Funktsiooni tuletis antud punktis. Logaritmilise funktsiooni tuletis

Erinevate geomeetria, mehaanika, füüsika ja teiste teadmiste valdkondade probleemide lahendamisel tekkis vajadus kasutada sama analüütilist protsessi sellest funktsioonist y=f(x) saada uus funktsioon mida nimetatakse tuletisfunktsioon(või lihtsalt tuletis) antud funktsioonist f(x) ja on tähistatud sümboliga

Protsess, mille käigus antud funktsioonist f(x) hankige uus funktsioon f" (x), kutsus eristamist ja see koosneb kolmest järgmisest etapist: 1) esitage argument x juurdekasv  x ja määrake funktsiooni vastav juurdekasv  y = f(x+ x) -f(x); 2) luua suhe

3) loendamine x pidev ja  x0, leiame
, mida me tähistame f" (x), justkui rõhutades, et tulemuseks olev funktsioon sõltub ainult väärtusest x, mille juures jõuame piirini. Definitsioon: Tuletis y " =f " (x) antud funktsioon y=f(x) antud x jaoks nimetatakse funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piiriks eeldusel, et argumendi juurdekasv kipub olema null, kui see piir muidugi on olemas, s.t. lõplik. Seega
, või

Pange tähele, et kui mõne väärtuse jaoks x, näiteks millal x=a, suhtumine
juures  x0 ei kipu lõplikule piirile, siis sel juhul öeldakse, et funktsioon f(x) juures x=a(või punktis x=a) ei oma tuletist või ei ole punktis diferentseeritav x=a.

2. Tuletise geomeetriline tähendus.

Vaatleme funktsiooni y = f (x) graafikut, mis on diferentseeruv punkti x 0 läheduses

f(x)

Vaatleme suvalist sirget, mis läbib funktsiooni graafikul olevat punkti - punkt A(x 0, f (x 0)) ja lõikub graafikuga mingis punktis B(x;f(x)). Sellist sirget (AB) nimetatakse sekantiks. Alates ∆ABC: ​​AC = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x.

Kuna AC || Ox, siis ALO = BAC = β (vastavalt paralleelile). Kuid ALO on sekandi AB kaldenurk Ox-telje positiivse suuna suhtes. See tähendab, et tanβ = k on sirge AB kalle.

Nüüd vähendame ∆х, st. ∆х→ 0. Sel juhul läheneb punkt B vastavalt graafikule punktile A ja sekant AB pöörleb. Sekandi AB piirasend punktis ∆x → 0 on sirge (a), mida nimetatakse funktsiooni y = f (x) graafiku puutujaks punktis A.

Kui läheme võrrandis tgβ =∆y/∆x piirini ∆x → 0, saame
ortg =f "(x 0), kuna
-Ox-telje positiivse suuna puutuja kaldenurk
, tuletise määratluse järgi. Kuid tg = k on puutuja nurkkoefitsient, mis tähendab, et k = tg = f "(x 0).

Seega on tuletise geomeetriline tähendus järgmine:

Funktsiooni tuletis punktis x 0 võrdne abstsissiga x punktis joonistatud funktsiooni graafiku puutuja kaldega 0 .

3. Tuletise füüsiline tähendus.

Mõelge punkti liikumisele piki sirgjoont. Olgu antud punkti koordinaat igal ajahetkel x(t). Teada on (füüsikakursusest), et keskmine kiirus teatud aja jooksul võrdub selle ajaperioodi jooksul läbitud vahemaa suhtega aega, s.o.

Vav = ∆x/∆t. Liigume viimase võrdsuse piirini ∆t → 0.

lim Vav (t) = (t 0) - hetkekiirus ajahetkel t 0, ∆t → 0.

ja lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (tuletise definitsiooni järgi).

Niisiis, (t) =x"(t).

Tuletise füüsikaline tähendus on järgmine: funktsiooni tuletisy = f(x) punktisx 0 on funktsiooni muutumise kiirusf(x) punktisx 0

Tuletist kasutatakse füüsikas kiiruse leidmiseks teadaolevast koordinaatide ja aja funktsioonist, kiirenduse leidmiseks kiiruse ja aja teadaolevast funktsioonist.

(t) = x"(t) – kiirus,

a(f) = "(t) - kiirendus või

Kui ainelise punkti liikumise seadus ringis on teada, siis saab leida nurkkiiruse ja nurkkiirenduse pöörleva liikumise ajal:

φ = φ(t) – nurga muutus ajas,

ω = φ"(t) – nurkkiirus,

ε = φ"(t) – nurkiirendus või ε = φ"(t).

