Trova la radice di un'equazione calcolatrice online con soluzione. Risoluzione di equazioni in due variabili

Nella fase di preparazione per la prova finale, gli studenti delle scuole superiori devono migliorare le proprie conoscenze sull'argomento "Equazioni esponenziali". L'esperienza degli anni passati indica che tali compiti causano alcune difficoltà agli scolari. Pertanto, gli studenti delle scuole superiori, indipendentemente dal loro livello di preparazione, devono padroneggiare a fondo la teoria, ricordare le formule e comprendere il principio per risolvere tali equazioni. Avendo imparato ad affrontare questo tipo di problemi, i laureati possono contare su punteggi elevati nel superare l'Esame di Stato Unificato di matematica.

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Durante la revisione dei materiali trattati, molti studenti si trovano ad affrontare il problema di trovare le formule necessarie per risolvere le equazioni. Un libro di testo scolastico non è sempre a portata di mano e la selezione delle informazioni necessarie su un argomento su Internet richiede molto tempo.

Il portale educativo Shkolkovo invita gli studenti a utilizzare la nostra base di conoscenze. Stiamo implementando un metodo completamente nuovo di preparazione al test finale. Studiando sul nostro sito web, sarai in grado di identificare le lacune nella conoscenza e prestare attenzione a quei compiti che causano maggiori difficoltà.

Gli insegnanti di Shkolkovo hanno raccolto, sistematizzato e presentato tutto il materiale necessario per superare con successo l'Esame di Stato Unificato nella forma più semplice e accessibile.

Le definizioni e le formule di base sono presentate nella sezione “Base teorica”.

Per comprendere meglio il materiale, ti consigliamo di esercitarti a completare i compiti. Rivedi attentamente gli esempi di equazioni esponenziali con soluzioni presentate in questa pagina per comprendere l'algoritmo di calcolo. Successivamente, procedi con l'esecuzione delle attività nella sezione "Directory". Puoi iniziare con i compiti più semplici o passare direttamente alla risoluzione di equazioni esponenziali complesse con diverse incognite o . Il database degli esercizi sul nostro sito web viene costantemente integrato e aggiornato.

Gli esempi con indicatori che ti hanno causato difficoltà possono essere aggiunti ai "Preferiti". In questo modo potrai trovarli rapidamente e discutere la soluzione con il tuo insegnante.

Per superare con successo l'esame di stato unificato, studia ogni giorno sul portale Shkolkovo!

I. asse 2 =0 – incompleto equazione quadrata (b=0, c=0 ). Soluzione: x=0. Risposta: 0.

Risolvere equazioni.

2x·(x+3)=6x-x 2 .

Soluzione. Apriamo le parentesi moltiplicando 2x per ogni termine tra parentesi:

2x2 +6x=6x-x2 ; Spostiamo i termini da destra a sinistra:

2x2+6x-6x+x2 =0; Ecco termini simili:

3x2 =0, quindi x=0.

Risposta: 0.

II. asse2+bx=0 –incompleto equazione quadrata (c=0 ). Soluzione: x (ax+b)=0 → x 1 =0 oppure ax+b=0 → x 2 =-b/a. Risposta: 0; -b/a.

5x2 -26x=0.

Soluzione. Eliminiamo il fattore comune X fuori parentesi:

x(5x-26)=0; ogni fattore può essere uguale a zero:

x=0 O 5x-26=0→ 5x=26, dividi entrambi i lati dell'uguaglianza per 5 e otteniamo: x=5.2.

Risposta: 0; 5,2.

Esempio 3. 64x+4x2 =0.

Soluzione. Eliminiamo il fattore comune 4x fuori parentesi:

4x(16+x)=0. Abbiamo tre fattori, 4≠0, quindi, o x=0 O 16+x=0. Dall'ultima uguaglianza otteniamo x=-16.

Risposta: -16; 0.

Esempio 4.(x-3)2+5x=9.

Soluzione. Applicando la formula del quadrato della differenza di due espressioni, apriremo le parentesi:

x2 -6x+9+5x=9; trasformare nella forma: x 2 -6x+9+5x-9=0; Presentiamo termini simili:

x2-x=0; lo tireremo fuori X fuori dalle parentesi otteniamo: x (x-1)=0. Da qui o x=0 O x-1=0→x=1.

Risposta: 0; 1.

