Fórmulas raíz. Propiedades de las raíces

Raíz cuadrada de un número X número llamado A, que en el proceso de multiplicarse por sí mismo ( AUTOMÓVIL CLUB BRITÁNICO) puede dar un número X.
Aquellos. A * A = A 2 = X, Y √X = A.

Por encima de las raíces cuadradas ( √x), al igual que otros números, puedes realizar operaciones aritméticas como resta y suma. Para restar y sumar raíces, es necesario conectarlas mediante los signos correspondientes a estas acciones (por ejemplo √x— √y ).
Y luego lleve las raíces a su forma más simple; si hay similares entre ellas, es necesario hacer una reducción. Consiste en tomar los coeficientes de términos semejantes con los signos de los términos correspondientes, luego ponerlos entre paréntesis y deducir la raíz común fuera de los paréntesis del factor. El coeficiente que obtuvimos se simplifica según las reglas habituales.

Paso 1: extraer raíces cuadradas

En primer lugar, para sumar raíces cuadradas, primero debes extraer estas raíces. Esto se puede hacer si los números bajo el signo de la raíz son cuadrados perfectos. Por ejemplo, tome la expresión dada √4 + √9 . Primer número 4 es el cuadrado del numero 2 . segundo numero 9 es el cuadrado del numero 3 . Así, podemos obtener la siguiente igualdad: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Eso es todo, el ejemplo está solucionado. Pero no siempre sucede tan fácilmente.

Paso 2. Sacar el multiplicador del número de debajo de la raíz.

Si no hay cuadrados perfectos debajo del signo de la raíz, puedes intentar eliminar el multiplicador del número debajo del signo de la raíz. Por ejemplo, tomemos la expresión √24 + √54 .

Factoriza los números:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Entre 24 tenemos un multiplicador 4 , se puede sacar de debajo del signo de la raíz cuadrada. Entre 54 tenemos un multiplicador 9 .

Obtenemos igualdad:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Considerando este ejemplo, obtenemos la eliminación del multiplicador debajo del signo de la raíz, simplificando así la expresión dada.

Paso 3: Reducir el denominador

Considere la siguiente situación: la suma de dos raíces cuadradas es el denominador de la fracción, por ejemplo, A/(√a + √b).
Ahora nos enfrentamos a la tarea de "deshacernos de la irracionalidad en el denominador".
Usemos el siguiente método: multiplicar el numerador y denominador de la fracción por la expresión √a - √b.

Ahora obtenemos la fórmula de multiplicación abreviada en el denominador:
(√a + √b) * (√a – √b) = a – b.

De manera similar, si el denominador tiene una diferencia de raíces: √a - √b, el numerador y denominador de la fracción se multiplican por la expresión √a + √b.

Tomemos la fracción como ejemplo:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Ejemplo de reducción de denominador complejo

Ahora consideraremos un ejemplo bastante complejo de cómo deshacerse de la irracionalidad en el denominador.

Por ejemplo, tomemos una fracción: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Necesitas tomar su numerador y denominador y multiplicar por la expresión. √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Paso 4. Calcula el valor aproximado en la calculadora.

Si solo necesitas un valor aproximado, puedes hacerlo en una calculadora calculando el valor de las raíces cuadradas. El valor se calcula por separado para cada número y se anota con la precisión requerida, que está determinada por el número de decimales. A continuación, se realizan todas las operaciones necesarias, como con los números ordinarios.

Ejemplo de cálculo de un valor aproximado.

Es necesario calcular el valor aproximado de esta expresión. √7 + √5 .

Como resultado obtenemos:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Tenga en cuenta: bajo ninguna circunstancia debe agregar raíces cuadradas como números primos, esto es completamente inaceptable; Es decir, si sumamos la raíz cuadrada de cinco y la raíz cuadrada de tres, no podemos obtener la raíz cuadrada de ocho.

Consejo útil: si decide factorizar un número, para obtener el cuadrado debajo del signo de la raíz, debe hacer una verificación inversa, es decir, multiplicar todos los factores que resultaron de los cálculos y el resultado final de este. El cálculo matemático debe ser el número que se nos dio originalmente.

Reglas para restar raíces

1. La raíz de un grado de un producto de números no negativos es igual al producto de raíces del mismo grado de factores: donde (la regla para extraer una raíz de un producto).

2. Si , entonces y (la regla para extraer la raíz de una fracción).

3. Si entonces (la regla para extraer una raíz de una raíz).

4. Si entonces la regla para elevar la raíz a una potencia).

5. Si entonces donde, es decir, el exponente de la raíz y el exponente de la expresión radical se pueden multiplicar por el mismo número.

6. Si entonces 0, es decir, una expresión radical positiva mayor corresponde a un valor mayor de la raíz.

7. Todas las fórmulas anteriores suelen aplicarse en orden inverso (es decir, de derecha a izquierda). Por ejemplo,

(regla de multiplicación de raíces);

(regla de división de raíces);

8. La regla para quitar el multiplicador debajo del signo raíz. En

9. El problema inverso es introducir un multiplicador bajo el signo de la raíz. Por ejemplo,

10. Eliminación de la irracionalidad en el denominador de una fracción.

Veamos algunos casos típicos.

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Por ejemplo,

11. Aplicación de identidades de multiplicación abreviadas a operaciones con raíces aritméticas:

12. El factor delante de la raíz se llama coeficiente. Por ejemplo, aquí 3 es el coeficiente.

13. Las raíces (radicales) se llaman similares si tienen los mismos índices de raíces y las mismas expresiones radicales, y difieren solo en el coeficiente. Para juzgar si estas raíces (radicales) son similares o no, es necesario reducirlas a su forma más simple.