Kui on teada ebahomogeense varda massijaotuse seadus, siis saab leida ebahomogeense varda joontiheduse:

m = m(x) – mass,

x  , l - varda pikkus,

p = m"(x) - lineaarne tihedus.

Tuletise abil lahendatakse ülesandeid elastsuse ja harmooniliste vibratsioonide teooriast. Niisiis, vastavalt Hooke'i seadusele

F = -kx, x – muutuv koordinaat, k – vedru elastsuse koefitsient. Kui panna ω 2 =k/m, saame vedrupendli diferentsiaalvõrrandi x"(t) + ω 2 x(t) = 0,

kus ω = √k/√m võnkesagedus (l/c), k - vedru jäikus (H/m).

Võrrandit kujul y" + ω 2 y = 0 nimetatakse harmooniliste (mehaaniliste, elektriliste, elektromagnetiliste) võnkumiste võrrandiks. Selliste võrrandite lahendus on funktsioon

y = Asin(ωt + φ 0) või y = Acos(ωt + φ 0), kus

A - võnkumiste amplituud, ω - tsükliline sagedus,

φ 0 - algfaas.

Selles tunnis õpime rakendama valemeid ja eristamise reegleid.

Näited. Leia funktsioonide tuletised.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Reegli rakendamine I, valemid 4, 2 ja 1. Saame:

y’=7x6 +5x4-4x3 +3x2-2x+1.

2. y=3x6 -2x+5. Lahendame sarnaselt, kasutades samu valemeid ja valemit 3.

y’=3∙6x5-2=18x5-2.

Reegli rakendamine I, valemid 3, 5 Ja 6 Ja 1.

Reegli rakendamine IV, valemid 5 Ja 1 .

Viiendas näites reegli järgi I summa tuletis võrdub tuletiste summaga ja just leidsime 1. liikme tuletise (näide 4 ), seetõttu leiame tuletised 2 Ja 3 tingimused ja 1. jaoks summand saame kohe tulemuse kirjutada.

Teeme vahet 2 Ja 3 terminid valemi järgi 4 . Selleks teisendame nimetajates oleva kolmanda ja neljanda astme juured c astmeteks negatiivsed näitajad, ja seejärel, poolt 4 valem, leiame astmete tuletised.

Vaata see näide ja saadud tulemus. Kas sa said mustri kinni? Hästi. See tähendab, et meil on uus valem ja saame selle lisada oma tuletiste tabelisse.

Lahendame kuuenda näite ja tuletame teise valemi.

Kasutame reeglit IV ja valem 4 . Vähendame saadud murde.

Vaatame edasi seda funktsiooni ja selle tuletis. Muidugi mõistate mustrit ja olete valmis valemit nimetama:

Õppige uusi valemeid!

Näited.

1. Leia argumendi juurdekasv ja funktsiooni y= juurdekasv x 2, Kui Algne väärtus argument oli võrdne 4 ja uus - 4,01 .

Lahendus.

Uus argumendi väärtus x=x 0 +Δx. Asendame andmed: 4.01=4+Δх, siit ka argumendi juurdekasv Δx=4,01-4 = 0,01. Funktsiooni juurdekasv on definitsiooni järgi võrdne funktsiooni uue ja eelmiste väärtuste erinevusega, st. Δy=f (x 0 + Δx) - f (x 0). Kuna meil on funktsioon y=x2, See Δу=(x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 = (x 0) 2 + 2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Vastus: argumentide juurdekasv Δx=0,01; funktsiooni juurdekasv Δу=0,0801.

Funktsiooni juurdekasvu võib leida erinevalt: Δy=y (x 0 + Δx) -y (x 0) = y (4,01) -y (4) = 4,01 2 - 4 2 = 16,0801-16 = 0,0801.

2. Leia funktsiooni graafiku puutuja kaldenurk y=f(x) punktis x 0, Kui f "(x 0) = 1.

Lahendus.

Tuletise väärtus puutepunktis x 0 ja on puutuja nurga puutuja väärtus (tuletise geomeetriline tähendus). Meil on: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, sest tg45° = 1.

Vastus: selle funktsiooni graafiku puutuja moodustab koos positiivne suund telje ox nurk võrdne 45°.