III. asse 2 +c=0 –incompleto equazione quadrata (b=0 ); Soluzione: ax 2 =-c → x 2 =-c/a.

Se (-circa)<0 , allora non ci sono radici reali. Se (-ñ/à)>0

Esempio 5. x2-49=0.

Soluzione.

x 2 =49, da qui x=±7. Risposta:-7; 7.

Esempio 6. 9x2-4=0.

Soluzione.

Spesso è necessario trovare la somma dei quadrati (x 1 2 +x 2 2) o la somma dei cubi (x 1 3 +x 2 3) delle radici di un'equazione quadratica, meno spesso - la somma dei valori reciproci ​​dei quadrati delle radici o la somma delle radici quadrate aritmetiche delle radici di un'equazione quadratica:

Il teorema di Vieta può aiutare in questo:

x2+px+q=0

x1 + x2 = -p; x1 ∙x2 =q.

Esprimiamoci Attraverso P E Q:

1) somma dei quadrati delle radici dell'equazione x2+px+q=0;

2) somma dei cubi delle radici dell'equazione x2+px+q=0.

Soluzione.

1) Espressione x12+x22 ottenuto elevando al quadrato entrambi i membri dell'equazione x1 + x2 = -p;

(x1+x2)2 =(-p)2; apri le parentesi: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2 ; esprimiamo la quantità richiesta: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2x 1 x 2 =p 2 -2q. Abbiamo ottenuto un'utile uguaglianza: x12 +x22 =p2 -2q.

2) Espressione x13+x23 Rappresentiamo la somma dei cubi utilizzando la formula:

(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p·(p 2 -2q-q)=-p·(p 2 -3q).

Un'altra equazione utile: x 1 3 +x 2 3 = -p·(p 2 -3q).

Esempi.

3)x2-3x-4=0. Senza risolvere l'equazione, calcola il valore dell'espressione x12+x22.

Soluzione.

x1 +x2 =-p=3, e il lavoro x1 ∙x2 =q=nell'esempio 1) uguaglianza:

x12 +x22 =p2 -2q. Abbiamo -P=x1 +x2 = 3 → p2=32=9; q= x1x2 = -4. Poi x 1 2 +x 2 2 =9-2·(-4)=9+8=17.

Risposta: x12 +x22 =17.

4) x2-2x-4=0. Calcola: x 1 3 +x 2 3 .

Soluzione.

Per il teorema di Vieta, la somma delle radici di questa equazione quadratica ridotta è x1 +x2 =-p=2, e il lavoro x1 ∙x2 =q=-4. Applichiamo ciò che abbiamo ricevuto ( nell'esempio 2) uguaglianza: x 1 3 +x 2 3 =-p·(p 2 -3q)= 2·(2 2 -3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.

Risposta: x13 +x23 =32.

Domanda: cosa succede se ci viene data un'equazione quadratica non ridotta? Risposta: si può sempre “ridurre” dividendo termine per termine per il primo coefficiente.

5) 2x2 -5x-7=0. Senza decidere, calcola: x12+x22.

Soluzione. Ci viene data un'equazione quadratica completa. Dividi entrambi i lati dell'uguaglianza per 2 (il primo coefficiente) e ottieni la seguente equazione quadratica: x2-2,5x-3,5=0.

Secondo il teorema di Vieta la somma delle radici è uguale a 2,5 ; il prodotto delle radici è uguale -3,5 .

Lo risolviamo nello stesso modo dell'esempio 3) utilizzando l'uguaglianza: x12 +x22 =p2 -2q.

x12 +x22 =p2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

Risposta: x12 + x22 = 13,25.

6)x2-5x-2=0. Trovare:

Trasformiamo questa uguaglianza e, utilizzando il teorema di Vieta, sostituiamo la somma delle radici con -P e il prodotto delle radici attraverso Q, otteniamo un'altra formula utile. Nel derivare la formula, abbiamo utilizzato l'uguaglianza 1): x12 +x22 =p2 -2q.

Nel nostro esempio x1 +x2 =-p=5; x1 ∙x2 =q=-2. Sostituiamo questi valori nella formula risultante:

7)x2-13x+36=0. Trovare:

Trasformiamo questa somma e otteniamo una formula che può essere utilizzata per trovare la somma delle radici quadrate aritmetiche dalle radici di un'equazione quadratica.

