معادلة الخط المستقيم باستخدام صيغة النقطتين. المعادلة العامة للخط

تستمر هذه المقالة في موضوع معادلة الخط على المستوى: سنعتبر هذا النوع من المعادلات بمثابة المعادلة العامة للخط. دعونا نحدد النظرية ونقدم برهانها؛ دعونا نتعرف على المعادلة العامة غير الكاملة للخط وكيفية إجراء التحولات من المعادلة العامة إلى أنواع أخرى من معادلات الخط. وسنعزز النظرية بأكملها بالرسوم التوضيحية والحلول للمشكلات العملية.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

دع نظام الإحداثيات المستطيل O x y يتم تحديده على المستوى.

النظرية 1

أي معادلة من الدرجة الأولى، لها الصيغة A x + B y + C = 0، حيث A، B، C هي بعض الأعداد الحقيقية (A و B لا يساويان الصفر في نفس الوقت)، تحدد خطًا مستقيمًا في نظام إحداثيات مستطيل على المستوى. بدوره، يتم تحديد أي خط مستقيم في نظام إحداثيات مستطيل على المستوى بمعادلة لها الشكل A x + B y + C = 0 لمجموعة معينة من القيم A، B، C.

دليل

وتتكون هذه النظرية من نقطتين، وسوف نثبت كل منهما.

1. دعونا نثبت أن المعادلة A x + B y + C = 0 تحدد خطًا مستقيمًا على المستوى.

يجب أن تكون هناك نقطة M 0 (x 0 , y 0) تتوافق إحداثياتها مع المعادلة A x + B y + C = 0. وبالتالي: أ س 0 + ب ص 0 + ج = 0. اطرح من الطرفين الأيسر والأيمن للمعادلات A x + B y + C = 0 الطرفين الأيسر والأيمن للمعادلة A x 0 + B y 0 + C = 0، نحصل على معادلة جديدة تبدو مثل A (x) - س 0) + ب (ص - ص 0) = 0 . وهو يعادل A x + B y + C = 0.

المعادلة الناتجة A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 هي شرط ضروري وكاف لتعامد المتجهات n → = (A, B) وM 0 M → = (x - x 0، ص - ص 0 ) . وبالتالي، فإن مجموعة النقاط M (x، y) تحدد خطًا مستقيمًا في نظام إحداثيات مستطيل عموديًا على اتجاه المتجه n → = (A، B). يمكننا أن نفترض أن الأمر ليس كذلك، ولكن بعد ذلك فإن المتجهات n → = (A, B) و M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) لن تكون متعامدة، والمساواة A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 لن يكون صحيحًا.

وبالتالي، فإن المعادلة A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 تحدد خطًا معينًا في نظام إحداثيات مستطيل على المستوى، وبالتالي فإن المعادلة المكافئة A x + B y + C = 0 تحدد نفس الخط. وهكذا أثبتنا الجزء الأول من النظرية.

1. دعونا نقدم دليلاً على أن أي خط مستقيم في نظام إحداثيات مستطيل على مستوى يمكن تحديده بمعادلة من الدرجة الأولى A x + B y + C = 0.

دعونا نحدد الخط المستقيم a في نظام إحداثيات مستطيل على المستوى؛ النقطة M 0 (x 0 , y 0) التي يمر من خلالها هذا الخط، وكذلك المتجه الطبيعي لهذا الخط n → = (A, B) .

يجب أن تكون هناك أيضًا نقطة M (x، y) - نقطة عائمة على الخط. في هذه الحالة، يكون المتجهان n → = (A, B) وM 0 M → = (x - x 0, y - y 0) متعامدين مع بعضهما البعض، وناتجهما القياسي هو صفر:

ن → , م 0 م → = أ (س - س 0) + ب (ص - ص 0) = 0

دعونا نعيد كتابة المعادلة A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0، نحدد C: C = - A x 0 - B y 0 وكنتيجة نهائية نحصل على المعادلة A x + B y + C = 0.

وبذلك نكون قد أثبتنا الجزء الثاني من النظرية، وأثبتنا النظرية بأكملها ككل.

التعريف 1

معادلة النموذجأ س + ب ص + ج = 0 - هذا المعادلة العامة للخطعلى مستوى في نظام الإحداثيات مستطيلةأوكسي.

بناءً على النظرية المثبتة، يمكننا أن نستنتج أن الخط المستقيم ومعادلته العامة المحددة على مستوى في نظام إحداثيات مستطيل ثابت مرتبطان ارتباطًا وثيقًا. بمعنى آخر، الخط الأصلي يتوافق مع معادلته العامة؛ المعادلة العامة لخط يتوافق مع خط معين.

ويترتب على إثبات النظرية أيضًا أن المعاملين A وB للمتغيرين x وy هما إحداثيات المتجه الطبيعي للخط، والتي تعطى بالمعادلة العامة للخط A x + B y + C = 0.

لنفكر في مثال محدد لمعادلة عامة لخط مستقيم.

افترض أن المعادلة 2 x + 3 y - 2 = 0، والتي تتوافق مع خط مستقيم في نظام إحداثيات مستطيل معين. المتجه العادي لهذا الخط هو المتجه ن → = (2 ، 3) ​​. لنرسم الخط المستقيم المعطى في الرسم.

يمكننا أيضًا أن نذكر ما يلي: الخط المستقيم الذي نراه في الرسم يتم تحديده بالمعادلة العامة 2 x + 3 y - 2 = 0، حيث أن إحداثيات جميع النقاط على خط مستقيم معين تتوافق مع هذه المعادلة.

يمكننا الحصول على المعادلة lect · A x + lect · B y + lect · C = 0 بضرب طرفي المعادلة العامة للخط في عدد lect لا يساوي الصفر. المعادلة الناتجة تعادل المعادلة العامة الأصلية، وبالتالي فهي تصف نفس الخط المستقيم على المستوى.

أكمل المعادلة العامة للخط- مثل هذه المعادلة العامة للخط المستقيم A x + B y + C = 0، حيث تختلف الأرقام A، B، C عن الصفر. وإلا فإن المعادلة غير مكتمل.

دعونا نحلل جميع الاختلافات في المعادلة العامة غير الكاملة للخط.

1. عندما A = 0، B ≠ 0، C ≠ 0، تأخذ المعادلة العامة الشكل B y + C = 0. تحدد هذه المعادلة العامة غير المكتملة في نظام الإحداثيات المستطيل O x y خطًا مستقيمًا موازيًا للمحور O x، لأنه بالنسبة لأي قيمة حقيقية لـ x فإن المتغير y سيأخذ القيمة - ج ب . بمعنى آخر، المعادلة العامة للخط A x + B y + C = 0، عندما A = 0, B ≠ 0، تحدد موضع النقاط (x, y)، التي إحداثياتها تساوي نفس العدد - ج ب .
2. إذا كانت A = 0، B ≠ 0، C = 0، فإن المعادلة العامة تأخذ الشكل y = 0. تحدد هذه المعادلة غير الكاملة المحور السيني O x .
3. عندما A ≠ 0، B = 0، C ≠ 0، نحصل على معادلة عامة غير كاملة A x + C = 0، تحدد خطًا مستقيمًا موازيًا للإحداثي.
4. دع A ≠ 0، B = 0، C = 0، فإن المعادلة العامة غير المكتملة ستأخذ الشكل x = 0، وهذه هي معادلة الخط الإحداثي O y.
5. أخيرًا، بالنسبة لـ A ≠ 0، B ≠ 0، C = 0، تأخذ المعادلة العامة غير الكاملة الشكل A x + B y = 0. وتصف هذه المعادلة الخط المستقيم الذي يمر بنقطة الأصل. في الواقع، زوج الأرقام (0، 0) يتوافق مع المساواة A x + B y = 0، حيث أن A · 0 + B · 0 = 0.

