Funktsiooni mitme väärtuse leidmine erinevatel viisidel. Funktsioonide vahemik (funktsiooni väärtuste komplekt)

Funktsiooni mõiste ja kõik sellega seonduv on traditsiooniliselt keeruline ja pole täielikult mõistetav. Funktsiooni uurimisel ja ühtseks riigieksamiks valmistumisel on eriliseks komistuskiviks funktsiooni määratluspiirkond ja väärtuste vahemik (muudatused).
Sageli õpilased ei näe erinevust funktsiooni ja selle väärtuste valdkonna vahel.
Ja kui õpilastel õnnestub funktsiooni määratluspiirkonna leidmise ülesanded omandada, põhjustavad funktsiooni väärtuste kogumi leidmise ülesanded neile märkimisväärseid raskusi.
Selle artikli eesmärk: tutvuda funktsioonide väärtuste leidmise meetoditega.
Selle teema käsitlemise tulemusena uuriti teoreetilist materjali, vaagiti funktsioonide väärtuste kogumite leidmise probleemide lahendamise meetodeid ja valiti didaktiline materjal õpilaste iseseisvaks tööks.
Seda artiklit saab õpetaja kasutada õpilaste ettevalmistamisel lõpu- ja sisseastumiseksamiteks, uurides matemaatika valikainete tundides teemat “Funktsiooni valdkond”.

I. Funktsiooni väärtusvahemiku määramine.

Funktsiooni y = f(x) väärtuste domeen (hulk) E(y) on selliste arvude hulk y 0, millest igaühe jaoks on arv x 0, nii et: f(x 0) = y 0.

Tuletame meelde põhiliste elementaarfunktsioonide väärtusvahemikke.

Vaatame tabelit.

Pange tähele ka seda, et iga paarisastmelise polünoomi väärtusvahemik on intervall , kus n on selle polünoomi suurim väärtus.

II. Funktsiooni vahemiku leidmisel kasutatavate funktsioonide omadused

Funktsiooni väärtuste komplekti edukaks leidmiseks peavad teil olema head teadmised põhiliste elementaarfunktsioonide omadustest, eriti nende määratluspiirkonnast, väärtusvahemikust ja monotoonsuse olemusest. Toome välja pidevate, monotoonsete diferentseeruvate funktsioonide omadused, mida funktsiooni väärtuste hulga leidmisel kõige sagedamini kasutatakse.

Omadusi 2 ja 3 kasutatakse reeglina koos elementaarfunktsiooni omadusega olla oma määratluspiirkonnas pidev. Sel juhul saavutatakse funktsiooni väärtuste kogumi leidmise probleemi lihtsaim ja ülevaatlikum lahendus omaduse 1 põhjal, kui funktsiooni monotoonsust on võimalik määrata lihtsate meetoditega. Probleemi lahendus on veelgi lihtsam, kui funktsioon on lisaks paaris või paaritu, perioodiline vms. Seega tuleks funktsiooni väärtuste komplektide leidmise probleemide lahendamisel vajadusel kontrollida ja kasutada funktsiooni järgmisi omadusi:

• järjepidevus;
• monotoonne;
• eristatavus;
• paaris, paaritu, perioodilisus jne.

Lihtsad ülesanded funktsiooni väärtuste kogumi leidmiseks on enamasti orienteeritud:

a) kasutada lihtsamaid hinnanguid ja piiranguid: (2 x >0, -1≤sinx?1, 0≤cos 2 x?1 jne);

b) tervikliku ruudu eraldamiseks: x 2 – 4x + 7 = (x – 2) 2 + 3;

c) trigonomeetriliste avaldiste teisendamiseks: 2sin 2 x – 3cos 2 x + 4 = 5sin 2 x +1;

d) funktsiooni x 1/3 + 2 x-1 monotoonsust kasutades suureneb R võrra.

III. Vaatleme võimalusi funktsioonide vahemike leidmiseks.

a) keerukate funktsiooniargumentide väärtuste järjestikune leidmine;
b) hindamismeetod;
c) funktsiooni pidevuse ja monotoonsuse omaduste kasutamine;
d) tuletisinstrumentide kasutamine;
e) funktsiooni suurima ja väikseima väärtuse kasutamine;
f) graafiline meetod;
g) parameetrite sisestamise meetod;
h) pöördfunktsiooni meetod.

Avastame nende meetodite olemuse konkreetsete näidete abil.

Näide 1: leidke vahemik E(y) funktsioonid y = log 0,5 (4 – 2 3 x – 9 x).

Lahendame selle näite, leides järjestikku keerukate funktsioonide argumentide väärtused. Valides logaritmi all ideaalse ruudu, teisendame funktsiooni

y = log 0,5 (5 – (1 + 2 3 x – 3 2x)) = log 0,5 (5 – (3 x + 1) 2)

Ja me leiame järjestikku selle keeruliste argumentide väärtuste komplektid:

E(3 x) = (0;+∞), E(3 x + 1) = (1;+∞), E(-(3 x + 1) 2 = (-∞;-1), E(5 – (3 x +1) 2) = (-∞;4)

Tähistame t= 5 – (3 x +1) 2, kus -∞≤ t≤4. Seega taandub probleem funktsiooni y = log 0,5 t väärtuste hulga leidmisele kiirelt (-∞;4) . Kuna funktsioon y = log 0,5 t on defineeritud ainult jaoks, kattub selle väärtuste kogum kiirel (-∞;4) funktsiooni väärtuste komplektiga intervallil (0;4), mis on lõikepunkt kiire (-∞;4) logaritmilise funktsiooni määratluspiirkonnaga (0;+∞). Intervallil (0;4) on see funktsioon pidev ja kahanev. Kell t> 0 see kipub +∞ ja millal t = 4 võtab väärtuse -2, seega E(y) =(-2, +∞).

