Prueba de Bernoulli. Nuevas pruebas independientes y la fórmula de Bernoulli

En esta lección encontraremos la probabilidad de que ocurra un evento en ensayos independientes al repetir ensayos. . Los ensayos se denominan independientes si la probabilidad de uno u otro resultado de cada ensayo no depende de los resultados que tuvieron otros ensayos. . Se pueden realizar pruebas independientes tanto en las mismas condiciones como en diferentes condiciones. En el primer caso, la probabilidad de que ocurra algún evento es la misma en todos los ensayos, en el segundo caso varía de un ensayo a otro.

Ejemplos de reevaluaciones independientes :

• uno de los nodos del dispositivo o dos o tres nodos fallarán, y la falla de cada nodo no depende del otro nodo, y la probabilidad de falla de un nodo es constante en todas las pruebas;
• una pieza, o tres, cuatro, cinco piezas producidas bajo ciertas condiciones tecnológicas constantes, resultarán no estándar, y una pieza puede resultar no estándar independientemente de cualquier otra pieza y de la probabilidad de que la pieza resulte no estándar. el resultado no estándar es constante en todas las pruebas;
• de varios disparos a un objetivo, uno, tres o cuatro disparos dan en el blanco independientemente del resultado de los demás disparos y la probabilidad de dar en el blanco es constante en todos los intentos;
• al dejar caer una moneda, la máquina funcionará correctamente una, dos u otra cantidad de veces, independientemente del resultado de otras caídas de monedas, y la probabilidad de que la máquina funcione correctamente es constante en todas las pruebas.

Estos eventos se pueden describir en un diagrama. Cada evento ocurre en cada ensayo con la misma probabilidad, que no cambia si se conocen los resultados de ensayos anteriores. Estas pruebas se llaman independientes y el circuito se llama Esquema de Bernoulli . Se supone que dichas pruebas pueden repetirse según se desee. un gran número de una vez.

si la probabilidad pag ocurrencia de un evento A es constante en cada ensayo, entonces la probabilidad de que en norte evento de prueba independiente A vendrá metro veces, se encuentra por La fórmula de Bernoulli. :

(Dónde q= 1 – pag- la probabilidad de que el evento no ocurra)

Fijemos la tarea: encontrar la probabilidad de que un evento de este tipo en norte vendrán pruebas independientes metro una vez.

La fórmula de Bernoulli: ejemplos de resolución de problemas

Ejemplo 1. Encuentre la probabilidad de que entre cinco piezas tomadas al azar, dos sean estándar, si la probabilidad de que cada pieza resulte ser estándar es 0,9.

Solución. probabilidad de evento A, consistente en que una pieza tomada al azar es estándar, existe pag=0,9 y existe la probabilidad de que no sea estándar q=1–pag=0,1. El evento designado en el planteamiento del problema (lo denotamos por EN) ocurrirá si, por ejemplo, las dos primeras partes resultan ser estándar y las tres siguientes no son estándar. Pero el evento EN También ocurrirá si la primera y tercera parte resultan ser estándar y el resto no estándar, o si la segunda y quinta partes son estándar y el resto no estándar. Hay otras posibilidades de que ocurra el evento. EN. Cualquiera de ellos se caracteriza por el hecho de que de cinco partes tomadas, dos, que ocupan algún lugar entre cinco, resultarán estándar. Por eso, numero total varias posibilidades para la ocurrencia de un evento EN es igual al número de posibilidades para colocar dos piezas estándar en cinco lugares, es decir es igual al número de combinaciones de cinco elementos por dos, y .

La probabilidad de cada posibilidad según el teorema de la multiplicación de probabilidades es igual al producto de cinco factores, de los cuales dos, correspondientes a la aparición de piezas estándar, son iguales a 0,9, y los tres restantes, correspondientes a la aparición de piezas no estándar. partes, son iguales a 0,1, es decir esta probabilidad es . Dado que estas diez posibilidades son eventos incompatibles, según el teorema de la suma, la probabilidad de un evento EN, que denotamos

Ejemplo 2. La probabilidad de que una máquina requiera la atención de un trabajador en una hora es 0,6. Suponiendo que los problemas de las máquinas son independientes, encuentre la probabilidad de que dentro de una hora cualquiera de las cuatro máquinas que opera requiera la atención de un trabajador.

Solución. Usando La fórmula de Bernoulli. en norte=4 , metro=1 , pag=0,6 y q=1–pag= 0,4, obtenemos

Ejemplo 3. Para operación normal El depósito de vehículos de la línea debe tener al menos ocho vehículos, pero son diez. La probabilidad de que cada vehículo no entre en la línea es 0,1. Encuentre la probabilidad de que el depósito de automóviles funcione normalmente al día siguiente.

Solución. El viaje compartido funcionará normalmente (evento F), si ocho u ocho se conectan (evento A), o nueve (evento EN), o el evento de los diez autos (evento C). Según el teorema de la suma de probabilidades,

Encontramos cada término según la fórmula de Bernoulli. Aquí norte=10 , metro=8; 10 y pag=1-0,1=0,9, ya que pag deberá indicar la probabilidad de que el vehículo entre en la línea; Entonces q=0,1. Como resultado obtenemos

Ejemplo 4. Sea la probabilidad de que un cliente necesite zapatos de hombre talla 41 de 0,25. Encuentre la probabilidad de que de seis compradores, al menos dos necesiten zapatos de la talla 41.

Por tanto, tu pasatiempo inmediato te será de gran utilidad. Además te diré qué pasa. mayoría aplastante participantes de loterías y juegos de azar. ...Noooo, la fe o una vaga esperanza de “ganar el premio gordo” no tiene absolutamente nada que ver ;-) Sin siquiera tener tiempo de pestañear, estamos inmersos en el tema:

Qué ha pasado pruebas independientes ? Casi todo queda claro por el propio nombre. Que se realicen varias pruebas. Si la probabilidad de que ocurra un determinado evento en cada uno de ellos no depende De los resultados de las pruebas restantes, entonces... terminamos la frase al unísono =) Bien hecho. Además, la frase “pruebas independientes” a menudo significa repetido pruebas independientes – cuando se realizan uno tras otro.

