Determinazione del grado con esponente negativo. Grado e sue proprietà

Continuando la conversazione sulla potenza di un numero, è logico capire come trovare il valore della potenza. Questo processo si chiama esponenziazione. In questo articolo studieremo come viene eseguita l'esponenziazione, mentre toccheremo tutti i possibili esponenti: naturale, intero, razionale e irrazionale. E secondo la tradizione, considereremo in dettaglio le soluzioni agli esempi di elevazione dei numeri a varie potenze.

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Cosa significa "esponenziazione"?

Cominciamo spiegando ciò che viene chiamato esponenziazione. Ecco la relativa definizione.

Definizione.

Esponenziazione- questo è trovare il valore della potenza di un numero.

Quindi, trovare il valore della potenza di un numero a con esponente r ed elevare il numero a a potenza r sono la stessa cosa. Ad esempio, se l'attività è "calcolare il valore della potenza (0,5) 5", allora può essere riformulata come segue: "Elevare il numero 0,5 alla potenza 5".

Ora puoi andare direttamente alle regole in base alle quali viene eseguita l'esponenziazione.

Elevare un numero a potenza naturale

In pratica, l'uguaglianza basata su viene solitamente applicata nella forma . Cioè, quando si eleva un numero a a una potenza frazionaria m/n, viene prima presa la radice n-esima del numero a, dopodiché il risultato risultante viene elevato a una potenza intera m.

Diamo un'occhiata alle soluzioni degli esempi di elevazione a una potenza frazionaria.

Esempio.

Calcola il valore della laurea.

Soluzione.

Mostreremo due soluzioni.

Primo modo. Per definizione di grado con esponente frazionario. Calcoliamo il valore del grado sotto il segno della radice, quindi estraiamo la radice cubica: .

Secondo modo. Secondo la definizione di grado con esponente frazionario e in base alle proprietà delle radici, sono vere le seguenti uguaglianze: . Ora estraiamo la radice , infine, lo eleviamo a potenza intera .

Ovviamente i risultati ottenuti dall'elevazione a potenza frazionaria coincidono.

Risposta:

Nota che un esponente frazionario può essere scritto come una frazione decimale o un numero misto, in questi casi va sostituito con la corrispondente frazione ordinaria, e poi elevato a potenza.

Esempio.

Calcola (44.89) 2.5.

Soluzione.

Scriviamo l'esponente sotto forma di frazione ordinaria (se necessario, vedi l'articolo): . Ora eseguiamo l'elevazione a potenza frazionaria:

Risposta:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Va anche detto che elevare i numeri a potenze razionali è un processo piuttosto laborioso (specialmente quando il numeratore e il denominatore dell'esponente frazionario contengono numeri sufficientemente grandi), che di solito viene eseguito utilizzando la tecnologia informatica.

Per concludere questo punto soffermiamoci sull'elevazione del numero zero a potenza frazionaria. Abbiamo dato il seguente significato alla potenza frazionaria dello zero della forma: quando abbiamo , e a zero la potenza m/n non è definita. Quindi, da zero a una potenza positiva frazionaria è zero, ad esempio, . E lo zero in una potenza negativa frazionaria non ha senso, ad esempio le espressioni 0 -4,3 non hanno senso.

Elevare a un potere irrazionale

A volte diventa necessario scoprire il valore della potenza di un numero con esponente irrazionale. In questo caso, ai fini pratici, di solito è sufficiente ottenere il valore del grado accurato fino a un certo segno. Notiamo subito che in pratica questo valore viene calcolato utilizzando computer elettronici, poiché elevarlo manualmente a una potenza irrazionale richiede un gran numero di calcoli macchinosi. Ma descriveremo ancora in termini generali l'essenza delle azioni.

Per ottenere un valore approssimativo della potenza di un numero a con esponente irrazionale, si prende qualche approssimazione decimale dell'esponente e si calcola il valore della potenza. Questo valore è un valore approssimativo della potenza del numero a con esponente irrazionale. Quanto più accurata è l'approssimazione decimale di un numero inizialmente, tanto più accurato sarà il valore del grado alla fine.

Ad esempio, calcoliamo il valore approssimativo della potenza di 2 1.174367... . Prendiamo la seguente approssimazione decimale dell'esponente irrazionale: . Ora eleviamo 2 alla potenza razionale 1,17 (abbiamo descritto l'essenza di questo processo nel paragrafo precedente), otteniamo 2 1,17 ≈2,250116. Così, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Se prendiamo un'approssimazione decimale più accurata dell'esponente irrazionale, ad esempio, otteniamo un valore più accurato dell'esponente originale: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografia.

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• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. e altri. Algebra e gli inizi dell'analisi: libro di testo per i gradi 10 - 11 degli istituti di istruzione generale.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematica (un manuale per chi entra nelle scuole tecniche).

L'elevamento a potenza negativa è uno degli elementi base della matematica e si incontra spesso nella risoluzione di problemi algebrici. Di seguito sono riportate le istruzioni dettagliate.