Näide 2: funktsiooni vahemiku leidmine

y = cos7x + 5cosx

Lahendame selle näite hinnangumeetodil, mille põhiolemus on pideva funktsiooni hindamine alt ja ülevalt ning tõestada, et funktsioon jõuab hinnangute alumise ja ülemise piirini. Sel juhul määrab funktsiooni väärtuste komplekti kokkulangemise intervalliga hinnangu alumisest piirist ülemisse funktsiooni järjepidevus ja selle jaoks muude väärtuste puudumine.

Võrratustest -1≤cos7x?1, -5≤5cosx?5 saame hinnangu -6≤y?6. Kui x = p ja x = 0, võtab funktsioon väärtused -6 ja 6, s.o. jõuab hinnangu alumise ja ülemise piirini. Pidevate funktsioonide cos7x ja cosx lineaarse kombinatsioonina on funktsioon y pidev kogu arvuteljel, seetõttu võtab see pideva funktsiooni omaduse järgi kõik väärtused vahemikus -6 kuni 6 (kaasa arvatud) ja ainult need, kuna ebavõrdsuse -6≤y?6 tõttu on teised väärtused tema jaoks võimatud. Seega E(y)= [-6;6].

Näide 3: leidke vahemik E(f) funktsioonid f(x)= cos2x + 2cosx.

Kasutades topeltnurga koosinusvalemit, teisendame funktsiooni f(x)= 2cos 2 x + 2cosx – 1 ja tähistab t=cosx. Siis f(x)= 2t 2 + 2t – 1. Kuna E(cosx) =

[-1;1], siis funktsiooni väärtuste vahemik f(x) langeb kokku funktsiooni g väärtuste komplektiga (t)= 2t 2 + 2t – 1 lõigul [-1;1], mille leiame graafiliselt. Joonistanud funktsiooni y = 2t 2 + 2t – 1 = 2(t + 0,5) 2 – 1,5 intervallile [-1;1], leiame E(f) = [-1,5; 3].

Märkus: paljud parameetriga seotud probleemid taandatakse funktsiooni väärtuste kogumi leidmisele, mis on peamiselt seotud võrrandite ja võrratuste lahendatavuse ja lahenduste arvuga. Näiteks võrrand f(x)= a on lahendatav siis ja ainult siis

a E(f) Samamoodi, Eq. f(x)= a-l on vähemalt üks juur, mis asub mingil intervallil X või sellel intervallil pole ühtegi juurt siis ja ainult siis, kui a kuulub või ei kuulu funktsiooni väärtuste hulka f(x) intervallil X. Uuriti ka funktsiooni väärtuste ja võrratuste komplekti kasutades f(x)≠ A, f(x)> a jne. Eriti, f(x)≠ ja kõigi x lubatud väärtuste puhul, kui E(f)

Näide 4. Milliste parameetri a väärtuste korral on võrrandil (x + 5) 1/2 = a(x 2 + 4) intervallis [-4;-1] üks juur.

Kirjutame võrrandi kujul (x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) = a. Viimasel võrrandil on vähemalt üks juur intervallis [-4;-1] siis ja ainult siis, kui a kuulub funktsiooni väärtuste hulka f(x) =(x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) lõigul [-4;-1]. Leiame selle hulga, kasutades funktsiooni pidevuse ja monotoonsuse omadust.

Intervallil [-4;-1] on funktsioon y = xІ + 4 pidev, kahanev ja positiivne, seega funktsioon g(x) = 1/(x 2 + 4) on pidev ja sellel lõigul suureneb, kuna positiivse funktsiooniga jagamisel muutub funktsiooni monotoonsuse olemus vastupidiseks. Funktsioon h(x) =(x + 5) 1/2 on oma määratluspiirkonnas pidev ja kasvav D(h) =[-5;+∞) ja eriti segmendil [-4;-1], kus see on lisaks positiivne. Siis funktsioon f(x)=g(x) h(x), kui kahe pideva, suureneva ja positiivse funktsiooni korrutis, on ka pidev ja kasvav segmendil [-4;-1], seetõttu on selle väärtuste kogum [-4;-1] lõigul [ f(-4); f(-1)] = . Järelikult on võrrandil 0,05 ≤ a ≤ 0,4 jaoks ainulaadne lahendus intervallil [-4;-1] ja (pideva monotoonse funktsiooni omaduse järgi)

Kommenteeri. Võrrandi lahendatavus f(x) = a teatud intervallil X on samaväärne kuulumisega parameetri väärtustesse A funktsiooni väärtuste komplekt f(x) kohta X. Järelikult funktsiooni väärtuste komplekt f(x) intervallil X langeb kokku parameetri väärtuste komplektiga A, mille jaoks võrrand f(x) = a on vähemalt üks juur intervallis X. Eelkõige väärtuste vahemik E(f) funktsioonid f(x) vastab parameetri väärtuste komplektile A, mille jaoks võrrand f(x) = a on vähemalt üks juur.

Näide 5: leidke vahemik E(f) funktsioonid

Lahendame näite, võttes kasutusele parameetri, mille järgi E(f) vastab parameetri väärtuste komplektile A, mille jaoks võrrand

on vähemalt üks juur.

Kui a = 2, on võrrand lineaarne - 4x - 5 = 0 nullist erineva koefitsiendiga tundmatu x jaoks, seega on sellel lahendus. A≠2 korral on võrrand ruutkeskne, seega on see lahendatav siis ja ainult siis, kui ta on diskrimineeriv

Kuna punkt a = 2 kuulub lõiku

seejärel soovitud parameetriväärtuste komplekt A, seega väärtuste vahemik E(f) on kogu segment.

Funktsiooni väärtuste hulga leidmisel parameetri sisestamise meetodi otsese edasiarendusena võime vaadelda pöördfunktsiooni meetodit, mille leidmiseks on vaja lahendada võrrand x f(x)=y, pidades y-d parameetriks. Kui sellel võrrandil on ainulaadne lahendus x =g(y), seejärel väärtuste vahemik E(f) originaalfunktsioon f(x) langeb kokku määratlusvaldkonnaga D(g) pöördfunktsioon g(y). Kui võrrand f(x)=y on mitu lahendust x =g 1 (y), x =g 2 (y) jne, siis E(f) on võrdne funktsiooni domeenide ühendusega g 1 (y), g 2 (y) jne.