3. Tuletage funktsiooni tuletise valem y=x n.

Eristumine on funktsiooni tuletise leidmise toiming.

Tuletisi leidmisel kasutage valemeid, mis tuletati tuletise definitsiooni alusel, samamoodi nagu tuletasime tuletise astme valemi: (x n)" = nx n-1.

Need on valemid.

Tuletisinstrumentide tabel Verbaalsete sõnastuste hääldamisel on seda lihtsam meelde jätta:

1. Konstantse suuruse tuletis on null.

2. X algarvu on võrdne ühega.

3. Konstantteguri saab tuletise märgist välja võtta.

4. Astme tuletis on võrdne selle astme eksponendi korrutisega sama alusega astme võrra, kuid astendaja on ühe võrra väiksem.

5. Juure tuletis võrdub ühega, mis on jagatud kahe võrdse juurega.

6. Ühe jagatuna x-ga tuletis võrdub miinus üks jagatuna x-ga ruudus.

7. Siinuse tuletis on võrdne koosinusega.

8. Koosinuse tuletis on võrdne miinussiinusega.

9. Puutuja tuletis võrdub ühega, mis on jagatud koosinuse ruuduga.

10. Kootangensi tuletis on miinus üks jagatuna siinuse ruuduga.

Me õpetame diferentseerimisreeglid.

1. Algebralise summa tuletis on võrdne terminite tuletiste algebralise summaga.

2. Korrutise tuletis on võrdne esimese ja teise teguri tuletise korrutisega pluss esimese teguri ja teise teguri tuletis.

3. Tuletis "y" jagatud "ve"-ga võrdub murdosaga, milles lugeja on "y algarvu korrutis "ve" miinus "y korrutatud ve-ga" ja nimetaja on "ve ruudus".

4. Erijuhtum valemid 3.

Õpime koos!

1. lehekülg 1-st 1

Olgu funktsioon y = f(x) defineeritud intervallis X. Tuletis funktsiooni y = f(x) punktis x o nimetatakse piiriks

= .

Kui see piir piiratud, siis kutsutakse funktsioon f(x). eristatav punktis x o; Pealegi osutub see sel hetkel tingimata pidevaks.

Kui vaadeldav piirväärtus on võrdne  (või - ), siis eeldusel, et funktsioon punktis X o on pidev, siis ütleme, et funktsioonil f(x) on punkt X o lõpmatu tuletis.

Tuletist tähistatakse sümbolitega

y , f (x o), , .

Tuletise leidmist nimetatakse eristamist funktsioonid. Tuletise geomeetriline tähendus tuletis on kõvera y=f(x) puutuja kalle antud punktis X o ; füüsiline tähendus - on see, et tee tuletis aja suhtes on liikuva punkti hetkkiirus sirgjoonelise liikumise ajal s = s(t) hetkel t o .

Kui Koos on konstantne arv ja u = u(x), v = v(x) on mõned diferentseeruvad funktsioonid, siis järgides reegleid eristamine:

1) (c) " = 0, (cu) " = cu";

2) (u+v)" = u"+v";

3) (uv)" = u"v+v"u;

4) (u/v)" = (u"v-v"u)/v 2;

5) kui y = f(u), u = (x), s.o. y = f((x)) - keeruline funktsioon või superpositsioon, mis koosneb diferentseeruvatest funktsioonidest  ja f, siis , või

6) kui funktsiooni y = f(x) korral on pöördvõrdeline diferentseeruv funktsioon x = g(y) ja  0, siis .

Tuletise definitsiooni ja diferentseerimisreeglite põhjal on võimalik koostada põhiliste elementaarfunktsioonide tabelituletisi loetelu.

1. (u )" =  u  1 u" (  R).

2. (a u)" = a u lna u".

3. (e u)" = e u u".

4. (log a u)" = u"/(u ln a).

5. (ln u)" = u"/u.

6. (sin u)" = cos u u".

7. (cos u)" = - sin u u".

8. (tg u)" = 1/ cos 2 u u".

9. (ctg u)" = - u" / sin 2 u.

10. (arcsin u)" = u" / .

11. (arccos u)" = - u" / .

12. (arctg u)" = u"/(1 + u 2).

13. (arcctg u)" = - u"/(1 + u 2).

Arvutame astmeeksponentsiaalse avaldise y=u v , (u>0) tuletise, kus u Ja v funktsiooni olemus alates X, millel on antud punktis tuletised sina",v".

