Desviación estándar del número 4. Desviación lineal y estándar

Expectativa y variación

Medimos una variable aleatoria norte veces, por ejemplo, medimos la velocidad del viento diez veces y queremos encontrar el valor medio. ¿Cómo se relaciona el valor promedio con la función de distribución?

vamos a tirar los dados un gran número de una vez. El número de puntos que aparecerán en los dados con cada lanzamiento es una variable aleatoria y puede tomar cualquier valor natural de 1 a 6. La media aritmética de los puntos perdidos calculada para todos los lanzamientos de dados también es una variable aleatoria, pero para grandes norte tiende a un número muy específico - expectativa matemática M x. En este caso M x = 3,5.

¿Cómo obtuviste este valor? Dejar entrar norte pruebas, una vez que obtienes 1 punto, una vez que obtienes 2 puntos, y así sucesivamente. Entonces cuando norte→ ∞ número de resultados en los que se obtuvo un punto, de manera similar, por lo tanto

Modelo 4.5. Dado

Supongamos ahora que conocemos la ley de distribución. variable aleatoria X, es decir, sabemos que la variable aleatoria X puede tomar valores X 1 , X 2 , ..., x k con probabilidades pag 1 , pag 2 , ..., paquete.

Valor esperado M x variable aleatoria X es igual a:

Respuesta. 2,8.

La expectativa matemática no siempre es una estimación razonable de alguna variable aleatoria. Entonces, para estimar el promedio salarios es más razonable utilizar el concepto de mediana, es decir, un valor tal que coincida el número de personas que reciben un salario inferior a la mediana y uno mayor.

Mediana La variable aleatoria se llama número. X 1/2 es tal que pag (X < X 1/2) = 1/2.

En otras palabras, la probabilidad pag 1 que la variable aleatoria X será más pequeño X 1/2 y probabilidad pag 2 que la variable aleatoria X será mayor X 1/2 son idénticos e iguales a 1/2. La mediana no está determinada de forma única para todas las distribuciones.

Volvamos a la variable aleatoria. X, que puede tomar valores X 1 , X 2 , ..., x k con probabilidades pag 1 , pag 2 , ..., paquete.

Diferencia variable aleatoria X es el valor promedio de la desviación al cuadrado de una variable aleatoria de su expectativa matemática:

Ejemplo 2

En las condiciones del ejemplo anterior, calcule la varianza y el promedio. Desviación Estándar variable aleatoria X.

Respuesta. 0,16, 0,4.

Modelo 4.6. Disparar a un objetivo

Ejemplo 3

Encuentre la distribución de probabilidad del número de puntos caídos en el dado en el primer lanzamiento, la mediana, la expectativa matemática, la varianza y el promedio. Desviación Estándar.

Es igualmente probable que cualquier borde se caiga, por lo que la distribución se verá así:

Desviación estándar Se puede observar que la desviación del valor del valor promedio es muy grande.

Propiedades de la expectativa matemática:

• La expectativa matemática de la suma de variables aleatorias independientes es igual a la suma de sus expectativas matemáticas:

Ejemplo 4

Encuentra la expectativa matemática de la suma y el producto de los puntos lanzados en dos dados.

En el ejemplo 3 encontramos que para un cubo METRO (X) = 3,5. Entonces para dos cubos

Propiedades de dispersión:

• La varianza de la suma de variables aleatorias independientes es igual a la suma de las varianzas:

dx + y = dx + dy.

dejar por norte tira los dados lanzados y puntos. Entonces

Este resultado es válido no sólo para las tiradas de dados. En muchos casos, determina la precisión de medir empíricamente la expectativa matemática. Se puede observar que a medida que aumenta el número de mediciones norte la dispersión de valores alrededor del promedio, es decir, la desviación estándar, disminuye proporcionalmente

La varianza de una variable aleatoria está relacionada con la expectativa matemática del cuadrado de esta variable aleatoria mediante la siguiente relación:

Encontremos las expectativas matemáticas de ambos lados de esta igualdad. Priorato,

La expectativa matemática del lado derecho de la igualdad, según la propiedad de las expectativas matemáticas, es igual a

Desviación Estándar

Desviación Estándar igual a la raíz cuadrada de la varianza:
Al determinar la desviación estándar para un volumen suficientemente grande de la población en estudio (n > 30), se utilizan las siguientes fórmulas:

Información relacionada.

En pruebas estadísticas de hipótesis, al medir una relación lineal entre variables aleatorias.