Näide 6: leidke vahemik E(y) funktsioonid y = 5 2/(1-3x).

Alates Eq.

leiame pöördfunktsiooni x = log 3 ((log 5 y – 2)/(log 5 y)) ja selle definitsioonipiirkonna D(x):

Kuna võrrandil x on ainulaadne lahendus, siis

E(y) = D(x) = (0; 1) (25;+∞ ).

Kui funktsiooni määratluspiirkond koosneb mitmest intervallist või erinevatel intervallidel olev funktsioon on antud erinevate valemitega, siis funktsiooni väärtuste domeeni leidmiseks on vaja leida funktsiooni väärtuste hulgad igal intervallil ja võtke nende liit.

Näide 7: Leia vahemikud f(x) Ja f(f(x)), Kus

f(x) kiirel (-∞;1], kus see langeb kokku avaldisega 4 x + 9 4 -x + 3. Tähistame t = 4x. Siis f(x) = t + 9/t + 3, kus 0< t ≤ 4 , так как показательная функция непрерывно возрастает на луче (-∞;1] и стремится к нулю при х → -∞. Тем самым множество значений функции f(x) kiirel (-∞;1] langeb kokku funktsiooni väärtuste hulgaga g(t) = t + 9/t + 3, intervallil (0;4], mille leiame tuletise abil g’(t) = 1–9/t 2. Intervalli (0;4) tuletis g'(t) on määratletud ja kaob seal kell t = 3. Kell 0<t<3 она отрицательна, а при 3<t<4 положительна. Следовательно, в интервале (0;3) функция g(t) väheneb ja intervallis (3;4) see suureneb, jäädes pidevaks kogu intervalli (0;4) ulatuses, seega g (3)= 9 – selle funktsiooni väikseim väärtus intervallil (0;4], samas kui selle suurimat väärtust pole olemas, nii et kui t → 0õige funktsioon g(t)→+∞. Seejärel pideva funktsiooni omaduse järgi funktsiooni väärtuste kogum g(t) intervallil (0;4] ja seega ka väärtuste komplekt). f(x) peale (-∞;-1] on kiir .

Nüüd, intervallide kombineerimine - funktsiooni väärtuste komplektid f(f(x)), tähistavad t = f(x). Siis f(f(x)) = f(t), kus Määratud jaoks t funktsiooni f(t)= 2cos( x-1) 1/2+ 7 ja see võtab jälle kõik väärtused vahemikus 5 kuni 9 (kaasa arvatud), st. ulatus E(fІ) = E(f(f(x))) =.

Samamoodi tähistades z = f(f(x)), leiate väärtuste vahemiku E(f 3) funktsioonid f(f(f(x))) = f(z), kus 5 ≤ ​​z ≤ 9 jne. Veendu, et E(f 3) = .

Kõige universaalsem meetod funktsiooni väärtuste komplekti leidmiseks on kasutada funktsiooni suurimaid ja väikseimaid väärtusi antud intervallil.

Näide 8. Millistel parameetri väärtustel R ebavõrdsus 8 x - р ≠ 2 x+1 – 2 x kehtib kõigi kohta -1 ≤ x< 2.

Olles määranud t = 2x, kirjutame ebavõrdsuse kujule р ≠ t 3 – 2t 2 + t. Sest t = 2x– pidev suurendamise funktsioon sisse lülitatud R, siis -1 ≤ x korral< 2 переменная

2 -1 ≤ t<2 2 ↔

0,5 ≤ t< 4, и исходное неравенство выполняется для всех -1 ≤ x < 2 тогда и только тогда, когда R erinevad funktsiooni väärtustest f(t) = t 3 – 2t 2 + t 0,5 ≤ t juures< 4.

Leiame esmalt funktsiooni väärtuste komplekti f(t) segmendil, kus sellel on tuletis kõikjal f’(t) =3t 2 – 4t + 1. Seega f(t) on diferentseeruv ja seetõttu intervallil pidev. Alates Eq. f’(t) = 0 leida funktsiooni kriitilised punktid t = 1/3, t = 1, millest esimene ei kuulu segmenti ja teine ​​kuulub sellesse. Sest f(0,5) = 1/8, f(1) = 0, f(4) = 36, siis vastavalt diferentseeruva funktsiooni omadusele on 0 funktsiooni väikseim ja 36 funktsiooni suurim väärtus f(t) segmendil. Siis f(t), pideva funktsioonina võtab see intervalli kõik väärtused vahemikus 0 kuni 36 (kaasa arvatud) ja väärtus 36 võtab ainult siis, kui t = 4 seega 0,5 ≤ t< 4, она принимает все значения из промежутка .

Vastus: [ - 25;25].

6. ülesanne.

Leia funktsiooni väärtuste hulk: a) ; b) y = sin5x - cos5x;

V) ; d) y = 4x 2 + 8x + 10; d) ; e).

Lahendus a).

a) väljendage x kuni y:

6x + 7 = 3a - 10xy

x(6 + 10 a) = 3a - 7.

Kui 6 + 10y = 0, siis y = - 0,6. Asendades selle y väärtuse viimase võrrandiga, saame:

0 x = - 8,8. Sellel võrrandil pole juuri, mis tähendab, et funktsioon ei võta väärtust

Kui 6 + 10a 0, siis. Selle võrrandi valdkond on R, välja arvatud y = - 0,6.

Saame: E(y) =.

Lahendus b).

b) leidke väärtus ja teisendage avaldis: .

Võttes arvesse funktsiooni väärtuste hulka, saame: E(y) =. Funktsioon ei ole

on katkendlik, seega võtab see kõik väärtused sellelt intervallilt.

Lahendus c).

c) Arvestades, et võrratuste omaduste järgi saame:

Seega E(y) = .

Lahendus d).

d) võite kasutada tehnikas 6 pakutud meetodit või valida terve ruudu:

4x 2 + 8x + 10 = (2x + 1) 2 + 9.

