Формулы объема правильной треугольной пирамиды. Примеры решения задач
Одной из самых простых объемных фигур является треугольная пирамида, поскольку она состоит из наименьшего числа граней, из которого можно образовать фигуру в пространстве. В данной статье рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти объем треугольной правильной пирамиды.
Треугольная пирамида
Согласно общему определению пирамида представляет собой многоугольник, все вершины которого соединены с одной точкой, не расположенной в плоскости этого многоугольника. Если последний представляет собой треугольник, то вся фигура называется треугольной пирамидой.
Рассматриваемая пирамида состоит из основания (треугольника) и трех боковых граней (треугольников). Точка, в которой соединены три боковые грани, называется вершиной фигуры. Опущенный на основание перпендикуляр из этой вершины является высотой пирамиды. Если точка пересечения перпендикуляра с основанием совпадает с точкой пересечения медиан треугольника в основании, тогда говорят о правильной пирамиде. В противном случае она будет наклонной.
Как было сказано, основание треугольной пирамиды может представлять собой треугольник общего типа. Однако если он является равносторонним, а сама пирамида прямой, тогда говорят о правильной объемной фигуре.
Любая имеет 4 грани, 6 ребер и 4 вершины. Если длины всех ребер равны между собой, тогда такая фигура называется тетраэдром.
общего типа
Прежде чем записать правильной треугольной пирамиды, приведем выражение этой физической величины для пирамиды общего типа. Это выражение имеет вид:
Здесь S o - площадь основания, h - высота фигуры. Это равенство будет справедливым для любого типа основания многоугольника пирамиды, а также для конуса. Если же в основании находится треугольник, имеющий длину стороны a и высоту h o , опущенную на нее, тогда формула для объема запишется так:
Формулы объема правильной треугольной пирамиды
Треугольная имеет равносторонний треугольник в основании. Известно, что высота этого треугольника связана с длиной его стороны равенством:
Подставляя это выражение в формулу для объема треугольной пирамиды, записанную в предыдущем пункте, получаем:
V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.
Объем правильной пирамиды с треугольным основанием является функцией длины стороны основания и высоты фигуры.
Поскольку любой правильный многоугольник можно вписать в окружность, радиус которой однозначно определит длину стороны многоугольника, тогда эту формулу можно записать через соответствующий радиус r:
Эту формулу легко получить из предыдущей, если учесть, что радиус r описанной окружности через длину стороны a треугольника определяется выражением:
Задача на определение объема тетраэдра
Покажем, как использовать приведенные выше формулы при решении конкретных задач геометрии.
Известно, что тетраэдр имеет длину ребра 7 см. Найдите объем правильной треугольной пирамиды-тетраэдра.
Напомним, что тетраэдр является правильной треугольной пирамидой, в которой все основания равны между собой. Чтобы воспользоваться формулой объема правильной пирамиды треугольной, необходимо вычислить две величины:
- длину стороны треугольника;
- высоту фигуры.
Первая величина известна из условия задачи:
Чтобы определить высоту, рассмотрим фигуру, изображенную на рисунке.
Отмеченный треугольник ABC является прямоугольным, где угол ABC равен 90 o . Сторона AC - это гипотенуза, длина которой равна a. Путем несложных геометрических рассуждений можно показать, что сторона BC имеет длину:
Заметим, что длина BC является радиусом описанной вокруг треугольника окружности.
h = AB = √(AC 2 - BC 2) = √(a 2 - a 2 /3) = a*√(2/3).
Теперь можно h и a подставить в соответствующую формулу для объема:
V = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 .
Таким образом, мы получили формулу объема тетраэдра. Видно, что объем зависит только от длины ребра. Если в выражение подставить значение из условия задачи, тогда получаем ответ:
V = √2/12*7 3 ≈ 40,42 см 3 .