Võttes võrrandi y=u v logaritmid, saame ln y = v ln u.

Tuletiste võrdsustamine suhtes X saadud võrdsuse mõlemalt poolelt, kasutades reegleid 3, 5 ja tuletise valemit logaritmiline funktsioon, sellel on:

y"/y = vu"/u +v" ln u, kust y" = y (vu"/u +v" ln u).

(u v)"=u v (vu"/u+v" ln u), u > 0.

Näiteks kui y = x sin x, siis y" = x sin x (sin x/x + cos x ln x).

Kui funktsioon y = f(x) on punktis diferentseeruv x, st. on selles punktis lõplik tuletis y", siis = y"+, kus 0 juures х 0; seega  y = y" х +  x.

Funktsiooni juurdekasvu põhiosa, lineaarne x suhtes, nimetatakse diferentsiaal funktsioonid ja seda tähistatakse dy-ga: dy = y" х. Kui paneme sellesse valemisse y=x, saame dx = x"х = 1х =х, seega dy=y"dx, st sümbol for Tuletise tähistust võib pidada murdarvuks.

Funktsiooni juurdekasv  y on kõvera ordinaadi juurdekasv ja diferentsiaal d y on puutuja ordinaatne juurdekasv.

Leiame funktsiooni y=f(x) jaoks selle tuletise y = f (x). Selle tuletise tuletist nimetatakse teist järku tuletis funktsioonid f(x), või teine ​​tuletis, ja on määratud .

Järgmised on määratletud ja tähistatud samal viisil:

kolmandat järku tuletis - ,

neljandat järku tuletis -

ja üldiselt n-ndat järku tuletis - .

Näide 3.15. Arvutage funktsiooni y=(3x 3 -2x+1)sin x tuletis.

Lahendus. Reegli 3 järgi y"=(3x 3 -2x+1)"sin x + (3x 3 -2x+1)(sin x)" = = (9x 2 -2)sin x + (3x 3 -2x +1)cos x.

Näide 3.16 . Leidke y", y = tan x + .

Lahendus. Kasutades summa ja jagatise eristamise reegleid, saame: y"=(tgx + )" = (tgx)" + ()" = + = .

Näide 3.17. Leidke kompleksfunktsiooni y= , u=x 4 +1 tuletis.

Lahendus. Kompleksfunktsiooni diferentseerimise reegli järgi saame: y" x =y " u u" x =()" u (x 4 +1)" x =(2u +. Kuna u=x 4 +1, siis (2 x 4 + 2+ .

Ülesanne B9 annab funktsiooni või tuletise graafiku, mille põhjal peate määrama ühe järgmistest suurustest:

1. tuletise väärtus mingil hetkel x 0,
2. Maksimaalsed või minimaalsed punktid (äärmuspunktid),
3. Suurenevate ja kahanevate funktsioonide intervallid (monotoonsuse intervallid).

Selles ülesandes esitatud funktsioonid ja tuletised on alati pidevad, muutes lahenduse palju lihtsamaks. Vaatamata sellele, et ülesanne kuulub sektsiooni matemaatiline analüüs, on see isegi kõige nõrgemate õpilaste võimaluste piires, kuna siin pole vaja sügavaid teoreetilisi teadmisi.

Tuletise, ekstreemumipunktide ja monotoonsusintervallide väärtuse leidmiseks on lihtsad ja universaalsed algoritmid – neid kõiki käsitletakse allpool.

Lugege hoolikalt ülesande B9 tingimusi, et mitte teha rumalaid vigu: mõnikord tuleb ette üsna pikki tekste, kuid olulised tingimused, mis mõjutavad otsuse kulgu, on vähe.

Tuletisväärtuse arvutamine. Kahe punkti meetod

Kui ülesandele on antud funktsiooni f(x) graaf, mis puutub seda graafikut mingis punktis x 0 ja selles punktis on vaja leida tuletise väärtus, rakendatakse järgmist algoritmi:

1. Leidke puutujagraafikult kaks "adekvaatset" punkti: nende koordinaadid peavad olema täisarvud. Tähistame need punktid kui A (x 1 ; y 1) ja B (x 2 ; y 2). Kirjutage koordinaadid õigesti - see on lahenduse võtmepunkt ja iga siin tehtud viga viib vale vastuseni.
2. Teades koordinaate, on lihtne arvutada argumendi Δx = x 2 − x 1 juurdekasvu ja funktsiooni Δy = y 2 − y 1 juurdekasvu.
3. Lõpuks leiame tuletise D = Δy/Δx väärtuse. Teisisõnu, peate jagama funktsiooni juurdekasvu argumendi juurdekasvuga - ja see on vastus.