Por ejemplo, y son similares, ya que

EJERCICIOS CON SOLUCIONES

1. Simplifica expresiones:

Solución. 1) No tiene sentido multiplicar la expresión radical, ya que cada uno de los factores representa el cuadrado de un número entero. Usemos la regla para extraer la raíz de un producto:

En el futuro, realizaremos dichas acciones de forma oral.

2) Intentemos, si es posible, representar la expresión radical como un producto de factores, cada uno de los cuales es el cubo de un número entero, y apliquemos la regla sobre la raíz del producto:

2. Encuentra el valor de la expresión:

Solución. 1) Según la regla para extraer la raíz de una fracción, tenemos:

3) Transformar las expresiones radicales y extraer la raíz:

3. Simplifica cuando

Solución. Al extraer una raíz de una raíz, los indicadores de las raíces se multiplican, pero la expresión radical permanece sin cambios.

Si hay un coeficiente delante de la raíz ubicada debajo de la raíz, antes de realizar la operación de extracción de la raíz, ingrese este coeficiente bajo el signo del radical delante del cual aparece.

Con base en las reglas anteriores, extraigamos las dos últimas raíces:

4. Elevar a una potencia:

Solución. Al elevar una raíz a una potencia, el exponente de la raíz permanece sin cambios y los exponentes de la expresión radical se multiplican por el exponente.

(ya que está definido, entonces);

Si una raíz dada tiene un coeficiente, entonces este coeficiente se eleva a una potencia por separado y el resultado se escribe como el coeficiente de la raíz.

Aquí usamos la regla de que el indicador de la raíz y el indicador de la expresión radical se pueden multiplicar por el mismo número (multiplicamos por, es decir, dividimos por 2).

Por ejemplo, o

4) La expresión entre paréntesis, que representa la suma de dos radicales diferentes, se eleva al cubo y se simplifica:

Desde que tenemos:

5. Eliminar la irracionalidad en el denominador:

Solución. Para eliminar (destruir) la irracionalidad en el denominador de una fracción, es necesario encontrar la expresión más simple, que en un producto con denominador dé una expresión racional, y multiplicar el numerador y el denominador de esta fracción por el factor encontrado.

Por ejemplo, si el denominador de una fracción contiene un binomio, entonces el numerador y el denominador de la fracción deben multiplicarse por la expresión conjugada al denominador, es decir, la suma debe multiplicarse por la diferencia correspondiente y viceversa.

En casos más complejos, la irracionalidad no se destruye inmediatamente, sino en varias etapas.

1) La expresión debe contener

Multiplicando el numerador y denominador de la fracción por obtenemos:

2) Multiplicando el numerador y denominador de la fracción por el cuadrado parcial de la suma, obtenemos:

3) Llevemos las fracciones a un denominador común:

A la hora de resolver este ejemplo debemos tener en cuenta que cada fracción tiene un significado, es decir, el denominador de cada fracción es distinto de cero. Además,

Al convertir expresiones que contienen radicales, a menudo se cometen errores. Son causadas por la incapacidad de aplicar correctamente el concepto (definición) de raíz aritmética y valor absoluto.

Reglas para restar raíces

Calcular el valor de una expresión.

Solución.

Explicación.
Para colapsar la expresión radical, imagina el número 31 en el segundo factor de su expresión radical como la suma de 15+16. (línea 2)

Después de la transformación, queda claro que la suma en la segunda expresión radical se puede representar como el cuadrado de la suma usando las fórmulas de multiplicación abreviadas. (línea 3)

Ahora imaginemos cada raíz de este producto como un grado. (línea 4)

Simplifiquemos la expresión (línea 5)

Dado que el grado del producto es igual al producto de los grados de cada uno de los factores, lo representamos en consecuencia (línea 6)

Como puedes ver, usando las fórmulas de multiplicación abreviadas tenemos la diferencia entre los cuadrados de dos números. A partir de ahí calculamos el valor de la expresión (línea 7)

Calcula el valor de la expresión.

Solución.

Explicación.

Usamos las propiedades de la raíz de que la raíz de una potencia arbitraria de un cociente de números es igual al cociente de las raíces de estos números (línea 2)

La raíz de una potencia arbitraria de un número de la misma potencia es igual a este número (línea 3)

Saquemos el menos de los paréntesis del primer factor. En este caso, todos los signos dentro de los paréntesis cambiarán al contrario (línea 4)

Realicemos una reducción de fracciones (línea 5)

Imaginemos el número 729 como el cuadrado del número 27, y el número 27 como el cubo del número 3. De ahí obtenemos el valor de la expresión radical.

Raíz cuadrada. Primer nivel.

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1. Introducción al concepto de raíz cuadrada aritmética

La raíz cuadrada (raíz cuadrada aritmética) de un número no negativo es un número no negativo cuyo cuadrado es igual a.
.

El número o expresión bajo el signo raíz no debe ser negativo.

2. Tabla de cuadrados

3. Propiedades de la raíz cuadrada aritmética

Introducción al concepto de raíz cuadrada aritmética.

Intentemos descubrir cuál es este concepto de "raíz" y "con qué se come". Para hacer esto, veamos ejemplos que ya ha encontrado en clase (bueno, o que está a punto de encontrar esto).