Abbiamo x1 +x2 =-p=13; x1 ∙x2 =q=36. Sostituiamo questi valori nella formula risultante:

Consiglio : verifica sempre la possibilità di trovare le radici di un'equazione quadratica utilizzando un metodo adatto, perché 4 rivisto formule utili permettono di portare a termine velocemente un compito, soprattutto nei casi in cui la discriminante è un numero “scomodo”. In tutti i casi semplici, trovare le radici e operare su di esse. Ad esempio, nell’ultimo esempio selezioniamo le radici utilizzando il teorema di Vieta: la somma delle radici dovrebbe essere uguale a 13 e il prodotto delle radici 36 . Quali sono questi numeri? Certamente, 4 e 9. Ora calcola la somma delle radici quadrate di questi numeri: 2+3=5. Questo è tutto!

I. Teorema di Vieta per l'equazione quadratica ridotta.

Somma delle radici dell'equazione quadratica ridotta x2+px+q=0è uguale al secondo coefficiente preso con il segno opposto, e il prodotto delle radici è uguale al termine libero:

x1 + x2 = -p; x1 ∙x2 =q.

Trova le radici dell'equazione quadratica data utilizzando il teorema di Vieta.

Esempio 1) x 2 -x-30=0. Questa è l'equazione quadratica ridotta ( x2+px+q=0), secondo coefficiente p=-1 e il membro gratuito q=-30. Innanzitutto, assicuriamoci che questa equazione abbia radici e che le radici (se presenti) siano espresse in numeri interi. Per fare ciò è sufficiente che il discriminante sia un quadrato perfetto di un numero intero.

Trovare il discriminante D=b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Ora, secondo il teorema di Vieta, la somma delle radici deve essere uguale al secondo coefficiente preso con il segno opposto, cioè ( -P), e il prodotto è uguale al termine libero, cioè ( Q). Poi:

x1 +x2 =1; x1 ∙x2 =-30. Dobbiamo scegliere due numeri tali che il loro prodotto sia uguale a -30 , e l'importo è unità. Questi sono numeri -5 E 6 . Risposta: -5; 6.

Esempio 2) x 2 +6x+8=0. Abbiamo l'equazione quadratica ridotta con il secondo coefficiente p=6 e membro gratuito q=8. Assicuriamoci che ci siano radici intere. Troviamo il discriminante D1 D1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Il discriminante D 1 è il quadrato perfetto del numero 1 , il che significa che le radici di questa equazione sono numeri interi. Selezioniamo le radici utilizzando il teorema di Vieta: la somma delle radici è uguale a –р=-6, e il prodotto delle radici è uguale a q=8. Questi sono numeri -4 E -2 .

Infatti: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. Risposta: -4; -2.

Esempio 3) x 2 +2x-4=0. In questa equazione quadratica ridotta, il secondo coefficiente p=2 e il membro gratuito q=-4. Troviamo il discriminante D1, poiché il secondo coefficiente è un numero pari. D1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Il discriminante non è un quadrato perfetto del numero, quindi lo facciamo conclusione: Le radici di questa equazione non sono numeri interi e non possono essere trovate utilizzando il teorema di Vieta. Ciò significa che risolviamo questa equazione, come al solito, utilizzando le formule (in questo caso, utilizzando le formule). Noi abbiamo:

Esempio 4). Scrivi un'equazione quadratica usando le sue radici se x1 =-7, x2 =4.

Soluzione. L'equazione richiesta sarà scritta nella forma: x2+px+q=0, e, in base al teorema di Vieta –p=x1+x2=-7+4=-3 → p=3; q=x1∙x2=-7∙4=-28 . Quindi l’equazione assumerà la forma: x2+3x-28=0.

Esempio 5). Scrivi un'equazione quadratica usando le sue radici se:

II. Il teorema di Vieta per un'equazione quadratica completa asse2 +bx+c=0.

La somma delle radici è meno B, diviso per UN, il prodotto delle radici è uguale a Con, diviso per UN:

x1 + x2 = -b/a; x1 ∙x2 =c/a.

Esempio 6). Trova la somma delle radici di un'equazione quadratica 2x2-7x-11=0.

Soluzione.

