وجوه المنشور مستطيلة. نظرية مساحة السطح الجانبية للمنشور المستقيم

في المناهج الدراسية لدورة القياس المجسم، تبدأ دراسة الأشكال ثلاثية الأبعاد عادة بجسم هندسي بسيط - متعدد السطوح للمنشور. يتم تنفيذ دور قواعدها بواسطة مضلعين متساويين يقعان في مستويات متوازية. حالة خاصة هي المنشور الرباعي المنتظم. قاعدتاها عبارة عن رباعيين منتظمين متطابقين، تكون أضلاعهما متعامدة، ولها شكل متوازي الأضلاع (أو مستطيلات، إذا كان المنشور غير مائل).

كيف يبدو المنشور؟

المنشور الرباعي المنتظم هو شكل سداسي قاعدته مربعان، وأوجهه الجانبية ممثلة بمستطيلات. اسم آخر لهذا الشكل الهندسي هو متوازي السطوح المستقيم.

يظهر أدناه رسم يوضح المنشور الرباعي الزوايا.

يمكنك أيضا أن ترى في الصورة أهم العناصر التي يتكون منها الجسم الهندسي. وتشمل هذه:

في بعض الأحيان، في المسائل الهندسية، يمكنك أن تصادف مفهوم القسم. سيبدو التعريف كما يلي: القسم هو كل نقاط الجسم الحجمي التي تنتمي إلى مستوى القطع. يمكن أن يكون القسم متعامدًا (يتقاطع مع حواف الشكل بزاوية 90 درجة). بالنسبة للمنشور المستطيل، يؤخذ في الاعتبار أيضًا مقطع قطري (الحد الأقصى لعدد الأقسام التي يمكن بناؤها هو 2)، ويمر عبر حافتين وأقطار القاعدة.

إذا تم رسم المقطع بطريقة لا يكون فيها مستوى القطع موازيًا للقواعد أو للأوجه الجانبية، فإن النتيجة هي منشور مقطوع.

للعثور على العناصر المنشورية المختزلة، يتم استخدام العلاقات والصيغ المختلفة. بعضها معروف من خلال دورة قياس المساحة (على سبيل المثال، للعثور على مساحة قاعدة المنشور، يكفي أن نتذكر صيغة مساحة المربع).

المساحة السطحية والحجم

لتحديد حجم المنشور باستخدام الصيغة، عليك معرفة مساحة قاعدته وارتفاعه:

V = سباس ح

بما أن قاعدة المنشور الرباعي المنتظم هي مربع ذو ضلع أ،يمكنك كتابة الصيغة بشكل أكثر تفصيلاً:

الخامس = أ²·ح

إذا كنا نتحدث عن مكعب - منشور منتظم متساوي في الطول والعرض والارتفاع، يتم حساب الحجم على النحو التالي:

لفهم كيفية العثور على مساحة السطح الجانبية للمنشور، عليك أن تتخيل تطورها.

من الرسم يتبين أن السطح الجانبي يتكون من 4 مستطيلات متساوية. يتم حساب مساحتها كمنتج محيط القاعدة وارتفاع الشكل:

الجانب = بوزن ح

مع الأخذ في الاعتبار أن محيط المربع يساوي ف = 4 أ،الصيغة تأخذ الشكل:

الجانب = 4 أ ح

للمكعب:

الجانب = 4 أ²

لحساب إجمالي مساحة سطح المنشور، تحتاج إلى إضافة منطقتين أساسيتين إلى المساحة الجانبية:

كامل = الجانب + 2Smain

بالنسبة للمنشور المنتظم رباعي الزوايا، تبدو الصيغة كما يلي:

الإجمالي = 4 أ ح + 2 أ²

بالنسبة لمساحة سطح المكعب:

سفول = 6 أ²

بمعرفة الحجم أو مساحة السطح، يمكنك حساب العناصر الفردية لجسم هندسي.

