge del seno. Graficamente, le oscillazioni armoniche sono rappresentate da una curva sinusoidale. Le oscillazioni armoniche sono il tipo più semplice di movimenti periodici, caratterizzati da... Dizionario enciclopedico illustrato

Oscillazioni in cui una grandezza fisica cambia nel tempo secondo la legge del seno o del coseno. Graficamente, i GK sono rappresentati da un'onda sinusoidale curva o onda coseno (vedi figura); possono essere scritti nella forma: x = Asin (ωt + φ) oppure x... Grande Enciclopedia Sovietica

VIBRAZIONI ARMONICHE, movimento periodico come il movimento di un PENDOLO, vibrazioni atomiche o oscillazioni in un circuito elettrico. Un corpo compie oscillazioni armoniche non smorzate quando oscilla lungo una linea, muovendo la stessa... ... Dizionario enciclopedico scientifico e tecnico

Oscillazioni, con quali fisiche (o qualsiasi altra) quantità cambia nel tempo secondo una legge sinusoidale: x=Asin(wt+j), dove x è il valore della quantità fluttuante in un dato momento. momento del tempo t (per G.K. meccanico, ad esempio, spostamento o velocità, per ... ... Enciclopedia fisica

vibrazioni armoniche- Oscillazioni meccaniche, in cui la coordinata generalizzata e (o) la velocità generalizzata cambiano in proporzione al seno con un argomento linearmente dipendente dal tempo. [Raccolta di termini consigliati. Numero 106. Vibrazioni meccaniche. Accademia delle Scienze… Guida del traduttore tecnico

Oscillazioni, con quali fisiche (o qualsiasi altra) quantità cambia nel tempo secondo una legge sinusoidale, dove x è il valore della quantità oscillante al tempo t (per i sistemi idraulici meccanici, ad esempio, spostamento e velocità, per tensione elettrica e intensità di corrente) ... Enciclopedia fisica

VIBRAZIONI ARMONICHE- (vedi), in cui fisico. una quantità cambia nel tempo secondo la legge del seno o del coseno (ad esempio, cambia (vedi) e la velocità durante l'oscillazione (vedi) o cambia (vedi) e l'intensità della corrente durante i circuiti elettrici) ... Grande Enciclopedia del Politecnico

Sono caratterizzati da una variazione del valore oscillante x (ad esempio, la deviazione del pendolo dalla posizione di equilibrio, la tensione nel circuito di corrente alternata, ecc.) nel tempo t secondo la legge: x = Asin (?t + ?), dove A è l'ampiezza delle oscillazioni armoniche, ? angolo... ... Grande dizionario enciclopedico

Vibrazioni armoniche- 19. Oscillazioni armoniche Oscillazioni in cui i valori della grandezza oscillante cambiano nel tempo secondo la legge Fonte ... Dizionario-libro di consultazione dei termini della documentazione normativa e tecnica

Periodico fluttuazioni, in cui i cambiamenti nel tempo fisico. le quantità si verificano secondo la legge del seno o coseno (vedi figura): s = Аsin(wt+ф0), dove s è la deviazione della quantità oscillante dalla sua media. valore (di equilibrio), A=cost ampiezza, w= cost circolare... Grande Dizionario Enciclopedico Politecnico

Movimento oscillatorio- movimento periodico o quasi periodico di un corpo, le cui coordinate, velocità e accelerazione ad intervalli di tempo uguali assumono approssimativamente gli stessi valori.

Le vibrazioni meccaniche si verificano quando, quando un corpo viene spostato da una posizione di equilibrio, appare una forza che tende a riportare indietro il corpo.

Lo spostamento x è la deviazione del corpo dalla posizione di equilibrio.

L'ampiezza A è il modulo dello spostamento massimo del corpo.

Periodo di oscillazione T - tempo di un'oscillazione:

Frequenza di oscillazione

Il numero di oscillazioni eseguite da un corpo nell'unità di tempo: Durante le oscillazioni, la velocità e l'accelerazione cambiano periodicamente. Nella posizione di equilibrio la velocità è massima e l'accelerazione è nulla. Nei punti di massimo spostamento l'accelerazione raggiunge il massimo e la velocità diventa zero.

SCHEMA DI VIBRAZIONE ARMONICA

Armonico le vibrazioni che si verificano secondo la legge del seno o del coseno sono chiamate:

dove x(t) è lo spostamento del sistema al tempo t, A è l'ampiezza, ω è la frequenza ciclica delle oscillazioni.