Märgime veel kord: punkte A ja B tuleb otsida just puutujalt, mitte aga funktsiooni f(x) graafikult, nagu sageli juhtub. Puutejoon peab tingimata sisaldama vähemalt kahte sellist punkti - vastasel juhul ei formuleerita ülesannet õigesti.

Vaatleme punkte A (-3; 2) ja B (-1; 6) ning leidke juurdekasvud:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Leiame tuletise väärtuse: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Ülesanne. Joonisel on kujutatud funktsiooni y = f(x) graafik ja selle puutuja punktis, mille abstsiss on x 0. Leia funktsiooni f(x) tuletise väärtus punktis x 0 .

Vaatleme punkte A (0; 3) ja B (3; 0), leidke juurdekasvud:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Nüüd leiame tuletise väärtuse: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Ülesanne. Joonisel on kujutatud funktsiooni y = f(x) graafik ja selle puutuja punktis, mille abstsiss on x 0. Leia funktsiooni f(x) tuletise väärtus punktis x 0 .

Mõelge punktidele A (0; 2) ja B (5; 2) ning leidke juurdekasv:
Δx = x 2 - x 1 = 5 - 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Jääb üle leida tuletise väärtus: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Viimasest näitest saame sõnastada reegli: kui puutuja on paralleelne OX-teljega, on funktsiooni tuletis puutepunktis null. Sel juhul ei pea te isegi midagi loendama – vaadake lihtsalt graafikut.

Maksimaalsete ja minimaalsete punktide arvutamine

Mõnikord annab ülesanne B9 funktsiooni graafiku asemel tuletise graafiku ja nõuab funktsiooni maksimum- või miinimumpunkti leidmist. Selles olukorras on kahepunkti meetod kasutu, kuid on veel üks, veelgi lihtsam algoritm. Esiteks määratleme terminoloogia:

1. Punkti x 0 nimetatakse funktsiooni f(x) maksimumpunktiks, kui selle punkti mõnes naabruses kehtib järgmine võrratus: f(x 0) ≥ f(x).
2. Punkti x 0 nimetatakse funktsiooni f(x) miinimumpunktiks, kui selle punkti mõnes naabruses kehtib järgmine võrratus: f(x 0) ≤ f(x).

Tuletisgraafiku maksimum- ja miinimumpunktide leidmiseks toimige järgmiselt.

1. Joonistage tuletisgraafik ümber, eemaldades kogu mittevajaliku teabe. Nagu praktika näitab, segavad mittevajalikud andmed ainult otsust. Seetõttu märgime koordinaatide teljele tuletise nullid - ja kõik.
2. Leia tuletise märgid nullidevahelistel intervallidel. Kui mingi punkti x 0 puhul on teada, et f'(x 0) ≠ 0, siis on võimalikud ainult kaks võimalust: f'(x 0) ≥ 0 või f'(x 0) ≤ 0. Tuletise märk on algse joonise järgi lihtne määrata: kui tuletisgraafik asub OX-telje kohal, siis f'(x) ≥ 0. Ja vastupidi, kui tuletisgraafik asub OX-teljest allpool, siis f'(x) ≤ 0.
3. Kontrollime uuesti tuletise nullid ja märke. Kui märk muutub miinusest plussiks, on miinimumpunkt. Ja vastupidi, kui tuletise märk muutub plussist miinusesse, on see maksimumpunkt. Loendamine toimub alati vasakult paremale.

See skeem töötab ainult pidevate funktsioonide puhul – ülesandes B9 teisi pole.

Ülesanne. Joonisel on graafik funktsiooni f(x) tuletisest, mis on defineeritud intervallil [−5; 5]. Leia sellel lõigul funktsiooni f(x) miinimumpunkt.

Vabaneme ebavajalikust infost ja jätame ainult piirid [−5; 5] ja tuletise nullid x = −3 ja x = 2,5. Samuti paneme tähele märke:

Ilmselt muutub punktis x = −3 tuletise märk miinusest plussiks. See on miinimumpunkt.

Ülesanne. Joonisel on graafik funktsiooni f(x) tuletisest, mis on defineeritud intervallil [−3; 7]. Leidke sellel lõigul funktsiooni f(x) maksimaalne punkt.

Joonistame graafiku ümber, jättes alles ainult piirid [−3; 7] ning tuletise x = −1,7 ja x = 5 nullid. Märgime saadud graafikule tuletise märgid. Meil on:

Ilmselgelt muutub punktis x = 5 tuletise märk plussist miinusesse – see on maksimumpunkt.

Ülesanne. Joonisel on graafik funktsiooni f(x) tuletisest, mis on defineeritud intervallil [−6; 4]. Leia lõiku [−4 kuuluva funktsiooni f(x) maksimumpunktide arv; 3].

Ülesande tingimustest järeldub, et piisab, kui vaadelda ainult seda osa graafist, mis on piiratud lõiguga [−4; 3]. Seetõttu koostame uue graafiku, millele märgime ainult piirid [−4; 3] ja selle sees oleva tuletise nullid. Nimelt punktid x = −3,5 ja x = 2. Saame:

Sellel graafikul on ainult üks maksimumpunkt x = 2. Just selles punktis muutub tuletise märk plussist miinusesse.

Väike märkus mittetäisarvuliste koordinaatidega punktide kohta. Näiteks sisse viimane ülesanne arvesse võeti punkti x = −3,5, kuid sama eduga saame võtta x = −3,4. Kui probleem on õigesti koostatud, ei tohiks sellised muudatused vastust mõjutada, kuna punktid "ilma kindla elukohata" ei osale otseselt probleemi lahendamisel. Muidugi ei tööta see trikk täisarvuliste punktidega.

Suurenevate ja kahanevate funktsioonide intervallide leidmine

Sellise ülesande puhul, nagu ka maksimum- ja miinimumpunktid, tehakse ettepanek kasutada tuletisgraafikut, et leida alad, kus funktsioon ise suureneb või väheneb. Esiteks määratleme, mis on suurenemine ja kahanemine:

1. Funktsioon f(x) kasvab lõigul, kui selle lõigu mis tahes kahe punkti x 1 ja x 2 puhul on tõene järgmine väide: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Teisisõnu, mida suurem on argumendi väärtus, seda suurem on funktsiooni väärtus.
2. Funktsioon f(x) on lõigul kahanev, kui selle lõigu mis tahes kahe punkti x 1 ja x 2 puhul on tõene järgmine väide: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) . Need. kõrgem väärtus argument vastab funktsiooni väiksemale väärtusele.

Sõnastame piisavad tingimused suurendamiseks ja kahanemiseks:

1. Selleks, et pidev funktsioon f(x) suureneb lõigul , piisab, kui selle tuletis segmendi sees on positiivne, s.t. f’(x) ≥ 0.
2. Selleks, et pidev funktsioon f(x) väheneks lõigul , piisab, kui selle tuletis segmendi sees on negatiivne, s.t. f’(x) ≤ 0.

Aktsepteerigem neid väiteid ilma tõenditeta. Nii saame suurenemise ja kahanemise intervallide leidmise skeemi, mis on paljuski sarnane äärmuspunktide arvutamise algoritmiga:

1. Eemaldage kogu mittevajalik teave. Tuletise algses graafikus huvitavad meid eelkõige funktsiooni nullid, seega jätame alles need.
2. Märgi tuletise märgid nullide vahele. Kui f’(x) ≥ 0, siis funktsioon suureneb ja kus f’(x) ≤ 0, siis see väheneb. Kui probleem seab muutujale x piirangud, märgime need täiendavalt uuele graafikule.
3. Nüüd, kui me teame funktsiooni käitumist ja piiranguid, jääb üle arvutada ülesandes nõutav kogus.

Ülesanne. Joonisel on graafik funktsiooni f(x) tuletisest, mis on defineeritud intervallil [−3; 7.5]. Leia funktsiooni f(x) vähenemise intervallid. Oma vastuses märkige nendes intervallides sisalduvate täisarvude summa.

Nagu ikka, joonistame graafiku ümber ja märgime piirid [−3; 7,5], samuti tuletise x = −1,5 ja x = 5,3 nullid. Seejärel märgime ära tuletise märgid. Meil on:

Kuna tuletis on intervallil (−1,5) negatiivne, on see kahaneva funktsiooni intervall. Jääb kokku võtta kõik selles intervallis olevad täisarvud:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Ülesanne. Joonisel on graafik funktsiooni f(x) tuletisest, mis on defineeritud intervallil [−10; 4]. Leia funktsiooni f(x) suurenemise intervallid. Oma vastuses märkige neist suurima pikkus.

