ضرب المماسات بزوايا مختلفة. جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام - كل ما تحتاج إلى معرفته من أجل OGE والاستخدام

لن أحاول إقناعك بعدم كتابة أوراق الغش. يكتب! بما في ذلك أوراق الغش في علم المثلثات. أخطط لاحقًا لشرح سبب الحاجة إلى أوراق الغش وسبب فائدة أوراق الغش. وهنا معلومات حول كيفية عدم التعلم، ولكن تذكر بعض الصيغ المثلثية. إذن - علم المثلثات بدون ورقة غش نستخدم الارتباطات للحفظ.

1. صيغ الإضافة:

جيب التمام دائمًا "يأتي في أزواج": جيب التمام، جيب التمام، جيب التمام. وشيء آخر: جيب التمام "غير كاف". "كل شيء ليس على ما يرام" بالنسبة لهم، فيغيرون الإشارة: "-" إلى "+"، والعكس صحيح.

الجيوب الأنفية - "مزيج": جيب التمام، جيب التمام، جيب التمام.

2. صيغ الجمع والفرق:

جيب التمام دائمًا "يأتي في أزواج". بإضافة اثنين من جيب التمام - "koloboks"، نحصل على زوج من جيب التمام - "koloboks". ومن خلال الطرح، بالتأكيد لن نحصل على أي كولوبوك. نحصل على بضع الجيوب. أيضا مع ناقص المقبلة.

الجيوب الأنفية - "مزيج" :

3. صيغ تحويل المنتج إلى مجموع وفرق.

متى نحصل على زوج جيب التمام؟ عندما نضيف جيب التمام. لهذا

متى نحصل على زوجين من الجيوب؟ عند طرح جيب التمام. من هنا:

يتم الحصول على "الخلط" عند إضافة وطرح الجيوب. ما هو أكثر متعة: إضافة أو طرح؟ هذا صحيح، أضعاف. وللصيغة يأخذون إضافة:

في الصيغتين الأولى والثالثة، يكون المجموع بين قوسين. إعادة ترتيب أماكن المصطلحات لا يغير المجموع. الترتيب مهم فقط للصيغة الثانية. ولكن، لكي لا نخلط، ولسهولة التذكر، في جميع الصيغ الثلاثة الموجودة بين القوسين الأولين، نأخذ الفرق

وثانيا - المبلغ

تمنحك أوراق الغش الموجودة في جيبك راحة البال: إذا نسيت الصيغة، يمكنك نسخها. وهي تمنحك الثقة: إذا فشلت في استخدام ورقة الغش، فيمكنك تذكر الصيغ بسهولة.

ترتبط مفاهيم الجيب ()، وجيب التمام ()، والظل ()، وظل التمام () ارتباطًا وثيقًا بمفهوم الزاوية. من أجل الحصول على فهم جيد لهذه المفاهيم المعقدة التي تبدو للوهلة الأولى (والتي تسبب حالة من الرعب لدى العديد من تلاميذ المدارس)، وللتأكد من أن "الشيطان ليس فظيعًا كما هو مرسوم"، فلنبدأ من بداية جدًا وفهم مفهوم الزاوية.

مفهوم الزاوية: راديان، درجة

دعونا ننظر إلى الصورة. لقد "تحول" المتجه بالنسبة إلى النقطة بمقدار معين. إذن، سيكون قياس هذا الدوران بالنسبة إلى الموضع الأولي ركن.

ماذا تريد أن تعرف أيضًا عن مفهوم الزاوية؟ حسنا، بالطبع، وحدات الزاوية!

يمكن قياس الزاوية، في كل من الهندسة وعلم المثلثات، بالدرجات والراديان.

الزاوية (درجة واحدة) هي الزاوية المركزية في دائرة يقابلها قوس دائري يساوي جزء من الدائرة. وهكذا فإن الدائرة بأكملها تتكون من “قطع” من الأقواس الدائرية، أو أن الزاوية الموصوفة بالدائرة متساوية.

أي أن الشكل أعلاه يوضح زاوية مساوية، أي أن هذه الزاوية ترتكز على قوس دائري بحجم محيطه.

الزاوية بالراديان هي الزاوية المركزية في دائرة يقابلها قوس دائري طوله يساوي نصف قطر الدائرة. حسنًا، هل اكتشفت ذلك؟ إذا لم يكن الأمر كذلك، فلنكتشف ذلك من الرسم.