العثور على عناصر المنشور

غالبا ما تكون هناك مشاكل يتم فيها إعطاء الحجم أو معرفة قيمة مساحة السطح الجانبية، حيث من الضروري تحديد طول جانب القاعدة أو الارتفاع. في مثل هذه الحالات، يمكن اشتقاق الصيغ:

• طول الجانب الأساسي: أ = الجانب / 4h = √(V / h);
• الارتفاع أو طول الضلع الجانبي: ح = الجانب / 4أ = الخامس / أ²؛
• منطقة قاعدة: سباس = الخامس / ح؛
• منطقة الوجه الجانبية: جانب غرام = الجانب / 4.

لتحديد مقدار مساحة القسم القطري، عليك معرفة طول القطر وارتفاع الشكل. لمربع د = أ√2.لذلك:

سديج = اه√2

لحساب قطر المنشور، استخدم الصيغة:

dprize = √(2a² + h²)

لفهم كيفية تطبيق العلاقات المعطاة، يمكنك التدرب على عدة مهام بسيطة وحلها.

أمثلة على المشاكل مع الحلول

فيما يلي بعض المهام الموجودة في الامتحانات النهائية للدولة في الرياضيات.

التمرين 1.

يُسكب الرمل في صندوق على شكل منشور رباعي الزوايا منتظم. ارتفاع مستواها 10 سم، فماذا سيكون مستوى الرمل إذا نقلتها إلى وعاء من نفس الشكل، ولكن بقاعدة يبلغ طولها ضعف ذلك؟

وينبغي أن يكون مسببا على النحو التالي. ولم تتغير كمية الرمل في الوعاءين الأول والثاني، أي أن حجمه فيهما واحد. يمكنك الإشارة إلى طول القاعدة بواسطة أ. في هذه الحالة، بالنسبة للمربع الأول سيكون حجم المادة:

V₁ = هكتار² = 10أ²

بالنسبة للمربع الثاني، طول القاعدة هو 2 ألكن ارتفاع مستوى الرمال غير معروف:

V₂ = ح (2أ)² = 4 هكتار²

بسبب ال V₁ = V₂، يمكننا مساواة التعبيرات:

10 أ² = 4 هكتار²

وبعد تخفيض طرفي المعادلة بمقدار a² نحصل على:

ونتيجة لذلك، سيكون مستوى الرمال الجديد ح = 10 / 4 = 2.5سم.

المهمة 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ هو المنشور الصحيح. ومن المعروف أن BD = AB₁ = 6√2. أوجد المساحة السطحية الكلية للجسم.

لتسهيل فهم العناصر المعروفة، يمكنك رسم الشكل.

بما أننا نتحدث عن منشور منتظم، يمكننا أن نستنتج أنه عند القاعدة يوجد مربع قطره 6√2. قطري الوجه الجانبي له نفس الحجم، وبالتالي فإن الوجه الجانبي له أيضًا شكل مربع يساوي القاعدة. وتبين أن الأبعاد الثلاثة - الطول والعرض والارتفاع - متساوية. يمكننا أن نستنتج أن ABCDA₁B₁C₁D₁ هو مكعب.

يتم تحديد طول أي حافة من خلال قطري معروف:

أ = د / √2 = 6√2 / √2 = 6

تم العثور على إجمالي مساحة السطح باستخدام صيغة المكعب:

كامل = 6 أ² = 6 6² = 216

المهمة 3.

الغرفة قيد التجديد. ومن المعروف أن أرضيته على شكل مربع بمساحة 9 متر مربع. ارتفاع الغرفة 2.5 متر ما هي أقل تكلفة لورق الجدران للغرفة إذا كان 1 متر مربع يكلف 50 روبل؟

وبما أن الأرضية والسقف مربعان، أي رباعيان منتظمان، وجدرانه متعامدة على الأسطح الأفقية، فيمكننا أن نستنتج أنه منشور منتظم. من الضروري تحديد مساحة سطحه الجانبي.