Vabaneme ebavajalikust teabest. Jätame ainult piirid [−10; 4] ja tuletise nullid, mida seekord oli neli: x = −8, x = −6, x = −3 ja x = 2. Märgistame tuletise märgid ja saame järgmise pildi:

Meid huvitavad suureneva funktsiooni intervallid, s.o. selline, kus f’(x) ≥ 0. Graafikul on kaks sellist intervalli: (−8; −6) ja (−3; 2). Arvutame nende pikkused:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Kuna peame leidma intervallidest suurima pikkuse, siis kirjutame vastuseks üles väärtuse l 2 = 5.

Kui järgite definitsiooni, on funktsiooni tuletis punktis funktsiooni Δ juurdekasvu suhte piir. y argumendi juurdekasvule Δ x:

Kõik näib olevat selge. Kuid proovige kasutada seda valemit, et arvutada näiteks funktsiooni tuletis f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x patt x. Kui teete kõike definitsiooni järgi, siis pärast paari lehekülge arvutusi jääte lihtsalt magama. Seetõttu on lihtsamaid ja tõhusamaid viise.

Alustuseks märgime, et kogu funktsioonide hulgast saame eristada nn elementaarfunktsioone. Need on suhteliselt lihtsad avaldised, mille tuletisi on juba ammu arvutatud ja tabelitesse pandud. Selliseid funktsioone on üsna lihtne meeles pidada – koos nende tuletistega.

Elementaarfunktsioonide tuletised

Elementaarsed funktsioonid on kõik allpool loetletud. Nende funktsioonide tuletised peavad olema peast teada. Pealegi pole neid üldse raske pähe õppida - sellepärast on need elementaarsed.

Niisiis, elementaarfunktsioonide tuletised:

Kui elementaarfunktsiooni korrutada suvalise konstandiga, on ka uue funktsiooni tuletis kergesti arvutatav:

(C · f)’ = C · f ’.

Üldjuhul saab konstandid tuletise märgist välja võtta. Näiteks:

(2x 3)' = 2 · ( x 3) = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Ilmselgelt saab elementaarseid funktsioone omavahel liita, korrutada, jagada – ja palju muud. Nii tekivad uued funktsioonid, mis pole enam eriti elementaarsed, vaid ka teatud reeglite järgi diferentseeritud. Neid reegleid käsitletakse allpool.

Summa ja vahe tuletis

Olgu funktsioonid antud f(x) Ja g(x), mille tuletised on meile teada. Näiteks võite võtta ülalpool käsitletud elementaarfunktsioonid. Seejärel leiate nende funktsioonide summa ja erinevuse tuletise:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Seega on kahe funktsiooni summa (erinevus) tuletis võrdne tuletiste summaga (erinevus). Tingimusi võib olla rohkem. Näiteks, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Rangelt võttes pole algebras "lahutamise" mõistet. On olemas mõiste "negatiivne element". Seetõttu erinevus f − g saab summaks ümber kirjutada f+ (-1) g, ja siis jääb järele ainult üks valem - summa tuletis.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funktsioon f(x) on kahe elementaarfunktsiooni summa, seega:

f ’(x) = (x 2 + patt x)’ = (x 2)’ + (patt x)’ = 2x+ cos x;

Sarnaselt põhjendame seda funktsiooni g(x). Ainult seal on juba kolm terminit (algebra seisukohalt):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Vastus:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Toote tuletis

Matemaatika on loogikateadus, nii et paljud inimesed usuvad, et kui summa tuletis on võrdne tuletiste summaga, siis korrutise tuletis streikima">võrdne tuletisinstrumentide korrutisega. Aga perse! Toote tuletis arvutatakse täiesti erineva valemi abil. Nimelt:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Valem on lihtne, kuid sageli unustatakse. Ja mitte ainult kooliõpilased, vaid ka üliõpilased. Tulemuseks on valesti lahendatud probleemid.

Ülesanne. Leia funktsioonide tuletised: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x– 7) · e x .