Los ejemplos más simples:
– la moneda se lanza 10 veces;
– se lanza el dado 20 veces.

Está absolutamente claro que la probabilidad de obtener cara o cruz en cualquier prueba no depende de los resultados de otros lanzamientos. Naturalmente, una afirmación similar es válida para el cubo.

Pero la eliminación secuencial de cartas de la baraja no es una serie de pruebas independientes; como recordarás, es una cadena. eventos dependientes. Sin embargo, si devuelve la tarjeta cada vez, la situación será "como debería ser".

Me apresuro a complacerte: nuestro invitado es otro Terminator, que es absolutamente indiferente a sus éxitos/fracasos y, por lo tanto, sus disparos son un ejemplo de estabilidad =):

Problema 1

El tirador dispara 4 tiros al objetivo. La probabilidad de acertar con cada disparo es constante e igual. Encuentre la probabilidad de que:

a) el tirador disparará sólo una vez;
b) el tirador acertará 2 veces.

Solución: la condición está formulada V vista general y la probabilidad de dar en el blanco con cada disparo considerado famoso. es igual (si es realmente difícil, asigne al parámetro algún valor específico, por ejemplo,) .

Una vez que lo sabemos, es fácil encontrar la probabilidad de fallar en cada tiro:
, es decir, “ku” también es cantidad que conocemos.

a) Considere el evento "El tirador sólo acertará una vez" y denotamos su probabilidad por (Se entiende por índices “un acierto de cada cuatro”). Este evento consta de 4 resultados incompatibles: el tirador acertará en el 1er o en el 2do o en el 3er o en el cuarto intento.

Calcula la probabilidad de que al lanzar 10 monedas salgan cara 3 monedas.

Aquí las pruebas no se repiten, sino que se realizan simultáneamente, pero, sin embargo, funciona la misma fórmula: .

La solución diferirá en significado y algunos comentarios, en particular:
Usando estos métodos, puedes elegir 3 monedas en las que aparecerán caras.
– probabilidad de obtener cara en cada una de las 10 monedas
etc.

Sin embargo, en la práctica, estos problemas no ocurren con tanta frecuencia y, aparentemente, por esta razón, la fórmula de Bernoulli se asocia casi estereotipadamente solo con pruebas repetidas. Aunque, como se acaba de mostrar, la repetibilidad no es en absoluto necesaria.

La siguiente tarea la debes resolver tú solo:

Problema 3

Los dados se lanzan 6 veces. Encuentre la probabilidad de que 5 puntos:

a) no se caerá (aparecerá 0 veces);
b) aparecerá 2 veces;
c) aparecerá 5 veces.

Redondea los resultados a 4 decimales.

Una breve solución y respuesta al final de la lección.

Es obvio que en los ejemplos que estamos considerando, algunos eventos son más probables y otros menos. Entonces, por ejemplo, con 6 tiradas de dados, incluso sin ningún cálculo, está intuitivamente claro que las probabilidades de los eventos de los puntos "a" y "be" son mucho mayores que la probabilidad de que "cinco" salga 5 veces. Ahora establezcamos la tarea de encontrar.

Número MÁS PROBABLE de ocurrencias de un evento en ensayos independientes

Nuevamente, en el nivel de intuición en el Problema No. 3, podemos concluir que el número más probable de apariciones de los "cinco" es igual a uno; después de todo, hay seis caras en total, y con 6 tiradas de dados, cada una de ellos deberían aparecer en promedio una vez. Los interesados ​​pueden calcular la probabilidad y ver si es mayor que los valores “competidores” y.

Formulemos un criterio estricto.: para encontrar el número más probable de ocurrencias de un evento aleatorio en ensayos independientes (con probabilidad en cada ensayo) se guían por la siguiente doble desigualdad:

, y:

1) si el valor es fraccionario, entonces existe un único número más probable;
en particular, si es un número entero, entonces es el número más probable: ;

2) si es un todo, entonces hay dos números más probables: y .

El número más probable de apariciones de un “cinco” en 6 tiradas de dados se encuentra en caso especial primer punto:

Para consolidar el material solucionaremos un par de problemas:

Problema 4

La probabilidad de que un jugador de baloncesto golpee la canasta al lanzar la pelota es 0,3. Encuentra el número de aciertos más probable con 8 lanzamientos y la probabilidad correspondiente.

Y este, si no Terminator, es al menos un atleta de sangre fría =)

Solución: para estimar el número más probable de aciertos utilizamos la doble desigualdad . En este caso:

– lanzamientos totales;
– la probabilidad de acertar en la canasta en cada lanzamiento;
– la probabilidad de fallar en cada lanzamiento.

Así, el número más probable de aciertos con 8 lanzamientos se encuentra dentro de los siguientes límites:

Dado que el borde izquierdo es un número fraccionario (punto número 1), entonces hay un único valor más probable y, obviamente, es igual a .

Usando la fórmula de Bernoulli , calculemos la probabilidad de que con 8 lanzamientos haya exactamente 2 aciertos:

Respuesta: – número más probable de aciertos con 8 lanzamientos,
– la probabilidad correspondiente.

Una tarea similar para una solución independiente:

Problema 5

La moneda se lanza 9 veces. Encuentre la probabilidad del número más probable de apariciones de un águila

Solución de muestra y respuesta al final de la lección.

Después de una digresión fascinante, veremos algunos problemas más y luego compartiré el secreto para jugar correctamente. juego y loterías.