دعونا نوضح بيانيًا جميع الأنواع المذكورة أعلاه من المعادلة العامة غير الكاملة للخط المستقيم.

مثال 1

من المعروف أن الخط المستقيم المعطى يوازي المحور الإحداثي ويمر بالنقطة 2 7، - 11. من الضروري كتابة المعادلة العامة للخط المحدد.

حل

يتم الحصول على خط مستقيم موازٍ للمحور الإحداثي بمعادلة بالشكل A x + C = 0، حيث A ≠ 0. ويحدد الشرط أيضًا إحداثيات النقطة التي يمر بها الخط، وتكون إحداثيات هذه النقطة مستوفية لشروط المعادلة العامة غير المكتملة A x + C = 0، أي. المساواة صحيحة:

أ 2 7 + ج = 0

ومن الممكن تحديد C إذا أعطينا A قيمة غير الصفر، على سبيل المثال، A = 7. في هذه الحالة نحصل على: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. نحن نعرف كلا المعاملين A وC، ونعوض بهما في المعادلة A x + C = 0 ونحصل على معادلة الخط المستقيم المطلوبة: 7 x - 2 = 0

إجابة: 7 س - 2 = 0

مثال 2

يظهر الرسم خطًا مستقيمًا، وعليك كتابة معادلته.

حل

يتيح لنا الرسم المعطى أخذ البيانات الأولية بسهولة لحل المشكلة. نرى في الرسم أن الخط المستقيم المعطى يوازي المحور O ويمر بالنقطة (0، 3).

يتم تحديد الخط المستقيم الموازي للإحداثي السيني بالمعادلة العامة غير الكاملة B y + C = 0. دعونا نجد قيم B و C. إحداثيات النقطة (0، 3)، بما أن الخط المعطى يمر بها، ستحقق معادلة الخط B y + C = 0، فتصح المساواة: B · 3 + C = 0. لنضع B على قيمة أخرى غير الصفر. لنفترض أن B = 1، وفي هذه الحالة من المساواة B · 3 + C = 0 يمكننا أن نجد C: C = - 3. وباستخدام القيم المعروفة B وC نحصل على معادلة الخط المستقيم المطلوبة: y - 3 = 0.

إجابة:ص - 3 = 0 .

المعادلة العامة للخط الذي يمر بنقطة معينة في المستوى

دع الخط المعطى يمر عبر النقطة M 0 (x 0 , y 0) ، فإن إحداثياته ​​تتوافق مع المعادلة العامة للخط، أي. المساواة صحيحة: A x 0 + B y 0 + C = 0. دعونا نطرح الطرفين الأيسر والأيمن لهذه المعادلة من الجانبين الأيسر والأيمن للمعادلة العامة الكاملة للخط. نحصل على: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0، هذه المعادلة تعادل المعادلة العامة الأصلية، وتمر بالنقطة M 0 (x 0، y 0) ولها عمود طبيعي المتجه ن → = (أ، ب) .

النتيجة التي حصلنا عليها تجعل من الممكن كتابة المعادلة العامة لخط ذي إحداثيات معروفة للمتجه العادي للخط وإحداثيات نقطة معينة من هذا الخط.

مثال 3

نظرا للنقطة M 0 (- 3، 4) التي يمر بها الخط، والمتجه الطبيعي لهذا الخط ن → = (1 , - 2) . من الضروري كتابة معادلة الخط المحدد.

حل

تتيح لنا الشروط الأولية الحصول على البيانات اللازمة لتكوين المعادلة: A = 1، B = - 2، x 0 = - 3، y 0 = 4. ثم:

أ (س - س 0) + ب (ص - ص 0) = 0 ⇔ 1 (س - (- 3)) - 2 ص (ص - 4) = 0 ⇔ ⇔ س - 2 ص + 22 = 0

كان من الممكن حل المشكلة بشكل مختلف. المعادلة العامة للخط المستقيم هي A x + B y + C = 0. يسمح لنا المتجه الطبيعي المحدد بالحصول على قيم المعاملين A و B، ثم:

أ س + ب ص + ج = 0 ⇔ 1 س - 2 ص + ج = 0 ⇔ س - 2 ص + ج = 0

والآن لنوجد قيمة C باستخدام النقطة M 0 (- 3, 4) المحددة بشرط المسألة، والتي يمر عبرها الخط المستقيم. تتوافق إحداثيات هذه النقطة مع المعادلة x - 2 · y + C = 0، أي. - 3 - 2 4 + ج = 0. وبالتالي ج = 11. معادلة الخط المستقيم المطلوبة تأخذ الشكل: x - 2 · y + 11 = 0.

إجابة:س - 2 ص + 11 = 0 .

مثال 4

بالنظر إلى الخط 2 3 x - y - 1 2 = 0 والنقطة M 0 تقع على هذا الخط. ولا يُعرف إلا حدود هذه النقطة، وهي تساوي -3. من الضروري تحديد إحداثيات نقطة معينة.

حل

دعونا نعين إحداثيات النقطة M 0 كـ x 0 و y 0 . تشير البيانات المصدر إلى أن x 0 = - 3. وبما أن النقطة تنتمي إلى خط معين، فإن إحداثياتها تتوافق مع المعادلة العامة لهذا الخط. عندها ستكون المساواة صحيحة:

2 3 × 0 - ص 0 - 1 2 = 0

حدد y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

إجابة: - 5 2

الانتقال من المعادلة العامة للخط إلى أنواع أخرى من معادلات الخط والعكس

كما نعلم، هناك عدة أنواع من المعادلات لنفس الخط المستقيم على المستوى. يعتمد اختيار نوع المعادلة على ظروف المشكلة؛ من الممكن اختيار الخيار الأكثر ملاءمة لحلها. إن مهارة تحويل معادلة من نوع ما إلى معادلة من نوع آخر مفيدة جدًا هنا.

أولاً، دعونا نفكر في الانتقال من المعادلة العامة بالصيغة A x + B y + C = 0 إلى المعادلة الأساسية x - x 1 a x = y - y 1 a y.

إذا كان A ≠ 0، فإننا ننقل الحد B y إلى الجانب الأيمن من المعادلة العامة. على الجانب الأيسر نخرج A من الأقواس. ونتيجة لذلك نحصل على: A x + C A = - B y.

يمكن كتابة هذه المساواة كنسبة: x + C A - B = y A.

إذا كان B ≠ 0، فإننا نترك فقط الحد A x على الجانب الأيسر من المعادلة العامة، وننقل الآخرين إلى الجانب الأيمن، فنحصل على: A x = - B y - C. نخرج - B من الأقواس، إذن: A x = - B y + C B .

لنعد كتابة المساواة في صورة نسبة: x - B = y + C B A.

وبطبيعة الحال، ليست هناك حاجة لحفظ الصيغ الناتجة. يكفي معرفة خوارزمية الإجراءات عند الانتقال من معادلة عامة إلى معادلة أساسية.

مثال 5

المعادلة العامة للخط 3 y - 4 = 0 معطاة. من الضروري تحويلها إلى معادلة قانونية.

حل

لنكتب المعادلة الأصلية بالشكل 3 y - 4 = 0. بعد ذلك، نمضي قدمًا وفقًا للخوارزمية: يبقى المصطلح 0 x على الجانب الأيسر؛ وعلى الجانب الأيمن نضع - 3 بين قوسين؛ نحصل على: 0 x = - 3 y - 4 3 .

لنكتب المساواة الناتجة كنسبة: x - 3 = y - 4 3 0 . وهكذا حصلنا على معادلة ذات شكل قانوني.

الإجابة: س - 3 = ص - 4 3 0.

