Lihtsamad ülesanded sirgjoonega tasapinnal. Joonte suhteline asukoht

Nurk ruumisirgete vahel nimetame mis tahes külgnevaid nurki, mille moodustavad kaks sirget, mis on tõmmatud läbi andmetega paralleelse suvalise punkti.

Olgu ruumis antud kaks rida:

Ilmselgelt võib sirgjoonte vahelist nurka φ võtta nende suunavektorite ja vahelise nurgana. Kuna , siis vektoritevahelise nurga koosinuse valemit kasutades saame

Kahe sirge paralleelsuse ja perpendikulaarsuse tingimused on samaväärsed nende suunavektorite paralleelsuse ja perpendikulaarsuse tingimustega ja:

Kaks otse paralleelselt siis ja ainult siis, kui nende vastavad koefitsiendid on proportsionaalsed, s.t. l 1 paralleel l 2 siis ja ainult paralleelselt .

Kaks otse risti siis ja ainult siis, kui vastavate koefitsientide korrutiste summa on võrdne nulliga: .

U eesmärk joone ja tasapinna vahel

Las see olla sirge d- mitte θ tasapinnaga risti;
d′− sirge projektsioon dθ tasapinnale;
Väikseim nurk sirgjoonte vahel d Ja d"me helistame nurk sirge ja tasapinna vahel.
Tähistame seda kui φ=( d,θ)
Kui d⊥θ, siis ( d,θ)=π/2

Oi→j→k→− ristkülikukujuline koordinaatsüsteem.
Tasapinnaline võrrand:

θ: Ax+Kõrval+Cz+D=0

Eeldame, et sirge on määratletud punkti ja suunavektoriga: d[M 0,lk→]
Vektor n→(A,B,C)⊥θ
Siis jääb üle välja selgitada vektorite vaheline nurk n→ ja lk→ tähistame seda kui γ=( n→,lk→).

Kui nurk γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Kui nurk on γ>π/2, siis on soovitud nurk φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Siis nurk sirgjoone ja tasapinna vahel saab arvutada järgmise valemi abil:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+Bp 2+Cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√lk 21+lk 22+lk 23

Küsimus 29. Ruutvormi mõiste. Ruutvormide märgimääratlus.

Ruutvorm j (x 1, x 2, …, x n) n reaalset muutujat x 1, x 2, …, x n nimetatakse vormi summaks
, (1)

Kus a ij – mõned arvud, mida nimetatakse koefitsientideks. Ilma üldistust kaotamata võime seda eeldada a ij = a ji.

Ruutvormi nimetatakse kehtiv, Kui a ij Î GR. Ruutkujuline maatriks nimetatakse maatriksiks, mis koosneb selle koefitsientidest. Ruutvorm (1) vastab ainsale sümmeetrilisele maatriksile
See on A T = A. Järelikult saab ruutkuju (1) kirjutada maatriksi kujul j ( X) = x T Ah, Kus x T = (X 1 X 2 … x n). (2)

Ja vastupidi, iga sümmeetriline maatriks (2) vastab ainulaadsele ruutvormile kuni muutujate tähistuseni.

Ruutvormi aste nimetatakse selle maatriksi auastmeks. Ruutvormi nimetatakse mitte-degenereerunud, kui selle maatriks ei ole ainsuses A. (tuletage meelde, et maatriks A nimetatakse mittedegeneratiivseks, kui selle determinant ei ole võrdne nulliga). Vastasel juhul on ruutvorm degenereerunud.

positiivne kindel(või rangelt positiivne), kui

j( X) > 0 , kellelegi X = (X 1 , X 2 , …, x n), välja arvatud X = (0, 0, …, 0).

Maatriks A positiivne kindel ruutvorm j ( X) nimetatakse ka positiivseks kindlaks. Seetõttu vastab positiivne kindel ruutvorm ainulaadsele positiivsele kindlale maatriksile ja vastupidi.

Ruutkuju (1) nimetatakse negatiivselt määratletud(või rangelt negatiivne), kui

j( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), välja arvatud X = (0, 0, …, 0).

Sarnaselt ülaltoodule nimetatakse negatiivse kindla ruutkujuga maatriksit ka negatiivseks kindlaks.

Järelikult positiivne (negatiivne) kindel ruutvorm j ( X) jõuab minimaalse (maksimaalse) väärtuseni j ( X*) = 0 at X* = (0, 0, …, 0).