Problema 6

Entre los productos fabricados con máquinas automáticas, en promedio, el 60% de los productos son de primera calidad. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 6 elementos seleccionados al azar haya:

a) de 2 a 4 productos de primera calidad;
b) al menos 5 productos de primera calidad;
c) al menos un producto de calidad inferior.

La probabilidad de producir un producto de primera clase no depende de la calidad de otros productos fabricados, por lo que aquí estamos hablando de pruebas independientes. Trate de no descuidar el análisis de la condición, de lo contrario puede resultar un evento. dependiente o la tarea se trata de algo completamente distinto.

Solución: la probabilidad está codificada como un porcentaje que, les recuerdo, debe dividirse entre cien: - la probabilidad de que el producto seleccionado sea de 1er grado.
Entonces: – la probabilidad de que no sea de primera clase.

a) Evento “Entre 6 productos seleccionados al azar habrá de 2 a 4 productos de primera” consta de tres resultados incompatibles:

entre los productos habrá 2 de primera o 3 primera clase o 4 de primera clase.

Es más conveniente abordar los resultados por separado. Usamos la fórmula de Bernoulli tres veces. :

– la probabilidad de que al menos 5 de cada seis ordenadores funcionen sin fallos durante el día.

Este valor tampoco nos conviene, ya que es menor que la confiabilidad requerida del centro de cómputo:

Por tanto, seis ordenadores tampoco son suficientes. Agreguemos uno más:

3) Que haya computadoras en el centro de cómputo. Entonces 5, 6 o 7 ordenadores deberían funcionar sin problemas. Usando la fórmula de Bernoulli y el teorema para sumar las probabilidades de eventos incompatibles, encontremos la probabilidad de que al menos 5 de siete computadoras funcionen sin fallas durante el día.

Antes de presentar la tercera pregunta de la conferencia, el profesor identifica un problema que requiere la consideración del teorema sobre la repetición de experimentos, señalando que en el curso de teoría de la probabilidad que se estudia solo un teorema particular relacionado con la repetición de experimentos independientes, en Se considerará cada uno de los cuales el evento A aparece con una probabilidad constante.

Después de lo cual el profesor muestra la demostración de este teorema (derivación de la fórmula de Bernoulli).

Para explicar la esencia física del teorema considerado, el profesor utiliza un retroproyector y diapositivas preparadas.

Al final de la conferencia, el profesor explica por qué la distribución de probabilidad de que ocurra el evento A en una serie de n pruebas, en condiciones en las que son inconsistentes y forman grupo completo eventos se llama binomial y llama la atención sobre la importancia de conocer esta distribución para resolver problemas aplicados.

Hasta ahora hemos considerado combinaciones de un número relativamente pequeño de eventos, cuando la aplicación directa de las reglas de suma y multiplicación de probabilidades no causaba grandes dificultades computacionales. Sin embargo, a medida que aumenta el número de eventos o el número de ensayos en los que puede aparecer el evento de interés, el método de cálculo aprendido se vuelve muy engorroso.

Además, el problema se resolvía de forma bastante sencilla sólo si los experimentos eran independientes.

Se llaman varios experimentos. independiente, si la probabilidad de uno u otro resultado de cada experimento no depende de los resultados que tuvieron otros experimentos.

En la práctica, hay casos en los que la probabilidad de que ocurra un evento A en todos los experimentos independientes puede ser el mismo o variar de un experimento a otro. Por ejemplo, si ajustas tu fuego después de cada disparo, la probabilidad de dar en el blanco cambiará con cada disparo.

En el caso de que en experimentos independientes la probabilidad de que ocurra un evento cambie de un experimento a otro, se utiliza el teorema general sobre la repetición de experimentos, y cuando en experimentos independientes la probabilidad de que ocurra un evento no cambie de un experimento a otro para experimentar se utiliza un teorema particular sobre la repetición de experimentos.

En el curso de teoría de la probabilidad que estamos estudiando, consideraremos sólo el tema particular de repetir experimentos cuando sea necesario determinar la probabilidad de que ocurra un evento. A en una serie de experimentos independientes, en cada uno de los cuales el evento A aparece con igual probabilidad.

Por ejemplo, es necesario calcular la probabilidad de que con cinco disparos de un arma con ajustes constantes se obtengan exactamente dos aciertos en el objetivo, si los disparos son independientes y con cada disparo se conoce la probabilidad de dar en el blanco y no cambiar.

Si componemos posibles combinaciones de la ocurrencia del evento que nos interesa A 1, obtenemos:

Habrá 10 combinaciones posibles en las que se produzca el evento A=(conseguir 2 aciertos con cinco tiros).

Aplicando el teorema sobre la suma y el producto de eventos independientes, tenemos:

Un aumento en el número de eventos o pruebas que nos interesan conducirá a un aumento aún mayor en el volumen de operaciones computacionales, por lo que surge la tarea de encontrar métodos de cálculo que requieran menos mano de obra.

Formulación del problema:

Supongamos, en condiciones idénticas, realizar n pruebas independientes, el resultado de cada una de las cuales puede ser la ocurrencia de cualquiera de los eventos A, o su opuesto .

Denotemos por A 1 ocurrencia de un evento A en la primera prueba, A 2 - en la segunda prueba, A norte- en la última prueba.

Debido a la constancia de las condiciones de prueba:

PENSILVANIA 1 ) = P(A 2 ) = … P(A norte ) = pag

Estamos interesados ​​en la probabilidad de que el evento A ocurra exactamente m veces en n ensayos, y no ocurra en los n-m ensayos restantes (es decir, ocurrirá el evento opuesto al evento A: ).