Väärtused y = (2x + 1) 2 kuuluvad intervalli, b) [ -45º; 45º ], c) [-180º ; 45º].

a) kuna 1. kvartalis on funktsioon y = cosx pidev ja kahanev, mis tähendab, et suurem argument

ment vastab funktsiooni väiksemale väärtusele, s.t. , kui 30º45º , siis funktsioon

võtab kõik väärtused intervallist.

Vastus: E(y) = .

b) intervallis [-45º; 45º ] funktsioon y = cosx ei ole monotoonne. Mõelgem

kaks intervalli: [ -45º ; 0º ] ja [ 0º ; 45º]. Esimesel neist intervallidest funktsioon

y = cosx on pidev ja kasvav ning teisel on pidev ja kahanev. Me saame sellest aru

väärtuste komplekt esimesel intervallil, teisel.

Vastus: E(y) = .

c) sel juhul võib kasutada sarnast arutluskäiku. Teeme seda siiski

ratsionaalsemalt: projitseerime MPN-kaare x-teljele.

Funktsiooni järjepidevuse tõttu saame, et funktsiooni väärtuste hulk y = cosx

x juures [-180º; 45º ] on intervall [ - 1;1 ].

Vastus: [ - 1;1 ].

Ülesanded iseseisvaks lahendamiseks.

A-rühm.

Iga selle rühma ülesande jaoks on antud 4 vastusevarianti. Valige õige vastuse number.

1. Leidke funktsiooni väärtuste hulk.

1)[-2;2] 2)[-1;1] 3)() 4)(-2;2)

2. Leidke funktsiooni väärtuste hulk.

3. Leidke funktsiooni väärtuste hulk.

1) [-2;2] 2) 3) 4) [-1;1]

4. Leidke funktsiooni väärtuste hulk.

1) [-1;1] 2) 3) 4) ()

5. Leidke lõigul funktsiooni y = sinx väärtuste hulk.

1) 2) 3) 4) [-1;1]

6. Leidke lõigul funktsiooni y = sinx väärtuste hulk.

1) 2) 3) 4) [-1;1]

7. Leidke lõigul funktsiooni y = sinx väärtuste hulk.

1) 2) 3) [-1;1] 4)

8. Leidke lõigul funktsiooni y = sinx väärtuste hulk.

1) 2) 3) [-1;1] 4)

9. Funktsiooni väärtuste komplekt on intervall:

1) 3)(- 5;1) 4)(0;1)

12. Määrake funktsioon, mis väheneb kogu määratluspiirkonna ulatuses.

1) 2) 3) 4) y = x - 1.

13. Määrake funktsiooni ulatus.

1) 2)(0;1) 3) 4)

B-grupp.

Selle rühma ülesannete vastuseks võib olla täisarv või kümnendkujul kirjutatud arv.

fraktsioonid.

14. Leia funktsiooni y = 3x 2 - x + 5 suurim täisarv lõigul [ 1; 2].

15. Leia funktsiooni y = - 4x 2 + 5x - 8 suurim täisarv lõigul [ 2; 3].

16. Leia funktsiooni y = - x 2 + 6x - 1 suurim täisarv intervallil [ 0; 4].

17. Määrake funktsiooni domeenis sisalduv väikseim täisarv

18. Märkige, mitu täisarvu funktsiooni domeen sisaldab.

19. Leidke funktsiooni määratluspiirkonnaks oleva intervalli pikkus.

20. Leia funktsiooni suurim väärtus.

21. Leia funktsiooni suurim väärtus.

22. Leia funktsiooni suurim väärtus.

23. Leia funktsiooni väikseim väärtus.

24. Leia funktsiooni suurim väärtus.

25. Mitu täisarvu sisaldab funktsiooni y = sin 2 x + sinx väärtuste hulk?

26. Leia funktsiooni väikseim väärtus.

27. Mitu täisarvu sisaldab funktsiooni väärtuste hulk?

28. Leia funktsiooni suurim väärtus intervallil.

29. Leia funktsiooni suurim väärtus intervallil.

30. Millise väärtuseni ei ulatu funktsioon ühegi x väärtuse korral?

31. Leia funktsiooni suurim täisarv.

32. Leia funktsiooni väikseim täisarv.

33. Leia funktsiooni suurim väärtus.

34. Leia funktsiooni väikseim väärtus.

Rühm C.

Lahendage järgmised ülesanded koos oma otsuse täieliku põhjendusega.

35. Leia funktsiooni väärtuste hulk.

36. Leia funktsiooni väärtuste hulk.

37. Leia funktsiooni väärtuste hulk.

38. Leia funktsiooni väärtuste hulk.

39. Milliste väärtuste korral ei võta funktsioon y = x 2 + (- 2)x + 0,25 negatiivseid väärtusi?

40. Milliste väärtuste korral on funktsioon y = ·cosx + sinx - ·sinx paaris?

41. Millistel väärtustel on funktsioon y = cosx + sinx - sinx paaritu?

Loeng 19. Funktsioon. Funktsiooni domeen ja väärtuste kogum.

Funktsioon on üks olulisemaid matemaatilisi mõisteid.

Definitsioon: kui iga arv teatud hulgast x on seotud ühe arvuga y, siis öeldakse, et funktsioon y(x) on selles hulgas defineeritud. Sel juhul nimetatakse x-i sõltumatuks muutujaks või argumendiks ja y-d sõltuvaks muutujaks või funktsiooni väärtuseks või lihtsalt funktsiooniks.

Samuti öeldakse, et muutuja y on muutuja x funktsioon.

Olles tähistanud vastet tähega, näiteks f, on mugav kirjutada: y=f (x), see tähendab, et väärtus y saadakse argumendist x, kasutades vastet f. (Loe: y võrdub f-ga x-st.) Sümbol f (x) tähistab funktsiooni väärtust, mis vastab argumendi väärtusele, mis on võrdne x-ga.