Se tracciamo la deviazione del corpo dalla posizione di equilibrio lungo l'asse verticale e il tempo lungo l'asse orizzontale, otterremo un grafico dell'oscillazione x = x(t) - la dipendenza dello spostamento del corpo dal tempo. Per le oscillazioni armoniche libere, è un'onda sinusoidale o cosenosa. La figura mostra i grafici della dipendenza dello spostamento x, delle proiezioni della velocità V x e dell'accelerazione a x dal tempo.

Come si vede dai grafici, al massimo spostamento x, la velocità V del corpo oscillante è nulla, l'accelerazione a, e quindi la forza agente sul corpo, è massima e diretta in senso opposto allo spostamento. Nella posizione di equilibrio, lo spostamento e l'accelerazione diventano zero e la velocità è massima. La proiezione dell'accelerazione ha sempre il segno opposto allo spostamento.

ENERGIA DEL MOTO VIBRAZIONALE

L'energia meccanica totale di un corpo oscillante è pari alla somma della sua energia cinetica e potenziale e, in assenza di attrito, rimane costante:

Nel momento in cui lo spostamento raggiunge il massimo x = A, la velocità, e con essa l'energia cinetica, va a zero.

In questo caso l’energia totale è uguale all’energia potenziale:

L'energia meccanica totale di un corpo oscillante è proporzionale al quadrato dell'ampiezza delle sue oscillazioni.

Quando il sistema supera la posizione di equilibrio, lo spostamento e l'energia potenziale sono pari a zero: x = 0, E p = 0. Pertanto, l'energia totale è uguale all'energia cinetica:

L'energia meccanica totale di un corpo oscillante è proporzionale al quadrato della sua velocità nella posizione di equilibrio. Quindi:

PENDOLO MATEMATICO

1. Pendolo matematicoè un punto materiale sospeso su un filo inestensibile senza peso.

Nella posizione di equilibrio, la forza di gravità è compensata dalla tensione del filo. Se il pendolo viene deviato e rilasciato, le forze cesseranno di compensarsi a vicenda e si formerà una forza risultante diretta verso la posizione di equilibrio. Seconda legge di Newton:

Per piccole oscillazioni, quando lo spostamento x è molto inferiore a l, il punto materiale si sposterà quasi lungo l'asse x orizzontale. Allora dal triangolo MAB otteniamo:

Perché peccato a = x/l, allora la proiezione della forza risultante R sull'asse x è uguale a

Il segno meno indica che la forza R è sempre diretta in direzione opposta allo spostamento x.

2. Quindi, durante le oscillazioni di un pendolo matematico, così come durante le oscillazioni di un pendolo a molla, la forza di richiamo è proporzionale allo spostamento ed è diretta nella direzione opposta.

Confrontiamo le espressioni per la forza di richiamo dei pendoli matematici e a molla:

Si può vedere che mg/l è un analogo di k. Sostituendo k con mg/l nella formula per il periodo di un pendolo a molla

otteniamo la formula per il periodo di un pendolo matematico:

Il periodo delle piccole oscillazioni di un pendolo matematico non dipende dall'ampiezza.

Un pendolo matematico viene utilizzato per misurare il tempo e determinare l'accelerazione di gravità in un determinato punto della superficie terrestre.

Le oscillazioni libere di un pendolo matematico a piccoli angoli di deflessione sono armoniche. Si verificano a causa della forza di gravità risultante e della forza di tensione del filo, nonché dell'inerzia del carico. La risultante di queste forze è la forza di ripristino.

Esempio. Determina l'accelerazione dovuta alla gravità su un pianeta in cui un pendolo lungo 6,25 m ha un periodo di oscillazione libera di 3,14 s.

Il periodo di oscillazione di un pendolo matematico dipende dalla lunghezza del filo e dall'accelerazione di gravità:

Elevando al quadrato entrambi i membri dell'uguaglianza, otteniamo:

Risposta: l'accelerazione di gravità è 25 m/s 2 .

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1.Determinazione del movimento oscillatorio

Movimento oscillatorio- Questo è un movimento che si ripete esattamente o approssimativamente a intervalli regolari. Particolarmente enfatizzato è lo studio del moto oscillatorio in fisica. Ciò è dovuto alla comunanza dei modelli di movimento oscillatorio di varia natura e ai metodi del suo studio. Le vibrazioni e le onde meccaniche, acustiche, elettromagnetiche sono considerate da un unico punto di vista. Il movimento oscillatorio è caratteristico di tutti i fenomeni naturali. Processi che si ripetono ritmicamente, come il battito del cuore, si verificano continuamente all'interno di qualsiasi organismo vivente.