Supongamos que el evento que nos interesa A ocurre consecutivamente m veces, comenzando desde la primera, es decir ocurre un evento - mi.

mi = un 1 A 2 … A metro -1 A metro 
(1)

metro norte- metro

Según la condición de repetición de pruebas, los eventos incluidos en esta combinación son independientes, mientras que las probabilidades de ocurrencia de los eventos A 1, A 2 ,… A metro -1 , A metro igual e igual pag: P(A 1 ) = P(A 2 ) =…= P(A metro ) = pag, y las probabilidades de que los eventos no ocurran
igual e igual q=1-ð:.

Aplicando la regla de multiplicar probabilidades de eventos independientes a la expresión 1, obtenemos:

P(E) = P(A 1 ) P(A 2 ) … P(A metro -1 ) P(A metro ) R(
=p metro (1-r) norte  - metro =p metro q norte - metro

Debido a la constancia de las condiciones de prueba, asumimos que el evento que nos interesa A ocurre en una fila m veces, comenzando desde la primera. Pero el evento A V norte Las pruebas pueden venir exactamente metro veces en diferentes secuencias o combinaciones. En este caso, somos indiferentes a la secuencia exacta en la que el evento A aparece exactamente metro una vez.

El número de tales combinaciones es igual al número de combinaciones. de n elementos por metro.

Dado que estas combinaciones de eventos (similares a la combinación E) son incompatibles y no estamos interesados ​​en la secuencia de ocurrencia del evento. A en la prueba exactamente metro veces, luego denotando la probabilidad que nos interesa a través de R metro, obtenemos:

R metro =
R metro (1-r) norte - metro =
=

Dónde
- número de combinaciones de norte elementos por metro.

Esta fórmula se llama fórmula de Bernoulli.

La fórmula de Bernoulli nos permite obtener una respuesta a la pregunta: ¿cuál es la probabilidad de que cuando se repiten n pruebas independientes, algún evento? A viene exactamente metro veces, si en cada uno de estos ensayos la probabilidad de que ocurra el evento A es constante e igual P(A) = pág.

La fórmula de Bernoulli anterior es extremadamente importante en la teoría de la probabilidad porque está asociada con la repetición de pruebas en las mismas condiciones, es decir, con condiciones tales en las que se manifiestan las leyes de la teoría de la probabilidad.

Conclusión de la conferencia:

En la conferencia, examinamos las cuestiones fundamentales de la teoría de la probabilidad en relación con las variables aleatorias, introdujimos el aparato conceptual básico necesario para un mayor estudio de la disciplina: la definición de una variable aleatoria, su clasificación; concepto de la ley de distribución y su forma para varios tipos variable aleatoria.

En preparación para conferencias y ejercicios prácticos posteriores, debe complementar de forma independiente sus apuntes de clase mientras estudia en profundidad la literatura recomendada y resuelve los problemas propuestos.

Además, en lecciones posteriores estudiaremos teoremas y dependencias que nos permitirán determinar la probabilidad de que una variable aleatoria aparezca el número requerido de veces o en un intervalo determinado, por ejemplo, la probabilidad de dar en el blanco.

Explorar:

Ventzel E.S. Teoría de probabilidad. Libro de texto. Octava edición, estereotipada. – M.: Escuela Superior, 2002 - 575 p. – págs. 67-78, 80-84

Ventzel E.S., Ovcharov L.A.. Teoría de la probabilidad y sus aplicaciones en ingeniería. Tutorial. Tercera edición, revisada y ampliada. – M.: “Academia”, 2003 – 464 p. – págs. 73-93

Gmurman V.E. Teoría de la probabilidad y estadística matemática. Tutorial. Décima edición, estereotipada - M.: Escuela Superior", 2004 - 480 p. Página 64-73

No pensemos en cosas elevadas durante mucho tiempo; comencemos de inmediato con la definición.

El esquema de Bernoulli es cuando se realizan n experimentos independientes idénticos, en cada uno de los cuales puede aparecer el evento que nos interesa A, y se conoce la probabilidad de este evento P (A) = p. Necesitamos determinar la probabilidad de que, después de n ensayos, el evento A ocurra exactamente k veces.

Los problemas que se pueden resolver utilizando el esquema de Bernoulli son extremadamente variados: desde los más simples (como “calcular la probabilidad de que el tirador acierte 1 vez entre 10”) hasta los más graves (por ejemplo, problemas que involucran porcentajes o jugando a las cartas). En realidad, este esquema se utiliza a menudo para resolver problemas relacionados con el control de la calidad de los productos y la confiabilidad de varios mecanismos, cuyas características deben conocerse antes de comenzar a trabajar.

Volvamos a la definición. Como estamos hablando de ensayos independientes y en cada ensayo la probabilidad del evento A es la misma, sólo son posibles dos resultados:

1. A es la ocurrencia del evento A con probabilidad p;
2. “no A” - el evento A no apareció, lo que sucede con probabilidad q = 1 − p.

La condición más importante, sin la cual el esquema de Bernoulli pierde su significado, es la constancia. No importa cuántos experimentos realicemos, estamos interesados ​​en el mismo evento A, que ocurre con la misma probabilidad p.

Por cierto, no todos los problemas de la teoría de la probabilidad se reducen a condiciones constantes. Cualquier tutor competente te informará sobre esto. Matemáticas avanzadas. Incluso algo tan simple como sacar bolas de colores de una caja no es una experiencia con condiciones constantes. Sacaron otra bola: la proporción de colores en la caja cambió. En consecuencia, las probabilidades también han cambiado.

Si las condiciones son constantes, podemos determinar con precisión la probabilidad de que el evento A ocurra exactamente k veces de n posibles. Formulemos este hecho en forma de teorema:

Teorema de Bernoulli. Sea la probabilidad de ocurrencia del evento A en cada experimento constante e igual a p. Entonces, la probabilidad de que el evento A aparezca exactamente k veces en n ensayos independientes se calcula mediante la fórmula:

donde C n k es el número de combinaciones, q = 1 − p.