Если сравнить эту величину с объемом куба, имеющим такое же ребро, то получим, что объем тетраэдра в 8,5 раз меньше. Это свидетельствует о том, что тетраэдр является компактной фигурой, которая реализуется в некоторых природных веществах. Например, молекула метана имеет тетраэдрическую форму, а каждый атом углерода в алмазе соединен с четырьмя другими атомами, образующими тетраэдр.
Задача с гомотетичными пирамидами
Решим одну любопытную геометрическую задачу. Предположим, что имеется треугольная правильная пирамида с некоторым объемом V 1 . Во сколько раз следует уменьшить размеры этой фигуры, чтобы получить гомотетичную ей пирамиду с объемом, в три раза меньшим исходного?
Задачу начнем решать с записи формулы для исходной правильной пирамиды:
V 1 = √3/12*a 1 2 *h 1 .
Пусть необходимый по условию задачи объем фигуры получится, если умножить ее параметры на коэффициент k. Имеем:
V 2 = √3/12*k 2 *a 1 2 *k*h 1 = k 3 *V 1 .
Поскольку из условия известно отношение объемов фигур, то получаем значение коэффициента k:
k = ∛(V 2 /V 1) = ∛(1/3) ≈ 0,693.
Отметим, что аналогичное значение коэффициента k мы бы получили для пирамиды произвольного типа, а не только для правильной треугольной.
Здесь разберём примеры связанные с понятием объёма. Для решения подобных заданий обязательно нужно знать формулу объёма пирамиды:
S
h – высота пирамиды
Основанием может быть любой многоугольник. Но в большинстве задач на ЕГЭ речь в условии, как правило, идёт о правильных пирамидах. Напомню одно из её свойств:
Вершина правильной пирамиды проецируется в центр её основания
Посмотрите на проекцию правильной треугольной, четырёхугольной и шестиугольной пирамид (ВИД СВЕРХУ):
Можете на блоге, где разбирались задачи связанные с нахождением объёма пирамиды. Рассмотрим задачи:
27087. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна корню из трёх.
S – площадь основания пирамиды
h – высота пирамиды
Найдём площадь основания пирамиды, это правильный треугольник. Воспользуемся формулой – площадь треугольника равна половине произведения соседних сторон на синус угла между ними, значит:
Ответ: 0,25
27088. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объем равен корню из трёх.
Такие понятия как высота пирамиды и характеристики её основания связаны формулой объёма:
S – площадь основания пирамиды
h – высота пирамиды
Сам объём нам известен, площадь основания можем найти, так как известны стороны треугольника, который является основанием. Зная указанные величины без труда найдём высоту.
Для нахождения площади основания воспользуемся формулой – площадь треугольника равна половине произведения соседних сторон на синус угла между ними, значит:
Таким образом, подставив данные значения в формулу объема можем вычислить высоту пирамиды:
Высота равна трём.
Ответ: 3
27109. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем.
Объём пирамиды вычисляется по формуле:
S – площадь основания пирамиды
h – высота пирамиды
Высота нам известна. Необходимо найти площадь основания. Напомню, что вершина правильной пирамиды проецируется в центр её основания. Основанием правильной четырёхугольной пирамиды является квадрат. Мы можем найти его диагональ. Рассмотрим прямоугольный треугольник (выделен синим):
Отрезок соединяющий центр квадрата с точкой В это катет, который равен половине диагонали квадрата. Этот катет можем вычислить по теореме Пифагора:
Значит BD = 16. Вычислим площадь квадрата воспользовавшись формулой площади четырёхугольника:
Следовательно:
Таким образом, объём пирамиды равен:
Ответ: 256
27178. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12, объем равен 200. Найдите боковое ребро этой пирамиды.
Высота пирамиды и её и объём известны, значит можем найти площадь квадрата, который является основанием. Зная площадь квадрата, мы сможем найти его диагональ. Далее рассмотрев прямоугольный треугольник по теореме Пифагора вычислим боковое ребро:
Найдём площадь квадрата (основания пирамиды):
Вычислим диагональ квадрата. Так как его площадь равна 50, то сторона будет равна корню из пятидесяти и по теореме Пифагора:
Точка О делит диагональ BD пополам, значит катет прямоугольного треугольника ОВ = 5.