Näide 1 Olgu funktsioon antud valemiga y=2x 2 –6. Siis võime kirjutada, et f(x)=2x 2 –6. Leiame funktsiooni väärtused x väärtustele, mis on võrdsed näiteks 1-ga; 2,5;–3; st leiame f(1), f(2,5), f(–3):

f(1)=2 1 2 –6=–4;
f(2,5)=2 2,5 2 –6=6,5;
f(–3)=2 (–3) 2 –6= 12.

Pange tähele, et vormi y=f (x) tähistuses kasutatakse f asemel muid tähti: g jne.

Definitsioon: funktsiooni domeeniks on kõik x väärtused, mille jaoks funktsioon eksisteerib.

Kui funktsioon on määratletud valemiga ja selle määratluspiirkond on määramata, loetakse funktsiooni määratluspiirkond koosnevaks kõigist argumendi väärtustest, mille jaoks valem on mõttekas.

Teisisõnu, valemiga antud funktsiooni domeeniks on kõik argumendi väärtused, välja arvatud need, mille tulemuseks on toimingud, mida me ei saa teha. Praegu on meile teada vaid kaks sellist tegevust. Me ei saa jagada nulliga ja me ei saa võtta negatiivse arvu ruutjuurt.

Definitsioon: kõik väärtused, mille sõltuv muutuja võtab, moodustavad funktsiooni vahemiku.

Reaalset protsessi kirjeldava funktsiooni määratluspiirkond sõltub selle toimumise konkreetsetest tingimustest. Näiteks raudvarda pikkuse l sõltuvust kuumutustemperatuurist t väljendatakse valemiga, kus l 0 on varda esialgne pikkus ja joonpaisumistegur. See valem on mõistlik t mis tahes väärtuste jaoks. Funktsiooni l=g(t) definitsioonipiirkond on aga mitmekümnekraadine intervall, mille puhul kehtib lineaarpaisumise seadus.

Näide.

Määrake funktsiooni vahemik y = arcsinx.

Lahendus.

Arsiinuse määratluspiirkond on segment [-1; 1] . Leiame sellel segmendil funktsiooni suurima ja väikseima väärtuse.

Tuletis on positiivne kõigile x intervallist (-1; 1) , see tähendab, et arcsinusfunktsioon suureneb kogu määratluspiirkonna ulatuses. Seetõttu võtab see väikseima väärtuse millal x = -1, ja suurim kell x = 1.

Oleme saanud arsinusfunktsiooni vahemiku .

Leia funktsiooni väärtuste hulk segmendil .

Lahendus.

Leiame antud segmendi funktsiooni suurima ja väikseima väärtuse.

Määrame lõigu kuuluvad ekstreemumipunktid :

Paljud probleemid sunnivad meid otsima funktsiooni väärtuste komplekti teatud segmendis või kogu määratluspiirkonnas. Sellised ülesanded hõlmavad väljendite erinevaid hindamisi ja ebavõrdsuse lahendamist.

Selles artiklis määratleme funktsiooni väärtuste vahemiku, kaalume selle leidmise meetodeid ja analüüsime üksikasjalikult näidete lahendust lihtsatest keerukamateni. Kogu materjal on selguse huvides varustatud graafiliste illustratsioonidega. Seega on see artikkel üksikasjalik vastus küsimusele, kuidas funktsiooni vahemikku leida.

Definitsioon.

Funktsiooni y = f(x) väärtuste kogum intervallil X on funktsiooni kõigi väärtuste kogum, mis kulub kordumisel üle .

Definitsioon.

Funktsioonivahemik y = f(x) on funktsiooni kõigi väärtuste kogum, mis kulub definitsioonipiirkonnast kõigi x-ide kordamisel.

Funktsiooni vahemik on tähistatud kui E(f) .

Funktsiooni vahemik ja funktsiooni väärtuste hulk ei ole sama asi. Peame neid mõisteid ekvivalentseteks, kui intervall X funktsiooni y = f(x) väärtuste hulga leidmisel langeb kokku funktsiooni määratluspiirkonnaga.

Samuti ärge ajage funktsiooni vahemikku segamini võrduse y=f(x) paremal küljel oleva avaldise muutujaga x. Muutuja x lubatud väärtuste vahemik avaldise f(x) jaoks on funktsiooni y=f(x) määratluspiirkond.

Joonisel on mitu näidet.

Funktsioonigraafikud on näidatud paksude siniste joontega, õhukesed punased jooned on asümptoodid, punased punktid ja jooned Oy teljel näitavad vastava funktsiooni väärtuste vahemikku.

Nagu näete, saadakse funktsiooni väärtuste vahemik funktsiooni graafiku projitseerimisel y-teljele. See võib olla üks arv (esimene juhtum), arvude kogum (teine ​​juhtum), segment (kolmas juhtum), intervall (neljas juhtum), avatud kiir (viies juhtum), liit (kuues juhtum) jne .

Mida peate funktsiooni väärtuste vahemiku leidmiseks tegema?

Alustame kõige lihtsamast juhtumist: näitame, kuidas määrata segmendi pideva funktsiooni y = f(x) väärtuste kogum.

On teada, et intervalli pidev funktsioon saavutab sellel oma maksimaalse ja minimaalse väärtuse. Seega on segmendi algse funktsiooni väärtuste komplekt segment . Järelikult taandub meie ülesanne segmendi funktsiooni suurima ja väikseima väärtuse leidmisele.

Näiteks leiame arsinusfunktsiooni väärtuste vahemiku.

Näide.

Määrake funktsiooni y = arcsinx vahemik.

Lahendus.

Arsiini määratlusala on segment [-1; 1] . Leiame sellel segmendil funktsiooni suurima ja väikseima väärtuse.

Tuletis on positiivne kõikidele x-idele vahemikust (-1; 1), see tähendab, et arcsinusfunktsioon suureneb kogu definitsioonipiirkonna ulatuses. Järelikult võtab see väikseima väärtuse x = -1 ja suurima väärtuse x = 1 korral.