لتحويل المعادلة العامة للخط إلى معادلة بارامترية، يتم أولاً الانتقال إلى الشكل القانوني، ثم الانتقال من المعادلة الأساسية للخط إلى المعادلات البارامترية.

مثال 6

الخط المستقيم يعطى بالمعادلة 2 س - 5 ص - 1 = 0. اكتب المعادلات البارامترية لهذا الخط.

حل

دعونا ننتقل من المعادلة العامة إلى المعادلة الأساسية:

2 س - 5 ص - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 ص + 1 ⇔ 2 x = 5 ص + 1 5 ⇔ x 5 = ص + 1 5 2

الآن نأخذ طرفي المعادلة القانونية الناتجة التي تساوي π، ثم:

x 5 =  y + 1 5 2 =  ⇔ x = 5  y = - 1 5 + 2  ,  ∈ R

إجابة:x = 5  y = - 1 5 + 2  ,  ∈ R

يمكن تحويل المعادلة العامة إلى معادلة خط مستقيم ذو ميل y = k · x + b، ولكن فقط عندما يكون B ≠ 0. بالنسبة للانتقال، نترك المصطلح B y على الجانب الأيسر، ويتم نقل الباقي إلى اليمين. نحصل على: B y = - A x - C . لنقسم طرفي المساواة الناتجة على B، بخلاف الصفر: y = - A B x - C B.

مثال 7

المعادلة العامة للخط معطاة: 2 x + 7 y = 0. تحتاج إلى تحويل هذه المعادلة إلى معادلة الميل.

حل

لنقم بتنفيذ الإجراءات اللازمة وفقًا للخوارزمية:

2 x + 7 ص = 0 ⇔ 7 ص - 2 x ⇔ ص = - 2 7 x

إجابة:ص = - 2 7 س .

من المعادلة العامة للخط، يكفي الحصول ببساطة على معادلة في أجزاء من النموذج x a + y b = 1. لإجراء مثل هذا التحول، ننقل الرقم C إلى الجانب الأيمن من المساواة، ونقسم طرفي المساواة الناتجة على - C، وأخيرًا، ننقل معاملات المتغيرين x وy إلى المقامات:

أ x + ب y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

مثال 8

من الضروري تحويل المعادلة العامة للخط x - 7 y + 1 2 = 0 إلى معادلة الخط المقطعي.

حل

لننتقل 1 2 إلى الجانب الأيمن: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

نقسم طرفي المساواة على -1/2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

إجابة:س - 1 2 + ص 1 14 = 1 .

بشكل عام، يكون الانتقال العكسي سهلًا أيضًا: من أنواع المعادلات الأخرى إلى المعادلات العامة.

يمكن بسهولة تحويل معادلة الخط المستقيم في القطاعات والمعادلة ذات المعامل الزاوي إلى معادلة عامة بمجرد جمع كل الحدود الموجودة على الجانب الأيسر من المساواة:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

يتم تحويل المعادلة القانونية إلى معادلة عامة وفق المخطط التالي:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

للانتقال من المعلمات، انتقل أولاً إلى المعيار الأساسي، ثم إلى المعيار العام:

x = x 1 + a x · ο y = y 1 + a y · ο ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

مثال 9

المعادلات البارامترية للخط x = - 1 + 2 · lecty y = 4 معطاة. من الضروري كتابة المعادلة العامة لهذا الخط.

حل

دعونا ننتقل من المعادلات البارامترية إلى المعادلات الأساسية:

x = - 1 + 2 · lect y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · lect y = 4 + 0 · lect ⇔ lect = x + 1 2 lect = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

دعنا ننتقل من الأساسي إلى العام:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

إجابة:ص - 4 = 0

مثال 10

معادلة الخط المستقيم في القطع x 3 + y 1 2 = 1. من الضروري الانتقال إلى الشكل العام للمعادلة.

حل:

نحن ببساطة نعيد كتابة المعادلة بالشكل المطلوب:

س 3 + ص 1 2 = 1 ⇔ 1 3 س + 2 ص - 1 = 0

إجابة: 1 3 س + 2 ص - 1 = 0 .

رسم معادلة عامة للخط

قلنا أعلاه أنه يمكن كتابة المعادلة العامة بإحداثيات معروفة للمتجه العمودي وإحداثيات النقطة التي يمر بها الخط. يتم تعريف هذا الخط المستقيم بالمعادلة A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0. هناك قمنا أيضًا بتحليل المثال المقابل.

الآن دعونا نلقي نظرة على أمثلة أكثر تعقيدًا، والتي نحتاج فيها أولاً إلى تحديد إحداثيات المتجه العادي.

مثال 11

معطيًا خطًا موازيًا للخط 2 x - 3 y + 3 3 = 0. النقطة M 0 (4، 1) التي يمر عبرها الخط المحدد معروفة أيضًا. من الضروري كتابة معادلة الخط المحدد.

حل

تخبرنا الشروط الأولية أن الخطوط متوازية، إذن، باعتباره المتجه الطبيعي للخط الذي يجب كتابة معادلته، نأخذ متجه الاتجاه للخط n → = (2, - 3): 2 x - 3 ص + 3 3 = 0. الآن نحن نعرف جميع البيانات اللازمة لإنشاء المعادلة العامة للخط:

أ (س - س 0) + ب (ص - ص 0) = 0 ⇔ 2 (س - 4) - 3 (ص - 1) = 0 ⇔ 2 س - 3 ص - 5 = 0

إجابة: 2 س - 3 ص - 5 = 0 .

مثال 12

يمر الخط المعطى عبر نقطة الأصل عموديًا على الخط x - 2 3 = y + 4 5. من الضروري إنشاء معادلة عامة لخط معين.

حل

المتجه العادي لخط معين سيكون متجه الاتجاه للخط x - 2 3 = y + 4 5.

ثم ن → = (3, 5) . يمر الخط المستقيم بنقطة الأصل، أي. من خلال النقطة O (0، 0). لنقم بإنشاء معادلة عامة لخط مستقيم معين:

أ (س - س 0) + ب (ص - ص 0) = 0 ⇔ 3 (س - 0) + 5 (ص - 0) = 0 ⇔ 3 س + 5 ص = 0

إجابة: 3 س + 5 ص = 0 .

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

معادلة الخط المستقيم على المستوى.
ناقل الاتجاه مستقيم. ناقلات الطبيعي

يعد الخط المستقيم على المستوى من أبسط الأشكال الهندسية التي كانت مألوفة لديك منذ المدرسة الابتدائية، واليوم سنتعلم كيفية التعامل معها باستخدام أساليب الهندسة التحليلية. لإتقان المادة، يجب أن تكون قادرًا على بناء خط مستقيم؛ تعرف على المعادلة التي تحدد الخط المستقيم، على وجه الخصوص، الخط المستقيم الذي يمر عبر أصل الإحداثيات والخطوط المستقيمة الموازية لمحاور الإحداثيات. يمكن العثور على هذه المعلومات في الدليل الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الأولية، لقد قمت بإنشائه لـ Mathan، ولكن تبين أن القسم الخاص بالدالة الخطية كان ناجحًا ومفصلاً للغاية. لذلك، عزيزي أقداح الشاي، الاحماء هناك أولا. وبالإضافة إلى ذلك، يجب أن يكون لديك المعرفة الأساسية حول ثلاثة أبعادوإلا فإن فهم المادة سيكون ناقصا.

سنتناول في هذا الدرس الطرق التي يمكنك من خلالها إنشاء معادلة خط مستقيم على المستوى. أوصي بعدم إهمال الأمثلة العملية (حتى لو كانت تبدو بسيطة للغاية)، لأنني سأزودهم بالحقائق الأولية والمهمة، والتقنيات الفنية التي ستكون مطلوبة في المستقبل، بما في ذلك أقسام أخرى من الرياضيات العليا.

• كيف تكتب معادلة الخط المستقيم بمعامل الزاوية؟
• كيف ؟
• كيفية العثور على متجه الاتجاه باستخدام المعادلة العامة للخط المستقيم؟
• كيف تكتب معادلة خط مستقيم بمعلومية نقطة ومتجه عادي؟

ونبدأ:

معادلة الخط المستقيم مع الميل

تسمى الصيغة "المدرسة" المعروفة لمعادلة الخط المستقيم معادلة الخط المستقيم مع الميل. على سبيل المثال، إذا كانت المعادلة تعطي خطًا مستقيمًا، فإن ميله يكون: . دعونا نفكر في المعنى الهندسي لهذا المعامل وكيف تؤثر قيمته على موقع الخط:

وقد ثبت ذلك في دورة الهندسة ميل الخط المستقيم يساوي ظل الزاويةبين اتجاه المحور الإيجابيوهذا الخط: والزاوية "تفك" عكس اتجاه عقارب الساعة.

لكي لا تشوش الرسم، قمت برسم زوايا لخطين مستقيمين فقط. دعونا نفكر في الخط "الأحمر" وانحداره. ووفقاً لما سبق: (يُشار إلى زاوية "ألفا" بقوس أخضر). بالنسبة للخط المستقيم "الأزرق" مع معامل الزاوية، تكون المساواة صحيحة (يُشار إلى زاوية "بيتا" بقوس بني). وإذا كان ظل الزاوية معروفا، فمن السهل العثور عليه إذا لزم الأمر والزاوية نفسهاباستخدام الدالة العكسية - ظل قوسي. كما يقولون، طاولة مثلثية أو آلة حاسبة صغيرة في يديك. هكذا، يميز المعامل الزاوي درجة ميل الخط المستقيم إلى محور الإحداثي السيني.

الحالات التالية ممكنة:

1) إذا كان الميل سالبًا: فإن الخط، بشكل تقريبي، ينتقل من الأعلى إلى الأسفل. ومن الأمثلة على ذلك الخطوط المستقيمة "الزرقاء" و"التوتية" في الرسم.

2) إذا كان الميل موجباً: فإن الخط يمتد من الأسفل إلى الأعلى. أمثلة - الخطوط المستقيمة "السوداء" و"الحمراء" في الرسم.

3) إذا كان الميل صفراً فإن المعادلة تأخذ الصورة ويكون المستقيم المقابل موازياً للمحور. مثال على ذلك الخط المستقيم "الأصفر".

4) بالنسبة لعائلة الخطوط الموازية للمحور (لا يوجد مثال في الرسم باستثناء المحور نفسه) فإن المعامل الزاوي غير موجود (لم يتم تعريف ظل 90 درجة).

كلما زاد معامل الميل في القيمة المطلقة، زاد انحدار الرسم البياني للخط المستقيم..

على سبيل المثال، النظر في خطين مستقيمين. ومن ثم، فإن الخط المستقيم هنا له ميل أكثر انحدارًا. اسمحوا لي أن أذكرك أن الوحدة تسمح لك بتجاهل الإشارة التي نحن مهتمون بها فقط القيم المطلقةالمعاملات الزاوية.

وفي المقابل، الخط المستقيم أكثر انحدارًا من الخطوط المستقيمة .

وعلى العكس من ذلك: كلما كان معامل الميل أصغر في القيمة المطلقة، كلما كان الخط المستقيم أكثر استواءً.

للخطوط المستقيمة المتباينة صحيحة، وبالتالي فإن الخط المستقيم أكثر استواءً. شريحة الأطفال حتى لا تسبب لك كدمات وصدمات.

لماذا هذا ضروري؟

إطالة عذابك تتيح لك معرفة الحقائق المذكورة أعلاه أن ترى على الفور أخطائك، على وجه الخصوص، الأخطاء عند إنشاء الرسوم البيانية - إذا تبين أن الرسم "خطأ بشكل واضح". من المستحسن أن تقوم بذلك حالاكان من الواضح، على سبيل المثال، أن الخط المستقيم شديد الانحدار ويمتد من الأسفل إلى الأعلى، والخط المستقيم مسطح للغاية، مضغوط بالقرب من المحور وينتقل من الأعلى إلى الأسفل.

في المشاكل الهندسية، غالبا ما تظهر عدة خطوط مستقيمة، لذلك من المناسب تعيينها بطريقة أو بأخرى.

التسميات: الخطوط المستقيمة محددة بأحرف لاتينية صغيرة: . أحد الخيارات الشائعة هو تعيينها باستخدام نفس الحرف مع نصوص طبيعية. على سبيل المثال، يمكن الإشارة إلى الأسطر الخمسة التي نظرنا إليها للتو .

بما أن أي خط مستقيم يتم تحديده بشكل فريد بنقطتين، فيمكن الإشارة إليه بالنقاط التالية: إلخ. يشير التعيين بوضوح إلى أن النقاط تنتمي إلى الخط.

حان الوقت للإحماء قليلاً:

كيف تكتب معادلة الخط المستقيم بمعامل الزاوية؟

إذا كانت نقطة تنتمي إلى خط معين معروفة والمعامل الزاوي لهذا الخط، فإن معادلة هذا الخط يتم التعبير عنها بالصيغة:

مثال 1

اكتب معادلة خط مستقيم بمعامل زاوية إذا علم أن النقطة تنتمي إلى هذا الخط المستقيم.

حل: لنقم بتكوين معادلة الخط المستقيم باستخدام الصيغة . في هذه الحالة:

إجابة:

فحصيتم ببساطة. أولًا، ننظر إلى المعادلة الناتجة ونتأكد من أن الميل في مكانه. ثانياً، يجب أن تحقق إحداثيات النقطة هذه المعادلة. دعنا نعوضهم في المعادلة:

ويتم الحصول على المساواة الصحيحة، مما يعني أن النقطة تحقق المعادلة الناتجة.

خاتمة: تم العثور على المعادلة بشكل صحيح.

مثال أكثر صعوبة لحله بنفسك:

مثال 2

اكتب معادلة للخط المستقيم إذا علم أن زاوية ميله إلى الاتجاه الموجب للمحور هي ، وأن النقطة تنتمي إلى هذا الخط المستقيم.

إذا واجهت أي صعوبات، أعد قراءة المادة النظرية. بتعبير أدق، وأكثر عملية، أتخطى الكثير من الأدلة.

دق الجرس الأخير، وانتهى حفل التخرج، وخارج أبواب مدرستنا الأصلية، تنتظرنا الهندسة التحليلية نفسها. انتهت النكتة... أو ربما بدأوا للتو =)

نلوح بقلمنا بحنين للمألوف ونتعرف على المعادلة العامة للخط المستقيم. لأنه في الهندسة التحليلية هذا هو بالضبط ما يستخدم:

المعادلة العامة للخط المستقيم لها الشكل: ، أين بعض الأرقام. وفي الوقت نفسه، المعاملات معًالا تساوي الصفر، لأن المعادلة تفقد معناها.

دعونا نرتدي بدلة ونربط المعادلة بمعامل الميل. أولاً، دعنا ننقل جميع المصطلحات إلى الجانب الأيسر:

يجب وضع المصطلح الذي يحمل علامة "X" في المقام الأول:

من حيث المبدأ، فإن المعادلة لها الشكل بالفعل، ولكن وفقًا لقواعد الآداب الرياضية، يجب أن يكون معامل الحد الأول (في هذه الحالة) موجبًا. علامات التغيير:

تذكر هذه الميزة التقنية!نجعل المعامل الأول (في أغلب الأحيان) إيجابيًا!