Таким образом, можем вычислить чему равно боковое ребро пирамиды:
Ответ: 13
245353. Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 3.
Как уже неоднократно было сказано – объём пирамиды вычисляется по формуле:
S – площадь основания пирамиды
h – высота пирамиды
Боковое ребро перпендикулярное основанию равно трём, это означает, что высота пирамиды равна трём. Основания пирамиды – это многоугольник, площадь которого равна:
Таким образом:
Ответ: 27
27086. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цели урока .
Образовательная: Вывести формулу для вычисления объема пирамиды
Развивающая: развивать у учащихся познавательный интерес к учебным дисциплинам, умение применять свои знания на практике.
Воспитательная: воспитывать внимание, аккуратность, расширять кругозор учеников.
Оборудование и материалы: компьютер, экран, проектор, презентация “Объем пирамиды”.
1. Фронтальный опрос. Слайды 2, 3
Что называется пирамидой, основанием пирамиды, ребрами, высотой, осью, апофемой. Какая пирамида называется правильной, тетраэдром, усеченной пирамидой?
Пирамида - многогранник, состоящий из плоского многоугольника , точки , не лежащей в плоскости этого многоугольника и всех отрезков , соединяющих эту точку с точками многоугольника.
Данная точка называется вершиной пирамиды, а плоский многоугольник - основанием пирамиды. Отрезки , соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются рёбрами . Высота пирамиды - перпендикуляр , опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. Апофема - высота боковой грани правильной пирамиды. Пирамида, у которой в основании лежит правильный n-угольник , а основание высоты совпадает с центром основания называется правильной n-угольной пирамидой. Осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая её высоту. Правильная треугольная пирамида называется тетраэдром. Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной плоскости основания, то она отсечет пирамиду, подобную данной. Оставшаяся часть называется усеченной пирамидой.
2. Вывод формулы для вычисления объема пирамиды V=SH/3 Слайды 4, 5, 6
1. Пусть SABC – треугольная пирамида с вершиной S и основанием АВС.
2. Дополним эту пирамиду до треугольной призмы с тем же основанием и высотой.
3. Эта призма составлена из трех пирамид:
1) данной пирамиды SABC.
2) пирамиды SCC 1 B 1 .
3) и пирамиды SCBB 1 .
4. У второй и третьей пирамид равные основания СС 1 В 1 и В 1 ВС и общая высота, проведенная из вершины S к грани параллелограмма ВВ 1 С 1 С. Поэтому у них равные объемы.
5. У первой и третьей пирамид тоже равные основания SAB и BB 1 S и совпадающие высоты, проведенные из вершины С к грани параллелограмма АВВ 1 S. Поэтому у них тоже равные объемы.
Значит, все три пирамиды имеют один и тот же объем. Так как сумма этих объемов равна объему призмы, то объемы пирамид равны SH/3.
Объем любой треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.
3. Закрепление нового материала. Решение упражнений.
1) Задача № 33 из учебника А.Н. Погорелова. Слайды 7, 8, 9
По стороне основания? и боковому ребру b найдите объем правильной пирамиды, в основании которой лежит:
1) треугольник,
2) четырехугольник,
3) шестиугольник.
В правильной пирамиде высота проходит через центр окружности, описанной около основания. Тогда: (Приложение)
4. Исторические сведения о пирамидах. Слайды 15, 16, 17
Первым из наших современников, кто установил ряд необычных явлений, связанных с пирамидой, был французский ученый Антуан Бови. Исследуя пирамиду Хеопса в 30-х годах двадцатого столетия, он обнаружил, что тела мелких животных, случайно попавших в царскую комнату, мумифицировались. Причину этого Бови объяснил для себя формой пирамиды и, как оказалось, не ошибся. Его труды легли в основу современных исследований, в результате которых за последние 20 лет появилось множество книг и публикаций, подтверждающих, что энергия пирамид может иметь прикладное значение.