Por ejemplo, tenemos una ecuación. ¿Cuál es la solución de esta ecuación? ¿Qué números se pueden elevar al cuadrado y obtener? Recordando la tabla de multiplicar, puedes dar fácilmente la respuesta: y (después de todo, cuando se multiplican dos números negativos, se obtiene un número positivo). Para simplificar, los matemáticos introdujeron el concepto especial de raíz cuadrada y le asignaron un símbolo especial.

Definamos la raíz cuadrada aritmética.

¿Por qué el número tiene que ser no negativo? Por ejemplo, ¿a qué es igual? Bueno, bueno, intentemos elegir uno. ¿Tal vez tres? Comprobemos: , no. Tal vez, ? Nuevamente comprobamos: . Bueno, ¿no encaja? Esto es de esperarse, ¡porque no hay números que, cuando se elevan al cuadrado, den un número negativo!

Sin embargo, probablemente ya hayas notado que la definición dice que la solución a la raíz cuadrada de "un número es un número no negativo cuyo cuadrado es igual a ". Y al principio analizamos el ejemplo, seleccionamos números que se pueden elevar al cuadrado y obtener, la respuesta fue y, ¡pero aquí estamos hablando de una especie de "número no negativo"! Esta observación es bastante apropiada. Aquí solo necesitas distinguir entre los conceptos de ecuaciones cuadráticas y la raíz cuadrada aritmética de un número. Por ejemplo, no es equivalente a la expresión.

Y se sigue de eso.

Por supuesto, esto es muy confuso, pero es necesario recordar que los signos son el resultado de resolver la ecuación, ya que al resolver la ecuación debemos escribir todas las X, las cuales, al sustituirlas en la ecuación original, darán resultado correcto. Ambos y encajan en nuestra ecuación cuadrática.

Sin embargo, Si simplemente sacas la raíz cuadrada de algo, siempre obtienes un resultado no negativo..

Ahora intenta resolver esta ecuación. Ya no todo es tan sencillo y fluido, ¿verdad? Intente repasar los números, ¿tal vez algo funcione?

Empecemos desde el principio, desde cero: - no encaja, sigamos adelante; – menos de tres, también lo descartamos, pero ¿y si? Comprobemos: – tampoco encaja, porque eso es más de tres. Es la misma historia con los números negativos. ¿Entonces que debemos hacer ahora? ¿La búsqueda realmente no nos dio nada? En absoluto, ahora sabemos con seguridad que la respuesta será algún número entre y, así como entre y. Además, obviamente las soluciones no serán números enteros. Además, no son racionales. Entonces, ¿qué sigue? Grafiquemos la función y marquemos las soluciones en ella.

¡Intentemos engañar al sistema y obtener la respuesta usando una calculadora! ¡Saquemosle la raíz! Oh-oh-oh, resulta que este número nunca termina. ¿¡Cómo puedes recordar esto, ya que no habrá calculadora en el examen!? Todo es muy sencillo, no es necesario que lo recuerdes, solo necesitas recordar (o poder estimar rápidamente) el valor aproximado. y las respuestas mismas. Estos números se denominan irracionales; fue para simplificar su escritura que se introdujo el concepto de raíz cuadrada.
Veamos otro ejemplo para reforzar esto. Veamos el siguiente problema: necesitas cruzar un campo cuadrado con un lado de km en diagonal, ¿cuántos km tienes que recorrer?

Lo más obvio aquí es considerar el triángulo por separado y utilizar el teorema de Pitágoras: . De este modo, . Entonces, ¿cuál es la distancia requerida aquí? Evidentemente, la distancia no puede ser negativa, lo entendemos. La raíz de dos es aproximadamente igual, pero, como señalamos anteriormente, ya es una respuesta completa.

Extracción de raíces

Para resolver ejemplos con raíces sin causar problemas, es necesario verlos y reconocerlos. Para hacer esto, necesita conocer al menos los cuadrados de los números desde hasta y también poder reconocerlos.

Es decir, necesitas saber qué es igual a un cuadrado y también, a la inversa, qué es igual a un cuadrado. Al principio, esta tabla te ayudará a extraer la raíz.

Tan pronto como resuelva una cantidad suficiente de ejemplos, la necesidad desaparecerá automáticamente.
Intenta encontrar tú mismo la raíz cuadrada de las siguientes expresiones:

Bueno, ¿cómo resultó? Ahora veamos estos ejemplos:

Propiedades de la raíz cuadrada aritmética

Ahora que ya sabes cómo extraer raíces, es hora de conocer las propiedades de la raíz cuadrada aritmética. Sólo hay 3 de ellos:

• multiplicación;
• división;
• exponenciación.

Simplemente son muy fáciles de recordar con la ayuda de esta tabla y, por supuesto, con formación:

como decidir
ecuaciones cuadráticas

En lecciones anteriores vimos “Cómo resolver ecuaciones lineales”, es decir, ecuaciones de primer grado. En esta lección veremos lo que se llama ecuación cuadrática Y como resolverlo.

¿Qué es una ecuación cuadrática?

El grado de una ecuación está determinado por el grado más alto al que se encuentra la incógnita.

Si la potencia máxima a la que la incógnita es “2”, entonces tienes una ecuación cuadrática.

Ejemplos de ecuaciones cuadráticas

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

Para encontrar "a", "b" y "c", debes comparar tu ecuación con la forma general de la ecuación cuadrática "ax 2 + bx + c = 0".