Pange tähele, et enamik ruutvorme ei ole märgikindlad, st nad ei ole positiivsed ega negatiivsed. Sellised ruutvormid kaovad mitte ainult koordinaatsüsteemi alguspunktis, vaid ka teistes punktides.

Millal n> 2, ruutvormi märgi kontrollimiseks on vaja erikriteeriume. Vaatame neid.

Suuremad alaealised ruutvorme nimetatakse alaealisteks:

see tähendab, et need on alaealised suurusjärgus 1, 2, ..., n maatriksid A, mis asub vasakus ülanurgas, viimane neist ühtib maatriksi determinandiga A.

Positiivse määratluse kriteerium (Sylvesteri kriteerium)

X) = x T Ah oli positiivne kindel, on vajalik ja piisav, et kõik maatriksi suuremad mollid A olid positiivsed, see tähendab: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Negatiivse kindluse kriteerium Selleks, et ruutvorm j ( X) = x T Ah oli negatiivne kindel, on vajalik ja piisav, et selle paarisjärjekorras põhimollid oleksid positiivsed ja paaritu järjekorraga - negatiivsed, st: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n

Juhised

Märge

Trigonomeetrilise puutuja funktsiooni periood on võrdne 180 kraadiga, mis tähendab, et sirgjoonte kaldenurgad ei saa absoluutväärtuses seda väärtust ületada.

Abistavad nõuanded

Kui nurkkoefitsiendid on üksteisega võrdsed, on selliste joonte vaheline nurk 0, kuna sellised sirged kas langevad kokku või on paralleelsed.

Lõikuvate sirgete vahelise nurga väärtuse määramiseks on vaja mõlemad sirged (või üks neist) paralleeltõlke meetodil uude kohta viia, kuni need ristuvad. Pärast seda peaksite leidma nurga saadud ristuvate joonte vahel.

Sa vajad

Joonlaud, täisnurkne kolmnurk, pliiats, nurgamõõtja.

Juhised

Olgu siis antud vektor V = (a, b, c) ja tasapind A x + B y + C z = 0, kus A, B ja C on normaalse N koordinaadid. Siis on nurga koosinus α vektorite V ja N vahel on võrdne: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).

Nurga arvutamiseks kraadides või radiaanides tuleb saadud avaldisest arvutada koosinusfunktsiooni pöördfunktsioon, st. arkosiin:α = аrsсos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).

Näide: leia nurk vahel vektor(5, -3, 8) ja lennuk, mis on antud üldvõrrandiga 2 x – 5 y + 3 z = 0. Lahendus: kirjuta üles tasandi N = (2, -5, 3) normaalvektori koordinaadid. Asendage kõik teadaolevad väärtused antud valemis: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Video teemal

Sirge, millel on üks ringjoonega ühine punkt, puutub ringiga. Puutuja teine omadus on see, et see on alati risti puutepunkti tõmmatud raadiusega, see tähendab, et puutuja ja raadius moodustavad sirge nurk. Kui ühest punktist A tõmmata ringjoone AB ja AC kaks puutujat, siis on nad alati üksteisega võrdsed. Puutujate vahelise nurga määramine ( nurk ABC) on tehtud Pythagorase teoreemi abil.

Juhised

Nurga määramiseks on vaja teada ringi OB ja OS raadiust ning puutuja alguspunkti kaugust ringi keskpunktist - O. Seega on nurgad ABO ja ASO võrdsed, raadius OB on, näiteks 10 cm ja kaugus ringi AO keskpunktist on 15 cm. Määrake puutuja pikkus valemiga vastavalt Pythagorase teoreemile: AB = ruutjuur AO2 – OB2 või 152 – 102 = 225 –. 100 = 125;

Definitsioon. Kui kahele sirgele on antud y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, siis defineeritakse nende joonte vaheline teravnurk järgmiselt

Kaks sirget on paralleelsed, kui k 1 = k 2. Kaks sirget on risti, kui k 1 = -1/ k 2.

Teoreem. Sirged Ax + Bу + C = 0 ja A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 on paralleelsed, kui koefitsiendid A 1 = λA, B 1 = λB on võrdelised. Kui ka C 1 = λC, siis jooned langevad kokku. Nende sirgete võrrandisüsteemi lahendusena leitakse kahe sirge lõikepunkti koordinaadid.