Тайна пирамид
Некоторые исследователи утверждают, что пирамида содержит в себе огромное количество информации о строении Вселенной, Солнечной системы и человека, закодированной в ее геометрической форме, а точнее, в форме октаэдра, половину которого и представляет пирамида. Пирамида вершиной вверх символизирует жизнь, вершиной вниз – смерть, потусторонний мир. Точно так же, как составные части Звезды Давида (Маген Давид), где треугольник, устремленный вверх, символизирует восхождение к Высшему Разуму, Богу, а треугольник, опущенный своей вершиной вниз, символизирует нисхождение души на Землю, материальное существование...
Цифровое значение кода, которым зашифрована в пирамиде информация о Вселенной, число 365, выбрано не случайно. Прежде всего, это годичный жизненный цикл нашей планеты. Кроме того, число 365 состоит из трех цифр 3, 6 и 5. Что они означают? Если в Солнечной системе Солнце проходит под номером 1, Меркурий – 2, Венера – 3, Земля – 4, Марс – 5, Юпитер – 6, Сатурн – 7, Уран – 8, Нептун – 9, Плутон – 10, то 3 – это Венера, 6 – Юпитер и 5 – Марс. Следовательно, Земля особенным образом связана именно с этими планетами. Сложив числа 3, 6 и 5, получаем 14, из которых 1 – это Солнце, а 4 – Земля.
Число 14 вообще имеет глобальное значение: на нем, в частности, основано строение кистей рук человека, общее число фаланг пальцев каждой из которых тоже 14. Этот код имеет отношение и к созвездию Большой Медведицы, в которую входит наше Солнце, и в котором некогда была еще одна звезда, погубившая Фаэтон, планету, находившуюся между Марсом и Юпитером, после чего в Солнечной системе появился Плутон, и изменились характеристики остальных планет.
Многие эзотерические источники утверждают, что человечество Земли уже четыре раза переживало всемирную катастрофу. Третья лемурианская раса знала Божественную науку о Вселенной, потом эту тайную доктрину передавали только посвященным. В начале циклов и полуциклов звездного года они строили пирамиды. Они вплотную подходили к открытию кода жизни. Цивилизации Атлантиды многое удавалось, но на каком-то уровне познания их остановила очередная планетарная катастрофа, сопровождавшаяся сменой рас. Вероятно, посвященные хотели передать нам, что в пирамидах заложено знание космических законов...
Специальные устройства в виде пирамид нейтрализуют негативное электромагнитное излучение на человека от компьютера, телевизора, холодильника и других электробытовых приборов.
В одной из книг описан случай, когда пирамида, установленная в салоне автомобиля, сокращала расход топлива и снижала содержание СО в отработанных газах.
Выдержанные в пирамидах семена огородных культур имели лучшую всхожесть и урожайность. В публикациях даже рекомендовалось замачивать семена перед посевом в пирамидной воде.
Было обнаружено, что пирамиды благотворно влияют на экологическую обстановку. Устраняют патогенные зоны в квартирах, офисах и дачных участках, создавая положительную ауру.
Голландский исследователь Пауль Дикенс в своей книге приводит примеры о лечебных свойствах пирамид. Он заметил, что с их помощью можно снимать головные боли, боли в суставах, останавливать кровотечения при небольших порезах и то, что энергия пирамид стимулирует обмен веществ и укрепляет иммунитет.
В некоторых современных публикациях отмечается, что лекарства, выдержанные в пирамиде, сокращают курс лечения, а перевязочный материал, насыщаясь положительной энергетикой, способствует заживлению ран.
Косметические крема и мази улучшают свое действие.
Напитки, в том числе и спиртные, улучшают свои вкусовые качества, а вода, содержащаяся в 40-% водке становится целебной. Правда для того, чтобы зарядить положительной энергией стандартную бутылку 0,5 литра, понадобится высокая пирамида.