إذن، يوضح الشكل زاوية تساوي الراديان، أي أن هذه الزاوية ترتكز على قوس دائري طوله يساوي نصف قطر الدائرة (الطول يساوي الطول أو نصف القطر يساوي نصف القطر) طول القوس). وبالتالي، يتم حساب طول القوس بالصيغة:

أين الزاوية المركزية بالراديان؟

حسنًا، بمعرفة ذلك، هل يمكنك الإجابة عن عدد الراديان الموجود في الزاوية التي تصفها الدائرة؟ نعم، لهذا عليك أن تتذكر صيغة المحيط. ها هي:

حسنًا، لنربط الآن بين هاتين الصيغتين ونجد أن الزاوية التي تصفها الدائرة متساوية. وهذا يعني أنه من خلال ربط القيمة بالدرجات والراديان، نحصل على ذلك. على التوالى، . كما ترون، على عكس "الدرجات"، تم حذف كلمة "راديان"، لأن وحدة القياس عادة ما تكون واضحة من السياق.

كم عدد الراديان هناك؟ صحيح!

فهمتها؟ ثم المضي قدما وإصلاحه:

تواجه صعوبات؟ ثم ابحث إجابات:

المثلث الأيمن: الجيب، جيب التمام، الظل، ظل التمام للزاوية

لذلك، توصلنا إلى مفهوم الزاوية. ولكن ما هو جيب التمام، وجيب التمام، والظل، وظل التمام للزاوية؟ دعونا معرفة ذلك. للقيام بذلك، سوف يساعدنا المثلث الأيمن.

ماذا تسمى أضلاع المثلث القائم الزاوية؟ هذا صحيح، الوتر والساقان: الوتر هو الضلع الذي يقع مقابل الزاوية القائمة (في مثالنا هذا هو الضلع)؛ والساقان هما الضلعان المتبقيان و(المجاوران للزاوية القائمة)، وإذا اعتبرنا الساقين نسبة إلى الزاوية، فإن الساق هي الساق المجاورة، والساق هي العكس. والآن، دعونا نجيب على السؤال: ما هي جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام للزاوية؟

جيب الزاوية- هذه هي نسبة الساق المقابلة (البعيدة) إلى الوتر.

في مثلثنا.

جيب تمام الزاوية- هذه هي نسبة الساق المجاورة (المقربة) إلى الوتر.

في مثلثنا.

ظل الزاوية- هذه هي نسبة الضلع المقابل (البعيد) إلى الضلع المجاور (القريب).

في مثلثنا.

ظل التمام للزاوية- هذه هي نسبة الضلع المجاور (القريب) إلى الضلع المقابل (البعيد).

في مثلثنا.

هذه التعريفات ضرورية يتذكر! لتسهيل تذكر أي ساق يجب تقسيمها إلى ماذا، عليك أن تفهم ذلك بوضوح الظلو ظل التمامتجلس الأرجل فقط، ويظهر الوتر فقط في الداخل التجويفو جيب التمام. وبعد ذلك يمكنك التوصل إلى سلسلة من الارتباطات. على سبيل المثال، هذا:

جيب التمام → اللمس → اللمس → المجاورة؛

ظل التمام → اللمس → اللمس → المجاور.

بادئ ذي بدء، عليك أن تتذكر أن جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام لأن نسب جوانب المثلث لا تعتمد على أطوال هذه الجوانب (في نفس الزاوية). لا تصدق؟ ثم تأكد من خلال النظر إلى الصورة:

خذ بعين الاعتبار، على سبيل المثال، جيب تمام الزاوية. بحكم التعريف، من مثلث: ولكن يمكننا حساب جيب التمام لزاوية من مثلث: . كما ترون، أطوال الجوانب مختلفة، ولكن قيمة جيب التمام لزاوية واحدة هي نفسها. وبالتالي، فإن قيم الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام تعتمد فقط على حجم الزاوية.

إذا فهمت التعريفات، فقم بالمضي قدمًا ودمجها!

بالنسبة للمثلث الموضح في الشكل أدناه نجد.

حسنا، هل حصلت عليه؟ ثم جرب ذلك بنفسك: احسب نفس الشيء بالنسبة للزاوية.

دائرة الوحدة (المثلثية).

من خلال فهم مفاهيم الدرجات والراديان، اعتبرنا دائرة نصف قطرها يساوي. تسمى هذه الدائرة أعزب. سيكون مفيدًا جدًا عند دراسة علم المثلثات. لذلك، دعونا ننظر إليها بمزيد من التفصيل.