Antud punkti läbiva sirge võrrand

Antud sirgega risti

Definitsioon. Punkti M 1 (x 1, y 1) läbiv sirgjoon, mis on risti sirgega y = kx + b, on esitatud võrrandiga:

Kaugus punktist jooneni

Teoreem. Kui on antud punkt M(x 0, y 0), siis määratakse kaugus sirgeni Ax + Bу + C = 0

Tõestus. Olgu punkt M 1 (x 1, y 1) punktist M antud sirgele langetatud risti alus. Seejärel punktide M ja M 1 vaheline kaugus:

(1)

Koordinaadid x 1 ja y 1 saab leida võrrandisüsteemi lahendamisega:

Süsteemi teine võrrand on sirge võrrand, mis läbib antud punkti M 0, mis on antud sirgega risti. Kui teisendame süsteemi esimese võrrandi vormiks:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + 0 järgi + C = 0,

siis lahendades saame:

Asendades need avaldised võrrandisse (1), leiame:

Teoreem on tõestatud.

Näide. Määrake sirgete vaheline nurk: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k1 = -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Näide. Näidake, et sirged 3x – 5y + 7 = 0 ja 10x + 6y – 3 = 0 on risti.

Lahendus. Leiame: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, seega on sirged risti.

Näide. Antud on kolmnurga tipud A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Leidke tipust C tõmmatud kõrguse võrrand.

Lahendus. Leiame külje AB võrrandi: ; 4 x = 6 a – 6;

2 x – 3 a + 3 = 0;

Nõutav kõrgusvõrrand on kujul: Ax + By + C = 0 või y = kx + b. k = . Siis y = . Sest kõrgus läbib punkti C, siis selle koordinaadid vastavad sellele võrrandile: kust b = 17. Kokku: .

Vastus: 3 x + 2 a – 34 = 0.

Antud punkti kindlas suunas läbiva sirge võrrand. Kaht antud punkti läbiva sirge võrrand. Nurk kahe sirge vahel. Kahe sirge paralleelsuse ja perpendikulaarsuse tingimus. Kahe sirge lõikepunkti määramine

1. Antud punkti läbiva sirge võrrand A(x 1 , y 1) etteantud suunas, mille määrab kalle k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

See võrrand määratleb punkti läbivate joonte pliiatsi A(x 1 , y 1), mida nimetatakse kiire keskpunktiks.

2. Kaht punkti läbiva sirge võrrand: A(x 1 , y 1) ja B(x 2 , y 2), kirjutatud nii:

Kaht etteantud punkti läbiva sirge nurgakoefitsient määratakse valemiga

3. Sirgete vaheline nurk A Ja B on nurk, mille võrra tuleb esimest sirget pöörata Aümber nende joonte lõikepunkti vastupäeva, kuni see langeb kokku teise sirgega B. Kui kaks sirget on antud kaldega võrranditega

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

siis määratakse nendevaheline nurk valemiga

Tuleb märkida, et murdosa lugejas lahutatakse esimese rea kalle teise rea tõusust.

Kui sirge võrrandid on antud üldkujul

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

nendevaheline nurk määratakse valemiga

4. Kahe joone paralleelsuse tingimused:

a) Kui sirged on antud võrranditega (4) nurkkoefitsiendiga, siis on nende paralleelsuse vajalikuks ja piisavaks tingimuseks nende nurkkoefitsientide võrdsus:

k 1 = k 2 . (8)

b) Juhul, kui sirged on antud võrranditega üldkujul (6), on nende paralleelsuse vajalik ja piisav tingimus, et nende võrrandites olevate vastavate voolukoordinaatide koefitsiendid on võrdelised, s.t.

5. Kahe sirge perpendikulaarsuse tingimused:

a) Juhul, kui sirged on antud võrranditega (4) nurkkoefitsiendiga, on nende perpendikulaarsuse vajalik ja piisav tingimus, et nende nurkkoefitsiendid on suuruselt pöördvõrdelised ja märgilt vastupidised, s.t.

Selle tingimuse võib kirjutada ka vormile

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Kui sirgete võrrandid on antud üldkujul (6), siis nende perpendikulaarsuse tingimuseks (vajalik ja piisav) on võrdsuse rahuldamine

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Kahe sirge lõikepunkti koordinaadid leitakse võrrandisüsteemi (6) lahendamisel. Sirged (6) lõikuvad siis ja ainult siis

1. Kirjutage punkti M läbivate sirgete võrrandid, millest üks on paralleelne ja teine risti antud sirgega l.

Selle veebikalkulaatori abil saate leida sirgjoonte vahelise nurga. Antakse üksikasjalik lahendus koos selgitustega. Sirgete vahelise nurga arvutamiseks määrake mõõde (2, kui arvestada sirget tasapinnal, 3, kui arvestada sirgjoont ruumis), sisestage võrrandi elemendid lahtritesse ja klõpsake nuppu "Lahenda". nuppu. Vaata teoreetilist osa allpool.