Esta fórmula se llama fórmula de Bernoulli. Es interesante observar que los problemas que se detallan a continuación se pueden resolver completamente sin utilizar esta fórmula. Por ejemplo, puede aplicar las fórmulas para sumar probabilidades. Sin embargo, la cantidad de cálculos será simplemente irreal.

Tarea. La probabilidad de producir un producto defectuoso en una máquina es 0,2. Determine la probabilidad de que en un lote de diez piezas producidas en esta máquina exactamente k piezas no tengan defectos. Resuelva el problema para k = 0, 1, 10.

Según la condición, nos interesa el evento A de lanzar productos sin defectos, lo que ocurre cada vez con probabilidad p = 1 − 0,2 = 0,8. Necesitamos determinar la probabilidad de que este evento ocurra k veces. El evento A se contrasta con el evento “no A”, es decir Liberación de un producto defectuoso.

Así, tenemos: n = 10; p = 0,8; q = 0,2.

Entonces, encontramos la probabilidad de que todas las piezas de un lote sean defectuosas (k = 0), que solo haya una pieza sin defectos (k = 1) y que no haya ninguna pieza defectuosa (k = 10):

Tarea. La moneda se lanza 6 veces. Es igualmente probable conseguir un escudo de armas y una cabeza. Encuentre la probabilidad de que:

1. el escudo aparecerá tres veces;
2. el escudo de armas aparecerá una vez;
3. el escudo de armas aparecerá al menos dos veces.

Entonces, nos interesa el evento A, cuando se cae el escudo de armas. La probabilidad de este evento es p = 0,5. El evento A se contrasta con el evento “no A”, cuando el resultado es cara, lo que ocurre con una probabilidad q = 1 − 0,5 = 0,5. Necesitamos determinar la probabilidad de que el escudo de armas aparezca k veces.

Así, tenemos: n = 6; p = 0,5; q = 0,5.

Determinemos la probabilidad de que el escudo de armas se dibuje tres veces, es decir, k = 3:

Ahora determinemos la probabilidad de que el escudo de armas aparezca solo una vez, es decir k = 1:

Queda por determinar con qué probabilidad el escudo de armas aparecerá al menos dos veces. El problema principal está en la frase "nada menos". Resulta que estaremos satisfechos con cualquier k excepto 0 y 1, es decir Necesitamos encontrar el valor de la suma X = P 6 (2) + P 6 (3) + ... + P 6 (6).

Tenga en cuenta que esta suma también es igual a (1 − P 6 (0) − P 6 (1)), es decir suficiente de todo opciones posibles“recorte” aquellos en los que el escudo de armas se cayó 1 vez (k = 1) o no se cayó en absoluto (k = 0). Como ya conocemos P 6 (1), queda por encontrar P 6 (0):

Tarea. La probabilidad de que el televisor tenga defectos ocultos es 0,2. Llegaron 20 televisores al almacén. ¿Qué suceso es más probable: que en este lote haya dos televisores con defectos ocultos o tres?

El evento de interés A es la presencia de un defecto latente. Hay n = 20 televisores en total, la probabilidad de que haya un defecto oculto es p = 0,2. En consecuencia, la probabilidad de recibir un televisor sin ningún defecto oculto es q = 1 − 0,2 = 0,8.

Obtenemos las condiciones iniciales para el esquema de Bernoulli: n = 20; p = 0,2; q = 0,8.

Encontremos la probabilidad de obtener dos televisores "defectuosos" (k = 2) y tres (k = 3):

\[\begin(array)(l)(P_(20))\left(2 \right) = C_(20)^2(p^2)(q^(18)) = \frac((20}{{2!18!}} \cdot {0,2^2} \cdot {0,8^{18}} \approx 0,137\\{P_{20}}\left(3 \right) = C_{20}^3{p^3}{q^{17}} = \frac{{20!}}{{3!17!}} \cdot {0,2^3} \cdot {0,8^{17}} \approx 0,41\end{array}\]!}

Obviamente, P 20 (3) > P 20 (2), es decir la probabilidad de recibir tres televisores con defectos ocultos es mayor que la probabilidad de recibir sólo dos de esos televisores. Además, la diferencia no es débil.

Una nota rápida sobre factoriales. Mucha experiencia sentimiento vago malestar cuando ven la entrada “¡0!” (léase “factorial cero”). Entonces, ¡0! = 1 por definición.

PAG. S. y lo mas Gran oportunidad V última tarea- Esto significa adquirir cuatro televisores con defectos ocultos. Calcule usted mismo y compruébelo usted mismo.

Pruebas independientes repetidas

En la práctica, tenemos que lidiar con tareas que pueden representarse en forma de pruebas repetidas repetidamente, como resultado de cada una de las cuales el evento A puede aparecer o no. En este caso, el resultado de interés no es el resultado de cada prueba individual, sino total ocurrencias del evento A como resultado de un cierto número de ensayos. En tales problemas, es necesario poder determinar la probabilidad de que cualquier número m de ocurrencias del evento A como resultado de n ensayos. Considere el caso en el que los ensayos son independientes y la probabilidad de que ocurra el evento A en cada ensayo es constante. Estas pruebas se denominan repetido independiente.

Un ejemplo de prueba independiente es comprobar la idoneidad de productos tomados uno de varios lotes. Si el porcentaje de defectos en estos lotes es el mismo, entonces la probabilidad de que el producto seleccionado sea defectuoso es un número constante en cada caso.

La fórmula de Bernoulli.