Ci assicuriamo che questa equazione abbia radici. Per fare ciò, è sufficiente creare un'espressione per il discriminante e, senza calcolarlo, assicurarsi solo che il discriminante sia maggiore di zero. D=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . Ora usiamo teorema Vita per equazioni quadratiche complete.

x1 +x2 =-b:a=- (-7):2=3,5.

Esempio 7). Trova il prodotto delle radici di un'equazione quadratica 3x2+8x-21=0.

Soluzione.

Troviamo il discriminante D1, poiché il secondo coefficiente ( 8 ) è un numero pari. D1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . L'equazione quadratica ha 2 radice, secondo il teorema di Vieta, il prodotto delle radici x1 ∙x2 =c:a=-21:3=-7.

I. asse 2 +bx+c=0– equazione quadratica generale

Discriminante D=b 2 - 4ac.

Se D>0, allora abbiamo due radici reali:

Se D=0, allora abbiamo una sola radice (o due radici uguali) x=-b/(2a).

Se d<0, то действительных корней нет.

Esempio 1) 2x2+5x-3=0.

Soluzione. UN=2; B=5; C=-3.

D=b 2 - 4ac=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 radici vere.

4x2+21x+5=0.

Soluzione. UN=4; B=21; C=5.

D=b 2 - 4ac=21 2 - 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 radici vere.

II. asse2+bx+c=0 – equazione quadratica di forma particolare con anche il secondo

coefficiente B

Esempio 3) 3x2 -10x+3=0.

Soluzione. UN=3; B=-10 (numero pari); C=3.

Esempio 4) 5x2-14x-3=0.

Soluzione. UN=5; B= -14 (numero pari); C=-3.

Esempio 5) 71x2+144x+4=0.

Soluzione. UN=71; B=144 (numero pari); C=4.

Esempio 6) 9x2 -30x+25=0.

Soluzione. UN=9; B=-30 (numero pari); C=25.

III. asse2+bx+c=0 – equazione quadrata tipo privato fornito: a-b+c=0.

La prima radice è sempre uguale a meno uno e la seconda radice è sempre uguale a meno Con, diviso per UN:

x1 =-1, x2 =-c/a.

Esempio 7) 2x2+9x+7=0.

Soluzione. UN=2; B=9; C=7. Controlliamo l'uguaglianza: a-b+c=0. Noi abbiamo: 2-9+7=0 .

Poi x1 =-1, x2 =-c/a=-7/2=-3,5. Risposta: -1; -3,5.

IV. asse2+bx+c=0 – equazione quadratica di una forma particolare soggetta a : a+b+c=0.

La prima radice è sempre uguale a uno e la seconda radice è uguale a Con, diviso per UN:

x1 =1, x2 =c/a.

Esempio 8) 2x2 -9x+7=0.

Soluzione. UN=2; B=-9; C=7. Controlliamo l'uguaglianza: a+b+c=0. Noi abbiamo: 2-9+7=0 .

Poi x1 =1, x2 =c/a=7/2=3,5. Risposta: 1; 3,5.

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Come utilizzare la calcolatrice matematica

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2. Il campo di immissione dell'espressione è destinato alla registrazione dell'espressione da calcolare. Va notato qui che i simboli matematici utilizzati nei programmi per computer non sono sempre gli stessi che usiamo abitualmente sulla carta. Nella panoramica di ciascuna funzione della calcolatrice troverai la designazione corretta di un'operazione specifica ed esempi di calcoli nella calcolatrice. In questa pagina di seguito sono elencate tutte le operazioni possibili nella calcolatrice, indicandone anche la corretta ortografia.

3. Barra degli strumenti: questi sono i pulsanti della calcolatrice che sostituiscono l'immissione manuale di simboli matematici che indicano l'operazione corrispondente. Alcuni pulsanti della calcolatrice (funzioni aggiuntive, convertitore di unità, risoluzione di matrici ed equazioni, grafici) integrano la barra delle applicazioni con nuovi campi in cui vengono inseriti i dati per un calcolo specifico. Il campo "Cronologia" contiene esempi di scrittura di espressioni matematiche, nonché le sei voci più recenti.

Tieni presente che quando si premono i pulsanti per richiamare funzioni aggiuntive, un convertitore di unità, risolvere matrici ed equazioni e tracciare grafici, l'intero pannello della calcolatrice si sposta verso l'alto, coprendo parte del display. Compila i campi richiesti e premi il tasto "I" (evidenziato in rosso nell'immagine) per vedere il display a schermo intero.