Hoiatus

Kas kustutada kõik lahtrid?

Sule Kustuta

Andmete sisestamise juhised. Arvud sisestatakse täisarvudena (näited: 487, 5, -7623 jne), kümnendkohtadena (nt 67., 102,54 jne) või murdudena. Murd tuleb sisestada kujul a/b, kus a ja b (b>0) on täis- või kümnendarvud. Näited 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 jne.

1. Tasapinna sirgete vaheline nurk

Jooned on määratletud kanooniliste võrranditega

1.1. Sirgete vahelise nurga määramine

Laske jooned kahemõõtmelisse ruumi L 1 ja L

Seega leiame valemist (1.4) sirgete vahelise nurga L 1 ja L 2. Nagu on näha jooniselt fig 1, moodustavad ristuvad jooned külgnevaid nurki φ Ja φ 1 . Kui leitud nurk on suurem kui 90°, siis leiate sirgete vahelise minimaalse nurga L 1 ja L 2: φ 1 =180-φ .

Valemist (1.4) saame tuletada kahe sirge paralleelsuse ja perpendikulaarsuse tingimused.

Näide 1. Määrake sirgete vaheline nurk

Lihtsustame ja lahendame:

1.2. Tingimus paralleelsete joonte jaoks

Lase φ =0. Siis cosφ=1. Sel juhul on avaldis (1.4) järgmine:

Näide 2: määrake, kas sirged on paralleelsed

Võrdsus (1.9) on täidetud, seetõttu on sirged (1.10) ja (1.11) paralleelsed.

Vastus.

Sirged (1.10) ja (1.11) on paralleelsed.

Lase φ 1.3. Joonte perpendikulaarsuse tingimus cosφ=0. Sel juhul on avaldis (1.4) järgmine:

Näide 3. Määrake, kas sirged on risti

Tingimus (1.13) on täidetud, seetõttu on sirged (1.14) ja (1.15) risti.

Vastus.

Sirged (1.14) ja (1.15) on risti.

Jooned on määratletud üldvõrranditega

1.4. Sirgete vahelise nurga määramine L 1 ja L Laske kaks sirgjoont

2 on antud üldvõrranditega

Kahe vektori skalaarkorrutise definitsioonist saame:

Näide 4. Leidke sirgetevaheline nurk A 1 , B 1 , A 2 , B Väärtuste asendamine

2 tolli (1,23), saame:

See nurk on suurem kui 90°. Leiame sirgete vahelise minimaalse nurga. Selleks lahutage see nurk 180-st: L 1 ja L Teisest küljest paralleelsete joonte tingimus n 1 ja n 2 on samaväärne vektorite kollineaarsuse tingimusega

2 ja seda saab esitada järgmiselt:

Võrdsus (1,24) on täidetud, seetõttu on sirged (1,26) ja (1,27) paralleelsed.

Vastus.

Sirged (1.26) ja (1.27) on paralleelsed. L 1 ja L 1.6. Joonte perpendikulaarsuse tingimus Joonte perpendikulaarsuse tingimus(φ 2 saab ekstraheerida valemist (1.20) asendades n 1 ,n cos

)=0. Seejärel skalaarkorrutis (

2) = 0. Kus

Võrdsus (1,28) on täidetud, seetõttu on sirged (1,29) ja (1,30) risti.

Vastus.

Sirged (1.29) ja (1.30) on risti. L 1 ja L 2. Ruumi sirgjoonte vaheline nurk

2.1. Sirgete vahelise nurga määramine Olgu ruumis sirged 2 on antud kanooniliste võrranditega Olgu ruumis sirged kus | Olgu ruumis sirged 1 ja Olgu ruumis sirged q φ 1 | ja | Olgu ruumis sirged 1 ja Olgu ruumis sirged 2 .

2 | suunavektori moodulid

Lihtsustame ja lahendame:

2 vastavalt, φ

-vektoritevaheline nurk l Avaldisest (2.3) saame: Leiame nurga Olgu ruumis antud sirgjooned l 1 Ja Avaldisest (2.3) saame: m 1 . Läbi mingi ruumipunkti A tõmbame sirgjooned|| l

m l Avaldisest (2.3) saame: Leiame nurga|| m l 1 (joonis 138). Avaldisest (2.3) saame: m 1 Pange tähele, et punkti A saab valida meelevaldselt, see võib asuda ühel neist joontest. Kui sirge).

lõikuvad, siis A võib võtta nende sirgete lõikepunktiks ( l Avaldisest (2.3) saame: Leiame nurga= l l 1 Avaldisest (2.3) saame: m 1 (l 1 Ja, m 1 . Läbi mingi ruumipunkti A tõmbame sirgjooned= m

Nurk mitteparalleelsete joonte vahel l Avaldisest (2.3) saame: Leiame nurga on ristuvate joontega moodustatud väikseima külgneva nurga väärtus < ). Paralleelsete joonte vaheline nurk loetakse võrdseks nulliga. < Sirgete vaheline nurk < ). Paralleelsete joonte vaheline nurk loetakse võrdseks nulliga. < π / 2 .

tähistatakse $\widehat((l;m))$. Definitsioonist järeldub, et kui mõõdetakse kraadides, siis 0°$\widehat((l;m)) $

90° ja kui radiaanides, siis 0

Ülesanne.

Antud on kuubik ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (joonis 139).

Leidke nurk sirgete AB ja DC 1 vahel. l Avaldisest (2.3) saame: Leiame nurga Otseliinide AB ja DC 1 ristumine. Kuna sirge DC on paralleelne sirgega AB, siis sirgjoonte AB ja DC 1 vaheline nurk on definitsiooni kohaselt võrdne $\widehat(C_(1)DC)$. Seetõttu $\widehat((AB;DC_1))$ = 45°. Otsene π / kutsutakse

risti

Kahe sirge vahelise nurga arvutamise ülesanne ruumis lahendatakse samamoodi nagu tasapinnal. Tähistame φ-ga joontevahelise nurga suurust l 1 Avaldisest (2.3) saame: l 2 ja läbi ψ - suunavektorite vahelise nurga suurus A Ja b need sirged jooned.

Siis kui

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (joonis 206.6), siis φ = 180° - ψ. Ilmselgelt on mõlemal juhul tõene võrdus cos φ = |cos ψ|. Vastavalt valemile (nullist erineva vektorite a ja b vahelise nurga koosinus võrdub nende vektorite skalaarkorrutisega jagatuna nende pikkuste korrutisega) saame

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

seega,

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

Olgu sirged antud nende kanooniliste võrranditega

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; Ja \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

Seejärel määratakse joonte vaheline nurk φ valemi abil

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

Kui üks sirgetest (või mõlemad) on antud mittekanooniliste võrranditega, tuleb nurga arvutamiseks leida nende joonte suunavektorite koordinaadid ja seejärel kasutada valemit (1).

Ülesanne 1. Arvutage ridade vaheline nurk

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;ja\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

Sirgete suunavektoritel on koordinaadid:

a = (-√2 ; √2 ; -2), b = (√3 ; √3 ; √6 ).

Valemi (1) abil leiame

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

Seetõttu on nende joonte vaheline nurk 60°.

2. ülesanne. Arvutage ridade vaheline nurk

$$ \begin(cases)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(cases) ja \begin(cases)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\end(juhtumid) $$

Juhtvektori taga A Esimesel real võtame normaalvektorite vektorkorrutise n 1 = (3; 0; -12) ja n 2 = (1; 1; -3) seda sirget määratlevad tasapinnad. Kasutades valemit $=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) $ saame

$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

Samamoodi leiame teise sirge suunavektori:

$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$

Kuid valemi (1) abil arvutame soovitud nurga koosinuse:

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2 ^2+4^2+4^2))=0 $$

Seetõttu on nende joonte vaheline nurk 90°.

3. ülesanne. Kolmnurkses püramiidis MABC on servad MA, MB ja MC üksteisega risti (joonis 207);

nende pikkused on vastavalt 4, 3, 6. Punkt D on keskmine [MA]. Leidke nurk φ sirgete CA ja DB vahel.

Olgu CA ja DB sirgete CA ja DB suunavektorid.

Võtame koordinaatide alguspunktiks punkti M. Võrrandi tingimuse järgi saame A (4; 0; 0), B(0; 0; 3), C(0; 6; 0), D (2; 0; 0). Seetõttu $\overrightarrow(CA)$ = (4; - 6;0), $\overrightarrow(DB)$= (-2; 0; 3). Kasutame valemit (1):

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9 )) $$

Koosinustabelit kasutades leiame, et sirgjoonte CA ja DB vaheline nurk on ligikaudu 72°.