Usemos el concepto evento complejo, que significa la combinación de varios eventos elementales consistentes en la aparición o no ocurrencia del evento A en el i-ésimo ensayo. Sean realizados n ensayos independientes, en cada uno de los cuales el evento A puede aparecer con probabilidad p o no aparecer con probabilidad q=1-p. Considere el evento B_m, que es que el evento A ocurrirá exactamente m veces en estos n ensayos y, por lo tanto, no ocurrirá exactamente (n-m) veces. denotemos A_i~(i=1,2,\ldots,(n)) ocurrencia del evento A, a \overline(A)_i - no ocurrencia del evento A en la i-ésima prueba. Debido a la constancia de las condiciones de prueba, tenemos

El evento A puede ocurrir m veces cada diferentes secuencias o combinaciones, alternando con el evento opuesto \overline(A) . El número de combinaciones posibles de este tipo es igual al número de combinaciones de n elementos por m, es decir, C_n^m. En consecuencia, el evento B_m se puede representar como una suma de eventos complejos que son inconsistentes entre sí, y el número de términos es igual a C_n^m:

B_m=A_1A_2\cdots(A_m)\overline(A)_(m+1)\cdots\overline(A)_n+\cdots+\overline(A)_1\overline(A)_2\cdots\overline(A)_( n-m)A_(n-m+1)\cdots(A_n),

La probabilidad de cada evento complejo incluido en la fórmula (3.1), según el teorema de multiplicación de probabilidad para eventos independientes es igual a p^(m)q^(n-m). Dado que el número total de tales eventos es igual a C_n^m, entonces, usando el teorema de la suma de probabilidades para eventos incompatibles, obtenemos la probabilidad del evento B_m (lo denotamos P_(m,n))

P_(m,n)=C_n^mp^(m)q^(n-m)\quad \text(o)\quad P_(m,n)=\frac(n{m!(n-m)!}p^{m}q^{n-m}. !}

La fórmula (3.2) se llama La fórmula de Bernoulli., y los ensayos repetidos que satisfacen la condición de independencia y constancia de las probabilidades de que ocurra el evento A en cada uno de ellos se denominan pruebas de Bernoulli, o esquema de Bernoulli.

Ejemplo 1. La probabilidad de ir más allá de la zona de tolerancia al procesar piezas en un torno es 0,07. Determine la probabilidad de que de cinco piezas seleccionadas al azar durante un turno, una tenga dimensiones de diámetro que no correspondan a la tolerancia especificada.

Solución. La condición del problema satisface los requisitos del esquema de Bernoulli. Por lo tanto, suponiendo n=5,\,m=1,\,p=0,\!07, usando la fórmula (3.2) obtenemos

P_(1,5)=C_5^1(0,\!07)^(1)(0,\!93)^(5-1)\approx0,\!262.

Ejemplo 2. Las observaciones han establecido que en una determinada zona hay 12 días de lluvia en septiembre. ¿Cuál es la probabilidad de que de 8 días elegidos al azar este mes, 3 días sean lluviosos?

Solución.

P_(3;8)=C_8^3(\izquierda(\frac(12)(30)\derecha)\^3{\left(1-\frac{12}{30}\right)\!}^{8-3}=\frac{8!}{3!(8-3)!}{\left(\frac{2}{5}\right)\!}^3{\left(\frac{3}{5}\right)\!}^5=56\cdot\frac{8}{125}\cdot\frac{243}{3125}=\frac{108\,864}{390\,625}\approx0,\!2787. !}

Número más probable de ocurrencias de un evento

Fecha más probable de ocurrencia El evento A en n ensayos independientes se denomina número m_0 para el cual la probabilidad correspondiente a este número excede o al menos no excede. menos probable cada uno de los restantes números posibles de ocurrencia del evento A. Para determinar el número más probable, no es necesario calcular las probabilidades del número posible de ocurrencias de un evento, basta con conocer el número de ensayos n y la probabilidad de que ocurra el evento A en un ensayo separado; Denotemos por P_(m_0,n) la probabilidad correspondiente al número más probable m_0. Usando la fórmula (3.2), escribimos

P_(m_0,n)=C_n^(m_0)p^(m_0)q^(n-m_0)=\frac(n{m_0!(n-m_0)!}p^{m_0}q^{n-m_0}. !}

Según la definición del número más probable, las probabilidades de que ocurra el evento A, respectivamente m_0+1 y m_0-1 veces, no deben exceder al menos la probabilidad P_(m_0,n), es decir

P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0+1,n));\quad P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0-1,n))

Sustituyendo el valor P_(m_0,n) y las expresiones de probabilidad P_(m_0+1,n) y P_(m_0-1,n) en las desigualdades, obtenemos

Resolviendo estas desigualdades para m_0, obtenemos

M_0\geqslant(np-q),\quad m_0\leqslant(np+p)

Combinando las últimas desigualdades, obtenemos una doble desigualdad, que se utiliza para determinar el número más probable:

Np-q\leqslant(m_0)\leqslant(np+p).

Dado que la longitud del intervalo definido por la desigualdad (3.4) es igual a uno, es decir

(np+p)-(np-q)=p+q=1,

1) si np-q es un número entero, entonces hay dos valores del número más probable, a saber: m_0=np-q y m"_0=np-q+1=np+p;

2) si np-q es un número fraccionario, entonces hay un número más probable, a saber: el único número entero contenido entre los números fraccionarios obtenidos de la desigualdad (3.4);

3) si np es un número entero, entonces hay un número más probable, a saber: m_0=np.

En valores grandes n resulta inconveniente utilizar la fórmula (3.3) para calcular la probabilidad correspondiente al número más probable. Si sustituimos la fórmula de Stirling en la igualdad (3.3)

N!\aprox(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n))),

P_(m_0,n)\approx\frac(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n))\,p^(np)q^(nq))((np)^(np) e^(-np)\sqrt(2\pi(np))\,(nq)^(nq)e^(-nq)\sqrt(2\pi(nq)))=\frac(1)(\ sqrt(2\pi(npq)))=\frac(1)(\sqrt(2\pi)\sqrt(npq)).