طول الغرفة هو أ = √9 = 3م.

سيتم تغطية المنطقة بورق الجدران الجانب = 4 3 2.5 = 30 م².

ستكون أقل تكلفة لورق الحائط لهذه الغرفة 50·30 = 1500روبل

وبالتالي، لحل المسائل المتعلقة بمنشور مستطيل، يكفي أن تكون قادرًا على حساب مساحة ومحيط المربع والمستطيل، وكذلك معرفة الصيغ الخاصة بإيجاد الحجم ومساحة السطح.

كيفية العثور على مساحة المكعب

التعريف 1. السطح المنشوري
النظرية 1. على المقاطع المتوازية للسطح المنشوري
التعريف 2. المقطع العمودي للسطح المنشوري
التعريف 3. المنشور
التعريف 4. ارتفاع المنشور
التعريف 5. المنشور الصحيح
النظرية 2. مساحة السطح الجانبي للمنشور

متوازي الأضلاع:
التعريف 6. متوازي الأضلاع
النظرية 3. عند تقاطع أقطار متوازي السطوح
التعريف 7. متوازي السطوح الأيمن
التعريف 8. متوازي مستطيل
التعريف 9. قياسات متوازي السطوح
التعريف 10. المكعب
التعريف 11. معيني الشكل
النظرية 4. على أقطار متوازي مستطيلات
النظرية 5. حجم المنشور
النظرية 6. حجم المنشور المستقيم
النظرية 7. حجم متوازي السطوح المستطيل

نشور زجاجيهو متعدد السطوح يقع وجهاه (قاعدتاه) في مستويات متوازية، وتكون الحواف التي لا تقع في هذه الوجوه متوازية مع بعضها البعض.
وتسمى وجوه غير القواعد جانبي.
تسمى جوانب الوجوه الجانبية والقواعد أضلاع المنشور، تسمى نهايات الحواف رؤوس المنشور. الأضلاع الجانبيةتسمى الحواف التي لا تنتمي إلى القواعد. يسمى اتحاد الوجوه الجانبية السطح الجانبي للمنشور، ويسمى اتحاد جميع الوجوه كامل سطح المنشور. ارتفاع المنشورويسمى العمودي المسقط من نقطة القاعدة العليا إلى مستوى القاعدة السفلية أو طول هذا العمود. المنشور المستقيميسمى المنشور الذي تكون حوافه الجانبية متعامدة مع مستويات قاعدتيه. صحيحيسمى المنشور المستقيم (الشكل 3)، والذي يوجد في قاعدته مضلع منتظم.

التسميات:
ل - الضلع الجانبي.
ف - محيط القاعدة؛
S o - منطقة القاعدة؛
ح - الارتفاع
P^ - محيط القسم العمودي؛
S ب - مساحة السطح الجانبية؛
الخامس - الحجم؛
S p هي مساحة السطح الكلي للمنشور.

التعريف 2 . المقطع العمودي لسطح منشوري هو جزء من هذا السطح بمستوى عمودي على حوافه. استنادا إلى النظرية السابقة، فإن جميع المقاطع المتعامدة لنفس السطح المنشوري ستكون مضلعات متساوية.

التعريف 3 . المنشور هو متعدد السطوح يحده سطح منشوري ومستويان متوازيان مع بعضهما البعض (لكن ليسا متوازيين مع حواف السطح المنشوري)
يتم استدعاء الوجوه الموجودة في هذه الطائرات الأخيرة قواعد المنشور; وجوه تنتمي إلى السطح المنشوري - وجوه جانبية; حواف السطح المنشوري - الأضلاع الجانبية للمنشور. وبحكم النظرية السابقة فإن قاعدة المنشور هي مضلعات متساوية. جميع الوجوه الجانبية للمنشور - متوازي الأضلاع; جميع الأضلاع الجانبية متساوية مع بعضها البعض.
من الواضح أنه إذا تم إعطاء قاعدة المنشور ABCDE وأحد الحواف AA" من حيث الحجم والاتجاه، فمن الممكن بناء المنشور عن طريق رسم الحواف BB"، CC"، ... متساوية وموازية للحافة AA" .