В одной газетной статье рассказывается о том, что если хранить ювелирные изделия под пирамидой они самоочищаются и приобретают особый блеск, а драгоценные и полудрагоценные камни аккумулируют положительную биоэнергетику и потом постепенно ее отдают.
По утверждению американских ученых, продукты питания, например крупа, мука, соль, сахар, кофе, чай, побывав в пирамиде, улучшают свои вкусовые качества, а дешевые сигареты становятся похожими на своих благородных собратьев.
Возможно, для многих это будет не актуально, но в маленькой пирамиде самозатачиваются старые бритвенные лезвия, а в большой пирамиде вода не замерзает при -40 градусах по Цельсию.
По утверждению большинства исследователей, все это является доказательством существования энергии пирамид.
За 5000 лет своего существования, пирамиды превратились в некий символ, олицетворяющий стремление человека достичь вершины знаний.
5. Подведение итогов урока.
Список используемой литературы.
1) http://schools.techno.ru
2) Погорелов А. В. Геометрия 10-11, издательство “Просвещение”.
3) Энциклопедия “Древо познания” Маршалл К.
Чтобы найти объем пирамиды, нужно знать несколько формул. Рассмотрим их.
Как найти объем пирамиды – 1-ый способ
Объем пирамиды можно узнать с помощью высоты и площади ее основания. V = 1/3*S*h. Так, например, если высота пирамиды 10 см, а площадь ее основания 25 см 2 , то объем будет равен V = 1/3*25*10 = 1/3*250 = 83.3 см 3
Как найти объем пирамиды – 2-ой способ
Если в основании пирамиды лежит правильный многоугольник, то найти ее объем можно по следующей формуле: V = na 2 h/12*tg(180/n), где а – сторона лежащего в основании многоугольника, а n – количество его сторон. Например: В основании лежит правильный шестиугольник, то есть n = 6. Так как он правильный, все его стороны равно, то есть все a равны. Скажем a = 10, а h – 15. Вставляем числа в формулу и получаем приблизительный ответ – 1299 см 3
Как найти объем пирамиды – 3-ий способ
Если в основании пирамиды лежит равносторонний треугольник, то ее объем можно найти по следующей формуле: V = ha 2 /4√3, где а – сторона равностороннего треугольника. Например: высота пирамиды – 10 см, сторона основания – 5 см. Объем будет равен V = 10*25/4√ 3 = 250/4√ 3. Обычно то, что получилось в знаменателе не вычисляют и оставляют в таком же виде. Можно также умножить и числитель, и знаменатель на 4√ 3. Получим 1000√ 3/48. Сократив получим 125√ 3/6 см 3 .
Как найти объем пирамиды – 4-ый способ
Если в основании пирамиды лежит квадрат, то ее объем можно найти по следующей формуле: V = 1/3*h*a 2 , где a – сторон квадрата. Например: высота – 5 см, сторона квадрата – 3 см. V = 1/3*5*9 = 15 см 3
Как найти объем пирамиды – 5-ый способ
Если пирамида является тетраэдром, то есть у нее все грани – равносторонние треугольники, найти объем пирамиды можно по следующей формуле: V = a 3 √2/12, где a – ребро тетраэдра. Например: ребро тетраэдра = 7. V = 7*7*7√2/12 = 343 см 3
Что такое пирамида?
Как она выглядит?
Видишь: у пирамиды внизу (говорят «в основании ») какой-нибудь многоугольник, и все вершины этого многоугольника соединены с некоторой точкой в пространстве (эта точка называется «вершина »).
У всей этой конструкции ещё есть боковые грани , боковые рёбра и рёбра основания . Ещё раз нарисуем пирамиду вместе со всеми этими названиями:
Некоторые пирамиды могут выглядеть очень странно, но всё равно это - пирамиды.
Вот, например, совсем «косая» пирамида .
И ещё немного о названиях: если в основании пирамиды лежит треугольник, то пирамида называется треугольной, если четырёхугольник, то четырёхугольной, а если стоугольник, то … догадайся сам.