Vibrazioni meccanicheLe oscillazioni sono qualsiasi processo fisico caratterizzato da ripetibilità nel tempo.

La ruvidità del mare, l'oscillazione del pendolo di un orologio, le vibrazioni dello scafo di una nave, il battito del cuore umano, il suono, le onde radio, la luce, le correnti alternate: tutte queste sono vibrazioni.

Durante il processo di oscillazioni, i valori delle quantità fisiche che determinano lo stato del sistema si ripetono ad intervalli di tempo uguali o disuguali. Si chiamano oscillazioni periodico, se i valori delle quantità fisiche variabili vengono ripetuti a intervalli regolari.

Il più breve periodo di tempo T, dopo il quale il valore di una grandezza fisica variabile si ripete (in grandezza e direzione, se tale grandezza è vettoriale, in grandezza e segno, se è scalare), è detto periodo esitazione.

Viene chiamato il numero di oscillazioni complete n effettuate nell'unità di tempo frequenza fluttuazioni di questo valore ed è indicato con ν. Il periodo e la frequenza delle oscillazioni sono legati dalla relazione:

Qualsiasi oscillazione è causata da una o dall'altra influenza sul sistema oscillante. A seconda della natura dell'influenza che causa le oscillazioni, si distinguono i seguenti tipi di oscillazioni periodiche: libere, forzate, auto-oscillazioni, parametriche.

Vibrazioni libere- si tratta di oscillazioni che si verificano in un sistema lasciato a se stesso dopo che è stato rimosso da uno stato di equilibrio stabile (ad esempio, oscillazioni di un carico su una molla).

Vibrazioni forzate- si tratta di oscillazioni causate da influenze periodiche esterne (ad esempio, oscillazioni elettromagnetiche in un'antenna TV).

Meccanicofluttuazioni

Autooscillazioni- oscillazioni libere supportate da una fonte di energia esterna, che viene attivata nei momenti giusti dal sistema oscillante stesso (ad esempio le oscillazioni del pendolo di un orologio).

Oscillazioni parametriche- si tratta di oscillazioni durante le quali si verifica un cambiamento periodico di alcuni parametri del sistema (ad esempio, oscillando un'altalena: accovacciandosi in posizioni estreme e raddrizzandosi nella posizione centrale, una persona su un'altalena cambia il momento di inerzia dell'altalena ).

Oscillazioni di natura diversa rivelano molto in comune: obbediscono alle stesse leggi, sono descritte dalle stesse equazioni e sono studiate con gli stessi metodi. Ciò rende possibile creare una teoria unificata delle oscillazioni.

La più semplice delle oscillazioni periodiche

sono vibrazioni armoniche.

Le oscillazioni armoniche sono oscillazioni durante le quali i valori delle quantità fisiche cambiano nel tempo secondo la legge del seno o del coseno. La maggior parte dei processi oscillatori sono descritti da questa legge o possono essere espressi come somma di oscillazioni armoniche.

Un'altra definizione “dinamica” delle oscillazioni armoniche è possibile come un processo eseguito sotto l'azione di forze elastiche o “quasi-elastiche”.

2. Periodico sono chiamate oscillazioni in cui il processo si ripete esattamente ad intervalli regolari.

Periodo oscillazioni periodiche è il tempo minimo dopo il quale il sistema ritorna al suo stato originale

x è una quantità oscillante (ad esempio, l'intensità della corrente in un circuito, lo stato e la ripetizione del processo inizia. Un processo che si verifica durante un periodo di oscillazione è chiamato "un'oscillazione completa".

oscillazioni periodiche è il numero di oscillazioni complete per unità di tempo (1 secondo) - potrebbe non essere un numero intero.

T - periodo di oscillazione. Il periodo è il tempo di un'oscillazione completa.

Per calcolare la frequenza v, è necessario dividere 1 secondo per il tempo T di un'oscillazione (in secondi) e si ottiene il numero di oscillazioni in 1 secondo o la coordinata del punto) t - tempo

Oscillazione armonica

Si tratta di un'oscillazione periodica in cui le coordinate, la velocità, l'accelerazione che caratterizzano il movimento cambiano secondo la legge del seno o del coseno.

Grafico armonico

Il grafico stabilisce la dipendenza dello spostamento del corpo nel tempo. Installiamo una matita sul pendolo a molla e un nastro di carta dietro il pendolo, che si muove in modo uniforme. Oppure forziamo un pendolo matematico a lasciare una traccia. Un programma di movimento verrà visualizzato su carta.