كما ترون، تم إنشاء هذه الدائرة في نظام الإحداثيات الديكارتية. نصف قطر الدائرة يساوي واحدًا، بينما يقع مركز الدائرة عند أصل الإحداثيات، ويتم تثبيت الموضع الأولي لمتجه نصف القطر على طول الاتجاه الموجب للمحور (في مثالنا، هذا هو نصف القطر).

كل نقطة على الدائرة تقابل رقمين: إحداثيات المحور وإحداثيات المحور. ما هي هذه الأرقام الإحداثية؟ وبشكل عام ما علاقتهم بالموضوع المطروح؟ للقيام بذلك، علينا أن نتذكر المثلث القائم الزاوية. في الشكل أعلاه، يمكنك رؤية مثلثين قائمين بالكامل. النظر في مثلث. وهو مستطيل لأنه عمودي على المحور.

ما هو المثلث يساوي؟ صحيح. بالإضافة إلى ذلك، نحن نعلم أن هذا هو نصف قطر دائرة الوحدة، وهو ما يعني . لنعوض بهذه القيمة في صيغة جيب التمام. إليك ما يحدث:

ما هو المثلث يساوي؟ حسنا بالطبع، ! استبدل قيمة نصف القطر في هذه الصيغة واحصل على:

إذًا، هل يمكنك معرفة إحداثيات نقطة تنتمي إلى دائرة؟ حسنا، بأي حال من الأحوال؟ ماذا لو أدركت ذلك وما هي إلا أرقام؟ ما الإحداثيات التي تتوافق معها؟ حسنا، بالطبع، الإحداثيات! وما الإحداثيات التي تتوافق معها؟ هذا صحيح، الإحداثيات! وهكذا الفترة.

ما هي إذن وتساوي؟ هذا صحيح، دعونا نستخدم التعريفات المقابلة للظل وظل التمام ونحصل على ذلك، أ.

ماذا لو كانت الزاوية أكبر؟ على سبيل المثال، كما في هذه الصورة:

ما الذي تغير في هذا المثال؟ دعونا معرفة ذلك. للقيام بذلك، دعونا ننتقل مرة أخرى إلى المثلث الأيمن. خذ بعين الاعتبار المثلث القائم: الزاوية (المجاورة للزاوية). ما هي قيم الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للزاوية؟ هذا صحيح، نحن نلتزم بالتعريفات المقابلة للدوال المثلثية:

حسنًا، كما ترون، فإن قيمة جيب الزاوية لا تزال تتوافق مع الإحداثيات؛ قيمة جيب التمام للزاوية - الإحداثيات؛ وقيم الظل وظل التمام للنسب المقابلة. وبالتالي، تنطبق هذه العلاقات على أي دوران لمتجه نصف القطر.

لقد سبق أن ذكرنا أن الموضع الأولي لمتجه نصف القطر يقع على طول الاتجاه الموجب للمحور. لقد قمنا حتى الآن بتدوير هذا المتجه عكس اتجاه عقارب الساعة، لكن ماذا يحدث إذا قمنا بتدويره في اتجاه عقارب الساعة؟ لا شيء غير عادي، ستحصل أيضًا على زاوية ذات قيمة معينة، لكنها فقط ستكون سلبية. وبالتالي، عند تدوير ناقل نصف القطر عكس اتجاه عقارب الساعة، نحصل على زوايا إيجابية، وعند الدوران في اتجاه عقارب الساعة - سلبي.

إذن، نحن نعلم أن الدورة الكاملة لمتجه نصف القطر حول الدائرة هي أو. هل من الممكن تدوير ناقل نصف القطر إلى أو إلى؟ حسنا بالطبع يمكنك! في الحالة الأولى، فإن متجه نصف القطر سيقوم بدورة كاملة ويتوقف عند الموضع أو.

في الحالة الثانية، أي أن متجه نصف القطر سيقوم بثلاث دورات كاملة ويتوقف عند الموضع أو.

وبالتالي، من الأمثلة المذكورة أعلاه يمكننا أن نستنتج أن الزوايا التي تختلف بـ أو (حيث يوجد أي عدد صحيح) تتوافق مع نفس موضع متجه نصف القطر.

الشكل أدناه يوضح زاوية. نفس الصورة تتوافق مع الزاوية، الخ. هذه القائمة يمكن أن تستمر إلى أجل غير مسمى. يمكن كتابة كل هذه الزوايا بالصيغة العامة أو (أين يوجد أي عدد صحيح)

الآن، بعد معرفة تعريفات الدوال المثلثية الأساسية واستخدام دائرة الوحدة، حاول الإجابة على ما هي القيم:

إليك دائرة الوحدة لمساعدتك:

تواجه صعوبات؟ ثم دعونا معرفة ذلك. لذلك نحن نعرف أن:

ومن هنا، نحدد إحداثيات النقاط المقابلة لقياسات زوايا معينة. حسنًا، لنبدأ بالترتيب: الزاوية عند تتوافق مع نقطة ذات إحداثيات، وبالتالي:

غير موجود؛

علاوة على ذلك، فإن الالتزام بنفس المنطق، نكتشف أن الزوايا تتوافق مع النقاط ذات الإحداثيات، على التوالي. بمعرفة ذلك، من السهل تحديد قيم الدوال المثلثية عند النقاط المقابلة. جربه بنفسك أولاً، ثم تحقق من الإجابات.

الإجابات:

غير موجود

غير موجود

غير موجود

غير موجود

وبذلك يمكننا عمل الجدول التالي:

ليست هناك حاجة لتذكر كل هذه القيم. يكفي أن نتذكر المراسلات بين إحداثيات النقاط على دائرة الوحدة وقيم الدوال المثلثية:

لكن قيم الدوال المثلثية للزوايا في و، الواردة في الجدول أدناه، يجب أن نتذكر:

لا تخف، الآن سنعرض لك مثالاً واحدًا من السهل جدًا تذكر القيم المقابلة:

لاستخدام هذه الطريقة، من المهم أن نتذكر قيم جيب الجيب لجميع قياسات الزاوية الثلاثة ()، وكذلك قيمة ظل الزاوية. بمعرفة هذه القيم، من السهل جدًا استعادة الجدول بأكمله - يتم نقل قيم جيب التمام وفقًا للأسهم، أي:

مع العلم بذلك، يمكنك استعادة القيم ل. سوف يتطابق البسط " " والمقام " ". يتم نقل قيم ظل التمام وفقًا للأسهم الموضحة في الشكل. إذا فهمت هذا وتذكرت الرسم التخطيطي بالأسهم، فسيكون ذلك كافيًا لتذكر جميع القيم من الجدول.

إحداثيات نقطة على الدائرة

هل من الممكن العثور على نقطة (إحداثياتها) على الدائرة، معرفة إحداثيات مركز الدائرة ونصف قطرها وزاوية الدوران?

حسنا بالطبع يمكنك! دعونا نخرجها الصيغة العامة لإيجاد إحداثيات نقطة ما.

على سبيل المثال، هذه دائرة أمامنا:

لقد علمنا أن النقطة هي مركز الدائرة. نصف قطر الدائرة متساوي. من الضروري العثور على إحداثيات نقطة تم الحصول عليها عن طريق تدوير النقطة بالدرجات.

كما يتبين من الشكل، فإن إحداثيات النقطة تتوافق مع طول القطعة. طول القطعة يتوافق مع إحداثيات مركز الدائرة، أي أنها متساوية. يمكن التعبير عن طول المقطع باستخدام تعريف جيب التمام:

ثم لدينا ذلك لإحداثي النقطة.

وباستخدام نفس المنطق، نجد قيمة الإحداثيات y للنقطة. هكذا،

لذلك، بشكل عام، يتم تحديد إحداثيات النقاط بواسطة الصيغ:

إحداثيات مركز الدائرة،

نصف قطر الدائرة,

زاوية دوران نصف قطر المتجه.

كما ترون، بالنسبة لدائرة الوحدة التي ندرسها، تم تقليل هذه الصيغ بشكل كبير، حيث أن إحداثيات المركز تساوي الصفر ونصف القطر يساوي واحدًا:

حسنًا، دعونا نجرب هذه الصيغ من خلال التدرب على إيجاد النقاط على الدائرة؟

1. أوجد إحداثيات نقطة على دائرة الوحدة التي تم الحصول عليها عن طريق تدوير النقطة.

2. أوجد إحداثيات نقطة على دائرة الوحدة التي تم الحصول عليها عن طريق تدوير النقطة.

3. أوجد إحداثيات نقطة على دائرة الوحدة التي تم الحصول عليها عن طريق تدوير النقطة.

4. النقطة هي مركز الدائرة. نصف قطر الدائرة متساوي. من الضروري العثور على إحداثيات النقطة التي تم الحصول عليها عن طريق تدوير متجه نصف القطر الأولي.