Oleme saanud arsinusfunktsiooni vahemiku .

Näide.

Leia funktsiooni väärtuste hulk segmendil.

Lahendus.

Leiame antud segmendi funktsiooni suurima ja väikseima väärtuse.

Määrame lõigu kuuluvad äärmuspunktid:

Arvutame algfunktsiooni väärtused segmendi otstes ja punktides :

Seetõttu on intervalli funktsiooni väärtuste kogum intervall .

Nüüd näitame, kuidas leida pideva funktsiooni y = f(x) väärtuste kogum intervallides (a; b) , .

Esiteks määrame antud intervalli äärmuspunktid, funktsiooni ekstreemumid, funktsiooni suurenemise ja vähenemise intervallid. Järgmisena arvutame intervalli otstes ja (või) piirid lõpmatuses (st uurime funktsiooni käitumist intervalli piiridel või lõpmatuses). Sellest teabest piisab funktsiooniväärtuste komplekti leidmiseks sellistel intervallidel.

Näide.

Määratlege funktsiooni väärtuste kogum intervallil (-2; 2) .

Lahendus.

Leiame funktsiooni äärmuspunktid, mis langevad intervallile (-2; 2):

Punkt x = 0 on maksimumpunkt, kuna tuletis muudab selle läbimisel märgi plussist miinusesse ja funktsiooni graafik läheb kasvavast kahanevasse.

funktsioonil on vastav maksimum.

Uurime funktsiooni käitumist, kui x kaldub paremale -2-le ja kui x kaldub vasakule 2-le, st leiame ühepoolsed piirid:

Mida me saime: kui argument muutub -2-lt nulliks, suurenevad funktsiooni väärtused miinus lõpmatusest miinus ühe neljandikuni (funktsiooni maksimum x = 0 juures), kui argument muutub nullist 2-ks, funktsiooni väärtused vähenevad miinus lõpmatuseni. Seega on funktsiooni väärtuste kogum intervallil (-2; 2) .

Näide.

Määrake intervalli puutujafunktsiooni y = tgx väärtuste kogum.

Lahendus.

Intervalli puutujafunktsiooni tuletis on positiivne , mis näitab funktsiooni suurenemist. Uurime funktsiooni käitumist intervalli piiridel:

Seega, kui argument muutub väärtuselt kuni, suurenevad funktsiooni väärtused miinus lõpmatusest pluss lõpmatuseni, see tähendab, et selle intervalli puutujaväärtuste kogum on kõigi reaalarvude kogum.

Näide.

Leidke naturaallogaritmfunktsiooni y = lnx vahemik.

Lahendus.

Naturaallogaritmi funktsioon määratakse argumendi positiivsete väärtuste jaoks . Sellel intervallil on tuletis positiivne , see näitab selle funktsiooni suurenemist. Leiame funktsiooni ühepoolse piiri, kuna argument kipub paremal pool nulli ja piir kui x kipub pluss lõpmatus:

Näeme, et kui x muutub nullist plusslõpmatuseni, suurenevad funktsiooni väärtused miinuslõpmatusest plusslõpmatuseni. Seetõttu on naturaallogaritmi funktsiooni vahemik terve reaalarvude komplekt.

Näide.

Lahendus.

See funktsioon on defineeritud kõigi x reaalväärtuste jaoks. Määrame äärmuspunktid, samuti funktsiooni suurenemise ja kahanemise intervallid.

Järelikult funktsioon väheneb , suureneb juures , x = 0 on maksimumpunkt, funktsiooni vastav maksimum.

Vaatame funktsiooni käitumist lõpmatuses:

Seega lähenevad funktsiooni väärtused lõpmatuses asümptootiliselt nullile.

Saime teada, et kui argument muutub miinus lõpmatusest nulliks (maksimaalne punkt), suurenevad funktsiooni väärtused nullist üheksani (funktsiooni maksimumini) ja kui x muutub nullist pluss lõpmatuseni, siis funktsioon väärtused vähenevad üheksalt nullini.

Vaadake skemaatilist joonist.

Nüüd on selgelt näha, et funktsiooni väärtuste vahemik on .

Funktsiooni y = f(x) väärtuste hulga leidmine intervallidel nõuab sarnast uurimistööd. Nendel juhtumitel me nüüd lähemalt ei peatu. Kohtume nendega uuesti järgmistes näidetes.

Olgu funktsiooni y = f(x) definitsioonipiirkond mitme intervalli liit. Sellise funktsiooni väärtuste vahemiku leidmisel määratakse iga intervalli väärtuste komplektid ja võetakse nende liit.

Näide.

Leia funktsiooni vahemik.

Lahendus.

Meie funktsiooni nimetaja ei tohiks minna nulli, see tähendab .

Esiteks leiame avatud kiirte funktsioonide väärtuste komplekti.

Funktsiooni tuletis on sellel intervallil negatiivne, st funktsioon väheneb sellel.

Leidsime, et kuna argument kaldub miinus lõpmatuseni, lähenevad funktsiooni väärtused asümptootiliselt ühtsusele. Kui x muutub miinus lõpmatusest kaheks, vähenevad funktsiooni väärtused ühest miinus lõpmatuseni, st vaadeldaval intervallil võtab funktsioon väärtuste komplekti. Me ei hõlma ühtsust, kuna funktsiooni väärtused ei jõua selleni, vaid kalduvad sellele ainult asümptootiliselt miinus lõpmatuse juures.

Samamoodi toimime avatud tala puhul.

Sellel intervallil funktsioon ka väheneb.

Funktsiooni väärtuste komplekt sellel intervallil on komplekt .

Seega on funktsiooni soovitud väärtuste vahemik komplektide liit ja .

Graafiline illustratsioon.

Erilist tähelepanu tuleks pöörata perioodilistele funktsioonidele. Perioodiliste funktsioonide väärtuste vahemik langeb kokku selle funktsiooni perioodile vastava intervalli väärtuste komplektiga.

Näide.

Leia siinusfunktsiooni y = sinx vahemik.