التعريف 4 . ارتفاع المنشور هو المسافة بين مستويات قاعدتيه (HH").

التعريف 5 . يسمى المنشور مستقيماً إذا كانت قاعدته مقاطع متعامدة من السطح المنشوري. في هذه الحالة، ارتفاع المنشور هو بالطبع ارتفاعه الضلع الجانبي; ستكون الحواف الجانبية المستطيلات.
يمكن تصنيف المنشورات حسب عدد الأوجه الجانبية التي تساوي عدد أضلاع المضلع الذي يشكل قاعدته. وبالتالي، يمكن أن يكون المنشور ثلاثيًا، أو رباعي الزوايا، أو خماسيًا، وما إلى ذلك.

النظرية 2 . مساحة السطح الجانبي للمنشور تساوي ناتج الحافة الجانبية ومحيط المقطع العمودي.
لنفترض أن ABCDEA"B"C"D"E" يكون منشورًا محددًا ويفصل قسمه المتعامد، بحيث تكون القطع ab، bc، .. متعامدة مع حوافها الجانبية. الوجه ABA"B" هو متوازي أضلاع، ومساحته يساوي ناتج القاعدة AA " إلى الارتفاع الذي يتطابق مع ab؛ مساحة الوجه ВСВ "С" تساوي حاصل ضرب القاعدة ВВ" في الارتفاع قبل الميلاد، وما إلى ذلك. وبالتالي، فإن السطح الجانبي (أي مجموع مساحات الأوجه الجانبية) يساوي حاصل الضرب للحافة الجانبية، وبعبارة أخرى، الطول الإجمالي للقطاعات AA"، ВВ"، ..، للمبلغ ab+bc+cd+de+ea.

تعريف.

هذا شكل سداسي، قاعدتاه مربعان متساويان، وأضلاعه مستطيلات متساوية

ضلع جانبي- هو الضلع المشترك لوجهين متجاورين

ارتفاع المنشور- هذه القطعة متعامدة مع قاعدتي المنشور

المنشور قطري- قطعة تربط بين رأسين من القواعد التي لا تنتمي إلى نفس الوجه

طائرة قطرية- المستوى الذي يمر عبر قطري المنشور وحوافه الجانبية

قسم قطري- حدود تقاطع المنشور والمستوى القطري. المقطع العرضي القطري للمنشور الرباعي المنتظم مستطيل

القسم العمودي (القسم المتعامد)- هذا هو تقاطع المنشور والمستوى المرسوم بشكل عمودي على حوافه الجانبية

عناصر المنشور الرباعي المنتظم

يوضح الشكل منشورين رباعيين منتظمين، يُشار إليهما بالحروف المقابلة:

• القاعدتان ABCD و A 1 B 1 C 1 D 1 متساويتان ومتوازيتان مع بعضهما البعض
• الوجوه الجانبية AA 1 D 1 D و AA 1 B 1 B و BB 1 C 1 C و CC 1 D 1 D وكل منها مستطيل
• السطح الجانبي - مجموع مساحات جميع الوجوه الجانبية للمنشور
• إجمالي السطح - مجموع مساحات جميع القواعد والأوجه الجانبية (مجموع مساحة السطح الجانبي والقواعد)
• الأضلاع الجانبية AA 1، BB 1، CC 1 و DD 1.
• قطري ب 1 د
• قاعدة قطرية BD
• القسم القطري BB 1 D 1 D
• المقطع العمودي أ 2 ب 2 ج 2 د 2.

خصائص المنشور الرباعي المنتظم

• القاعدتان عبارة عن مربعين متساويين
• القواعد متوازية مع بعضها البعض
• الوجوه الجانبية مستطيلة
• الحواف الجانبية متساوية مع بعضها البعض
• الوجوه الجانبية متعامدة مع القواعد
• الأضلاع الجانبية متوازية مع بعضها البعض ومتساوية
• مقطع عمودي متعامد على جميع الأضلاع الجانبية ومتوازي مع القواعد
• زوايا المقطع المتعامد - مستقيمة
• المقطع العرضي القطري للمنشور الرباعي المنتظم مستطيل
• عمودي (مقطع متعامد) موازي للقواعد

صيغ المنشور الرباعي المنتظم

تعليمات لحل المشاكل

المنشور الصحيح- منشور يوجد في قاعدته مضلع منتظم، وتكون حوافه الجانبية متعامدة مع مستويات القاعدة. أي أن المنشور الرباعي المنتظم يحتوي على قاعدته مربع. (انظر خصائص المنشور الرباعي المنتظم أعلاه) ملحوظة. هذا جزء من درس يتعلق بالمسائل الهندسية (قسم القياس المجسم - المنشور). وهنا المشاكل التي يصعب حلها. إذا كنت بحاجة إلى حل مشكلة هندسية غير موجودة هنا، فاكتب عنها في المنتدى. للدلالة على إجراء استخراج الجذر التربيعي في حل المشاكل، يتم استخدام الرمز√ .

مهمة.

يشكل قطر المنشور المنتظم مثلثًا قائمًا بقطر القاعدة وارتفاع المنشور. وفقًا لذلك، وفقًا لنظرية فيثاغورس، فإن قطر المنشور الرباعي المنتظم المعطى سيكون مساويًا لـ:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 سم

إجابة: 22 سم

مهمة

حل.
بما أن قاعدة المنشور الرباعي المنتظم هي مربع، فإننا نجد جانب القاعدة (يشار إليه بـ a) باستخدام نظرية فيثاغورس:

أ 2 + أ 2 = 5 2
2أ 2 = 25
أ = √12.5

سيكون ارتفاع الوجه الجانبي (المشار إليه بـ h) مساويًا لـ:

ح 2 + 12.5 = 4 2
ح 2 + 12.5 = 16
ح 2 = 3.5
ح = √3.5

ستكون مساحة السطح الإجمالية مساوية لمجموع مساحة السطح الجانبية ومرتين مساحة القاعدة

ق = 2 أ 2 + 4 آه
س = 25 + 4√12.5 * √3.5
ص = 25 + 4√43.75
ص = 25 + 4√(175/4)
ص = 25 + 4√(7*25/4)
ق = 25 + 10√7 ≈ 51.46 سم2.

الإجابة: 25 + 10√7 ≈ 51.46 سم2.

تتضمن دورة الفيديو "احصل على A" جميع المواضيع اللازمة لاجتياز اختبار الدولة الموحدة في الرياضيات بنجاح مع 60-65 نقطة. أكمل جميع المهام من 1 إلى 13 من امتحان الحالة الموحدة للملف التعريفي في الرياضيات. مناسب أيضًا لاجتياز امتحان الدولة الموحدة الأساسي في الرياضيات. إذا كنت ترغب في اجتياز امتحان الدولة الموحدة برصيد 90-100 نقطة، فأنت بحاجة إلى حل الجزء الأول في 30 دقيقة وبدون أخطاء!

دورة تحضيرية لامتحان الدولة الموحدة للصفوف 10-11 وكذلك للمعلمين. كل ما تحتاجه لحل الجزء الأول من امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات (أول 12 مسألة) والمسألة 13 (علم المثلثات). وهذا أكثر من 70 نقطة في امتحان الدولة الموحدة، ولا يستطيع طالب 100 نقطة ولا طالب العلوم الإنسانية الاستغناء عنها.

كل النظرية اللازمة. الحلول السريعة والمزالق وأسرار امتحان الدولة الموحدة. تم تحليل جميع المهام الحالية للجزء الأول من بنك مهام FIPI. تتوافق الدورة تمامًا مع متطلبات امتحان الدولة الموحدة 2018.

تحتوي الدورة على 5 مواضيع كبيرة، مدة كل منها 2.5 ساعة. يتم تقديم كل موضوع من الصفر، ببساطة ووضوح.

المئات من مهام امتحان الدولة الموحدة. المسائل اللفظية ونظرية الاحتمالات. خوارزميات بسيطة وسهلة التذكر لحل المشكلات. الهندسة. النظرية والمواد المرجعية وتحليل جميع أنواع مهام امتحان الدولة الموحدة. القياس المجسم. حلول صعبة، أوراق غش مفيدة، تطوير الخيال المكاني. علم المثلثات من الصفر إلى المشكلة 13. الفهم بدلا من الحشر. تفسيرات واضحة للمفاهيم المعقدة. الجبر. الجذور والقوى واللوغاريتمات والدالة والمشتقات. أساس لحل المشكلات المعقدة للجزء الثاني من امتحان الدولة الموحدة.

محاضرة: المنشور، قواعده، أضلاعه الجانبية، ارتفاعه، سطحه الجانبي؛ المنشور المستقيم المنشور الصحيح

نشور زجاجي

إذا كنت قد تعلمت معنا الأشكال المسطحة من الأسئلة السابقة، فأنت على استعداد تام لدراسة الأشكال ثلاثية الأبعاد. أول مادة صلبة سنتعلمها هي المنشور.

نشور زجاجيهو جسم ثلاثي الأبعاد له عدد كبير من الوجوه.

يحتوي هذا الشكل على مضلعين عند قاعدتيه، ويقعان في مستويات متوازية، وجميع الوجوه الجانبية لها شكل متوازي الأضلاع.

لذلك، دعونا معرفة ما يتكون المنشور. للقيام بذلك، انتبه إلى الشكل 1

كما ذكرنا سابقًا، للمنشور قاعدتان متوازيتان - وهما المضلعان ABCEF وGMNJK. علاوة على ذلك، فإن هذه المضلعات متساوية مع بعضها البعض.

تسمى جميع الوجوه الأخرى للمنشور بأوجه جانبية - وهي تتكون من متوازيات الأضلاع. على سبيل المثال، BMNC، AGKF، FKJE، إلخ.

يسمى السطح الكلي لجميع الوجوه الجانبية السطح الجانبي.

كل زوج من الوجوه المتجاورة له جانب مشترك. هذا الجانب المشترك يسمى الحافة. على سبيل المثال، MV، SE، AB، إلخ.

إذا كانت القاعدة العلوية والسفلية للمنشور متصلتين بشكل متعامد، فسيتم تسميته بارتفاع المنشور. في الشكل، تم تحديد الارتفاع كخط مستقيم OO 1.

هناك نوعان رئيسيان من المنشور: مائل ومستقيم.

إذا كانت الحواف الجانبية للمنشور ليست متعامدة مع القواعد، فإن هذا المنشور يسمى يميل.

إذا كانت جميع حواف المنشور متعامدة مع القواعد، يسمى هذا المنشور مستقيم.

إذا كانت قواعد المنشور تحتوي على مضلعات منتظمة (تلك ذات الجوانب المتساوية)، فإن هذا المنشور يسمى صحيح.

إذا كانت قواعد المنشور ليست متوازية مع بعضها البعض، فسيتم استدعاء هذا المنشور مبتورة.

يمكنك رؤيته في الشكل 2

صيغ للعثور على حجم ومساحة المنشور

هناك ثلاث صيغ أساسية للعثور على الحجم. أنها تختلف عن بعضها البعض في التطبيق:

صيغ مماثلة للعثور على مساحة سطح المنشور: