أوجد طول المحور الرئيسي للقطع الناقص. بناء تعريف خاصية القطع الناقص

منحنيات الدرجة الثانيةعلى المستوى عبارة عن خطوط محددة بمعادلات ينسق فيها المتغير سو ذموجودة في الدرجة الثانية . وتشمل هذه القطع الناقص والقطع الزائد والقطع المكافئ.

الشكل العام لمعادلة منحنى الرتبة الثانية هو كما يلي:

أين أ، ب، ج، د، ه، و- الأرقام وواحد على الأقل من المعاملات أ، ب، جلا يساوي الصفر.

عند حل المسائل ذات المنحنيات من الدرجة الثانية، غالبًا ما يتم أخذ المعادلات الأساسية للقطع الناقص والقطع الزائد والقطع المكافئ في الاعتبار. من السهل الانتقال إليها من المعادلات العامة؛ وسيتم تخصيص المثال الأول لمشاكل القطع الناقص لهذا الغرض.

القطع الناقص الذي تعطى بواسطة المعادلة الأساسية

تعريف القطع الناقص.القطع الناقص هو مجموعة جميع نقاط المستوى التي يكون فيها مجموع المسافات إلى النقاط التي تسمى البؤر قيمة ثابتة أكبر من المسافة بين البؤرتين.

يتم الإشارة إلى التركيز كما في الشكل أدناه.

المعادلة القانونية للقطع الناقص لها الشكل:

أين أو ب (أ > ب) - أطوال أنصاف المحاور، أي نصف أطوال الأجزاء المقطوعة بالقطع الناقص على محاور الإحداثيات.

الخط المستقيم الذي يمر عبر بؤرتي القطع الناقص هو محور تماثله. محور التماثل الآخر للقطع الناقص هو الخط المستقيم الذي يمر عبر منتصف القطعة المتعامدة مع هذه القطعة. نقطة عنتقاطع هذه الخطوط بمثابة مركز التماثل للقطع الناقص أو ببساطة مركز القطع الناقص.

يتقاطع محور الإحداثي السيني للقطع الناقص عند النقاط ( أ, عن) و (- أ, عن)، والمحور الإحداثي بالنقاط ( ب, عن) و (- ب, عن). وتسمى هذه النقاط الأربع رؤوس القطع الناقص. يُطلق على الجزء الواقع بين رؤوس القطع الناقص على المحور السيني اسم المحور الرئيسي، وعلى المحور الإحداثي - المحور الأصغر. تسمى أجزاءها من أعلى إلى مركز القطع الناقص أنصاف المحاور.

لو أ = بفعندئذ تأخذ معادلة القطع الناقص الشكل . هذه هي معادلة الدائرة التي نصف قطرها أوالدائرة هي حالة خاصة من القطع الناقص. يمكن الحصول على القطع الناقص من دائرة نصف القطر أ، إذا قمت بضغطه أ/بمرات على طول المحور أوي .

مثال 1.تحقق مما إذا كان الخط المعطى بواسطة معادلة عامة ، الشكل البيضاوي.

حل. نقوم بتحويل المعادلة العامة. نستخدم نقل الحد الحر إلى الجانب الأيمن، وتقسيم المعادلة حدًا تلو الآخر على نفس العدد واختزال الكسور:

إجابة. المعادلة التي تم الحصول عليها نتيجة للتحولات هي المعادلة القانونية للقطع الناقص. لذلك، هذا الخط هو القطع الناقص.

مثال 2.قم بتكوين المعادلة الأساسية للقطع الناقص إذا كانت أنصاف محاوره تساوي 5 و 4 على التوالي.

حل. نحن ننظر إلى صيغة المعادلة الأساسية للقطع الناقص والبديل: المحور شبه الرئيسي هو أ= 5، المحور شبه الأصغر هو ب= 4 . نحصل على المعادلة القانونية للقطع الناقص:

النقاط و ، المشار إليها باللون الأخضر على المحور الرئيسي، حيث

وتسمى الخدع.

مُسَمًّى الانحرافالشكل البيضاوي.

سلوك ب/أيميز "تفلطح" القطع الناقص. كلما كانت هذه النسبة أصغر، كلما زاد استطالة القطع الناقص على طول المحور الرئيسي. ومع ذلك، يتم التعبير عن درجة استطالة القطع الناقص في كثير من الأحيان من خلال الانحراف، والتي تم ذكر الصيغة أعلاه. بالنسبة للأشكال الناقصية المختلفة، يختلف الانحراف من 0 إلى 1، ويظل دائمًا أقل من الوحدة.

مثال 3.قم بتكوين المعادلة الأساسية للقطع الناقص إذا كانت المسافة بين البؤرتين 8 والمحور الرئيسي 10.

حل. دعونا نتوصل إلى بعض الاستنتاجات البسيطة:

وإذا كان المحور الأكبر يساوي 10، فإن نصفه، أي نصف المحور أ = 5 ,

إذا كانت المسافة بين البؤرتين 8 فالرقم جالإحداثيات البؤرية تساوي 4.

نعوض ونحسب:

والنتيجة هي المعادلة القانونية للقطع الناقص:

مثال 4.قم بتكوين المعادلة الأساسية للقطع الناقص إذا كان محوره الرئيسي 26 وانحرافه هو .

حل. وكما يلي من حجم المحور الرئيسي ومعادلة الانحراف، فإن المحور شبه الرئيسي للقطع الناقص أ= 13. من معادلة الانحراف نعبر عن الرقم ج، اللازمة لحساب طول شبه المحور الصغير:

.

نحسب مربع طول شبه المحور الأصغر:

نحن نؤلف المعادلة الأساسية للقطع الناقص:

مثال 5.تحديد بؤر القطع الناقص المعطاة بالمعادلة الأساسية.

حل. ابحث عن الرقم ج، الذي يحدد الإحداثيات الأولى لبؤر القطع الناقص:

.

نحصل على بؤرة القطع الناقص:

مثال 6.تقع بؤر القطع الناقص على المحور ثورمتناظرة حول الأصل. قم بتكوين المعادلة الأساسية للقطع الناقص إذا:

1) المسافة بين البؤرتين 30 والمحور الأكبر 34

2) المحور الصغير 24 وأحد البؤر عند النقطة (-5; 0)

3) الانحراف المركزي، وأحد البؤرتين عند النقطة (6؛ 0)

دعونا نواصل حل مشاكل القطع الناقص معًا

إذا كانت نقطة عشوائية من القطع الناقص (المشار إليها باللون الأخضر في الجزء العلوي الأيمن من القطع الناقص في الرسم) وهي المسافة إلى هذه النقطة من البؤر، فإن صيغ المسافات هي كما يلي:

لكل نقطة تنتمي إلى القطع الناقص، يكون مجموع المسافات من البؤر قيمة ثابتة تساوي 2 أ.

الخطوط المحددة بالمعادلات

وتسمى ناظراتالقطع الناقص (في الرسم توجد خطوط حمراء على طول الحواف).

من المعادلتين أعلاه يترتب على ذلك بالنسبة لأي نقطة من القطع الناقص

,

أين و هي مسافات هذه النقطة إلى الدلائل و .

مثال 7.نظرا للقطع الناقص. اكتب معادلة لمبادئها.

حل. نحن ننظر إلى معادلة الدليل ونجد أننا بحاجة إلى إيجاد الانحراف المركزي للقطع الناقص، أي. لدينا كافة البيانات لهذا الغرض. نحسب:

.

نحصل على معادلة توجيهات القطع الناقص:

مثال 8.قم بتكوين المعادلة الأساسية للقطع الناقص إذا كانت بؤرته نقاطًا ومبادئه خطوطًا.

تعريف. القطع الناقص هو المحل الهندسي للنقاط على المستوى، ومجموع مسافات كل منها من نقطتين معينتين في هذا المستوى، تسمى البؤر، هو قيمة ثابتة (شريطة أن تكون هذه القيمة أكبر من المسافة بين البؤرتين) .

نشير إلى البؤر بالمسافة بينهما - بالقيمة الثابتة التي تساوي مجموع المسافات من كل نقطة من القطع الناقص إلى البؤر بواسطة (بالشرط).

لنقم ببناء نظام إحداثيات ديكارتي بحيث تكون البؤر على محور الإحداثيات، ويتزامن أصل الإحداثيات مع منتصف المقطع (الشكل 44). ثم سيكون للبؤر الإحداثيات التالية: التركيز الأيسر والتركيز الأيمن. دعونا نشتق معادلة القطع الناقص في نظام الإحداثيات الذي اخترناه. لهذا الغرض، النظر في نقطة تعسفية من القطع الناقص. حسب تعريف القطع الناقص، فإن مجموع المسافات من هذه النقطة إلى البؤر يساوي:

باستخدام صيغة المسافة بين نقطتين، نحصل على ذلك

لتبسيط هذه المعادلة نكتبها على الصورة

ثم بتربيع طرفي المعادلة، نحصل على

أو بعد التبسيط الواضح:

الآن نقوم بتربيع طرفي المعادلة مرة أخرى، وبعد ذلك لدينا:

أو بعد تحولات متطابقة:

لأنه، وفقًا للشرط الوارد في تعريف القطع الناقص، يكون الرقم موجبًا. دعونا نقدم التدوين

عندها ستأخذ المعادلة الشكل التالي:

وبتعريف القطع الناقص، فإن إحداثيات أي نقطة من نقاطه تحقق المعادلة (26). لكن المعادلة (29) هي نتيجة للمعادلة (26). وبالتالي، فهو محقق أيضًا بإحداثيات أي نقطة من القطع الناقص.

يمكن إثبات أن إحداثيات النقاط التي لا تقع على القطع الناقص لا تحقق المعادلة (29). وبالتالي فإن المعادلة (29) هي معادلة القطع الناقص. وتسمى المعادلة القانونية للقطع الناقص.

دعونا نحدد شكل القطع الناقص باستخدام معادلته الأساسية.

أولًا، دعونا ننتبه إلى حقيقة أن هذه المعادلة تحتوي فقط على قوى x وy. وهذا يعني أنه إذا كانت أي نقطة تنتمي إلى القطع الناقص، فإنها تحتوي أيضًا على نقطة متناظرة مع النقطة بالنسبة لمحور الإحداثي، ونقطة متناظرة مع النقطة بالنسبة للمحور الإحداثي. وبالتالي، فإن القطع الناقص له محوران متعامدان من التماثل، والذي يتطابق في نظام الإحداثيات الذي اخترناه مع محاور الإحداثيات. ومن الآن فصاعدا سنسمي محاور تماثل القطع الناقص محاور القطع الناقص، ونقطة تقاطعهما مركز القطع الناقص. يسمى المحور الذي تقع عليه بؤر القطع الناقص (في هذه الحالة محور الإحداثي) بالمحور البؤري.

دعونا أولاً نحدد شكل القطع الناقص في الربع الأول. للقيام بذلك، دعونا نحل المعادلة (28) لـ y:

من الواضح أنه هنا، حيث أن y تأخذ قيمًا خيالية. كلما زادت من 0 إلى a، تنخفض y من b إلى 0. سيكون جزء القطع الناقص الموجود في الربع الأول عبارة عن قوس يحده النقاط B (0؛ b) ويقع على محاور الإحداثيات (الشكل 45). وباستخدام تماثل القطع الناقص، نصل إلى نتيجة مفادها أن القطع الناقص له الشكل الموضح في الشكل. 45.

تسمى نقاط تقاطع القطع الناقص مع المحاور رؤوس القطع الناقص. ويترتب على تماثل القطع الناقص أنه بالإضافة إلى القمم، يحتوي القطع الناقص على رأسين آخرين (انظر الشكل 45).

تسمى الأجزاء والرؤوس المقابلة للقطع الناقص، وكذلك أطوالها، بالمحاور الكبرى والصغرى للقطع الناقص، على التوالي. يُطلق على الرقمين a وb أنصاف المحاور الكبرى والصغرى للقطع الناقص، على التوالي.

تسمى نسبة نصف المسافة بين البؤرتين إلى المحور شبه الرئيسي للقطع الناقص انحراف القطع الناقص وعادة ما يشار إليها بالحرف:

بما أن الانحراف المركزي للقطع الناقص أقل من الوحدة: الانحراف المركزي يميز شكل القطع الناقص. في الواقع، من الصيغة (28) يترتب على ذلك أنه كلما كان انحراف القطع الناقص أصغر، قل اختلاف محوره شبه الأصغر ب عن المحور شبه الرئيسي أ، أي كلما كان القطع الناقص أقل استطالة (على طول المحور البؤري).

في الحالة المقيدة، تكون النتيجة دائرة نصف قطرها a: أو . في الوقت نفسه، يبدو أن بؤر القطع الناقص تندمج عند نقطة واحدة - مركز الدائرة. انحراف الدائرة هو صفر:

يمكن إنشاء الاتصال بين القطع الناقص والدائرة من وجهة نظر أخرى. دعونا نبين أن القطع الناقص مع نصف المحاور a و b يمكن اعتباره إسقاطًا لدائرة نصف قطرها a.

دعونا نفكر في طائرتين P و Q، تشكلان فيما بينهما مثل هذه الزاوية a، والتي (الشكل 46). دعونا نبني نظام إحداثيات في المستوى P، وفي المستوى Q نظام أوكسي ذو أصل مشترك O ومحور الإحداثي المشترك يتزامن مع خط تقاطع المستويات. خذ بعين الاعتبار دائرة في المستوى P

مع مركز عند نقطة الأصل ونصف قطر يساوي أ. فليكن نقطة مختارة بشكل تعسفي على الدائرة، وليكن إسقاطها على المستوى Q، وليكن إسقاط النقطة M على محور الثور. دعونا نبين أن النقطة تقع على شكل بيضاوي ذي نصفي المحورين a وb.

محاضرات في الجبر والهندسة. الفصل الدراسي 1.

المحاضرة 15. القطع الناقص.

الفصل 15. القطع الناقص.

البند 1. التعاريف الأساسية.

تعريف. القطع الناقص هو GMT للمستوى، ومجموع المسافات إلى نقطتين ثابتتين في المستوى، تسمى البؤرتين، هو قيمة ثابتة.

تعريف. تسمى المسافة من النقطة العشوائية M من المستوى إلى بؤرة القطع الناقص نصف القطر البؤري للنقطة M.

التسميات:
- بؤر القطع الناقص،
- نصف القطر البؤري للنقطة M.

حسب تعريف القطع الناقص، النقطة M هي نقطة القطع الناقص إذا وفقط إذا
- قيمة ثابتة. يُشار إلى هذا الثابت عادةً بالرمز 2a:

. (1)

لاحظ أن
.

حسب تعريف القطع الناقص، فإن بؤرته عبارة عن نقاط ثابتة، وبالتالي فإن المسافة بينهما هي أيضًا قيمة ثابتة لقطع ناقص معين.

تعريف. المسافة بين بؤرتي الشكل الناقص تسمى البعد البؤري.

تعيين:
.

من مثلث
يتبع ذلك
، أي.

.

دعونا نشير بواسطة ب إلى الرقم الذي يساوي
، أي.

. (2)

تعريف. سلوك

(3)

يسمى الانحراف المركزي للقطع الناقص.

دعونا نقدم نظامًا إحداثيًا على هذا المستوى، والذي سنسميه النظام الأساسي للقطع الناقص.

تعريف. يسمى المحور الذي تقع عليه بؤر القطع الناقص بالمحور البؤري.

لنقم بإنشاء PDSC أساسي للقطع الناقص، انظر الشكل 2.

نختار المحور البؤري كمحور الإحداثي، ونرسم المحور الإحداثي عبر منتصف القطعة
عمودي على المحور البؤري.

ثم البؤر لها إحداثيات
,
.

البند 2. المعادلة الكنسية للقطع الناقص.

نظرية. في نظام الإحداثيات المتعارف عليه للقطع الناقص، تكون معادلة القطع الناقص على الشكل التالي:

. (4)

دليل. نقوم بتنفيذ الإثبات على مرحلتين. في المرحلة الأولى، سنثبت أن إحداثيات أي نقطة تقع على القطع الناقص تحقق المعادلة (4). في المرحلة الثانية سنثبت أن أي حل للمعادلة (4) يعطي إحداثيات نقطة تقع على القطع الناقص. من هنا سيتبع أن المعادلة (4) يتم تحقيقها بواسطة تلك النقاط فقط من المستوى الإحداثي التي تقع على القطع الناقص. ومن هذا ومن تعريف معادلة المنحنى يتبين أن المعادلة (4) هي معادلة القطع الناقص.

1) اجعل النقطة M(x, y) نقطة من القطع الناقص، أي. مجموع نصف القطر البؤري هو 2a:

.

دعونا نستخدم صيغة المسافة بين نقطتين على المستوى الإحداثي ونستخدم هذه الصيغة للعثور على نصف القطر البؤري لنقطة معينة M:

,
، من حيث نحصل على:

دعنا ننقل جذرًا واحدًا إلى الجانب الأيمن من المساواة ونقوم بتربيعه:

بالتصغير نحصل على:

نقدم مثيلاتها ونخفضها بمقدار 4 ونزيل الجذر:

.

التربيع

افتح الأقواس واختصرها
:

حيث نحصل على:

وباستخدام المساواة (2) نحصل على:

.

قسمة المساواة الأخيرة على
نحصل على المساواة (4) الخ.

2) دع الآن زوجًا من الأرقام (x، y) يحقق المعادلة (4) ودع M(x، y) تكون النقطة المقابلة على المستوى الإحداثي Oxy.

ثم من (4) يأتي ما يلي:

.

نستبدل هذه المساواة في التعبير عن نصف القطر البؤري للنقطة M:

.

استخدمنا هنا المساواة (2) و (3).

هكذا،
. على نفس المنوال،
.

والآن لاحظ أنه من المساواة (4) يتبع ذلك

أو
إلخ.
، فإن عدم المساواة يلي:

.

ومن هنا يتبع ذلك بدوره

أو
و

,
. (5)

ومن التساوي (5) ينتج ذلك
، أي. النقطة M(x,y) هي نقطة القطع الناقص، وما إلى ذلك.

لقد تم إثبات النظرية.

تعريف. المعادلة (4) تسمى المعادلة القانونية للقطع الناقص.

تعريف. تسمى محاور الإحداثيات الأساسية للقطع الناقص بالمحاور الرئيسية للقطع الناقص.

تعريف. يُطلق على أصل نظام الإحداثيات القانوني للقطع الناقص مركز القطع الناقص.

البند 3. خصائص القطع الناقص.

نظرية. (خصائص القطع الناقص.)

1. في نظام الإحداثيات المتعارف عليه للقطع الناقص، كل شيء

نقاط القطع الناقص تقع في المستطيل

,
.

2. النقاط تكمن

3. القطع الناقص هو منحنى متماثل بالنسبة إلى

محاورهم الرئيسية.

4. مركز القطع الناقص هو مركز التماثل.

دليل. 1، 2) يتبع مباشرة من المعادلة القانونية للقطع الناقص.

3, 4) اجعل M(x, y) نقطة عشوائية في القطع الناقص. ثم تحقق إحداثياتها المعادلة (4). لكن إحداثيات النقاط تحقق أيضًا المعادلة (4)، وبالتالي فهي نقاط القطع الناقص، والتي تتبع منها بيانات النظرية.

لقد تم إثبات النظرية.

تعريف. الكمية 2a تسمى المحور الرئيسي للقطع الناقص، والكمية a تسمى المحور شبه الرئيسي للقطع الناقص.

تعريف. الكمية 2b تسمى المحور الأصغر للقطع الناقص، والكمية b تسمى المحور شبه الأصغر للقطع الناقص.

تعريف. تسمى نقاط تقاطع القطع الناقص مع محاوره الرئيسية رؤوس القطع الناقص.

تعليق. يمكن بناء القطع الناقص على النحو التالي. على المستوى، "ندق مسمارًا في نقاط التركيز" ونربطها بطول الخيط
. ثم نأخذ قلم رصاص ونستخدمه لشد الخيط. ثم نقوم بتحريك قلم الرصاص على طول المستوى، مع التأكد من أن الخيط مشدود.

من تعريف الانحراف يتبع ذلك

دعونا نثبت الرقم أ ونوجه الرقم ج إلى الصفر. ثم في
,
و
. في الحد الذي نحصل عليه

أو
- معادلة الدائرة.

دعونا الآن نوجه
. ثم
,
ونلاحظ أن القطع الناقص في النهاية يتحول إلى قطعة مستقيمة
في تدوين الشكل 3.

البند 4. المعادلات البارامترية للقطع الناقص.

نظرية. يترك
- الأعداد الحقيقية التعسفية. ثم نظام المعادلات

,
(6)

هي معادلات حدودية للقطع الناقص في نظام الإحداثيات المتعارف عليه للقطع الناقص.

دليل. ويكفي إثبات أن نظام المعادلات (6) يعادل المعادلة (4) أي. لديهم نفس مجموعة الحلول.

1) ليكن (x, y) حلاً اعتباطيًا للنظام (6). قسّم المعادلة الأولى على أ، والثانية على ب، وقم بتربيع المعادلتين وأضف:

.

أولئك. أي حل (x، y) للنظام (6) يحقق المعادلة (4).

2) بالعكس ليكن الزوج (x,y) حلاً للمعادلة (4) أي.

.

ومن هذه المساواة يترتب على النقطة ذات الإحداثيات
تقع على دائرة وحدة نصف القطر ومركزها نقطة الأصل، أي. هي نقطة على دائرة مثلثية تقابلها زاوية معينة
:

من تعريف الجيب وجيب التمام يتبع ذلك مباشرة

,
، أين
، ويترتب على ذلك أن الزوج (x، y) هو حل للنظام (6)، الخ.

لقد تم إثبات النظرية.

تعليق. يمكن الحصول على القطع الناقص نتيجة "الضغط" الموحد لدائرة نصف قطرها a باتجاه محور الإحداثي السيني.

يترك
- معادلة الدائرة التي مركزها نقطة الأصل. "ضغط" الدائرة على محور الإحداثي ليس أكثر من تحويل لمستوى الإحداثيات، يتم تنفيذه وفقًا للقاعدة التالية. لكل نقطة M(x, y) نربط نقطة على نفس المستوى
، أين
,
- نسبة الضغط.

مع هذا التحويل، كل نقطة على الدائرة "تنتقل" إلى نقطة أخرى على المستوى، والتي لها نفس الإحداثي الإحداثي، ولكن بإحداثيات أصغر. لنعبر عن الإحداثي القديم لنقطة ما من خلال الإحداثي الجديد:

واستبدال الدوائر في المعادلة:

.

ومن هنا نحصل على:

. (7)

ويترتب على ذلك أنه إذا كانت النقطة M(x، y) تقع على الدائرة قبل تحويل "الضغط" ، أي. حققت إحداثياتها معادلة الدائرة، ثم بعد تحويل "الضغط" "تحولت" هذه النقطة إلى نقطة
، التي تحقق إحداثياتها معادلة القطع الناقص (7). إذا أردنا الحصول على معادلة القطع الناقص مع المحور شبه الأصغر، فإننا نحتاج إلى أخذ عامل الضغط

.

البند 5. الظل إلى القطع الناقص.

نظرية. يترك
- النقطة التعسفية للقطع الناقص

.

ثم معادلة المماس لهذا القطع الناقص عند النقطة
لديه النموذج:

. (8)

دليل. يكفي النظر في الحالة التي تقع فيها نقطة التماس في الربع الأول أو الثاني من المستوى الإحداثي:
. معادلة القطع الناقص في النصف العلوي من المستوى لها الشكل:

. (9)

دعونا نستخدم معادلة الظل للرسم البياني للوظيفة
عند هذه النقطة
:

أين
- قيمة مشتق دالة معينة عند نقطة ما
. يمكن اعتبار القطع الناقص في الربع الأول بمثابة رسم بياني للدالة (8). لنجد مشتقتها وقيمتها عند نقطة التماس:

,

. هنا استفدنا من حقيقة أن نقطة الظل
هي نقطة من القطع الناقص وبالتالي فإن إحداثياتها تلبي معادلة القطع الناقص (9)، أي.

.

نعوض بالقيمة الموجودة للمشتق في معادلة الظل (10):

,

حيث نحصل على:

هذا يعني:

دعونا نقسم هذه المساواة على
:

.

يبقى أن نلاحظ ذلك
، لأن نقطة
ينتمي إلى القطع الناقص وإحداثياته ​​تلبي معادلته.

يتم إثبات معادلة الظل (8) بطريقة مماثلة عند نقطة التماس الواقعة في الربع الثالث أو الرابع من المستوى الإحداثي.

وأخيرًا، يمكننا بسهولة التحقق من أن المعادلة (8) تعطي معادلة الظل عند النقاط
,
:

أو
، و
أو
.

لقد تم إثبات النظرية.

البند 6. خاصية مرآة القطع الناقص.

نظرية. المماس للقطع الناقص له زوايا متساوية مع نصف القطر البؤري لنقطة التماس.

يترك
- نقطة الاتصال،
,
- نصف القطر البؤري لنقطة الظل، P وQ - إسقاطات البؤر على المماس المرسوم على القطع الناقص عند هذه النقطة
.

تنص النظرية على ذلك

. (11)

يمكن تفسير هذه المساواة على أنها تساوي زوايا السقوط وانعكاس شعاع الضوء من القطع الناقص المنطلق من بؤرته. تسمى هذه الخاصية خاصية المرآة للقطع الناقص:

شعاع الضوء المنطلق من بؤرة القطع الناقص، بعد انعكاسه من مرآة القطع الناقص، يمر عبر بؤرة أخرى للقطع الناقص.

إثبات النظرية. لإثبات تساوي الزوايا (11)، نثبت تشابه المثلثات
و
، فيها الأطراف
و
سوف تكون مماثلة. وبما أن المثلثين قائما الزاوية، فهذا يكفي لإثبات المساواة

القطع الناقص هو المحل الهندسي للنقاط على المستوى، وهو مجموع المسافات من كل منها إلى نقطتين محددتين F_1، وF_2 هي قيمة ثابتة (2a)، أكبر من المسافة (2c) بين هاتين النقطتين المعطاتين (الشكل 3.36، أ). ويعبر هذا التعريف الهندسي الخاصية البؤرية للقطع الناقص.

الخاصية البؤرية للقطع الناقص

تسمى النقطتان F_1 وF_2 بؤرتي القطع الناقص، والمسافة بينهما 2c=F_1F_2 هي البعد البؤري، والوسط O للقطعة F_1F_2 هو مركز القطع الناقص، والرقم 2a هو طول المحور الرئيسي للقطع الناقص. القطع الناقص (وبالتالي فإن الرقم أ هو المحور شبه الرئيسي للقطع الناقص). يُطلق على المقطعين F_1M وF_2M اللذين يربطان النقطة M من الشكل الناقص مع بؤرتهما اسم نصف القطر البؤري للنقطة M. الجزء الذي يربط بين نقطتين من القطع الناقص يسمى وتر القطع الناقص.

النسبة e=\frac(c)(a) تسمى الانحراف المركزي للقطع الناقص. من التعريف (2a>2c) يترتب على ذلك أن 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

التعريف الهندسي للقطع الناقص، معبرًا عن خاصيته البؤرية، يعادل تعريفه التحليلي - الخط المعطى بواسطة المعادلة الأساسية للقطع الناقص:

في الواقع، دعونا نقدم نظام إحداثيات مستطيل (الشكل 3.36ج). نحن نأخذ المركز O للقطع الناقص باعتباره أصل نظام الإحداثيات؛ نأخذ الخط المستقيم الذي يمر عبر البؤرتين (المحور البؤري أو المحور الأول للقطع الناقص) كمحور الإحداثي السيني (الاتجاه الموجب عليه من النقطة F_1 إلى النقطة F_2)؛ لنأخذ خطًا مستقيمًا متعامدًا مع المحور البؤري ويمر عبر مركز القطع الناقص (المحور الثاني للقطع الناقص) باعتباره المحور الإحداثي (يتم اختيار الاتجاه على المحور الإحداثي بحيث يكون نظام الإحداثيات المستطيل أوكسي صحيحًا) .

لنقم بإنشاء معادلة للقطع الناقص باستخدام تعريفه الهندسي، الذي يعبر عن الخاصية البؤرية. في نظام الإحداثيات المحدد، نحدد إحداثيات البؤر F_1(-ج,0),~F_2(ج,0). بالنسبة للنقطة العشوائية M(x,y) التي تنتمي إلى القطع الناقص، لدينا:

\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.

وبكتابة هذه المساواة بالصورة الإحداثية نحصل على:

\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.

ننقل الجذر الثاني إلى الجانب الأيمن ونربع طرفي المعادلة ونأتي بحدود متشابهة:

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt((x-c )^2+y^2)=4a^2-4cx.

بالقسمة على 4، نقوم بتربيع طرفي المعادلة:

A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=أ^2(أ^2-ج^2).

وقد عين ب=\sqrt(a^2-c^2)>0، نحن نحصل ب^2x^2+أ^2y^2=أ^2ب^2. بقسمة الطرفين على a^2b^2\ne0، نصل إلى المعادلة الأساسية للقطع الناقص:

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.

ولذلك، فإن نظام الإحداثيات المختار هو نظام أساسي.

إذا تطابقت بؤرتا القطع الناقص، فإن القطع الناقص هو دائرة (الشكل 3.36،6)، حيث أن a=b. في هذه الحالة، أي نظام إحداثي مستطيل له نقطة الأصل سيكون نظامًا أساسيًا O\equiv F_1\equiv F_2والمعادلة x^2+y^2=a^2 هي معادلة دائرة مركزها النقطة O ونصف قطرها يساوي a.

من خلال إجراء الاستدلال بترتيب عكسي، يمكن إثبات أن جميع النقاط التي تحقق إحداثياتها المعادلة (3.49)، وهي فقط، تنتمي إلى موضع النقاط الذي يسمى القطع الناقص. وبعبارة أخرى، فإن التعريف التحليلي للقطع الناقص يعادل تعريفه الهندسي، الذي يعبر عن الخاصية البؤرية للقطع الناقص.

الخاصية التوجيهية للقطع الناقص

إن أدلة القطع الناقص عبارة عن خطين مستقيمين موازيين للمحور الإحداثي لنظام الإحداثيات المتعارف عليه على نفس المسافة \frac(a^2)(c) منه. عند c=0، عندما يكون القطع الناقص عبارة عن دائرة، لا توجد دلائل (يمكننا أن نفترض أن الدلائل موجودة عند اللانهاية).

القطع الناقص مع الانحراف 0 موضع النقاط في المستوى، حيث تكون نسبة المسافة إلى نقطة معينة F (البؤرة) إلى المسافة إلى خط مستقيم معين d (الدليل) الذي لا يمر عبر نقطة معينة ثابتة وتساوي الانحراف المركزي ه ( الخاصية التوجيهية للقطع الناقص). هنا F و d هما إحدى بؤرتي القطع الناقص وأحد توجيهاته، وتقع على جانب واحد من المحور الإحداثي لنظام الإحداثيات الكنسي، أي. F_1,d_1 أو F_2,d_2 .

في الواقع، على سبيل المثال، بالنسبة للتركيز F_2 والموجه d_2 (الشكل 3.37،6) الشرط \frac(r_2)(\rho_2)=eيمكن كتابتها بالشكل الإحداثي:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)

التخلص من اللاعقلانية والاستبدال e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2نصل إلى معادلة القطع الناقص الأساسية (3.49). يمكن تنفيذ تفكير مماثل للتركيز F_1 والمخرج d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.

معادلة القطع الناقص في نظام الإحداثيات القطبية

معادلة القطع الناقص في نظام الإحداثيات القطبية F_1r\varphi (الشكل 3.37، c و3.37 (2)) لها الشكل

R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)

حيث p=\frac(b^2)(a) هي المعلمة البؤرية للقطع الناقص.

في الواقع، دعونا نختار البؤرة اليسرى F_1 للقطع الناقص كقطب لنظام الإحداثيات القطبية، والشعاع F_1F_2 كمحور قطبي (الشكل 3.37، ج). ثم بالنسبة للنقطة الاختيارية M(r,\varphi)، وفقًا للتعريف الهندسي (الخاصية البؤرية) للقطع الناقص، لدينا r+MF_2=2a. نعبر عن المسافة بين النقطتين M(r,\varphi) وF_2(2c,0) (انظر الفقرة 2 من الملاحظات 2.8):

\begin(محاذاة)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(محاذاة)

لذلك، في الصيغة الإحداثية، تكون معادلة القطع الناقص F_1M+F_2M=2a هي الصيغة

R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.

نعزل الجذر ونربع طرفي المعادلة ونقسمه على 4 ونقدم مصطلحات مماثلة:

R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.

عبر عن نصف القطر القطبي r وقم بالاستبدال ه=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):

R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),

Q.E.D.

المعنى الهندسي للمعاملات في معادلة القطع الناقص

دعونا نجد نقاط تقاطع القطع الناقص (انظر الشكل 3.37 أ) مع محاور الإحداثيات (رؤوس القطع الناقص). بالتعويض y=0 في المعادلة، نجد نقاط تقاطع القطع الناقص مع محور الإحداثي السيني (مع المحور البؤري): x=\pm a. ولذلك، فإن طول قطعة المحور البؤري الموجودة داخل القطع الناقص يساوي 2أ. هذا الجزء، كما ذكرنا أعلاه، يسمى المحور الرئيسي للقطع الناقص، والرقم a هو المحور شبه الرئيسي للقطع الناقص. بالتعويض x=0، نحصل على y=\pm b. ولذلك فإن طول قطعة المحور الثاني للقطع الناقص الموجودة داخل القطع الناقص يساوي 2ب. يُسمى هذا الجزء بالمحور الأصغر للقطع الناقص، والرقم b هو المحور شبه الأصغر للقطع الناقص.

حقًا، ب=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a، ويتم الحصول على المساواة b=a فقط في الحالة c=0، عندما يكون القطع الناقص دائرة. سلوك k=\frac(b)(a)\leqslant1تسمى نسبة ضغط القطع الناقص.

ملاحظات 3.9

1. الخطوط المستقيمة x=\pm a,~y=\pm b تحد من المستطيل الرئيسي على المستوى الإحداثي، الذي يوجد بداخله شكل بيضاوي (انظر الشكل 3.37، أ).

2. يمكن تعريف القطع الناقص بأنه موضع النقاط الذي يتم الحصول عليه عن طريق ضغط الدائرة إلى قطرها.

في الواقع، لتكن معادلة الدائرة في نظام الإحداثيات المستطيل أوكسي x^2+y^2=a^2. عند ضغطها على المحور السيني بمعامل 0

\begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases)

باستبدال الدائرتين x=x" و y=\frac(1)(k)y" في المعادلة، نحصل على معادلة إحداثيات الصورة M"(x",y") للنقطة M(x,y) ) :

(x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1, !}

منذ b=k\cdot a . هذه هي المعادلة القانونية للقطع الناقص.

3. المحاور الإحداثية (نظام الإحداثيات القانوني) هي محاور تناظر القطع الناقص (وتسمى المحاور الرئيسية للقطع الناقص)، ومركزها هو مركز التماثل.

في الواقع، إذا كانت النقطة M(x,y) تنتمي إلى القطع الناقص. ثم النقطتان M"(x,-y) وM""(-x,y)، المتناظرتان للنقطة M بالنسبة إلى محاور الإحداثيات، تنتميان أيضًا إلى نفس القطع الناقص.

4. من معادلة القطع الناقص في نظام الإحداثيات القطبية r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(انظر الشكل 3.37، ج)، تم توضيح المعنى الهندسي للمعلمة البؤرية - وهذا هو نصف طول وتر القطع الناقص الذي يمر عبر تركيزه بشكل عمودي على المحور البؤري ( r = p في \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. الانحراف المركزي يميز شكل القطع الناقص، أي الفرق بين القطع الناقص والدائرة. كلما زاد حجم e، زاد استطالة القطع الناقص، وكلما اقتربت e من الصفر، كلما اقترب القطع الناقص من الدائرة (الشكل 3.38 أ). في الواقع، مع الأخذ في الاعتبار أن e=\frac(c)(a) و c^2=a^2-b^2 ، نحصل على

E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\right )\^2=1-k^2, !}

حيث k هي نسبة ضغط القطع الناقص، 0

6. المعادلة \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1في أ

7. المعادلة \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant bيحدد القطع الناقص بمركزه عند النقطة O"(x_0,y_0)، ومحاورها موازية لمحاور الإحداثيات (الشكل 3.38، ج). يتم تقليل هذه المعادلة إلى المعادلة الأساسية باستخدام الترجمة المتوازية (3.36).