Lahendus.

See funktsioon on perioodiline perioodiga kaks pi. Võtame segmendi ja määratleme selle väärtuste komplekti.

Segment sisaldab kahte äärmuspunkti ja .

Arvutame funktsiooni väärtused nendes punktides ja segmendi piiridel, valime väikseima ja suurima väärtuse:

Seega .

Näide.

Leia funktsiooni vahemik .

Lahendus.

Teame, et kaarekoosinuse vahemik on segment nullist pi-ni, st või mõnes teises postituses. Funktsioon saab arccosxist piki abstsisstelge nihutades ja venitades. Sellised teisendused ei mõjuta väärtuste vahemikku, seetõttu . Funktsioon saadud venitades kolm korda mööda Oy telge, st . Ja teisenduse viimane etapp on nelja ühiku võrra allapoole piki y-telge. See viib meid kahekordse ebavõrdsuseni

Seega on vajalik väärtuste vahemik .

Toome lahenduse teisele näitele, kuid ilma selgitusteta (neid pole vaja, kuna need on täiesti sarnased).

Näide.

Määratlege funktsioonide vahemik .

Lahendus.

Kirjutame vormile algse funktsiooni . Võimsusfunktsiooni väärtuste vahemik on intervall. See on, . Siis

Seega .

Pildi täiendamiseks peaksime rääkima funktsiooni väärtusvahemiku leidmisest, mis ei ole definitsioonipiirkonnas pidev. Sel juhul jagame määratluspiirkonna intervallideks murdepunktide kaupa ja leiame neist igaühe jaoks väärtuste komplektid. Kombineerides saadud väärtuste komplektid, saame algfunktsiooni väärtuste vahemiku. Soovitame meeles pidada

Tänases tunnis käsitleme üht matemaatika põhimõistet - funktsiooni mõistet; Vaatame lähemalt funktsiooni üht omadust – selle väärtuste hulka.

Tundide ajal

Õpetaja. Probleeme lahendades märkame, et mõnikord paneb meid keerulisse olukorda just funktsiooni väärtuste kogumi leidmine. Miks? Näib, et olles õppinud funktsiooni alates 7. klassist, teame sellest üsna palju. Seetõttu on meil põhjust ennetavalt tegutseda. "Mängime" täna ise paljude funktsiooniväärtustega, et eelseisval eksamil vastata paljudele selleteemalistele küsimustele.

Elementaarfunktsioonide väärtuste komplektid

Õpetaja. Esiteks peate kogu määratlusvaldkonnas kordama põhiliste elementaarfunktsioonide graafikuid, võrrandeid ja väärtuste komplekte.

Ekraanile projitseeritakse funktsioonide graafikud: lineaarne, ruut-, murd-ratsionaalne, trigonomeetriline, eksponentsiaalne ja logaritmiline, igaühe jaoks määratakse suuliselt väärtuste komplekt. Juhi õpilaste tähelepanu asjaolule, et lineaarfunktsioon E(f) = R või üks arv, murdosa lineaar

See on meie tähestik. Lisades sellele oma teadmised graafiteisendustest: paralleeltõlge, venitamine, tihendamine, peegeldus, suudame lahendada esimese osa ülesandeid. Ühtne riigieksam on isegi veidi keerulisem. Vaatame üle.

Iseseisev töö

U Ülesannete terminid ja koordinaatsüsteemid trükitakse igale õpilasele.

1. Leidke funktsiooni väärtuste kogum kogu määratluspiirkonnas:

A) y= 3 patt X ;
b) y = 7 – 2 X ;
V) y= –arccos ( x + 5):
G) y= | arctg x |;
d)

2. Leidke funktsiooni väärtuste hulk y = x 2 vahel J, Kui:

A) J = ;
b) J = [–1; 5).

3. Defineerige funktsioon analüütiliselt (võrrandiga), kui selle väärtuste hulk on:

1) E(f(x)) = (–∞ ; 2] ja f(x) – funktsioon

a) ruutkeskmine,
b) logaritmiline,
c) demonstratiivne;

2) E(f(x)) = R \{7}.

Ülesande arutamisel 2iseseisva töö puhul juhtida õpilaste tähelepanu asjaolule, et funktsiooni y monotoonsuse ja järjepidevuse korral=f(x)etteantud intervalliga[a;b],selle palju tähendusi-intervall,mille otsad on f väärtused(a)ja f(b).

Ülesande vastusevariandid 3.

1.
A) y = –x 2 + 2 , y = –(x + 18) 2 + 2,
y= a(x – x c) 2 + 2 kl A < 0.

b) y= –| logi 8 x | + 2,

V) y = –| 3 x – 7 | + 2, y = –5 | x | + 3.

2.
a) b)

V) y = 12 – 5x, Kus x ≠ 1 .

Funktsiooni mitme väärtuse leidmine tuletise abil

Õpetaja. 10. klassis saime tuttavaks algoritmiga lõigul pideva funktsiooni ekstreemumi leidmiseks ja selle väärtuste hulga leidmiseks, ilma funktsiooni graafikule tuginemata. Mäletate, kuidas me seda tegime? ( Tuletise kasutamine.) Meenutagem seda algoritmi .

Selle algoritmi kasutamisega seotud probleeme leidub ühtse riigieksami versioonides. Näiteks 2008. aastal pakuti selline ülesanne välja. Sa pead selle lahendama Majad .

Ülesanne C1. Leia funktsiooni suurim väärtus

f(x) = (0,5x + 1) 4 – 50(0,5x + 1) 2

aadressil | x + 1| ≤ 3.

Kodutööde tingimused trükitakse igale õpilasele .

Keerulise funktsiooni väärtuste hulga leidmine

Õpetaja. Meie tunni põhiosa on mittestandardsed keerukaid funktsioone sisaldavad probleemid, mille tuletised on väga keerulised avaldised. Ja nende funktsioonide graafikud on meile tundmatud. Seetõttu kasutame lahendamiseks keeruka funktsiooni määratlust, st muutujate vahelist sõltuvust nende pesastumise järjekorras antud funktsioonis ja nende väärtusvahemiku hinnangut (nende muutuste intervall väärtused). Seda tüüpi probleeme leiate ühtse riigieksami teisest osast. Vaatame mõnda näidet.