في الهندسة التحليلية، تُعطى معادلة الخط المستقيم دائمًا بشكل عام. حسنًا، إذا لزم الأمر، يمكن اختزاله بسهولة إلى النموذج "المدرسة" بمعامل زاوي (باستثناء الخطوط المستقيمة الموازية للمحور الإحداثي).

دعونا نسأل أنفسنا ماذا كافٍتعرف على بناء خط مستقيم؟ نقطتان. ولكن المزيد عن حادثة الطفولة هذه، هي الآن قاعدة العصي بالسهام. كل خط مستقيم له ميل محدد للغاية يسهل "التكيف" معه. المتجه.

يسمى المتجه الموازي لخط ما بمتجه الاتجاه لهذا الخط. من الواضح أن أي خط مستقيم يحتوي على عدد لا حصر له من متجهات الاتجاه، وجميعها ستكون على خط واحد (سواء كانت ذات اتجاه مشترك أم لا - لا يهم).

سأشير إلى متجه الاتجاه كما يلي: .

لكن متجهًا واحدًا لا يكفي لإنشاء خط مستقيم؛ فهو حر وغير مرتبط بأي نقطة على المستوى. لذلك، من الضروري أيضًا معرفة بعض النقاط التي تنتمي إلى الخط.

كيف تكتب معادلة خط مستقيم باستخدام نقطة ومتجه اتجاه؟

إذا كانت نقطة معينة تابعة لخط ومتجه الاتجاه لهذا الخط معروفين، فيمكن تجميع معادلة هذا الخط باستخدام الصيغة:

في بعض الأحيان يطلق عليه المعادلة الكنسية للخط .

ماذا تفعل متى أحد الإحداثياتيساوي صفرًا، سنفهمه في الأمثلة العملية أدناه. بالمناسبة، يرجى ملاحظة - كلاهما في وقت واحدلا يمكن أن تكون الإحداثيات تساوي الصفر، لأن المتجه الصفري لا يحدد اتجاهًا محددًا.

مثال 3

اكتب معادلة الخط المستقيم باستخدام النقطة ومتجه الاتجاه

حل: لنقم بتكوين معادلة الخط المستقيم باستخدام الصيغة. في هذه الحالة:

باستخدام خصائص النسبة نتخلص من الكسور:

ونأتي بالمعادلة إلى صورتها العامة :

إجابة:

كقاعدة عامة، ليست هناك حاجة للرسم في مثل هذه الأمثلة، ولكن من أجل الفهم:

نرى في الرسم نقطة البداية ومتجه الاتجاه الأصلي (يمكن رسمه من أي نقطة على المستوى) والخط المستقيم المبني. بالمناسبة، في كثير من الحالات يكون من الملائم أكثر بناء خط مستقيم باستخدام معادلة ذات معامل زاوي. من السهل تحويل المعادلة إلى صورة وتحديد نقطة أخرى بسهولة لإنشاء خط مستقيم.

كما ذكرنا في بداية الفقرة، يحتوي الخط المستقيم على عدد لا نهائي من متجهات الاتجاه، وكلها على خط واحد. على سبيل المثال، رسمت ثلاثة ناقلات من هذا القبيل: . أيًا كان متجه الاتجاه الذي نختاره، فستكون النتيجة دائمًا هي معادلة الخط المستقيم نفسها.

لنقم بإنشاء معادلة خط مستقيم باستخدام نقطة ومتجه اتجاه:

حل النسبة:

اقسم كلا الطرفين على -2 واحصل على المعادلة المألوفة:

يمكن للمهتمين اختبار المتجهات بنفس الطريقة أو أي ناقل خطي آخر.

الآن دعونا نحل المشكلة العكسية:

كيفية العثور على متجه الاتجاه باستخدام المعادلة العامة للخط المستقيم؟

بسيط جدا:

إذا تم إعطاء خط بمعادلة عامة في نظام إحداثيات مستطيل، فإن المتجه هو متجه الاتجاه لهذا الخط.

أمثلة لإيجاد متجهات الاتجاه للخطوط المستقيمة:

تسمح لنا العبارة بإيجاد متجه اتجاه واحد فقط من عدد لا نهائي، لكننا لا نحتاج إلى المزيد. على الرغم من أنه من المستحسن في بعض الحالات تقليل إحداثيات متجهات الاتجاه:

وبالتالي، تحدد المعادلة خطًا مستقيمًا موازيًا للمحور ويتم تقسيم إحداثيات متجه الاتجاه الناتج بشكل ملائم على -2، للحصول على المتجه الأساسي تمامًا كمتجه الاتجاه. منطقي.

وبالمثل، تحدد المعادلة خطًا مستقيمًا موازيًا للمحور، وبقسمة إحداثيات المتجه على 5، نحصل على متجه أورت باعتباره متجه الاتجاه.

الآن دعونا نفعل ذلك التحقق من المثال 3. لقد ارتفع المثال، لذلك أذكرك أننا قمنا فيه بتجميع معادلة الخط المستقيم باستخدام نقطة ومتجه الاتجاه

أولاًباستخدام معادلة الخط المستقيم نعيد بناء متجه اتجاهه: - كل شيء على ما يرام، لقد تلقينا المتجه الأصلي (في بعض الحالات قد تكون النتيجة متجهًا خطيًا واحدًا إلى المتجه الأصلي، وعادة ما يكون من السهل ملاحظة ذلك من خلال تناسب الإحداثيات المقابلة).

ثانيًا، يجب أن تحقق إحداثيات النقطة المعادلة. نعوضهم في المعادلة:

لقد تم الحصول على المساواة الصحيحة، وهو ما نحن سعداء به للغاية.

خاتمة: تم إكمال المهمة بشكل صحيح.

مثال 4

اكتب معادلة الخط المستقيم باستخدام النقطة ومتجه الاتجاه

هذا مثال لك لحله بنفسك. الحل والجواب في نهاية الدرس . يُنصح بشدة بالتحقق من استخدام الخوارزمية التي تمت مناقشتها للتو. حاول دائمًا (إن أمكن) التحقق من المسودة. من الغباء ارتكاب أخطاء يمكن تجنبها بنسبة 100%.

في حالة كون أحد إحداثيات متجه الاتجاه صفرًا، تابع بكل بساطة:

مثال 5

حل: الصيغة غير مناسبة لأن المقام على الجانب الأيمن هو صفر. هناك مخرج! باستخدام خصائص التناسب، نعيد كتابة الصيغة في النموذج، ويتم تمرير الباقي على طول مسار عميق:

إجابة:

فحص:

1) استعادة المتجه الموجه للخط المستقيم:
- المتجه الناتج على خط واحد مع متجه الاتجاه الأصلي.

2) عوّض بإحداثيات النقطة في المعادلة:

يتم الحصول على المساواة الصحيحة

خاتمة: المهمة اكتملت بشكل صحيح

السؤال الذي يطرح نفسه هو لماذا تهتم بالصيغة إذا كانت هناك نسخة عالمية ستعمل على أي حال؟ هناك سببان. أولا، الصيغة في شكل كسر تذكر أفضل بكثير. وثانيًا، عيب الصيغة الشاملة هو ذلك يزداد خطر الخلط بشكل كبيرعند استبدال الإحداثيات.

مثال 6

اكتب معادلة الخط المستقيم باستخدام النقطة ومتجه الاتجاه.

هذا مثال لك لحله بنفسك.

ولنعد إلى النقطتين الشائعتين:

كيف تكتب معادلة خط مستقيم باستخدام نقطتين؟

إذا عرفت نقطتان، فيمكن تجميع معادلة الخط المستقيم الذي يمر بهذه النقاط باستخدام الصيغة:

في الواقع، هذا نوع من الصيغة، وهذا هو السبب: إذا كانت نقطتان معروفتين، فسيكون المتجه هو متجه الاتجاه للخط المحدد. في الدرس ناقلات للدمىلقد نظرنا في أبسط مشكلة - كيفية العثور على إحداثيات المتجه من نقطتين. وفقا لهذه المشكلة، فإن إحداثيات متجه الاتجاه هي:

ملحوظة : يمكن "تبديل" النقاط واستخدام الصيغة . مثل هذا الحل سيكون معادلاً.