Desviación Estándar:

Desviación Estándar(estimación de la desviación estándar de la variable aleatoria Piso, las paredes que nos rodean y el techo, X en relación con su expectativa matemática basada en una estimación insesgada de su varianza):

¿Dónde está la dispersión? - El suelo, las paredes que nos rodean y el techo, iº elemento de la selección; - tamaño de la muestra; - media aritmética de la muestra:

Cabe señalar que ambas estimaciones están sesgadas. EN caso general Es imposible construir una estimación imparcial. Sin embargo, la estimación basada en la estimación de la varianza insesgada es consistente.

regla tres sigma

regla tres sigma(): casi todos los valores de una variable aleatoria distribuida normalmente se encuentran en el intervalo. Más estrictamente, con al menos un 99,7% de confianza, el valor de una variable aleatoria distribuida normalmente se encuentra en el intervalo especificado (siempre que el valor sea verdadero y no se obtenga como resultado del procesamiento de la muestra).

Si se desconoce el valor real, entonces no debemos utilizarlo, sino el suelo, las paredes que nos rodean y el techo. s. De este modo, regla de tres sigma se convierte en regla de tres El suelo, las paredes que nos rodean y el techo, s .

Interpretación del valor de la desviación estándar.

Un valor grande de la desviación estándar muestra una gran dispersión de valores en el conjunto presentado con el valor promedio del conjunto; En consecuencia, un valor pequeño muestra que los valores del conjunto están agrupados alrededor del valor medio.

Por ejemplo, tenemos tres conjuntos de números: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) y (6, 6, 8, 8). Los tres conjuntos tienen valores medios iguales a 7 y desviaciones estándar, respectivamente, iguales a 7, 5 y 1. El último conjunto tiene una desviación estándar pequeña, ya que los valores del conjunto se agrupan alrededor del valor medio; el primer conjunto tiene más gran importancia desviación estándar: los valores dentro del conjunto difieren mucho del valor promedio.

En sentido general, la desviación estándar puede considerarse una medida de incertidumbre. Por ejemplo, en física, la desviación estándar se utiliza para determinar el error de una serie de mediciones sucesivas de alguna cantidad. Este valor es muy importante para determinar la plausibilidad del fenómeno en estudio en comparación con el valor predicho por la teoría: si el valor promedio de las mediciones difiere mucho de los valores predichos por la teoría (gran desviación estándar), luego se deben volver a verificar los valores obtenidos o el método para obtenerlos.

Uso práctico

En la práctica, la desviación estándar le permite determinar cuánto pueden diferir los valores de un conjunto del valor promedio.

Clima

Supongamos que hay dos ciudades con la misma temperatura máxima diaria promedio, pero una está ubicada en la costa y la otra en el interior. Se sabe que las ciudades ubicadas en la costa tienen muchas temperaturas máximas diurnas diferentes que son más bajas que las ciudades ubicadas en el interior. Por lo tanto, la desviación estándar de las temperaturas máximas diarias para una ciudad costera será menor que para la segunda ciudad, a pesar de que el valor promedio de este valor es el mismo, lo que en la práctica significa que la probabilidad de que la temperatura máxima del aire en cualquier día del año será mayor que el valor medio, mayor para una ciudad situada en el interior.

Deporte

Supongamos que hay varios equipos de fútbol que se evalúan según algún conjunto de parámetros, por ejemplo, el número de goles marcados y concedidos, oportunidades de gol, etc. Lo más probable es que el mejor equipo de este grupo tenga mejores valores Por más parámetros. Cuanto menor sea la desviación estándar del equipo para cada uno de los parámetros presentados, más predecible será el resultado del equipo; Por otro lado, el equipo con gran valor La desviación estándar es difícil de predecir el resultado, lo que a su vez se explica por el desequilibrio, por ejemplo, fuerte defensa, pero con un ataque débil.

El uso de la desviación estándar de los parámetros del equipo permite, en un grado u otro, predecir el resultado de un partido entre dos equipos, evaluando las fortalezas y lados débilesórdenes y, por tanto, los métodos de lucha elegidos.

Análisis técnico

ver también

Literatura

* Borovikov, V. ESTADÍSTICAS. El arte del análisis de datos en una computadora: para profesionales / V. Borovikov. - San Petersburgo. : Pedro, 2003. - 688 p. -ISBN 5-272-00078-1.

La desviación estándar es un indicador clásico de variabilidad de la estadística descriptiva.

Desviación Estándar, desviación estándar, desviación estándar, desviación estándar de la muestra (ing. desviación estándar, STD, STDev): un indicador de dispersión muy común en estadísticas descriptivas. Pero porque el análisis técnico es similar a la estadística, este indicador puede (y debe) utilizarse en el análisis técnico para detectar el grado de dispersión del precio del instrumento analizado en el tiempo. Denotado por el símbolo griego Sigma "σ".

Gracias a Karl Gauss y Pearson por permitirnos utilizar la desviación estándar.

Usando desviación estándar en análisis técnico, convertimos esto "índice de dispersión"" V. "indicador de volatilidad“, manteniendo el significado, pero cambiando los términos.

¿Qué es la desviación estándar?

Pero además de los cálculos auxiliares intermedios, La desviación estándar es bastante aceptable para el cálculo independiente. y aplicaciones en análisis técnico. Como señaló un lector activo de nuestra revista bardana: “ Todavía no entiendo por qué la desviación estándar no está incluida en el conjunto de indicadores estándar de los centros de negociación nacionales.«.

En realidad, La desviación estándar puede medir la variabilidad de un instrumento de forma clásica y “pura”.. Pero, lamentablemente, este indicador no es tan común en el análisis de valores.

Aplicando la desviación estándar

Calcular manualmente la desviación estándar no es muy interesante, pero útil para la experiencia. La desviación estándar se puede expresar fórmula STD=√[(∑(x-x ) 2)/n] , que suena como la raíz de la suma de diferencias al cuadrado entre los elementos de la muestra y la media, dividida por el número de elementos de la muestra.

Si el número de elementos de la muestra supera los 30, entonces el denominador de la fracción bajo la raíz toma el valor n-1. De lo contrario se utiliza n.

Paso a paso cálculo de la desviación estándar:

1. calcular la media aritmética de la muestra de datos
2. restar este promedio de cada elemento de la muestra
3. elevamos al cuadrado todas las diferencias resultantes
4. sumar todos los cuadrados resultantes
5. dividir la cantidad resultante por el número de elementos de la muestra (o por n-1, si n>30)
6. calcular Raíz cuadrada del cociente resultante (llamado dispersión)

Un método aproximado para evaluar la variabilidad de una serie de variaciones es determinar el límite y la amplitud, pero no se tienen en cuenta los valores de la variante dentro de la serie. La principal medida generalmente aceptada de la variabilidad de una característica cuantitativa dentro de una serie de variación es desviación estándar (σ - sigma). Cuanto mayor sea la desviación estándar, mayor será el grado de variabilidad. estas series más alto.

El método para calcular la desviación estándar incluye los siguientes pasos:

1. Encuentra la media aritmética (M).

2. Determine las desviaciones de las opciones individuales de la media aritmética (d=V-M). EN estadísticas medicas las desviaciones del promedio se designan como d (desviación). La suma de todas las desviaciones es cero.

3. Eleva al cuadrado cada desviación d 2.

4. Multiplica los cuadrados de las desviaciones por las frecuencias correspondientes d 2 *p.

5. Encuentra la suma de los productos å(d 2 *p)

6. Calcule la desviación estándar usando la fórmula:

Cuando n es mayor que 30, o cuando n es menor o igual a 30, donde n es el número de todas las opciones.

Valor de desviación estándar:

1. La desviación estándar caracteriza la propagación de la variante en relación con tamaño promedio(es decir, fluctuación de la serie de variación). Cuanto mayor sea la sigma, mayor será el grado de diversidad de esta serie.

2. La desviación estándar se utiliza para evaluación comparativa grado de correspondencia con el promedio valor aritmético la serie de variación para la cual fue calculado.

Variaciones fenómenos de masas obedecer la ley de distribución normal. La curva que representa esta distribución parece una curva simétrica suave en forma de campana (curva gaussiana). Según la teoría de la probabilidad, en los fenómenos que obedecen a la ley de distribución normal, existe una estricta relación matemática entre los valores de la media aritmética y la desviación estándar. Opción de distribución teórica en homogénea. serie de variación obedece la regla de tres sigma.

Si en el sistema coordenadas rectangulares trazar los valores en el eje de abscisas característica cuantitativa(variantes), y en el eje de ordenadas: la frecuencia de aparición de la variante en la serie de variaciones, luego las variantes con valores mayores y menores se ubican uniformemente a los lados de la media aritmética.

Se ha establecido que con una distribución normal del rasgo:

El 68,3% de los valores de las variantes están dentro de M±1s.

El 95,5% de los valores de las variantes están dentro de M±2s.

El 99,7% de los valores de las variantes están dentro de M±3s.

3. La desviación estándar permite establecer valores normales de parámetros clínicos y biológicos. En medicina, el intervalo M±1s suele tomarse como el rango normal para el fenómeno en estudio. La desviación del valor estimado de la media aritmética en más de 1 segundo indica una desviación del parámetro estudiado de la norma.

4. En medicina, la regla tres sigma se utiliza en pediatría para evaluar individualmente el nivel de desarrollo fisico niños (método de desviación sigma), para desarrollar estándares para la ropa infantil

5. La desviación estándar es necesaria para caracterizar el grado de diversidad de la característica en estudio y calcular el error de la media aritmética.

El valor de la desviación estándar se suele utilizar para comparar la variabilidad de series del mismo tipo. Si se comparan dos series con diferentes signos(altura y peso, duración media del tratamiento hospitalario y mortalidad hospitalaria, etc.), entonces una comparación directa de los tamaños sigma es imposible , porque La desviación estándar es un valor con nombre expresado en números absolutos. En estos casos, utilice coeficiente de variación (Cv), que es un valor relativo: la relación porcentual entre la desviación estándar y la media aritmética.

El coeficiente de variación se calcula mediante la fórmula:

Cuanto mayor sea el coeficiente de variación , cuanto mayor sea la variabilidad de esta serie. Se cree que un coeficiente de variación superior al 30% indica la heterogeneidad cualitativa de la población.

Instrucciones

Sean varios números que caractericen cantidades homogéneas. Por ejemplo, los resultados de mediciones, pesajes, observaciones estadísticas, etc. Todas las cantidades presentadas deben medirse utilizando la misma medida. Para encontrar la desviación estándar, haga lo siguiente:

Determinar la media aritmética de todos los números: sumar todos los números y dividir la suma por total números.

Determine la dispersión (dispersión) de números: sume los cuadrados de las desviaciones encontradas anteriormente y divida la suma resultante por el número de números.

Hay siete pacientes en la sala con temperaturas de 34, 35, 36, 37, 38, 39 y 40 grados centígrados.

Se requiere determinar la desviación promedio de la media.
Solución:
“en la sala”: (34+35+36+37+38+39+40)/7=37 ºС;

Desviaciones de temperatura del promedio (en este caso valor normal): 34-37, 35-37, 36-37, 37-37, 38-37, 39-37, 40-37, resulta: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 (ºС );

Divide la suma de los números obtenidos anteriormente por su número. Para cálculos precisos, es mejor utilizar una calculadora. El resultado de la división es la media aritmética de los números sumados.

Preste atención a todas las etapas del cálculo, ya que un error incluso en uno de los cálculos conducirá a un indicador final incorrecto. Verifique sus cálculos en cada etapa. El promedio aritmético tiene el mismo medidor que los números sumados, es decir, si determinas la asistencia promedio, entonces todos tus indicadores serán "personas".

Este método Los cálculos se utilizan únicamente en cálculos matemáticos y estadísticos. Así, por ejemplo, promedio valor aritmético en informática tiene un algoritmo de cálculo diferente. La media aritmética es un indicador muy relativo. Muestra la probabilidad de un evento, siempre que tenga un solo factor o indicador. Para realizar un análisis más profundo, se deben tener en cuenta muchos factores. Para ello se utiliza el cálculo de cantidades más generales.

La media aritmética es una de las medidas de tendencia central, muy utilizada en matemáticas y cálculos estadísticos. Encontrar la media aritmética de varios valores es muy sencillo, pero cada tarea tiene sus propios matices, que simplemente es necesario conocer para realizar los cálculos correctos.

Resultados cuantitativos de experimentos similares.

Cómo encontrar la media aritmética

Características de trabajar con números negativos.

1. Encontrar la media aritmética general utilizando el método estándar;
2. Encontrar la media aritmética de números negativos.
3. Cálculo de la media aritmética de números positivos.

Las respuestas para cada acción se escriben separadas por comas.

Fracciones naturales y decimales

Cuando se trabaja con fracciones naturales, se deben reducir a un denominador común, que se multiplica por la cantidad de números en la matriz. El numerador de la respuesta será la suma de los numeradores dados de los elementos fraccionarios originales.