Practiquemos identificar los coeficientes "a", "b" y "c" en ecuaciones cuadráticas.

• un = 5
• segundo = −14
• c = 17

• un = −7
• segundo = −13
• c = 8

• un = −1
• segundo = 1

• un = 1
• b = 0,25
• c = 0

• un = 1
• segundo = 0
• c = −8

Cómo resolver ecuaciones cuadráticas

A diferencia de las ecuaciones lineales, se utiliza un método especial para resolver ecuaciones cuadráticas. fórmula para encontrar raíces.

Para resolver una ecuación cuadrática necesitas:

• Reduzca la ecuación cuadrática a la forma general “ax 2 + bx + c = 0”. Es decir, sólo debe quedar “0” en el lado derecho;
• use fórmula para raíces:

Veamos un ejemplo de cómo usar la fórmula para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática. Resolvamos una ecuación cuadrática.

La ecuación “x 2 − 3x − 4 = 0” ya se ha reducido a la forma general “ax 2 + bx + c = 0” y no requiere simplificaciones adicionales. Para solucionarlo solo tenemos que aplicar fórmula para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática.

Determinemos los coeficientes "a", "b" y "c" para esta ecuación.

• un = 1
• segundo = −3
• c = −4

Sustituyámoslos en la fórmula y encontremos las raíces.

Asegúrate de memorizar la fórmula para encontrar raíces.

Se puede utilizar para resolver cualquier ecuación cuadrática.

Veamos otro ejemplo de ecuación cuadrática.

De esta forma, es bastante difícil determinar los coeficientes "a", "b" y "c". Primero reduzcamos la ecuación a la forma general “ax 2 + bx + c = 0”.

Ahora puedes usar la fórmula para las raíces.

Hay ocasiones en las que las ecuaciones cuadráticas no tienen raíces. Esta situación ocurre cuando la fórmula contiene un número negativo debajo de la raíz.

Recordamos de la definición de raíz cuadrada que es imposible sacar la raíz cuadrada de un número negativo.

Considere un ejemplo de una ecuación cuadrática que no tiene raíces.

Entonces, tenemos una situación en la que la raíz tiene un número negativo. Esto significa que la ecuación no tiene raíces. Por eso, en respuesta, escribimos "No hay raíces reales".

¿Qué significan las palabras “sin raíces reales”? ¿Por qué no puedes simplemente escribir "sin raíces"?

De hecho, en tales casos hay raíces, pero no se enseñan en el plan de estudios de la escuela, por lo que en respuesta escribimos que no hay raíces entre los números reales. En otras palabras, "no existen raíces reales".

Ecuaciones cuadráticas incompletas

A veces hay ecuaciones cuadráticas en las que los coeficientes “b” y/o “c” están ausentes explícitamente. Por ejemplo, en esta ecuación:

Estas ecuaciones se denominan ecuaciones cuadráticas incompletas. Cómo resolverlos se analiza en la lección “Ecuaciones cuadráticas incompletas”.

Suma y resta de raíces.- uno de los “obstáculos” más comunes para quienes toman cursos de matemáticas (álgebra) en la escuela secundaria. Sin embargo, aprender a sumar y restar correctamente es muy importante, porque en el programa del Examen Estatal Unificado básico de la disciplina “matemáticas” se incluyen ejemplos de suma o diferencia de raíces.

Para dominar la resolución de este tipo de ejemplos, se necesitan dos cosas: comprender las reglas y también ganar práctica. Habiendo resuelto una o dos docenas de ejemplos típicos, el estudiante llevará esta habilidad al automatismo y luego ya no tendrá nada que temer en el Examen Estatal Unificado. Se recomienda empezar a dominar las operaciones aritméticas con la suma, porque sumarlas es un poco más fácil que restarlas.

La forma más sencilla de explicar esto es utilizando la raíz cuadrada como ejemplo. En matemáticas existe un término bien establecido: "cuadrar". "Elevar al cuadrado" significa multiplicar un número específico por sí mismo una vez.. Por ejemplo, si elevas 2 al cuadrado, obtienes 4. Si elevas 7 al cuadrado, obtienes 49. El cuadrado de 9 es 81. Entonces, la raíz cuadrada de 4 es 2, de 49 es 7 y de 81 es 9.

Como regla general, la enseñanza de este tema en matemáticas comienza con las raíces cuadradas. Para determinarlo de inmediato, un estudiante de secundaria debe saber de memoria la tabla de multiplicar. Quienes no conozcan firmemente esta tabla deben utilizar sugerencias. Por lo general, el proceso de extracción de la raíz cuadrada de un número se presenta en forma de tabla en las portadas de muchos cuadernos escolares de matemáticas.

Las raíces son de los siguientes tipos:

• cuadrado;
• cúbico (o el llamado tercer grado);
• cuarto grado;
• quinto grado.

Reglas de suma

Para resolver con éxito un ejemplo típico, es necesario tener en cuenta que no todos los números raíz se pueden apilar entre sí. Para que se puedan juntar, es necesario llevarlos a un solo patrón. Si esto es imposible, entonces el problema no tiene solución. Estos problemas también se encuentran a menudo en los libros de texto de matemáticas como una especie de trampa para los estudiantes.