5. النقطة هي مركز الدائرة. نصف قطر الدائرة متساوي. من الضروري العثور على إحداثيات النقطة التي تم الحصول عليها عن طريق تدوير متجه نصف القطر الأولي.

هل تواجه مشكلة في العثور على إحداثيات نقطة على الدائرة؟

قم بحل هذه الأمثلة الخمسة (أو كن جيدًا في حلها) وسوف تتعلم كيفية العثور عليها!

1.

يمكنك ملاحظة ذلك. لكننا نعرف ما يقابل الثورة الكاملة لنقطة البداية. وبالتالي فإن النقطة المطلوبة ستكون في نفس الوضع الذي كانت عليه عند التحول إليها. وبمعرفة ذلك نجد الإحداثيات المطلوبة للنقطة:

2. تتمركز دائرة الوحدة عند نقطة، مما يعني أنه يمكننا استخدام صيغ مبسطة:

يمكنك ملاحظة ذلك. نحن نعرف ما يتوافق مع ثورتين كاملتين لنقطة البداية. وبالتالي فإن النقطة المطلوبة ستكون في نفس الوضع الذي كانت عليه عند التحول إليها. وبمعرفة ذلك نجد الإحداثيات المطلوبة للنقطة:

الجيب وجيب التمام هما قيمتان في الجدول. ونتذكر معانيها ونحصل على:

وبالتالي، فإن النقطة المطلوبة لها إحداثيات.

3. تتمركز دائرة الوحدة عند نقطة، مما يعني أنه يمكننا استخدام صيغ مبسطة:

يمكنك ملاحظة ذلك. دعونا نصور المثال المعني في الشكل:

نصف القطر يجعل الزوايا متساوية مع المحور ومعه. مع العلم أن قيمتي جيب التمام والجيب متساويتان في الجدول، وبعد تحديد أن جيب التمام هنا يأخذ قيمة سالبة والجيب يأخذ قيمة موجبة، لدينا:

تتم مناقشة هذه الأمثلة بمزيد من التفصيل عند دراسة صيغ تقليل الدوال المثلثية في الموضوع.

وبالتالي، فإن النقطة المطلوبة لها إحداثيات.

4.

زاوية دوران نصف قطر المتجه (حسب الحالة)

لتحديد العلامات المقابلة للجيب وجيب التمام، نقوم ببناء دائرة الوحدة والزاوية:

كما ترون، القيمة، أي موجبة، والقيمة، أي، سلبية. وبمعرفة القيم الجدولية للدوال المثلثية المقابلة نحصل على ما يلي:

دعنا نستبدل القيم التي تم الحصول عليها في صيغتنا ونجد الإحداثيات:

وبالتالي، فإن النقطة المطلوبة لها إحداثيات.

5. لحل هذه المشكلة، نستخدم الصيغ في الصورة العامة، حيث

إحداثيات مركز الدائرة (في مثالنا،

نصف قطر الدائرة (حسب الحالة)

زاوية دوران نصف قطر المتجه (حسب الحالة).

دعنا نستبدل جميع القيم في الصيغة ونحصل على:

و - قيم الجدول. دعونا نتذكرها ونستبدلها في الصيغة:

وبالتالي، فإن النقطة المطلوبة لها إحداثيات.

الملخص والصيغ الأساسية

جيب الزاوية هو نسبة الساق المقابلة (البعيدة) إلى الوتر.

جيب تمام الزاوية هو نسبة الساق المجاورة (المقربة) إلى الوتر.

ظل الزاوية هو نسبة الجانب المقابل (البعيد) إلى الجانب المجاور (القريب).

ظل التمام للزاوية هو نسبة الضلع المجاور (القريب) إلى الضلع المقابل (البعيد).

يتم إعطاء العلاقات بين الدوال المثلثية الأساسية - الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام الصيغ المثلثية. وبما أن هناك الكثير من الروابط بين الدوال المثلثية، فإن هذا يفسر وفرة الصيغ المثلثية. تربط بعض الصيغ الدوال المثلثية لنفس الزاوية، والبعض الآخر - وظائف زاوية متعددة، والبعض الآخر - يسمح لك بتقليل الدرجة، والرابع - يعبر عن جميع الوظائف من خلال ظل نصف الزاوية، وما إلى ذلك.

في هذه المقالة سوف نقوم بإدراج جميع الصيغ المثلثية الأساسية بالترتيب، والتي تكون كافية لحل الغالبية العظمى من مشاكل علم المثلثات. ولسهولة الحفظ والاستخدام، سنجمعها حسب الغرض وندخلها في جداول.

التنقل في الصفحة.

الهويات المثلثية الأساسية

الهويات المثلثية الأساسيةتحديد العلاقة بين الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية واحدة. وهي تنبع من تعريف الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام، وكذلك مفهوم دائرة الوحدة. إنها تسمح لك بالتعبير عن دالة مثلثية واحدة بدلالة أي دالة أخرى.

للحصول على وصف تفصيلي لصيغ علم المثلثات هذه واشتقاقها وأمثلة للتطبيق، راجع المقالة.

صيغ التخفيض

صيغ التخفيضتتبع من خصائص الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام، أي أنها تعكس خاصية دورية الدوال المثلثية، وخاصية التماثل، وكذلك خاصية التحول بزاوية معينة. تسمح لك هذه الصيغ المثلثية بالانتقال من العمل بزوايا عشوائية إلى العمل بزوايا تتراوح من صفر إلى 90 درجة.

يمكن دراسة الأساس المنطقي لهذه الصيغ وقاعدة تذكيرية لحفظها وأمثلة لتطبيقها في المقالة.

صيغ الإضافة

صيغ الجمع المثلثيةوضح كيف يتم التعبير عن الدوال المثلثية لمجموع أو الفرق بين زاويتين بدلالة الدوال المثلثية لتلك الزوايا. تعمل هذه الصيغ كأساس لاشتقاق الصيغ المثلثية التالية.

صيغ ثنائية وثلاثية وما إلى ذلك. زاوية

صيغ ثنائية وثلاثية وما إلى ذلك. الزاوية (وتسمى أيضًا صيغ الزوايا المتعددة) توضح كيفية حساب الدوال المثلثية للثنائي والثلاثي وما إلى ذلك. يتم التعبير عن الزوايا () بدلالة الدوال المثلثية لزاوية واحدة. يعتمد اشتقاقها على صيغ الجمع.

يتم جمع معلومات أكثر تفصيلاً في صيغ المقالة للثنائي والثلاثي وما إلى ذلك. زاوية

صيغ نصف الزاوية

صيغ نصف الزاويةوضح كيف يتم التعبير عن الدوال المثلثية لنصف زاوية بدلالة جيب تمام الزاوية بأكملها. تتبع هذه الصيغ المثلثية صيغ الزاوية المزدوجة.

يمكن العثور على استنتاجاتهم وأمثلة التطبيق في المقالة.

صيغ تخفيض الدرجة

الصيغ المثلثية لتقليل الدرجاتتم تصميمها لتسهيل الانتقال من القوى الطبيعية للدوال المثلثية إلى جيب التمام وجيب التمام في الدرجة الأولى ولكن بزوايا متعددة. وبعبارة أخرى، فهي تسمح لك بتقليل صلاحيات الدوال المثلثية إلى الأولى.

صيغ لمجموع واختلاف الدوال المثلثية

الغرض الرئيسي صيغ لمجموع وفرق الدوال المثلثيةهو الانتقال إلى حاصل ضرب الدوال، وهو أمر مفيد جدًا عند تبسيط التعبيرات المثلثية. تُستخدم هذه الصيغ أيضًا على نطاق واسع في حل المعادلات المثلثية، لأنها تتيح لك تحليل مجموع وفرق الجيب وجيب التمام.

صيغ لمنتج الجيب وجيب التمام والجيب بواسطة جيب التمام

يتم الانتقال من منتج الدوال المثلثية إلى المجموع أو الفرق باستخدام صيغ منتج الجيب وجيب التمام وجيب التمام.

حقوق الطبع والنشر من قبل Smartstudents

كل الحقوق محفوظة.
محمية بموجب قانون حق المؤلف. لا يجوز إعادة إنتاج أي جزء من موقع www.site، بما في ذلك المواد الداخلية والمظهر، بأي شكل من الأشكال أو استخدامه دون الحصول على إذن كتابي مسبق من صاحب حقوق الطبع والنشر.

الهويات المثلثية- هذه هي المعادلات التي تنشئ علاقة بين الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية واحدة، مما يسمح لك بالعثور على أي من هذه الوظائف، بشرط معرفة أي وظيفة أخرى.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)، \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

تيراغرام ألفا cdot ctg ألفا = 1

تقول هذه الهوية أن مجموع مربع جيب التمام لزاوية واحدة ومربع جيب التمام لزاوية واحدة يساوي واحدًا، وهو ما يجعل من الممكن عمليًا حساب جيب التمام لزاوية واحدة عندما يكون جيب تمامها معروفًا والعكس صحيح .

عند تحويل التعبيرات المثلثية، يتم استخدام هذه الهوية في كثير من الأحيان، مما يسمح لك باستبدال مجموع مربعات جيب التمام وجيب زاوية واحدة بأخرى وكذلك إجراء عملية الاستبدال بترتيب عكسي.

إيجاد الظل وظل التمام باستخدام الجيب وجيب التمام

تيراغرام \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

يتم تشكيل هذه الهويات من تعريفات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام. بعد كل شيء، إذا نظرت إليه، فمن حيث التعريف فإن الإحداثي y هو جيب الجيب، والإحداثي السيني x هو جيب التمام. ثم الظل سيكون مساويا للنسبة \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)، والنسبة \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- سيكون ظل التمام.

دعونا نضيف أنه فقط بالنسبة لمثل هذه الزوايا \ألفا التي تكون فيها الدوال المثلثية المتضمنة فيها منطقية، فإن الهويات ستصمد، ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

على سبيل المثال: تيراغرام \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)صالح للزوايا \alpha التي تختلف عن \frac(\pi)(2)+\pi ض، أ ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- بالنسبة للزاوية \alpha بخلاف \pi z، فإن z عدد صحيح.

العلاقة بين الظل وظل التمام

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

هذه الهوية صالحة فقط للزوايا \alpha التي تختلف عنها \frac(\pi)(2) ض. وبخلاف ذلك، لن يتم تحديد ظل التمام أو الظل.

وبناء على النقاط المذكورة أعلاه نحصل على ذلك tg \alpha = \frac(y)(x)، أ ctg \alpha=\frac(x)(y). إنه يتبع هذا tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. وبالتالي، فإن ظل الزاوية وظل التمام للزاوية نفسها التي يكونان عندها منطقيين هما أرقام عكسية بشكل متبادل.

العلاقات بين الظل وجيب التمام، ظل التمام والجيب

تيراغرام^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- مجموع مربع ظل الزاوية ألفا و1 يساوي المربع العكسي لجيب تمام هذه الزاوية. هذه الهوية صالحة لجميع \alpha بخلاف \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- مجموع 1 ومربع ظل التمام للزاوية \alpha يساوي المربع العكسي لجيب الزاوية المعطاة. هذه الهوية صالحة لأي \alpha مختلف عن \pi z.

أمثلة مع حلول للمشاكل باستخدام الهويات المثلثية

مثال 1

ابحث عن \sin \alpha وtg \alpha if \cos \alpha=-\frac12و \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

عرض الحل

حل

ترتبط الدالتان \sin \alpha و \cos \alpha بالصيغة \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. استبدال في هذه الصيغة \cos \alpha = -\frac12، نحن نحصل:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

هذه المعادلة لها حلين:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

بالشرط \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . في الربع الثاني، يكون جيب الجيب موجبًا \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

لإيجاد tan \alpha، نستخدم الصيغة تيراغرام \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

مثال 2

ابحث عن \cos \alpha وctg \alpha إذا و \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

عرض الحل

حل

استبدال في الصيغة \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1رقم معين \الخطيئة \alpha=\frac(\sqrt3)(2)، نحن نحصل \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. هذه المعادلة لها حلان \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

بالشرط \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . في الربع الثاني، جيب التمام سلبي، لذلك \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

من أجل العثور على ctg \alpha، نستخدم الصيغة ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). نحن نعرف القيم المقابلة.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

سنبدأ دراستنا لعلم المثلثات بالمثلث القائم الزاوية. دعونا نحدد ما هو الجيب وجيب التمام، وكذلك الظل وظل التمام لزاوية حادة. هذه هي أساسيات علم المثلثات.

دعونا نتذكر ذلك زاوية مستقيمةهي زاوية تساوي 90 درجة. وبعبارة أخرى، نصف زاوية منعطفة.

زاوية حادة- أقل من 90 درجة.

زاوية منفرجة- أكبر من 90 درجة. فيما يتعلق بهذه الزاوية، فإن "المنفرجة" ليست إهانة، ولكنها مصطلح رياضي :-)

لنرسم مثلثًا قائمًا. عادة ما يتم الإشارة إلى الزاوية اليمنى بواسطة . يرجى ملاحظة أن الجانب المقابل للزاوية يُشار إليه بالحرف نفسه، ولكنه صغير فقط. وبالتالي، يتم تعيين الجانب المقابل للزاوية A .