مثال 7

اكتب معادلة الخط المستقيم باستخدام نقطتين .

حل: نستخدم الصيغة:

تمشيط القواسم:

وخلط سطح السفينة:

لقد حان الوقت للتخلص من الأعداد الكسرية. في هذه الحالة، عليك أن تضرب كلا الطرفين في 6:

افتح القوسين وتذكر المعادلة:

إجابة:

فحصواضح - يجب أن تحقق إحداثيات النقاط الأولية المعادلة الناتجة:

1) استبدل إحداثيات النقطة:

المساواة الحقيقية.

2) استبدل إحداثيات النقطة:

المساواة الحقيقية.

خاتمة: معادلة الخط مكتوبة بشكل صحيح.

لو مرة على الأقلمن النقاط لا تلبي المعادلة، ابحث عن الخطأ.

ومن الجدير بالذكر أن التحقق الرسومي في هذه الحالة أمر صعب، حيث أن بناء خط مستقيم ومعرفة ما إذا كانت النقاط تنتمي إليه ، ليس بسيط جدا.

سأشير إلى بعض الجوانب التقنية الأخرى للحل. ربما يكون من المربح في هذه المشكلة استخدام صيغة المرآة وفي نفس النقاط اصنع معادلة:

كسور أقل. إذا أردت، يمكنك تنفيذ الحل حتى النهاية، ويجب أن تكون النتيجة نفس المعادلة.

النقطة الثانية هي النظر إلى الإجابة النهائية ومعرفة ما إذا كان من الممكن تبسيطها أكثر؟ على سبيل المثال، إذا حصلت على المعادلة، فمن المستحسن تقليلها بمقدار اثنين: – ستحدد المعادلة نفس الخط المستقيم. ومع ذلك، هذا هو بالفعل موضوع للحديث عنه الوضع النسبي للخطوط.

بعد أن تلقى الجواب في المثال 7، فقط في حالة التحقق مما إذا كانت جميع معاملات المعادلة قابلة للقسمة على 2 أو 3 أو 7. على الرغم من أنه في أغلب الأحيان يتم إجراء هذه التخفيضات أثناء الحل.

مثال 8

اكتب معادلة الخط الذي يمر بالنقاط .

هذا مثال لحل مستقل، والذي سيسمح لك بفهم تقنيات الحساب وممارستها بشكل أفضل.

على غرار الفقرة السابقة: إذا كان في الصيغة يصبح أحد المقامات (إحداثي متجه الاتجاه) صفراً، ثم نعيد كتابته على الصورة. مرة أخرى، لاحظ كيف تبدو محرجة ومربكة. لا أرى فائدة كبيرة من إعطاء أمثلة عملية، لأننا قد قمنا بالفعل بحل هذه المشكلة (انظر رقم 5، 6).

ناقل عادي مباشر (ناقل عادي)

ما هو الطبيعي؟ بكلمات بسيطة، العادي هو عمودي. أي أن المتجه الطبيعي لخط ما يكون عموديًا على خط معين. من الواضح أن أي خط مستقيم يحتوي على عدد لا نهائي منها (بالإضافة إلى متجهات الاتجاه)، وجميع المتجهات العادية للخط المستقيم ستكون على خط مستقيم (سواء كانت متجهة في الاتجاه أم لا، فلا فرق).

سيكون التعامل معها أسهل من التعامل مع المتجهات الإرشادية:

إذا تم إعطاء خط بمعادلة عامة في نظام إحداثي مستطيل، فإن المتجه هو المتجه الطبيعي لهذا الخط.

إذا كان لا بد من "سحب" إحداثيات متجه الاتجاه بعناية من المعادلة، فيمكن ببساطة "إزالة" إحداثيات المتجه العادي.

يكون المتجه العادي دائمًا متعامدًا مع متجه الاتجاه للخط. دعونا نتحقق من تعامد هذه المتجهات باستخدام المنتج نقطة:

سأقدم أمثلة بنفس المعادلات الخاصة بمتجه الاتجاه:

هل من الممكن بناء معادلة خط مستقيم بمعلومية نقطة واحدة ومتجه عادي؟ أشعر بذلك في أمعائي، هذا ممكن. إذا كان المتجه العادي معروفًا، فإن اتجاه الخط المستقيم نفسه محدد بوضوح - وهذا "هيكل صلب" بزاوية 90 درجة.

كيف تكتب معادلة خط مستقيم بمعلومية نقطة ومتجه عادي؟

إذا كانت نقطة معينة تابعة لخط ومتجه عادي لهذا الخط معروفة، فإن معادلة هذا الخط يتم التعبير عنها بالصيغة:

لقد نجح كل شيء هنا بدون كسور ومفاجآت أخرى. هذا هو ناقلنا الطبيعي. أحبه. والاحترام =)

مثال 9

اكتب معادلة خط مستقيم بمعلومية نقطة ومتجه عادي. أوجد متجه الاتجاه للخط.

حل: نستخدم الصيغة:

تم الحصول على المعادلة العامة للخط المستقيم، دعونا نتحقق من ذلك:

1) "أزل" إحداثيات المتجه العادي من المعادلة: – نعم، بالفعل تم الحصول على المتجه الأصلي من الشرط (أو يجب الحصول على متجه خطي متداخل).

2) دعونا نتحقق مما إذا كانت النقطة تحقق المعادلة:

المساواة الحقيقية.

وبعد أن نقتنع بأن المعادلة مركبة بشكل صحيح، سنكمل الجزء الثاني الأسهل من المهمة. نخرج المتجه الموجه للخط المستقيم:

إجابة:

في الرسم يبدو الوضع كما يلي:

لأغراض التدريب، مهمة مماثلة لحلها بشكل مستقل:

مثال 10

اكتب معادلة خط مستقيم بمعلومية نقطة ومتجه عادي. أوجد متجه الاتجاه للخط.

سيتم تخصيص القسم الأخير من الدرس لأنواع أقل شيوعًا، ولكنها مهمة أيضًا من معادلات الخط على المستوى

معادلة الخط المستقيم في القطاعات.
معادلة الخط في شكل حدودي

معادلة الخط المستقيم في القطع لها الشكل حيث الثوابت غير الصفرية. لا يمكن تمثيل بعض أنواع المعادلات بهذه الصورة، على سبيل المثال، التناسب المباشر (نظرًا لأن الحد الحر يساوي صفرًا ولا توجد طريقة للحصول على واحد في الطرف الأيمن).

وهذا، مجازيًا، نوع من المعادلات "التقنية". تتمثل المهمة الشائعة في تمثيل المعادلة العامة للخط كمعادلة لخط مقسم إلى شرائح. كيف هي مريحة؟ تتيح لك معادلة الخط المقسم العثور بسرعة على نقاط تقاطع الخط مع محاور الإحداثيات، وهو ما قد يكون مهمًا جدًا في بعض مشكلات الرياضيات العليا.

دعونا نجد نقطة تقاطع الخط مع المحور. نعيد تعيين "y" إلى الصفر، وتأخذ المعادلة الشكل . يتم الحصول على النقطة المطلوبة تلقائيا: .

الشيء نفسه مع المحور - النقطة التي يتقاطع عندها الخط المستقيم مع المحور الإحداثي.

المعادلات الأساسية لخط في الفضاء هي معادلات تحدد خطًا يمر عبر نقطة معينة على خط واحد مع متجه الاتجاه.