No se permite la suma en tareas en las que las expresiones radicales difieren entre sí. Esto se puede ilustrar con un ejemplo claro:

• El alumno se enfrenta a la tarea: sumar la raíz cuadrada de 4 y 9;
• un estudiante inexperto que no conoce la regla suele escribir: “raíz de 4 + raíz de 9 = raíz de 13”.
• Es muy fácil demostrar que esta solución es incorrecta. Para hacer esto, necesitas encontrar la raíz cuadrada de 13 y verificar si el ejemplo se resuelve correctamente;
• usando una microcalculadora puedes determinar que es aproximadamente 3,6. Ahora sólo queda comprobar la solución;
• raíz de 4=2 y raíz de 9=3;
• La suma de los números “dos” y “tres” es cinco. Por tanto, este algoritmo de solución puede considerarse incorrecto.

Si las raíces tienen el mismo grado, pero diferentes expresiones numéricas, se saca de paréntesis y se coloca entre paréntesis. suma de dos expresiones radicales. Por tanto, ya se extrae de esta cantidad.

Algoritmo de suma

Para resolver correctamente el problema más simple, es necesario:

1. Determina qué requiere exactamente la suma.
2. Descubra si es posible sumar valores entre sí, guiado por las reglas existentes en matemáticas.
3. Si no son plegables, es necesario transformarlas para que se puedan plegar.
4. Después de realizar todas las transformaciones necesarias, debe realizar la suma y anotar la respuesta final. Puedes realizar la suma mentalmente o usando una microcalculadora, dependiendo de la complejidad del ejemplo.

¿Cuáles son las raíces similares?

Para resolver correctamente un ejemplo de suma, primero debes pensar en cómo puedes simplificarlo. Para hacer esto, necesita tener conocimientos básicos de qué es la similitud.

La capacidad de identificar similares ayuda a resolver rápidamente ejemplos de sumas similares, llevándolos a una forma simplificada. Para simplificar un ejemplo típico de suma, es necesario:

1. Encuentre otros similares y sepárelos en un grupo (o varios grupos).
2. Vuelva a escribir el ejemplo existente de tal manera que las raíces que tienen el mismo indicador se sigan claramente entre sí (esto se llama "agrupación").
3. A continuación, debes volver a escribir la expresión, esta vez de tal manera que también se sucedan otras similares (que tienen el mismo indicador y la misma cifra radical).

Después de esto, el ejemplo simplificado suele ser fácil de resolver.

Para resolver correctamente cualquier ejemplo de suma, es necesario comprender claramente las reglas básicas de la suma, así como saber qué es una raíz y qué puede ser.

A veces estos problemas parecen muy difíciles a primera vista, pero normalmente se resuelven fácilmente agrupando otros similares. Lo más importante es la práctica, y luego el estudiante comenzará a “resolver los problemas como nueces”. Sumar raíces es una de las partes más importantes de las matemáticas, por lo que los profesores deberían dedicar suficiente tiempo a estudiarla.

Video

Este video te ayudará a comprender las ecuaciones con raíces cuadradas.

En nuestra época, con las computadoras electrónicas modernas, calcular la raíz de un número no parece una tarea difícil. Por ejemplo, √2704=52, cualquier calculadora calculará esto por usted. Afortunadamente, la calculadora está disponible no solo en Windows, sino también en un teléfono normal, incluso en el más simple. Es cierto que si de repente (con un pequeño grado de probabilidad, cuyo cálculo, por cierto, incluye sumar las raíces) se encuentra sin fondos disponibles, entonces, por desgracia, tendrá que confiar únicamente en su cerebro.

El entrenamiento mental nunca falla. Especialmente para aquellos que no trabajan con números tan a menudo y mucho menos con raíces. Sumar y restar raíces es un buen ejercicio para una mente aburrida. También te mostraré cómo agregar raíces paso a paso. Ejemplos de expresiones pueden ser los siguientes.

Ecuación a simplificar:

√2+3√48-4×√27+√128

Ésta es una expresión irracional. Para simplificarlo, es necesario llevar todas las expresiones radicales a una forma general. Lo hacemos paso a paso:

El primer número ya no se puede simplificar. Pasemos al segundo mandato.

3√48 factorizamos 48: 48=2×24 o 48=3×16. de 24 no es un número entero, es decir tiene un resto fraccionario. Como necesitamos un valor exacto, las raíces aproximadas no nos convienen. La raíz cuadrada de 16 es 4, sácala de abajo. Obtenemos: 3×4×√3=12×√3

Nuestra siguiente expresión es negativa, es decir escrito con un signo menos -4×√(27.) Factorizamos 27. Obtenemos 27=3×9. No utilizamos factores fraccionarios porque es más difícil calcular la raíz cuadrada de las fracciones. Sacamos 9 de debajo del cartel, es decir. calcular la raíz cuadrada. Obtenemos la siguiente expresión: -4×3×√3 = -12×√3

El siguiente término √128 calcula la parte que se puede sacar de debajo de la raíz. 128=64×2, donde √64=8. Si te lo pone más fácil, puedes imaginar esta expresión así: √128=√(8^2×2)

Reescribimos la expresión con términos simplificados:

√2+12×√3-12×√3+8×√2

Ahora sumamos los números usando la misma expresión radical. No se pueden sumar ni restar expresiones con diferentes expresiones radicales. Agregar raíces requiere el cumplimiento de esta regla.

Obtenemos la siguiente respuesta:

√2+12√3-12√3+8√2=9√2

√2=1×√2 - Espero que el hecho de que en álgebra sea costumbre omitir tales elementos no sea una novedad para usted.

Las expresiones se pueden representar no solo por la raíz cuadrada, sino también por la raíz cúbica o enésima.