4. Il tastierino numerico contiene numeri e simboli aritmetici. Il pulsante "C" cancella l'intera voce nel campo di immissione dell'espressione. Per eliminare i caratteri uno per uno, è necessario utilizzare la freccia a destra della riga di input.

Prova a chiudere sempre le parentesi alla fine di un'espressione. Per la maggior parte delle operazioni questo non è fondamentale; il calcolatore online calcolerà tutto correttamente. Tuttavia, in alcuni casi potrebbero verificarsi degli errori. Ad esempio, quando si eleva a una potenza frazionaria, le parentesi aperte faranno sì che il denominatore della frazione nell'esponente entri nel denominatore della base. La parentesi di chiusura viene visualizzata in grigio chiaro sul display e deve essere chiusa al termine della registrazione.

L'uso delle equazioni è molto diffuso nella nostra vita. Sono utilizzati in molti calcoli, costruzione di strutture e persino sport. L'uomo usava le equazioni nei tempi antichi e da allora il loro uso non ha fatto che aumentare. Le equazioni di potenza o esponenziali sono equazioni in cui le variabili sono espresse in potenze e la base è un numero. Per esempio:

La risoluzione di un'equazione esponenziale si riduce a 2 passaggi abbastanza semplici:

1. Devi verificare se le basi dell'equazione a destra e a sinistra sono le stesse. Se i motivi non sono gli stessi, cerchiamo opzioni per risolvere questo esempio.

2. Dopo che le basi diventano uguali, uguagliamo i gradi e risolviamo la nuova equazione risultante.

Supponiamo di avere un'equazione esponenziale della seguente forma:

Vale la pena iniziare la soluzione di questa equazione con un'analisi della base. Le basi sono diverse - 2 e 4, ma per risolverle abbiamo bisogno che siano uguali, quindi trasformiamo 4 usando la seguente formula -\[ (a^n)^m = a^(nm):\]

Aggiungiamo all'equazione originale:

Togliamolo dalle parentesi \

Esprimiamo \

Dato che i gradi sono gli stessi li scartiamo:

Risposta: \

Dove posso risolvere un'equazione esponenziale utilizzando un risolutore online?

Puoi risolvere l'equazione sul nostro sito web https://site. Il risolutore online gratuito ti consentirà di risolvere equazioni online di qualsiasi complessità in pochi secondi. Tutto quello che devi fare è semplicemente inserire i tuoi dati nel risolutore. Puoi anche guardare le istruzioni video e imparare come risolvere l'equazione sul nostro sito web. E se hai ancora domande, puoi farle nel nostro gruppo VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Unisciti al nostro gruppo, siamo sempre felici di aiutarti.

Le equazioni quadratiche vengono studiate in terza media, quindi qui non c'è nulla di complicato. La capacità di risolverli è assolutamente necessaria.

Un'equazione quadratica è un'equazione della forma ax 2 + bx + c = 0, dove i coefficienti a, b e c sono numeri arbitrari e a ≠ 0.

Prima di studiare metodi di soluzione specifici, si noti che tutte le equazioni quadratiche possono essere divise in tre classi:

1. Non hanno radici;
2. Avere esattamente una radice;
3. Hanno due radici diverse.

Questa è una differenza importante tra le equazioni quadratiche e quelle lineari, dove la radice esiste sempre ed è unica. Come determinare quante radici ha un'equazione? C'è una cosa meravigliosa in questo - discriminante.

Discriminante

Sia data l'equazione quadratica ax 2 + bx + c = 0. Allora il discriminante è semplicemente il numero D = b 2 − 4ac.

Devi conoscere questa formula a memoria. Da dove venga non è importante adesso. Un'altra cosa è importante: dal segno del discriminante puoi determinare quante radici ha un'equazione quadratica. Vale a dire:

1. Se d< 0, корней нет;
2. Se D = 0, esiste esattamente una radice;
3. Se D > 0 ci saranno due radici.

Nota: il discriminante indica il numero di radici e non i loro segni, come per qualche motivo molte persone credono. Dai un'occhiata agli esempi e capirai tutto da solo:

Compito. Quante radici hanno le equazioni quadratiche:

1. x2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x2 − 6x + 9 = 0.

Scriviamo i coefficienti della prima equazione e troviamo il discriminante:
un = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Quindi il discriminante è positivo, quindi l'equazione ha due radici diverse. Analizziamo la seconda equazione in modo simile:
un = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Il discriminante è negativo, non ci sono radici. L'ultima equazione rimasta è:
un = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Il discriminante è zero, la radice sarà uno.

Si prega di notare che i coefficienti sono stati scritti per ciascuna equazione. Sì, è lungo, sì, è noioso, ma non confonderai le probabilità e non commetterai errori stupidi. Scegli tu stesso: velocità o qualità.

A proposito, se ci prendi la mano, dopo un po' non avrai più bisogno di annotare tutti i coefficienti. Eseguirai tali operazioni nella tua testa. La maggior parte delle persone inizia a farlo da qualche parte dopo 50-70 equazioni risolte, in generale, non così tanto.

Radici di un'equazione quadratica

Passiamo ora alla soluzione stessa. Se il discriminante D > 0 le radici si possono trovare utilizzando le formule:

Formula base per le radici di un'equazione quadratica

Quando D = 0, puoi utilizzare una qualsiasi di queste formule: otterrai lo stesso numero, che sarà la risposta. Infine, se il d< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Prima equazione:
x2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ l'equazione ha due radici. Troviamoli:

Seconda equazione:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ l'equazione ha ancora due radici. Troviamoli

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(allinea)\]

Infine, la terza equazione:
x2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ l'equazione ha una radice. È possibile utilizzare qualsiasi formula. Ad esempio, il primo:

Come puoi vedere dagli esempi, tutto è molto semplice. Se conosci le formule e sai contare, non ci saranno problemi. Molto spesso si verificano errori quando si sostituiscono coefficienti negativi nella formula. Anche in questo caso, la tecnica sopra descritta aiuterà: guarda la formula letteralmente, annota ogni passaggio e molto presto ti libererai degli errori.

Equazioni quadratiche incomplete

Accade che un'equazione quadratica sia leggermente diversa da quanto indicato nella definizione. Per esempio:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2-16 = 0.

È facile notare che a queste equazioni manca uno dei termini. Tali equazioni quadratiche sono ancora più facili da risolvere di quelle standard: non richiedono nemmeno il calcolo del discriminante. Quindi, introduciamo un nuovo concetto:

L'equazione ax 2 + bx + c = 0 è chiamata equazione quadratica incompleta se b = 0 o c = 0, cioè il coefficiente della variabile x o dell'elemento libero è uguale a zero.

Naturalmente, un caso molto difficile è possibile quando entrambi questi coefficienti sono uguali a zero: b = c = 0. In questo caso, l'equazione assume la forma ax 2 = 0. Ovviamente, tale equazione ha un'unica radice: x = 0.

Consideriamo i restanti casi. Sia b = 0, quindi otteniamo un'equazione quadratica incompleta della forma ax 2 + c = 0. Trasformiamola un po':

Poiché la radice quadrata aritmetica esiste solo di un numero non negativo, l’ultima uguaglianza ha senso solo per (−c /a) ≥ 0. Conclusione:

1. Se in un'equazione quadratica incompleta della forma ax 2 + c = 0 la disuguaglianza (−c /a) ≥ 0 è soddisfatta, ci saranno due radici. La formula è quella riportata sopra;
2. Se (−c /a)< 0, корней нет.

Come puoi vedere, non era richiesto un discriminante: non ci sono calcoli complessi nelle equazioni quadratiche incomplete. In realtà non è nemmeno necessario ricordare la disuguaglianza (−c /a) ≥ 0. Basta esprimere il valore x 2 e vedere cosa c'è dall'altra parte del segno di uguale. Se c'è un numero positivo, ci saranno due radici. Se è negativo, non ci saranno radici.

Consideriamo ora le equazioni della forma ax 2 + bx = 0, in cui l'elemento libero è uguale a zero. Qui tutto è semplice: ci saranno sempre due radici. È sufficiente fattorizzare il polinomio:

Il prodotto è zero quando almeno uno dei fattori è zero. Da qui provengono le radici. In conclusione, diamo un’occhiata ad alcune di queste equazioni:

Compito. Risolvere equazioni quadratiche:

1. x2-7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Non ci sono radici, perché un quadrato non può essere uguale a un numero negativo.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x2 = −1,5.