دعونا نعطي نقطة ومتجه الاتجاه. نقطة تعسفية تقع على الخط لفقط إذا كانت المتجهات و على خط واحد، أي أن الشرط قد تحقق لها:

.

المعادلات المذكورة أعلاه هي المعادلات القانونية للخط المستقيم.

أعداد م , نو صهي إسقاطات لمتجه الاتجاه على محاور الإحداثيات. بما أن المتجه ليس صفراً، إذن كل الأرقام م , نو صلا يمكن أن يساوي الصفر في نفس الوقت. ولكن واحد أو اثنين منهم قد يكون صفراً. في الهندسة التحليلية، على سبيل المثال، يُسمح بالإدخال التالي:

,

مما يعني أن إسقاطات المتجه على المحور أويو أوزتساوي الصفر. ولذلك، فإن كلا من المتجه والخط المستقيم المحددين بالمعادلات القانونية متعامدان مع المحورين أويو أوز، أي الطائرات يوز .

مثال 1.اكتب معادلات لخط مستقيم في الفضاء عمودي على المستوى ويمر بنقطة تقاطع هذا المستوى مع المحور أوز .

حل. دعونا نجد نقطة تقاطع هذا المستوى مع المحور أوز. منذ أي نقطة تقع على المحور أوز، لها إحداثيات، بافتراض المعادلة المحددة للمستوى س = ص = 0، نحصل على 4 ض- 8 = 0 أو ض= 2 . وبالتالي فإن نقطة تقاطع هذا المستوى مع المحور أوزله إحداثيات (0; 0; 2). بما أن الخط المطلوب عمودي على المستوى، فإنه يوازي متجهه الطبيعي. ولذلك، فإن المتجه الموجه للخط المستقيم يمكن أن يكون المتجه العادي طائرة معينة.

والآن دعونا نكتب المعادلات المطلوبة لخط مستقيم يمر بنقطة ما أ= (0; 0; 2) في اتجاه المتجه:

معادلات الخط الذي يمر عبر نقطتين معينتين

يمكن تعريف الخط المستقيم بنقطتين تقعان عليه و في هذه الحالة، يمكن أن يكون المتجه الموجه للخط المستقيم هو المتجه. ثم تأخذ المعادلات القانونية للخط الشكل

.

تحدد المعادلات المذكورة أعلاه خطًا يمر عبر نقطتين محددتين.

مثال 2.اكتب معادلة للخط المستقيم في الفضاء الذي يمر بالنقطتين و .

حل. ولنكتب المعادلات المطلوبة للخط المستقيم بالشكل الموضح أعلاه في المرجع النظري:

.

وبما أن الخط المستقيم المطلوب يكون عموديًا على المحور أوي .

مستقيم كخط تقاطع الطائرات

يمكن تعريف الخط المستقيم في الفضاء بأنه خط تقاطع مستويين غير متوازيين، أي كمجموعة من النقاط التي تحقق نظامًا من معادلتين خطيتين

تسمى معادلات النظام أيضًا المعادلات العامة للخط المستقيم في الفضاء.

مثال 3.إنشاء معادلات قانونية لخط في الفضاء تعطى بواسطة المعادلات العامة

حل. لكتابة المعادلات الأساسية لخط ما، أو ما شابه ذلك، معادلات خط يمر عبر نقطتين محددتين، عليك إيجاد إحداثيات أي نقطتين على الخط. ويمكن أن تكون نقاط تقاطع خط مستقيم مع أي مستويين إحداثيين، على سبيل المثال يوزو xOz .

نقطة تقاطع الخط والمستوى يوزلديه الإحداثي السيني س= 0 . ولذلك، على افتراض في هذا النظام من المعادلات س= 0، نحصل على نظام بمتغيرين:

قرارها ذ = 2 , ض= 6 معًا س= 0 يحدد نقطة أ(0، 2، 6) السطر المطلوب. ثم بافتراض نظام المعادلات المعطى ذ= 0 نحصل على النظام

قرارها س = -2 , ض= 0 معًا ذ= 0 يحدد نقطة ب(-2; 0; 0) تقاطع خط مع مستوى xOz .

الآن دعونا نكتب معادلات الخط الذي يمر عبر النقاط أ(0؛ 2؛ 6) و ب (-2; 0; 0) :

,

أو بعد قسمة المقامات على -2:

,

تم العثور على الخط الذي يمر عبر النقطة K(x 0 ; y 0) والموازي للخط y = kx + a بالصيغة:

ص - ص 0 = ك(س - س 0) (1)

حيث k هو ميل الخط

الصيغة البديلة:
الخط الذي يمر بالنقطة M 1 (x 1 ; y 1) ويوازي الخط Ax+By+C=0 يمثل بالمعادلة

أ(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

المثال رقم 2. اكتب معادلة الخط الموازي للمستقيم 2x + 5y = 0 وكوّن مع محاور الإحداثيات مثلثًا مساحته 5.
حل . بما أن الخطوط متوازية، فإن معادلة الخط المطلوب هي 2x + 5y + C = 0. مساحة المثلث القائم الزاوية، حيث a و b هما ساقيه. لنجد نقاط تقاطع الخط المطلوب مع محاور الإحداثيات:
;
.
لذلك، أ(-C/2,0)، ب(0،-C/5). دعنا نستبدلها في صيغة المساحة: . نحصل على حلين: 2x + 5y + 10 = 0 و 2x + 5y – 10 = 0.

المثال رقم 3. اكتب معادلة للمستقيم الذي يمر بالنقطة (-2; 5) ويوازي الخط 5x-7y-4=0.
حل. يمكن تمثيل هذا الخط المستقيم بالمعادلة y = 5 / 7 x – 4 / 7 (هنا a = 5 / 7). معادلة الخط المطلوب هي y – 5 = 5 / 7 (x – (-2))، أي. 7(y-5)=5(x+2) أو 5x-7y+45=0 .

المثال رقم 4. بعد حل المثال 3 (A=5، B=-7) باستخدام الصيغة (2)، نجد 5(x+2)-7(y-5)=0.

المثال رقم 5. اكتب معادلة المستقيم الذي يمر بالنقطة (-2;5) ويوازي الخط 7x+10=0.
حل. هنا أ=7، ب=0. الصيغة (2) تعطي 7(x+2)=0، أي. س+2=0. الصيغة (1) غير قابلة للتطبيق، حيث لا يمكن حل هذه المعادلة فيما يتعلق بـ y (هذا الخط المستقيم موازي للمحور الإحداثي).

خواص الخط المستقيم في الهندسة الإقليدية.

يمكن رسم عدد لا نهائي من الخطوط المستقيمة عبر أي نقطة.

من خلال أي نقطتين غير متطابقتين يمكن رسم خط مستقيم واحد.

خطان متباعدان في المستوى إما يتقاطعان في نقطة واحدة أو يتقاطعان

بالتوازي (يتبع من السابق).

في الفضاء ثلاثي الأبعاد، هناك ثلاثة خيارات للموضع النسبي لخطين:

• تتقاطع الخطوط؛

• الخطوط متوازية.

• تتقاطع الخطوط المستقيمة.

مستقيم خط— منحنى جبري من الدرجة الأولى: خط مستقيم في نظام الإحداثيات الديكارتية

يتم إعطاؤه على المستوى بمعادلة من الدرجة الأولى (معادلة خطية).

المعادلة العامة للخط المستقيم.

تعريف. يمكن تحديد أي خط مستقيم على المستوى بمعادلة من الدرجة الأولى

الفأس + وو + C = 0،

وثابت أ، بلا تساوي الصفر في نفس الوقت. تسمى هذه المعادلة من الدرجة الأولى عام

معادلة الخط المستقيم.اعتمادا على قيم الثوابت أ، بو معالحالات الخاصة التالية ممكنة:

. ج = 0، أ ≠0، ب ≠ 0- يمر خط مستقيم بنقطة الأصل

. أ = 0، ب ≠0، ج ≠0 (بواسطة + ج = 0)- خط مستقيم موازي للمحور أوه

. ب = 0، أ ≠0، ج ≠ 0 (الفأس + ج = 0)- خط مستقيم موازي للمحور الوحدة التنظيمية

. ب = ج = 0، أ ≠0- الخط المستقيم يتطابق مع المحور الوحدة التنظيمية

. أ = ج = 0، ب ≠0- الخط المستقيم يتطابق مع المحور أوه

يمكن تقديم معادلة الخط المستقيم بأشكال مختلفة اعتمادًا على أي منها

الشروط الأولية.

معادلة الخط المستقيم من نقطة والمتجه العادي.

تعريف. في نظام الإحداثيات الديكارتي المستطيل، متجه ذو مكونات (A، B)

عمودي على الخط الذي تعطيه المعادلة

الفأس + وو + C = 0.

مثال. أوجد معادلة الخط الذي يمر بنقطة أ(1، 2)عمودي على المتجه (3, -1).

حل. مع A = 3 وB = -1، دعونا نكتب معادلة الخط المستقيم: 3x - y + C = 0. لإيجاد المعامل C

لنعوض بإحداثيات النقطة A المعطاة في التعبير الناتج، وبذلك نحصل على: 3 - 2 + C = 0

ج = -1. المجموع: المعادلة المطلوبة: 3س - ص - 1 = 0.

معادلة الخط الذي يمر بنقطتين.

دعونا نعطي نقطتين في الفضاء م 1 (س 1 ، ص 1 ، ض 1)و م2 (س 2، ص 2، ض 2)،ثم معادلة الخط,

المرور عبر هذه النقاط:

إذا كان أي من المقامات يساوي صفرًا، فيجب أن يكون البسط المقابل مساويًا للصفر. على

المستوى، تم تبسيط معادلة الخط المستقيم المكتوبة أعلاه:

لو × 1 ≠ × 2و س = س 1، لو × 1 = × 2 .

جزء = كمُسَمًّى ميل مستقيم.

مثال. أوجد معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين A(1, 2) وB(3, 4).

حل. وبتطبيق الصيغة المكتوبة أعلاه نحصل على:

معادلة الخط المستقيم باستخدام النقطة والمنحدر.

إذا كانت المعادلة العامة للخط الفأس + وو + C = 0تؤدي:

وتعيين ، ثم تسمى المعادلة الناتجة

معادلة الخط المستقيم وميله k.

معادلة الخط المستقيم من نقطة ومتجه الاتجاه.

قياسا على النقطة التي تفكر في معادلة خط مستقيم من خلال المتجه العادي، يمكنك إدخال المهمة

خط مستقيم عبر نقطة ومتجه توجيه لخط مستقيم.

تعريف. كل ناقل غير الصفر (α 1 ، α 2)والتي تكون مكوناتها مستوفية للشرط

أألفا 1 + بألفا 2 = 0مُسَمًّى توجيه متجه لخط مستقيم.

الفأس + وو + C = 0.

مثال. أوجد معادلة الخط المستقيم الذي له متجه اتجاه (1، -1) ويمر بالنقطة A(1، 2).

حل. سنبحث عن معادلة الخط المطلوب بالشكل: الفأس + بواسطة + C = 0.وفقا للتعريف ،

يجب أن تستوفي المعاملات الشروط التالية:

1 * أ + (-1) * ب = 0، أي. أ = ب.

ثم معادلة الخط المستقيم لها الشكل: الفأس + آي + ج = 0،أو س + ص + ج / أ = 0.

في س = 1، ص = 2نحن نحصل ج/أ = -3، أي. المعادلة المطلوبة:

س + ص - 3 = 0

معادلة الخط المستقيم في القطاعات.

إذا كان في المعادلة العامة للخط المستقيم Аh + Ву + С = 0 С≠0، فبالقسمة على -С نحصل على:

او اين

المعنى الهندسي للمعاملات هو أن المعامل a هو إحداثي نقطة التقاطع

مستقيم مع المحور أوه،أ ب- إحداثيات نقطة تقاطع الخط مع المحور الوحدة التنظيمية.

مثال. يتم إعطاء المعادلة العامة للخط المستقيم س - ص + 1 = 0.أوجد معادلة هذا الخط مقسمة إلى شرائح.

ج = 1، أ = -1، ب = 1.

المعادلة العادية للخط.

إذا كان طرفا المعادلة الفأس + وو + C = 0القسمة على العدد من اتصل

عامل التطبيع، ثم نحصل

xcosφ + ysinφ - ص = 0 -المعادلة العادية للخط.

يجب اختيار علامة ± لعامل التطبيع بحيث μ*ج< 0.

ر- طول العمود الذي يسقط من نقطة الأصل إلى الخط المستقيم،

أ φ - الزاوية التي يشكلها هذا المتعامد مع الاتجاه الموجب للمحور أوه.

مثال. يتم إعطاء المعادلة العامة للخط 12س - 5ص - 65 = 0. مطلوب لكتابة أنواع مختلفة من المعادلات

هذا الخط المستقيم.

معادلة هذا الخط في القطاعات:

معادلة هذا الخط مع الميل: (القسمة على 5)

معادلة الخط:

كوس φ = 12/13؛ خطيئة φ= -5/13; ع = 5.

وتجدر الإشارة إلى أنه ليس كل خط مستقيم يمكن تمثيله بمعادلة مقطعة، على سبيل المثال الخطوط المستقيمة،

موازية للمحاور أو مارة بنقطة الأصل.

الزاوية المحصورة بين الخطوط المستقيمة على المستوى.

تعريف. إذا تم إعطاء سطرين ص = ك 1 س + ب 1 , ص = ك 2 س + ب 2ثم الزاوية الحادة بين هذين الخطين

سيتم تعريفها على أنها

خطان متوازيان إذا ك 1 = ك 2. خطان متعامدان

لو ك 1 = -1/ ك 2 .

نظرية.

مباشر الفأس + وو + C = 0و أ 1 س + ب 1 ص + ج 1 = 0متوازي عندما تكون المعاملات متناسبة

أ 1 = α، ب 1 = κB. إذا أيضا ص 1 = ك، ثم تتطابق الخطوط. إحداثيات نقطة تقاطع خطين

تم العثور عليها كحل لنظام معادلات هذه الخطوط.

معادلة المستقيم الذي يمر بنقطة معينة وعمودي على مستقيم معين.

تعريف. خط يمر عبر نقطة م 1 (× 1، ص 1)وعمودي على الخط ص = ك س + ب

ممثلة بالمعادلة:

المسافة من نقطة إلى خط.

نظرية. إذا تم إعطاء نقطة م(س 0، ص 0)،ثم المسافة إلى الخط المستقيم الفأس + وو + C = 0معرف ك:

دليل. دع هذه النقطة م 1 (× 1، ص 1)- قاعدة عمودي سقط من نقطة ما ملاجل منحه

مباشر. ثم المسافة بين النقاط مو م 1:

(1)

الإحداثيات × 1و في 1يمكن إيجادها كحل لنظام المعادلات:

المعادلة الثانية للنظام هي معادلة الخط المستقيم الذي يمر بنقطة معينة M 0 بشكل عمودي

نظرا لخط مستقيم. إذا قمنا بتحويل المعادلة الأولى للنظام إلى الشكل:

أ(س - س 0) + ب(ص - ص 0) + الفأس 0 + بواسطة 0 + ج = 0،

ثم بالحل نحصل على:

وبالتعويض بهذه العبارات في المعادلة (1) نجد:

لقد تم إثبات النظرية.