La suma y resta de raíces con diferentes exponentes, pero con expresión radical equivalente, ocurre de la siguiente manera:

Si tenemos una expresión de la forma √a+∛b+∜b, entonces podemos simplificar esta expresión de la siguiente manera:

∛b+∜b=12×√b4 +12×√b3

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

Hemos reducido dos términos similares a un exponente de raíz común. Aquí se utilizó la propiedad de las raíces, que establece: si el número del grado de la expresión radical y el número del exponente de la raíz se multiplican por el mismo número, entonces su cálculo permanecerá sin cambios.

Nota: los exponentes sólo se suman al multiplicar.

Consideremos un ejemplo cuando la expresión contiene fracciones.

5√8-4×√(1/4)+√72-4×√2

Decidiremos por etapas:

5√8=5*2√2 - sacamos la parte extraída de debajo de la raíz.

4√(1/4)=-4 √1/(√4)= - 4 *1/2= - 2

Si el cuerpo de la raíz está representado por una fracción, a menudo esta fracción no cambiará si tomas la raíz cuadrada del dividendo y el divisor. Como resultado, obtuvimos la igualdad descrita anteriormente.

√72-4√2=√(36×2)- 4√2=2√2

10√2+2√2-2=12√2-2

Aquí está la respuesta.

Lo principal que hay que recordar es que una raíz con exponente par no se puede extraer de números negativos. Si la expresión radical de grado par es negativa, entonces la expresión no tiene solución.

La suma de raíces sólo es posible si las expresiones radicales coinciden, ya que son términos similares. Lo mismo se aplica a la diferencia.

La suma de raíces con distintos exponentes numéricos se realiza reduciendo ambos términos a un grado de raíz común. Esta ley funciona de la misma manera que la reducción a un denominador común al sumar o restar fracciones.

Si una expresión radical contiene un número elevado a una potencia, entonces esta expresión se puede simplificar siempre que exista un denominador común entre el exponente de la raíz y la potencia.

El tema de las raíces cuadradas es obligatorio en el plan de estudios de matemáticas de la escuela. No puedes prescindir de ellos a la hora de resolver ecuaciones cuadráticas. Y luego se hace necesario no solo extraer las raíces, sino también realizar otras acciones con ellas. Entre ellos se encuentran bastante complejos: exponenciación, multiplicación y división. Pero también los hay bastante sencillos: resta y suma de raíces. Por cierto, sólo lo parecen a primera vista. Realizarlos sin errores no siempre es fácil para alguien que recién comienza a familiarizarse con ellos.

¿Qué es una raíz matemática?

Esta acción surgió en oposición a la exponenciación. Las matemáticas sugieren dos operaciones opuestas. Hay resta para suma. La multiplicación se opone a la división. La acción inversa de un grado es la extracción de la raíz correspondiente.

Si el grado es dos, entonces la raíz será cuadrada. Es el más común en matemáticas escolares. Ni siquiera tiene indicación de que es cuadrado, es decir, al lado no se le asigna el número 2. La notación matemática de este operador (radical) se presenta en la figura.

Su definición fluye suavemente de la acción descrita. Para extraer la raíz cuadrada de un número, debes averiguar qué dará la expresión radical cuando se multiplica por sí misma. Este número será la raíz cuadrada. Si escribimos esto matemáticamente, obtenemos lo siguiente: x*x=x 2 =y, lo que significa √y=x.

¿Qué acciones puedes realizar con ellos?

En esencia, una raíz es una potencia fraccionaria con uno en el numerador. Y el denominador puede ser cualquier cosa. Por ejemplo, la raíz cuadrada tiene dos. Por lo tanto, todas las acciones que se puedan realizar con poderes también serán válidas para raíces.

Y los requisitos para estas acciones son los mismos. Si la multiplicación, la división y la exponenciación no encuentran dificultades para los estudiantes, entonces sumar raíces, así como restarlas, a veces genera confusión. Y todo porque quiero realizar estas operaciones sin tener en cuenta el signo de la raíz. Y aquí es donde empiezan los errores.

¿Cuáles son las reglas para sumar y restar?

Primero debes recordar dos cosas que no se deben hacer categóricamente:

• es imposible realizar sumas y restas de raíces, como ocurre con los números primos, es decir, es imposible escribir expresiones radicales de la suma bajo un signo y realizar operaciones matemáticas con ellas;
• No se pueden sumar ni restar raíces con diferentes exponentes, por ejemplo cuadradas y cúbicas.

Un claro ejemplo de la primera prohibición: √6 + √10 ≠ √16, pero √(6 + 10) = √16.

En el segundo caso, es mejor limitarnos a simplificar las propias raíces. Y deja su monto en la respuesta.

Ahora a las reglas

1. Encuentra y agrupa raíces similares. Es decir, aquellos que no sólo tienen los mismos números bajo el radical, sino que ellos mismos tienen el mismo indicador.
2. Realice la suma de las raíces combinadas en un grupo en la primera acción. Es fácil de implementar porque sólo necesitas sumar los valores que aparecen delante de los radicales.
3. Extrae las raíces de aquellos términos en los que la expresión radical forma un cuadrado entero. En otras palabras, no dejes nada bajo el signo de un radical.
4. Simplifica expresiones radicales. Para hacer esto, debes factorizarlos en factores primos y ver si dan el cuadrado de algún número. Está claro que esto es cierto cuando hablamos de la raíz cuadrada. Cuando el exponente es tres o cuatro, entonces los factores primos deben dar el cubo o la cuarta potencia del número.
5. Quitar de debajo del signo del radical el factor que da todo el poder.
6. Vea si aparecen términos similares nuevamente. En caso afirmativo, realice el segundo paso nuevamente.