Come elevare a potenza negativa - teoria

Quando eleviamo un numero a una potenza ordinaria, moltiplichiamo il suo valore più volte. Ad esempio, 3 3 = 3×3×3 = 27. Con una frazione negativa è vero il contrario. La forma generale della formula sarà la seguente: a -n = 1/a n. Pertanto, per elevare un numero a una potenza negativa, è necessario dividere uno per il numero indicato, ma a una potenza positiva.

Come elevare a potenza negativa - esempi su numeri ordinari

Tenendo presente la regola di cui sopra, risolviamo alcuni esempi.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Risposta: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Risposta -4 -2 = 1/16.

Ma perché le risposte nel primo e nel secondo esempio sono le stesse? Il fatto è che quando un numero negativo viene elevato a una potenza pari (2, 4, 6, ecc.), il segno diventa positivo. Se il grado fosse pari, rimarrebbe il meno:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Come elevare i numeri da 0 a 1 a potenza negativa

Ricordiamo che quando un numero compreso tra 0 e 1 viene elevato a una potenza positiva, il valore diminuisce all'aumentare della potenza. Quindi, ad esempio, 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Esempio 3: Calcola 0,5 -2
Soluzione: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Risposta: 0,5 -2 = 4

Analisi (sequenza di azioni):

• Converti la frazione decimale 0,5 nella frazione frazionaria 1/2. È più facile così.
  Aumenta di 1/2 a una potenza negativa. 1/(2) -2 . Dividi 1 per 1/(2) 2, otteniamo 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Esempio 4: Calcola 0,5 -3
Soluzione: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Esempio 5: Calcola -0,5 -3
Soluzione: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Risposta: -0,5 -3 = -8

Sulla base del 4° e 5° esempio, possiamo trarre diverse conclusioni:

• Per un numero positivo compreso tra 0 e 1 (esempio 4), elevato a una potenza negativa, non importa se la potenza è pari o dispari, il valore dell'espressione sarà positivo. Inoltre, maggiore è il grado, maggiore è il valore.
• Per un numero negativo compreso tra 0 e 1 (esempio 5), elevato a una potenza negativa, non importa se la potenza è pari o dispari, il valore dell'espressione sarà negativo. In questo caso, maggiore è il grado, minore è il valore.

Come elevare a una potenza negativa: una potenza sotto forma di numero frazionario

Espressioni di questo tipo hanno la seguente forma: a -m/n, dove a è un numero regolare, m è il numeratore del grado, n è il denominatore del grado.

Diamo un'occhiata ad un esempio:
Calcola: 8 -1/3

Soluzione (sequenza di azioni):

• Ricordiamo la regola per elevare un numero a una potenza negativa. Otteniamo: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• Nota che il denominatore ha il numero 8 in una potenza frazionaria. La forma generale per calcolare una potenza frazionaria è la seguente: a m/n = n √8 m.
• Pertanto, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Otteniamo la radice cubica di otto, che è uguale a 2. Da qui, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Risposta: 8 -1/3 = 2

Espressioni, conversione di espressioni

Espressioni di potere (espressioni con poteri) e loro trasformazione

In questo articolo parleremo della conversione delle espressioni con poteri. Innanzitutto, ci concentreremo sulle trasformazioni eseguite con espressioni di qualsiasi tipo, comprese le espressioni di potere, come l'apertura di parentesi e l'inserimento di termini simili. E poi analizzeremo le trasformazioni inerenti specificamente alle espressioni con gradi: lavorare con la base e l'esponente, utilizzare le proprietà dei gradi, ecc.

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Cosa sono le espressioni di potere?

Il termine “espressioni di potere” praticamente non compare nei libri di testo scolastici di matematica, ma appare abbastanza spesso nelle raccolte di problemi, in particolare in quelle destinate alla preparazione all'Esame di Stato Unificato e all'Esame di Stato Unificato, per esempio. Dopo aver analizzato i compiti in cui è necessario eseguire azioni con espressioni di potere, diventa chiaro che le espressioni di potere sono intese come espressioni contenenti poteri nelle loro voci. Pertanto, puoi accettare tu stesso la seguente definizione:

Definizione.

Espressioni di potere sono espressioni contenenti poteri.

Diamo esempi di espressioni di potere. Inoltre le presenteremo secondo come avviene lo sviluppo delle opinioni da un grado con esponente naturale a un grado con esponente reale.

Come è noto, in questa fase si conoscono prima le potenze di un numero con esponente naturale, le prime espressioni di potenze più semplici del tipo 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1) 4, 3 a 2 appaiono −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 ecc.

Un po' più tardi, viene studiata la potenza di un numero con esponente intero, il che porta alla comparsa di espressioni di potenza con potenze intere negative, come le seguenti: 3 −2, , un −2 +2 b −3 +c 2 .

Al liceo tornano ai gradi. Viene introdotto un grado con esponente razionale, che comporta la comparsa delle corrispondenti espressioni di potenza: , , e così via. Vengono infine considerati i gradi con esponenti irrazionali e le espressioni che li contengono: , .

La questione non si limita alle espressioni di potenza elencate: inoltre la variabile penetra nell'esponente e, ad esempio, sorgono le seguenti espressioni: 2 x 2 +1 o . E dopo aver preso confidenza con , iniziano ad apparire espressioni con potenze e logaritmi, ad esempio x 2·lgx −5·x lgx.

Quindi, abbiamo affrontato la questione di cosa rappresentano le espressioni di potere. Successivamente impareremo a trasformarli.

Principali tipologie di trasformazioni delle espressioni del potere

Con le espressioni di potere è possibile eseguire qualsiasi trasformazione di identità di base delle espressioni. Ad esempio, puoi aprire parentesi, sostituire espressioni numeriche con i loro valori, aggiungere termini simili, ecc. Naturalmente, in questo caso è necessario seguire la procedura accettata per eseguire le azioni. Facciamo degli esempi.

Esempio.

Calcolare il valore dell'espressione di potenza 2 3 ·(4 2 −12) .

Soluzione.

Secondo l'ordine di esecuzione delle azioni, esegui prima le azioni tra parentesi. Lì, in primo luogo, sostituiamo la potenza 4 2 con il suo valore 16 (se necessario, vedi), e in secondo luogo, calcoliamo la differenza 16−12=4. Abbiamo 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

Nell'espressione risultante sostituiamo la potenza 2 3 con il suo valore 8, dopodiché calcoliamo il prodotto 8·4=32. Questo è il valore desiderato.

COSÌ, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Risposta:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Esempio.

Semplificare le espressioni con le potenze 3 un 4 b −7 −1+2 un 4 b −7.

Soluzione.

Ovviamente questa espressione contiene termini simili 3·a 4 ·b −7 e 2·a 4 ·b −7 , e possiamo presentarli: .

Risposta:

3 un 4 b −7 −1+2 un 4 b −7 =5 un 4 b −7 −1.

Esempio.

Esprimere un'espressione con poteri come prodotto.

Soluzione.

Puoi affrontare il compito rappresentando il numero 9 come potenza di 3 2 e quindi utilizzando la formula per la moltiplicazione abbreviata - differenza dei quadrati:

Risposta:

Ci sono anche una serie di trasformazioni identiche inerenti specificamente alle espressioni di potere. Li analizzeremo ulteriormente.

Lavorare con base ed esponente

Esistono gradi la cui base e/o esponente non sono solo numeri o variabili, ma alcune espressioni. Ad esempio, diamo gli elementi (2+0.3·7) 5−3.7 e (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Quando si lavora con tali espressioni, è possibile sostituire sia l'espressione nella base del grado che l'espressione nell'esponente con un'espressione identicamente uguale nell'ODZ delle sue variabili. In altre parole, secondo le regole a noi note, possiamo trasformare separatamente la base del grado e separatamente l'esponente. È chiaro che come risultato di questa trasformazione si otterrà un'espressione identicamente uguale a quella originale.

Tali trasformazioni ci consentono di semplificare le espressioni con poteri o raggiungere altri obiettivi di cui abbiamo bisogno. Ad esempio, nell'espressione di potenza menzionata sopra (2+0,3 7) 5−3,7, puoi eseguire operazioni con i numeri in base ed esponente, che ti permetteranno di passare alla potenza 4,1 1,3. E dopo aver aperto le parentesi e portato termini simili alla base del grado (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1), otteniamo un'espressione di potenza della forma più semplice a 2·(x+ 1).

Utilizzo delle proprietà dei gradi

Uno dei principali strumenti per trasformare le espressioni con poteri sono le uguaglianze che riflettono. Ricordiamo i principali. Per ogni numero positivo a e b e numero reale arbitrario r e s, sono vere le seguenti proprietà delle potenze:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Si noti che per gli esponenti naturali, interi e positivi le restrizioni sui numeri a e b potrebbero non essere così rigide. Ad esempio, per i numeri naturali m en l'uguaglianza a m · a n = a m+n è vera non solo per a positivo, ma anche per a negativo e per a=0.

A scuola, l’obiettivo principale nella trasformazione delle espressioni del potere è la capacità di scegliere la proprietà appropriata e applicarla correttamente. In questo caso, le basi dei gradi sono generalmente positive, il che consente di utilizzare le proprietà dei gradi senza restrizioni. Lo stesso vale per la trasformazione di espressioni contenenti variabili nelle basi delle potenze: l'intervallo dei valori consentiti delle variabili è solitamente tale che le basi assumono solo valori positivi, il che consente di utilizzare liberamente le proprietà delle potenze . In generale, è necessario chiedersi costantemente se in questo caso sia possibile utilizzare qualsiasi proprietà dei titoli di studio, poiché un uso impreciso delle proprietà può portare a una riduzione del valore educativo e ad altri problemi. Questi punti sono discussi in dettaglio e con esempi nell'articolo trasformazione di espressioni utilizzando le proprietà delle potenze. Qui ci limiteremo a considerare alcuni semplici esempi.

Esempio.

Esprimere l'espressione a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 come potenza di base a.

Soluzione.

Per prima cosa trasformiamo il secondo fattore (a 2) −3 sfruttando la proprietà di elevare una potenza a potenza: (a2)−3 =a2·(−3) =a−6. L'espressione di potenza originaria assumerà la forma a 2.5 ·a −6:a −5.5. Ovviamente resta da utilizzare le proprietà di moltiplicazione e divisione delle potenze con la stessa base che abbiamo
un 2,5 ·un −6:un −5,5 =
un 2,5−6:un −5,5 =un −3,5:un −5,5 =
un −3,5−(−5,5) =un 2 .

Risposta:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Le proprietà dei poteri durante la trasformazione delle espressioni di potere vengono utilizzate sia da sinistra a destra che da destra a sinistra.

Esempio.

Trova il valore dell'espressione di potenza.

Soluzione.

L'uguaglianza (a·b) r =a r ·b r, applicata da destra a sinistra, permette di passare dall'espressione originaria ad un prodotto della forma e oltre. E quando si moltiplicano le potenze con le stesse basi, gli esponenti si sommano: .

Era possibile trasformare l'espressione originale in altro modo:

Risposta:

.

Esempio.

Data l’espressione di potenza a 1.5 −a 0.5 −6, introdurre una nuova variabile t=a 0.5.

Soluzione.

Il grado a 1.5 può essere rappresentato come a 0.5 3 e poi, in base alla proprietà del grado al grado (a r) s =a r s, applicata da destra a sinistra, trasformarlo nella forma (a 0.5) 3. Così, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Ora è facile introdurre una nuova variabile t=a 0.5, otteniamo t 3 −t−6.

Risposta:

t3 −t−6 .

Conversione di frazioni contenenti potenze

Le espressioni di potenza possono contenere o rappresentare frazioni con potenze. Qualsiasi trasformazione di base delle frazioni inerente alle frazioni di qualsiasi tipo è pienamente applicabile a tali frazioni. Cioè, le frazioni che contengono potenze possono essere ridotte, ridotte a un nuovo denominatore, lavorate separatamente con il loro numeratore e separatamente con il denominatore, ecc. Per illustrare queste parole, considera le soluzioni di diversi esempi.

Esempio.

Semplifica l'espressione del potere .

Soluzione.

Questa espressione di potere è una frazione. Lavoriamo con il suo numeratore e denominatore. Al numeratore apriamo le parentesi e semplifichiamo l'espressione risultante utilizzando le proprietà delle potenze, e al denominatore presentiamo termini simili:

E cambiamo anche il segno del denominatore ponendo un meno davanti alla frazione: .

Risposta:

.

La riduzione delle frazioni contenenti potenze a un nuovo denominatore viene eseguita in modo simile alla riduzione delle frazioni razionali a un nuovo denominatore. In questo caso viene trovato anche un fattore aggiuntivo e per esso vengono moltiplicati il ​​numeratore e il denominatore della frazione. Quando si esegue questa azione, vale la pena ricordare che la riduzione a un nuovo denominatore può portare a un restringimento del VA. Per evitare che ciò accada è necessario che il fattore aggiuntivo non vada a zero per nessun valore delle variabili delle variabili ODZ dell'espressione originale.

Esempio.

Riduci le frazioni a un nuovo denominatore: a) al denominatore a, b) al denominatore.

Soluzione.

a) In questo caso è abbastanza semplice capire quale moltiplicatore aggiuntivo aiuta a raggiungere il risultato desiderato. Questo è un moltiplicatore di a 0,3, poiché a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Si noti che nell'intervallo dei valori consentiti della variabile a (questo è l'insieme di tutti i numeri reali positivi), la potenza di a 0,3 non svanisce, quindi abbiamo il diritto di moltiplicare il numeratore e il denominatore di un dato frazione per questo fattore aggiuntivo:

b) Osservando più da vicino il denominatore, lo troverai

e moltiplicando questa espressione per si otterrà la somma dei cubi e , cioè . E questo è il nuovo denominatore a cui dobbiamo ridurre la frazione originaria.

È così che abbiamo trovato il fattore aggiuntivo. Nell'intervallo dei valori consentiti delle variabili x e y, l'espressione non svanisce, quindi possiamo moltiplicare per essa il numeratore e il denominatore della frazione:

Risposta:

UN) , B) .

Non c'è nulla di nuovo nemmeno nella riduzione delle frazioni contenenti potenze: il numeratore e il denominatore sono rappresentati come un numero di fattori, e gli stessi fattori del numeratore e del denominatore vengono ridotti.

Esempio.

Ridurre la frazione: a) , B) .

Soluzione.

a) Innanzitutto, il numeratore e il denominatore possono essere ridotti dei numeri 30 e 45, che è uguale a 15. Ovviamente è anche possibile effettuare una riduzione di x 0,5 +1 e di . Ecco cosa abbiamo:

b) In questo caso, fattori identici nel numeratore e nel denominatore non sono immediatamente visibili. Per ottenerli dovrai eseguire delle trasformazioni preliminari. In questo caso, consistono nel fattorizzare il denominatore utilizzando la formula della differenza dei quadrati:

Risposta:

UN)

B) .

La conversione delle frazioni in un nuovo denominatore e la riduzione delle frazioni vengono utilizzate principalmente per fare cose con le frazioni. Le azioni vengono eseguite secondo regole conosciute. Quando si aggiungono (sottraggono) le frazioni, vengono ridotte a un denominatore comune, dopo di che i numeratori vengono aggiunti (sottratti), ma il denominatore rimane lo stesso. Il risultato è una frazione il cui numeratore è il prodotto dei numeratori e il denominatore è il prodotto dei denominatori. La divisione per una frazione è la moltiplicazione per il suo inverso.

Esempio.

Segui i passi .

Soluzione.

Per prima cosa sottraiamo le frazioni tra parentesi. Per fare questo, li portiamo a un denominatore comune, ovvero , dopodiché sottraiamo i numeratori:

Ora moltiplichiamo le frazioni:

Ovviamente è possibile ridurre di una potenza di x 1/2, dopodiché abbiamo .

Puoi anche semplificare l'espressione della potenza al denominatore utilizzando la formula della differenza dei quadrati: .

Risposta:

Esempio.

Semplifica l'espressione del potere .

Soluzione.

Ovviamente, questa frazione può essere ridotta di (x 2,7 +1) 2, questo dà la frazione . È chiaro che occorre fare qualcos'altro con i poteri di X. Per fare ciò, trasformiamo la frazione risultante in un prodotto. Questo ci dà l’opportunità di sfruttare la proprietà di dividere le potenze con le stesse basi: . E alla fine del processo si passa dall'ultimo prodotto alla frazione.

Risposta:

.

E aggiungiamo anche che è possibile, e in molti casi auspicabile, trasferire fattori con esponente negativo dal numeratore al denominatore o dal denominatore al numeratore, cambiando il segno dell'esponente. Tali trasformazioni spesso semplificano ulteriori azioni. Ad esempio, un'espressione di potenza può essere sostituita da .

Conversione di espressioni con radici e potenze

Spesso, nelle espressioni in cui sono richieste alcune trasformazioni, insieme alle potenze sono presenti anche radici con esponenti frazionari. Per trasformare tale espressione nella forma desiderata, nella maggior parte dei casi è sufficiente andare solo alle radici o solo alle potenze. Ma poiché è più conveniente lavorare con i poteri, di solito si passa dalle radici ai poteri. Tuttavia, è consigliabile effettuare tale transizione quando l'ODZ delle variabili dell'espressione originale consente di sostituire le radici con potenze senza la necessità di fare riferimento al modulo o dividere l'ODZ in più intervalli (ne abbiamo parlato in dettaglio in l'articolo transizione dalle radici alle potenze e ritorno Dopo aver conosciuto il grado con esponente razionale viene introdotto il grado con esponente irrazionale, che ci permette di parlare di un grado con esponente reale arbitrario. In questa fase comincia ad esistere studiato a scuola. funzione esponenziale, che è analiticamente dato da una potenza, la cui base è un numero e l'esponente è una variabile. Quindi ci troviamo di fronte a espressioni di potenza contenenti numeri nella base della potenza e nell'esponente - espressioni con variabili, e naturalmente sorge la necessità di eseguire trasformazioni di tali espressioni.

Va detto che la trasformazione delle espressioni del tipo indicato di solito deve essere eseguita durante la risoluzione equazioni esponenziali E disuguaglianze esponenziali e queste conversioni sono abbastanza semplici. Nella stragrande maggioranza dei casi si basano sulle proprietà del titolo di studio e mirano, nella maggior parte dei casi, a introdurre una nuova variabile in futuro. L'equazione ci permetterà di dimostrarli 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

In primo luogo, le potenze, nei cui esponenti è la somma di una determinata variabile (o espressione con variabili) e un numero, vengono sostituite dai prodotti. Questo vale per il primo e l'ultimo termine dell'espressione a sinistra:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Successivamente, entrambi i lati dell'uguaglianza vengono divisi per l'espressione 7 2 x, che sull'ODZ della variabile x per l'equazione originale assume solo valori positivi (questa è una tecnica standard per risolvere equazioni di questo tipo, non lo siamo ne parliamo adesso, quindi concentriamoci sulle successive trasformazioni delle espressioni con poteri):

Ora possiamo cancellare le frazioni con le potenze, il che dà .