Ejemplo 2. Se sabe que \frac(1)(15) parte de los productos suministrados por la planta a la base comercial no cumple con todos los requisitos de la norma. Se entregó a la base un lote de 250 artículos. Encuentre la cantidad más probable de productos que cumplan con los requisitos de la norma y calcule la probabilidad de que este lote contenga la cantidad más probable de productos.

Solución. Por condición n=250,\,q=\frac(1)(15),\,p=1-\frac(1)(15)=\frac(14)(15). Según la desigualdad (3.4) tenemos

250\cdot\frac(14)(15)-\frac(1)(15)\leqslant(m_0)\leqslant250\cdot\frac(14)(15)+\frac(1)(15)

P_(234,250)\approx\frac(1)(\sqrt(2\pi\cdot250\cdot\frac(14)(15)\cdot\frac(1)(15)))\approx0,\!101

Teorema local de Laplace

Es muy difícil utilizar la fórmula de Bernoulli para valores grandes de n. Por ejemplo, si n=50,\,m=30,\,p=0,\!1, entonces para encontrar la probabilidad P_(30.50) es necesario calcular el valor de la expresión

P_(30.50)=\frac(50{30!\cdot20!}\cdot(0,\!1)^{30}\cdot(0,\!9)^{20} !}

Naturalmente, surge la pregunta: ¿es posible calcular la probabilidad de interés sin utilizar la fórmula de Bernoulli? Resulta que es posible. El teorema local de Laplace proporciona una fórmula asintótica que nos permite encontrar aproximadamente la probabilidad de que los eventos ocurran exactamente m veces en n ensayos, si el número de ensayos es lo suficientemente grande.

Teorema 3.1. Si la probabilidad p de que ocurra el evento A en cada ensayo es constante y diferente de cero y uno, entonces la probabilidad P_(m,n) de que el evento A aparezca exactamente m veces en n ensayos es aproximadamente igual (cuanto más precisa, cuanto mayor n) al valor de la función

Y=\frac(1)(\sqrt(npq))\frac(e^(-x^2/2))(\sqrt(2\pi))=\frac(\varphi(x))(\sqrt (npq)) en .

Hay tablas que contienen valores de funciones. \varphi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-x^2/2)), correspondiente a valores positivos del argumento x. Para valores negativos del argumento se utilizan las mismas tablas, ya que la función \varphi(x) es par, es decir \varphi(-x)=\varphi(x).

P_(m,n)\approx\frac(1)(\sqrt(npq))\,\varphi(x), Dónde x=\frac(m-np)(\sqrt(npq)).

Ejemplo 3. Encuentre la probabilidad de que el evento A ocurra exactamente 80 veces en 400 ensayos si la probabilidad de que ocurra el evento A en cada ensayo es 0,2.

Solución. Por condición n=400,\,m=80,\,p=0,\!2,\,q=0,\!8. Utilicemos la fórmula asintótica de Laplace:

P_(80,400)\approx\frac(1)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8))\,\varphi(x)=\frac(1)(8)\,\varphi (X).

Calculemos el valor x determinado por los datos de la tarea:

X=\frac(m-np)(\sqrt(npq))=\frac(80-400\cdot0,\!2)(8)=0.

Según la tabla adj. 1 encontramos \varphi(0)=0,\!3989. Probabilidad requerida

P_(80,100)=\frac(1)(8)\cdot0,\!3989=0,\!04986.

La fórmula de Bernoulli conduce aproximadamente al mismo resultado (los cálculos se omiten debido a su complejidad):

P_(80,100)=0,\!0498.

Teorema integral de Laplace

Supongamos que se realizan n ensayos independientes, en cada uno de los cuales la probabilidad de ocurrencia del evento A es constante e igual a p. Es necesario calcular la probabilidad P_((m_1,m_2),n) de que el evento A aparezca en n ensayos al menos m_1 y como máximo m_2 veces (por brevedad diremos “de m_1 a m_2 veces”). Esto se puede hacer utilizando el teorema integral de Laplace.

Teorema 3.2. Si la probabilidad p de que ocurra el evento A en cada ensayo es constante y diferente de cero y uno, entonces aproximadamente la probabilidad P_((m_1,m_2),n) de que el evento A aparezca en los ensayos de m_1 a m_2 veces,

P_((m_1,m_2),n)\approx\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2) \,dx, Dónde .

Al resolver problemas que requieren la aplicación del teorema integral de Laplace, se utilizan tablas especiales, ya que la integral indefinida \int(e^(-x^2/2)\,dx) no expresado a través de funciones elementales. mesa integral \Phi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(0)^(x)e^(-z^2/2)\,dz figura en el apéndice. 2, donde se dan los valores de la función \Phi(x) para valores positivos x, por x<0 используют ту же таблицу (функция \Phi(x) нечетна, т. е. \Phi(-x)=-\Phi(x) ). Таблица содержит значения функции \Phi(x) лишь для x\in ; для x>5 podemos tomar \Phi(x)=0,\!5 .

Entonces, aproximadamente la probabilidad de que el evento A aparezca en n ensayos independientes de m_1 a m_2 veces es

P_((m_1,m_2),n)\aprox\Phi(x"")-\Phi(x"), Dónde x"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq));~x""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq)).

Ejemplo 4. La probabilidad de que una pieza se fabrique infringiendo las normas es p=0,\!2. Encuentre la probabilidad de que entre 400 piezas seleccionadas al azar, haya de 70 a 100 piezas no estándar.

Solución. Por condición p=0,\!2,\,q=0,\!8,\,n=400,\,m_1=70,\,m_2=100. Usemos el teorema integral de Laplace:

P_((70,100),400)\aprox\Phi(x"")-\Phi(x").

Calculemos los límites de integración:

X"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=\frac(70-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8)) =-1,\!25,

X""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=\frac(100-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8) )=2,\!5,

De este modo

P_((70,100),400)\approx\Phi(2,\!5)-\Phi(-1,\!25)=\Phi(2,\!5)+\Phi(1,\!25) .