En una situación en la que la tarea no requiere el valor exacto de la raíz, se puede calcular con una calculadora. Redondea la fracción decimal infinita que aparece en su ventana. La mayoría de las veces esto se hace hasta centésimas. Y luego realice todas las operaciones con fracciones decimales.

Esta es toda la información sobre cómo agregar raíces. Los siguientes ejemplos ilustrarán lo anterior.

Primera tarea

Calcular el valor de las expresiones:

a) √2 + 3√32 + ½ √128 - 6√18;

b) √75 - √147 + √48 - 1/5 √300;

c) √275 - 10√11 + 2√99 + √396.

a) Si sigue el algoritmo anterior, puede ver que no hay nada para las dos primeras acciones en este ejemplo. Pero puedes simplificar algunas expresiones radicales.

Por ejemplo, descomponga 32 en dos factores 2 y 16; 18 será igual al producto de 9 por 2; 128 es 2 sobre 64. Dado esto, la expresión se escribirá así:

√2 + 3√(2 * 16) + ½ √(2 * 64) - 6 √(2 * 9).

Ahora necesitas eliminar de debajo del signo radical aquellos factores que dan el cuadrado del número. Esto es 16=4 2, 9=3 2, 64=8 2. La expresión tomará la forma:

√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 - 6 * 3√2.

Necesitamos simplificar un poco la grabación. Para hacer esto, multiplica los coeficientes antes de los signos de la raíz:

√2 + 12√2 + 4 √2 - 12√2.

En esta expresión, todos los términos resultaron ser similares. Por lo tanto, solo necesitas doblarlos. La respuesta será: 5√2.

b) Al igual que en el ejemplo anterior, la suma de raíces comienza con su simplificación. Las expresiones radicales 75, 147, 48 y 300 se representarán en los siguientes pares: 5 y 25, 3 y 49, 3 y 16, 3 y 100. Cada una de ellas contiene un número que se puede sacar de debajo del signo raíz. :

5√5 - 7√3 + 4√3 - 1/5 * 10√3.

Después de la simplificación, la respuesta es: 5√5 - 5√3. Se puede dejar así, pero es mejor quitar de paréntesis el factor común 5: 5 (√5 - √3).

c) Y nuevamente factorización: 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. Después de quitar los factores debajo del signo raíz, tenemos:

5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. Después de traer términos similares obtenemos el resultado: 7√11.

Ejemplo con expresiones fraccionarias

√(45/4) - √20 - 5√(1/18) - 1/6 √245 + √(49/2).

Necesitará factorizar los siguientes números: 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49. De manera similar a los ya discutidos, debe eliminar los factores debajo del signo raíz. y simplifica la expresión:

3/2 √5 - 2√5 - 5/ 3 √(½) - 7/6 √5 + 7 √(½) = (3/2 - 2 - 7/6) √5 - (5/3 - 7 ) √(½) = - 5/3 √5 + 16/3 √(½).

Esta expresión requiere deshacerse de la irracionalidad en el denominador. Para hacer esto, necesitas multiplicar el segundo término por √2/√2:

5/3 √5 + 16/3 √(½) * √2/√2 = - 5/3 √5 + 8/3 √2.

Para completar las acciones, debes seleccionar toda la parte de los factores delante de las raíces. Para el primero es 1, para el segundo es 2.

La forma más sencilla de restar una raíz a un número es con una calculadora. Pero, si no tienes una calculadora, entonces necesitas conocer el algoritmo para calcular la raíz cuadrada. El hecho es que debajo de la raíz hay un número al cuadrado. Por ejemplo, 4 al cuadrado es 16. Es decir, la raíz cuadrada de 16 será igual a cuatro. Además, 5 al cuadrado es 25. Por lo tanto, la raíz de 25 será 5. Y así sucesivamente.

Si el número es pequeño, entonces se puede restar fácilmente verbalmente, por ejemplo, la raíz de 25 será igual a 5 y la raíz de 144-12. También puede calcular en la calculadora; hay un ícono de raíz especial; debe ingresar el número y hacer clic en el ícono.

Una tabla de raíces cuadradas también ayudará:

También existen métodos que son más complejos, pero muy efectivos:

La raíz de cualquier número se puede restar con una calculadora, especialmente porque hoy en día están disponibles en todos los teléfonos.

Puedes intentar estimar aproximadamente cómo puede resultar un número determinado multiplicando un número por sí mismo.



Calcular la raíz cuadrada de un número no es difícil, especialmente si tienes una tabla especial. Una tabla muy conocida de las lecciones de álgebra. Esta operación se llama sacar la raíz cuadrada de un número, en otras palabras, resolver una ecuación. Casi todas las calculadoras de los teléfonos inteligentes tienen una función para determinar la raíz cuadrada.



El resultado de sacar la raíz cuadrada de un número conocido será otro número, que elevado a la segunda potencia (cuadrado), dará el mismo número que conocemos. Veamos una de las descripciones de los cálculos, que parece breve y clara:







Aquí un vídeo sobre el tema:

Hay varias formas de calcular la raíz cuadrada de un número.

La forma más popular es utilizar una tabla raíz especial (ver más abajo).