Infine, il rapporto tra potenze con gli stessi esponenti viene sostituito da potenze di relazioni, risultando nell'equazione , che è equivalente . Le trasformazioni effettuate permettono di introdurre una nuova variabile, che riduce la soluzione dell'equazione esponenziale originaria alla soluzione di un'equazione quadratica

Una delle caratteristiche principali dell'algebra, e di tutta la matematica, è il grado. Naturalmente, nel 21° secolo, tutti i calcoli possono essere eseguiti su un calcolatore online, ma per lo sviluppo del cervello è meglio imparare a farlo da soli.

In questo articolo considereremo le questioni più importanti riguardanti questa definizione. Cioè, capiamo cos'è in generale e quali sono le sue funzioni principali, quali proprietà ci sono in matematica.

Diamo un'occhiata ad esempi di come appare il calcolo e quali sono le formule di base. Diamo un'occhiata ai principali tipi di quantità e come differiscono dalle altre funzioni.

Cerchiamo di capire come risolvere vari problemi utilizzando questa quantità. Mostreremo con esempi come elevare alla potenza zero, irrazionale, negativa, ecc.

Calcolatore di esponenziazione online

Cos'è la potenza di un numero

Cosa si intende con l’espressione “elevare un numero a potenza”?

La potenza n di un numero è il prodotto di fattori di grandezza an n volte consecutive.

Matematicamente appare così:

un n = un * un * un * ... un n .

Per esempio:

• 2 3 = 2 di terzo grado. = 2*2*2 = 8;
• 4 2 = 4 al passo. due = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 al passo. quattro = 5*5*5*5 = 625;
• 10 5 = 10 in 5 passi. = 10*10*10*10*10 = 100000;
• 10 4 = 10 in 4 passaggi. = 10*10*10*10 = 10000.

Di seguito è riportata una tabella dei quadrati e dei cubi da 1 a 10.

Tabella dei gradi da 1 a 10

Di seguito sono riportati i risultati dell'elevazione dei numeri naturali a potenze positive - "da 1 a 100".

Proprietà dei gradi

Cosa è caratteristico di una tale funzione matematica? Diamo un'occhiata alle proprietà di base.

Gli scienziati hanno stabilito quanto segue segni caratteristici di tutti i gradi:

• a n * a m = (a) (n+m) ;
• un n: un m = (a) (n-m) ;
• (a b) m = (a) (b*m) .

Verifichiamo con degli esempi:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. D'altra parte, 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Allo stesso modo: 2 3: 2 2 = 8 / 4 =2. Altrimenti 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. E se fosse diverso? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Come puoi vedere, le regole funzionano.

Ma per quanto riguarda con addizione e sottrazione? È semplice. Viene eseguito prima l'elevamento a potenza, quindi l'addizione e la sottrazione.

Diamo un'occhiata agli esempi:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Nota: la regola non vale se prima sottrai: (5 – 3) 2 = 2 2 = 4.

Ma in questo caso, devi prima calcolare l'addizione, poiché ci sono azioni tra parentesi: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Come produrre calcoli nei casi più complessi? L'ordine è lo stesso:

• se ci sono parentesi, devi iniziare con loro;
• quindi esponenziazione;
• quindi eseguire le operazioni di moltiplicazione e divisione;
• dopo l'addizione, la sottrazione.

Esistono proprietà specifiche che non sono caratteristiche di tutti i gradi:

1. La radice n-esima del numero a al grado m si scriverà come: a m / n.
2. Quando si eleva una frazione a potenza: sia il numeratore che il suo denominatore sono soggetti a questa procedura.
3. Quando si eleva a potenza il prodotto di numeri diversi, l'espressione corrisponderà al prodotto di questi numeri per la potenza data. Cioè: (a * b) n = a n * b n .
4. Quando si eleva un numero a una potenza negativa, è necessario dividere 1 per un numero nello stesso secolo, ma con un segno "+".
5. Se il denominatore di una frazione sta a una potenza negativa, allora questa espressione sarà uguale al prodotto del numeratore e del denominatore a una potenza positiva.
6. Qualsiasi numero elevato a 0 = 1 e elevato a potenza. 1 = a te stesso.

Queste regole sono importanti in alcuni casi; le considereremo più in dettaglio di seguito.

Grado con esponente negativo

Cosa fare con un grado negativo, cioè quando l'indicatore è negativo?

Basato sulle proprietà 4 e 5(vedi punto sopra), si scopre:

A (- n) = 1 / A n, 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.

E viceversa:

1 / A (- n) = A n, 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.

E se fosse una frazione?

(A/B) (- n) = (B/A) n, (3/5) (-2) = (5/3) 2 = 25/9.

Laurea con indicatore naturale

È inteso come un grado con esponenti uguali a numeri interi.

Cose da ricordare:

A0 = 1, 10 = 1; 20 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1...ecc.

UN1 = UN, 11 = 1; 21 = 2; 3 1 = 3...ecc.

Inoltre, se (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2...allora il risultato sarà con il segno “+”. Se un numero negativo viene elevato a una potenza dispari, viceversa.

Sono caratteristici anche le proprietà generali e tutte le caratteristiche specifiche sopra descritte.

Grado frazionario

Questo tipo può essere scritto come uno schema: A m / n. Leggi come: la radice n-esima del numero A elevata alla potenza m.

Puoi fare quello che vuoi con un indicatore frazionario: ridurlo, dividerlo in parti, elevarlo a un'altra potenza, ecc.

Laurea con esponente irrazionale

Sia α un numero irrazionale e A ˃ 0.

Per comprendere l'essenza di una laurea con un tale indicatore, Consideriamo i diversi casi possibili:

• A = 1. Il risultato sarà uguale a 1. Poiché esiste un assioma, 1 in tutte le potenze è uguale a uno;

À r 1 ˂ À α ˂ À r 2 , r 1 ˂ r 2 – numeri razionali;

• 0˂А˂1.

In questo caso avviene il contrario: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 nelle stesse condizioni del secondo paragrafo.

Ad esempio, l'esponente è il numero π.È razionale.

r 1 – in questo caso equivale a 3;

r 2 – sarà uguale a 4.

Allora, per A = 1, 1 π = 1.

A = 2, allora 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, quindi (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Tali gradi sono caratterizzati da tutte le operazioni matematiche e dalle proprietà specifiche sopra descritte.

Conclusione

Riassumiamo: a cosa servono queste quantità, quali sono i vantaggi di tali funzioni? Naturalmente, prima di tutto, semplificano la vita di matematici e programmatori quando risolvono esempi, poiché consentono loro di ridurre al minimo i calcoli, abbreviare gli algoritmi, sistematizzare i dati e molto altro.

In quale altro luogo questa conoscenza può essere utile? In qualsiasi specialità lavorativa: medicina, farmacologia, odontoiatria, edilizia, tecnologia, ingegneria, design, ecc.

La potenza viene utilizzata per semplificare l'operazione di moltiplicazione di un numero per se stesso. Ad esempio, invece di scrivere, puoi scrivere 4 5 (\displaystyle 4^(5))(una spiegazione di questa transizione è fornita nella prima sezione di questo articolo). I gradi rendono più semplice scrivere espressioni o equazioni lunghe o complesse; le potenze sono anche facili da aggiungere e sottrarre, risultando in un'espressione o equazione semplificata (ad esempio, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Nota: se devi risolvere un'equazione esponenziale (in tale equazione l'incognita è nell'esponente), leggi.

Passi

Risolvere semplici problemi con i gradi

Moltiplicare la base dell'esponente per se stessa un numero di volte pari all'esponente. Se devi risolvere manualmente un problema di potenza, riscrivi la potenza come un'operazione di moltiplicazione, dove la base della potenza viene moltiplicata per se stessa. Ad esempio, data una laurea 3 4 (\displaystyle 3^(4)). In questo caso la base della potenza 3 va moltiplicata per se stessa 4 volte: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Ecco altri esempi:

Per prima cosa moltiplica i primi due numeri. Per esempio, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Non preoccuparti: il processo di calcolo non è così complicato come sembra a prima vista. Per prima cosa moltiplica i primi due quattro e poi sostituiscili con il risultato. Come questo:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 * 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Moltiplica il risultato (16 nel nostro esempio) per il numero successivo. Ogni risultato successivo aumenterà proporzionalmente. Nel nostro esempio, moltiplica 16 per 4. In questo modo:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16∗4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64∗4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 * 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Continua a moltiplicare il risultato dei primi due numeri per il numero successivo finché non ottieni la risposta finale. Per fare ciò, moltiplica i primi due numeri, quindi moltiplica il risultato risultante per il numero successivo nella sequenza. Questo metodo è valido per qualsiasi laurea. Nel nostro esempio dovresti ottenere: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Risolvi i seguenti problemi. Controlla la tua risposta utilizzando una calcolatrice.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. Sulla calcolatrice, cerca il tasto etichettato "exp" o " xn (\displaystyle x^(n))", o "^". Usando questo tasto eleverai un numero a una potenza. È quasi impossibile calcolare manualmente un grado con un indicatore di grandi dimensioni (ad esempio, il grado 9 15 (\displaystyle 9^(15))), ma la calcolatrice può facilmente far fronte a questo compito. In Windows 7 la calcolatrice standard può essere commutata in modalità ingegneria; Per fare ciò, fare clic su "Visualizza" -> "Ingegneria". Per passare alla modalità normale, fare clic su "Visualizza" -> "Normale".

   • Controlla la risposta ricevuta utilizzando un motore di ricerca (Google o Yandex). Utilizzando il tasto "^" sulla tastiera del tuo computer, inserisci l'espressione nel motore di ricerca, che visualizzerà immediatamente la risposta corretta (ed eventualmente ti suggerirà espressioni simili da studiare).

   Addizione, sottrazione, moltiplicazione di potenze

   1. Puoi sommare e sottrarre gradi solo se hanno le stesse basi. Se devi sommare potenze con le stesse basi ed esponenti, puoi sostituire l'operazione di addizione con l'operazione di moltiplicazione. Ad esempio, data l'espressione 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Ricorda che la laurea 4 5 (\displaystyle 4^(5)) può essere rappresentato nella forma 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); Così, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(dove 1+1 =2). Cioè, conta il numero di gradi simili, quindi moltiplica quel grado per questo numero. Nel nostro esempio, eleva 4 alla quinta potenza, quindi moltiplica il risultato risultante per 2. Ricorda che l'operazione di addizione può essere sostituita dall'operazione di moltiplicazione, ad esempio: 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Ecco altri esempi:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Quando si moltiplicano potenze con la stessa base, si sommano i loro esponenti (la base non cambia). Ad esempio, data l'espressione x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). In questo caso basterà aggiungere gli indicatori, lasciando invariata la base. Così, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Ecco una spiegazione visiva di questa regola:

      Quando si eleva una potenza a potenza, gli esponenti vengono moltiplicati. Ad esempio, viene rilasciata una laurea. Poiché gli esponenti vengono moltiplicati, allora (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Il punto di questa regola è che moltiplichi per potenze (x2) (\displaystyle (x^(2))) su se stesso cinque volte. Come questo:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Poiché la base è la stessa, gli esponenti si sommano semplicemente: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Una potenza con esponente negativo deve essere convertita in una frazione (potenza inversa). Non importa se non sai cos'è un diploma reciproco. Se ti viene assegnata una laurea con esponente negativo, ad es. 3 - 2 (\displaystyle 3^(-2)), scrivi questo grado nel denominatore della frazione (metti 1 al numeratore) e rendi positivo l'esponente. Nel nostro esempio: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Ecco altri esempi:

      Quando si dividono i gradi con la stessa base, i loro esponenti vengono sottratti (la base non cambia). L'operazione di divisione è l'opposto dell'operazione di moltiplicazione. Ad esempio, data l'espressione 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Sottrai l'esponente al denominatore dall'esponente al numeratore (non cambiare la base). Così, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • La potenza al denominatore può essere scritta come segue: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 - 2 (\displaystyle 4^(-2)). Ricorda che una frazione è un numero (potenza, espressione) con esponente negativo.

   4. Di seguito sono riportate alcune espressioni che ti aiuteranno a imparare a risolvere i problemi con gli esponenti. Le espressioni fornite coprono il materiale presentato in questa sezione. Per vedere la risposta, seleziona semplicemente lo spazio vuoto dopo il segno di uguale.

   Risoluzione di problemi con esponenti frazionari

   Una potenza con esponente frazionario (ad esempio ) viene convertita in un'operazione di radice. Nel nostro esempio: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x (\displaystyle (\sqrt (x))). Qui non importa quale numero sia al denominatore dell'esponente frazionario. Per esempio, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))- è la quarta radice di “x”, cioè x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. Se l'esponente è una frazione impropria, allora l'esponente può essere scomposto in due potenze per semplificare la soluzione del problema. Non c'è niente di complicato in questo: ricorda solo la regola della moltiplicazione dei poteri. Ad esempio, viene rilasciata una laurea. Converti tale potenza in una radice la cui potenza è uguale al denominatore dell'esponente frazionario, quindi eleva questa radice a una potenza uguale al numeratore dell'esponente frazionario. Per fare questo, ricordatelo 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). Nel nostro esempio:

      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   2. Alcune calcolatrici dispongono di un pulsante per calcolare gli esponenti (è necessario prima inserire la base, quindi premere il pulsante e quindi inserire l'esponente). È indicato come ^ o x^y.
   3. Ricorda che qualsiasi numero elevato alla prima potenza è uguale a se stesso, ad esempio, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) Inoltre, qualsiasi numero moltiplicato o diviso per uno è uguale a se stesso, ad es. 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) E 5/1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
   4. Sappi che la potenza 0 0 non esiste (tale potenza non ha soluzione). Se provi a risolvere un tale grado su una calcolatrice o su un computer, riceverai un errore. Ma ricorda che qualsiasi numero elevato a zero è 1, ad esempio, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. Nella matematica superiore, che opera con numeri immaginari: e un io X = c o s un x + io s io n un x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), Dove i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e è una costante approssimativamente pari a 2,7; a è una costante arbitraria. La prova di questa uguaglianza può essere trovata in qualsiasi libro di testo di matematica superiore.

   Avvertenze

   • All’aumentare dell’esponente, il suo valore aumenta notevolmente. Quindi se la risposta ti sembra sbagliata, in realtà potrebbe essere corretta. Puoi verificarlo tracciando qualsiasi funzione esponenziale, come 2 x.