При этом точка, куда oпустилась высота , называется основанием высоты . Обрати внимание, что в «кривых» пирамидах высота может вообще оказаться вне пирамиды. Вот так:
И ничего в этом страшного нет. Похоже на тупоугольный треугольник.
Правильная пирамида.
Много сложный слов? Давай расшифруем: «В основании - правильный » - это понятно. А теперь вспомним, что у правильного многоугольника есть центр - точка, являющаяся центром и , и .
Ну вот, а слова «вершина проецируется в центр основания» означают, что основание высоты попадает как раз в центр основания. Смотри, как ровненько и симпатично выглядит правильная пирамида .
Шестиугольная : в основании - правильный шестиугольник, вершина проецируется в центр основания.
Четырёхугольная : в основании - квадрат, вершина проецируется в точку пересечения диагоналей этого квадрата.
Треугольная : в основании - правильный треугольник, вершина проецируется в точку пересечения высот (они же и медианы, и биссектрисы) этого треугольника.
Очень важные свойства правильной пирамиды:
В правильной пирамиде
- все боковые рёбра равны.
- все боковые грани - равнобедренные треугольники и все эти треугольники равны.
Объем пирамиды
Главная формула объема пирамиды:
Откуда взялась именно? Это не так уж просто, и на первых порах нужно просто запомнить, что у пирамиды и конуса в формуле объема есть, а у цилиндра - нет.
Теперь давай посчитаем объем самых популярных пирамид.
Пусть сторона основания равна, а боковое ребро равно. Нужно найти и.
Это площадь правильного треугольника.
Вспомним, как искать эту площадь. Используем формулу площади:
У нас « » - это, а « » - это тоже, а.
Теперь найдем.
По теореме Пифагора для
Чему же равно? Это радиус описанной окружности в, потому что пирамида правильная и, значит, - центр.
Так как - точка пересечения и медиан тоже.
(теорема Пифагора для)
Подставим в формулу для.
И подставим все в формулу объема:
Внимание: если у тебя правильный тетраэдр (т.е.), то формула получается такой:
Пусть сторона основания равна, а боковое ребро равно.
Здесь и искать не нужно; ведь в основании - квадрат, и поэтому.
Найдем. По теореме Пифагора для
Известно ли нам? Ну, почти. Смотри:
(это мы увидели, рассмотрев).
Подставляем в формулу для:
А теперь и и подставляем в формулу объема.
Пусть сторона основания равна, а боковое ребро.
Как найти? Смотри, шестиугольник состоит ровно из шести одинаковых правильных треугольников. Площадь правильного треугольника мы уже искали при подсчете объема правильной треугольной пирамиды, здесь используем найденную формулу.
Теперь найдем (это).
По теореме Пифагора для
Но чему же равно? Это просто, потому что (и все остальные тоже) правильный.
Подставляем:
\displaystyle V=\frac{\sqrt{3}}{2}{{a}^{2}}\sqrt{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}
ПИРАМИДА. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
Пирамида - это многогранник, который состоит из любого плоского многоугольника (), точки, не лежащей в плоскости основания, (вершина пирамиды ) и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания (боковые ребра ).
Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.
Правильная пирамида - пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а вершина пирамиды проецируется в центр основания.
Свойство правильной пирамиды:
- В правильной пирамиде все боковые рёбра равны.
- Все боковые грани - равнобедренные треугольники и все эти треугольники равны.
Объем пирамиды:
Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.
Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!
Теперь самое главное.
Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.
Проблема в том, что этого может не хватить…
Для чего?
Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.
Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…
Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.
Но и это - не главное.
Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...
Но, думай сам...
Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?
НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.
На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.
Тебе нужно будет решать задачи на время .
И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.
Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.
Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!
Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.
Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.
Как? Есть два варианта:
- Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб.
- Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - 499 руб.
Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.
Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.
И в заключение...
Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.
“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.
Найди задачи и решай!
Загрузка...