Il grafico di un'oscillazione armonica è un'onda sinusoidale (o onda coseno). Dal grafico dell'oscillazione è possibile determinare tutte le caratteristiche del movimento oscillatorio.

Equazione della vibrazione armonica

L'equazione dell'oscillazione armonica stabilisce la dipendenza delle coordinate del corpo dal tempo

Il grafico del coseno nel momento iniziale ha un valore massimo e il grafico del seno ha un valore zero nel momento iniziale. Se iniziamo ad esaminare l'oscillazione dalla posizione di equilibrio, l'oscillazione ripeterà una sinusoide. Se cominciamo a considerare l'oscillazione dalla posizione di massima deviazione, allora l'oscillazione sarà descritta da un coseno. Oppure tale oscillazione può essere descritta dalla formula del seno con una fase iniziale.

Variazione di velocità e accelerazione durante l'oscillazione armonica

Non solo la coordinata del corpo cambia nel tempo secondo la legge del seno o del coseno. Ma anche quantità come la forza, la velocità e l’accelerazione cambiano in modo simile. La forza e l'accelerazione sono massime quando il corpo oscillante si trova nelle posizioni estreme in cui lo spostamento è massimo, e sono nulle quando il corpo passa per la posizione di equilibrio. La velocità, invece, nelle posizioni estreme è nulla, e quando il corpo passa per la posizione di equilibrio raggiunge il suo valore massimo.

Se l'oscillazione è descritta dalla legge del coseno

Se l'oscillazione è descritta secondo la legge del seno

Valori massimi di velocità e accelerazione

Analizzate le equazioni di dipendenza v(t) e a(t), possiamo intuire che velocità e accelerazione assumono valori massimi nel caso in cui il fattore trigonometrico sia pari a 1 o -1. Determinato dalla formula

Come ottenere le dipendenze v(t) e a(t)

(lat. ampiezza- magnitudo) è la massima deviazione di un corpo oscillante dalla sua posizione di equilibrio.

Per un pendolo, questa è la distanza massima alla quale la palla si allontana dalla sua posizione di equilibrio (figura sotto). Per le oscillazioni con piccole ampiezze, tale distanza può essere presa come la lunghezza dell'arco 01 o 02 e le lunghezze di questi segmenti.

L'ampiezza delle oscillazioni è misurata in unità di lunghezza: metri, centimetri, ecc. Sul grafico delle oscillazioni, l'ampiezza è definita come l'ordinata massima (modulo) della curva sinusoidale (vedere la figura sotto).

Periodo di oscillazione.

Periodo di oscillazione- è il periodo di tempo più breve attraverso il quale un sistema oscillante ritorna nuovamente nello stesso stato in cui si trovava nell'istante iniziale, scelto arbitrariamente.

In altre parole, il periodo di oscillazione ( T) è il tempo durante il quale si verifica un'oscillazione completa. Ad esempio, nella figura seguente, questo è il tempo impiegato dal pendolo per spostarsi dal punto più a destra attraverso il punto di equilibrio DI fino al punto all'estrema sinistra e tornare indietro attraverso il punto DI ancora una volta all'estrema destra.

Durante un intero periodo di oscillazione, il corpo percorre quindi un percorso pari a quattro ampiezze. Il periodo di oscillazione viene misurato in unità di tempo: secondi, minuti, ecc. Il periodo di oscillazione può essere determinato da un noto grafico delle oscillazioni (vedere la figura sotto).

Il concetto di “periodo di oscillazione”, in senso stretto, è valido solo quando i valori della grandezza oscillante si ripetono esattamente dopo un certo periodo di tempo, cioè per le oscillazioni armoniche. Tuttavia, questo concetto si applica anche ai casi di quantità approssimativamente ripetute, ad esempio per oscillazioni smorzate.

Frequenza di oscillazione.

Frequenza di oscillazione- questo è il numero di oscillazioni eseguite per unità di tempo, ad esempio in 1 s.

Viene denominata l'unità SI di frequenza hertz(Hz) in onore del fisico tedesco G. Hertz (1857-1894). Se la frequenza di oscillazione ( v) è uguale a 1 Hz, questo significa che ogni secondo c'è un'oscillazione. La frequenza e il periodo delle oscillazioni sono legati dalle relazioni:

Anche nella teoria delle oscillazioni si usa il concetto ciclico, O frequenza circolare ω . È legato alla frequenza normale v e periodo di oscillazione T rapporti:

.