Además, cada calculadora tiene una función con la que puedes averiguar la raíz.

O usando una fórmula especial.



Hay varias formas de extraer la raíz cuadrada de un número. Uno de ellos es el más rápido y utiliza una calculadora.

Pero si no tienes calculadora, puedes hacerlo manualmente.

El resultado será exacto.

El principio es casi el mismo que dividir por una columna:



















Intentemos encontrar la raíz cuadrada de un número sin calculadora, por ejemplo, 190969.







Así, todo es sumamente sencillo. En los cálculos, lo principal es seguir ciertas reglas simples y pensar con lógica.

Para esto necesitas una tabla de cuadrados.



Por ejemplo, la raíz de 100 = 10, de 20 = 400 de 43 = 1849

Ahora casi todas las calculadoras, incluidas las de teléfonos inteligentes, pueden calcular la raíz cuadrada de un número. PERO si no tienes una calculadora, puedes encontrar la raíz de un número de varias formas sencillas:

factorización prima



Factoriza el número radical en factores que sean números cuadrados. Dependiendo del número radical obtendrás una respuesta aproximada o exacta. Los números cuadrados son números de los cuales se puede sacar la raíz cuadrada entera. Factores de un número que al multiplicarlos dan el número original. Por ejemplo, los factores del número 8 son 2 y 4, ya que 2 x 4 = 8, los números 25, 36, 49 son números cuadrados, ya que 25 = 5, 36 = 6, 49 = 7. Los factores cuadrados son factores que son números cuadrados Primero, intenta factorizar el número radical en factores cuadrados.

Por ejemplo, calcula la raíz cuadrada de 400 (a mano). Primero intenta factorizar 400 en factores cuadrados. 400 es múltiplo de 100, es decir, divisible por 25 es un número cuadrado. Al dividir 400 entre 25, se obtiene 16, que también es un número cuadrado. Por lo tanto, 400 se puede factorizar en los factores cuadrados de 25 y 16, es decir, 25 x 16 = 400.

Escríbelo como: 400 = (25 x 16).



La raíz cuadrada del producto de algunos términos es igual al producto de las raíces cuadradas de cada término, es decir (a x b) = a x b. Usando esta regla, toma la raíz cuadrada de cada factor cuadrado y multiplica los resultados para encontrar la respuesta.

En nuestro ejemplo, toma la raíz de 25 y 16.



Si el número radical no se descompone en dos factores cuadrados (y esto sucede en la mayoría de los casos), no podrás encontrar la respuesta exacta en forma de un número entero. Pero puedes simplificar el problema descomponiendo el número radical en un factor cuadrado y un factor ordinario (un número del que no se puede sacar la raíz cuadrada completa). Luego sacarás la raíz cuadrada del factor cuadrado y sacarás la raíz del factor común.

Por ejemplo, calcula la raíz cuadrada del número 147. El número 147 no se puede factorizar en dos factores cuadrados, pero se puede factorizar en los siguientes factores: 49 y 3. Resuelve el problema de la siguiente manera:



Ahora puedes estimar el valor de la raíz (encontrar un valor aproximado) comparándolo con los valores de las raíces de los números cuadrados que están más cerca (a cada lado de la recta numérica) del número radical. Recibirás el valor de la raíz como una fracción decimal, que deberá multiplicarse por el número detrás del signo de la raíz.

Volvamos a nuestro ejemplo. El número radical es 3. Los números cuadrados más cercanos a él serán los números 1 (1 = 1) y 4 (4 = 2). Así, el valor de 3 se sitúa entre 1 y 2. Dado que el valor de 3 probablemente esté más cerca de 2 que de 1, nuestra estimación es: 3 = 1,7. Multiplicamos este valor por el número del signo raíz: 7 x 1,7 = 11,9. Si haces los cálculos con una calculadora, obtendrás 12,13, que se acerca bastante a nuestra respuesta.

Este método también funciona con números grandes. Por ejemplo, considere 35. El número radical es 35. Los números cuadrados más cercanos son los números 25 (25 = 5) y 36 (36 = 6). Así, el valor de 35 se sitúa entre 5 y 6. Como el valor de 35 está mucho más cerca de 6 que de 5 (porque 35 es sólo 1 menos que 36), podemos decir que 35 es ligeramente menor que 6. la calculadora nos da la respuesta 5,92; teníamos razón.



Otra forma es factorizar el número radical en factores primos. Factores primos de números que son divisibles sólo por 1 y por sí mismos. Escribe los factores primos de una serie y encuentra pares de factores idénticos. Estos factores se pueden eliminar del signo raíz.

Por ejemplo, calcula la raíz cuadrada de 45. Factorizamos el número radical en factores primos: 45 = 9 x 5 y 9 = 3 x 3. Por lo tanto, 45 = (3 x 3 x 5). 3 se puede sacar como signo raíz: 45 = 35. Ahora podemos evaluar 5.

Veamos otro ejemplo: 88.

= (2 x 4 x 11)

= (2 x 2 x 2 x 11). Recibiste tres multiplicadores de 2; toma un par de ellos y muévelos más allá del signo raíz.

2(2 x 11) = 22 x 11. Ahora puedes evaluar 2 y 11 y encontrar una respuesta aproximada.

Este vídeo de formación también puede resultar útil:

Para extraer la raíz de un número, debes usar una calculadora, o si no tienes una adecuada, te aconsejo que vayas a este sitio y resuelvas el problema usando una calculadora en línea, que te dará el valor correcto en segundos. .