يُشار إلى الزاوية بالحرف اليوناني المقابل.

الوترللمثلث القائم هو الضلع المقابل للزاوية القائمة.

الساقين- الجوانب المتقابلة بزوايا حادة.

تسمى الساق الواقعة مقابل الزاوية عكس(بالنسبة للزاوية). وتسمى الساق الأخرى التي تقع على أحد جانبي الزاوية مجاور.

التجويفالزاوية الحادة في المثلث القائم هي نسبة الضلع المقابل للوتر:

جيب التمامالزاوية الحادة في المثلث الأيمن - نسبة الساق المجاورة إلى الوتر:

الظلالزاوية الحادة في المثلث القائم - نسبة الضلع المقابل إلى الضلع المجاور:

تعريف آخر (معادل): ظل الزاوية الحادة هو نسبة جيب الزاوية إلى جيب تمامها:

ظل التمامالزاوية الحادة في المثلث الأيمن - نسبة الجانب المجاور إلى المقابل (أو، وهي نفسها، نسبة جيب التمام إلى الجيب):

لاحظ العلاقات الأساسية للجيب وجيب التمام والظل وظل التمام أدناه. ستكون مفيدة لنا عند حل المشكلات.

دعونا نثبت بعض منهم.

حسنًا، لقد قدمنا ​​تعريفات وكتبنا الصيغ. ولكن لماذا لا نزال بحاجة إلى الجيب وجيب التمام والظل والظل؟

نحن نعرف ذلك مجموع زوايا أي مثلث يساوي.

نحن نعرف العلاقة بين حفلاتمثلث قائم. وهذه هي نظرية فيثاغورس: .

اتضح أنه بمعرفة زاويتين في المثلث، يمكنك العثور على الثالثة. بمعرفة ضلعي المثلث القائم الزاوية، يمكنك العثور على الثالث. هذا يعني أن الزوايا لها نسبها الخاصة، والأضلاع لها نسبها الخاصة. ولكن ماذا يجب أن تفعل إذا كنت تعرف زاوية واحدة (باستثناء الزاوية القائمة) وضلعًا واحدًا في المثلث القائم، لكنك بحاجة إلى العثور على الجوانب الأخرى؟

وهذا ما واجهه الناس في الماضي عند عمل خرائط للمنطقة والسماء المرصعة بالنجوم. ففي النهاية، ليس من الممكن دائمًا قياس جميع أضلاع المثلث بشكل مباشر.

جيب التمام وجيب التمام والظل - يطلق عليهم أيضًا وظائف الزاوية المثلثية- إعطاء العلاقات بين حفلاتو زوايامثلث. بمعرفة الزاوية، يمكنك العثور على جميع دوالها المثلثية باستخدام جداول خاصة. وبمعرفة جيب التمام وجيب التمام وظلال زوايا المثلث وأحد أضلاعه، يمكنك إيجاد الباقي.

سنقوم أيضًا برسم جدول لقيم الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للزوايا "الجيدة" من إلى.

يرجى ملاحظة الشرطتين الأحمرتين في الجدول. عند قيم الزاوية المناسبة، لا يوجد ظل وظل التمام.

دعونا نلقي نظرة على العديد من مسائل علم المثلثات من بنك مهام FIPI.

1. في المثلث، الزاوية هي . يجد .

يتم حل المشكلة في أربع ثوان.

بسبب ال ، .

2. في المثلث تكون الزاوية , . يجد .

دعونا نجدها باستخدام نظرية فيثاغورس.

حلت المشكلة.

غالبًا ما توجد في المشكلات مثلثات بزوايا أو بزوايا و. حفظ النسب الأساسية لهم عن ظهر قلب!

بالنسبة للمثلث ذو الزوايا والساق المقابلة للزاوية تساوي نصف الوتر.

مثلث ذو زوايا وهو متساوي الساقين. فيه يكون الوتر أكبر من الساق مرات.

لقد بحثنا في مسائل حل المثلثات القائمة الزاوية، أي إيجاد جوانب أو زوايا مجهولة. ولكن هذا ليس كل شيء! هناك العديد من المشكلات في امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات التي تتضمن جيب التمام أو جيب التمام أو الظل أو ظل التمام لزاوية خارجية للمثلث. المزيد عن هذا في المقالة التالية.