Frequenza ciclicaè il numero di oscillazioni eseguite per 2π secondi

I cambiamenti di qualsiasi quantità sono descritti utilizzando le leggi del seno o del coseno, quindi tali oscillazioni sono chiamate armoniche. Consideriamo un circuito costituito da un condensatore (che veniva caricato prima di essere inserito nel circuito) e un induttore (Fig. 1).

Immagine 1.

L’equazione della vibrazione armonica può essere scritta come segue:

$q=q_0cos((\omega )_0t+(\alpha )_0)$ (1)

dove $t$ è il tempo; Addebito $q$, $q_0$-- deviazione massima dell'addebito dal suo valore medio (zero) durante le modifiche; $(\omega )_0t+(\alpha )_0$- fase di oscillazione; $(\alpha )_0$- fase iniziale; $(\omega )_0$ - frequenza ciclica. Durante il periodo, la fase cambia di $2\pi $.

Equazione della forma:

equazione delle oscillazioni armoniche in forma differenziale per un circuito oscillatorio che non conterrà resistenza attiva.

Qualsiasi tipo di oscillazioni periodiche può essere rappresentato accuratamente come una somma di oscillazioni armoniche, le cosiddette serie armoniche.

Per il periodo di oscillazione di un circuito costituito da una bobina e un condensatore si ottiene la formula di Thomson:

Se differenziamo l'espressione (1) rispetto al tempo, possiamo ottenere la formula per la funzione $I(t)$:

La tensione ai capi del condensatore può essere trovata come:

Dalle formule (5) e (6) segue che l'intensità della corrente è superiore alla tensione sul condensatore di $\frac(\pi )(2).$

Le oscillazioni armoniche possono essere rappresentate sia sotto forma di equazioni, funzioni e diagrammi vettoriali.

L'equazione (1) rappresenta oscillazioni libere non smorzate.

Equazione dell'oscillazione smorzata

La variazione di carica ($q$) sulle piastre del condensatore nel circuito, tenendo conto della resistenza (Fig. 2), sarà descritta da un'equazione differenziale della forma:

Figura 2.

Se la resistenza che fa parte del circuito $R\

dove $\omega =\sqrt(\frac(1)(LC)-\frac(R^2)(4L^2))$ è la frequenza di oscillazione ciclica. $\beta =\frac(R)(2L)-$coefficiente di smorzamento. L’ampiezza delle oscillazioni smorzate è espressa come:

Se per $t=0$ la carica sul condensatore è pari a $q=q_0$ e non c'è corrente nel circuito, allora per $A_0$ possiamo scrivere:

La fase delle oscillazioni nell'istante iniziale ($(\alpha )_0$) è pari a:

Quando $R >2\sqrt(\frac(L)(C))$ la variazione di carica non è un'oscillazione, la scarica del condensatore si dice aperiodica.

Esempio 1

Esercizio: Il valore di addebito massimo è $q_0=10\ C$. Varia armonicamente con un periodo di $T= 5 s$. Determinare la corrente massima possibile.

Soluzione:

Come base per risolvere il problema utilizziamo:

Per trovare l'intensità attuale, l'espressione (1.1) deve essere differenziata rispetto al tempo:

dove il massimo (valore di ampiezza) della forza attuale è l'espressione:

Dalle condizioni del problema conosciamo il valore dell'ampiezza della carica ($q_0=10\ C$). Dovresti trovare la frequenza naturale delle oscillazioni. Esprimiamolo come:

\[(\omega )_0=\frac(2\pi )(T)\sinistra(1.4\destra).\]

In questo caso, il valore desiderato verrà trovato utilizzando le equazioni (1.3) e (1.2) come:

Poiché tutte le quantità nelle condizioni problematiche sono presentate nel sistema SI, eseguiremo i calcoli:

Risposta:$I_0=12.56\A.$

Esempio 2

Esercizio: Qual è il periodo di oscillazione in un circuito che contiene un induttore $L=1$H e un condensatore, se l'intensità della corrente nel circuito cambia secondo la legge: $I\left(t\right)=-0.1sin20\ pi t\ \left(A \right)?$ Qual è la capacità del condensatore?

Soluzione:

Dall'equazione delle fluttuazioni attuali, che è data nelle condizioni del problema:

vediamo che $(\omega )_0=20\pi $, quindi possiamo calcolare il periodo di oscillazione utilizzando la formula:

\ \

Secondo la formula di Thomson per un circuito che contiene un induttore e un condensatore, abbiamo:

Calcoliamo la capacità:

Risposta:$T=0,1$ c, $C=2,5\cpunto (10)^(-4)F.$