Según la tabla adj. 2 encontramos

\Phi(2,\!5)=0,\!4938;~~~~~\Phi(1,\!25)=0,\!3944.

Probabilidad requerida

P_((70,100),400)=0,\!4938+0,\!3944=0,\!8882.

Aplicación del teorema integral de Laplace

Si el número m (el número de ocurrencias del evento A en n ensayos independientes) cambia de m_1 a m_2, entonces la fracción \frac(m-np)(\sqrt(npq)) variará de \frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=x" antes \frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=x"". Por tanto, el teorema integral de Laplace también se puede escribir de la siguiente manera:

P\left\(x"\leqslant\frac(m-np)(\sqrt(npq))\leqslant(x"")\right\)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\ int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2)\,dx.

Plantémonos la tarea de encontrar la probabilidad de que la desviación de la frecuencia relativa \frac(m)(n) de la probabilidad constante p en valor absoluto no exceda numero dado\varepsilon>0 . En otras palabras, encontramos la probabilidad de la desigualdad. \left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon, que es lo mismo -\varepsilon\leqslant\frac(m)(n)-p\leqslant\varepsilon. Esta probabilidad la denotaremos de la siguiente manera: P\left\(\left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon\right\). Teniendo en cuenta la fórmula (3.6) para esta probabilidad obtenemos

P\left\(\left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon\right\)\approx2\Phi\left(\varepsilon\,\sqrt(\frac(n)(pq ))\bien).

Ejemplo 5. La probabilidad de que la pieza no sea estándar es p=0,\!1. Encuentre la probabilidad de que entre 400 piezas seleccionadas al azar, la frecuencia relativa de aparición de piezas no estándar se desvíe de la probabilidad p=0,\!1 en valor absoluto en no más de 0,03.

Solución. Por condición n=400,\,p=0,\!1,\,q=0,\!9,\,\varepsilon=0,\!03. Necesitamos encontrar la probabilidad. P\left\(\left|\frac(m)(400)-0,\!1\right|\leqslant0,\!03\right\). Usando la fórmula (3.7), obtenemos

P\left\(\left|\frac(m)(400)-0,\!1\right|\leqslant0,\!03\right\)\approx2\Phi\left(0,\!03\sqrt( \frac(400)(0,\!1\cdot0,\!9))\right)=2\Phi(2)

Según la tabla adj. 2 encontramos \Phi(2)=0,\!4772 , por lo tanto, 2\Phi(2)=0,\!9544 . Entonces, la probabilidad deseada es aproximadamente 0,9544. El significado del resultado es el siguiente: si se toma un número suficientemente grande de muestras de 400 partes cada una, entonces en aproximadamente el 95,44% de estas muestras la desviación de la frecuencia relativa de la probabilidad constante p=0.\!1 en absoluto El valor no excederá 0,03.

La fórmula de Poisson para eventos improbables

Si la probabilidad p de que ocurra un evento en un solo ensayo es cercana a cero, entonces incluso con un gran número de ensayos n, pero con un valor pequeño del producto np, los valores de probabilidad P_(m,n) Los resultados obtenidos de la fórmula de Laplace no son lo suficientemente precisos y surge la necesidad de otra fórmula aproximada.

Teorema 3.3. Si la probabilidad p de que ocurra el evento A en cada ensayo es constante pero pequeña, el número de ensayos independientes n es suficientemente grande, pero el valor del producto np=\lambda sigue siendo pequeño (no más de diez), entonces la probabilidad que el evento A ocurrirá m veces en estos ensayos es

P_(m,n)\aprox\frac(\lambda^m)(m\,e^{-\lambda}. !}

Para simplificar los cálculos utilizando la fórmula de Poisson, se ha compilado una tabla de valores de la función de Poisson. \frac(\lambda^m)(m\,e^{-\lambda} !}(ver apéndice 3).

Ejemplo 6. Sea la probabilidad de producir una pieza no estándar 0,004. Encuentre la probabilidad de que entre 1000 piezas haya 5 no estándar.

Solución. Aquí n=1000,p=0.004,~\lambda=np=1000\cdot0,\!004=4. Los tres números satisfacen los requisitos del Teorema 3.3, por lo tanto, para encontrar la probabilidad del evento deseado P_(5,1000), usamos la fórmula de Poisson. De la tabla de valores de la función de Poisson (Apéndice 3) con \lambda=4;m=5 obtenemos P_(5,1000)\aprox0,\!1563.

Encontremos la probabilidad del mismo evento usando la fórmula de Laplace. Para ello, primero calculamos el valor de x correspondiente a m=5:

X=\frac(5-1000\cdot0,\!004)(\sqrt(1000\cdot0,\!004\cdot0,\!996))\approx\frac(1)(1,\!996)\approx0 ,\!501.

Por tanto, según la fórmula de Laplace, la probabilidad deseada

P_(5,1000)\approx\frac(\varphi(0,\!501))(1,\!996)\approx\frac(0,\!3519)(1,\!996)\approx0,\ !1763

P_(5,1000)=C_(1000)^(5)\cdot0,\!004^5\cdot0,\!996^(995)\approx0,\!1552.

Por tanto, el error relativo al calcular las probabilidades P_(5,1000) utilizando la fórmula aproximada de Laplace es

\frac(0,\!1763-0,\!1552)(0,\!1552)\aprox0,\!196, o 13.\!6\%

\frac(0,\!1563-0,\!1552)(0,\!1552)\aprox0,\!007, o 0.\!7\%

Es decir, muchas veces menos.
Ir a la siguiente sección
unidimensional variables aleatorias Javascript está deshabilitado en su navegador.
Para realizar cálculos, debe habilitar los controles ActiveX.