1. harjutus. Funktsioonide jaoks y = f(x) Ja y = g(x) kirjutada keeruline funktsioon y = f(g(x)) ja leidke selle väärtuste kogum:

A) f(x) = –x 2 + 2x + 3, g(x) = patt x;
b) f(x) = –x 2 + 2x + 3, g(x) = log 7 x;
V) g(x) = x 2 + 1;
G)

Lahendus. a) Kompleksfunktsioonil on järgmine kuju: y= –patt 2 x+ 2 patt x + 3.

Vaheargumendi tutvustamine t, saame selle funktsiooni kirjutada järgmiselt:

y= –t 2 + 2t+ 3, kus t= patt x.

Sisemise funktsiooni juures t= patt x argument aktsepteerib mis tahes väärtusi ja selle väärtuste komplekt on segment [–1; 1].

Seega välise funktsiooni jaoks y = –t 2 +2t+ 3 saime teada selle argumendi väärtuste muutmise intervalli t: t[-1; 1]. y = –t 2 +2t + 3.

Vaatame funktsiooni graafikut t Märgime, et ruutfunktsioon at y[-1; 1] võtab selle otstes väikseima ja suurima väärtuse: y nimi = y(–1) = 0 ja y naib =

(1) = 4. Ja kuna see funktsioon on pidev intervallil [–1; 1], siis aktsepteerib see kõiki nende vahelisi väärtusi.: y .

Vastus

y= –t 2 + 2t+ 3, kus t b) Nende funktsioonide koostis viib meid keeruka funktsioonini, mida saab pärast vaheargumendi sisestamist esitada järgmiselt: x,

= log 7 t Funktsioon x

x (0; +∞ ), t (–∞ ; +∞ ).

= log 7 y = –t 2 + 2t= log 7 t+ 3 (vt graafikut) argument

(1) = 4. Ja kuna see funktsioon on pidev intervallil [–1; 1], siis aktsepteerib see kõiki nende vahelisi väärtusi.: y (–∞ ; 4].

võtab kõik väärtused ja ruutfunktsioon ise ei võta kõiki väärtusi rohkem kui 4.

c) Kompleksfunktsioonil on järgmine kuju:

Vaheargumendi tutvustamisel saame: t = x 2 + 1.

Kus x R Kuna sisemise funktsiooni jaoks t .

(1) = 4. Ja kuna see funktsioon on pidev intervallil [–1; 1], siis aktsepteerib see kõiki nende vahelisi väärtusi.: y (0; 3].

, A

d) Nende kahe funktsiooni koostis annab meile keeruka funktsiooni

mida saab kirjutada kui

Märka seda

Vaheargumendi tutvustamisel saame: Niisiis, millal k , t [–1; 0) (0; 1].

Z Joonistades funktsiooni graafiku t

y me näeme seda nende väärtustega

(–∞ ; –4] c ;

Lahendus. b) kogu määratluspiirkonnas. t Esiteks uurime seda funktsiooni monotoonsuse osas. Funktsioon x= arcctg R - pidev ja kahanev y ja selle väärtuste komplekt (0; π). Funktsioon t= log 5 R on defineeritud intervallil (0; π), on pidev ja kasvab sellel. See tähendab, et see keeruline funktsioon seadmel väheneb R .

. Ja see kahe pideva funktsiooni koostisena töötab pidevalt

Lahendame ülesande "a".

Kuna funktsioon on pidev kogu arvujoonel, on see pidev selle mis tahes osas, eriti antud lõigul. Ja siis sellel segmendil on sellel väikseimad ja suurimad väärtused ning kõik väärtused nende vahel:

Milline saadud väärtustest on suurem? Miks? Ja milline saab olema väärtuste kogum?

Vastus:

Lahendame ülesande "b".

Vastus: juures(–∞ ; log 5 π) üle kogu määratluspiirkonna.

Probleem parameetriga

Nüüd proovime luua ja lahendada vormi parameetriga lihtsa võrrandi f(x) = a, Kus f(x) – sama funktsioon, mis ülesandes 4.

5. ülesanne. Määrake võrrandi log 5 juurte arv (arcctg x) = A iga parameetri väärtuse jaoks A.

Lahendus. Nagu oleme juba ülesandes 4 näidanud, on funktsioon juures= log 5(arcctg x) – väheneb ja põleb pidevalt R ja võtab väärtused alla log 5 π. Sellest teabest piisab vastuse andmiseks.

Vastus: Kui A < log 5 π, то уравнение имеет единственный корень;

Kui A≥ log 5 π, siis pole juuri.

Õpetaja. Täna vaatlesime probleeme, mis on seotud funktsiooni väärtuste kogumi leidmisega. Sellel teel avastasime võrrandite ja võrratuste lahendamiseks uue meetodi - hindamismeetodi, nii et funktsiooni väärtuste kogumi leidmisest sai vahend kõrgema taseme probleemide lahendamiseks. Seejuures nägime, kuidas selliseid probleeme konstrueeritakse ja kuidas funktsiooni monotoonsuse omadused hõlbustavad nende lahendamist.

Ja tahaks loota, et täna käsitletud ülesandeid ühendav loogika hämmastas või vähemalt üllatas teid. Teisiti ei saagi olla: uude tippu ronimine ei jäta kedagi ükskõikseks! Märkame ja hindame kauneid maale, skulptuure jms. Kuid matemaatikas on ka oma ilu, atraktiivne ja lummav – loogika ilu. Matemaatikud ütlevad, et ilus lahendus on tavaliselt õige lahendus ja see pole lihtsalt fraas. Nüüd tuleb sellised lahendused ise leida ja ühe tee nendeni oleme täna ära näidanud. Edu sulle! Ja pidage meeles: kes kõnnib, see valdab teed!