Funktsioon f(x) on kahe elementaarfunktsiooni korrutis, seega on kõik lihtne:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (maks x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (− sin x) = x 2 (3 cos x − x patt x)

Funktsioon g(x) esimene kordaja on veidi keerulisem, kuid üldine skeem ei muutu. Ilmselt funktsiooni esimene tegur g(x) on polünoom ja selle tuletis on summa tuletis. Meil on:

g ’(x) = ((x 2 + 7x– 7) · e x)’ = (x 2 + 7x– 7)" · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x– 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Vastus:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x patt x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Pange tähele, et viimases etapis on tuletis faktoriseeritud. Formaalselt pole seda vaja teha, kuid enamik tuletisi ei arvutata iseseisvalt, vaid funktsiooni uurimiseks. See tähendab, et edaspidi võrdsustatakse tuletis nulliga, määratakse selle märgid ja nii edasi. Sellisel juhul on parem avaldis faktoriseerida.

Kui on kaks funktsiooni f(x) Ja g(x) ja g(x) ≠ 0 meid huvitaval hulgal, saame defineerida uue funktsiooni h(x) = f(x)/g(x). Sellise funktsiooni jaoks leiate ka tuletise:

Pole nõrk, ah? Kust tuli miinus? Miks g 2? Ja niimoodi! See on üks keerulisemaid valemeid - ilma pudelita ei saa te sellest aru. Seetõttu on parem seda uurida aadressil konkreetsed näited.

Ülesanne. Leia funktsioonide tuletised:

Iga murru lugeja ja nimetaja sisaldavad elementaarfunktsioone, seega vajame ainult jagatise tuletise valemit:

Traditsiooni kohaselt faktoreerime lugeja - see lihtsustab vastust oluliselt:

Keeruline funktsioon ei pruugi olla poole kilomeetri pikkune valem. Näiteks piisab funktsiooni võtmisest f(x) = patt x ja asendada muutuja x, ütleme, edasi x 2 + ln x. See saab korda f(x) = patt ( x 2 + ln x) – see on keeruline funktsioon. Sellel on ka tuletis, kuid seda ei ole võimalik ülalkirjeldatud reeglite abil leida.

Mida ma peaksin tegema? Sellistel juhtudel aitab kompleksfunktsiooni tuletise muutuja ja valemi asendamine:

f ’(x) = f ’(t) · t', Kui x asendatakse t(x).

Reeglina on olukord selle valemi mõistmisega veelgi kurvem kui jagatise tuletisega. Seetõttu on parem seda ka konkreetsete näidetega selgitada, koos Täpsem kirjeldus igal sammul.

Ülesanne. Leia funktsioonide tuletised: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = patt ( x 2 + ln x)

Pange tähele, et kui funktsioonis f(x) avaldise 2 asemel x+ 3 saab olema lihtne x, siis läheb korda elementaarne funktsioon f(x) = e x. Seetõttu teeme asendused: laske 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Otsime kompleksfunktsiooni tuletist, kasutades valemit:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Ja nüüd - tähelepanu! Teostame vastupidise asendamise: t = 2x+ 3. Saame:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Nüüd vaatame funktsiooni g(x). Ilmselgelt tuleb see välja vahetada x 2 + ln x = t. Meil on:

g ’(x) = g ’(t) · t’ = (patt t)’ · t' = cos t · t ’

Vastupidine asendamine: t = x 2 + ln x. Seejärel:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)' = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

See on kõik! Nagu viimasest avaldisest näha, on kogu probleem taandatud tuletissumma arvutamisele.

Vastus:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2 + ln x).

Väga sageli kasutan ma oma tundides termini "tuletis" asemel sõna "alim". Näiteks prime summast võrdne summaga lööki. Kas see on selgem? See on hea.

Seega taandub tuletise arvutamine samadest löökidest vabanemisele vastavalt ülalkirjeldatud reeglitele. Viimase näitena pöördume tagasi ratsionaalse astendajaga tuletusastme juurde:

(x n)’ = n · x n − 1

Vähesed inimesed teavad seda rollis n võib olla murdarv. Näiteks juur on x 0.5. Mis siis, kui juure all on midagi uhket? Jällegi on tulemuseks keeruline funktsioon - neile meeldib selliseid konstruktsioone anda testid ja eksamid.

Ülesanne. Leia funktsiooni tuletis:

Esiteks kirjutame juur ümber ratsionaalse astendajaga astmeks:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Nüüd teeme asendus: lase x 2 + 8x − 7 = t. Leiame tuletise valemi abil:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)" · t' = 0,5 · t–0,5 · t ’.

Teeme vastupidise asendamise: t = x 2 + 8x− 7. Meil ​​on:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x– 7) –0,5 · ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Lõpuks tagasi juurte juurde: